PRODUTO VETORIAL
A operação produto vetorial será definida para vetores de V3 , em relação a base ortonormal positiva E = (i, j, k).
5. PRODUTO VETORIAL
Sejam os vetores u ( , , )u u u1 2 3 e v( , , )v v v1 2 3
. O produto vetorial dos vetores
u e v é o vetor
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
u u u u u u
u v i j k
v v v v v v
Notações: u v e u xv ( lê-se: produto vetorial de u e v). Exemplificando:
Dados os vetores u = (2,0,1) e v = (3,1,2), pede u v. Solução:
0 1 1 2 2 0
1 2 2 3 3 1
u v i j k = 1i 1j2k ou u v ( 1, 1, 2).
Observação 5.1: Uma forma mais fácil de memorizar o produto vetorial é considerá-lo
“como se fosse” a expansão de um determinante de ordem 3 pela regra de Laplace, aplicado à primeira linha,
1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
v v v
Considerando o exemplo dado acima:
2 0 1
3 1 2 i j k u v
0 1 2 1 2 0
1 2i 3 2 j 3 1k
= 1 i 1j 2k ( 1, 1, 2).
Note que a ordem dos vetores no interior do determinante simbólico segue a ordem da indicação do produto vetorial, primeiro u e depois v. Observe a ordem dos vetores nos exemplos:
2 0 1
3 1 2 i j k u v
( 1, 1, 2)
e 3 1 2
2 0 1 i j k v u
(1, 1, 2)
Os vetores u v e v u são opostos. Este fato ocorre porque as 2ª e 3ª linhas dos “determinantes” estão trocadas!.
5.1. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
Sejam u( , , )u u u1 2 3 , v( , , )v v v1 2 3 e w( ,w w w1 2, )3 vetores de V3 em relação a base ortonormal positiva E = (i, j, k) e .
5.1.1. u v = (v u) (não comutativa)
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
( )
i j k i j k
u v u u u v v v v u
v v v u u u
.
O determinante troca o sinal quando se permutam duas de suas linhas. 5.1.2. (u) v (u v) e u( )av (u v).
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
( ) ( )
i j k i j k
u v u u u u u u v u
v v v v v v
.
Se multiplicarmos uma linha do determinante por um número real, o determinante fica multiplicado por .
A demonstração da outra relação é análoga.
5.1.3. u ( vw) ( u v) ( u w) e (u v) w (u w) ( vw).
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( )
i j k i j k i j k
u v w u u u u u u u u u
v w v w v w v v v w w w
(u v) (u w)
A demonstração da outra relação é análoga.
5.1.4. Se os vetores eu v não nulos forem paralelos, então u v = 0.
Se os vetores eu v são paralelos, então existe real tal que vu =( u1, u2, u3).
Assim, 1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
u u u
= 1 2 3
1 2 3
.
i j k
u u u
u u u
= . 0 = 0.
Um determinante de linhas proporcionais é igual a zero. 5.1.5. Se um dos vetores ouu v for nulo, então u v = 0.
A direção do produto vetorial (u v) é ortogonal a ambos os vetores eu v. Este fato pode ser confirmado, mostrando que os produtos escalares de (u v) por u e de (u v) por v são iguais a zero.
Temos que 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
u u u u u u
u v i j k
v v v v v v
e u ( , , )u u u1 2 3 , então,
(u v)u = 2 3 1 3 1 2 1 2 3
2 3 3 1 1 2
. . .
u u u u u u
u u u
v v v v v v = Laplace 1ª linha =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
u u u v v v
= 0,
pois a 1ª e 2ª linhas são iguais.
O caso (u v) e v( , , )v v v1 2 3 segue análogo, isto é, (u v)v= 0.
Fazendo analogia: O sentido de (u v) tem a indicação do polegar da mão esquerda, enquanto o dedo médio aponta o sentido de u e o dedo indicador aponta o sentido de v.
5.1.7. u v u v sen, sendo o ângulo formado pelas direções dos vetores u e v. (Esta relação não será demonstrada).
Interpretação geométrica:
Os triângulos ABD e BCD, têm áreas iguais, pois possuem mesma altura e as bases AB e CD são os lados opostos do paralelogramo, logo, de mesma medida. Portanto,
D C v h (altura)
u
A H B Fig.5.2
O triângulo AHD é retângulo, logo: h sen
v
e, daí, h v sen .
A área do paralelogramo é S = .hu . Portanto, S = . senu v . Pela relação em 5.1.7, segue que, S = u v ua. u v
v
a área do triângulo ABD é a metade da área do paralelogramo ABCD:
2 u v S
.
Ambos, triângulo e paralelogramo, possuem igual altura: h S u v
u u
em relação a
um mesmo lado.
(u v)
Temos que u v é o comprimento do vetor u v e, numericamente, quantifica a área do paralelogramo formado a partir dos vetores u e v.
É imediato, pela sentença u v u v sen, que situações onde se altera apenas: a) o comprimento de u ou de v , tem-se diretamente alterado o valor u v . b) a medida de varia entre 0 e radianos, assim,vemos que 0 sen 1. Se sen 0, então devem ocorrer = 0 ou = . No caso = 0 os vetores u e v são paralelos de mesmo sentido e, no caso = , os vetores são paralelos de sentidos opostos. Portanto, o paralelogramo é degenerado e u v = 0.
Se sen 1, então / 2 e o produto u v sen tem valor máximo. Portanto, os vetores u e v são ortogonais e, daí, concluímos que o paralelogramo é um retângulo e
u v u v indica a maior área.
--- EXEMPLO 5.1
1) Efetuar o produto vetorial entre os vetores da base ortonormal E = (i, j, k). Solução:
Temos que i(1,0,0), (0,1,0)j e k(0,0,1). Assim, i j
= (1,0,0)(0,1,0) = 0 0 1 0 i
+ 0 1
0 0 j
+ 1 0
0 1 k
= 0.i+ 0.j+ 1.k = (0,0,1) = k
u v Fig. 5.3 u v v
h
jk
= (0,1,0)(0,0,1) =
0 1 i
+
1 0 j
+
0 0 k
= 1i + 0.j+ 0.k = (1 0,0) = i
k i = (0,0,1)(1,0,0) = 0 1 0 0 i
+ 1 0 0 1 j
+ 0 0 1 0 k
= 0.i + 1.j+ 0.k = (0, 1,0) = j. Note que cada vetor da base E é o produto vetorial dos outros dois na ordem anti-horária indicada no ciclo k
j Fig 5.4 i
O produto vetorial de dois vetores do ciclo, em ordem horária, é oposto ao terceiro vetor da base E, tal como se vê no produto abaixo.
ik
= (1,0,0)(0,0,1) = 0 0 0 1 i
+ 0 1 1 0 j
+ 1 0
0 0 k
= 0.i1.j + 0.k = (0, 1,0) = j. 2) Determinar os vetores (u v) e (v u), dados u= 2i+j 3k e v = i+ 2j. Solução:
u v = 2 1 3 1 2 0
i j k
= 1 3 2 0
i
+ 3 2
0 1
j
+ 2 1
1 2
k
= 6i+3j + 5k = (6, 3, 5).
v u = 1 2 0
2 1 3
i j k
= 6i3j 5k = (6, 3, 5).
Temos que (u v) e (v u) são opostos.
3) Dados os vetores u= ij , v = j+ k e w= i + k. Pede: a) 2u (v + w)
2.(1, 1, 0) (1, 1, 2) = (2, -2, 0) (1, 1, 2) = 2 2 0
1 1 2
i j k
= (4, 4, 0).
b) u (v w)
(1, 1, 0) 0 1 1
1 0 1
i j k
= (1, 1, 0) (1, 1, 1) = 1 1 0 1 1 1
i j k
4) Dados u 3, v 26 e u v 72. Pede o produto escalar u v . Solução:
Temos que u v u v sen, onde u e v. Então,
2 2 2 sen2 2 2(1 cos2 )
u v u v u v .
= u 2 v2 u 2 v2cos2 .
= u 2 v2 (u v )2.
Assim, u v2 u 2 v2 (u v )2. Utilizando as informações dadas no enunciado da questão, segue que:
722 = 32 . 262 (u v )2, isto é, (u v )2 = 6084 5184 = 900 e, daí, u v = 30. 5) Dados os pontos A(1, 3, 2), B(2, 1, 1) e C(1, 2, 3), pede-se:
a) Área do triângulo ABC
Sejam u = AB = ( 1, 4, 1) e v = AC = (2, 1, 1). Logo,
u v = 1 4 1
2 1 1
i j k
= (5, 1, 9) e u v ( 5)2 12 ( 9)2 = 107 .
A área do triângulo ABC é: S
2 u v
= 107
2 unidades de área. b) Altura do triângulo ABC relativa ao lado AB.
Temos que paralelogramo
AB 2 2 2
S 107 107
h
18
1 ( 4) ( 1)
u v
u u
2,44 uc.
O vetor procurado é w = 5 3 . u v u v .
Temos que u v = 1 1 2
2 3 1
i j k
= (7, 5, 1) e 72 52 ( 1)2
u v = 75
= 5 3 . Então, w = 5 3 .(7,5, 1) 5 3
=
7, 5, 1
.7) Obter a área do paralelogramo ABCD, cujas diagonais são AC=(6, 2,-2) e BD= (2,-6, 4) Solução: M é o ponto médio das diagonais.
Então, u v = 4 2 1
2 4 3
i j k
= (2, 14, 20).
Área do paralelogramo: A = 22 142 202
u v = 600 = 10 6 u a.
--- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5.1
1) Dados u = (1, 1, 0) e v = (2, 1, 2), determinar as coordenadas do vetor w ortogonal a u e a v e que tenha módulo 3.
R. w = 3 17
(2, 2, 3 ) 2) Determinar o vetor w, ortogonal a u = (2, 1, 1) e v = (3, 6, 2) e cuja medida da sua projeção na direção de t = (1, 0, 1) é igual a 4.
R. 16 2 4 2 36 2, ,
5 5 5
3) Dados u = 2i+3j5k e v = 4i 6j+10k, determinar o vetor u v. Dizer qual é a relação que existe entre eu v?.
R. u v = 0, os vetores eu v são paralelos. D C
M u
A v B Fig. 5.5
Temos que: u = AC
2
+ BD 2
= (3, 1,-1) + (1,-3, 2) u = (4, 2, 1)
v
= AC 2
BD 2
4) Determinar a área do quadrilátero ABCD, tal que A(1, 1, 2), B(2, 1, 4), C(3, 1, 2) e D(0, 1, 1). Observação: verifique, antes dos cálculos, se o quadrilátero é paralelogramo.
R. 6 ua 5) Determinar a área do triângulo BCM, sabendo-se que A(1, 2, 2), B(2, 5, 2), C(1, 7, 2) e que M está a 2/3 de A para B.
R. 5/2 ua 6) Determinar a altura do triângulo ABC relativa a base BC, dados A(0, 1, 2), B(4, 3, 1) e C(1, 0, 1).
R. 19 /17 uc 7) Determinar a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B, dados A(2, 2, 1), B(2, 0, 0) e C(3, 2, 2).
R. 3 2 2 uc 8) Obter a área do paralelogramo ABCD, cujas diagonais são AC=(3, 1,-2) e BD= (1,-3, 4) R. 5 3 ua 9) Quais são os vetores unitários ortogonais a (i+j+k) e a (ijk) ?.
R. 0, 2, 2
2 2
10) Os pontos X e Y pertencem a uma reta r, mas Z não pertence a ela. Utilize a interpreta- ção geométrica do produto vetorial para mostrar que a distância do ponto Z a r é
XY XZ XY
.
11) Calcule a distância do ponto O(0,0,0) à reta que tem os pontos I = (1,0,0), J = (0,1,0). R. 2
2 uc 12) Calcule a distância do ponto O(0,0,0) à reta que possui os pontos A(0,2,0) e B(0,0,3). R. 6 13
13 uc 13) Sejam i= (1,0,0), j = (0,1,0) e a(1,1,0).
a) calcule i j . b) calcule i a.
c) é verdade que: Se i j = i a, então j = a?. (isto é, vale o cancelamento?)
R. a) i j = (0, 0, 1) b) i a = (0, 0, 1) c) Não
14) Calcule a área do triângulo de vértices (1,2,2), (9,8, 2) e (10,12,6).
R. 97 ua 15) Calcule os produtos k i, j i e k j. R. j, k e i 16) Mostre que se eu v são paralelos, então u v = 0.
