Economia Social. Curva de Lorenz. Relembrando...

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Economia Social

Profa. Danielle Carusi

Prof. Fábio Waltenberg

Aula 4 (parte II) – agosto de 2010 Economia – UFF

Parte I: CONCEITOS BÁSICOS: Curva de Lorenz e Indice de Gini Índice de Theil

Outras medidas de desigualdade: classe de entropia generalizada

Curva de Lorenz

Diferentemente da Parada de Pen (ou Curva dos

Quantis), a Curva de Lorenz representa

exclusivamente a desigualdade relativa, ou seja, ela é indiferente ao nível da distribuição.

A curva de Lorenz diz respeito à porcentagem da renda apropriada pelos quantis mais pobres.

Relembrando...

Quantis de uma distribuição:Se usa o termo quantil para a separatriz ou para o estrato. Na prática se adota a renda da última pessoa do estrato como demarcação do

quantil. 1o décim o 2o décim o 9o décim o 10o décim o O decil é a separatriz.

D écim os e decis da distribuição de renda - pessoas ordenadas segundo o nível de renda.

O termo

O termo decildecil denomina cada denomina cada quantil

quantil de uma distribuição que foi de uma distribuição que foi fracionada em 10 partes.

fracionada em 10 partes.

O que é uma Curva de Lorenz?

- Se ordenarmos a distribuição em ordem crescente das rendas (do mais pobre até o rico), é possível relacionar a cada passo a fração populacional acumulada até ali (p) com a fração da renda total acumulada até aquele passo (φ). A curva gerada desse modo é conhecida como curva de Lorenz (L(p)).

- A curva de Lorenz nos dá a proporção da renda total apropriada por uma dada parcela da população. Ela relaciona a porcentagem acumulada da renda com a porcentagem acumulada da população.

Curva de Lorenz 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Porcentagem acumulada da população

P o r c e n ta g e m a c u m u la d a d a r e n d a

Reta de perfeita igualdade

α αα α L(p) O B C p φφφφ

(2)

- Quando comparamos duas distribuições – A e B – cujas curvas de Lorenz não se interceptam, de forma inquestionável a distribuição cuja curva de Lorenz se situa mais próxima da linha de perfeita igualdade tem menor grau de desigualdade.

- Diz-se, então, que a distribuição A domina em Lorenz a distribuição B.

- O bem-estar é maior em A do que em B).

Dominância de Lorenz: A B Lorenz curves - 2001 to 2007 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cumulative population percentage

C u m u la ti v e in co m e p er ce n ta g e

Source: Estimates based on Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD) - 2001 to 2007.

2001 2007

A distribuição de renda em 2007 domina em Lorenz a distribuição em 2001 => em 2007 existe menos desigualdade na distribuição da renda

do que em 2001.

Exemplo de construção de uma

Curva de Lorenz

Considere a distribuição discreta: (n= 5 e média = 8)

[

1 1 2 6 30

]

= x i xi pi Xi/total Φi 1 1 0,2 0,025 0,025 2 1 0,4 0,025 0,05 3 2 0,6 0,05 0,1 4 6 0,8 0,15 0,25 5 30 1,0 0,75 1

Exemplo de construção de uma

Curva de Lorenz

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 A B A B (a) (b)

A é mais igual do que a B A é mais desigual em sua cauda inferior e menos desigual em sua cauda superior do que em B

Quando as curvas de Lorenz se interceptam, existem medidas específicas de desigualdade de renda. Essas medidas, entretanto, envolvem um certo

grau de arbitrariedade na mensuração.

Relação entre a Curva de Lorenz e o Índice de

Gini

- O Índice de Gini é o mais tradicional dentre os índices de concentração. - Uma das principais vantagens: sua associação com a Curva de Lorenz (pode ser escrito como uma função da Curva de Lorenz).

- Como α varia entre 0, quando a curva se confunde com a linha de perfeita igualdade, e ½, que é a área do triângulo retângulo à direita, temos que o Gini se situa entre 0 e 1.

- A desigualdade máxima ocorre quando uma única pessoa se apropria de toda a renda (αMÁX= 0,5).

-- O Índice de Gini é definido como o quociente entre a área de desigualdade (α) e a desigualdade máxima. Portanto, G= α/0,5 => G=2αααα.

(3)

Relação entre a Curva de Lorenz e o Índice de Gini

- Como o Gini é igual a duas vezes a área (α), isto é, G=2α, sendo αa área entre a reta de perfeita igualdade e a curva de Lorenz, temos que: ∫ − = => − = 1 0 ) ( 5 , 0 5 , 0 β α Lpdp α       − = => = _∫1 0 ) ( 5 , 0 2 2 G Lpdp G α

∫

− = 1 0 ) ( 2 1 L pdp G

A área do triângulo onde está a curva de Lorenz é 0,5. Portanto, α+β=0,5. Curva de Lorenz 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Porcentagem acumulada da população

P o r c e n ta g e m a c u m u la d a d a r e n d a

Reta de perfeita igualdade

α αα α L(p) O B C p φφφφ

Como queremos calcular a área de desigualdade, o procedimento mais simples é calcular a área complementar em

relação ao triângulo inferior (depois fazer ½ - essa área).

Sié a área do i-ésimo trapézio. Base maior: Фi Base menor: Фi-1 Altura: pi– pi-1= 1/n Si= 1/2n(Фi+ Фi-1) [lembra que S = (b1 + b2).h/2] Фi Фi -1 Si p pi Pi-1 1/n

A área β pode ser obtida pela soma das n áreas Si:

∑

=

n i i

S

1

β

Substituindo S_i= 1/2n(Ф_i+ Ф_i-1) temos que:

)

(

2

1

1 1 − =

∑

+

=

i n i i

n

φ

β

Como: G = 2α α+β=0,5 => α=0,5-β Então: G = 2.(0,5 - β) => G = 1 - 2β (*)

Substituindo β em (*), temos que:

)

(

1

1 )

(

2

1

2

1

₁ 1 1 1 − = − =

∑



=>

=

−

+











+

−

=

i n i i i n i i

n

G

n

G

φ

Portanto, conhecendo as rendas xi, podemos obter φi

∑

=

n i i i

x

n

1

1 µ

φ

Fatia da renda apropriada.

i xi pi pi acum φi φi+φι-1 1 1 0,03 0,03 0,025 0,025 2 1 0,03 0,05 0,050 0,075 3 2 0,05 0,10 0,100 0,150 4 6 0,15 0,25 0,250 0,350 5 30 0,75 1,00 1,000 1,250 40 1,850 n=5 µ=8 ∑ = = n i i i x n 1 1 µ φ 025 , 0 1 . 8 . 5 1 1= = φ 050 , 0 2 . 8 . 5 1 2= = φ ) ( 1 1 1 1 − =

∑

+ − = i n i i n G φ φ 63 , 0 850 , 1 . 5 1 1− = = G

(4)

Curvas de Lorenz que se cruzam (praticamente com o mesmo Gini)

Lorenz curves for 44 countries with the ir income s (in $PPP) and populations (Concept 2 distribution) 0 20 40 60 80 100 2 7 11 16 20 25 30 34 39 43 48 52 57 61 66 70 75 80 84 89 93 98 Cumulative % of countries C u m u la ti v e % o f in c o m e 1998 1913 Gini 1918 = 35.6 Gini 1998 = 34.7

Source: thepast.xls (lorenz2)

A curva de Lorenz mostra como o “bolo” é dividido mas não revela nada sobre o tamanho do bolo ou quantas bocas vão comê-lo.

As informações sobre a renda média e o tamanho da população não podem ser extraídas da curva de Lorenz. Quando as curvas de Lorenz se interceptam, não podemos dizer que, de forma inquestionável, a distribuição cuja curva de Lorenz se situa mais próxima da linha de perfeita igualdade tem menor grau de desigualdade. Algumas limitações:

Existem várias formas de se medir desigualdade, cada uma com seu apelo (intuitivo ou matemático). Uma medida de desigualdade, assim como qualquer outra ferramenta, é julgada pelo tipo de trabalho que

faz: ela é sensível a mudanças no padrão de distribuição? Responde apropriadamente a mudanças

na escala global de renda?

Entretanto, muitas medidas que são aparentemente sensíveis se comportam de forma perversa. Por exemplo: a variância, que é uma das medidas mais simples de desigualdade não é independente da escala – se dobrarmos a renda de todas as pessoas essa medida de

desigualdade quadruplica.

Essa não é uma propriedade desejável de uma medida de desigualdade.

Portanto, parece apropriado limitar a discussão àquelas medidas que satisfazem certas propriedades. Mesmo assim, muitas vezes, ordenamos distribuições de forma

diferente.

Existem cinco propriedades que usualmente uma medida de desigualdade deve satisfazer.

Com isso vamos obter uma lista pequena de medidas de desigualdade pois eliminamos aquelas medidas que não se ajustam a esses princípios. Mas isso também ajuda a

colocar a preferência pessoal em perspectiva quando escolhemos uma medida dentre estas.

Princípios uma medida de desigualdade deveria

satisfazer. 1) Princípio da Transferência de Pigou-Dalton:

Esse princípio requer que a medida de desigualdade aumente (ou pelo menos não diminua) em resposta a uma

transferência de renda, que preserve a média (mean-preserving spread), de uma pessoa mais pobre para uma pessoa mais rica; uma transferência de renda do mais rico para o mais pobre deveria reduzir a desigualdade (ou pelo

(5)

Considere o vetor y’, que é uma transformação de y, obtido por uma transferência δde yjpara yi, onde yi> yj,

e yi+δ> yj-δ, então, o princípio da transferência é

satisfeito se I(y’)≥ I(y) - a desigualdade em y’ é maior ou igual a desigualdade em y.

Muitas medidas utilizadas na literatura, incluindo a família de Entropia Generalizada e a família do Gini satisfazem esse princípio, com exceção do logarítimo da

variância e da variância dos logarítimos.

2) Independência da escala de renda:

Esse princípio requer que a medida de desigualdade seja invariante à mudanças proporcionais uniformes – se a renda de cada indivíduo muda na mesma proporção (como acontece, por exemplo, quando muda a unidade monetária), então, a desigualdade não deveria se alterar.

Assim, para qualquer escalar λ, I(y) = I(λy). Novamente,

muitas medidas de desigualdade padrão passam nesse

teste exceto a variância, uma vez que Var[λy] = λ2_Var[y].

3) Princípio da população:

Esse princípio requer que a medida de desigualdade seja invariante à replicações da população.

Se medirmos a desigualdade numa economia particular com n pessoas e, então, dermos um “merge” nessa economia com uma outra idêntica, vamos obter uma economia combinada com uma população 2n, e com a

mesma proporção da população recebendo qualquer dada renda (a desigualdade não se altera).

Se a medida de desigualdade é a mesma para qualquer replicação, então, esta medida satisfaz esse princípio.

Para qualquer escalar λ>0, I(y)=I(y(λ)), onde y(λ) é

uma concatenação do vetor y, λvezes.

4) Princípio do Anonimato (imparcialidade)

Esse princípio é algumas vezes referido como “simetria”. Ele requer que a medida de desigualdade seja independente de qualquer característica dos indivíduos

que não seja a renda (ou o indicador de bem-estar cuja desigualdade está sendo medida).

Assim, para qualquer permutação y’ de y, I(y)=I(y’). A = (1, 2, 3) é equivalente a B = (3, 2, 1).

5) Decomponibilidade:

Esse princípio requer que haja coerência entre a desigualdade global numa dada sociedade e a desigualdade em suas partes constituintes, tais como os

subgrupos populacionais.

Por exemplo, se a desigualdade entre subgrupos da população (homens x mulheres) aumenta, então,

esperaríamos que a desigualdade total também aumentasse.

(6)

Algumas medidas, tais como as da família de Entropia Generalizada, são facilmente decomponíveis e em componentes intuitivos de desigualdade dentro do

grupo e desigualdade entre grupos:

I

I TOTALTOTAL= I = I DENTRODENTRO+ I + I ENTREENTRE

O coeficiente de Gini é decomponível apenas se as partições não são sobrepostas, isto é, os subgrupos da

população não se sobrepõe no vetor de rendas. Ver exemplos 1 e 2:

Exemplo 1:

Supõe uma economia com 6 pessoas; 3 no norte e 3 no sul. Norte Sul

6 30 7 30 8 130

O Sul é bem mais rico que o Norte.

A B A B 6 6 30 10 7 6 30 60 8 9 130 120 yNO=7 ySUL=63 Gini 0,063 0,095 0,351 0,386 Atkinson 1 0,007 0,019 0,228 0,343 Atkinson 2 0,014 0,036 0,363 0,621 Theil 0,007 0,020 0,256 0,290

O Governo desenhou dois tipos de programas: A e B. Esses programas mantém a média constante mas a distribuição muda.

Norte Sul

Ver Cowell (2000). Ver Cowell (2000).

Exemplo 1:

Juntanto Norte e Sul:

A B A B A B 6 6 6 6 30 10 7 6 7 6 30 60 8 9 8 9 130 120 30 10 yNO=7 ySUL=63 30 60 130 120 yT=35 Gini 0,063 0,095 0,351 0,386 0,562 0,579 Atkinson 1 0,007 0,019 0,228 0,343 0,476 0,519 Atkinson 2 0,014 0,036 0,363 0,621 0,664 0,700 Theil 0,007 0,020 0,256 0,290 0,604 0,632 Norte Sul

A desigualdade aumentou no Norte (de A p/B); a desigualdade aumentou no Sul (de A p/B) => a desigualdade aumentou no

país como um todo (de A p/B) – é consistente.

Exemplo 2: Supõe que a renda cresceu por um fator de 10 somente no Norte.

Juntanto Norte e Sul:

A B A B A B 60 60 60 60 30 10 70 60 70 60 30 60 80 90 80 90 130 120 30 10 yNO=70 ySUL=63 30 60 130 120 yT=66 Gini 0,063 0,095 0,351 0,386 0,275 0,267 Atkinson 1 0,007 0,019 0,228 0,343 0,125 0,198 Atkinson 2 0,014 0,036 0,363 0,621 0,236 0,469 Theil 0,007 0,020 0,256 0,290 0,126 0,149 Norte Sul

Indo de A B, o Gini aumenta no Norte; aumenta no Sul, mas o Gini do país decresce.

Se isso ocorre, então, é impossível expressar a mudança na desigualdade total como uma função consistente da

mudança de desigualdade nos vários subgrupos.

A variância dos logarítimos, o logaritimo da variância e o desvio relativo à média também se comportam dessa

forma.

Família de medidas de Entropia Generalizada (GE). Teorema:

Qualquer medida de desigualdade que satisfaça simultaneamente todas essas propriedades é um

membro da família de medidas de Entropia Generalizada (GE) (ver Cowell, 1995).

        −       − =

∑

= n i i y y n GE 1 2 1 1 1 ) ( α α α α Onde:

n no. de indivíduos na amostra. yi renda do indivíduo i, i∈(1,2,...,n).

ybarra=Σyi

(7)

Família de medidas de Entropia Generalizada (GE).

Outra forma de escrever (reparametrizando):













−













−

=

∑

= n i i

y

n

GE

1 2

1

1 )

(

α

ε

α

=1− => =1−

(

)

_            − − =

∑

= − n i i y y n GE 1 1 1 1 1 1 ) ( ε

ε

Que índices fazem parte da família de

medidas de Entropia Generalizada (GE)?

Índice de Shorrocks

Coeficiente de variação

Theil-L

Theil-T

Atkinson

Resumo: a partir de GE(α) podemos obter cada um

desses índices:

- A fórmula de GE(α) é o próprio Índice de Shorrocks.

- Se α=2 Coeficiente de variação.

- Se α→0 Theil-L (temos que usar L’Hôpital).

- Se α→1 Theil-T (temos que usar L’Hôpital).

- O Índice de Atkinson é uma transformação monotônica

crescente do Shorrocks para ε>0.

Índice de Shorrocks.

(

)

_      −       − =

∑

= n i i y y n S 1 1 1 1 1 ) ( α α α α

Exercício 1: Mostre que se αααα=2 Coeficiente de variação.

Se α=2 GE = CV2_{2GE =} 2 2 2 1 y y y n

∑

i−

Exercício 1: Mostre que se αααα=2 Coeficiente de variação.

(

)

_      −       − =

∑

= n i i y y n S 1 1 1 1 1 ) ( α α α α           − =         − =         −         = =             −             =         −       − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 . 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 ) 2 ( y y y n y y n y n y y n y y y n GE i i i i i           − = ∑ 2 2 2 1 ) 2 ( 2 y y y n GE i 2 CV =          ₋ = = => = ∑ 2 2 2 2 2 2 1 y y y n y CV y CV i σ σ Lembra que: Lembra que:

Exercício 1: Mostre que se αααα=2 Coeficiente de variação.           − =

∑

2 2 2 1 ) 2 ( 2 y y y n GE i 2 CV =

Na verdade, temos uma transformação monotônica do CV. Um atrativo do CV como medida de desigualdade é sua associação com o desvio-padrão (e a variância), que é a medida de

(8)

Exercício 2: Mostre que se α→α→α→α→0 Theil-L

∑

_



−





=

i

y

i

n

y

n

y

L

(

)

log

1

1 log

(Log da média – a média dos logs)

Exercício 3: Mostre que se α→α→α→α→1 Theil-T

      =

∑

y y y y n y T₍ ₎ 1 i_._log i

[

]

ε ε ε ε ε ε − − − − − − =               − =

∑

11 1 1 1 ). 1 ( 1 1 1 1 ) ( S y y n A i

O debate acadêmico e político sobre a

desigualdade de renda.

-“Trade off” entre crescimento e desigualdade. - Custos de eficiência.

- Obstáculos da política economia para uma ampla política redistributiva.

-Qual a questão?

- crescimento versus redistribuição.

Crescimento deve preceder redistribuição? É mais eficaz crescer primeiro para depois redistribuir?

O debate acadêmico e político sobre a

desigualdade de renda.

- Questões importantes para refletir:

- Crescimento econômico é essencial, mas não é suficiente para extinguir a pobreza.

- As políticas econômicas e sociais não podem colocar em perigo a estabilidade macroeconômica.

- Existem sinergias entre melhorias na distribuição de renda e crescimento.

“Apesar da relação entre reduções no grau de desigualdade e crescimento ser complexa, existem múltiplas razões para acreditarmos que maior eqüidade

pode acelerar o crescimento. Nesses casos, o combate à desigualdade deve receber total prioridade”.

(Ver Barros, Carvalho, Franco e Mendonça. Capítulo 10: A importância da queda recente da desigualdade sobre a pobreza. Vol. I do Livro do Ipea).

Mensagens particularmente importantes para a redução da pobreza:

(i) Os custos econômicos e políticos de elevados níveis de desigualdade podem colocar em risco a estabilidade democrática e afetar negativamente os investimentos e o crescimento econômico.

(i) Crescimento econômico e redistribuição de renda não são processos que necessitam ocorrer seqüencialmente. O ideal é que os dois ocorram simultaneamente.

(9)

(iii) Há um papel importante para as políticas públicas na redução da desigualdade de renda, facilitando o acesso a ativos produtivos, particularmente do capital humano, entre os pobres.

Assim, o foco da discussão passa a ser a análise das sinergias entre o crescimento e a distribuição de renda o que implica que ambos são instrumentos complementares para redução da pobreza (e são, como vimos).

O desafio para os formuladores de políticas é identificar quais as políticas públicas promover um crescimento mais rápido e com maior participação dos pobres na geração de renda.

A longa tradição de pesquisa sobre

desigualdade de renda no Brasil.

-Há mais de quatro décadas os dados estatísticos disponíveis são utilizados para analisar o que ocorre com a distribuição de renda e quais são seus principais

determinantes.

-Após a divulgação dos dados do Censo Demográfico de 1970, dois estudos mostraram um crescimento espantoso na desigualdade da distribuição da renda no Brasil entre 1960 e 1970:

-Fishlow (1972).

-Hoffmann e Duarte (1972).

A longa tradição de pesquisa sobre

desigualdade de renda no Brasil.

- Mario Henrique Simonsen, citando o trabalho de Hoffmann e Duarte, afirmou que “o debate sobre o aumento de concentração de renda de 1960 para 1970 só pode ser sustentado com uma boa dose de leviandade estatística” (Simonsen, 1972, p. 50).

- O trabalho de Langoni (1973) foi fundamental para estabelecer um consenso sobre o aumento da desigualdade entre 1960 e 1970.

A longa tradição de pesquisa sobre

desigualdade de renda no Brasil.

- A partir de então, o aspecto polêmico passou a ser a interpretação acerca das causas por trás desse fenômeno. Alguns autores apontavam a política governamental e o ambiente institucional como os principais responsáveis, enquanto outros consideravam que o problema estava no crescimento da demanda por mão-de-obra mais qualificada sem o correspondente crescimento da oferta.

- Proliferaram os estudos sobre a desigualdade de renda. Logo os estudos que corroboravam a forte relação entre educação e desigualdade retratada por Langoni ganharam importância.

- Nos anos 1980, grande atenção foi dispensada à segmentação no mercado de trabalho brasileiro. Das distintas formas de segmentação, aquela existente entre os setores formal e informal da economia tem sido, seguramente, a mais estudada. - Na segunda metade da década de 1980 e, em particular, na primeira metade da década de 1990, foi a vez da relação entre estabilidade econômica, inflação e desigualdade.

- Mais recentemente surgiram mais estudos sobre discriminação, sobretudo a discriminação racial, e

principalmente, sobre a desigualdade de oportunidades gerada pelo sistema educacional.

A longa tradição de pesquisa sobre

desigualdade de renda no Brasil.

Indicadores Valor Porcentagem da renda apropriada pelos décimos mais pobres (%)

Primeiro 0.89 Segundo 2.95 Terceiro 5.92 Quarto 9.86 Quinto 15.0 Sexto 21.5 Sétimo 29.6 Oitavo 40.5 Nono 56.5

Porcentagem da renda apropriada pelo último centésimo 12.3

Coeficiente de Gini 0.552

Índice de Theil-T 0.613

Razão entre a renda apropriada pelos 10% mais ricos e pelos 40%

mais pobres 17.7

Razão entre a renda apropriada pelos 20% mais ricos e pelos 20%

mais pobres 20.2

Tabela 2.1: Indicadores da desigualdade na renda per capita no Brasil, 2007.

(10)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 0,550 0,600 0,650 0,700 D is tr ib u iç ã o a c u m u la d a d o s p a ís e s 1 Coeficiente de Gini

Distribuição acumulada da população mundial e dos países segundo o PIB real per capita - Coeficiente de Gini

Brasil2₂₀₀₇

(0.552; 91)

Fonte: Estimativas produzidas com base no Human Development Report (2007-2008) PNUD. Nota: 1. Estão sendo considerados 126 países para os quais existem a informação.