Conclusões

Uma formulação matemático-numérica, monolítica, implícita, e com propriedades de es- tabilidade para a pressão e para a convecção, discretizada através da aplicação do Método dos Elementos Finitos e o Método do Passo Fracional, baseado em uma estrutura de dados por a- restas, e utilizando computadores com memória distribuída foi apresentada para resolver pro- blemas governados pelas equações de Navier-Stokes escritas na sua forma incompressível, nas variáveis primitivas e sobre domínios tridimensionais. Resultados numéricos foram obti- dos, e comparados com resultados obtidos por outros autores, indicando de forma promissora a eficiência da formulação para simular escoamentos laminares com diferentes números de Reynolds. O caráter implícito da formulação é atrativo para análise de problemas transientes onde o passo de tempo crítico do problema (limite de estabilidade da formulação explícita) é ordens de magnitude menor do que o passo de tempo necessário para a obtenção de resultados acurados, ou seja, o passo de tempo físico.

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Os casos estudados neste trabalho compreendem diversas situações que podem ocorrer na Dinâmica dos Fluidos Computacional, quando os fenômenos caracterizam escoamentos in- compressíveis. Estudamos situações onde existe um regime permanente, obtendo dados que permitem avaliar a ferramenta desenvolvida em termos de captura dos fenômenos físicos en- volvidos e da própria solução em regime permanente. Estudamos também casos onde não há o regime permanente, analisando a precisão temporal em situações onde, por exemplo, existe um regime periódico, como a formação da esteira de vórtices no escoamento sobre um cilin- dro circular. Todas as etapas deste trabalho estão descritas nos capítulos anteriores com deta- lhes.

Este é um vasto campo de pesquisa e certamente são muitos os avanços a serem realizados de maneira a tornar nossa ferramenta computacional mais versátil e eficaz. Contudo, ao final deste trabalho obteve-se uma ferramenta capaz de tratar escoamentos governados pelas equa- ções de Navier-Stokes na sua forma incompressível sobre domínios tridimensionais de manei- ra eficiente e com baixo custo, viabilizando as análises de diferentes situações encontradas na engenharia.

Ressaltamos ainda que este trabalho foi desenvolvido a partir da linha zero nos desenvol- vimentos teórico e computacional, sendo que diversas etapas foram concluídas superando grandes dificuldades. Dentre estas etapas, destacamos que a formulação matemática foi pri- meiramente desenvolvida em 2D e implementada serialmente em MATLAB, onde constata- mos a eficiência da formulação quanto à discretização espacial por Elementos Finitos e Método do Passo Fracional e temporal utilizando “Euler Backward”. O desenvolvimento da formulação numérica, através de uma estrutura de dados baseada nas arestas foi obtido, com o desenvolvimento de um pré-condicionador para determinar os coeficientes das arestas. A par- tir deste ponto foi desenvolvida a formulação matemática para domínios 3D, com a determi- nação analítica dos coeficientes das arestas e desenvolvimento do pré-condicionador para domínios 3D, que foi implementado pelo professor Ramiro Brito, e posteirormente por Rogé- rio Soares. Neste ponto iniciaram-se os estudos de computação paralela, onde foi iniciado o desenvolvimento de ferramentas para este tipo de arquitetura de computadores. Primeiramente foi desenvolvido um programa para particionar um domínio 3D considerando-se as arestas dos elementos tetraédricos da malha. Este programa utilizou extensivamente as capacidades do MPI e do PETSc para montar uma matriz de adjacências das arestas, sem que, em nenhum momento a malha computacional seja totalmente carregada por um único processador. E após obter uma malha particionada iniciamos o desenvolvimento do programa de análise de esco- amentos fluidos, que foi desenvolvido de forma que nenhuma etapa da simulação seja realiza-

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da de maneira seqüencial. Novamente foram utilizadas em grande quantidade as ferramentas do MPI e PETSc. As grandes dificuldades encontradas ao longo da realização deste trabalho estão centradas na implementação paralela, pois como autor deste trabalho não possuía expe- riência na área, e as questões relativas à computação paralela não são nada triviais. A cada di- ficuldade encontrada havia uma extensa pesquisa para o desenvolvimento da solução. Sendo assim, este trabalho constitui-se, antes de qualquer coisa, em um intenso aprendizado e en- grandecimento científico e acadêmico do autor.

6.2 Trabalhos Futuros

O sistema computacional desenvolvido neste trabalho, como mencionado anteirormente, nos possibilita a expandir nossa capacidade de análise, se considerarmos a inclusão de novas flexibilidades, inicialmente com estudos mais aprofundados na investigação de resolvedores para sistemas lineares não simétricos, de forma a determinar de maneira mais precisa os pa- râmetros de convergência de métodos como o GMRES, e também na investigação de desem- penho computacional, analisando curvas de “speed-up” para diferentes problemas de maneira a se obter as melhores condições de processamento para cada caso. De forma mais detalhada, citamos a seguir algumas linhas que serão desenvolvidas como seqüência deste trabalho:

Interação Fluido-Estrutura

Neste caso, a formulação matemática já foi desenvolvida para tratar fenômenos onde um fluido interage com uma estrutura. A implementação computacional usando uma descrição do tipo ALE (Arbitrary Lagrangean-Eulerian) já foi realizada em domínios 2D pelo autor deste trabalho [Antunes et al., 2005], incluindo ferramentas de movimentação e atualização de ma- lhas. Devido à forma estruturada como foi desenvolvido o algoritmo principal deste trabalho, acreditamos que esta nova etapa será rapidamente concluída.

Este tema é de extremo interesse social e econômico, pois a simulação de escoamentos incompressíveis sobre domínios tridimensionais, que caracteriza uma importante classe de a- plicações em muitos campos da engenharia, tendo como exemplos, o escoamento sobre estru- turas de grande altura, como prédios e torres, escoamentos internos em dutos flexíveis, como “risers” utilizados na indústria do petróleo, escoamentos ao redor de estruturas aero e hidrodi-

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nâmicas, permitindo a determinação de parâmetros que influenciam na integridade destas es- truturas com antecedência. Nesta mesma linha de raciocínio, estruturas de grande altura estão submetidas à ação de ventos que interagem com a estrutura gerando oscilações prejudiciais à integridade da estrutura e desconfortável para os seres humanos, uma vez que o escoamento fluido influencia o comportamento estrutural e vice-versa. Neste sentido, a simulação dos fe- nômenos fluido e estrutural deve ser realizada de forma acoplada para modelarmos de forma mais realista esta classe de problemas. Ainda neste sentido, é possível determinar as melhores condições de funcionamento das estruturas conhecendo-se os efeitos dos escoamentos fluidos, em termos de carregamentos, sobre estas estruturas. Neste caso necessita-se o desenvolvimen- to das formulações matemáticas dos fenômenos fluido e estrutural, assim como o correto tra- tamento da interface entre os campos e o tratamento da malha dinâmica. Em termos do tratamento da interface entre os campos, ressaltamos que o desenvolvimento de ferramentas específicas para este fim, possibilita o acoplamento não apenas de diferentes campos físicos, mas também de diferentes programas computacionais que resolvam estes campos, por exem- plo, é possível acoplar o nosso simulador de escoamentos fluidos com o ANSYS como simu- lador do campo estrutural. Desta forma é extremamente importante esta etapa do desenvolvimento futura. Também vale ressaltar que estes desenvolvimentos devem ser com- patíveis para a simulação em computadores paralelos com memória distribuída. Desta forma uma aplicação futura das ferramentas de alto desempenho desenvolvidas nesta tese será o es- tudo de fenômenos fluido-estruturais acoplados.

Modelos de Turbulência

Incorporar ao sistema computacional desenvolvido a capacidade de analisar fenômenos com elevados números de Reynolds também é extremamente importante, visto que muitos fe- nômenos de interesse desenvolvem-se em regimes turbulentos. Em vista disso, alguns mode- los de turbulência apresentam características muito similares às características da formulação matemática desenvolvida neste trabalho, visto que os modelos de estabilização das equações neste trabalho apresentam estreita relação com os modelos de turbulência de sub-escala [De Sampaio et al., 2001, De Sampaio et al., 2007, Lesieur et al., 2005, Mathieu e Scott, 2000]. Os modelos de sub-escala ou Sub-Grid Scale (SGS) baseiam-se no fato de que apenas as me- nores escalas devem ser modeladas, e que as grandes escalas são resolvidas pela malha com- putacional. Neste sentido, a simulação numérica de grandes escalas (LES) é uma alternativa

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que possui grande atrativo do ponto de vista computacional, pois aproveita-se do fato que os maiores turbilhões dominam a física de qualquer escoamento turbulento, sendo os responsá- veis pelo transporte da maior parte da quantidade de movimento e energia, especialmente nas regiões de recirculação e nos escoamentos cisalhantes livres. Este objetivo é alcançado com a aplicação de um filtro nas equações governantes do escoamento, que divide o campo de esco- amento em grandes escalas, que representa a parte filtrada das equações, e pequenas escalas, que correspondem às escalas submalha. Diversos modelos de escalas submalha podem ser tes- tados, dentre eles citamos: Modelo de Smagorinsk, Combinação Linear e Modelo Dinâmico, como os mais populares. Este tema também representa uma possível continuidade deste traba- lho.

Fluidos Não-Newtonianos

Incluir modelos de fluidos não-newtonianos é interessante para podermos analisar fenô- menos importantes, como por exemplo o escoamento sanguíneo, visto que atualmente uma área em extrema expansão é a bioengenharia, e muitos avanços têm sido feitos nesta área. Neste caso determinar expressões para a viscosidade de fluidos não-newtonianos é de interes- se deste autor.

Adaptação de Malha

Mesmo que esta ferramenta seja funcional para ambientes paralelos possibilitando assim o uso de malhas refinadas, é sempre interessante a capacidade de adaptar malhas e gerar com is- so garantias de acurácia e ganho computacional na análise de problemas de grande porte. Também é atrativa esta capacidade na captura dos fenômenos de pequena escala envolvidos, visto que estes muitas vezes necessitam diferentes graus de refinamento em diferentes regiões do domínio. Atualmente o grupo de pesquisa PADMEC (Processamento de Alto Desempenho na Mecânica Computacional), ao qual o autor faz parte, possui integrantes desenvolvendo es- tudos nesta área, e já com várias capacidades desenvolvidas, e que poderia vir a ser incorpo- rada no nosso programa.

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Otimização Estrutural com Interação Fluido-Estrutura

Também é colocado como projeto futuro a inclusão da capacidade de realização de otimi- zação de forma, visto que a otimalidade em projetos é hoje uma crescente área de estudo, e neste caminho, realizar esta otimização em fenômenos onde ocorrem iterações fluido- estruturais é de grande importância em várias áreas da engenharia, como por exemplo, o pro- jeto ótimo de estruturas que estão submetidas a carregamentos provenientes de escoamentos fluidos, tais como na indústria aeronáutica e na indústria do petróleo gerando oscilações peri- gosas para a sua integridade estrutural.

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