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aLISTA - ELETROMAGNETISMO I
Instituto de Física - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-2
Problemas obrigatórios: 3, 4, 5, 8, 10 e 13
Data de entrega: 29 de agosto de 2017
1. Demonstre as seguintes identidades:
(a) ∫R[f∇2g +∇f · ∇g]dV =H∂R(f∇g) · ˆn dA
(sugestão: utilize o teorema de Gauss com o campo vetorial F = f∇g). (b) ∫R[f∇2g− g∇2f]dV =H
∂R(f∇g − g∇f) · ˆn dA
(sugestão: utilize o resultado encontrado no item anterior). 2. Teorema de Helmholtz.
Pode-se mostrar que todo campo vetorial F em três dimensões que para r → ∞ caia mais rapidamente do que 1/r pode ser escrito como a soma de uma parte transversa (sem divergência) com uma parte longitudinal (de rotacional nulo) da seguinte forma:
F(r) =−∇U(r) + ∇ × A(r) , (1) onde U (r) = 1 4π ∫ d3r′ D(r ′) |r − r′|; (2) A(r) = 1 4π ∫ d3r′ C(r ′) |r − r′| , (3) sendo ∇ · F(r) = D(r) e ∇ × F(r) = C(r) . (4) A partir das equações (1), (2) e (3) para o campo vetorial F, verifique explicitamente as equações (4).
3. Teorema de Helmholtz e unicidade.
Suponha que F1e F2 sejam soluções das equações
∇ · F1(r) = D(r) ; ∇ × F1(r) = C(r) (5)
∇ · F2(r) = D(r) ; ∇ × F2(r) = C(r) , (6)
onde D e C são funções conhecidas e tais que D(r) e C(r) caem mais rapidamente do que 1/r2
para r → ∞.
Mostre então que se F1(r) e F2(r) se anularem para r → ∞, obrigatoriamente teremos
F1(r) = F2(r). Em outras palavras, nessas condições, dados o rotacional e a divergência de
um campo vetorial em três dimensões esse campo fica univocamente determinado.
sugestão:defina a função diferença S = F1−F2e escreva as equações satisfeitas por S; mostre
que S pode ser escrita como∇ψ e escreva a equação satisfeita por ψ; utilizando adequadamente a identidade demonstrada no item 1(a), escolhendo nessa identidade f = g = ψ, conclua que
4. Teorema de Helmholtz via transformada de Fourier.
Considere um campo vetorial F de divergência e rotacional conhecidos e dados, respectiva-mente, por ∇ · F(r) = D(r) e ∇ × F(r) = C(r). Suponha, ainda, que |F(r)| caia mais rapidamente do que 1/r para r→ ∞.
(a) Definindo f (k), d(k) e c(k) como as respectivas transformadas de Fourier de F(r), D(r) e C(r), ou seja, F(r) = ∫ d3k (2π)3 f (k) e ik·r, D(r) = ∫ d3k (2π)3d(k) e ik·r e C(r) = ∫ d3k (2π)3 c(k) e ik·r, (7) mostre que ik· f(k) = d(k) e ik × f(k) = c(k) . (8) (b) Resolvendo as equações anteriores para f (k) (use o resultado do exercício 2 da 1a lista),
mostre então que
F(r) =−i ∫ d3k (2π)3 1 k2 [ k d(k)− k × c(k)]eik·r, (9) onde k =|k|.
(c) Substituindo na equação anterior as expressões de d(k) e c(k) em termos de D(r) e C(r), dadas pelas transformadas inversas, mostre finalmente que
F(r) =−∇ 1 4π ∫ d3r′ D(r ′) |r − r′| + ∇ × 1 4π ∫ d3r′ C(r ′) |r − r′| . (10)
5. Delta transversa e delta longitudinal.
Assim como a delta de Dirac δ(r−r′) tem a propriedade F(r) =∫ d3r′δ(r−r′)F(r′), é possível
definir as chamadas delta transversa, denotada por δ⊥ij(r− r′), e delta longitudinal, denotada por δ||ij(r− r′), de tal modo que
F⊥i(r) = ∫ d3r′δ⊥ij(r− r′)Fj(r′) ; (11) F||i(r) = ∫ d3r′δ||ij(r− r′)Fj(r′) . (12)
Pode-se mostrar que
δ⊥ij(r− r′) = ∫ d3k (2π)3 ( δij − kikj k2 ) eik·r; (13) δ||ij(r− r′) = ∫ d3k (2π)3 kikj k2 e ik·r. (14)
(a) Substituindo as equações (13) e (14) nas equações (11) e (12), verifique explicitamente que∇ · F⊥(r) = 0 e∇ × F||(r) = 0.
(b) A partir das definições de δ⊥ij(r) e δ||ij(r), mostre que
δ⊥ij(r) = 2 3δijδ(r)− 1 4πr3 ( δij − 3xixj r2 ) , (15) δ||ij(r) = 1 3δijδ(r) + 1 4πr3 ( δij − 3xixj r2 ) . (16) −δ
Sugestão: mostre, inicialmente, que δ||ij(r) = −4π1 ∂i∂j
(
1
r
)
. No entanto, como essa expressão não está bem definida em r = 0, faça uma ligeira modificação (ou seja, adote uma prescrição de regularização) e mostre que
− 1 4π∂i∂j 1 √ r2+ ϵ2 =− 1 4π { 3xixj− δijr2 (r2+ ϵ2)5/2 − δijϵ2 (r2+ ϵ2)5/2 } (17) Note que embora o segundo termo do lado direito da última equação vá a zero, para r̸= 0, quando ϵ→ 0, a integral desse termo em todo o espaço dá um valor finito que não depende de ϵ (verifique essa afirmativa!), de modo que ele dará origem ao termo de delta de Dirac presente em (16).
6. Considere a função real de uma variável
δϵ : 1R −→ 1R : x7−→ δϵ(x) , (18) onde δϵ(x) = a(ϵ) x2+ ϵ2 . (19)
Obtenha uma expressão para a(ϵ) de modo que δϵ pertença a uma sequência de delta de Dirac,
ou seja, para que
lim ϵ→0δϵ(x) = 0, se x̸= 0 , (20) lim ϵ→0 ∫ ∞ −∞δϵ(x) dx = 1 . (21)
Faça o gráfico de δϵ(x) versus x parra vários valores do parâmetro ϵ.
7. Considere a função real de uma variável
Θϵ : 1R −→ 1R : x7−→ Θϵ(x) , (22) onde Θϵ(x) = 1 2+ 1 πarctan (x ϵ ) , (23)
sendo ϵ um parâmetro real não negativo.
(a) Mostre que no limite em que ϵ→ 0, Θϵ(x) tende para a função degrau, isto é,
lim
ϵ→0Θϵ(x) = 1, se x > 0 ,
lim
ϵ→0Θϵ(x) = 0, se x < 0 . (24)
(b) Mostre que dΘϵ
dx (x) satisfaz às propriedades de uma sequência de delta escritas nas
equações (20) e (21), ou seja, dΘ
8. Representação de Fourier da delta de Dirac. Considere a função real de uma variável
δϵ : 1R −→ 1R : x7−→ δϵ(x) , (25) onde δϵ(x) = ∫ dk 2πe ikx−ϵ2k2/4 . (26)
Completando o quadrado no expoente do integrando, calcule essa integral e mostre que o re-sultado satisfaz às propriedades de uma sequência de delta escritas nas equações (20) e (21). Tomando, então, o limite em que ϵ → 0, obtenha a representação de Fourier da delta de Dirac, ou seja, δ(x) =∫ dk2πeikx.
9. Cálculo de ζR(2) via Fourier.
Uma das funções mais importantes no estudo da teoria de números, em particular no estudo da densidade de números primos na reta real, é a função zeta de Riemann, ζR(2), definida por
ζR(z) = ∞ ∑ n=1 1 nz . (27)
O objetivo desse exercício é utilizar a série de Fourier para calcular ζR(2). Seja a função
f : 1R → 1R onde f(x) = x2, para−π < x ≤ π e periódica de período 2π. Pelo teorema de Fourier, temos para uma função periódica de período L
f (x) = a0 + ∞ ∑ n=1 { ancos (n2πx L ) + bnsen (n2πx L )} (28) onde an = 2 L ∫ L 2 −L 2 f (x) cos ( n2πx L ) dx , n = 0, 1, 2, ... (29) bn = 2 L ∫ L 2 −L 2 f (x) sen ( n2πx L ) dx , n = 1, 2, ... (30) (a) Calcule os coeficientes de Fourier an e bn e mostre que, para −π < x ≤ π, podemos
escrever x2 = π 2 3 + 4 ∞ ∑ n=1 1 n2 cos(nπ) cos(nx) . (31)
A partir desse resultado, mostre que ζR(2) = π
2 6 .
10. Cálculo de ζR(2) via método de Euler.
Uma vez que as raízes de senx = 0 são 0,±1, ±2, ..., somos sugeridos a escrever
senx = Ax(x− π)(x + π)(x − 2π)(x + 2π)... , (32) ou, ainda, na forma,
senx = Bx ( 1− x 2) ( 1− x 2 ) ( 1− x 2 ) .. , (33)
Em contrapartida, da expansão em série para senx, escrevemos senx = x− x 3 3! + x5 5! + ... . (34)
A partir das duas últimas expressões mostre que ζR(2) = π2/6 (compare os coeficientes de
mesma potência em x para as potências mais baixas). 11. Desafio 2.1
Utilize o método de Euler descrito no exercício anterior e mostre que ζR(4) = π4/90.
12. Demonstração via sequência de delta de∇2(1/r) =−4πδ(r).
Considere, inicialmente, a função
δϵ(r) =−
1 4π∇
2√ 1
r2+ ϵ2 . (35)
(a) Por cáculo direto, mostre explicitamente que
δϵ(r) =
1 4π
3ϵ2
(r2+ ϵ2)5/2 . (36)
(b) Usando o teorema da divergência de Gauss em uma região esférica centrada na origem e ao final tomando o limite em que o raio da região vai a infinito, mostre que
∫
δϵ(r) d3r = 1 . (37)
(c) Tomando o limite em que ϵ→ 0 em (37) e (36), mostre finalmente que lim ϵ→0 ∫ δϵ(r) d3r = 1 e lim ϵ→0δϵ(r) = { 0 se r̸= 0, ∞ se r = 0. (38)
Dessa forma, podemos fazer a identificação limϵ→0δϵ(r) = δ(r). Então, usando a
defini-ção (35), obtemos δ(r) =−(4π)−1∇2(1/|r|). Finalmente, trocando nesse resultado r por
r− r′, chegamos ao resultado
δ(r− r′) = − 1 4π∇
2 1
|r − r′| . (39)
13. Demonstração via transformada de Fourier de∇2(1/r) =−4πδ(r).
(a) Mostre, inicialmente, que a transformada de Fourier de 1/r é 4π/k2, de modo que 1 r = ∫ d3k (2π)3 4π k2 e ik·r (40)
Sugestão: obtenha esse resultado calculando antes a transformada de Fourier de e−µr/r,
sendo µ uma constante positiva e depois tome o limite em que µ→ 0.
(b) Calcule, então, o laplaciano em ambos os membros da equação anterior e, após identificar a representação de Fourier da delta, obtenha o resultado desejado.
