U M E S T U D O D O S C Ó D I G O S D E R E E D - M Ü L L E R NOM E ; A N T O N I O G O N S A L V E S VIC: O R I E N T A D O R : P R O F E S S O R G U R D I A L (I DATA : F L O R I A N Ó P O L I S , 24 D E £ E N T E h.D. ) E T E M B R O D E 1985.
A N T O N I O G O N Ç A L V E S V I C E T TE E S T A D I S S E R T A Ç Aü Fü I J U L G A D A A D E Q U A ’’H E S T R E E M C I Ê N C I A S ” D A P A R A A O B T E N C Ä O D O T Í T U L O DE E S P E C I A L I D A D E E M M A T E M A T I C A E A P R O V S O D E P O S - G R A D U A Ç A O E M M A T E M A T I C A D C A T A R I N A . B A N C A E X A M I N A D O R A : ^ D A EM S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R ^ U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E S A N T A P r o f . Wi][liarfi ' G l e n n W h i t l e y , P h . D C o o r d e n a d o r P r o ^ ^Wag ã^r d'e^^^u za B o r g e s , P h . 0 P r o f . P a u l J a m e s O t t e r s o n , Ph
E x t e r n o , os m e u s s i n c e r o s a g r a d e c i m e n t o s , a t o d o s à q u e l e s q u e d e q u a l q u e r m o d o c o n t r i b u í r a m p a r a a c o n c l u s ã o d e s t e m e u t r a b a l h o , e m e s p e c i a l ; - Ã U F M T - U n i v e r s i d a d e F é d e r a l d o M a t o G r o s s o ; - A o D e p a r t a m e n t o d e C i ê n c i a s d o C e n t r o P e d a g ó g i c o d e RAO; - A o P r o f e s s o r G u r D i a l (E - à S e c r e t a r i a d o C u r s o de c a d a UF SC; - A t o d o s 08 m e u s c o l e g a s h.D.) O r i e n t a d o r . P õ s G r a d u a ç ã o e m M a t e m á t i -de e s t u d o . A o s m e u s Pais: J o ã o ç o n s a l v e s V i c e n t e e Theodcj)lina A d a m i V i c e n t e A m i n n a e t e r n a g r a t i d ã o 1
R e s u m o C A P Í T U L O I I n t r o d u ç ã o ... . C o n c e i t o s P r e l i m i n a r e s ... M a t r i z G e r a t r i z ... M a t r i z d e V e r i f i c a ç ã o d e P a r i d a d e P r o p r i e d a d e s d e u m C ó d i g o L i n e a r . C ó d i g o s d e H a m m i n g ... . 0 C ó d i g o D u a l ... .. C o n s t r u ç ã o d e N o v o s C ó d i g o s A t r a v é s A d i ç ã o d e u m a V e r i f i c a ç ã o d e P a r i d a d e , F u r a n d o u m C ó d i g o p e l a E l i m i n a ç ã o <le C o o r d e n a d a s , E x p u r g a n d o p e l a E l i m i n a ç ã o d e Palavjras C ó d i g o . I n c r e m e n t a n d o p e l a A d i ç ã o d e N o v a s 3>alavras C ó d i g o R e d u ç ã o d e u m C ó d i g o p e l o C o r t e T r a n s v e r s a l C ó d i g o s P r o d u t o ... d e C ó d i g o s V e l h o s . C A P i T U L O II I n t r o d u ç ã o ... F u n ç õ e s B o o l e a n a s ... C ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r . . . . C ó d i g o s P r o d u t o d e R e e d - M u l l e r C A P Í T U L O I II m , s I n t r o d u ç ã o ... C ó d i g o s A u t o D u a i s . C ó d i g o d e O r d e m r+(r+1), P e s o M í n i m o d e u m C ó d i g o R ( r , m , s ) D u a l d o R ( r , m , s ) C o n c l u s ã o ... B i b l i o g r a f i a . . . . 06 07 08 09 13 15 18 19 21 22 23 24 25 26 27 34 34 36 42 52 52 55 59 60 62 63
N o p r i m e i r o c a p í t u l o i n t r o d u z i m o s os c o n c e i t o s p r e l i m i n a r e s d e u m c ó d i g o l i n e a r , d e f i n i m o s o q u e é u m a m a t r i z g e r a t r i z e u m a m a t r i z d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i i a d e , e, d a m o s as p r o p r i e d a d e s b á s i c a s d e u m c ó d i g o l i n e a r . Definiinos t a m b é m os c ó d i g o s d e H a m m i n g e o c ó d i g o d u a l e m o s t r a m o s al(juns p r o c e s s o s d e c o n s t r u ç ã o d e u m n o v o c ó d i g o a t r a v é s d e u m cód;.go v e l h o , d a n d o t a m b é m o m é t o d o d e c o n s t r u ç ã o d e u m c ó d i g o p r o d u t o . N o s e g u n d o c a p í t u l o e s t u d a m o s o s c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r , as p r o p r i e d a d e s b á s i c a s , s u a c o n s t r u ç ã o e o p r o d u t o e n t r e d o i s c ó d i g o s d e R e e d r M u l l e r . M o s t r a m o s Tamh o p r o d u t o d e d o i s c ó d i g o s d e R e e d - M i l l e r , n e m s e m p r e é u m c ó d i g o d e R e e d - M u l l e r , m a s q u e p o d e s e r con R e e d - M u l l e r d e o r d e m m a i o r . N o t e r c e i r o c a p í t u l o v e m o s ém, a t r a v é s d e e x e m p l o s q u e s i d e r a d o c o m o u m s u b c ó d i g ò d e s o b q u a l c o n d i ç ã o o d u a l de u m c ó d i g o d e p e s o p a r e s t á c o n t i d o n o s e u c ó d i g o p r ó p r i o . A l é m d i s s o , e s t u d a m o s o s c ó d i g o s l i n e a r s ã o o b t i d o s p e l a a n e x a ç ã o d e a l g u n s l e r d e o r d e m r. M o s t r a m o s a i n d a , q u e M u l l e r é u m c ó d i g o l i n e a r d e o r d e m r es d e o r d e m r + ( r + 1 ) lu ^ s, q u e v e t o r e s b á s i c o s d e R e e d - M u l - o c ó d i g o p r o d u t o d e R e e d
-C Ö D I G O S LINEARES., 1 . I N T R O D U Ç Ã O ; - E m q u a l q u e c s i s t e m a d e c o m u n i c a ç ã o p o d e m o c o r r e r d i s t ú r b i o s n a t r a n s m i s s ã o d e d a d o s o u m e n s a g e n s . E s t e s d i £ t ú r b i o s , m u i t a s v e z e s s ã o p r o v o c a d o s p o r r u i d o s n a t u r a i s o u f e i t o s p e l o h o m e m . P o r e x e m p l o , n u m a l i n h a : el efônica, o d i s t ú r b i o p o d e v i r a se r r u i d o t e r m a l , r e l â m p a g o , o\i c o n v e r s a c r u z a d a d e o u t r a s l i n h a s . O s c ó d i g o s f o r a m i n v e n t a d o s p a r a c o r r i g i r e r r o s e m c a n a is d e c o m u n i c a ç ã o c o m d i s t ú r b i o s . N Ó S a q u i , s u p o m o s u m a m e n s los s o b r e u m c o n j u n t o f i n i t o . N o gers p o d e e s t a r representa^jaío u m n ú m e r o , un p l e t a . E s s a m e n s a g e m é e n t ã o t r a n s m i t c a ç ã o q u e e s t á s u j e i t o a r u i d o s q u e p são. C o n s i d e r e m o s o d i a g r a m a d o c a n a l g e m c o m o u m b l o c o d e s í m b o - 1, s e j a a m e n s a g e m 1001, q u e a l e t r a o u a t é u m a f r a s e c o m i d a s o b r e u m c a n a l d e c o m u n i - o d e r ã o p r e j u d i c a r a t r a n s m i s - d e c o m u n i c a ç ã o F O N T E C O D I F I C A D O R C A N A L M E N S A G E M 1001 1001101 ruido Fig. 1.1.1 - 0 c a n a l de C o m i n i c a ç ã o . A p r i m e i r a c a i x a c o n t é m a míinsagem, e m n o s s o c a s o 1001 . E s t a m e n s a g e m , e n t ã o , e n t r a n o c o d i f i c a d o r o n d e o s d í g i t o s r e d u n - d a n t e s 101 s ã o a d i c i o n a d o s t a l q u e a riensagem, q u a n d o c o m u n i c a d a , p o s s a s e r c o r r i g i d a se f i c o u prejudicc.da. A m e n s a g e m é e n t ã o t r a n s m i t i d a s o b r e o c a n a l , o n d e e s t á s u j e i t a a r u i d o . Q u a n d o u m r u i d o p r e j u d i c a a m e n s a g e m , u m "0" é t r o ca dc "0", o q u e a l t e r a a m e n s a g e m . 0 o b j e t i c o r r i g i r o s e r r o s o c o r r i d o s d u r a n t e a p o r "1" o u u m "1" p o r u m v o d o s c ó d i g o s é d e t e c t a r e t r a n s m i s s ã o d e m e n s a g e n s .
p r e s e n ç a d e r u i d o s , o c o r r e m O B S E R V A Ç Õ E S : 1)- P o d e m o s p e n s a r n o c a n a l d e c o m u n i c a ç ã o c o m o u m c a n a l d e c o m u n i c a ç ã o r e a l , ou c o m o os d a d o s a r m a z e n a d o s n o c o m p u t a d o r q u e se d e t e r i o r a m n o t e m p o . E m b o r a a c o n f i a b i l i d a d e d o c a n a l é m u i t o b o a , n o s s a n e c e s s i d a d ^ p a r a u m a c o m u n i c a ç ã o c o n f i á v e l é g r a n d e . 2) - D e v i d o a e r r o s d u r a n t e a t r a n s m i s s ã o . E s t e s e r r o s p o d e m s e r e s p o r á d i c o s e i n d e p e n d e n t e s , n e s t e c a s o s ã o c h a m a d o s e r r o s a l e a t ó r i o s . N o n o s s o t r a b a l h o t r a t a r e m o s s o m e n t e desse; t i p o d e err o. 2. C O N C E I T O S P R E L I M I N A R E S . 09 N Ó S assiimiremos q u e a info i n f o r m a ç ã o e s t á n a f o r m a b i n á r i a (um r i o s ) . 0 p r o c e s s o d e c o d i f i c a ç ã o c o n -T) a s e q u ê n c i a d e i n f o r m a ç ã o é s e g m c a d a b l o c o c o n s i s t e d e k s u c e s s i v o s -2) o c o d i f i c a d o r , d e a c o r d o c o m c e r C O m e n s a g e m e m u m b l o c o d e n, (n >k) r m a ç ã o v i n d a d e u m c a n a l de a s e q u ê n c i a d e d í g i t o s b i n á - s i s t e d e d u a s e t a p a s b á s i c a s , s n t a d a e m b l o c o s m e n s a g e n s , e d í g i t o s d e i n f o r m a ç ã o ; tas n o r m a s t r a n s f o r m a u m b l o - d í g i t o s b i n á r i o s (uma n - u p l a c ó d i g o . D e s d e q u e c a d a b l o c o k b i n á r i a ) q u e n ó s c h a m a m o s d e p a l a v r a m e n s a g e m c o n s i s t e d e k d í g i t o s b i n á r i o s , e x i s t e m 2^ m e n s a g e n s p o s s í v e i s , i s t o é, e x i s t e m 2^ p a l a v r a s c ó d i g o p o s s í v e i s a s e r e m p r o d u z i d a s p e l o c o d i f i c a d o r . E s t e c o n j u n t o d e 2^ p a l a v r a s c ó d i g o r e -c e b e o n o m e d e -c ó d i g o b l o -c o . U m a pal-c c h a m a d a d e v e t o r c ó d i g o , p o r q u e e l a
é
t o r i a l , d e t o d a s as n - u p l a s . P a r a u m c ó d i g o b l o c o , c i t a d u m a c e r t a e s t r u t u r a e s p e c i a l , o m e c a n x o r b i t a n t m e n t e c o m p l e x o p a r a k g r a n d e a r m a z e n a r os 2^ v e t o r e s c ó d i g o e m u m ,vra c ó d i g o é f r e q u e n t e m e n t e u m a n u p l a d e u m e s p a ç o v e -o a c i m a , a m e n -o s q u e t e n h a i s m o d e c o d i f i c a ç ã o s e r i a e - , v i s t o q u e , t e r í a m o s q u e d i c i o n á r i o . P o r t a n t o , n ó sca
o s c ó d i g o s q u e p o d e m s e r d e v e m o s r e s t r i n g i r a n o s s a a t e n ç a o p a m e c a n i z a d o s d e m a n e i r a p r á t i c a . A s e g ü i r , n ó s c o n s i d e r a r e m o s c ó d i g o s c o m a e s t r u t u r a q u e o s 2^ v e t o r e s c ó d i g o d e c a d a c ó d i g o , q u e f o r m a m u m s u b e s p a ç o K d i m e n s i o n a l d e t o d a s as n - u p l a s . V e r e m o s q u e c o m e s t a e s t r u t u r a e m u m c ó d i g o , a c o d i f i c a ç ã o c o m p l e x a s e r á c o n s i d e r a v e l m e n t e r o d u z i d a .D e f i n i ç ã o 1.2.1 - U m conj c ó d i g o l i n e a r se, e s o m e n t e se, f o r al d e t o d a s as n - u p l a s . k ■ — ato d e 2 n - u p l a s e c h a m a d o u m u m s u b e s p a ç o d o e s p a ç o v e t o r i -O b s e r v a ç ã o - T r a b a l h a r e m o s i s t o é, c ó d i g o s l i n e a r e s b i n á r i o s . E x e m p l o 1.2.1 - S e j a k = 3 €; c a d o r t r a n s f o r m e a m e n s a g e m d e 3 díç d í g i t o s d a s e g u i n t e f orma; M e n s a g e m C o d i f i c a 000 a p e n a s c o m n - u p l a s b i n á r i a s , n=6. S u p o n h a m o s q u e o codifi- i t o s e m u m v e t o r c ó d i g o de 6 d o r 001 01 0 01 1 100 101 1 1 0 1 1 1 O b s e r v a ç ã o - T r a b a l h a r e m o s c o m c o r p o b i n á r i o GF(2) P a l a v r a - c ó d i g o 000000 0 0 1 1 0 1 0 T0011 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 d e d o i s e l e m e n t o s 0 e 1. D e s d e q u e k=3 , e x i s t e m 2~’=8j v e is. C a d a m e n s a g e m é t r a n s f o r m a d a em d í g i t o s p e l o c o d i f i c a d o r . T o d a s as p a N Ó S p o d e m o s f a c i l m e n t e v e r q u e o conj m a u m s u b e s p a ç o t r i d i m e n s i o n a l d o e s p u p l a s . P o r t a n t o , e l e é u m c ó d i g o l i n e m e n s a g e n s d i s t i n t a s p o s s í - u m a p a l a v r a c ó d i g o d e s e i s l a v r a s c ó d i g o s ã o d i s t i n t a s , u n t o d a s p a l a v r a s c ó d i g o f o r aço v e t o r i a l d e t o d a s as 6- a r. 1 . 2 . 2 - M a t r i z G e r a t r i z . P a r a u m s u b e s p a ç o k d i m e n s i c c h a r u m c o n j u n t o d e k n - u p l a s l i n e a r m e as k n - u p l a s p o r v ^ , V2, .. u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e
v.
V, ta l •/
n a l , S d e V ^ , é p o s s í v e l a - n t e i n d e p e n d e n t e s . I n d i c a m o s q u e c a d a n - u p l a d e S s e j a Vj^ n a s e g u i n t e f o r m aX = u ^ v ^ + U2V2+ o n d e = 0 o u 1 p a r a i= 1,
2
d e s e r d a d o p o r u m a b a s e , n ó s podemi ,k ( 1 . 1 .2a) k. C o m o u m c ó d i g o l i n e a r é u p s u b e s p a ç o e u m s u b e s p a ç o po-3S e n t ã o d e s c r e v e r u m c ó d i g o : o n j u n t o d e k p a l a v r a s c ó d i g o l i n e a r d e 2 v e t o r e s c ó d i g o p o r u m l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s . S e j a a m á t r i z G f o r m a d a p e l o s k v e t o re s c ó d i g o c o m o l i n h a s d e l a . C o m o p o d e m o s o b t e r r q u â l Q U e r y p â l a Y E a c ó d i g o u s a n d o as l i n h a s d a m a t r i z , (ssta m a t r i z s e r á c h a m a d a d e m a t r i z g e r a t r i z . E s t e s k v e t o r e s d e t e r m i n a m o e s p a ç o l i n h a d e G, a s s i m ^1 V1 1 v^2 ^ 1 3 ■• • ^ 1 n ^2 V21 V22 V23 . • • G = • • < = • • • • ^k1 ^ k 2 ^ k 3 •• • ^ k n o n d e V . = 1 '^i2' ■... / v^j^) , p a r a i= 1, 2, .., k. Se u = ( u ^ , U2/ .../ Uj^) é u m b l o c o m e m s a g e m , e n t ã o a p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s p o n d e n t e p o d e s e r d a d a c o m o secfue: X = u G ( 1 .2.2b) 1 v. Vi ( 1 .2.2c) , a p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s - é u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r d a s = U ^ V ^ + U2V2+ — ® p o n d e n t e a m e n s a g e m ( u ^ , U2, ..., Uj^) l i n h a s d e G. O b s e r v a ç õ e s ; 1) - 0 c ó d i g o n o t a d o p o r u m [n,kj c ó d i g o . 2) - 0 c ó d i g o c i f i c a d o p e l a m a t r i z g e r a t r i z del e . 3) - 0 e s p a ç o l i n h a d e G é d e f i n i d o c o m o t o d a s as c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d a s l i n h a s d e G. A r a z ã o R = k / n é c h a m a d a a t a x a d o c ó d i g o ; - u m a v e z L i n e a r d e s c r i t o a c i m a é d e - Linear é c o m p l e t a m e n t e e s p e-q u e u m c ó d i g o é c o m p l e t a m e n t e espec:.ficado p e l a m a t r i z g e r a t r i z G, o n ú m e r o d e a r m a z e n a g e m d a codif;. 0 c o d i f i c a d o r t e m u n i c a m e n t e q u e a r m a z e n a r as k l i n h a s d e G e m k v e z d e a r m a z e n a r os 2 v e t o r e s codic E x e m p l o 1 . 2 . 2 - 0 c ó d i g o d i g o [6,3] c o m a m a t r i z g e r a t r i z ^1 1 0 0 1 1 0 G = = 0 1 0 0 1 1 ^^3 0 0 1 1 0 1 c a ç ã o é g r a n d e m e n t e r e d u z i d o , lazenar as k 1, o, d o c ó d i g o . d a d o n o e x e m p l o 1.2.1 é o c ó -A p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s p o n d e n t e a m e n s a g e m u= (1 0 1) é V,
X
= (1 0 1) V, = ~1 .v^ +0.V2 + I.v^ = 1 (1 0 0 1 1 0) +0 (0 1 0 0 1 = 1 0 1 0 1 1 É p o s s í v e l c o d i f i c a r c a d a b l o c o m e n s a g e m e m u m a p a l a v r a c ó d i g o d e t a l f o r m a q u e o s p r i m e i r o s k d í g i t o s d a p a l a v r a c ó d i g o s e j a m a x a t a m e n t e i s u a i s a o s b l o c o s m e m s a g e m e os ú l t i m o s (n-k) d í g i t o s s ã o d í g i t o s r e d u n d a n t e s , q u e si,o a s f u n ç õ e s d e i n f o r m a ç ã o c o m o i l u s t r a a f i g u r a 1.2.1 M e n s a g e m M e n s a g e m ) +1 (0 0 1 1 0 1) F i g . 1 .2.1 U m c ó d i g o d e s t a f o r m a é c h i a d o u m c ó d i g o s i s t e m á t i c o . A r e d u n d â n c i a d e v e r i a t e r a h a b i l i d a d e d e c o m b a t a r e r r o s i n t r o d u -D í g i t o s R e d u n d a n t e s (n-k) z i d o s d u r a n t e a t r a n s m i s s ã o s o b r e u m p a l a v r a s , a r e d u n d â n c i a D E V E R I A T E R A M E N S A G E M . A g o r a o p r o b l e m a d a c o d i f i a g i t o s r e d u n d a n t e s , u m [n,k] c ó d i g o li d e s c r i t o p o r u m a k x n m a t r i z d a s e g u i n c a n a l r u i d o s o , ou, e m o u t r a s C A P A C I D A D E D E P R O T E G E R A a ç ã o é p a r a c o m p o r e s t e s d í - lear s i s t e m á t i c o p o d e s e r ;e f or ma :0 1 0 0 . . . 0
a,
0 0 1 0 . . . 0 a. aii a 12 ••• ® 1 , n - k ^21 ?2 ^ 2 , n - k ^31 • i2 ••• ^ 3 , n - k • • • • • ^k1 2 ••• ^ k , n - k ( 1 .2.2d) o n d e a^j = 0 o u 1. S-g é a k x k m a t r i z i d e n t i d a d e e se A é á k x ( n - k ) m a t r i z d e a ^ j . E n t ã o a m a t r i z g e r a t r i z d e ujm c ó d i g o s i s t e m á t i c o p o d e s e r e s c r i t a como: G = C o n s i d e r e u m b l o c o m e n s a g e n u = ( u ^ , U2, • U s a n d o a m a t r i z g e r a t r i z d a e q u a ç ã o (1.2 p o n d e n t e é .2d) a p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s -X = ^ ^ 1^ ^2 ^ = (u,, Uj, ' ='n» , Uj^) .G = (u^, U2/«*« • 1 0 0 0, 0 1 0 0, ^ 1 1 ^ 1 2 - • • ^ 1 , n - k ^21 ^ 2 2 * • • ^ 2 , n - k 0 0 0 0, ^k1 ^ k 2 - * - ^ k , n - k (1.2.2e) X , P o r m u l t i p l i c a ç ã o d e m a t r i z = u . , p a r a i= 1 , 2 , . . . , k p a r a j = 1 , 2 , . . . , n - k . P e l a s e q u a ç õ e s f a c i l m e n t e q u e os p r i m e i r o s k d í g i t o s j u s t a m e n t e o s d í g i t o s d e i n f o r m a ç ã o qike f o r a m t r a n s m i t i d o s , os ú l -!S, p o d e m o s v e r q u e (1 ,2.2f) ( 1 .2.2g) (1.2.2f) e (1.2.2g) n ó s v e m o s d e u m a p a l a v r a c ó d i g o s ã o t i m o s n - k d í g i t o s s ã o f u n ç õ e s lineares N ó s c h a m a m o s os ú l t i m o s n - k d í g i t o s r€:dundantes d e x, o s d í g i t o s d e v e r i f i c a ç ã o de p a r i d a d e d e u m a p a l c v r a c ó d i g o . A s e q u a ç õ e s d e (1.2.2g) s ã o c h a m a d a s d e e q u a ç õ e s d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i a d e d e u m c ó d i g o . d o s d í g i t o s d e i n f o r m a ç ã o .E x e m p l o 1.2.3 - C o n s i d e r e 1.2.2. A p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s p o n d e
X = ( x ^ / X « / . . . ,
a m a t r i z g e r a t r i z d o e x e m p l o nte ao b l o c o m e n s a g e m (u^ U2 u^)
= (u^, U2, U3) 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 = (u, / U2, e n t ã o . ^1 = x ^ , u e X4 = U1+ U3 X5 = U1+ U2 ^6 = U2+ U3 P a r a u m c ó d i g o n a f o r m a si v e r i f i c a ç ã o p o d e s e r f a c i l m e n t e r e d u z e n a r s o m e n t e k x ( n - k ) d í g i t o s a^^ d a k x n d í g i t o s d a m a t r i z G. s t e m á t i c a a c o m p l e x i d a d e de zida, p o r q u e e l e t e m q u e a r m a m a t r i z A e m v e z d e a r m a z e n a r 1 . 2 . 3 - M a t r i z d e V e r i f i c a ç ã o d e P a r i d a d e . P a r a q u a l q u e r k x n m a t r i z geiratriz G (não n e c e s s a r i a m e n t e n a f o r m a 1 .2.2d) c u j a s k l i n h a s s ã o ] e x i s t e u m a ( n - k ) x n m a t r i z H c o m n - k í i n h a s H = h2 • • • V k hl 1 h^2 ... h ^ 2 1 *^22 ^ 2 3 • • * ^ In 2n ^ n - k , l \ - k ,2- • • \ - k , n c o m hj - (hji / ^ j2' • • •' ^jn^
'
^ ~ ^ n h a s s e j a m l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e sè
c a d a v e t o r v n o e s p a ç o li -,2, . . . , n - k, t a l q u e as n - k l i -(i
c a d a v e t o r v n o e s p a ç o li - n h a de G s e j a o r t o g o n a l a t o d a s as l i n h a s d e H, i s t o é, o p r o d u t o i n t e r n o vhj = 0, p a r a 1 á j ^ n-k. S e j a g^ u m v e t o r n o e s p a ç o 3 p a r a 1 S i S k e l á j ^ n-k. Supc i n h a d e G , e n t ã o g^hj = 0, n h a q u e u m v e t o r n o e s p a ç ol i n h a d e H. E n t ã o u é u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r d a s l i n h a s d e H. S e j a u = d ^ h ^ + d2h2+ . . . + d ^ k ^ n - k ' d ^ = 0 o u 1 p a r a 1 S i ^ n-k. 0 p r o d u t o i n t e r n o d e v e u é v . u = V ( a , h , + d2h2*...fd^_,^h^_,^ = d ^ ( v h ^ )+ d2 (vh2> +... + d ^ _ j C o m o v hj = 0, e n t ã o v . u = 0. A s s i m , o e s p a ç o n u l o d e H e v i c e - v e r s a . Poi u m v e t o r n u l o n o e s p a ç o l i n h a d e G, (vh , ) n-k' ( 1 .2.3a) o e s p a ç o l i n h a d e G é c h a m a d o t a n t o , se x = ( x ^ , X2/ . • • /X^) é e n t ã o x.h"" = { 0 0 0 . 0) ou. x.h. = x . h . - + x ^ h . T + ...+ x_h.*i - ^ 1“i1^ ^2“i2 p a r a i = 1 ,2,..., n-k. n i n ‘ (1 .2.3b) ( 1 .2.3c) P o d e m o s p o r t a n t o , d e s c r e v s r u m c ó d i g o l i n e a r g e r a d o p o r G e m u m a m a n e i r a a l t e r n a d a c o m o seguií: x é u m a p a l a v r a c ó d i g o , n o c ó d i g o g e r a d o p o r G se, e s o m e n t e se, x . H ^ = 0 ou, H . x ^ = 0 . A m a t r i z H é c h a m a d a d e m a t r i z d e veri::icação d e p a r i d a d e d e c ó d i g o . S e a m a t r i z g e r a t r i z d e u m c ó d i g o s i s t e m á t i c o é d a f o r m a d a e q u a ç ã o (1 .2.2d), e n t ã o a m a t r i z c.e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e d e s te c ó d i g o é a. H = ^ 1 1 ^ 1 2 ^21 ^2 2 ^1k ‘2k 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ' n - k , 1 • • • ^ n - k , k 0 0 0 0 = [A^/I , ], o n d e A ^ é a t r a n s p n*“K (1.2.3d) 3s t a d a m a t r i z A. A s e q u a ç õ e s d e v e r i f i c a ç ã o <le p a r i d a d e d e (1.2.2g) p o d e m t a m b é m s e r o b t i d a s d e H. I s t o p o d e se:- v i s t o c o m o s e g u e . Se X = ( x ^ , X2, ..., x^) é a p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s p o n d e n t e ã m e n s a g e m n u = (u^, U2, ..., Uj^), o n d e u ^ = E D e s d e q u e x . H ^ = 0 o u H . x ^ = = ••• * ® k j “k p a r a j =1 ,2, . . . ,n-k q u e é e x a t a m e n t e o d e (1.2.2g). a r a i =1 ,2, — ,k. 0, e n t ã o n ó s t e m o s : (1 .2.3e) I cjonjunto d e t o d a s as e q u a ç õ e s
E x e m p l o 1.2.4 - C o n s i d e r 1.2.2. A m a t r i z H é d a d a p o r 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 3 a m a t r i z g e r a t r i z d o e x e m p l o H = p o r C o m o H . x = 0 e n t ã o a s e q u a ç õ e s d e v e r i f i c a ç ã o s ã o d a d a s X ^ + X2+Xg = 0 S e a m e n s a g e m é (1 1 1), € p o n d e n t e s e r á (1 1 1 0 0 0). O b s e r v a ç ã o . - A m a t r i z g e r c a ç ã o d e p a r i d a d e d e H, d e u m c ó d i g o f o r m a e H = [A/I G = n - k n t ã o a p a l a v r a c ó d i g o c o r r e s -a t r i z G e -a m -a t r i z d e v e r i f i - p o d e m s e r e s c r i t a s t a m b é m n a . 1 * 2 . 4 - P r o p r i e d a d e s d e u m se (i) t c ó d i g o Linear. X = x ^ , x ^ , . . . , x ^ e u m^ , ^ 2--- n 4 p a l a v r a c ó d i g o se, e s o m e n t e H . x “ = 0 (ii) U s u a l m e n t e a m a t r i z de é u m a ( n - k ) x n m a t r i z d a f o r m a _ H = e c o m o n ó s já v i m o s , e x i s t e m 2^ p a l a v e q u a ç ã o (1.2.4a). (isto é v e r d a d e i r a m t e n h a e s t a fo r m a , c o n t a n t o q u e H t e n h n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s ) . Q u a n d o H te|n a f o r m a (1.2.4b) a s p a l a - v r a s c ó d i g o a p a r e c e r ã o as sim; ( 1.2.4a) v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e H (1.2.4b) r a s c ó d i g o s a t i s f a z e n d o a e n t e i g u a l e m b o r a q u e H n ã o a n c o l u n a s e n - k l i n h a s l
i-X = i-X ^ i-X 2 i-X 3
^ k ^ k +1^ k+2X
1(iii) A m a t r i z G e r a t r i z . S e j a a m e n s a g e m u = c o r r e s p o n d e n t e é x= x ^ X2...Xj^. Prim<jiro, p a r a i = 1 , 2 , . . . , k , ou, ^1 ^1 ^2 • • • = ^ k • • • ^k ,Uj^, c u j a p a l a v r a c ó d i g o , = m a t r i z ident i d a d e (1 .2.4c) E n t ã o d e (1.2.4a) e (1.2.4
^ 1
^ k
+1
^ 1
^ 2
^ k f 2
^ 2
• = 0, e • = - A • • • • • • • x„nX
X,
n k d) t e m o s q u e u s a n d o (1.2 . 4c) , t e m o s ^ k+1 ^1 ' ^ k+2 ^2 • = - A • • • • •X
n ^ k (1.2.4d) N o c a s o b i n á r i o - A = A. C o l o c a n d o (1.2.4c) n o t o p o ^1 ^2 • ^2 • • A • • ^ k ie ( 1 .2. 4 d), t e m o s q u e e t r a n s p o n d o , o b t e m o s . X = u . G G =[1^/A^]
(1 .2.4e) (1 .2.4f)(iv) O s p a r â m e t r o s d e u m p ó d i g o . A p a l a v r a c ó d i g o x =
^-^^2
o n d e n t a m b é m é c h a m a d o d e c o m p r i m t e m n - k l i n h a s l i n e a r m e n t e i n d e p e n d digo, k é c h a m a d o d e d i m e n s ã o d o c ó (v) O u t r a s m a t r i z e s g e r a t . . .X é d i t a d e c o m p r i m e n t o n, 2n t o d o b l o c o c ó d i g o . Se H k sntes, e x i s t e m2
p a l a v r a s c ó d i g o . r i z e d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a -de. U m c ó d i g o p o d e t e r váriasi m a t r i z e s g e r a t r i z d i f e r e n t e s , p o i s u m s u b e s p a ç o p o d e t e r m a i s de v m a b a s e . P o r e x e m p l o ; 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 f 0 1 0 1 A m b a s s ã o m a t r i z e s g e r a t r i z d o c ó d i g o [4,2] e m b o r a u m a e s t e j a n a f o r m a s i s t e m á t i c a e a o u t r a nã o , a s iuas g e r a m c ó d i g o s [4,2] e q u i v a l e n t e s . D e f at o , a l g u m c o n j u n t o m á x i m o d e p a l a v r a s c ó d i g o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s t o m a d a s d e u m d a d o c ó d i g o , p o d e s e r u s a d o c o m o as l i n h a s d e u m a m a t r i z geratri:: p a r a e s s e c ó d i g o . U m a v e r i f i c a ç ã o d e paridadíí n u m c ó d i g o cp é a l g u m v e t o r l i n h a h t a l q u e h . x ^ = 0 p a r a t o d a s as p a l a v r a s c ó d i g o d e x e c p . E n tão, s i m i l a r m e n t e , a l g u m c o n j u n t o mái d e l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e p o d e s e r d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e H d e <j>. P o r e x e m p l o , i m o d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a - u s a d o c o m o as l i n h a s d a m a t r i z 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 / 1 1 0 1 a m b a s s ã o m a t r i z e s de v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e d o c ó d i g o [4,2]. (vi) L i n e a r i d a d e . S eX
e y s ã o p a l a v r a s d e u m t t tsão, p o r q u e H(x + y) = H . x + H . y = 0. í!e c e a l g u m e l e m e n t o d o cor-c o d i g o , e n t ã o x + y t a m b é m o ;e c é a l g u m elemeni p o b i n á r i o , e n t ã o c x é t a m b é m u m a p a l a v r a c ó d i g o , p o r q u e H ( c x ) ^ = c H x ^ = 0. D e f i n i ç ã o 1 . 2 . 2 - 0 p e s o d e u m v e t o r c ó d i g o é o n ú m e r o d e p o s i ç õ e s n ã o n u l a s d o m e s m o e é d e n o t a d o p o r W t ( x ) . E x e m p l o 1 . 2 . 5 - W t ( 1 0 1 1 ) = 3, W t ( 0 1 0 1 1 1 1 1 ) = 6 .
,cia(de Hamining) e n t r e d o i s v e t o s, é o n ú m e r o d e p o s i ç õ e s o n d e D e f i n i ç ã o 1 . 2 . 3 - A d i s t â r r es c o m o m e s m o n ú m e r o d e c o m p o n e n t e os d o i s v e t o r e s d i f e r e m , e é d e n o t a d o p o r d i s t ( x , y ) , o n d e x e y s ã o v e t o r e s . E x e m p l o 1.2 .6 - Se x = 101 a d i s t â n i c i a d a d a p o r d i s t ( x , y ) = 3 O b s e r v a ç õ e s ; 1) - 0 c ó d i g o s e r á d e n o t a d o p o r [ n , k , d ] . 2) - A d i s t â n é o p e s o m í n i m o d e q u a l q u e r p a l a v r a 3) - d i s t ( x , y 1 e y = 0 1 0 1 e n t ã o , t e m o s q u e [n,k] c o m d i s t â n c i a m í n i m a d lia mínima: d e u m c ó d i g o l i n e a r lódigo (não nula) .
= W t ( x - y ) . D e f i n i ç ã o 1.2 . 4 - A i n t e r s e c ç ã o d e v e t o r e s b i n á r i o s x e y é u m v e t o r d a d o p o r x * y = (x^y^ , ^n^n^ E x e m p l o 1 . 2 . 7 - Se x = (1 x * y = 0 0 1 0. 1 1) e y = (0 1 1 0), e n t ã o 3. C Ó D I G O S D E H A M M I N G . [05] O s c ó d i g o s d e H a m m i n g d e cc m a m u m a c l a s s e i m p o r t a n t e d e c ó d i g o s d e c o d i f i c a r .
Veremos apenas os
c ó d i g o s d e H a m m i n g b i n á r i o s . r r e ç ã o d e u m ú n i c o e r r o , f o r q u e s ã o f á c e i s d e c o d i f i c a r e D e f i n i ç ã o 1.3.1 - U m c ó d i g d e c o m p r i m e n t o n = 2 ^ - 1 (r â 2) t e m r i d a d e H, c u j a s c o l u n a s c o n s i s t e m d e n u l o s , d e c o m p r i m e n t o r, c a d a u m u s a d [n = 2^-1, k = 2 ^ - 1 - r , d= 3] c ó d i g o . E x e m p l o 1.3.1 - 0 c ó d i g o d e a m a t r i z d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e r' D d e H a m m i n g b i n á r i o ç n at ri z d e v e r i f i c a ç ã o d e p a - b o dos o s v e t o r e s b i n á r i o s n ã o 3 u m a vez. é u m H a m m i n g [7,4,3] o u ç t e m H = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1O b s e r v a m o s q u e se H t e m j: l i n h a s , e x i s t e a p e n a s 2 -1 c o l u n a s d i s p o n í v e i s , a s a b e r o s 2^--1 v e t o r e s b i n á r i o s n ã o n u l o s d e c o m p r i m e n t o r. P o d e m o s o b t e r H nc. f o r m a H = [A/I„ , ] , b a s t an**K p e g a r m o s as c o l u n a s niama o r d e m difei ent e .
H' = 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 A c o n t é m t o d a s as c o l u n a s c o m N o g e r a l H' = [ A / I ^ ] , o n d e p e l o m e n o s d o i s 1's. E n t ã o H e H', n ^ s d ã o c ó d i g o s e q u i v a l e n t e s . A m a t r i z g e r a t r i z G é d a d a p o r 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 É f á c i l d e v e r q u e a d i s t â n c i a m í n i m a d o c ó d i g o é 3. G = 4. 0 C Õ D I G O D U AL . [11] D e f i n i ç ã o 1.4.1 - S e u = u,jU2U2. • .u^, v = ' * *^n s ã o v e t o r e s (com c o m p r i m e n t o s o b r e o d e f i n i d o c o m o u . v = + U2V2+ . • . + u ^ v E x e m p l o 1.4.1 - S e j a u = 1 q u e u . v = 1+1+0+1 = 1. norpo F) o p r o d u t o e s c a l a r é , ( a v a l i a d o e m F ) , 0 1, v = 1 1 1 1, e n t ã o , t e m o s O b s e r v a ç õ e s ; 1 ) - S e u . v = f O , u e v s ã o c h a m a d o s o r t o g o n a i s . 2) - P a r a vetji m e n t e se, W t ( x * y ) é p a r , u . v = 1 se, e
T a m b é m , u . u = 0 se, e s o m e n t e se, W t(u) é p a r ( x * y = ( x ^ y ^ , . . . , x ^ y ^ ) ) o r e s b i n á r i o s u . v=0 se, e s o -
D e f I n i g ã o 1 . 4 . 2 - Se (}) é u m [n,k] c ó d i g o l i n e a r s o b r e F, s eu c ó d i g o d u a l o u o r t o g o n a l cj)-*- é c c o n j u n t o d e v e t o r e s q u e s ã o o r t o g o n a i s a t o d a p a l a v r a c ó d i g o d e (j) <!)■*•= '{u/u.V = 0, VV£(})}. E n t ã o p e l a s p r o p r i e d a d e s m e n t e o c o n j u n t o d e t o d a s as v e r i f i t e m a m a t r i z g e r a t r i z G e a m a t r i z e n t ã o (j)-^ t e m a m a t r i z g e r a t r i z iguai. a H e a m a t r i z d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e i g u a l a G, p o i s G . H ^ = 0. E n t ã o ({>■*- é u m [n,n-k] c ó d i g o e é o s u b e s p a ç o o r t o g o n a l d e cp. E x e m p l o 1.4.1 - S e j a
(p =
t r i z d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e ie u m c ó d i g o l i n e a r (p^é
e x a t a - p a ç ó e s d e p a r i d a d e e m (|). S e (|) d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e H, 7,4] q u e p o s s u e a s e g u i n t e m a -H = 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 e a m a t r i z g e r a t r i z G = 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 c o m as s e g u i n t e s p a l a v r a s c ó d i g o ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 C 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 s e u d u a l = [7 ,3] t e m a s e g u i n t e m a t r i z de v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e H' = G e m a t r i z g e r a t p a l a v r a s c ó d i g o . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 jciz G' = H c o m as s e g u i n t e s 1 0 0 1 1 15. C O N S T R U Ç Ã O D E N O V O S CÕ:O I G O S A T R A V É S D E C Ó D I G O S V E L H O S .[11]. D a d o s u m o u m a i s c ó d i g o s , t r o s n o v o s c ó d i g o s a t r a v é s d o s códi<f d e c o n s t r u ç ã o . 1.5.1 - A C o n s t r u ç ã o u p o d e m o s e n t ã o , c o n s t r u i r o u - os d a d o s . V e r e m o s a l g u n s c a s o s u + v D a d o u m c ó d i g o <|)^ = [n,k^] m o c o m p r i m e n t o , n ó s p o d e m o s f o r m a r v d e t o d o s os v e t o r e s u u + v uec}) u V O b s e r v a ç a o . - Se u = u ^ U2 d e n o t a o v e t o r ^1^2’* * ^ n ^1 ^2 E x e m p l o 1.5.1 - S e j a =
<p
2 = [4/1] c ó d i g o r e p e t i t i v o . S e j a m r e s p e c t i v a m e n t e , e u m c ó d i g o(i
>2 = [ n , k2] d e mes- m n o v o c ó d i g o c o n s i s t i n d o V£(p2 . . . u ^ e V = V ^ V2V ^ — v ^, e n t ã o .v^ d e c o m p r i m e n t o 2n. [4,3] c ó d i g o d e p e s o par, 3^ e G2 as m a t r i z e s g e r a t r i z e s d e <j)^ e(t>
2,
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 ’ 2 = [1 A s p a l a v r a s c ó d i g o d e (j) ^ e ^2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1] (j) s ã o r e s p e c t i v a m e n t e , 2 ‘•’ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 P e l a c o n s t r u ç ã o u u + v , u g o c o m as s e g u i n t e s p a l a v r a s c ó d i g o . s(í)^ e v£(}>2 o b t e r e m o s u m c ó d i-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 c ó d i g o ((]'3 = [81,4] . 1 . 5 . 2 - A d i g ã o d e u m a Veri::icagão d e P a r i d a d e G l o b a l . S u p o n h a q u e t e m o s (f) i= [n,} g u m a s p a l a v r a s c ó d i g o t e m p e s o í m p a r c ó d i g o a d i c i o n a n d o u m z e r o n o fina p e s o pa r , e 1 n o f i n a l de t o d a p a l a v r a c ó d i g o d e p e s o ím p a r . D e s t a ,d] c ó d i g o b i n á r i o , e m q u e al- N ó s p o d e m o s f o r m a r u m n o v o 1 d e t o d a p a l a v r a c ó d i g o d e fo r ma, o b t e r e m o s u m n o v o c ó d i g o $= [ p a l a v r a s c ó d i g o t e m p e s o p a r , i s t o é, v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e X ^ + X2+ X2+... Se <p t e m a m a t r i z d e v e r i a m a t r i z d e v e r i f i c a ç ã o de p a r i d a d e 1 1 1 ... 1 n +1 , k , d +1] e m q u e t o d a s as s a t i s f a z a n o v a e q u a ç ã o de f+X n + 1 = 0. f i c a ç ã o d e p a r i d a d e H, $ t e m fl = H
e n t ã o fî = E x e m p l o 1 . 5. 2 - S e j a ()> = 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 [7,4,3] q u e é c o m as e q u a ç õ e s d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e X ^ + X2+ X2+ X ^ + X g + X g + X ^ + X g = 0 X2+ X2+ X4+ X5 = 0 x ^ + x ^ + x ^ + x g = 0 x ^ + x 2 + x ^ + x ^ = 0 30 $ é o [8,4,4] c ó d i g o , c h a m a -O b s e r v a m o s q u e o n o v o codi: d o d e c ó d i g o e x t e n d i d o d e H a m m i n g . O b s e r v a ç ã o .- N u m c ó d i g o b i h á r i o , o u t o d a s as p a l a v r a s c ó d i g o t e m p e s o par , o u m e t a d e t e m p(jso p a r e m e t a d e p e s o í mp ar . 1. 5 . 3 - F u r a n d o u m C ó d i g o pfila E l i m i n a ç ã o d e C o o r d e n a d a s , E s t e p r o c e s s o é c o n s i d e r a d o o i n v e r s o d a e x t e n s ã o d e u m c ó d i g o , e c o n s i s t e e m e l i m i n a r u m a ov l a v r a c ó d i g o , d e u m c ó d i g o . O b s e r v a ç ã o . - O c ó d i g o f ur a m a i s c o o r d e n a d a s d e c a d a p a d o é d e n o t a d o p o r (j)*. E x e m p l o 1 . 5 . 3 - S e j a o cód|igo ({)= [3,2,2], c u j a s p a l a v r a s c ó d i g o são: 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 E l i m i n a n d o as ú l t i m a s c o o r d è n a d a s d e c a d a p a l a v r a c ó d i g o o b t e m o s o c ó d i g o
(p* = [2,2,1]
c u j a s p a l a v r a s c ó d i g o são;0 0 0 1 1 0 1 1 O b s e r v a ç ã o . - N o g e r a l , c a d a v e z q u e u m a c o o r d e n a d a d e c a d a p a l a v r a c ó d i g o é e l i m i n a d a , n çliminui p a r a 1 e o n ú m e r o d e p a l a v r a s c ó d i g o p e r m a n e c e o m e s m o , s e n d o q u e a d i s t â n c i a m í n i m a d e m g e r a l d i m i n u i p o r 1. 1.5.4 - E x p u r g a n d o p e l a El i m i n a ç ã o d e P a l a v r a s C ó d i g o . S e j a u m c ó d i g o (|)= [n,k,d] v r a s c ó d i g o d e p e s o p a r e ím pa r . Se d e p a l a v r a s c ó d i g o d e p e s o pa r, e h t ã (()' = [ n , k -1 ,d!]f o n d e d'
2.
d. l i n e a r b i n á r i o e t e n h a as p a l a s x p u r g a r m o s (j) p e l a e l i m i n a ç ã o 0 o b t e r e m o s u m - c ó d i g o 7,4,3] u m c ó d i g o , o n d e H e s t á E x e m p l o 1 . 5 . 4 - S e j a = n a f o r m a s i s t e m á t i c a , e s t e c ó d i g o p o s s u i as s e g u i n t e s p a l a v r a s c ó digo: 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 se t i r a r m o s as p a l a v r a s c ó d i g o d e pese ({)' =[7 , 3,4 ] c ó d i g o . í m p a r , o b t e r e m o s u m1. 5 . 5 - I n c r e m e n t a n d o pel. d ig o . E s t e m é t o d o c o n s i s t e e m ac r e s c e n t a r a p a l a v r a c ó d i g o 1 (cujos c o m p r i m e n t o s ã o "1"), d e s d e q u e e l a n ã o e s t e j a n o c ó d i g o , A d i ç ã o d e N o v a s P a l a v r a s C ó -d a s e g u i n t e m a n e i r a ; - P e g a m o s a s pa lh o e a s e g u i r f a z e m o s a u n i ã o c o m o q u e i r e m o s o b t e r , a d i c o n a n d o a c a d a lho, a p a l a v r a 1, i s t o é o m e s m o q u e n a m a t r i z g e r a t r i z . E n t ã o (}) = (J) U D e & t a f o r m a , se t í n h a m o s u ó b t e r e m o s u m (j> = [ n , k+1 ,d c ó d i g d' é o p e s o m a i o r d e q u a l q u e r p a l a v r l a v r a s c ó d i g o , d o c ó d i g o v e -c o n j u n t o d e p a l a v r a s -c ó d i g o p a l a v r a c ó d i g o , d o c ó d i g o v e -a c r e s c e n t -a r u m -a l i n h -a d e 1 's Í1 + <)>}. n (J) =[n,k;,d] código,- e n t ã o , (a) a c ó d i g o d e (|). 0
,
o n d e d ' “' = míriíd,. n - d ' } e a p a l a v r a c ó d i g o 1 1 1 o b t e -E x e m p l o 1 . 5 . 3 - S e j a o cód{Lgo (j> = [ 3, 2,2], c u j a s p a l a - v r a s c ó d i g o são; 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 I n c r e m e n t a n d o o c ó d i g o c o m r e m o s o c ó d i g o 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 . 5 . 6 - P r o l o n g a m e n t o p e l a a d i ç ã o d e S í m b ò l o S i . M e n s a g e n s . A m a n e i r a u s u a l p a r a p r o l o n a d i c o n a n d o a p a l a v r a c ó d i g o 1 , e e n t ã r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d e g l o b a l . É o m e s b o l o m e n s a g e m . jar u m c ó d i g o é i n c r e m e n t a r , 3 e x t e n d e r a d i c i o n a n d o u m a v e :no q u e a d i c i o n a r m a i s u m s í m-6 - C Ó D I G O S P R O D U T O . [11] D e f i n i ç ã o 1.6.1 - S e A =( é u m a m a t r i z n x n s o b r e a l g k e r d e A e B é a m a t r i z m n x m n o b t i ô a s u b s t i t u i n d o c a d a e l e m e n t o é u m a m a t r i z m x m e
m
c o r p o , o p r o d u t o d e K r o n e c -a^^j p o r a ^ j ^ B . E s t e p r o d u t o é e s c r i : o p o r A @ B . S i m b o l i c a m e n t e , n ó s t e m o s A 0 B = (a^.B). P o r e x e m p l o , se A = A 0 B = 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 e B = 0 1 1 0 I s t o m o s t r a , q u e n o g e r a l A 0 B B ^ ) A . É p o s s í v e l p e l a c o m b i n a ç ã o t e r u m c ó d i g o m a i s p o d e r o s o , i s t o é p a r a d e t e c ç ã o e c o r r e ç ã o d e e r r o . U m a d i g o s n o s d á o c ó d i g o p r o d u t o , q u e te g i r e r r o s a l e a t ó r i o s o u e m p e d a ç o s . U m d í g i t o d e v e r i f i c a ç ã o de p a z d e d e t e c t a r t o d o s os e r r o s ú n i c o s p a r i d a d e é m u i t o u s ã d o e m c o m p u t a d o r e g i t o s d e i n f o r m a ç ã o e s c r i t o s n a f o r m a d o n a f i g u r a a b a i x o , c o m u m d í g i t o gl d e s o b r e c a d a l i n h a e c a d a c o l u n a . 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 d e d o i s o u m a i s c ó d i g o s , o b - c ó d i g o c o m c a p a c i d a d e m a i o r d e s t a s c o m b i n a ç õ e s e n t r e c ó - m a v a n t a g e m d e p o d e r c o r r i -p a r i d a d e s o b r e u m v e t o r é c a E s t e t i p o d e v e r i f i c a ç ã o d e . A g o r a , c o n s i d e r e m o s o s d í - r e t a n g u l a r c o m o e s t á m o s t r a - 3b a l d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a D í g i t o s d e I n f o r m a ç ã o<
V e r i f i c a ç ã o jobre L i n h a s V e r i f i c a ç ã o s o b r e C o l u n a s ct. V e r i f i c a ç ã o lobre V e r i f i c a ç ã o E s t a i t e r a ç ã o d e u m c ó d i g o c d a d e , é c a p a z d e c o r r i g i r t o d o s o s er] c o e r r o o c o r r e , as l i n h a s e c o l u n a s er d o p e l a f a l h a d e v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a o m u m a v e r i f i c a ç ã o d e p a r i - os ú n i c o s , p o r q u e , se u m ú n i > q u e o e r r o o c o r r e u é i n d i c a d e .E s t e c ó d i g o t e m a d i s t â n c i g i r u m ú n i c o e r r o e d e t e c t a r d o i s er u n i d a d e s d e f i t a s m a g n é t i c a s u t i l i z a E x e m p l o 1.6.1 a m í n i m a 4 e ê c a p a z d e c o r r i - ros. E s t e c ó d i g o é u s a d o n a s d a s e m c o m p u t a d o r e s . 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 O c ó d i g o p r o d u t o d e s t a f o r m a é u m c ó d i g o l i n e a r . Se A e B s ã o r e s p e c t i v a m e n c ó d i g o s l i n e a r e s s o b r e GF(q) :(GF(q) é m e n t o s , o n d e q é u m n ú m e r o p r i m o o u ú m a p o t ê n c i a d e p r i m o ) . S u p o -n h a p o r s i m p l i c i d a d e , q u e os s í m b o l o s iros s í m b o l o s d e A e o s p r i m e i r o s
y
D e f i n i ç ã o 1 . 6 . 2 - 0 p r o d u t c [ n^n2 ,k^k^ , d ^ d2] c ó d i g o , c u j a s pala,vr n ^ x n2 a r r a n j o s c o n s t r u í d o c o m o segue; 6/ [ n^,k^,d^] e [n2/k2,d2] u m c o r p o ,f i n i t o c o m q e l e -d e i n f o r m a ç ã o s ã o o s primei- , s í m b o l o s d e B. d i r e t o A 0 B é u m as c ó d i g o c o n s i s t e m d e t o d o s ^1 n S í m b o l o s de I n f o r m a ç ã o V e r i f i c a ç ã o S o b r e C o l u n a s V e r i f i c a ç ã o S o b r e L i n h a s V e r i f i c a ç ã o S o b r e V e r i f i c a ç ã o 0 c a n t o s u p e r i o r e s q u e r d o c o n t é m os k ^ k2 s í m b o l o s de in-f o r m a ç ã o . A s p r i m e i r a s k2 c o l u n a s s ã o t e n ç a a A, e e m s e g u i d a as l i n h a s são p e r t e n ç a a B. I s t o , é t a m b é m c h a m a d o o e B e é s i m p l e s m e n t e c h a m a d o d e c ó d i g c l a v r a s c ó d i g o d e A, e as l i n h a s s ã o pa e s c o l h i d a s d e m o d o q u e p e r - c o m p l e m e n t a d a s d e m o d o q u e p r o d u t o d e K r o n e c k e r d e A • p r o d u t o . A s c o l u n a s s ã o p a l a v r a s c ó d i g o d e B. T a m b é mp o d e m o s c o n s t r u i r o s a r r a n j o s d e m o c o c o n t r á r i o , i s t o é, p r i m e i r o as l i n h a s e d e p o i s a s . c o l u n a s . E x e m p l o 1 . 6. 2 - 0 p r o d u t o [3,2,2] c o m e l e m e s m o é o c ó d i g o [9, jos m o s t r a d o s a s e g ui r: [3,2,2]
X
[3,2,2] = [9,4,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1
1
0 1
1
0 0 01 0
1
1 0 1 d i r e t o d o c ó d i g o b i n á r i o 4,4] c o n s i s t i n d o d o s 16 arran-]0 1
1
0 0 00 1
1
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 11
0
1 11
0
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0
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1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 10
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0
0
1
1
1
0
1 1 0 1 0 1 0 1 o n d e c a d a a r r a n j o é d a forma: 0 0 01 1
0
1 1
0
1 0 1 1 1 1 1 00
1 0 1
1
0
1
1
1
0
0 1 1 01
1
n. 1 1 0 1 1 0 0 0 0 P o r e x e m p l o . - n2. 0 0 1 0 0 1 -n.1
O b s e r v a m o s q u e c a d a a r r a n j o dig o , a s s i m t e m o s as s e g u i n t e s palavr; c o r r e s p o n d e a u m a p a l a v r a c ó s c ó d i g o :0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 1
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1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 0 0
A = í C a l c u l e m o s a g o r a a m a t r i z à e r a t r i z d e G = A @ B , o n d e B. T e m o s q u e 1 0 1 = 1 1 e n t ã o G = G, © G j = 1 0 1 0 0 00
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
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0
0
0
1
1
Se c a l c u l a r m o s as p a l a v r a s 0 1 1 1 0 1 1 1 c ó d i g o u t i l i z a n d o a m a t r i z g e r a t r i z d o c ó d i g o p r o d u t o , i s t o é, u t i l i z a n d o a e q u a ç ã o x =u.G, v e r i f i c a r e m o s q u e a s p a l a v r a s c ó d i g o , t i l i z a n d o o s a r r a n j o s . E x e m p l o 1 . 6 .3 - S e j a A = [3 s e r ã o a s m e s m a s o b t i d a s u -,2], B = [4,3], o n d e1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
^2
=0
1
0
1
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1
1
^1 = as p a l a v r a s c ó d i g o d e A e B s ã o r e s p e c t i v a m e n t e .1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 O s 64 a r r a n j o s são;
0000
0000
0000
0000
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0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 01111
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Q O O O 100 100 0000 1 0 1 0 1 0 1 0 0000 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 00 11 01 011010
1010
1010
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0000
C o m o c a d a a r r a n j o é u m a pal s e g u i n t e s p a l a v r a s c ó d i g o ; a v r a c ó d i g o , e n t ã o t e m o s as000000000000
0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1110000001100
11001111
110001101010
11001010
0 0 11 01 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 0 0 01
100001
1
1
1000101
11001001
001100000011
1 1 1 1 1001 )1 0100111111
100 0 0 1 1 0 1 1 0 Ô 1 0 100111010'001
001111001111
0 0 1 1 0 0 1 1C 000 0 0 1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0010100000101
010111111010
010101100011
010110101111
0 1 0 1 1 1 0 0 1 3 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0010101010
010110011
100100001
100111110
1 0 0 1 0 1 1 0 1 300 100 001 10 11 100 1 1 0 1 0 0 ( ' 1 1100111000
1 0 0 1 0 0 1 1 1 C 10 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 C 01 G = C a l c u l e m o s a g o r a a m a t r i z g1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
1
00 00 e r a t r i z G = G, © G jT a m b é m p o d e m o s n o t a r que: c ó d i g o u t i l i z a n d o a m a t r i z g e r a t r i z m e s m a s p a l a v r a s c ó d i g o o b t i d a s c o m P o r a n t o , o p r o d u t o A 0 B g o [ n ^ n2, k ^ k2, d ^ d2l c u j a s p a l a v r a s n ^ x n2 a r r a n j o s e m q u e a s c o l u n a s p e c e m a B. - se c a l c u l a r m o s as p a l a v r a s d o c ó d i g o p r o d u t o o b t e r m o s as os a r r a n j o s . é d e f i n i d o c o m o s e n d o o c ó d i - c ó d i g o c o n s i s t e m d e t o d o s os r t e n c e m a A e as l i n h a s p e r t e n T e o r e m a 1 . [09] - 0 p e s o ininimo d o p r o d u t o d e d o i s c ó d i g o s é o p r o d u t o d o s p e s o s m í n i m o s d o s t e s c ó d i g o s . P r o v a . - S e u m c ó d i g o t e m p e s o m í n i m o e o u t r o t e m p e s o m í n i m o W2» u m v e t o r n o c ó d i g o p r o d u t o d e v e t e r p e l o m e n o s e l e m e n t o s n ã o n u l o s e m c a d a l i n h a q m e c o n t é m u m e l e m e n t o n ã o n u l o . e p e l o m e n o s W2 e l e m e n t o s n ã o n u l o s e l e m e n t o n ã o n u l o , p o r t a n t o , o c ó d i g o p r o d u t o , p e l o m e n o s t e m e m c a d a c o l u n a , q u e c o n t é m u m W ^ W2 e l e m e n t o s n ã o n u l o s . N o p r ó x i m o c a p í t u l o e s t u d a i l i n e a r e s q u e s ã o c h a m a d o s d e C ó d i g o s e m o s u m a f a m í l i a d e c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r .
OS C Ó D I G O S D E R E E D - M U L L E R 1. I n t r o d u ç ã o . O s c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r f o r m a m u m a f a m í l i a d e c ó d i g o s a n t i g o s e b e m cor^ r i a d a C o d i f i c a ç ã o e t ê m c o m o v a n t a c ção. N e s t e c a p í t u l o e s t u d a r e m o s ( R M ) , a s p r o p r i e d a d e s b á s i c a s , s u a c d o i s c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r . S e r á m o t a m b é m n e s t e c a p í t u l o q u e o p r o d u t o p r e é u m c ó d i g o RM, m a s q u e p o d e s e r g o d e u m c ó d i g o d e R M d e o r d e m m a i o r . h e c i d o s n a l i t e r a t u r a d a T e o - em, a f a c i l i d a d e d e c o d i f i c a -os c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r o u o n s t r u ç ã o e o p r o d u t o e n t r e s t r a d o a t r a v é s d e e x e m p l o , de d o i s c ó d i g o s RM, n e m s e m - c o n s i d e r a d o c o m o u m s u b c ó d i -2. F u n ç õ e s B o o l e a n a s . - D e f i n i r e m o s o s c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r e m t e r m o s d e f u n ç õ e s Booleana: S e j a V = ( v . , V- u m a m - u p l a b i n á r i a e s c o l h i d a s o b r e q u e é o c o n j u n t o d e t o d a s as m - u p l a s b i n á r i a s . D e f i n i ç ã o 2.2.1 - U m a f u n ç a o f(v) = f ( v ^ , V2, • . . ,v^) q u e t o m a o s v a l o r e s 0 o u 1 é c h a m a d a de f u n ç ã o B o o l e a n a . T a l f u n ç ã o p o d e s e r e x p e c i f i c a d a p o r vima t a b e l a d e f e m t o d o s o s 2^ a r g u m e n t o s . E x e m p l o 2.2.1 - S e j a m = e s p e c i f i c a d a p e l a s e g u i n t e t a b e l a V3 = 0 0 0 0 1 1 1 1 V2 = 0 0 1 1 0 0 1 1 v^ = 0 1 0 1 0 1 0 1 f = 0 0 0 1 1 0 0 0 v e r d a d e i r a q u e d á o s v a l o r e s , u m a f u n ç ã o B o o l e a n a q u e é e r d a d e i r a .
2^^ q u e é d e n o t a d o p o r f. A ú l t i m a l i n h a d a t a b e l a u m v a l o r b i n á r i o d e c o m p r i m e n t o n = U m c ó d i g o c o n s i s t i r á d e t o d o s o s v e t o r e s f, o n d e a f u n ç ã o f p e r t e n c e a u m a c e r t a c l a s s e . d á v a l o r e s t o m a d o s p o r f , e é O b s e r v a ç ã o . - C o m o a ú l t i n a l i n h a d a t a b e l a v e r d a d e i r a oin p o d e s e r s a t i s f e i t a a r b i t r a r i a m e n t e , t e m o s q u e e x i s t e m 2^ f u n ç õ e s B o o l e a n a s d e m v a r i á v e i s . A s o p e r a ç õ e s d e l ó g i c a u s à a i s p o d e m s e r u s a d a s p a r a f u n ç õ e s B o o l e a n a s . S a b e m o s q u e as ope;:ações u s u a i s são; f E X C L U S I V O O U g = f + g f E g = f o u g = f + g nAo f = f = 1 0 l a d o d i r e i t o d e s t a s e q u t e r m o s d e f u n ç õ e s b i n á r i a s . A f u n ç ã o B o o l e a n a f d ó exe d a s e g u i n t e m a n e i r a ; f = v ^ V2V2 O U v ^ V2V2, u s a n f = V ^ V2V3 + V3V ^ V2+ V ^ V2^ = V ^ V2 (1 + V3) + V3 (1 + = ^1 ^2 ^ ^ 3 ^ ^ = ^ 3 ^ ^1 ^2 ^ ^^3^2 ^ ^ 3 ^ O b s e r v a ç õ e s ; - 1) N o t e q u e + f .g + f (2.2.1) ç o e s d e f i n e a s o p e r a ç o e s e m m p l o 2-.2 . 1 p o d e s e r e s c r i t a d o a s e q u a ç õ e s 2.2.1 , te m o s ; 3 ^ 3 ^ 1 ^ 2 V i ) (1+
v^)
. V2 + V3V^ + V ^ V2V3V . = V . , V i
2) è c l a r o cjue q u a l q u e r f u n ç ã o B o o l e a n a m . p o d e s e r e s c r i t a c o m o a s o m a d e 2 Jiunçoes 1 ,v^ ,V2, ... c o m os c o e f i c i e n t e s q u e s ã o 0 e 1. C o m o e x i s t e m u m t o t a l d e 2 i l V „ , V . V „ , . . .v^ m-'1 m' 1 2 m (2.2.2) .2111 f u n ç õ e s B o o l e a n a s , t o d a s e s t a s funçõe o u t r a s p a l a v r a s , os 2^ v e t o r e s c o r r e s s ã o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s . D e f i n i ç ã o 2 . 2 . 2 - A f o r m a n ç ã o B o o l e a n a é d a d a p o r s d e v e m s e r d i s t i n t a s . E m p o n d e n t e s ãs f u n ç õ e s (2.2.2) o r m a l d i s j u n t i v a d e u m a f u n-w „ = f (v , . . . ,
V ,
1 mJ 0 w ,W
= V . r' r r 1 = I r. i l=0 1 , r i m=0 f ( i i , E x e m p l o 2 . 2 . 2 - f = v ^ + v n o r m a l d i s j u n t i v a . T e o r e m a 1 . - Q u a l q u e r f u n d i d a e m p o t ê n c i a s d e v ^ c o m o f (v^ ,. .. ,Vj^) =I
g(a)v^^' m o n d e o s c o e f i c i e n t e s s ã o d a d o s p o r g(a) = E f { b ^ , . . . ,b^) •onde 1^2'*’^3^2'*'’'^3^1 f o r m a jão B o o l e a n a f p o d e s e r e x t e n -b c a . .V m m (2.2.3) o n d e b c a s i g n i f i c a q u e os 1 's e m b e m a. V e r i f i c a n d o p a r a m = 2. f (v^',V2)=f (0,0) (1+v^) (1+ V2)+f (0 , 1 + f (1,1) v ^ v2 =f (0,0)1+ {f (0,0) + f (1 ,0)}^^ + {ÊX0,0)Hf(1 ,0) + f (1 ,1)}v (2.2.4) s ã o \am s u b c o n j u n t o d o s 1 's ) (1+v^ ) V2+f (1 ,0)v^ (0,0)+f (0, n v 2 + Vo, 3. c ó d i g o s d e R e e d - M u l l e r [09] b i n á r i o d e R e e d - M u l l e r de n=2 , p a r a 0 r á m D e f i n i ç ã o 2.3.1 - 0 c o d i g o r - é s i m a o r d e m , R(r,m) d e c o m p r i m e n t o o c o n j u n t o de t o d o s os v e t o r e s f, onc.e f (v^ ,V2,.. . ,v^^) é u m a f u n ç ã o B o o l e a n a , q u e é u m p o l i n ó m i o d e ç r a u n o m á x i m o r. E x e m p l o 2.3.1 - S e j a m = 3 , M u l l e r d e p r i m e i r a o r d e m d e c o m p r i m e n l a v r a s c ó d i g o . a Q ,1+ a ^ v ^ + a2V2+ a2V ^ , a^ = 0 o u 1 r=1. E n t ã o o c ó d i g o d e Reed- t o n = 8, c o n s i s t e e m 16 pa-, i = 0 pa-, 1 pa-, 2 pa-, 3 .V, A s 16 p a l a v r a s c ó d i g o s ã o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 V2+ V3 V1+ V3 V i f V 2 v-^.+V2+V3 1 I + V3 1+ V2 U V 2+ V3 1 + V3 1+V^ + v ^ 1 + V ^ + V 2 + V 3 e s c r i t a s n a F i g . 2 . 3 . 1 , a b a i x o , 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 D 0 1 1 0 Fig. 2.3. 1 - P a l a v r a s c ó d i g o d e R(1,3) O b s e r v a ç ã o . - P o d e m o s n o t a r u m c ó d i g o e x t e n d i d o d e HamBiing, e q u ^ t o d a s as p a l a v r a s c ó d i g o de R (1,m) e x c e t o 0 e 1 t e m p e s o 2 ^ “\ N o g e r a l o c ó d i g o R M d e r-é q u e R ( 1,m ) é s e m p r e d u a l d e s i m a o r d e m c o n s i s t e d e t o d a s as c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d o s v e t o r e s c o r r e s p o n d e n t e s a o s p r o d u t o s ,v_ .V E n t ã o e s t e s v e t o r e s f o r m a m u m a b a s e d E x i s t e m k = 1 + { ^) + (,m. ,m.2) + (até o g r a u d e o r d e m r ) . o c ó d i g o . ... + (^) = ? (^) v e t o r e s i =0'^ ntes. E n t ã o k é a d i m e n s ã o b i n á r i o s , e s ã o l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e r d o c ó d i g o . E x e m p l o 2.3.1 - S e j a m = 4 e n t ã o o s 16 p o s s í v e i s v e t o - r e s b á s i c o s p a r a os c ó d i g o s d e Ree d- M. m o s t r a d o s n a f i g u r a 2 .3.2. aller d e c o m p r i m e n t o 16 s ã o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
