Um sistema computacional utilizando uma formulação de passo fracionado e o método dos elementos finitos por arestas para a análise de escoamentos incompressíveis tridimensionais usando computação paralela

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE RECURSOS HUMANOS DA ANP – PRH 26. TESE DE DOUTORAMENTO. Um Sistema Computacional Utilizando uma Formulação de Passo Fracionado e o Método dos Elementos Finitos por Arestas para a Análise de Escoamentos Incompressíveis Tridimensionais usando Computação Paralela. Bolsista DSc. AlessandroRomario Echevarria Antunes. Orientador: Prof. Paulo Roberto Maciel Lyra (PhD) Co-Orientador: Prof. Ramiro Brito Willmersdorf (PhD). RECIFE – 2008.

(2) ii. Universidade Federal de Pernambuco Centro de Tecnologia e Geociências Departamento de Engenharia Civil. UM SISTEMA COMPUTACIONAL UTILIZANDO UMA FORMULAÇÃO DE PASSO FRACIONADO E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POR ARESTAS PARA A ANÁLISE DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS TRIDIMENSIONAIS USANDO COMPUTAÇÃO PARALELA. Alessandro Romário Echevarria Antunes. TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS DE ENGENHARIA CIVIL.. ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ESTRUTURAS. Paulo Roberto Maciel Lyra, PhD (Orientador). Recife, Pernambuco, Brasil. ©Alessandro Romário Echevarria Antunes, Dezembro de 2008..

(3) iii. A636u. Antunes, Alessandro Romário Echevarria. Um sistema computacional utilizando uma formulação de passo fracionado e o método dos elementos finitos por arestas para a análise de escoamentos incompressíveis tridimensionais usando computação paralela / Alessandro Romário Echevarria Antunes. - Recife: O Autor, 2008. x, 166 folhas, il : tabs. grafs., figs Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil. Inclui Referências Bibliográficas e Apêndices. 1. Engenharia Civil. 2. Equações de Navier-Stokes Incompressíveis. 3. Método dos Elementos Finitos. 4. Método do Passo Fracionado. 5. Computação Paralela I. Título 624. UFPE BCTG/ 2009-061.

(4) iv.

(5) v. DEDICATÓRIA. Aos meus pais, João Batista Melo Antunes e Maria das Graças Echevarria Antunes, pela educação, apoio e exemplos de força e perseverança imprescindíveis na conquista desta realização, sem os quais este caminho não teria sido percorrido. Aos meus irmãos, que com carinho e generosidade foram essenciais para a conclusão desta jornada. À Fernanda Maria Bezerra de Mello, minha amada esposa, que acompanhou esta jornada com paciência e confiança, tendo sempre a certeza de que os nossos objetivos seriam alcançados..

(6) vi. AGRADECIMENTOS A todos aqueles que de alguma forma, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho. A todos os amigos que fizeram parte desta jornada, dentre eles, Erwin, Demétrio, Jacek, Jorge, Yuri, Saul, Sílvio Alan, Sílvio Leandro, Seniz, Flávio e tantos outros. Ao amigo Darlan Karlo Elisiário de Carvalho, pelas valiosas e inúmeras conversas científicas/acadêmicas que tivemos, e principalmente pelos assuntos aleatórios tratados durante nossos “café com cultura” diários. Ao amigo Rogério Soares da Silva, pelas valiosas discussões sobre Computação Paralela que muito auxiliaram no desenvolvimento deste trabalho e pela disposição em auxiliar e contribuir para o fechamento deste trabalho. Ao amigo Daniel Ventura, que acompanhou grande parte deste trabalho, e contribuiu com o desenvolvimento da estrutura do programa desenvolvido. À amiga Eliane Alves da Silva, que desde o início da minha chegada à Recife, sempre foi muito prestativa nas questões burocráticas da pós graduação. À amiga Roesane Teixeira de Lima que sempre esteve disposta a ajudar nos assuntos referentes aos auxílios financeiros. Aos professores Paulo R. Maciel Lyra e Ramiro Brito Willmersdorf pelos valiosos ensinamentos imprescindíveis para a elaboração desta tese. Aos professores, funcionários e amigos do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Pernambuco. Ao Núcleo de Atendimento em Computação de Alto Desempenho (NACAD) da COPPE/UFRJ pelo suporte computacional durante o desenvolvimento deste trabalho. Ao Programa de Recursos Humanos da Agência Nacional do Petróleo (PRH-26) e ao Conselho Nacional de Pesquisa (CNPq) pelo suporte financeiro durante o período de realização desta tese. Aos meus sogros Ayrton Bezerra de Mello e Nair Mello por terem me acolhido como um filho, tendo sido um porto seguro nos momentos difíceis..

(7) vii. RESUMO O objetivo do presente trabalho é desenvolver um sistema computacional capaz de simular numericamente escoamentos laminares de fluidos governados pelas Equações de NavierStokes escritas na sua forma incompressível, com variáveis primitivas em domínios tridimensionais. Para tal, o fluido é considerado viscoso e incompressível, e no domínio fluido emprega-se uma formulação com estabilização da convecção e da pressão do tipo SU (Streamline Upwind), o Método dos Elementos Finitos e o Método do Passo Fracional para realizar o fracionamento dos sistemas de equações algébricas no tempo, resultando em uma formulação monolítica, e com estabilidade de segunda ordem no tempo. Foi utilizada uma estrutura de dados baseada nas arestas dos elementos tetraédricos lineares, que apresentam como principal vantagem o ganho de tempo computacional, visto que cada termo pode ser obtido via préprocessamento na forma de coeficientes de contribuição de cada aresta. O programa foi escrito em linguagem FORTRAN 90. Foram aplicados os conceitos de computação paralela em computadores com memória distribuída para permitir a análise de problemas de grande porte, comuns na Dinâmica dos Fluidos Computacional. Utilizou-se a decomposição de domínio via PARMETIS (Parallel Graph Partitioning and Sparse Matrix Ordering) para particionar a malha computacional e MPI (Message Passing Interface) para viabilizar a comunicação paralela. Também foi utilizado o pacote PETSc (Portable Extensible Toolkit for Scientific Computations), que possui uma vasta gama de estruturas paralelas úteis no desenvolvimento de algoritmos paralelos para computação distribuída. Diversas aplicações foram analisadas de forma a verificar e validar o sistema computacional desenvolvido. Os resultados obtidos nas análises estão em conformidade com dados experimentais, teóricos e numéricos disponíveis na literatura. Palavras Chave: Equações de Navier-Stokes Incompressíveis, Método dos Elementos Finitos, Método do Passo Fracionado, Computação Paralela.

(8) viii. ABSTRACT The main objective of the present work is to develop a computational system capable of numerically simulate three-dimensional, laminar incompressible Navier-Sokes fluid flow problems written in primitive variable form, using parallel computing. For this purpose, the fluid is considered viscous and incompressible. At the fluid domain we are using a Finite Element Method formulation with stabilization for pressure and advective terms and the Fractional Step Method in ordering to obtain a second ordering stable monolithic formulation. The edge-based data structure is used. It’s main advantage refer to the reduction of the computational time requested as all coefficients are calculated in a pre-processing step. A FORTRAN 90 program is developed and parallel computing concepts are applied to allow the computation of large scale tridimensional applications frequent in Computational Fluid Dynamics. Domain decomposition is obtained via PARMETIS (Parallel Graph Partitioning and Sparse Matrix Ordering) and MPI (Message Passing Interface) is the standard communicator. We are using the PETSc (Portable Extensible Toolkit for Scientific Computations) toolkit, which is an efficient set of solvers, data structures (sequential and parallel), pre-conditioners, etc, need in parallel computing developments. Several applications were analyzed in ordering to verify and validate the computational system developed. The obtained results are in agreement with the experimental, theoretical and numerical data available in the literature. Keywords: Incompressible Navier-Stokes Equations, Finite Element Method, Fractional-Step Method, Parallel Computing.

(9) ix. SUMÁRIO. 1. INTRODUÇÃO..................................................................................................... 1 1.1 Motivação e Considerações Gerais: Escoamentos Incompressíveis................. 1 1.2 Motivação e Considerações Gerais: Método dos Elementos Finitos.................3 1.3 Motivação e Considerações Gerais: Computação Paralela................................5 1.4 Objetivos e Organização Geral da Tese.............................................................7 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICO-NUMÉRICA...............................................9 2.1 Introdução...........................................................................................................9 2.2 Equações de Navier-Stokes Incompressíveis.....................................................9 2.2.1 Condições de Contorno para as Equações de Navier-Stokes...................12 2.2.2 Condições de Contorno de Neumann para a Velocidade nas Equações de Navier-Stokes.......................................................................................17 2.2.3 Dificuldades Associadas aos Fluxos Incompressíveis..............................20 2.2.4 Formulação de Elementos Finitos Estabilizada........................................25 2.3 Método do Passo Fracionado.............................................................................25 2.4 Formulação Segregada Final..............................................................................45 2.5 Termos de SUPG para Estabilização Espacial...................................................47 2.5.1 Estabilização Espacial da Equação de Poisson para a Pressão..................47 2.5.2 Estabilização Espacial das Equações de Quantidade de Movimento........48 2.6 Parâmetros Importantes......................................................................................48 2.6.1 Termo de Preservação da Monotonicidade................................................48 2.6.2 Passo de Tempo para Estabilidade Temporal............................................49 2.6.2.1 Estabilização Temporal das Equações de Quantidade de Movimento.......................................................................................................50 2.6.2.2 Estabilização Temporal da Equação de Poisson para a Pressão.......50 3. MODELAGEM NUMÉRICO-COMPUTACIONAL.........................................52 3.1 Introdução e Considerações Gerais....................................................................52 3.2 Discretização Espacial via Método dos Elementos Finitos............................... 54 3.3 Implementação Computacional..........................................................................55.

(10) x. 4. COMPUTAÇÃO PARALELA..............................................................................73 4.1 Conceitos Fundamentais.....................................................................................73 4.2 Aspectos Computacionais...................................................................................74 4.2.1 Particionamento da Malha.........................................................................75 4.2.2 Gerenciamento da Comunicação Paralela via MPI...................................81 4.2.3 Utilização do Tollkit PETSC.....................................................................82 4.3 Programa NS_INCOMP3D................................................................................85 4.3.1 Considerações Gerais.................................................................................85 5. APLICAÇÕES NUMÉRICAS...............................................................................92 5.1 Escoamento em Tubo........................................................................................ .93 5.2 Backfacing Step........................................……………..................................... .96 5.2.1 Número de Reynolds 100...........................................................................97 5.2.2 Número de Reynolds 1000.........................................................................99 5.3 Escoamento sobre Cilindro Circular.................................................................100 5.3.1 Número de Reynolds 40...........................................................................101 5.3.2 Número de Reynolds 100.........................................................................102 5.4 Escoamento em Canal com Cavidade...............................................................105 5.5 Escoamento em Canal com Expansão Brusca...................................................110 5.6 Estudos de Desempenho do Programa Paralelo................................................117 6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS..............130 6.1 Conclusões........................................................................................................130 6.2 Trabalhos Futuros.............................................................................................132 - Interação Fluido-Estrutura..............................................................................132 - Modelos de Turbulência.................................................................................133 - Fluidos Não-Newtonianos..............................................................................134 - Adaptação de Malha.......................................................................................134 - Otimização Estrutural com Interação Fluido-Estrutura..................................135. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................136 Apêndice A: Matriz de Adjacências..........................................................................144 Apêndice B: Mapeamento dos Nós............................................................................153.

(11) xi. Apêndice C: Comparação entre Estruturas de Dados por Elementos, Aresta Pura e Arestas CSR.......................................................................................................157 Apêndice D: Resultados Preliminares Obtidos para Difusão Pura e Convecção Difusão ransiente.......................................................................................................162.

(12) 1. Capítulo 1 Introdução Neste capítulo serão expostos alguns dos principais conceitos que definem os conteúdos que são objetos de estudo neste trabalho, bem como as suas características intrínsecas que tornam o tema desafiador e ao final apresentamos os principais objetivos, assim como a organização desta tese. Dentre os principais temas envolvidos no trabalho, primeiramente será apresentada uma breve explanação sobre os escoamentos que serão abordados, evidenciando suas características e as hipóteses que foram adotadas. A seguir é apresentado o método numérico utilizado para discretizar as equações governantes dos fenômenos físicos, evidenciando as principais dificuldades associadas à aplicação deste método. Por fim, alguns conceitos sobre computação paralela são abordados, identificando aqueles que foram utilizados neste trabalho.. 1.1 Motivação e Considerações Gerais: Escoamentos Incompressíveis Escoamentos fluidos onde as alterações na massa específica são desprezíveis podem ser considerados escoamentos incompressíveis. Em geral estes tipos de escoamentos são característicos dos líquidos, porém mesmo os gases quando em escoamentos a baixas velocidades, ou com o número de Mach menor ou igual a 0.3 e sem a presença de grandes gradientes de temperatura, podem ser modelados como escoamentos incompressíveis. Muitos exemplos de es-.

(13) 2. coamentos incompressíveis podem ser citados, dentre eles, fluxo de fluidos ao redor de estruturas submarinas, escoamento de ar sobre estruturas como edifícios, pontes e torres, escoamento sanguíneo nas artérias humanas, escoamentos líquidos envolvendo dispersão de poluentes, escoamentos internos em dutos e canais, etc. Estes escoamentos são governados pelas equações de Navier-Stokes com a restrição de incompressibilidade, que possuem solução analítica apenas quando várias hipóteses simplificadoras são adicionadas à modelagem do problema, por exemplo, escoamentos permanentes sobre geometrias simples. Dado isso, quando escoamentos sobre geometrias complexas, com fluxos transientes são considerados, estas equações não possuem solução analítica, sendo necessária utilização de técnicas numéricas para a obtenção de soluções, ou o uso de experimentação em laboratório, sendo esta última opção, em geral, menos flexível e mais cara em termos de custo e tempo. Ao longo dos anos, muitos esquemas numéricos foram desenvolvidos para tratar as equações de Navier-Stokes, dentre estes esquemas citamos: Esquemas Monolíticos, Esquemas de Pré-Condicionamento das Equações de Navier-Stokes Compressíveis, Formulações de Penalidade e Esquemas Baseados no Fracionamento das Equações [Codina, 2001; Chorin, 1967; Costa, 2004; Gresho e Sani, 1998; Temam, 1969]. Todos os esquemas citados apresentam vantagens e desvantagens, tais como: os Esquemas Monolíticos satisfazem a restrição de incompressibilidade com o campo de velocidades obtido pelas equações de Quantidade de Movimento, mas forçam a utilização do mesmo método de solução para o sistema de equações, desconsiderando o caráter diferente de cada equação; os Esquemas de PseudoCompressibilidade adicionam um termo de variação no tempo da massa específica e no limite da incompressibilidade fazem este termo tender a zero, satisfazendo assim a restrição de incompressibilidade, porém estes esquemas são fortemente dependentes de matrizes de condicionamento, muitas vezes de obtenção complexa, baixando, assim, a eficiência computacional e numérica destes esquemas; esquemas que envolvem formulações de penalidade são geralmente complicados, por envolverem parâmetros livres na formulação; esquemas de fracionamento das equações resultam em formulações acuradas no tempo e com características de estabilidade para a pressão, porém adicionam novas variáveis ao sistema, introduzindo erros devido ao fracionamento, e com isso introduzem novas dificuldades a serem tratadas. Como visto, todos esses esquemas são capazes de fornecer formulações estáveis para as equações de Navier-Stokes [Henriksen e Holmem, 2002], ficando sob critério do pesquisador, definir o método que vai utilizar. Neste trabalho optou-se por utilizar um esquema de fracionamento das equações de Navier-Stokes, conhecido como “Fracitonal Step Method” [Chang et al, 2002; Codina, 2000, 2001 e 2002; Codina e Soto, 2003; Donea et al., 1982; Guermond et al.,.

(14) 3. 2006; Henriksen e Holmem, 2002; Perot, 1993; Löhner, 2004; Löhner et al., 2006], que pode ser visto de duas maneiras diferentes, utilizando conceitos físicos baseados na decomposição de Helmholtz [Gresho e Sani, 1998, vol 2], e utilizando conceitos algébricos baseados na fatoração LU do sistema algébrico obtido a partir das equações de Navier-Stokes. Esse esquema fornece uma formulação implícita, monolítica (a cada passo de tempo), de segunda ordem, e com estabilidade para a pressão. Para a discretização espacial foi aplicado o Método dos Elementos Finitos.. 1.2 Motivação e Considerações Gerais: Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos foi introduzido na Dinâmica dos Fluidos Computacional no início da década 70, tendo sido utilizado no final da década de 50 e início da década de 60 pela indústria aeronáutica, que estava em crescente expansão no período logo após a Segunda Guerra Mundial, na análise de tensões sobre a asa de aeronaves. Muitas qualidades do método chamaram a atenção dos pesquisadores, dentre estas qualidades podemos citar a sólida base matemática, a possibilidade de utilização através de discretização com malhas não estruturadas, que podem ser aplicadas a domínios com modelamentos geométricos complexos, o tratamento consistente das condições de contorno envolvendo diferenciais, e a possibilidade de ser programado de forma geral e flexível. Aproximações de Elementos Finitos padrão são baseados no Método dos Resíduos Ponderados [Zienkiewicz e Morgan, 1983, Zienliewicz e Taylor, 1988] (ou na formulação variacional correspondente) através da formulação de Galerkin. Essa formulação já tinha mostrado grande sucesso em aplicações na Mecânica dos Sólidos e também em outras áreas, como fenômenos envolvendo condução de Calor, cujas equações governantes são equações diferenciais parciais que apresentam termos de segunda derivada, caracterizando equações elípticas. A razão para o sucesso dessa formulação quando aplicada a problemas governados por equações com caráter difusivo é que estes problemas são governados por equações diferenciais elípticas e/ou parabólicas que possuem termos auto-adjuntos, e desta forma o Método de Galerkin produz matrizes simétricas. Nesse caso, a diferença entre a solução de elementos finitos e a solução exata é minimizada com respeito à norma de energia, e essa é a denominada “propriedade da melhor aproximação” do Método de Galerkin. Nesses casos, existe um funcional quadrático que quando minimizado corresponde a satisfazer as equações diferenciais governantes destes problemas. Por exemplo, em elasticidade linear, a posição de equilíbrio de uma estrutura corresponde ao mínimo de um funcional quadrático que.

(15) 4. expressa a energia potencial total do sistema. Similarmente, em problemas de condução de calor em regime permanente, o equilíbrio térmico resultante da solução das Equações de Laplace ou Poisson corresponde ao mínimo de um funcional quadrático expresso em termos do fluxo de calor, que representa fisicamente a energia térmica total do sistema. O sucesso do Método dos Elementos Finitos de Galerkin para problemas de Mecânica Estrutural, Condução de Calor e outros problemas do tipo potencial, motivou a aplicação do método na simulação de problemas na Dinâmica dos Fluidos Computacional [Anderson, 1995; Donea, 2003]. Esperava-se obter os mesmos resultados obtidos nos fenômenos para os quais o método vinha sendo aplicado. Atualmente sabemos que este foi um ponto de vista excessivamente otimista, visto que fenômenos envolvendo escoamentos fluidos apresentam características diferentes, e talvez a principal delas seja o fato de que existem termos convectivos nas equações governantes, que obviamente são termos não-simétricos, e que fazem com que o Método dos Elementos Finitos de Galerkin perca a propriedade da melhor aproximação, pois estes termos não são auto-adjuntos. Na prática, soluções para problemas que apresentam características de transporte convectivo dominante utilizando o Método dos Elementos Finitos de Galerkin apresentam soluções com oscilações espúrias e/ou instabilidades [Brooks e Hughes, 1982; Catabriga, 2000; Catabriga e Coutinho, 2002; De Sampaio, 1991, Zienkiewicz e Taylor, 1988]. Esses infortúnios podem ser resolvidos aplicando-se malhas com alto grau de refinamento e com passos de tempo muito pequenos, quando considerando-se esquemas de avanço explícito no tempo. Porém essas medidas tornam o problema computacionalmente impraticável. Estas dificuldades motivaram o desenvolvimento de formulações alternativas que possibilitassem a aplicação do Método dos Elementos Finitos sem a necessidade deste grau de refinamento da malha e aplicação de passos de tempo computacionalmente inviáveis. Essas formulações alternativas ficaram conhecidas como formulações estabilizadas e representaram um grande avanço para a utilização do Método dos Elementos Finitos na Dinâmica dos Fluidos Computacional. Neste trabalho foi utilizada uma formulação de Elementos Finitos Mistos e Estabilizada para tratar as equações de Navier-Stokes Incompressíveis. A estabilização é do tipo SUPG (Streamline Upwind Petrov Galerkin) [Almeida e Galeão, 1996, Brooks e Hughes, 1982; Catabriga, 2000; Catabriga e Coutinho, 2002] que tem por finalidade adicionar difusão suficiente para evitar o surgimento de oscilações espúrias em escoamentos que apresentam transporte convectivo dominante. Em termos de implementação computacional do Método dos Elementos Finitos na Dinâmica dos Fluidos Computacional, classicamente utiliza-se uma estrutura de dados baseada nos elementos que compõem a malha computacional. Este tipo de estrutura de dados é muito efi-.

(16) 5. caz, porém necessita que sejam efetuados “loops” em todos os elementos da malha a cada passo de tempo e as contribuições sejam acumuladas considerando-se os nós dos elementos. Desta forma tem-se grande quantidade de endereçamento indireto, visto que, por exemplo, para elementos tetraédricos lineares, cada elemento precisa identificar quatro nós pertencentes a este elemento. Uma estrutura de dados alternativa, baseada nas arestas da malha [Peraire et al., 1993, Löhner, 2001, Löhner e Galle, 2002, Lyra et al., 1993], começou a ser utilizada para soluções explícitas de escoamentos compressíveis utilizando-se o Método dos Elementos Finitos em malhas não estruturadas, que teve por inspiração o uso semelhante no contexto do Método dos Volumes Finitos [Barth, T. J., 1992]. A vantagem de uma estrutura de dados baseada nas arestas dos elementos reside no fato de que propicia uma grande redução nas operações de endereçamento indireto, na quantidade de memória requerida, e no número de operações de ponto flutuante necessárias. As operações de endereçamento indireto ainda podem ser reduzidas se estruturas de arestas mais elaboradas são utilizadas, tais como “stars, super-edges, chains” [Löhner, 2001], porém a complexidade algoritmica associada a essas alternativas reduzem a atratividade das mesmas. Neste contexto, a estrutura de dados baseada nas arestas pode ser interpretada como a representação de um grafo nodal de malhas tetraédricas em domínios tridimensionais. Outra vantagem diz respeito à possibilidade de lidar com qualquer tipo de elementos na etapa de processamento, uma vez os dados estando préprocessados, além de possibilitar de forma aproximada estender técnicas eminentemente unidimensionais num contexto multidimensional.. 1.3 Motivação e Considerações Gerais: Computação Paralela. Até a metade do século XX a pesquisa e resolução de problemas científicos e tecnológicos baseavam-se em duas metodologias: a teórica e a experimental. Com o advento do computador surge uma terceira: a metodologia computacional, que abre perspectivas próprias de desenvolvimento, complementando e suplementando as metodologias de pesquisa tradicionais. Não é surpresa que o desenvolvimento do computador, que desde seu surgimento até os dias de hoje vem apresentando impressionantes ganhos nas capacidades de velocidade e de memória, resulte em grande impacto nos processos de desenvolvimento científico e tecnológico. Na área de mecânica computacional, por exemplo, o advento da supercomputação, atingida através de processamento paralelo, permite que projetos sejam quase que completamente desen-.

(17) 6. volvidos no computador: protótipos virtuais antes dos protótipos reais. É desnecessário frisar a importância deste ganho computacional para atender à velocidade de inovações tecnológicas que sociedade e mercado demandam. Atualmente diversos grupos de pesquisa, espalhados pelo mundo, utilizam “supercomputadores” no auxílio ao desenvolvimento de pesquisas e projetos de alto impacto econômico e tecnológico, porém, o alto custo de instalação e manutenção destes “supercomputadores” vem dificultando a ampliação de novas instalações e também diminuindo a vida útil dos atuais. Para sobrepor esta dificuldade, surgiu uma alternativa com custos reduzidos, capaz de proporcionar ganhos de desempenho utilizando computadores pessoais. Esta alternativa ficou conhecida como “cluster de PC’s”, ou agrupamento de computadores pessoais (PC’s) conectados em rede de altíssima velocidade, com um conjunto de processadores podendo ser utilizados para resolver problemas de grande porte. O conceito baseia-se no fato de que muitas das tarefas executadas em computador podem ser divididas em partes e cada parte pode ser resolvida por um processador diferente. Com este novo conceito, houve um espalhamento global de grupos instalando seu próprio “cluster”, e desta forma difundindo os conhecimentos e desenvolvimentos nesta área. Essa alternativa foi tão bem aceita que os maiores computadores paralelos, em termos de velocidade e capacidade de processamento atualmente são “clusters” de computadores pessoais, tendo o “RoadRunner” da IBM instalado no “Departament of Energy’s Los Alamos National Laboratory” que possui 129.600 núcleos, alcançou a performance de 1.026 petaflop/s, sendo inclusive o primeiro a alcançar a marca dos petaflop/s. 1 petaflop/s (peta é um jargão da computação que significa o número 1 seguido de 15 zeros) equivale a 1 quatrilhão de operações de ponto flutuante por segundo. Há apenas um ano antes, o primeiro lugar pertencia ao hoje quarto colocado “BlueGene/L” da IBM, que possuía 131.072 processadores alcançando em média 280.6 teraflops com picos de 340 teraflops, e que hoje possui 212.992 núcleos. O “BlueGene” está instalado no LLNL (Lawrence Livermore National Laboratory) (www.top500.org, acessado em 15/11/2008). Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho foi desenvolver um programa computacional baseado na utilização de “clusters” de computadores pessoais de forma a analisar problemas da Dinâmica dos Fluidos Computacional de grande porte envolvendo escoamentos incompressíveis sobre domínios tridimensionais. Ainda, para determinados tipos de aplicações na atualidade, investiga-se o uso do chamado “Grid Computing”, onde diversos “clusters” são usados para resolver uma única tarefa..

(18) 7. 1.4 Objetivos e Organização Geral da Tese O objetivo central desse trabalho foi o estudo de problemas de escoamentos fluidos incompressíveis, e para tal foi desenvolvido um sistema computacional para tratar as Equações de Navier-Stokes Incompressíveis, em variáveis primitivas, em domínios tridimensionais, através do Método dos Elementos Finitos, utilizando uma malha computacional não estruturada de elementos tetraédricos lineares e uma estrutura de dados baseada nas arestas dos elementos e implementado em computadores com memória distribuída. A seguir apresenta-se uma breve descrição dos passos seguidos neste trabalho:. •. Estudo analítico das equações governantes do problema fluido, descritas em uma formulação Euleriana.. •. Estudo das técnicas numéricas e computacionais necessárias para a viabilização das soluções, por exemplo: Método dos Elementos Finitos, Estrutura de Dados por Arestas, Algoritmos de Solução, Pré-Condicionadores.. •. Obtenção de modelos numéricos simplificados visando o aprofundamento dos conceitos de estrutura de dados e Fortran 90, por exemplo: Convecção-Difusão 2D.. •. Obtenção do modelo discreto das Equações de Navier-Stokes Incompressíveis via Método dos Elementos Finitos por Arestas: obtenção dos coeficientes das arestas, montagem das matrizes e dos sistemas de equações algébricas resultantes.. •. Estudo das técnicas de programação paralela, tais como: particionamento de malha, comunicação paralela, vetores e matrizes definidas em ambientes paralelos.. •. Desenvolvimento do programa principal de Navier-Stokes Incompressível utilizando Fortran 90 e definido para computadores com memória distribuída.. •. Obtenção de resultados necessários para verificação e validação da ferramenta computacional desenvolvida.. Desta forma, ao final deste trabalho obteve-se um programa computacional capaz de tratar escoamentos fluidos incompressíveis em domínios tridimensionais, utilizando computadores com memória distribuída através de uma formulação numérica que permite uma solução monolítica a cada passo de tempo, com precisão temporal de segunda ordem..

(19) 8. O restante desta tese está organizado da seguinte maneira: no capítulo 2 são apresentadas as equações governantes e a formulação matemática utilizadas juntamente com os principais parâmetros de estabilização necessários à formulação. No capítulo 3, essa formulação matemática é discretizada espacialmente utilizando-se o Método dos Elementos Finitos dando origem à formulação numérica, e também é apresentada a estrutura de dados baseada em arestas que foi empregada, e os coeficientes associados às arestas para cada termo discreto das equações contínuas. No capítulo 4, alguns tópicos sobre computação paralela são definidos, dentre eles, a partição de domínio e suas conseqüências, a comunicação entre processadores em ambientes paralelos gerenciada via MPI, as ferramentas paralelas utilizadas via PETSc e o programa principal com detalhes sobre as rotinas desenvolvidas. No capítulo 5, alguns exemplos numéricos são mostrados para verificação e validação do código desenvolvido com respeito à eficiência na captura dos fenômenos envolvidos e à precisão temporal e/ou espacial da formulação utilizada. No capítulo 6, as principais conclusões são apresentadas, e finalizando esta etapa de trabalho, citamos novas investigações e desenvolvimentos que podem ser efetuados como continuidade da presente tese. Por último, apresentamos uma lista de referências bibliográficas utilizadas e alguns apêndices descrevendo alguns tópicos complementares de interesse e que surgiram ao longo do desenvolvimento desta tese..

(20) 9. Capítulo 2 Formulação Matemático-Numérica. 2.1 Introdução Neste trabalho estamos interessados em obter soluções para problemas de escoamentos fluidos governados pelas equações de Navier-Stokes, e neste capítulo será apresentada a formulação matemático-numérica utilizada. Primeiramente o sistema de equações de NavierStokes é apresentado, a seguir procede-se um fracionamento deste sistema para obter estabilização temporal para a pressão e é obtida uma formulação fracionada com características de estabilidade para a pressão e a velocidade. Também são apresentados nesta seção os termos de estabilização espacial para o termo convectivo, e os parâmetros importantes na obtenção desta estabilização.. 2.2 Equações de Navier-Stokes Incompressíveis Se for necessário um grande incremento de pressão para produzir um pequeno decréscimo de volume em um fluido, é razoável assumir total incompressibilidade do fluido. Esta condição é normalmente adotada para a simulação de líquidos, porém, escoamentos de gases.

(21) 10. com velocidades baixas quando comparadas com a velocidade local de propagação do som e com pequenas variações de temperatura também podem ser assumidos como incompressíveis (Curie, 1974 e White, 1991). A hipótese de incompressibilidade requer que a massa específica ρ seja constante, e a equação da continuidade, pode ser escrita, usando notação indicial, como,. ∂u j ∂x j. =0. (2.1). que representa uma restrição no campo de velocidades, que obrigatoriamente deve ser livre de divergente. Nessa equação, u j representa a componente da velocidade na direção j , e x j representa a componente espacial na direção j . Fazendo uso da Eq.(2.1), as componentes do tensor de tensões cisalhantes τ ij , considerando-se um fluido Newtoniano, podem ser escritas como,. . ∂u . ∂u j  τ ij = µ  i +  ∂ ∂ x x i   j. (2.2). onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido.. Nas situações de interesse no presente estudo, onde desconsideramos gradientes de temperatura, a viscosidade dinâmica pode ser considerada constante, e isso juntamente com a equação da continuidade permite uma simplificação da equação da conservação da quantidade de movimento. Desse modo uma grande simplificação pode ser feita no grupo de equações de Navier-Stokes sempre que os efeitos de transferência de calor não são relevantes para a análise do escoamento em questão, visto que a equação da conservação da energia fica desacoplada das equações da continuidade e da conservação da quantidade de movimento, isto é, os campos de velocidade e pressão podem ser obtidos sem a necessidade de fazer referência à equação da conservação da energia. O campo de temperatura pode ser determinado posteriormente, se necessário, a partir do campo de velocidade já obtido. Considerando-se ainda um escoamento monofásico, com viscosidade constante, essa equação pode então ser escrita como,.

(22) 11. ∂ ( ρu i ) ∂ (ρu i u j ) ∂ ( pδ ij ) ∂ 2ui + + =µ + ρf i ∂t ∂x j ∂x j ∂x j x j. (2.3). onde ρ é a massa específica do fluido, p é a pressão, t é o tempo, δ ij é o delta de Kronecker e f i é a componente do vetor de carregamentos externos. As Eqs. (2.1) a (2.3) podem ser utilizadas para a obtenção dos campos de velocidade e pressão conhecendo-se a massa específica e viscosidade do fluido e condições de contorno e iniciais. Estas equações ainda podem ser escritas em uma forma não conservativa, como uma função das variáveis primitivas ρ , u j e p , como segue,. ∂u j ∂x j. =0. ∂ 2 ui ∂u i ∂u i ∂p ρ + ρu j + =µ + ρf i ∂t ∂x j ∂x j ∂x j x j. (2.4). (2.5). onde a equação da Continuidade, Eq. (2.4), foi utilizada para simplificar a Eq. (2.3) e chegar a Eq. (2.5). As Eqs. (2.4) e (2.5) podem ser escritas usando-se notação vetorial e o operador de Euler ∇ , que representa o divergente de um campo vetorial ou o gradiente de um campo escalar re-. sultando. ∇⋅u = 0 (2.6)  ∂u  + u ⋅ ∇u  + ∇p − ∇ ⋅ τ = f  ∂t . ρ. Estas equações descrevem o movimento de um fluido Newtoniano livre de divergente com viscosidade constante. A hipótese de divergente nulo tem muitas implicações, não apenas nos conceitos físicos envolvidos e no modelo matemático que descreve o fluxo, mas também, na natureza dos algoritmos numéricos desenvolvidos para este tipo de simulação..

(23) 12. 2.2.1 Condições de Contorno para as Equações de Navier-Stokes Há duas formas de interpretar as Equações de Navier-Stokes com relação aos balanços de quantidade de movimento: a formulação convencional velocidade-pressão e a formulação tensão-divergente [Gresho e Sani, 1998, vol 2]. Essas diferentes formulações ocasionam a necessidade de diferentes condições de contorno de Neumann, ou seja, do fluxo de quantidade de movimento através das fronteiras do domínio. Esta discussão é importante devido ao fato de que imposições de condições de contorno de Newman em domínios tridimensionais necessitam que as informações sejam obtidas para as faces do contorno, que representam triângulos na malha computacional de tetraedros, e como a formulação numérica neste trabalho é obtida por arestas, não é desejável impor condições sobre as faces, visto que isto demandaria a necessidade de manter-se a estrutura de elementos das faces ao longo da simulação. A seguir apresentamos as Equações de Navier-Stokes, escritas na sua forma incompressível, ou seja, assumindo que o campo de velocidade é livre de divergente, e o que isso ocasiona em temos de condições de contorno. Seja então a equação de conservação de Quantidade de Movimento escritas na forma convencional ∂u + u ⋅ ∇u + ∇p = υ∇ ⋅ ( ∇u ) ∂t. (2.7). onde υ é a viscosidade cinemática. Por simplicidade, e sem perda de generalidade, analisamos apenas a equação no plano x − y , sendo desta forma. ∂u ∂u ∂u ∂p +u +v + = υ∇ 2u ∂t ∂x ∂y ∂x. (2.8). ∂v ∂v ∂v ∂p +u +v + = υ∇ 2 v ∂t ∂x ∂y ∂y. (2.9). onde u = uiˆ + vˆj , é o vetor velocidade do fluido, associado ao sistema de coordenadas cartesianas..

(24) 13. Completando o sistema de equações, tem-se a equação de Conservação da Massa, dada por. ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y. (2.10). Existem diversas formas de representar a Eq. (2.7), em relação aos termos viscoso e convectivo, e estas diferentes representações conduzem a diferentes formas espacialmente discretas, que geralmente não são equivalentes, e algumas vezes apresentam vantagens ou desvantagens sobre a forma da Eq. (2.7), denominada convencional. A seguir, escreveremos a Eq. (2.7) na forma conhecida como Tensão-Divergente e analisaremos as condições contorno de Newman para a velocidade neste caso. Seja então a Eq. (2.7) escrita na forma Tensão-Divergente.  ∂u  + u ⋅∇u  = ∇ ⋅ σ ≡ ∇ ⋅ ( τ − pI )  ∂t . ρ. (2.11). onde σ é o tensor de tensões total, e τ ≡ µ∇u , ou equivalentemente,.  ∂u j. τ ij = µ  .  ∂xi. +. ∂ui ∂x j.   . (2.12). e I é o tensor identidade, e τ é o tensor das tensões cisalhantes. Note que a Eq. (2.11) é realmente uma equação de balanço da quantidade de movimento, e desta forma σ é o tensor de tensões total. A razão para muitos autores preferirem esta forma de escrever as equações de Navier-Stokes, Eq. (2.11), esta relacionada à forma fraca dessa equação, quando utilizando o Método dos Elementos Finitos, pois esta representação leva à condições de contorno naturais que representam realmente as forças físicas sobre porções do contorno que necessitam condições de Newman. Para ilustrar este fato, consideremos as condições de contorno necessárias para as equações de Navier-Stokes Incompressíveis para um caso genérico. Se o fluido for considerado viscoso, então as condições de parede sólida devem ser prescritas como não penetração e não deslizamento, ou seja, as componentes normal e tangencial da velocidade do fluido devem ser.

(25) 14. idênticas às componentes normal e tangencial da velocidade da parede sólida. Em regiões de entrada do escoamento, é possível e razoável prescrever as componentes da velocidade. Ambas as condições de contorno citadas anteriormente são denominadas condições de contorno de Dirichlet. Em regiões de saída do escoamento, pode-se utilizar condições de contorno aberto, ou seja, deixar a velocidade livre. Em geral, nessa região do contorno prescreve-se pelo menos um ponto de pressão para garantir a unicidade da solução. As condições de contorno relatadas são bem conhecidas e geralmente não levantam dúvidas sobre a sua aplicação. Porém o mesmo não ocorre em regiões do domínio onde deve ser avaliado um balanço de forças, denominado “traction”. Seja a componente normal do tensor de tensões total, dado no lado direito da Eq. (2.11), i.e., σ ⋅ n = µ∇u ⋅ n − pn = F. (2.13). onde n é o versor normal apontando para fora do domínio, F é a força por unidade de área aplicada no contorno, que é válida para superfícies de qualquer forma, porém, analisamos apenas superfícies planas. Desta forma, a Eq. (2.13) pode ser escrita como. µ. ∂u − pn = F ∂n. (2.14). Seja então o vetor das forças aplicadas escrito como.  Fx   e ⋅ σ ⋅ n   nx ( µ∂u / ∂x − p ) + n y µ ( ∂u / ∂y )  F= = 1  =  Fy  e 2 ⋅ σ ⋅ n   nx µ ( ∂v / ∂x ) + n y ( µ∂v / ∂y − p ) . (2.15). onde e1 e e2 são os versores das direções x e y , respectivamente, e n ⋅ t = 0 , onde n e t são as direções normal e tangencial à superfície de contorno, respectivamente. Desta forma, usando as definições anteriores, e Fn = nx Fx + n y Fy , Ft = t x Fx + t y Fy , na Eq. (2.15), temos.   ∂u Fn = nx Fx + n y Fy = nx  nx  µ −   ∂x.   ∂v ∂u  ∂v  p  + n y µ  + n y  nx µ + n y  µ − ∂y  ∂x   ∂y .  p  = .

(26) 15.  ∂u nx2  µ −  ∂x nx2 µ.  ∂v ∂u ∂v  p  + nx n y µ + nx n y µ + n 2y  µ − ∂y ∂x   ∂y.  ∂u ∂v  ∂u ∂v + nx n y µ  +  + n y2 µ − p nx2 + n y2 ∂x ∂y  ∂y ∂x . (. (. ).  p = . ). 2. como nx2 + ny2 = n = 1 , resulta. Fn = nx2 µ.  ∂u ∂v  ∂u ∂v + nx n y µ  +  + n y2 µ ∂x ∂y  ∂y ∂x . Definindo agora Ft = t x Fx + t y Fy , temos.    ∂u  ∂v  ∂u  ∂v  Fτ = τ x Fx + τ y Fy = t x  nx  µ − p  + ny µ  + t y  nx µ + ny  µ − p   = ∂y  ∂x    ∂x  ∂y   t x nx µ. ∂u ∂u ∂v ∂v − t x nx p + t x n y µ + t y nx µ + t y n y µ − t y n y p = ∂x ∂y ∂x ∂y. t x nx µ. ∂u ∂u ∂v ∂v + t x ny µ + t y n x µ + t y n y µ − t x nx p − t y n y p = ∂x ∂y ∂x ∂y. t x nx µ. ∂u ∂u ∂v ∂v + tx ny µ + t y nx µ + t y n y µ ∂x ∂y ∂x ∂y. pois −t x nx p − t y n y p = −(t x nx + t y n y ) p = −(t ⋅ n) p = 0 , pois t e n são os versores das direções tangente e normal à superfície, respectivamente, logo são ortogonais. Desta forma o vetor das forças aplicadas pode ser escrito nas direções tangencial e normal à superfície como dado na Eq. (2.16) a seguir: 2 2  Fn  n ⋅ σ ⋅ n   µ  nx ∂u / ∂x + nx n y ( ∂u / ∂y + ∂v / ∂x ) + n y ∂v / ∂y  − p   F= = =  Ft   t ⋅ σ ⋅ n   µ t x nx ∂u / ∂x + tn y ∂u / ∂y + t y nx ∂v / ∂x + t y n y ∂v / ∂y  . (2.16). Retornando para a Eq. (2.11), e olhando apenas para a equação de Conservação da Quantidade de Movimento na direção x, podemos escrevê-la como:.

(27) 16. Du = ∇ ⋅σx Dt. onde D. Dt. (2.17). é a derivada total, ou material da variável u , e com.  ∂u   ∂u  σ x = e x υ − p  + e yυ    ∂x   ∂y . (2.18). Aplicando-se o Método dos Resíduos Ponderados na Eq. (2.17), com função de ponderação φ , e integrando por partes o segundo termo da Eq. (2.17) obtém-se a forma fraca. Du. ∫ φ Dt d Ω = ∫ φ∇ ⋅ σ d Ω = ∫ φn ⋅ σ d Γ − ∫ ∇φ ⋅ σ x. Ω. Ω. x. Γ. (2.19). x. Ω. ou.  Du. ∫  φ Dt + ∇φ ⋅ σ. Ω. x.   d Ω = ∫ φn ⋅ σ x d Γ  Γ. (2.20). Expandindo a equação anterior, fazendo o uso da Eq. (2.16), temos.  Du. ∂φ  ∂u. .  ∂φ  ∂u  . ∫ φ Dt + ∂x υ ∂x − p  + ∂y υ  ∂y   d Ω = ∫ φ n. Ω. . Γ. x.  ∂u − υ  ∂x.  ∂u    p  + nyυ    d Γ   ∂y  . (2.21). ou ainda,.  Du. . ∂φ . ∫ φ Dt + υ∇φ ⋅∇u − p ∂x  d Ω = ∫ φ n. Ω. Γ. x.  ∂u − υ  ∂x.  ∂u    p  + nyυ    d Γ   ∂y  . (2.22). Note que o termo no contorno é uma condição de contorno natural para esta forma de escrever as equações de Conservação da Quantidade de Movimento:.

(28) 17.  ∂u n ⋅ σ x = nx  υ −  ∂x.  ∂u   p  + n yυ   = Fx   ∂y . (2.23). onde Fx é a força aplicada, por unidade de área, na direção x, que é prescrita. Logo a integral no contorno resulta. ∫ φF dΓ x. (2.24). Γ. Então Fx é a verdadeira componente na direção x, do vetor “traction”, que representa uma força física aplicada no contorno. Se Fx = 0 em Γ , então nada precisa ser feito no contorno, ou seja, a variável fica livre. Diante do que foi visto anteriormente, é preciso cuidado na prescrição das condições de Neuman nas Equações de Navier-Stokes. Vamos agora obter as condições que devem ser aplicadas para as diferentes formulações.. 2.2.2 Condições de contorno de Newman para a velocidade nas Equações de NavierStokes: As condições de contorno têm que ser aplicadas de acordo com a forma que as equações estão escritas, por exemplo: 1) Forma Tradicional das Equações de Navier-Stokes.  ∂u  + u ⋅ ∇u  = −∇p + µ∇ 2u  ∂t . ρ. (2.25). ∇⋅u = 0. (2.26). Aplicando-se o Método dos Elementos Finitos para obter a forma fraca e integrando por partes o termo viscoso, surge a seguinte integral no contorno, considerando a direção x..

(29) 18. ∫ φn ⋅ τ dΓ. (2.27). x. Γ. com. τ x = ex µ. ∂u ∂u + eyµ ∂x ∂y. (2.28). onde τ x é o tensor de tensões cisalhantes na direção x. As condições de contorno de Newman para este termo precisam ser funções das derivadas das componentes do vetor velocidade, na direção normal ao contorno, ou seja:. ∂u ∂v e ∂n ∂n 2) Forma “tensão-divergente” das Equações de Navier-Stokes.  ∂u  + u ⋅ ∇ u  = ∇ ⋅ σ = ∇ ⋅ (τ − pI )  ∂t . ρ. (2.29). com. τ = µ ( ∇u ). (2.30). Neste caso a integração por partes aplica-se também ao gradiente de pressão, logo a integral no contorno resulta. ∫ σ ⋅ ndΓ = ∫ (τ − pI )⋅ ndΓ Γ. (2.31). Γ. onde σ é conhecido como “total stress tensor”, pois considera as tensões cisalhantes e normais. Esta forma é preferida por muitos autores porque representa realmente um balanço das forças aplicadas dado pelas equações de Conservação da Quantidade de Movimento, e as.

(30) 19. condições de contorno, por sua vez são as forças físicas aplicadas a estes contornos. Então, as condições de contorno apropriadas resultam: Para u:.  ∂u   ∂u  nx  µ − p  + n y µ   = Fx  ∂x   ∂y . em ΓuN. (2.32). em ΓuD. u=u. (2.33). Para v:.  ∂v   ∂v  n y  µ − p  + nx µ   = Fy  ∂y   ∂y . v=v. em ΓvN. (2.34). em ΓvD. (2.35). onde ΓuN é a parte do contorno onde são prescritas as condições de contorno de Newman para a componente da velocidade na direção x, ΓuD é a parte do contorno onde são prescritas as condições de contorno de Dirichlet para a componente da velocidade na direção x, ΓvN é a parte do contorno onde são prescritas as condições de contorno de Newman para a componente da velocidade na direção y, e ΓvD é a parte do contorno onde são prescritas as condições de contorno de Dirichlet para a componente da velocidade na direção y. Sendo Γu = ΓuD ∪ ΓuN e. Γv = Γ vD ∪ Γ vN o contorno do domínio de interesse. u é o valor da velocidade na direção x prescrito em ΓuD e v é o valor da velocidade na direção y prescrito em ΓvD . Concluindo, note que quando o ∇p é integrado por partes, basta prescrever Fx e Fy , e quando o ∇p não é integrado por partes, é preciso prescrever. ∂u ∂v e . ∂n ∂n. Neste trabalho utilizou-se a forma tradicional, portanto o gradiente de pressão não foi integrado por partes, e dessa forma as condições no contorno de Newman para a velocidade são funções apenas das tensões cisalhantes, da seguinte maneira:.

(31) 20. ∫ τ ⋅ nd Γ. (2.36). Γ. com.  ∂ui. τ ij = µ  .  ∂x j. +. ∂u j   ∂xi . (2.37). Considerando-se escoamentos incompressíveis, as condições de fluxo prescrito podem ser impostas diretamente no campo de velocidades, como condições de Dirichlet, e as condições de escoamento livre em regiões do contorno longe de obstáculos, podem ser prescritas utilizando o conceito de “traction free”, da seguinte maneira:. ∂u n =0 ∂n. (2.38). E desta forma, o sistema de equações de Navier-Stokes fica bem posto com as condições de contorno de Newman (prescrição de fluxo) destacadas acima, e as condições de contorno de Dirichlet (prescrição do valor da variável), sendo Γ = Γ D ∪ Γ N , e Γ D ∩ Γ N = ∅ .. 2.2.3 Dificuldades Associadas aos Fluxos Incompressíveis. Algumas dificuldades associadas à simulação numérica de escoamentos de fluidos incompressíveis são discutidas nesta seção. A primeira dificuldade diz respeito à presença do termo convectivo nas equações de conservação da quantidade de movimento, visto que este termo é não simétrico e não linear, e o método de Galerkin padrão é instável quando aplicado a tal termo. Estas instabilidades aumentam com o aumento do número de Reynolds, pois os fluxos com convecção dominante determinam maior importância do termo convectivo. Estas instabilidades podem ser evitadas usando técnicas de estabilização, tais como SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) [Brooks e Hughes, 1982], GLS (Galerkin Least Squares) [Hughes et al., 1989, Franca et al., 1988], SGS (Subgrid Scale) [Codina et al., 2006]. Estes métodos são essenciais na obtenção.

(32) 21. de soluções numéricas de escoamentos incompressíveis na presença de fenômenos convectivos dominantes. Outra dificuldade numérica é imposta pela própria condição de incompressibilidade, que para fluxos incompressíveis resulta na imposição de ocorrência de um campo de velocidade solenoidal, ou seja, livre de divergente. Neste caso a pressão deve ser considerada como uma variável sem nenhuma relação com equações constitutivas. Sendo assim, a presença de termos de pressão na equação de conservação da quantidade de movimento introduz um grau de liberdade adicional de forma a satisfazer a restrição de incompressibilidade. Esta formulação matemática pode ser entendida se considerarmos a pressão como um multiplicador de Lagrange, caracterizando o acoplamento entre as variáveis de pressão e velocidade. Neste trabalho estamos utilizando uma formulação baseada nas variáveis primitivas, velocidade e pressão, das equações de Navier-Stokes, caracterizando um método dos Elementos Finitos Mistos [Zienkiewicz e Taylor, 1988]. Estes métodos apresentam dificuldades numéricas devido ao fato da ocorrência de ponto de sela que resulta do problema variacional associado. Esta ocorrência faz com que o sistema algébrico para os valores nodais das variáveis de velocidade e pressão, quando utilizando-se uma formulação de Galerkin, seja governado por uma matriz particionada que contém uma submatriz nula sobre uma diagonal. Desta forma a solução do sistema algébrico depende da escolha dos espaços de elementos finitos para velocidade e pressão. Estes espaços devem satisfazer uma condição de compatibilidade, conhecida como “LBB Condition” (Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi) [De Sampaio, 1991, Gresho e Sani, 1998, Hughes et al., 1996, Zienkiewicz e Taylor, 1988], que identifica as condições que devem ser satisfeitas pelos espaços de elementos finitos de forma a tornar a formulação numérica estável.. Condição de Ladyzhenskaya, Babuska e Brezzi (LBB Condition). Dado que o sistema algébrico resultante possui uma submatriz nula sobre a diagonal, é preciso definir sob quais condições este sistema pode ser resolvido. Obviamente estas condições precisam estar associadas às variáveis de velocidade e pressão, pois, dado o sistema. K G T . G  u   f  = 0  p  h . (2.39).

(33) 22. vemos que se o núcleo da matriz G é nulo, N(G) = {0} , então a matriz global é não singular e desta forma as variáveis de velocidade e pressão são unicamente definidas. Entretanto se o núcleo, ou espaço nulo da matriz G não for nulo, então as soluções obtidas apresentam convergência para as variáveis de velocidade, mas resultam em oscilações no campo de pressão. Neste contexto, Ladyzhenskaya em 1969, Babuska em 1970/1071 e Brezzi em 1974 determinaram uma condição de compatibilidade, conhecida como “LBB condition”, que os espaços discretos devem satisfazer para garantir a estabilidade dos métodos dos elementos mistos. A não satisfação desta condição implica no aparecimento de oscilações espaciais no campo de pressão, usualmente denominadas modos de oscilações espúrias. Estas oscilações não físicas surgem devido aos resíduos oriundos do fato de que o campo de velocidade obtido solução das equações de conservação da quantidade de movimento não garantem um campo solenoidal. A “LBB condition” diz que os espaços discretos utilizados para as variáveis de velocidade e pressão não podem ser escolhidos de forma arbitrária, é preciso que estejam relacionados. Para ilustrar este fato, consideremos o sistema matricial resultante das equações de NavierStokes dado pelas Eq. (2.39), onde K neq ×neq é uma matriz quadrada de ordem neq , G neq ×nˆeq é uma matriz retangular, e u é o vetor das variáveis de velocidade, p é o vetor das variáveis de pressão, f e h são os vetores das contribuições dos carregamentos e valores prescritos no contorno, com as respectivas dimensões relativas às matrizes definidas, sendo neq o número de variáveis de velocidade, e nˆ eq o número de variáveis de pressão. Note que para garantir que o sistema seja compatível e determinado, ou seja, possua solução única, as matrizes do sistema precisam possuir posto completo, ou seja, a dimensão do espaço das linhas de cada matriz deve ser igual à dimensão da matriz quadrada associada a cada matriz. Neste caso, como K é uma matriz regular, então rank (K ) = neq , implicando que os vetores linha de G T devem ser linearmente independentes para garantir o posto completo do sistema algébrico. Então rank (G T ) = nˆeq . Como a matriz G T possui neq linhas, uma condição necessária é que nˆ eq ≤ neq . Isso significa que uma condição necessária, mas não suficiente para a obtenção da solução do sistema algébrico é que o espaço discreto que define as variáveis de pressão deve possuir dimensão menor ou igual ao espaço discreto que define as variáveis de velocidade. A condição suficiente que relaciona os espaços discretos definidos é dada pela “LBB condition” de compatibilidade, que diz que: “a existência de uma solução aproximada de ele-.

(34) 23. (. ). mentos finitos estável u h , p h depende da escolha dos espaços discretos V h e Q h , tal que a seguinte condição seja satisfeita:. (q ,∇ ⋅ w ) ≥ α > 0 h. inf sup q. q h ∈Q h w h ∈V h. Q. h. h. wh. V. (2.40). h. onde inf, é o maior limitante inferior, sup é o menor limitante superior, α é um parâmetro independente do tamanho da malha, i é a norma L2 , ( a, b ) = ∫ a ⋅ bd Ω é uma forma bilinear Ω. contínua de Q × V → . Se a “LBB condition” de compatibilidade é satisfeita, então existe um único u h ∈ V h e um p h ∈ Q h que resolve o sistema algébrico. Desta forma, a “LBB condition” é uma condição necessária e suficiente para a resolução satisfatória do sistema. Perceba que verificar a “LBB condition” não é tarefa simples, porém notamos que a satisfação desta condição diz respeito aos espaços de interpolação das variáveis de pressão e velocidade que são definidos de forma algébrica. Sendo assim, podemos encontrar as restrições na definição destes espaços de forma que a condição seja satisfeita [De Sampaio, 1991]. Seja o sistema da Eq. (2.39), onde u e p são as variáveis livres associados aos campos de velocidade e pressão, respectivamente. Assumindo que existem nu variáveis de velocidade e np variáveis de pressão. Desta forma as matrizes K , G e G T possuem dimensão nu × nu , nu × np e np × nu , respectivamente. Note que a matriz K corresponde a discretização dos termos de massa, convecção e difusão, e que se considerarmos o fluxo de Stokes, então esta matriz é simétrica e positiva definida, portanto possuindo todos os autovalores e pivots positivos e assim garantindo a não singularidade. Então é possível escrever a partir do sistema (2.39) Ku + Gp = f. (2.41). então, isolando o termo Gp na Eq. (2.41), resulta. Gp = f − Ku. Multiplicando agora a Eq. (2.42) por K −1 , visto que K é inversível resulta. (2.42).

(35) 24. K −1Gp = K −1f − K −1Ku. (2.43). e como K −1K = I , e ainda multiplicando a Eq. (2.43) por G T temos G T K −1Gp = G T K −1f − G T u. (2.44). Agora, substituindo G T u = h na Eq. (2.44) resulta G T K −1Gp = G T K −1f − h. (2.45). e definindo H = G T K −1G. (2.46). tem-se Hp = G T K −1f − h. (2.47). Note que a matriz H não pode ter posto maior do que nu , que é o posto da matriz K , e portanto, da matriz K −1 . Por outro lado, para se obter uma solução única para a pressão, o posto da matriz H deve ser np , logo a seguinte desigualdade é necessária para garantir a estabilidade do sistema.. np ≤ nu. (2.48). Porém, a condição dada em (2.48) não é suficiente para garantir a não singularidade da matriz H . Para tal, o espaço nulo da matriz G deve ser zero, N(G) = {0} , ou seja Gp = 0 se e somente se p = 0 .. Assim, a “LBB condition” fica satisfeita se as Eqs. (2.48) e (2.49) forem satisfeitas.. (2.49).

(36) 25. 2.2.5 Formulação de Elementos Finitos Estabilizada. As formulações numéricas baseadas no método de Galerkin resultam em aproximações instáveis para as variáveis de velocidade e pressão quando os escoamentos apresentam convecção dominante, pois aproximações de Galerkin são aproximações do tipo centradas. Entretanto é possível obter formulações de elementos finitos, denominadas estabilizadas, que permitem o uso de espaços discretos de mesma dimensão para as variáveis de velocidade e pressão, satisfazendo a “LBB condition”, e ainda possibilitando a solução de problemas de escoamentos com elevado número de Reynolds. Segundo Tezduyar (1992), formulações estabilizadas de elementos finitos para as equações de Navier-Stokes são obtidas com a adição à formulação padrão de Galerkin de termos de estabilização, baseados no fato de que em escoamentos com fenômenos convectivos dominantes, as aproximações não podem exceder primeira ordem, pelo menos não em regiões do escoamento que apresentam gradientes de pressão acentuados, desta forma evitando oscilações espúrias principalmente no campo de pressão. Neste caso, então a redução da ordem da aproximação, de segunda ordem, referente ao método de Galerkin, para primeira ordem, pode ser obtida adicionando-se termos de difusão adicional, numérica, controladas por algum parâmetro que identifique as regiões onde esta redução da ordem de aproximação faz-se necessária, e apenas nestas regiões reduza a ordem da aproximação, e mantendo segunda ordem no restante do domínio. Os termos associados com os parâmetros de estabilização permitem o uso de elementos finitos mistos com mesma ordem de interpolação para as variáveis de velocidade e pressão, sendo ainda estes termos, resíduos ponderados que garantem a consistência da formulação.. 2.3 Método do Passo Fracionado. Um método bastante popular utilizado para discretizar as equações de Navier-Stokes no tempo é o Método do Passo Fracional (Fractional Step Method) (Donea e Huerta, 2003) , que consiste em obter o avanço no tempo através da decomposição do passo no tempo em uma seqüência de dois ou mais passos. Estes métodos foram desenvolvidos para as equações de Navier-Stokes independentemente por Chorin, 1968 e Teman, 1969. Esta decomposição permite superar as dificuldades numéricas associadas ao problema de ponto de sela que originase da formulação variacional das Equações de Navier-Stokes. A idéia básica é dividir o trata-.