Fluxo de carga trifásico: programa e aplicações.

RANIERI SILVA LEITE

FLUXO DE CARGA TRIFÁSICO : PROGRAMA E APLICAÇÕES

Dissertação a p r e s e n t a d a a Coordenação de Pós-Graduaoão em E n g e n h a r i a Elétrica da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l da Paraíba, em cumprimento às exigências p a r a a obtenção do g r a u de M e s t r e em E n g e n h a r i a Elétrica.

ÁREA DK CONCENTRAÇÃO : Processamento de E n e r g i a

ORIENTADORES : W a s h i n g t o n E v a n g e l i s t a de Macedo W e l l i n g t o n Santos Mota

CAMPINA GRANDE DEZEMBRO DE 1091

F L U X O DE CARGA T R I F Á S I C O : PROGRAMA E A P L I C A Ç Õ E S

RANIER I S I L V A L E I T E

D I S S E R T A Ç Ã O APROVADA EM

C / 1! -L .

WELLINGTON CANTOSCMOTAV-Ph.D., UFPE O r i e n t a d o r

V

WASHINGTON" E V A N G E L I S T A DE MACEDO, M e s t r e o r i e n t a d o

-E L I A \HE MARISE RAPOSO DE CARVALHO r M e s t r e : UFPB C o m p o n e n t e d a B a n c a

M I S A E L E l I AS DE MOR A I S < T > r . - I n C o m p o n e n t e a a B a n c a

U F P E :

CAMPINA GRANDE - F'E< DEZEMBRO - 3.99:

AGRADECIMENTOS

- Aos meus p a i s p e l o a p o i o e i n c e n t i v o a l u t a .

- Ao p r o f e s s o r W a s h i n g t o n E v a n g e l i s t a de Macedo p e l a orientação p r e s t a d a n e s t e t r a b a l h o .

- Ao E n g e n h e i r o João V i a n a da Fonseca p e l a colaboração e permanente estímulo.

A p r o f e s s o r a E l i a n e M a r i s e Raposo de C a r v a l h o , p e l a a j u d a na elaboração f i n a l do t r a b a l h o .

- A t o d o s os que me deitam, d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e , sua p a r c e l a de colaboração.

ABSTRAT T h i s w o r k d e s c r i b e s a t h r e e phase l o a d f l o w program d e v e l o p e d f o r t h e a n a l y s i s o f p o s s i b l e u n b a l a n c e e f f e c t s a r i s i n g i n s y s t e m c o n f i g u r a t i o n , s o u r c e and l o a d c o n d i t i o n s . The r e p r e s e n t a t i o n o f d i f f e r e n t e l e m e n t s o f an e l e c t r i c n e t w o r k i s e l a b o r a t e d t h r o u g h a phase q u a n t i t i e s b o a r d i n g based on s t e a d y s t a t e o p e r a t i o n s i m u l a t i o n . The i t e r a t i v e s o l u t i o n p r o c e s s o f t h r e e phase l o a d f l o w i s based on f a s t d e c o u p l e d Newton-Raphson method, w i c h was chosen due t o i t s r e l i a b i l i t y and low c o m p u t a t i o n e f f o r t .

The f l e x i b i l i t y o f t h e p r o p o s e d d i g i t a l s i m u l a t i o n o f f e r s means f o r s o l v i n g a l a r g e v a r i e t y o f p r o b l e m s r e l a t e d t o n e t w o r k s o p e r a t i o n and p l a n n i n g . For a p p l i c a t i o n p u r p o s e s , t h e a n a l y s i s o f t h r e e power systems w i t h d i f f e r e n t p e c u l i a r f e a t u r e s a r e r e a l i z e d .

RESUMO

E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a a simulação d i g i t a l do f l u x o de c a r g a trifásico que o b j e t i v a e s t u d a r os e f e i t o s dos desbalanços nos s i s t e m a s de potência p r o v o c a d o s p e l a configuração da r e d e , condições de c a r g a s e f o n t e s .

A representação dos e l e m e n t o s c o n s t i t u i n t e s .da r e d e eléctrica é f e i t a através de uma abordagem em componentes de f a s e de a c o r d o com a simulação da operação em r e g i m e permanente. Contudo, é a p r e s e n t a d o uma m e t o d o l o g i a trifásica de modelamento de g e r a d o r e s , t r a n s f o r m a d o r e s , l i n h a s de transmissão e c a r g a s .

0 p r o c e s s o i t e r a t i v o de solução do f l u x o de c a r g a trifásico b a s e i a - s e no método de Newton-Raphson d e s a c o p l a d o rápido adotado p o r sua c o n f i a b i l i d a d e e r e d u z i d o esforço c o m p u t a c i o n a l .

A f l e x i b i l i d a d e da simulação d i g i t a l a p r e s e n t a d a o f e r e c e meios de resolução de uma grande v a r i e d a d e de p r o b l e m a s v i n c u l a d o s a operação e p l a n e j a m e n t o das r e d e s . A t i t u l o de aplicação é f e i t a a análise de três s i s t e m a s de potência que apresentam características p e c u l i a r e s d i s t i n t a s .

Í N D I C E CAPÍTULO PÁGINA I - INTRODUÇÃO. 1 1.1 - Formulação do p r o b l e m a 1 1.2 - Motivação da p e s q u i s a 2 1.3 - Contribuição da p e s q u i s a 3 1.4 - Revisão Bibliográfica 4 1.5 - Considerações g e r a i s s o b r e o método a p l i c a d o . . . . 6

1.6 - Conteúdo dos capítulos s u b s e q u e n t e s 7

I I - MODELAMENTO DE UM SISTEMA DE POTÊNCIA TRIFÁSICO. 8

2.1 - Introdução 8 2.2 - Modelamento trifásico dos e l e m e n t o s do s i s t e m a . . 9

2.2.1 - Modelamento d o s g e r a d o r e s 9 2.2.1.1 - A t e r r a m e n t o das máquinas elétricas 12

2.2.2 - Modelamento de c a r g a s 16 2.2.3 - Modelagem dos e l e m e n t o s em derivação

(Estáticos de b a r r a s ) 19 2.2.4 - Modelamento de t r a n s f o r m a d o r e s 20

2.2.5 - Modelamento trifásico das l i n h a s de

transmissão 30 2.2.5.1 - L i n h a s mutuamente a c o p l a d a s 32

2.2.5.2 - Agrupamento d o s s u b s i s t e m a s d a s l i n h a s

2.3 - Formação da m a t r i z de admitância n o d a l do

s i s t e m a 36 •

I I I - MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON DESACOPLADO RÁPIDO. 40

3.1 - Introdução 40 3.2 - Características comuns e n t r e o f l u x o trifásico e monofásico 4 1 3.3 - T i p o s de b a r r a s 42 3.4 - Equações de balanço 44 3.5 - A l g o r i t m o do f l u x o de c a r g a trifásico

(Método de Newton-Raphson d e s a c o p l a d o rápido)... 45

3.6 - Aproximações J a c o b i a n a s 48 3.7 - Processo i t e r a t i v o do f l u x o trifásico 52

3.8 - Cálculo dos f l u x o s em cada componente do

s i s t e m a 55 3.9 - Técnica de Rotação de E i x o s 6 1

IV - APLICAÇÃO DA SIMULAÇÃO DIGITAL 64

4.1 - Introdução 64 4.2 - Descrição do programa 64

4.3 - Simulação d i g i t a l dos s i s t e m a s de potência 66

4.3.1 - Dados e análise dos s i s t e m a s 66

V - CONCLUSÃO 87

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 90 APÊNDICE : Relatórios d o s S i s t e m a s de Potência

LISTA DE FIGURAS FIGURA _PÁGINA F i g . 2.1 - Representação do g e r a d o r em componentes de f a s e . . . 10 F i g . 2.2 - Representação de c a r g a s p o r impedância c o n s t a n t e . . 17 ( a ) Ligação d e l t a ( b ) Ligação e s t r e l a i s o l a d a ( c ) Ligação e s t r e l a s o l i d a m e n t e a t e r r a d a ( d ) Ligação e s t r e l a a t e r r a d a p o r impedância Representação de um banco de c a p a c i t o r e s em derivação 19 C i r c u i t o e q u i v a l e n t e do t r a n s f o r m a d o r monofásico

com " t a p s " não-nominais em ambos e n r o l a m e n t o s 2 1

Diagramas de L a t t i c e do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em e s t r e l a - e s t r e l a , com n e u t r o s a t e r r a d o s p o r impedâncias(G r e p r e s e n t a a t e r r a ) 22 F i g . 2.6 - Diagramas de L a t t i c e do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em de l t a - e s t r e l a 23 F i g . 2.3 F i g . 2.4 F i g . 2.5

-FIGURA PÁGINA

F i g . 2.7 - Diagrama f a s o r i a l da tensão de cada e n r o l a m e n t o

do t r a n s f o r m a d o r 26 F i g . 2.8 - Diagramas de L a t t i c e do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em d e l t a - d e l t a 26 F i g . 2.9 - T r a n s f o r m a d o r de d o i s e n r o l a m e n t o s com a c o p l a m e n t o e n t r e os e n r o l a m e n t o s 27

F i g . 2.10 - Modelo de uma l i n h a de transmissão trifásica 3 1 ( a ) C i r c u i t o e q u i v a l e n t e .

( b ) M a t r i z e q u i v a l e n t e .

( c ) Representação usando admitâncias trifásicas F i g . 2.11 - Associação de c i r c u i t o s TI nominais para modelar l i n h a de transmissão com c i r c u i t o s mutuamente

a c o p l a d o s 33

F i g . 2.12 - Representação dos e l e m e n t o s a g r u p a d o s nas m a t r i z e s impedância p r i m i t i v a e admitância

p r i m i t i v a em derivação 36

F i g . 3.1 - Processo i t e r a t i v o p a r a um f l u x o trifásico ac p e l o

método de Newton-Raphson d e s a c o p l a d o rápido 54

F i g . 3.2 - S e n t i d o das injeções do f l u x o de potência em

FIGURA PÁGINA

F i g . 3.3 - Representação de uma impedância nos e i x o s de

referência e rotação 62

F i g . 4.1 - Diagrama de b l o c o da simulação d i g i t a l 65

F i g . 4.2 - Diagrama u n i f i l a r do s i s t e m a de transmissão 67

F i g . 4.3 - Gráfico do p e r f i l de tensão em cada b a r r a m e n t o o b t i d o no t e s t e com c a r g a s b a l a n c e a d a s e sem

a c o p l a m e n t o nas l i n h a s 79

F i g . 4.4 - Gráfico do p e r f i l de tensão em cada b a r r a m e n t o o b t i d o no t e s t e com c a r g a s b a l a n c e a d a s e com

a c o p l a m e n t o nas l i n h a s 79

F i g . 4.5 - Gráfico do p e r f i l de tensão em cada b a r r a m e n t o o b t i d o no t e s t e com c a r g a s d e s b a l a n c e a d a s e com

acoplamento nas l i n h a s 80

F i g . 4.6 - Diagrama u n i f i l a r do a l i m e n t a d o r 01Y4 de

distribuição da CELB 8 1

F i g . 4.7 - Gráfico do p e r f i l de tensão em cada b a r r a m e n t o o b t i d o na simulação do s i s t e m a de distribuição

com c a r g a s b a l a n c e a d a s 83

F i g . 4.8 - Gráfico do p e r f i l de tensão ern cada b a r r a m e n t o o b t i d o na simulação do s i s t e m a de dietribuiçáo

FIGURA PAGINA

F i g . 4.9 - Diagrama u n i f i l a r do a l i m e n t a d o r 01L2 de

distribuição r a d i a l da CELB 85

F i g . 4.10 - Gráfico da queda de tensão em cada b a r r a m e n t o o b t i d o na simulação do s i s t e m a de distribuição

LISTA DE TABELAS

TABELA PÁGINA

T a b e l a 2.1 - S u b m a t r i z e s básicas usadas na formulação das

m a t r i z e s de admitâncias dos t r a n s f o r m a d o r e s 29 T a b e l a 4.1 - Dados de b a r r a s de c a r g a s e t e r m i n a i s do s i s t e m a 68 T a b e l a 4.2 - Dados dos g e r a d o r e s 70 T a b e l a 4.3 - Dados dos t r a n s f o r m a d o r e s 7 1 T a b e l a 4.4 - Dados dos c a p a c i t o r e s em p a r a l e l o na b a r r a 7 1

T a b e l a 4.5 - R e s u l t a d o s das tensões nos b a r r a m e n t o s 76 T a b e l a 4.6 - F l u x o de potência nos componentes do s i s t e m a . . . . 73

LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLO DEFINIÇÃO J abe f y«.toc J012 sVo 1 2 2abc ? Ya l 3 C Z012 Y °12 g<a.t>c pabc Qabc E ( PIP ) s s p ( QI P )S 9 P

M a t r i z e s ( 3 x 1 ) de c o r r e n t e e tensão nas f a s e s a,b e c. M a t r i s e s ( 3 x l ) de c o r r e n t e e tensão nas sequências s e r o , p o s i t i v a e n e g a t i v a .

M a t r i z e s ( 3 x 3 ) de impedância e admitância em componentes de f a s e e n t r e duas b a r r a s trifásicas.

M a t r i z e s ( 3 x 3 ) de impedância e admitância em componentes simétricos e n t r e duas b a r r a s trifásicas. M a t r i z ( 3 x 1 ) da potência complexa nas f a s e s a,b e c. M a t r i z ( 3 x 1 ) da potência a t i v a nas f a s e s a,b e c. M a t r i z ( 3 x 1 ) da potência r e a t i v a nas f a s e s a,b e c. Força e l e t r o m o t r i z do g e r a d o r .

M a t r i z admitância de b a r r a trifásica i n d i v i d u a l do componente do s i s t e m a .

M a t r i z admitância de b a r r a do s i s t e m a .

Variação da potência a t i v a na b a r r a i com f a s e p. Variação da potência r e a t i v a na b a r r a i com f a s e p. Potência a t i v a e s p e c i f i c a d a na b a r r a i com f a s e em p. Potência r e a t i v a e s p e c i f i c a d a na b a r r a i com f a s e em p. Potência a t i v a t o t a l e s p e c i f i c a d a do j-ésimo g e r a d o r . Diferença a n g u l a r e n t r e a b a r r a i com f a s e p* e a b a r r a k com f a s e m.

SÍMBOLO DEFINIÇÃO

Giit»m V a l o r da m a t r i z condutância G r e l a c i o n a n d o a b a r r a i

com f a s e p, e a b a r r a k com f a s e m.

Biit»1" V a l o r da m a t r i z susceptância B r e l a c i o n a n d o a b a r r a

com f a s e p, e a b a r r a k com f a s e m.

V i n t d Módulo da tensão na b a r r a i n t e r n a do j-ésimo g e r a d o r . Gintá • A n g u l o da tensão na b a r r a i n t e r n a do j-ésimo g e r a d o r ,

nb Número de b a r r a s monofásicas do s i s t e m a , e x c l u i n d o as b a r r a s i n t e r n a s dos g e r a d o r e s .

ng Número de g e r a d o r e s síncronos, ou s e j a , número de b a r r a s trifásicas i n t e r n a s dos g e r a d o r e s . S u b e s c r i t o s i n t , I , g B a r r a i n t e r n a do g e r a d o r , g e r G e r a d o r . T,term B a r r a t e r m i n a l do g e r a d o r . c B a r r a s de c a r g a s e t e r m i n a i s dos g e r a d o r e s . n,NG,N'G A t e r r a m e n t o do e l e m e n t o . 1 E n r o l a m e n t o primário do t r a n s f o r m a d o r . 2 E n r o l a m e n t o secundário do t r a n s f o r m a d o r . S u p e r e s c r i t o s p,m Três f a s e s de uma b a r r a p a r t i c u l a r . « 012 Componentes simétricos, abe Componentes de f a s e .

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1 Formulação do p r o b l e m a

A e n e r g i a elétrica f o r n e c i d a obedece a condições e s s e n c i a i s , t a i s como, f o r m a de onda s e n o i d a l , s i m e t r i a trifásica

( c a r a c t e r i z a d a p e l a i g u a l d a d e das a m p l i t x i d e s das três tensões e seus r e s p e c t i v o s ângulos de f a s e ) . E n t r e t a n t o , q u a l q u e r s i s t e m a trifásico que não se c o m p o r t e d e n t r o d e s t a s condições e s t a b e l e c i d a s é denominado s i m p l e s m e n t e " s i s t e m a s ou c i r c u i t o s trifásicos d e s e q u i l i b r a d o s " .

0 que" o c o r r e normalmente nos s i s t e m a s elétricos é a não satisfação t o t a l dessas condições, p o i s e x i s t e m f a t o r e s que c o n t r i b u e m p a r a o desequilíbrio, flutuação e distorção de tensão. D e n t r e e s t e s f a t o r e s destacam-se :

- Operação de e q u i p a m e n t o s ou c a r g a s e s p e c i a i s i n s t a l a d o s no s i s t e m a , como as c a r g a s monofásicas ou bifásicas de e l e v a d a potência, t a i s como f o r n o s elétricos e f e r r o v i a s .

Expansão do s i s t e m a de potência, i m p l a n t a n d o - s e configurações complexas e um grande número de interconexões das l i n h a s de transmissão a l o n g a distância e não t o t a l m e n t e t r a n s p o s t a s .

A operaçgo do s i s t e m a em condições de desequilíbrio poderá t e r como consequências :

- Danos em e q u i p a m e n t o s elétricos p o r s o b r e a q u e c i m e n t o , p o r exemplo, c o r r e n t e s de sequência n e g a t i v a c i r c u l a n d o através das máquinas elétricas pode p r o v o c a r s o b r e a q u e c i m e n t o no r o t o r .

- Funcionamento indesejável do s i s t e m a de proteção, podendo r e s s a l t a r as c o r r e n t e s de sequência z e r o que podem c a u s a r a operação imprópria dos relés de proteção.

Aumento nas p e r d a s p o r c o r o n a e níveis de radiointerferência nas l i n h a s de transmissão.

- C r e s c i m e n t o dos e f e i t o s dos a c o p l a m e n t o s i n d u t i v o s e n t r e l i n h a s de transmissão p a r a l e l a s .

T o r n a - s e , p o r t a n t o , imprescindível f a z e r e s t u d o s e/ou medições e s p e c i a i s , de f o r m a a a v a l i a r o nível dessas pertubações com o o b j e t i v o de recomendar medidas que possam e v i t a r ou c o n t r o l a r os e f e i t o s indesejáveis de t a i s distúrbios de m a n e i r a a a s s e g u r a r a q u a l i d a d e do f o r n e c i m e n t o de e n e r g i a elétrica.

1.2 Motivação da p e s q u i s a

0 d e s e n v o l v i m e n t o de técnicas p a r a avaliação dos desbalanços do s i s t e m a de potência, r e s u l t o u no a p a r e c i m e n t o do a l g o r i t m o de f l u x o de c a r g a trifásico, que o b j e t i v a e n c o n t r a r o e s t a d o do s i s t e m a trifásico sob condições de c a r g a , geração e configuração do s i s t e m a .

0 método de avaliação de s i s t e m a s trifásicos p e r m i t e e s t u d a r uma série de p r o b l e m a s v i n c u l a d o s a operação e

p l a n e j a m e n t o de s i s t e m a s elétricos que normalmente são i g n o r a d o s , ou e s t u d a d o s de forma s i m p l i f i c a d a .

A simulação d i g i t a l do f l u x o de c a r g a trifásico t o r n a possível o e s t u d o das s e g u i n t e s aplicações :

- Avaliação do desbalanceamento gerado p e l a presença de c a r g a s d e s e q u i l i b r a d a s no s i s t e m a .

- E s t u d o dos desbalanços de c o r r e n t e s i n t r o d u z i d a s p o r l i n h a s de transmissão não t r a n s p o s t a s .

- Análise das c o r r e n t e s de circulação e n t r e c i r c u i t o s múltiplos de l i n h a s de transmissão mutuamente a c o p l a d a s .

Determinação das c o r r e n t e s de sequências n e g a t i v a s e z e r o em máquinas síncronas.

- Verificação das c o r r e n t e s de sequência z e r o em e s t u d o de operação, .com v i s t a s p r i n c i p a l m e n t e a s u b s i d i a r a calibração dos relés de proteção de t e r r a .

E s t u d o da influência dos d i v e r s o s t i p o s de conexões dos t r a n s f o r m a d o r e s i m p l a n t a d o s na r e d e elétrica.

1.3 Contribuição da p e s q u i s a

O f l u x o de c a r g a trifásico baseado no método de Newton-Raphson d e s a c o p l a d o rápido f o i d e s e n v o l v i d o p a r a análise de s i s t e m a s de transmissão.

Em se t r a t a n d o de s i s t e m a s de distribuição, o p r o c e s s o i t e r a t i v o a p r e s e n t a p r o b l e m a s de convergência, sendo que a eficiência do método é o b t i d a com a introdução de urna técnica e s p e c i a l denominada de "Rotação de E i x o s " (MURARI e t a l i i , 1 9 8 4 ) .

E s t a técnica é u s u a l m e n t e a p l i c a d a em f l u x o s de c a r g a s monofásicos, p a r t i n d o p a r a m e t o d o l o g i a trifásica f e z - s e uma adaptação da técnica p a r a o t i m i z a r o desempenho do f l u x o .

Desta f o r m a , o f l u x o de c a r g a trifásico d e s a c o p l a d o rápido u t i l i z a n d o rotação de e i x o s f o i usado como p a r t e f u n d a m e n t a l da simulação d i g i t a l p a r a t o r n a r possível o e s t u d o das r e d e s de distribuição.

1.4 Revisão Bibliográfica.

As análises dos p r o b l e m a s v i n c u l a d o s aos s i s t e m a s de potência, u s u a l m e n t e , eram f e i t a s através dos métodos de transformação, onde as componentes de f a s e eram substituídas p o r o u t r a s variáveis com a f i n a l i d a d e de simplificação nas resoluções desses p r o b l e m a s . A t e o r i a dos métodos de transformação tem s i d o e s t a b e l e c i d a desde 1912-15 p o r S t o k v i s , sendo que o p r i n c i p a l método f o i d e s e n v o l v i d o p o r F o r t e s c u e em 1918, usando componentes de sequência p o s i t i v a , n e g a t i v a e z e r o . O u t r o s métodos a l t e r n a t i v o s de análise com transformação das variáveis p r i m i t i v a s (componentes de f a s e ) da r e d e têm s i d o p r o p o s t o s p o r C l a r k , Kimbark e Koga.

A aplicação dos métodos de transformação r e s t r i n g e - s e a resolução de desbalanceamento único, com o s i s t e m a e q u i l i b r a d o . E m se t r a t a n d o de p r o b l e m a s de desbalanceamento do s i s t e m a , como a presença de tensões e c o r r e n t e s d e s e q u i l i b r a d a s nas l i n h a s l o n g a s com pouca ou sem transposição, i n c l u i n d o os possíveis desbalanceamentos p r o v i n i e n t e s das condições de c a r g a s , o método adequado a p l i c a d o na representação da r e d e elétrica é o

componente de f a s e que e v i t a a transformação das variáveis e o a f a s t a m e n t o da configuração da r e d e .

Os modelos p r e c i s o s dos componentes do s i s t e m a em componentes de f a s e são a v a l i a d o s na l i t e r a t u r a HESS(1963), LAUGHT0N(1969), ANDERSON(1973), CHEN e DILLON(1974), ARRILAGA e t a l i i ( 1 9 8 3 ) , onde mostram os c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s e a representação m a t r i c i a l das l i n h a s de transmissão, g e r a d o r e s , t r a n s f o r m a d o r e s e o u t r o s componentes do s i s t e m a .

P a r a investigação dos e f e i t o s de deshalanços com a integração dos modelos de representação, métodos i t e r a t i v o s p a r a solução do f l u x o de c a r g a trifásico f o r a m d e s e n v o l v i d o s WASLEY e SLASH(1974) e EL ABIAD e t a l i i ( 1 9 7 6 ) . 0 a l g o r i t m o de Newton-Raphson é a p r e s e n t a d o p o r WASLEY e SLASH, m o s t r a n d o a base do d e s e n v o l v i m e n t o de um programa c o m p u t a c i o n a l e p o r EL-ABIAD, que expõe de f o r m a g e r a l e s u c i n t a a estruturação do a l g o r i t m o do

f l u x o de c a r g a trifásico.

R e q u e r i m e n t o s c o m p u t a c i o n a i s , como tempo e armazenamento, são s e n s i v e l m e n t e r e d u z i d o s quando o método de Newton-Raphson a p r e s e n t a - s e na sua versão d e s a c o p l a d a . Baseado n e s t e s propósitos, e s t u d o s r e a l i z a d o s p a r a técnicas d e s a c o p l a d a s

(ARRILAGA e HARKER,1978), r e s u l t a r a m na formulação de um e f i c i e n t e f l u x o de c a r g a trifásico d e s a c o p l a d o rápido com características s i m i l a r e s da versão monofásica o r i g i n a l (STOTT e ALSAC,1974). O p r e s e n t e t r a b a l h o d e s c r e v e o a l g o r i t m o de resolução p e l o método d e s a c o p l a d o com t o d a s as características n e l e r e q u e r i d a s .

1.5 Considerações g e r a i s s o b r e o método a p l i c a d o .

Na a n a l i s e dos desequilíbrios de s i s t e m a s , os e s t u d o s são r e a l i z a d o s com base no emprego de d o i s métodos: componentes simétricos e componentes de f a s e .

0 método de componentes simétricos baseado no teorema de Fortescúe, f a c i l i t a e t o r n a n o t a v e l m e n t e menos l a b o r i o s o o e s t u d o sistemático de c i r c u i t o s trifásicos d e s e q u i l i b r a d o s , sendo c o n s i d e r a d o p a r t i c u l a r m e n t e útil p a r a o e s t u d o e os cálculos r e l a t i v o s às d i v e r s a s m o d a l i d a d e s de f a l t a s em r e d e s trifásicas. E n t r e t a n t o , sua aplicação r e s t r i n g e - s e a ocorrência de um único d e s b a l a n c e a m e n t o , em v i s t a d i s s o , o método de análise de s i s t e m a s com emprego de componentes simétricos tem suas v a n t a g e n s s e n s i v e l m e n t e r e d u z i d a s nos c a s o s de r e d e s d e s b a l a n c e a d a s , ou mesmo no caso de desequilíbrios múltiplos numa r e d e e q u i l i b r a d a .

De f a t o , em t a i s situações as r e d e s de sequência r e s u l t a m a c o p l a d a s e n t r e s i e não há simplificação apreciável no t r a t a m e n t o do p r o b l e m a , r e c o r r e n d o - s e ao método de componentes simétricos. Nesses c a s o s , o t r a t a m e n t o e f i c i e n t e e x i g e uma f e r r a m e n t a adequada, que é o método de componentes de f a s e .

E s t e método a p r e s e n t a como v a n t a g e n s a d i c i o n a i s a manutenção da i d e n t i d a d e de q u a l q u e r e l e m e n t o do s i s t e m a e a definição d i r e t a das impedâncias assimétricas, a c o p l a m e n t o mútuo e n t r e f a s e s e e n t r e d i f e r e n t e s e l e m e n t o s do s i s t e m a , e transposição de l i n h a s .

1.6 Conteúdo dos capítulos s u b s e q u e n t e s .

Os capítulos s u b s e q u e n t e s d e s t e t r a b a l h o são, sumariamente, d e s c r i t o s de a c o r d o com a s e g u i n t e e s t r u t u r a :

1. O c a p i t u l o I I d e s c r e v e o modelamento de um s i s t e m a de

potência r e p r e s e n t a d o p e l a m a t r i z de admitância n o d a l . Os e l e m e n t o s c o n s t i t u i n t e s de uma r e d e elétrica, t a i s como máquinas, t r a n s f o r m a d o r e s , c a r g a s e estáticos de b a r r a s são modelados p o r sua m a t r i z de admitância de b a r r a i n d i v i d u a l d e r i v a d a de seus c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s m e d i a n t e uma abordagem trifásica.

2. O c a p i t u l o I I I m o s t r a o p r o c e d i m e n t o da estruturação teórica do a l g o r i t m o do f l u x o de c a r g a trifásico p e l o método de Newton-Raphson d e s a c o p l a d o rápido. O método a p r e s e n t a características s e m e l h a n t e s ao f l u x o d e s a c o p l a d o monofásico e c o m p o r t a algumas aproximações em função da redução do tempo de p r o c e s s a m e n t o . O equacionamento p a r a a determinação do cálculo dos f l u x o s de potência e das p e r d a s em cada componente do s i s t e m a é a p r e s e n t a d o . Em s e g u i d a é d e s c r i t a a técnica de rotação de e i x o s .

3. O capítulo I V a p r e s e n t a as p r i n c i p a i s e t a p a s que compõe a simulação d i g i t a l do f l u x o de c a r g a trifásico. A a p l i c a b i l i d a d e do programa é demonstrada em três c a s o s básicos.

4. 0 c a p i t u l o V a b o r d a as conclusões e as sugestões p a r a o p r o c e d i m e n t o do t r a b a l h o .

CAPÍTULO I I

MODELAMENTO DE UM SISTEMA DE POTÊNCIA TRIFÁSICO

2.1 Introdução

P a r a que um s i s t e m a de transmissão s e j a modelado de m a n e i r a sistemática, lógica e c o n v e n i e n t e , e s t e deve s e r d i v i d i d o em várias u n i d a d e s chamadas de s u b s i s t e m a s .

Um s u b s i s t e m a é q u a l q u e r p a r t e do s i s t e m a , c u j o s ramos c o n s t i t u i n t e s não têm nenhum a c o p l a m e n t o mútuo com os ramos r e s t a n t e s do s i s t e m a . I s t o g a r a n t e que os s u b s i s t e m a s sejam combinados de m a n e i r a extremamente d i r e t a . A nível de exemplificação, pode-se c i t a r como s u b s i s t e m a ; g e r a d o r , t r a n s f o r m a d o r , l i n h a s de transmissão a c o p l a d a s ou não, c a p a c i t o r ou r e a t o r em derivação, e t c .

Cada s u b s i s t e m a é r e s e r v a d o p a r a organização dos dados de e n t r a d a . E s t e s dados são i n s e r i d o s como uma u n i d a d e c o m p l e t a , p a r a armazenar e f o r m u l a r a m a t r i z admitância i n d i v i d u a l de cada e l e m e n t o .

Através da combinação de t o d o s os s u b s i s t e m a s c o n s t r o i -se a m a t r i z admitância n o d a l da r e d e que c o n s t i t u i a representação básica p a r a a formação do a l g o r i t m o de resolução do f l u x o de c a r g a trifásico

2.2 Modelamento trifásico dos e l e m e n t o s do s i s t e m a

A t r a v es do i n t e r - r e l a c i o n a m e n t o físico das g r a n d e z a s de

tensão e c o r r e n t e em cada componente u s u a l de um s i s t e m a elétrico de potência, pode-se e s t a b e l e c e r seus c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s trifásicos, p a r a dedução do modelo m a t r i c i a l do e l e m e n t o em componentes de f a s e adequada ao cálculo de f l u x o de potência em r e d e s d e s b a l a n c e a d a s .

2.2.1 Modelamento de g e r a d o r e s

Nos e s t u d o s de f l u x o de c a r g a c o n v e n c i o n a l onde se a d m i t e r e d e e c a r g a e q u i l i b r a d a s , os g e r a d o r e s são r e p r e s e n t a d o s p o r uma força e l e t r o m o t r i z c o n s t a n t e em módulo e uma potência a t i v a i n j e t a d a na b a r r a t e r m i n a l . E n t r e t a n t o , na análise de f l u x o em componentes de f a s e , com o propósito de e s t u d a r os e f e i t o s dos desbalanços no s i s t e m a , os g e r a d o r e s são modelados de f o r m a mais d e t a l h a d a , onde se t o r n a i m p o r t a n t e repre3entá-los p o r suas reatâncias e tensões i n t e r n a s (RAMOS e DIAS,1983).

D e n t r e os modelos a l t e r n a t i v o s de representação é e x p o s t o o modelo adequado p a r a o método de solução de equação de r e d e ( F i g . 2 . 1 ) .

Na modelagem, as máquinas assumem suas tensões i n t e r n a s c o n s t a n t e s em módulo e e q u i l i b r a d a s ( defasagem de 120° e n t r e as tensões f a s e - n e u t r o das três f a s e s ) e uma m a t r i z de admitância que bem r e p r e s e n t e as impedâncias i n t e r n a s adequadas a um dado t i p o de e s t u d o . A d i c i o n a l m e n t e , f i x a - s e o v a l o r da potência a t i v a trifásica t o t a l da máquina.

7ZTJ7 e2= 6,-120° e3= e1+ i 2 o o MATRIZ ADMITÂNCIAS NODAIS , DA MAQUINA Tb) TC: - 9 F i g . 2 . 1 . Representação do g e r a d o r em componentes de f a s e .

Essa representação a p r e s e n t a duas b a r r a s trifásicas p o r máquina, q u a i s sejam a b a r r a i n t e r n a e a b a r r a t e r m i n a l .

Para obtenção da m a t r i z de admitâncias da máquina, deve-se s a l i e n t a r que as máquinas c o n v e n c i o n a i s são p r o j e t a d a s p a r a e x i b i r s i m e t r i a podendo d e s t a f o r m a s e r r e p r e s e n t a d a s em componentes simétricos, p o r sua m a t r i z de impedância p r i m i t i v a , que r e s u l t a d i a g o n a l após t r a n s f o r m a d a de componentes de f a s e p a r a componentes simétricos.

Assim i n i c i a n d o o equacionamento p a r a d e r i v a r o modelo da máquina(Fig. 2 . 1 ) , tem-se: V I ° - V T ° V i l -V T1 Zo 0 0 0 Z i 0 0 0 Zs Io l i I2 ( 2 . 1 ) [ VlT°12 3 = C Z°12 ] . [ I 0 1 2 ]

A p l i c a n d o então a transformação i n v e r s a dos componentes simétricos, vem : C ViT»b« 3 = [ T . ] . [ Z°12 ] . [ T a ] - l . [ ] Onde: "~ 1 1 1 " 1 a2 a .1 a a2. ( 2 . 2 ) A s s i m , d e f i n e - s e a m a t r i z de impedância p r i m i t i v a da máquina em componentes de f a s e : ( 2 . 3 ) 1 Zo+Zl+Z2 Zo+aZi+a^Zs Z o + a2Z i + a Z2 X •Q Zo+a2Zi+aZ2 Z0+Z1+Z2 Z o + a Z i + a2Z 2 O Z o + a Z i + a2Z 2 Zo+a2Zx+aZ2 Z0+Z1+Z2 ( 2 . 4 ) Por inversão: [ Yabo 3 = C Za t > c 3_1 ( 2 . 5 ) A p l i c a n d o - s e o a l g o r i t m o de "inspeção d i r e t a " da m a t r i z admitância t o t a l , obtem-se a [Yt.-me3± do g e r a d o r (Equação 2 . 6 ) .

[Ybuo3 i

[ Y a b c ] _ [ y a b c ]

A simplificação da m a t r i z de admitância p r i m i t i v a o c o r r e quando as impedâncias de sequência p o s i t i v a e n e g a t i v a r e s u l t a m i g u a i s e n t r e s i (Equação 2 . 7 ) . 1 3 Zo+2Zi Z o - Z i Z o - Z i Zo-Zo. Zo+2Zi Z o - Z i ( 2 Z o - Z i Z o - Z i Zo+2Zi 2 . 2 . 1 . 1 A t e r r a m e n t o d a s máquinas elétricas

A introdução das impedâncias de a t e r r a m e n t o das máquinas do s i s t e m a pode s e r f e i t a de duas f o r m a s a l t e r n a t i v a s implementadas no programa. Na p r i m e i r a , o e f e i t o da impedância de a t e r r a m e n t o Zn, é incluído d i r e t a m e n t e no v a l o r de Z o , i s t o é, Zo+3Zn. A o u t r a a l t e r n a t i v a , segue t o d a a e s t r u t u r a d e s c r i t a a s e g u i r :

S e j a a m a t r i z admitância de b a r r a , d i s p o s t a de a c o r d o com a equação 2.8 (VELHO,1974).

I o Y c c ! Yog Vo b a r i t a s de c a r g a s I s ! Y/3s Vg b a r r a s i n t e r n a s

( 2 . 8 )

P e l a equação, o s i s t e m a é p a r c i o n a d o em d o i s g r u p o s , os das b a r r a s de c a r g a s e os das b a r r a s de máquinas(internas).

Da equação m a t r i c i a l 2.8, vem :

I o — Y c c V c + Y c g V g

xe - i g o

I s o l a n d o Vs, tem-se :

V« — Y g g- 1I g ~ Y g g- 1Y g c V c

I o — Y c g Y g g- 11 g+ ( Yoc - Y c gYgg~ ^-Ygc ) Vo

Escrevendo a m a t r i z na f o r m a híbrida — — I o Y o o - Y c g Y g g- ^-Ygo ! YcgYgg 1 Vo v« ~ Y g g- 1Y g c Y g g "1 I s i ( 2 . 9 ) A d m i t i n d o o a t e r r a m e n t o de n máquinas, obtem-se : vê E g • • Zx Zx Zx Zx Zx Zx Zx Zx Zx Zn Zn Zn Zn Zn Zn Zn Zn Zn ( 2 . 1 0 )

Onde :

V« : v e t o r de tensões das b a r r a s monofásicas i n t e r n a s de máquinas.

Eg : v e t o r de forças e l e t r o m o t r i z e s das b a r r a s

monofásicas i n t e r n a s de máquinas.

Z i , . . . . , Z n : v a l o r e s das impedâncias de a t e r r a m e n t o das

d i v e r s a s máquinas.

I g : v e t o r de c o r r e n t e s i n j e t a d a s nas b a r r a s monofásicas

i n t e r n a s das máquinas.

Z a t : m a t r i z de impedância de a t e r r a m e n t o das máquinas.

Para uma dada máquina, tem-se:

1 Eg - E a2

a

Da equação 2.9 vem :

Vg - Y g g_ 1I e - Y g g- 1Y g o V c

Combinando as equações 2.9 e 2.10, tem-se

I o Eg Yoo—YcgYgg ^Yg< — Y g g-^ Y g o YcgYgg 1 Y g g - i + Za t Vc I g ( 2 . 1 1 ) Eg = [ Y6 S- i + Zat ] I g - Ye e- i Y g c V o I g = C Y g g - H Z . t l-^Eg+C Yg 8- i + Zat í - i Y e g - i Y e c V c ( 2 . 1 2 ) I o = Y c g Y g g - i I g + C Ycc-Yo«Ygg-iYgc 3Vo ( 2 . 1 3 )

S u b s t i t u i n d o na equação 2.13 o v a l o r de 1« da equação 2.12, vem : I o = Y oeYe f l- i [ Ys s- i + Z *t] - i Es + + { Y o e Y s s - i C Y s s - i + Z^ l i Y e e t i Y e o -~ Y o e Y g g- 1Y g c + Y c c } V o I o = Y oSYSg - i [ Y e f i -1+ Za- b ] - i Es+ + { Y o e ( Ye s- i [ Ys s- i + Z ^ ] - i - U ) Ye e- i YSo + Y o o } V c Sendo U a m a t r i z i d e n t i d a d e . ( 2 . 1 4 ) Então e s c r e v e n d o m a t r i c i a l m e n t e as equações 2.12 e 2.14, r e s u l t a em : Y ce( Yss- i [ Y66- i + Zat] i -- U ) Ye e- i YSc + Y o o [ Y s s - i+ Z ^ l - i Y s s - i Y SC YcgYgg 1[ Y e e 1+ Z a t ] 1 E s ( 2 . 1 5 ) A m a t r i z admitância de b a r r a f i c a c o m p l e t a m e n t e

a l t e r a d a , sendo Es, o v e t o r das forças e l e t r o m o t r i z e s das b a r r a s

monofásicas d a s máquinas, e não a tensão da b a r r a i n t e r n a p a r a t e r r a . Por o u t r o l a d o , supondo Z«.t sendo n u l o , a expressão r e s u l t a n t e a d q u i r e a f o r m a m a t r i c i a l da equação 2.8, que não c o n s i d e r a a impedância de a t e r r a m e n t o . Neste c a s o , Ee é i g u a l a Vm.

2.2.2 Modelamento de c a r g a s

As c a r g a s a p r e s e n t a m uma f l e x i b i l i d a d e de modelamento que p e r m i t e sua representação em d i f e r e n t e s f o r m a s (VELHO,1974), podendo s e r modeladas de a c o r d o com o e s t u d o de f l u x o de c a r g a c o n v e n c i o n a l , onde d e s t a c a - s e a representação de d o i s padrões :

( i ) Carga p o r potência c o n s t a n t e

E s t a é a f o r m a t r a d i c i o n a l de modelagem empregada na análise de f l u x o de c a r g a . Neste caso, as c a r g a s são a d m i t i d a s l i g a d a s em e s t r e l a com o n e u t r o s o l i d a m e n t e a t e r r a d o , p o r rasões de convergência dos métodos i t e r a t i v o s de solução. No modelamento de componentes de f a s e , a especificação de d i f e r e n t e s v a l o r e s p a r a as potências de f a s e ( c a r g a d e s e q u i l i b r a d a ) não o f e r e c e p r o b l e m a , e a solução pode s e r o b t i d a através do mesmo p r o c e s s o do caso e q u i l i b r a d o . ( i i ) Carga p o r impedância c o n s t a n t e E s t e é o t i p o de representação que a p r e s e n t a f o r m a s a l t e r n a t i v a s do t i p o de ligação da c a r g a c o n e c t a d a no b a r r a m e n t o . A s s i m c o m o : d e l t a , e s t r e l a i s o l a d a , e s t r e l a s o l i d a m e n t e a t e r r a d a , e s t r e l a a t e r r a d a p o r impedância. A p a r t i r do v a l o r de impedância(admitância) das c a r g a s , d e r i v a - s e a m a t r i z admitância i n d i v i d u a l , que na solução do p r o b l e m a , contribuirá na montagem da m a t r i z de admitância da r e d e , a d i c i o n a n d o - a na s u b m a t r i z da admitância própria do b a r r a m e n t o de conexão.

Os d i v e r s o s t i p o s de ligação p a r a as c a r g a s modeladas p o r impedância c o n s t a n t e , estão i l u s t r a d a s na F i g . 2.2.

(a) (b)

CC) (d)

F i g . 2.2. Representação de c a r g a s p o r impedância c o n s t a n t e . (a)Ligação d e l t a , (b)Ligação e s t r e l a i s o l a d a , (c)Ligação e s t r e l a s o l i d a m e n t e a t e r r a d a , (d)Ligação e s t r e l a a t e r r a d a p o r impedância.

As m a t r i z e s admitâncias i n d i v i d u a i s de cada configuração sao :

a ) Ligação em d e l t a .

A B C

Y a b + Y c a -Y*te ~ Y c a A

[Ybua3 ±~ Yab+Ybc -Ytoo B ( 2 . 1 6 )

b ) Ligação em e s t r e l a i s o l a d _a,

A B C N _

Y» 0 0 ! -Y» A

[ Y b u e ] 1 = 0 Yb 0 -Yb B

0 0 Yo -Yo C

-Y» -Yb -Yo Y&+Yb+Yo N

c ) Ligação em e s t r e l a s o l i d a m e n t e A B C Ya 0 0 A [Ybua3 i = 0 Yb 0 B 0 0 Yo C ( 2 . 1 7 ) ( 2 . 1 8 ) d ) Ligação em e s t r e l a a t e r r a d a p o r impedância [Ybw«]i= _ A B C N _ Ya 0 0 - Y « l A 0 Yb 0 -Yb B 0 0 Yo -Yo C

-Y* -Yb -Yo Y&+Yb

+ Y o + Ya t N

( 2 - 1 9 )

Onde Y.at é a admitância de a t e r r a m e n t o da c a r g a

Nas configurações das c a r g a s l i g a d a s em e s t r e l a - i s o l a d a ou e s t r e l a a t e r r a d a p o r impedância, os c e n t r o - e s t r e l a devem s e r e l i m i n a d o s p o r redução de "Kron" (KR0N,1965), já que não e x i s t e

injeção de c o r r e n t e no n e u t r o , a f i m de p o s s i b i l i t a r uma redução no número das b a r r a s a serem m a n t i d a s em evidência.

2.2.3 Modelagem dos E l e m e n t o s em derivação ( Estáticos de b a r r a s ) .

Os r e a t o r e s e c a p a c i t o r e s são c o n e c t a d o s no s i s t e m a de potência p a r a o c o n t r o l e de potência r e a t i v a .Os dados p a r a e s t e s e l e m e n t o s estáticos são u s u a l m e n t e f o r n e c i d o s em t e r m o do v a l o r da potência r e a t i v a em MVAR e da tensão em pu (ARRILAGA e t a l i i , 1 9 8 3 ) . A p a r t i r daí, d e r i v a - s e o v a l o r de sua admitância:

YE>™= Qp»/(Pot. base . I V j p )2) ( 2 . 2 0 )

Onde: p é referência do b a r r a m e n t o e m é as f a s e s d e s t e . |Vp| : módulo da tensão em pu a que está r e f e r i d a a potência r e a t i v a do e l e m e n t o .

C o n s i d e r e um banco trifásico de c a p a c i t o r e s m o s t r a d o na F i g . 2.3, com sua m a t r i z em derivação, j u n t a m e n t e com a sua representação de f o r m a compacta.

©

©

©

©

7Tfn77777mm

1/jXc 1/JXC 1/jXc C YP 1

A m a t r i z admitância p a r a e l e m e n t o s em derivação é u s u a l m e n t e d i a g o n a l , p o i s normalmente não há a c o p l a m e n t o e n t r e os componentes de cada f a s e , o u s e j a , a p r e s e n t a o comportamento de uma conexão em e s t r e l a s o l i d a m e n t e a t e r r a d a . E s t a m a t r i z é

i n c o r p o r a d a d i r e t a m e n t e na m a t r i z admitância do s i s t e m a , c o n t r i b u i n d o apenas p a r a admitância própria de uma b a r r a p a r t i c u l a r .

2.2.4 Modelamento de t r a n s f o r m a d o r e s

No cálculo de f l u x o de c a r g a monofásico, a representação dos modelos dos t r a n s f o r m a d o r e s se f a z através da reatância de sequência p o s i t i v a , sem l e v a r em consideração o t i p o de ligação dos e n r o l a m e n t o s . P a r t i n d o p a r a a m e t o d o l o g i a trifásica, t a l s i m p l i c i d a d e não o c o r r e , d e v i d o o f a t o de h a v e r a interação de g r a n d e z a s de sequências, o que t o r n a r e l e v a n t e a consideração dos d i v e r s o s t i p o s de ligação dos e n r o l a m e n t o s

(LAUGHTON,1968).

E x i s t e duas f o r m a s a l t e r n a t i v a s de m o d e l a r um t r a n s f o r m a d o r , q u e é o modelo de L a t t i c e e a modelagem m a t r i c i a l . Assim o modelo de L a t t i c e p o r c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s é c o n v e n i e n t e a cálculos manuais e p e r m i t e uma c l a r a visualização do p r o b l e m a , p o r se a p r o x i m a r do modelo físico do e l e m e n t o . A notação m a t r i c i a l p e r m i t e uma automatização do p r o c e s s o e uma abordagem de enorme v a r i e d a d e s de ligações possíveis.

0 d i a g r a m a de L a t t i c e é um c i r c u i t o e q u i v a l e n t e p a r a r e p r e s e n t a r o t r a n s f o r m a d o r , baseando-se nas r e g r a s de formação

da m a t r i z Ytout» da r e d e elétrica, que conduz à mesma m a t r i z de admitância n o d a l que o equacionamento do modelo c o n v e n c i o n a l .

Supõe-se que cada e n r o l a m e n t o de um t r a n s f o r m a d o r trifásico é constituído p o r t r a n s f o r m a d o r e s monofásicos i n d e p e n d e n t e s . Com a associação dos d i a g r a m a s de L a t t i c e dos componentes de a c o r d o com o t i p o de ligação do t r a n s f o r m a d o r trifásico pode-se esboçar seu modelo m a t r i c i a l . No caso g e r a l , onde d e s e j a - s e r e p r e s e n t a r o a p a r e c i m e n t o de t r a n s f o r m a d o r e s com " t a p s " em ambos os e n r o l a m e n t o s , o d i a g r a m a de L a t t i c e assume a configuração m o s t r a d a na F i g u r a 2.4, onde os v a l o r e s a e J3 i n d i c a m os " t a p s " de cada e n r o l a m e n t o . © Yt/oce © F i g - 2.4. C i r c u i t o e q u i v a l e n t e de t r a n s f o r m a d o r monofásico com " t a p s " não-nominais em ambos e n r o l a m e n t o s

Os modelos de L a t t i c e , j u n t a m e n t e com os modelos m a t r i c i a i s c o r r e s p o n d e n t e s aos c i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s de f a s e ,

que r e p r e s e n t a m os d i f e r e n t e s t i p o s de conexões dos e n r o l a m e n t o s dos t r a n s f o r m a d o r e s , são e s t a b e l e c i d o s a s e g u i r :

T r a n s f o r m a d o r e s t r e l a - e s t r e l a Os d i a g r a m a s de L a t t i c e c o r r e s p o n d e n t e s ao t i p o de representação d e s t e t r a n s f o r m a d o r são a p r e s e n t a d o s na F i g . 2.5. F i g . 2.5. Diagramas de L a t t i c e do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em e s t r e l a - e s t r e l a , com n e u t r o s a t e r r a d o s p o r impedâncias(G r e p r e s e n t a a t e r r a ) . A m a t r i z [ Y b u s l i c o r r e s p o n d e n t e à F i g . 2.5 pode s e r f a c i l m e n t e o b t i d a p o r inspeção e é a p r e s e n t a d a na equação 2.21. A B C A ' B ' C * N N ' y / a2 0 0 -y/a0 0 0 - y / a2 y/a0 A 0 y / a2 0 0 -y/aJ3 0 - y / a2 y/a0 B 0 0 y / a2 0 0 -y/aS - y / a2 y/aí3 C -y/a|3 0 0 y / 02 0 0 y/a0 - y/ 02 A ' 0 - y / a f i 0 0 y/ 02 0 y/a0 - y / 02 B* 0 0 -y/a0 0 0 y / S2 y/a0 - y / 02 C

- y / a2 - y / a2 - y / a2 y/a0 y/a0 y/a0 3 y / a2

+ytaa -3y/a0 N y/a0 y/a0 y / a f i - y/ 0 2 _{- y / 0} 2 - y / 02 -3y/a0 3 y / 02 + J ' N - a N ' ( 2 . 2 1 )

Características a d i c i o n a i s podem s e r e n f a t i z a d a s com relação ao critério de a t e r r a m e n t o d e s t e t r a n s f o r m a d o r :

( i ) Com os n e u t r o s s o l i d a m e n t e a t e r r a d o s , o s nós N e N' r e p r e s e n t a m a própria referência, o que l e v a a rejeição das l i n h a s e c o l u n a s p e r t e n c e n t e s a e s s e s nós.

( i i ) Caso os n e u t r o s não s e j a m a t e r r a d o s e nem c o n e c t a d o s e n t r e s i , então yNQ=yw-a=0.

( i i i ) Se os n e u t r o s t i v e r e m uma ligação Y N N -e x t -e r n a m -e n t -e -e n t r -e s i , soma -ess-e v a l o r na admitância própria d-e N e N' e s u b t r a i na posição N-N'(admitância de transferência).

Nos d o i s últimos c a s o s , a eliminação dos n e u t r o s se f a z p o r redução de "Kron". T r a n s f o r m a d o r d e l t a - e s t r e l a Através do d i a g r a m a de L a t t i c e da F i g . 2.6, pode-se v i s u a l i z a r de f o r m a m a i s c l a r a a conexão do t r a n s f o r m a d o r d e l t a -e s t r -e l a p a r a o mod-elo a d o t a d o . F i g . 2 . 6 . Diagramas de L a t t i c e do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em d e l t a - e s t r e l a .

A convenção usada na numeração dos nós e a identificação dos l a d o s o p o s t o s do d i a g r a m a simétrico de L a t t i c e : B-A/C-N C-B/A'-N ; A-C/B--N (LAUGHTON,1968).

E s t e modelo em contraposição a o u t r a s f o r m a s de modelamento e x i s t e n t e s , i n t r o d u z a u t o m a t i c a m e n t e a rotação de f a s e , característica dos bancos d e l t a - e s t r e l a .

A m a t r i z admitância i n d i v i d u a l montada p a r a e s t e t i p o de conexão do t r a n s f o r m a d o r r e c a i na equação 2.22.

_ A B C A' B' C* N* _ 2 y / a2 - y / a2 - y / a2 0 -y/a0 y/a0 0 A

- y / a2 2 y / a2 - y / a2 y/a0 0 -y/a0 0 B

- y / a2 -y/az 2 y / a2 -y/aS y/a0 0 0 C

0 y/a0 -y/a0 y / 02 0 0 - y / 02 A' -y/a3 0 y/aíB 0 y / 02 0 - y / 02 B' y/a0 -y/a0 0 0 0 y / 02 - y / 02 C 0 0 0 - y / 02 - y / 02 - y / 02 3 y / 02 +yw-a N' ( 2 . 2 2 ) Caso o c e n t r o - e s t r e l a f o r s o l i d a m e n t e a t e r r a d o então H" c o i n c i d e com G, podendo não l e v a r em consideração a l i n h a e c o l u n a c o r r e s p o n d e n t e s a N'. No caso de y*j-a a s s u m i r q u a l q u e r v a l o r , o nó N' pode s e r r e d u z i d o p o r "Kron", r e c a i n d o na m a t r i z de admitância n o d a l d e f i n i d a p a r a o t r e c h o da r e d e .

Cabe r e s s a l t a r que os v a l o r e s dos " t a p s " primário e secundário, r e s p e c t i v a m e n t e , são d e f i n i d o s da s e g u i n t e f o r m a :

a = 3 ( 1 + t«) 0 = ( 1 +»to)

Onde: t a e t e r e p r e s e n t a m o p e r c e n t u a l de a j u s t e n a0

-n o m i -n a l , e o f a t o r de V"3 s u r g e em decorrê-ncia da própria e s t r u t u r a do s i s t e m a p o r u n i d a d e .

De f o r m a compatível com o modelo a p r e s e n t a d o da m a t r i z admitância de b a r r a do t r a n s f o r m a d o r d e l t a - e s t r e l a , d e f i n e - s e a representação p a r a a m a t r i z do t r a n s f o r m a d o r e s t r e l a - d e l t a (Equação 2 . 2 3 ) . A B C A' B' c N _^ y / a2 0 0 0 y/a0 -y/a0 - y / a2 A 0 y / a2 0 -y/a0 0 y/a0 - y / a2 B 0 0 y / a2 y/aS -y/a0 0 - y / a2 C

0 -y/a0 y/a0 2y/02 - y / 02 - y / 02 0 A'

y/a£ 0 -y/a0 - y / 02 2y/02 - y / 0₂ 0 B'

-y/a0 -y/a0 0 - y / 02 - y / 02 2 y / 02 0 C -y/a* - y / a2 -y/a2 0 0 0 3 y / a2 N ( 2 . 2 3 ) As r e g r a s que d e f i n e m o a t e r r a m e n t o da conexão e s t r e l a são s e m e l h a n t e s as a p r e s e n t a d a s no modelo do t r a n s f o r m a d o r d e l t a -e s t r -e l a .

Comentário a d i c i o n a l pode s e r f r i s a d o com relação ao defaeamento e n t r e os ângulos das tensões i n i c i a i s r e f e r e n t e s a ambos os l a d o s do t r a n s f o r m a d o r ( d e l t a - e s t r e l a ou e s t r e l a - d e l t a ) : na dedução do modelo se e s t a b e l e c e uma defasagem de 90° e n t r e as f a s e s c o r r e s p o n d e n t e s do e n r o l a m e n t o em d e l t a p a r a o e n r o l a m e n t o em e s t r e l a (VELHO,1974), como m o s t r a o d i a g r a m a f a s o r i a l na F i g . 2.7.

v c ' b '

F i g . 2.7. Diagrama f a s o r i a l da tensão de cada e n r o l a m e n t o do t r a n s f o r m a d o r d e l t a - e s t r e l a .

T r a n s f o r m a d o r d e l t a - d e l t a

E s t e modelo de t r a n s f o r m a d o r trifásico, ou banco pode s e r o b t i d o na f o r m a de um c i r c u i t o e q u i v a l e n t e , p o r associação c o n v i n i e n t e dos d i a g r a m a s de L a t t i c e de cada t r a n s f o r m a d o r monofásico componente, como expõe a F i g . 2.8.

F i g . 2.8. Diagramas de L a t t i c e p a r a representação do c i r c u i t o e q u i v a l e n t e de um t r a n s f o r m a d o r trifásico(ou b a n c o ) l i g a d o em d e l t a - d e l t a .

A m a t r i z de admitância pode s e r então d e f i n i d a p e l a a equação 2.24 a s e g u i r .

A B C A" B' c _

2 y / a2 -y/a* -y/a* -2y/a0 y/a0 y/a0 A

- y / a2 2y/a2 - y / a2 y/a0 -2y/a0 y/a0 B

- y / a2 -y/a* 2 y / a2 y/a0 y/a0 -2y/a0 C

-2y/a0 y/a0 y/a0 2y/02 - y / 02 - y / 02 A'

y/af3 -2y/a0 y/aB - y / 02 2y/02 - y / 02 B'

y/a0 y/a0 -2y/a0 - y / 02 - y / 02 2 y / 02 C

( 2 . 2 4 ) G e r a l m e n t e , q u a l q u e r t r a n s f o r m a d o r trifásico de d o i s e n r o l a m e n t o s pode s e r r e p r e s e n t a d o c o n s i d e r a n d o o a c o p l a m e n t o e n t r e ambos e n r o l a m e n t o s (ARRILAGA e t a l i i , 1 9 8 3 ) . A r e d e e a m a t r i z admitância p a r a e s t a representação é i l u s t r a d a na F i g . 2.9. F i g . 2.9- T r a n s f o r m a d o r de d o i s e n r o l a m e n t o com a c o p l a m e n t o e n t r e o s e n r o l a m e n t o s .

"""""" " '' — — I p = Ypp Yup Y p a Yoa — • , ( 2 . 2 5 ) Onde : [Yap3 = [Yp«3* 0 a c o p l a m e n t o e n t r e oe d o i s e n r o l a m e n t o s compostos é b i l a t e r a l .

Ypp : s t i b m a t r i z trifásica do e n r o l a m e n t o primário. Y a a : s u b m a t r i z trifásica do e n r o l a m e n t o secundário.

Ypa e Yap : s u b m a t r i z e s trifásicas que r e p r e s e n t a m o

a c o p l a m e n t o mútuo e n t r e os e n r o l a m e n t o s primário-secundário e secundario-primário,respectivamente.

Por meio d e s t a configuração, as conexões comuns dos t r a n s f o r m a d o r e s trifásicos podem s e r modeladas p o r s u b m a t r i z e s básicas, p a r a serem usadas na formulação da m a t r i z admitância n o d a l , sendo e l a s já d e s e n v o l v i d a s a n t e r i o r m e n t e . Como e x p l i c i t a as equações 2.26 a 2.28. Y t 0 0 Y i = 0 Yt 0 ( 2 0 0 Y t 2 Y t - Y t Y t Y I I = - Y t 2 Y t - Y t - Y t - Y t 2 Y t ( 2 . 2 7 )

( 2 . 2 8 )

As s u b m a t r i z e s [ Y P P] , [Yp«], [ YS E> ] e [ Ys < 3] são dadas na

t a b e l a 2.1 p a r a conexões comuns no t r a n s f o r m a d o r .

T a b e l a 2 . 1 . S u b m a t r i z e s básicas u s a d a s n a formação d a s m a t r i z e s de admitâncias dos t r a n s f o r m a d o r e s .

Conexão do T r a n s f o r m a d o r Admitância própria Admitância mútua b a r r a p b a r r a s CYpp] [ Ye e] [ Y p . ] , ÍYmvl* E s t r e l a - G E s t r e l a - G Y i Y i - Y i E s t r e l a - G E s t r e l a Y I I / 3 Y I I / 3 - Y I I / 3 E s t r e l a E s t r e l a Y I I / 3 Yxx/3 - Y I I / 3 D e l t a E s t r e l a - G Y I I Y i Y i i i t E s t r e l a - G D e l t a Y i Y n Y i n D e l t a D e l t a Y n Y n - Y n As s u b m a t r i z e s d e f i n i d a s devem s e r m o d i f i c a d a s quando c o n s i d e r a - s e o a j u s t e de " t a p " n a o - n o m i n a l . E s t a alteração é f e i t a de t a l f o r m a : ( i ) D i v i d e os e l e m e n t o s da m a t r i z admitância própria do e n r o l a m e n t o primário p o r a2. ( i i ) D i v i d e os e l e m e n t o s da m a t r i z admitância própria do e n r o l a m e n t o secundário p o r 82. ( i i i ) D i v i d e os e l e m e n t o s da m a t r i z admitância mútua p o r aJ3. Y i n = 0 Y* -Yt -Y* 0 Y* Y* - Y t 0

No s i s t e m a p o r u n i d a d e , o e n r o l a m e n t o em d e l t a tem um t a p n a0- n o m i n a l de V*3\ que deve s e r incluído nas s u b m a t r i z e s

básicas.

2.2.5 Modelamento trifásico das l i n h a s de transmissão

Os parâmetros das l i n h a s de transmissão são c a l c u l a d o s das características geométricas da l i n h a . Os parâmetros c a l c u l a d o s são e x p r e s s o s como impedância série e admitância em p a r a l e l o p o r u n i d a d e de comprimento. 0 e f e i t o dos c o n d u t o r e s t e r r a e a influência da c o r r e n t e de a t e r r a m e n t o são incluídos nas reatâncias própria e mútua das f a s e s dos c o n d u t o r e s .

Uma l i n h a de transmissão trifásica pode s e r modelada p o r três c i r c u i t o s K nominais,com acoplamento e n t r e ambos ramos série e p a r a l e l o dos três c i r c u i t o s (ARRILAGA e t a l i i , 1 9 8 3 ) .

A impedância série e a admitância em derivação da representação da l i n h a trifásica p e l o c i r c u i t o TC nominal é m o s t r a d a na F i g . 2 . 1 0 ( a ) e a m a t r i z e q u i v a l e n t e é i l u s t r a d a na F i g . 2 . 1 0 ( b ) . E s t a s duas m a t r i z e s podem s e r r e p r e s e n t a d a s p o r componentes trifásicos da admitância(Fig. 2 . 1 0 ( c ) ) .

As m a t r i z e s [ Z i i c ]- 1 e [ Y i i c ] c o n s t i t u e m r e s p e c t i v a m e n t e a

m a t r i z de admitância p r i m i t i v a o b t i d a c o n s i d e r a n d o - s e somente o e f e i t o eletromagnético e a m a t r i z de admitância c a p a c i t i v a o b t i d a l e v a n d o em c o n t a somente o e f e i t o eletrostático. Ambas são simétricas, p o i s se a d m i t e que a l i n h a de transmissão s e j a um e l e m e n t o b i l a t e r a l , d e s t a forma t o d o triângulo s u p e r i o r da m a t r i z pode s e r constituído p o r e l e m e n t o s d i s t i n t o s .

.aa ' i k m e t a d e das admitâncias em paralelo (a) r-ZjkD metade das a d m i t â n c i a s cm p a r a l e l o

Yaa Yab Yac Yba Ybb Ybc Yca Ycb Ycc

Zaa Zab Zac Zba Zbb Zbc Zca Zcb Zcc

cYik:/2 cYik3/2

(b)

Yaa Yab Yac Yba Ybb Ybc Yca Ycb Ycc

CZikD

( c )

F i g . 2 . 1 0 . Modelo de uma l i n h a de transmissão trifásica. ( a ) C i r c u i t o e q u i v a l e n t e ; ( b ) M a t r i z e q u i v a l e n t e ; ( c ) Representação usando admitâncias trifásicas.

A m a t r i z de admitância n o d a l i n d i v i d u a l da l i n h a [ Y b ^ o ] * é d e s e n v o l v i d a sem d i f i c u l d a d e s u t i l i z a n d o o a l g o r i t m o de "inspeção d i r e t a " . [ Z l k : ] - l + [ Y n c 3 / 2 - C Z i . k 3 - i ( 2 . 2 9 ) E s t a representação não é b a s t a n t e p r e c i s a p a r a l i n h a s e l e t r i c a m e n t e l o n g a s . 0 equacionamento de l i n h a s l o n g a s p e r f e i t a m e n t e t r a n s p o s t a s ou não-transpostas e n v o l v e o e s t a b e l e c i m e n t o e solução de um s i s t e m a de equações d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s , que t o r n a sua modelagem complexa. E n t r e t a n t o , p a r a frequência n o m i n a l da r e d e , é c o n s i d e r a d o s u f i c i e n t e m o d e l a r uma l i n h a l o n g a como uma série de duas, três ou m a i s seções Tt n o m i n a i s . Segundo ROBBA e VELHO(1975), uma l i n h a l o n g a deve s e r d i v i d i d a em t r e c h o s de aproximadamente 50 Krn, com a introdução de b a r r a s fictícias.

2.2.5.1 L i n h a s mutuamente a c o p l a d a s

Quando duas ou m a i s l i n h a s de transmissão ocupam o mesmo caminho p a r a um d e t e r m i n a d o c o m p r i m e n t o , o acoplamento eletrostâtico e eletromagnético e n t r e e s t a s l i n h a s deve s e r c o n s i d e r a d o .

C o n s i d e r e o caso básico de duas l i n h a s trifásicas mutuamente a c o p l a d a s . Ambas formam um s u b s i s t e m a composto de q u a t r o b a r r a s do s i s t e m a , onde cada e l e m e n t o é uma m a t r i z ( 3 x 3 ) e

t o d a tensão e c o r r e n t e são v e t o r e s ( 3 x 1 ) . Como i l u s t r a a F i g . 2.11, as m a t r i z e s em série r e p r e s e n t a m o a c o p l a m e n t o eletromagnético, e n q u a n t o os e l e m e n t o s em derivação r e p r e s e n t a m o a c o p l a m e n t o c a p a c i t i v o ou eletrostático.

©

s * £ypq,ggJp [ypq,rslp

©

> fyrs,gg]p

©

rypq,pq]s rypq,pq]s --t>pq,rs]s £ypq,gglp t>pq,rs]s £ypq,gglp t^rs,rs3 s [ypq,rs]p

» •

©

Cyrs,gg3p g 777777777777

F i g . 2 . 1 1 . Associação de c i r c u i t o s TI nominais p a r a modelar l i n h a de transmissão com c i r c u i t o s mutuamente a c o p l a d o s .

U t i l i z a n d o o a l g o r i t m o de formação da m a t r i z [Yb-ue] com mútuas,é s i m p l e s d e m o n s t r a r que a m a t r i z [Yb-ua] r e p r e s e n t a t i v a do c i r c u i t o d u p l o da l i n h a de transmissão pode s e r e s c r i t a , em t e r m o s das m a t r i z e s p r i m i t i v a s , conforme i n d i c a d o na equação 2.30 a s e g u i r :

[Ypq. pq 3 ! [Ypq , r» 3 o I p + } + í — [Ypq , r s 3 o [ Y M . e s J p ! [Ypq , r o j p [Ypq, X>B 3 8* í [ Y r a , r o 3 o I r + J _{+ - [ Y p q , r a} 3 a ' I ~ [ Y r a , r a ] a [Ypq, r-«3r>'fc ! [ Y r a , g g j p , [Ypq, pq 3 B [ Y p q , r a ] a I * - [ Y p q . 3?q3 e ! — C Ypq , r s 3 s ! + [Ypq, e s 3P [ Y p q , r s 3 p [Ypq , r s 3 B* [ Y r a , r e 3 a I o - [ Y p q . r a 3 at ! — [ Y r a , r e 3 s i | + + [Ypq, r o j p * [ Y r a , e s 3 p i V, ( 2 . 3 0 ) E assumido que o a c o p l a m e n t o é b i l a t e r a l . P o r t a n t o , [ Y r a , p q 3 m — [ Y p q , r a ] st, e t c . 2.2.5.2 Agrupamento d o s s u b s i s t e m a s das l i n h a s de transmissão

Os s u b s i s t e m a s das l i n h a s de transmissão são montados na m a t r i z de impedância p r i m i t i v a , que é composta de NxN s u b m a t r i z e s ( 3 x 3 ) , onde N é o número de ligações da r e d e (RAMOS e DIAS,1983). E x p l i c i t a m e n t e : [Zaí3,o-oatoo3 = [ Z p q , p qa b c3 a [ Z p q , m na b c] a [ Z m n . p qa b c] a [ Zmn , r n na b c 3 a t Z p q , r aa b° ] a [ Z m n , r aa b c] , [Z r a , p qa b c] a [ Z r a , m na b c 3 i [Z r o , r o .toe], ( 2 . 3 1 )

Onde:

[Zct£>,oôabo3 : M a t r i z impedância p r i m i t i v a da r e d e , onde

a, 13, a e 6 são Índices variáveis t a i s que abrangem t o d a s as ligações da r e d e .

[Zp<a.mna t o c3 = CZmn.pq0-b c3t, . . . , e t c .

Os t e r m o s d i s p o s t o s na d i a g o n a l r e p r e s e n t a m as características próprias das l i n h a s de transmissão, os demais t e r m o s f i g u r a m como a c o p l a m e n t o e x i s t e n t e e n t r e a s l i n h a s .

E s t a m a t r i z de impedância p r i m i t i v a s o f r e um p r o c e s s o de inversão, t r a n s f o r m a n d o - s e na m a t r i z admitância p r i m i t i v a da r e d e , a q u a l c o n t r i b u i d i r e t a m e n t e na formação da [Yt.ua3 do s i s t e m a p o r inspeção. Uma característica p e c u l i a r é a e s p a r s i d a d e que o c o r r e t a n t o na m a t r i z impedância p r i m i t i v a como na admitância p r i m i t i v a de agrupamento da r e d e elétrica.

No caso g e r a l , em l i n h a s de c o m p r i m e n t o médio, e v i d e n t e m e n t e , e n t r a na composição do m o d e l o , a s m a t r i z e s capacitâncias em derivação. No t r a t a m e n t o dado a simulação d i g i t a l , o s e l e m e n t o s em derivação são distribuídos e q u i t a t i v a m e n t e em ambas e x t r e m i d a d e s da l i n h a , então as m a t r i z e s c a p a c i t i v a s f o r n e c i d a s na e n t r a d a de dados são d i v i d i d a s p o r d o i s g e r a n d o , o b v i a m e n t e , duas m a t r i z e s . A configuração das ligações a d q u i r e m a representação i l u s t r a d a na F i g . 2.12.

E s t e s e l e m e n t o s em derivação são a g r u p a d o s , s e g u i n d o a mesma padronização da montagem na m a t r i z impedância* p r i m i t i v a ,

adotado v i s a f a c i l i t a r a contribuição d e s t e s e l e m e n t o s trifásicos d u r a n t e a formação da [ Y t , uS] na simulação d i g i t a l . o © r"i,i~"-i -»s r va b c _ r va b c L/pq,ggJp L'pq.gg-ip ( m ) 0 1 o © 9

mw

g

w7m

ifmr

0 . o ® 9

wirr

777777

F i g . 2 . 1 2 . Representação dos e l e m e n t o s a g r u p a d o s n a s m a t r i z e s impedância p r i m i t i v a e admitâncias p r i m i t i v a em derivação.

e l e m e n t o trifásico da r e d e , através de suas r e s p e c t i v a s m a t r i z e s n o d a i s e l e m e n t a r e s , t o r n a - s e b a s t a n t e s i m p l e s a montagem da m a t r i z admitância t o t a l . Para t a n t o é s u f i c i e n t e c o n h e c e r - s e a t o p o l o g i a do s i s t e m a e o t i p o de componente c o n s t i t u i n t e de cada e l o ( p r o v i n i e n t e s do a r q u i v o de dados de ligações) e o p e r a r - s e com as m a t r i z e s e l e m e n t a r e s como s u b m a t r i z e s da m a t r i z t o t a l . Lembrando que t o d a s as impedâncias mútuas já estão e m b u t i d a s nas s u b m a t r i z e s r e l a t i v a s às l i n h a s de transmissão. As m a t r i z e s admitâncias dos e l e m e n t o s ( e s u b s i s t e m a s ) podem s e r m a n i p u l a d o s

2.3 Formação da m a t r i z de admitância n o d a l do s i s t e m a

e f i c i e n t e m e n t e se os três nós ( o u f a s e s ) na b a r r a são a s s o c i a d o s j u n t o s , p o i s i s s o f a c i l i t a a formação da m a t r i z admitância p a r a o s i s t e m a g e r a l .

As r e g r a s básicas p a r a formação da [Ybvie] da r e d e elétrica (ARRILAGA e HARKER,1978) são :

a ) A m a t r i z admitância própria de cada b a r r a é a soma de t o d a s as m a t r i z e s de admitâncias próprias i n d i v i d u a i s n a q u e l a b a r r a .

b ) A admitância mútua e n t r e duas b a r r a s é a soma das m a t r i z e s de admitância mútua de t o d o s os s u b s i s t e m a s c o n t e n d o a q u e l e s d o i s nós.

Os g e r a d o r e s , t r a n s f o r m a d o r e s , c a r g a s r e p r e s e n t a d a s p o r impedâncias e estáticos de b a r r a s c o n t r i b u e m d i r e t a m e n t e na

[Ytoijo] através das [Yb-ue3± de cada e l e m e n t o .

No t r a n s c o r r e r da solução do p r o b l e m a , d u r a n t e a f a s e de montagem da m a t r i z [ Y b u a ] do s i s t e m a g l o b a l em componentes de

f a s e , as m a t r i z e s [YbusJ± de cada l i n h a de transmissão ( o u g r u p o s de l i n h a mutuamente a c o p l a d o s ) são computados m u i t o s i m p l e s m e n t e , ou s e j a , p o r adição de cada e l e m e n t o ( 3 x 3 ) da m a t r i z p a r c i a l , na r e s p e c t i v a posição da [ Y b u e ] do s i s t e m a t o t a l . De m a n e i r a d e t a l h a d a cada e l e m e n t o p r i m i t i v o , p o r exemplo, (ypq,p<i)a o b t i d o p e l a inversão da m a t r i z impedância primitiva(Equação 2 . 3 1 ) , deve

e n t r a r na constituição da m a t r i z admitância s e g u i n d o o a l g o r i t m o denominado "inspeção d i r e t a " (VELHO,1974), que se a p r e s e n t a de a c o r d o com a equação 2.32.

Y b u o ( p , q ) - Ybuo(p,q) - ( yP« ,P q)a Y b u e ( q , p ) = Ytaus(q,p) - (ypq,:pq)e ( 2 . 3 2 ) Y b u a ( p , p ) = Ybuo(p,p) + ( y p q . p q )0 Y b u a ( q , q ) - Ybue(q,q) + ( y p q ,P q)e T r a t a n d o - s e de l i n h a de c o m p r i m e n t o médio o e l e m e n t o p r i m i t i v o em derivação é a d i c i o n a d o no a l g o r i t m o apenas c o n t r i b u i n d o nas admitâncias próprias(Equação 2 . 3 3 ) .

Y b uB( p , p ) = Ybue(p,p) + ( yPq , p q )a + ( y p q , g g ) p

( 2 . 3 3 ) Y b u a ( q , q ) = Ybua(q,q) + (

Com a existência de mútuas nas l i n h a s , u t i l i s a - s e o a l g o r i t m o de "montagem com mútuas" (VELHO,1974), onde cada e l e m e n t o , p o r exemplo, ( y p q . r s ) a c o n s t i t u i n t e da m a t r i z admitância p r i m i t i v a em derivação deve s e r a d i c i o n a d o nas posições c o r r e s p o n d e n t e s a b a r r a s de mesma p o l a r i d a d e e s u b t r a i d a nas posições que correspondem a b a r r a s de p o l a r i d a d e s d i f e r e n t e s .

O a l g o r i t m o de "montagem com mútuas" é e s t r u t u r a d o da s e g u i n t e f o r m a : Yfcjue ( P , s ) = Y b u s ( p , s ) — _{( y p q . r a ) a} Ybua ( s , p ) = Ybua(S,p)

-

( y p q , r s ) st Ybue ( q , r ) Y b u a ( q , r )

-

( y p q . r-£) ) o Ybua ( r , q ) = Y b u a ( r , q )

-

( y p q , r-s ) s t Y to ura ( P , r ) = Y b u s ( p , r ) ( y p q . r-s ) s Ybua ( r , p )

-

Y b u a ( r , p ) + _{( y p q .} ) sj-fc Ybua ( q , s )

-

Y b u a ( q , s ) + _{( l'pq .} r-s ) g> Ybue ( s , q ) — _{Ybua(S,q) ( y p q . r a ) B*} ( 2 . 3 4 )