O sistema linear (
x0 = x(a − bx − cy)
y0= y(d − ey − f x))
onde a, · · · , f s˜ao constantes positivas, serve de modelo para a competi¸c˜ao de duas esp´ecies com popula¸c˜oes x(t), y(t).
Designando r(x, y) ≡ a − bx − cy e s(x, y) ≡ d − ey − f x e supondo que as rectas r(x, y) = 0, s(x, y) = 0 n˜ao s˜ao paralelas, vemos que as solu¸c˜oes constantes do sistema s˜ao (0, 0), (0, d/e), (a/b, 0) e o ponto P comum `as duas rectas.
Note-se tamb´em que os semieixos positivos contˆem, al´em das solu¸c˜oes constantes j´a assinaladas, traject´orias de solu¸c˜oes (de equa¸c˜oes de tipo log´ıstico).
Nas figuras 6 e 7 esquematizamos, de acordo com o estudo dos sinais dos segundos membros do sistema, as zonas do plano onde x(t) (respect y(t)) ´e cresente ou decrescente. Na figura 8 esquematizamos o caso em em que as duas rectas se cruzam no 1oquadrante e o campo vectorial (xr(x, y), ys(x, y)) sobre os eixos e as rectas, o que permitir´a concluir que a traject´oria que parte de qualquer condi¸c˜ao inicial x0 > 0, y0 > 0 ”tende”para o ponto P (detalhes a desenvolver na
aula).
Consideremos o caso particular (
x0 = x(4 − 2x − y) y0= y(5 − 5y − x) (S)
com as solu¸c˜oes constantes (“equil´ıbrios”) (0, 0), (2, 0), (0, 1) e (5/3, 2/3).
O equil´ıbrio (0, 0): a lineariza¸c˜ao do sistema na origem conduz ao sistema diagonal x0 = 4x, y0 = 5y
cuja matriz tem os valores pr´oprios 4 e 5. A origem ´e por isso inst´avel para o sistema linear e ”repele”todas as solu¸c˜oes, as quais tendem para a origem quando t → −∞ ficando tangentes ao eixo dos xx (Fig. 9). Do teorema da instabilidade concluimos que a origem ´e tamb´em inst´avel para o sistema (S).
O equil´ıbrio (2, 0): calculando neste ponto a matriz jacobiana do campo vectorial dado pelos segundos membros conclu´ımos que o sistema pode escrever-se
x y 0 =−4 −2 0 3 x − 2 y + g(x, y) onde lim (x,y)→(2,0)g(x, y)/[(x − 2) 2+ y2]1/2= 0.
Os valores pr´oprios do sistema linear “translatado”(com u = x − 2, v = y) u v 0 =−4 −2 0 3 u v
s˜ao -4 e 3. ´E claro que a direc¸c˜ao pr´opria correspondente a -4 ´e o eixo dos uu. Para calcularmos o declive da outra recta que ´e traject´oria (isto ´e, que contˆem a outra direc¸c˜ao pr´opria) basta escrever
dv du =
3v −4u − 2v
e procurar m tal que v = mu resolva esta equa¸c˜ao, o que conduz a m = −7/2. Trata-se tamb´em de um equil´ıbrio inst´avel. (Fig. 10).
O equil´ıbrio (0, 1): procedendo como anteriormente com o sistema linear (de matriz
3 0
−1 −5
)translatado, encontramos valores pr´oprios 3 e -5, sendo as direc¸c˜oes p´oprias o eixo dos vv e a recta de declive m = −18. ´E tamb´em um equil´ıbrio inst´avel. (Fig. 11).
O equil´ıbrio (5/3, 2/3): sempre com o mesmo procedimento, ao linearizar encontramos a matriz −10/3 −5/3
−2/3 −10/3
que tem valores pr´oprios negativos 1/3(−10−√10) e 1/3(√10−10) com os declives respectivamente associados ±p2/5. ´E um equil´ıbrio assintoticamente est´avel (Fig. 12) e na verdade, observando que o esquema da Figura 8 ´e aplic´avel a esta situa¸c˜ao, n˜ao ´e dif´ıcil compreender que todas as solu¸c˜oes que partem de uma condi¸c˜ao inicial no primeiro quadrante tendem para (5/3, 2/3) quando t → +∞.
10
Estabilidade (Lyapunov)
Consideremos um sistema
y0= f (y) (1)
e o seu equil´ıbrio y0≡ 0. Vamos descrever outra t´ecnica de estudar a estabilidade deste equil´ıbrio.
Seja V uma fun¸c˜ao C1 no dom´ınio D de f . Para cada solu¸c˜ao y(t) de (1), temos
d dtV (y(t)) = n X i=1 ∂V ∂xi
(y(t))fi(y(t)) = ∇V (y(t)) · f (y(t)).
A express˜ao ∇V (x) · f (x) ser´a representada por ˙V (x). Assim, a derivada acima ´e simplesmente ˙
V (y(t)).
Diremos que V ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov de (1) relativamente ao equil´ıbrio 0 se: V (0) = 0, V (x) > 0 ∀x 6= 0 e ˙V (x) ≤ 0 ∀x ∈ D.
Teorema 10.1 (Estabilidade)Se existe uma fun¸c˜ao de Lyapunov V de (1) relativamente ao equil´ıbrio 0, ent˜ao este equil´ıbrio ´e est´avel. Se, al´em disso, ˙V (x) < 0 ∀x ∈ D \ 0 ent˜ao o equil´ıbrio ´e assint- oticamente est´avel.
Demonstra¸c˜ao. Seja ¯Ba bola fechada de centro 0 e raio . Dado com ¯B⊂ D escolhamos δ tal
que sup VB¯δ< inf|x|=V (x) (compacidade, continuidade). Dado β ∈ ¯Bδ, a fun¸c˜ao ϕ(t) = V (y(·, β))
´
e decrescente e, como para t = 0 ´e < inf|x|=V (x), a solu¸c˜ao y(·, β) n˜ao pode tomar valores com
norma . Ent˜ao |y(·, β)| < em todo o dom´ınio da solu¸c˜ao, mostrando que o dom´ınio ´e [0, ∞) e que 0 ´e est´avel.
Suponhamos agora que vale a hip´otese adicional ˙V (x) < 0 ∀x ∈ D \ 0. J´a vimos que ∃δ > 0 tal que se |β| < δ, ent˜ao |y(t, β)| ≤ ∀t ≥ 0. Em particular, existe limt→+∞V (y(t, β)) =: l. Se l > 0,
por continuidade, e porque a fun¸c˜ao t 7→ V (y(t, β)) ´e decrescente, existe a > 0 tal que |x| < a implica V (x) < l. Logo, para o β escolhido acima, temos |y(t, β)| ≥ a. No conjunto compacto S = ¯B\ Ba temos ˙V (x) ≤ −µ < 0 e por isso, integrando, V (y(t, β)) ≤ V (β) − µt ∀t ≥ 0 o
que arrasta V (y(t, β)) → −∞, uma contradi¸c˜ao. Portanto l = 0. Daqui resulta sem dificuldade y(t, β) → 0 quando t → +∞.
Teorema 10.2 (Instabilidade) Se existe V de classe C1em D com V (0) = 0, ˙V (x) > 0 ∀x ∈ D\0,
e V (ai) > 0 para uma sucess˜ao ai→ 0, ent˜ao o equil´ıbrio 0 ´e inst´avel.
Demonstra¸c˜ao. Provaremos que cada y(·, ai) “tende a afastar-se”da origem. Tem-se V (y(0, ai)) =
k > 0. E agora resulta V (y(·, ai)) crescente. Seja tal que V < k em B, e fixemos r > . Como
|y(t, ai)| ≥ para todo o t do seu dom´ınio, temos, enquanto y(t, ai) estiver em ¯Br, ˙V (y(t, ai)) ≥
λ > 0 (tomar λ como o m´ınimo de ˙V em ¯Br\ B). Ent˜ao V (y(t, ai)) ≥ k + λt. Mas como V ´e
limitada em ¯Br, h´a um instante a partir do qual esta desigualdade falha, e a solu¸c˜ao sai de ¯Br.
Dado β ∈ D, consideremos a “semi-´orbita positiva” γ+(β) = {y(t, β), k t ≥ 0}.
Chamamos ω − limite de β, ou de γ+(β), ao conjunto dos pontos a tais que ∃tk→ +∞ y(tk, β) → a
e representamos este conjunto por ω(β). Se A ´e um subconjunto de D, ω(A) representa a uni˜ao dos ω(β) com β ∈ A.
´
E claro que ω(β) = ω(y(t0, β) para cada t0 fixado no dom´ınio desta solu¸c˜ao.
Um subconjunto X ⊂ D diz-se positivamente invariante se ∀β ∈ X se tem γ+(β) ⊂ X.
´
E evidente que:
Se y(·, β) ´e solu¸c˜ao peri´odica, ent˜ao γ+(β) = ω(β). Se γ+(β) ∩ ω(β) 6= ∅ ent˜ao γ+(β) ⊂ ω(β).
Para demonstrar esta afirma¸c˜ao observe-se que se a = y(s, β) = limk→∞y(tk, β) (com tk→ ∞),
obtemos, para t ≥ −s,
y(t + tk, β) = y(t, y(tk, β)) → y(t, y(s, β)) = y(t + s, β).
Teorema 10.3 Suponhamos que γ+(β) est´a contido num compacto contido em D. Ent˜ao a solu¸c˜ao y(·, β) est´a definida em [0, +∞), e ω(β) ´e um compacto n˜ao vazio, conexo e positivamente invari- ante; al´em disso
lim
t→+∞dist(y(t, β), ω(β)) = 0.
Demonstra¸c˜ao. A afirma¸c˜ao sobre o dom´ınio resulta do teorema 4.1. Como num compacto toda a sucess˜ao tem uma subsucess˜ao convergente, ´e claro tamb´em que ω(β) 6= ∅. sendo, obviamente, limitado.
Vejamos que ω(β) ´e fechado. Dado um ponto p ∈ ω(β), e dados > 0, T > 0, escolhamos a ∈ ω(β) com |p − a| < /2 e tk> T com |a − y(tk, β)| < /2. Logo,
∀ > 0, ∀T > 0 ∃t > T |y(t, β) − p| < . Fazendo = 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · · constru´ımos t0k → ∞ tal que y(t0
k, β) → p.
Vejamos que ω(β) ´e conexo. Suponhamos, com vista a uma contradi¸c˜ao, que h´a dois abertos U, V de Rn, disjuntos tais que ω(β) ⊂ U ∪ V. e ω(β) ∩ U 6= ∅ e ω(β) ∩ V 6= ∅. Afirmamos que
∃T > 0 y(t, β) ∈ U ∪ V ∀t ≥ T. (∗)
De facto, se assim n˜ao fosse, tomando uma sucess˜ao Tk→ ∞ haveria tk ≥ Tk com y(tk, β) /∈ U ∪ V
contradit´orio. Por outro lado, tomando um ponto b ∈ ω(β) ∩ U vemos que existe t1> T tal que
y(t1, β) ∈ ω(β) ∩ U e an´aloga afirma¸c˜ao ´e v´alida com V . Em presen¸ca de (*) isto ´e contradit´orio,
j´a que o conjunto {y(t, β) | t ≥ T } ´e conexo.
Provemos que ω(β) ´e positivamente invariante. Dado a ∈ ω(β), temos a = limk→∞y(tk, β)
com certa sucess˜ao tk → +∞; ora, sempre que y(s, a) existe, tamb´em y(s, y(tk, β))existe para k
suficientemente grande pelo teorema 4.10 e, usando a continuidade relativamente aos dados iniciais y(s, a) = lim
k→∞y(s, y(tk, β)) = limk→∞y(s + tk, β)
mostrando que y(s, a) ∈ ω(β). (OBSERVAC¸ ˜AO: na verdade prov´amos que ω(β) ´e invariante, no sentido em que toda a traject´oria com condi¸c˜ao inicial a est´a contida em ω(β), uma vez que no argumento anterior s ´e qualquer elemento do dom´ınio de y(·, a).)
Finalmente, provemos a rela¸c˜ao limite. Se ela fosse falsa, existiriam > 0 e tk → ∞ tais que
|y(tk) − p| ≥ ∀p ∈ ω(β). Mas, extraindo uma sucess˜ao convergente, encontramos um ponto
a ∈ ω(β) com a propriedade |a − a| ≥ .
Proposi¸c˜ao 10.1 Sejam A ⊂ D um aberto, V ∈ C1(A) tal que (i) ˙V ≤ 0 em A; (ii) existe α tal que Vα:= V−1(−∞, α] ´e compacto em A.
Ent˜ao Vα ´e positivamente invariante, e se β ∈ Vα tem-se ∅ 6= ω(β) ⊂ Vα e ˙V = 0 em todos os pontos de ω(β).
Demonstra¸c˜ao. Como t 7→ V (y(t, β)) ´e decrescente, todos os pontos da traject´oria y(t, β), para t ≥ 0, ficam num compacto de D, em virtude da hip´otese; ent˜ao y(·, β) est´a bem definida em [0, ∞) (consequˆencia do teorema 4.1). Do teorema anterior resulta que ω(β) 6= ∅ e ´e ´obvio que ω(β) ⊂ Vα.
Mostremos que V ´e constante em ω(β). Dado p ∈ ω(β), temos p = lim
k→+∞y(tk, β)
com tk → +∞. Como t 7→ V (y(t, β)) ´e decrescente e limitada inferiormente (valores de V num
compacto!) existe
l := lim
t→+∞V (y(t, β)).
Em particular, por continuidade, V (p) = l.
Finalmente, como j´a vimos que ω(β) ´e positivamente invariante, dado p ∈ ω(β), temos y(t, p) ∈ ω(β) ∀t ≥ 0; e
˙
V (p) = d dt|t=0
V (y(t, p)) = 0 por ser a derivada de uma fun¸c˜ao de vari´avel real, constante.
Teorema 10.4 (princ´ıpio de LaSalle) Seja V uma fun¸c˜ao de Lyapunov definida numa vizinhan¸ca da origem. Suponhamos que {0} ´e o maior subconjunto positivamente invariante contido em N := {x ∈ D | ˙V (x) = 0}. Ent˜ao o equil´ıbrio 0 ´e assintoticamente est´avel.
OBSERVAC¸ ˜AO: Tem sentido mencionar “o maior conjunto positivamente invariante”porque a a uni˜ao de conjuntos positivamente invariantes ´e positivamente invariante.
Demonstra¸c˜ao. ´E f´acil ver que V satisfaz as hip´oteses da proposi¸c˜ao com um α suficientemente pequeno. Ent˜ao, tomando β ∈ Vα, ω(β) ⊂ N e ω(β) ´e positivamente invariante. Em virtude da
hip´otese ω(β) = {0}. O teorema resulta ent˜ao da ´ultima afirma¸c˜ao do teorema anterior.
Exemplo: equa¸c˜ao de Li´enard. Consideremos a equa¸c˜ao de segunda ordem
u00+ u0+ g(u) = 0 (L)
onde g ´e uma fun¸c˜ao real cont´ınua em R tal que
ug(u) > 0 se u 6= 0. (∗)
Escrevendo a equa¸c˜ao como sistema de primeira ordem, com u = x e u0= y, isto ´e (
x0 = y
y0= −g(x) − y)
facilmente verificamos que, com G(x) =R0xg(s) ds,
V (x, y) = y
2
2 + G(x) ´
e fun¸c˜ao de Lyapunov para o sistema, com ˙V (x, y) = −y2. Portanto ˙V anula-se no eixo dos xx
do plano de fases. No entanto, facilmente se deduz da forma do sistema que o ´unico invariante contido no eixo dos xx ´e a origem (as solu¸c˜oes com condi¸c˜ao inicial (x0, 0), em que x06= 0, saem
logo do eixo devido a (*)). Concluimos que a origem (isto ´e, a solu¸c˜ao identicamente nula) ´e assintoticamente est´avel. Concluimos mesmo que qualquer solu¸c˜ao tende para a origem (isto ´e, limt→∞u(t) = limt→∞u0(t) = 0).
No exemplo anterior, dizemos que a origem ´e globalmente assintoticamente est´avel. Mais ge- ralmente, podemos referir a regi˜ao de atrac¸c˜ao de um equil´ıbrio a: ´e o conjunto dos β tais que limt→∞y(t, β) = a.
Exemplo: sistemas gradiente. Consideremos o sistema
y0= −∇h(y) (G)
onde h ∈ C2
(Rn
, R). Verifica-se imediatamente que h decresce ao longo das solu¸c˜oes, pois que, se y(t) ´e solu¸c˜ao de (G) vem
d
dth(y(t)) = ∇h(y(t)) · y
0(t) = −|∇h(y(t))|2.
Fa¸camos a hip´otese seguinte (H) lim|u|→∞h(u) = +∞.
Ent˜ao qualquer traject´oria γ+(β) verifica a hip´otese do teorema 10.3 porque est´a contida no
compacto h−1(−∞, h(β)]. Utilizando a proposi¸c˜ao 10.1, temos ω(β) ⊂ {u ∈ Rn| ∇h(u) = 0}. Se
al´em disso h s´o tiver um n´umero finito de pontos cr´ıticos, podemos concluir do teorema 10.3 que o limt→+∞y(t, β) existe e ´e um dos pontos cr´ıticos de h.
Exemplo: um m´etodo anal´ıtico no estudo do comportamento assint´otico de solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao de segunda ordem.
Consideremos a equa¸c˜ao
u00+ cu0+ f (u) = 0 (∗∗)
onde c > 0 e f ´e cont´ınua em R. Vamos mostrar que, se u(t) ´e solu¸c˜ao de (**) em [0, ∞) e ´e limitada, ent˜ao limt→+∞u(t) = l existe e f (l) = 0 Al´em disso limt→+∞u0(t) = 0.
Facto 1: u0(t) ´e tamb´em limitada. Efectivamente, pondo v = u0 basta resolver a equa¸c˜ao linear v0+ cv = b(t) onde b(t) = −f (u(t)) ´e limitada.
Facto 2: R0∞u0(s)2ds < ∞. Temos, multiplicando a equa¸c˜ao por u0 d
dt[ u02
2 + F (u)] + cu
02= 0
de onde, para todo o T > 0
[u 02 2 + F (u)] T 0 + c Z T 0 u02= 0 e, em virtude da hip´otese e do Facto 1, os integraisRT
0 u
02 s˜ao majorados independentemente de
T .
Facto 3: limt→+∞u0(t) = 0. Como a partir do Facto 1 se deduz que u00(t) ´e limitada em [0, ∞)
conclui-se a partir do Facto 2 (exerc´ıcio).
Facto 4: limt→+∞F (u(t)) existe. Com efeito, da demonstra¸c˜ao do Facto 2 resulta queu
02
2 +F (u)
´
e decrescente. Depois aplicar o Facto 3.
Para concluir a demonstra¸c˜ao, suponhamos que lim inft→+∞u(t) 6= lim supt→+∞u(t). Ent˜ao
existem a < b tal que, dado um n´umero qualquer r ∈ [a, b], existe t arbitrariamente grande tal que u(t) = r.
Em virtude do Facto 4, temos F =constante em [a, b] e ent˜ao f = 0 em [a, b]. Tomemos r = (a + b)/2, δ > 0 tal que 2δ/c < (b − a)/4, e em seguida T > 0 de modo que
u(T ) = r e |u0(t)| < δ ∀t ≥ T.
Para t ≥ T e pelo menos no intervalo [T, S) tal que t ∈ [T, S) ⇒ u(t) ∈ (a, b), temos u00+ cu0= 0
o que implica u = A + Be−ct, A + Be−cT = r e |B|ce−ct< δ. Mas ent˜ao |A + Be−ct− r| ≤ 1
c|cBe
−cT− cBe−ct| ≤ 2δ
c < b − a)/4
o que significa que para todo o t ≥ T a solu¸c˜ao ´e de facto A + Be−ct e toma valores apenas em [3a+b4 ,a+3b4 ], uma contradi¸c˜ao.
10.1
Apˆendice: o pˆendulo simples com atrito
Vamos apresentar um m´etodo directo para o estudo do comportamento assint´otico das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao do pˆendulo simples com atrito
u00+ cu0+ a sin u = 0 (1)
onde c e a s˜ao constantes positivas.
Usando a nota¸c˜ao da sec¸c˜ao 4, observamos que, dada uma solu¸c˜ao arbitr´aria de (1), a fun¸c˜ao (“energia”)
E(t) = u0(t)2+ V (u(t)) (2)
´
e decrescente, visto que
E0(t) = −2cu02 (3).
Em particular,
E(t) ≤ E(0), ∀t ≥ 0 (4)
(o “tempo inicial”pode ser fixado no valor t = 0, j´a que a equa¸c˜ao ´e aut´onoma).
Proposi¸c˜ao 10.2 Se E(0) < 4a, a solu¸c˜ao ´e limitada em [0, +∞) e por isso existe n ∈ Z, par, tal que
lim
t→+∞u(t) = nπ.
Demonstra¸c˜ao. A solu¸c˜ao fica limitada em virtude de (3) e de o m´aximo de V ser 4a, como nos argumentos da sec¸c˜ao 4. Em virtude do que se provou no final da sec¸c˜ao anterior, a solu¸c˜ao tende para um equil´ıbrio de (1) quando t → +∞. Como E(t) ´e decrescente, tende para um equil´ıbrio de energia < 4a, e isso prova a ´ultima afirma¸c˜ao.
Asa solu¸c˜oes com energia inicial 4a ou s˜ao os equil´ıbrios 2(n + 1)π ou perdem efectivamente energia logo nos instantes seguintes, em virtude de (3), e ent˜ao caem no caso previsto na proposi¸c˜ao anterior.
Para termos uma ideia do comportamento das solu¸c˜oes perto de um equil´ıbrio nπ podemos considerar a equa¸c˜ao linearizada de (1) nesse equil´ıbrio:
z00+ cz0+ a(−1)nz = 0
onde z descreve aproximadamente o comportamento da diferen¸ca u − nπ. Vemos que esse com- portamento depende de c, a e da paridade de n. Por exemplo, para pequenos valores de c, a aproxima¸c˜ao ao equil´ıbrio ´e em espiral, j´a que a equa¸c˜ao linearizada tem raizes caractetr´ısticas complexas.
Vejamos que h´a tamb´em solu¸c˜oes que tendem para os equil´ıbrios nπ, com n ´ımpar, quando t → +∞.
Para isso, vamos reduzir a procura de certas solu¸c˜oes de (1) `a das solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao de primeira ordem. Suponhamos, efectivamente, que temos em vista uma solu¸c˜ao mon´otona crescente, para fixar ideias. O gr´afico da sua traject´oria no plano (u, u0) ´e o de uma fun¸c˜ao ϕ tal que u0= ϕ(u) (significando u0(t) = ϕ(u(t)) para todo o t do intervalo onde est´a definida). Introduzindo em (1), vemos que ϕ verifica
ϕ0(u)ϕ(u) + cϕ(u) + a sin u = 0 ou seja
d 2 duϕ(u)
2+ cϕ(u) + a sin u = 0.
Pondo ϕ2= ψ e como ϕ ≥ 0, vem finalmente a equa¸c˜ao de primeira ordem
ψ0(u) + 2cpψ(u) + 2a sin u = 0. (5)
Consideremos o equil´ıbrio (π, 0). A solu¸c˜ao de (5) tal que ψ(π) = 02satisfaz ψ(0) > 4a
como se conclui imediatamente integrando (5) no intervalo [0, π]. Atendendo ao significado de ψ, isto quer dizer que no instante em que u = 0, a energia (ψ + V ) ´e > 4a. O valor da energia em u = 0, dado pela resolu¸c˜ao deste PVI, corresponde `a solu¸c˜ao que tende para π quando t → +∞.