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Desconto Simples
As operações de desconto acontecem quando uma pessoa (física ou jurídica) tem uma dívida numa data futura e por esse motivo entrega ao seu credor (pessoa física ou jurídica) um título de crédito como comprovante da dívida, porém, o devedor pode pagá-la antes do dia predeterminado beneficiando-se com um abatimento chamado desconto.
O desconto também pode acontecer em operações nas quais o credor precisa do dinheiro antes da data
predeterminada e nesse caso “vende” o título de crédito para outra pessoa (física ou jurídica) recebendo uma quantia menor que aquela fixada no título.
Desse modo, as operações de desconto ocorrem quando se paga um título antecipadamente ou quando se entrega títulos com vencimento futuro a uma instituição para se obter um crédito.
Em qualquer caso existe uma diferença entre o valor do título e a quantia recebida ou paga. Assim, podemos definir desconto como:
Definição:
DESCONTO é a diferença ente o valor nominal do título (N) e o valor atual (recebido) (A), ou
D = N - A
Dois métodos de cálculos devem ser considerados nas operações de descontos, cada um com suas
características: o desconto “por dentro” ou racional e o desconto “por fora” ou comercial ou bancário. A diferença fundamental entre os dois métodos reside em o que é considerado como base de cálculo para o desconto. No primeiro caso o desconto é calculado sobre o valor atual (A) correspondendo aos juros que devem
ser somados a esse valor atual para se obter o valor nominal, por esse motivo denominado “por dentro” e, no segundo caso, é calculado sobre o valor nominal (N) e não corresponde aos juros embutidos no valor atual, por
isso denominado “por fora”.
Considerando que os descontos podem ocorrer no sistema de juros simples ou composto podemos ter os seguintes casos de descontos: desconto racional simples com poucas aplicações práticas no curto prazo; o
desconto comercial simples que é amplamente utilizado nas operações de curto prazo; o desconto racional composto que no longo prazo é amplamente utilizado e o desconto comercial composto que não possui aplicações práticas.
Dificilmente o valor do desconto tem interesse nessas operações. Deseja-se sempre saber qual o valor atual ou descontado (A) obtido por meio de um desconto.
1.
DESCONTO “POR DENTRO” OU RA
CIONAL SIMPLES
Esse método de desconto tem como finalidade retirar os juros que foram colocados “dentro” do valor
atual (Ar) para produzir o valor nominal (N) do título. Trata-se da obtenção do valor atual de uma operação ou de
um título como calculado anteriormente em juros simples. Desse modo, definimos:
Definição:
O DESCONTO RACIONAL SIMPLES corresponde ao valor do juro incidente sobre o valor atual do título a uma taxa fixada, durante um determinado período de tempo.
Usando a expressão para o cálculo dos juros simples e considerando Dr o valor do desconto racional simples, Ar o valor atual (valor descontado ou valor de resgate), i a taxa de juros e n o número de períodos que o título é negociado entes do vencimento, determinamos o valor do desconto por:
Dr = Ar × i × n
Entretanto nas operações de desconto que ocorrem no dia a dia o valor atual A é sempre desconhecido, impossibilitando o cálculo do desconto. Normalmente sabemos o valor nominal do título, a taxa da operação, o prazo e devemos calcular o desconto com esses valores conhecidos.
Para deduzirmos a expressão que permita esse cálculo lembramos que o desconto também pode ser obtido por meio de:
2
e que na expressão para determinar o valor futuro no juro simples FV = PV(1 + i.n) substituindo-se o FV por N e
o PV por Ar, temos:
n
i
1
N
A
r
que substituindo-se esse valor na última expressão para o desconto, temos:n
i
N
N
D
r
1
ou
n
i
N
n
i
N
D
r
1
1
oun
i
N
n
i
N
N
D
r
1
e, finalmente:n
i
1
n
i
N
D
r
Com essa fórmula podemos calcular o valor do desconto racional simples a partir do valor nominal do título.
O valor descontado, também conhecido como valor atual ou valor de resgate, Ar, pode ser obtido pela expressão:
Ar = N - Dr
Trocando nessa expressão o Dr encontrado anteriormente, obtemos:
n
i
n
i
N
N
A
r
1
ou
n
i
n
i
N
n
i
N
A
r
1
1
oun
i
n
i
N
n
i
N
N
A
r
1
n
i
1
N
A
r
Essa expressão permite calcular o valor descontado recebido ou pago em função do valor nominal do título.
Exemplo.
Um título no valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano será liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo 3,5% a.m. a taxa nominal de juros pede-se calcular, usando o desconto racional simples, o valor descontado e o valor do desconto. (Assaf, 2003)
Resolução:
Essa situação pode ser representada por:
Desconto:
380
,
10
3
035
,
0
1
3
035
,
0
00
,
000
.
4
rD
Valor descontado:
3
.
619
,
90
3
035
,
0
1
00
,
000
.
4
rA
Os R$ 380,10 representam o valor que o devedor está deixando de pagar (desconto) pela antecipação da quitação do título. O valor líquido (descontado) a ser pago é R$ 3.619,90.
12
9
Ar
N = 4.000,00
0
i = 3,5%
3
2.
DESCONTO “POR
FORA
” OU
BANCÁRIO (COMERCIAL) SIMPLES
Neste tipo de desconto o seu cálculo incide sobre o valor nominal ou valor de resgate do título. Isso significa que a taxa de desconto será aplicada diretamente sobre o valor nominal do título, produzindo o desconto referente ao período considerado na operação.
Essa modalidade de desconto é amplamente adotada pelo mercado financeiro e produz um valor a ser deduzido maior que no desconto por dentro.
O valor do desconto bancário (Db) é obtido multiplicando o valor nominal do título (N) pela taxa (i) de
desconto contratada na operação e pelo prazo (n) considerado na mesma.
Desse modo, definimos o desconto bancário ou “por fora” como:
Definição:
O DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES corresponde ao valor do juro simples produzido pelo valor nominal do título a uma taxa fixada, durante um determinado período de tempo.
A expressão matemática que fornece o valor do desconto bancário simples ou desconto “por fora” é dada por:
Db = N × i × n
O valor atual ou valor descontado “por fora” ou bancário é obtido pela diferença entre o valor nominal do
título e o respectivo valor do desconto e expresso por:
Ab = N – Db
Esse valor atual “por fora” pode ser obtido diretamente do valor nominal do título substituindo-se na expressão anterior a fórmula do desconto “por fora”.
Ab = N(1 – i × n)
Exemplo.
Um título no valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano será liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo 3,5% a.m. a taxa nominal de juros pede-se calcular, usando o desconto bancário simples, o valor descontado e o valor do desconto. (Assaf, 2003)
Resolução:
Como antes, a situação pode ser representada por:
Desconto:
00
,
420
3
035
,
0
00
,
000
.
4
b
D
Valor descontado:
A
b
4
.
000
,
00
(
1
0
,
035
3
)
3
.
580
,
00
Os R$ 420,00 representam o valor que o devedor está deixando de pagar (desconto) pela antecipação da quitação do título. O valor líquido (descontado) a ser pago é R$ 3.580,00.
Note que a situação proposta nesse exercício é idêntica a que foi proposta para exemplificar o desconto racional. Comparando os valores dos dois descontos percebe-se que o desconto “por fora” (bancário) é maior que
o valor do desconto “por dentro” (racional), ou seja, Db = 420,00 > Dr = 380,10. Isso ocorre porque o desconto “por fora” é calculado sobre o valor de resgate do título enquanto o desconto “por dentro” incide sobre o valor atual.
Essa diferença é explicada devido ao fato que no desconto “por dentro” o valor do desconto corresponde aos juros que foram embutidos no momento da realização da operação financeira, enquanto que no
desconto “por fora” o valor do desconto corresponde aos juros calculados sobre o valor nominal do título. O valor do desconto “por fora” representa o valor futuro (montante) do desconto “por dentro”,
mantendo-se a mesma taxa e o prazo da operação, conforme a expressão: (Assaf, 2003)
12
9
Ab
N = 4.000,00
0
i = 3,5%
4
Db = Dr (1 + i × n)
Nas operações de desconto “por fora” existem outros custos adicionais, tais como a incidência de taxas, despesas administrativas e operacionais, que são agrupadas sob a denominação de despesas bancárias. Essas despesas são cobradas no momento da operação de desconto bancário através de uma taxa que é aplicada sobre o valor nominal do título.
Essa taxa pode ser incluída nas fórmulas do desconto bancário e do respectivo valor atual (ou descontado). Para tanto, chamando de t a taxa relativa às despesas bancárias, tem-se:
Db = N(i × n + t) e Ab = N[1 – (i × n + t)]
Exemplo.
Uma duplicata de valor nominal de R$ 60.000,00 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se ainda que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. (Assaf, 2003)
Resolução:
Valor do desconto, incluindo as despesas administrativas: Db = N(i × n + t)
Db = 60.000,00×(0,028×2+0,015) = 4.260,00
Valor descontado, incluindo as despesas administrativas: Ab = N[1 – (i × n + t)]
Ab = 60.000,00×[1 – (0,028×2 + 0,015)] = 55.740,00
3.
DESCONTO DE VÁRIOS TÍTULOS
Nas operações de desconto bancário (ou “por fora”) costuma-se proceder ao desconto de vários títulos com valores nominais e prazos diferentes. Nesses casos, calcula-se o valor descontado (Ab) de cada um dos títulos e a
soma desses valores descontados produzirá o valor a ser liberado na operação.
Exemplo.
Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados num banco:
Vencimento (dias) Valor do título (R$)
30 10.000,00
60 20.000,00
90 30.000,00
Total 60.000,00
Determinar o valor a ser creditado na conta dessa empresa, por essa operação de desconto, assumindo o mês com 30 dias, e sabendo-se que a taxa de desconto acertada é de 1% ao mês.
Resolução:
Cálculo do valor atual de cada um dos títulos: Ab1 = 10.000,00×(1 – 0,01×1) = 9.900,00
Ab2 = 20.000,00×(1 – 0,01×2) = 19.600,00
Ab1 = 30.000,00×(1 – 0,01×3) = 29.100,00
Valor total a ser creditado para a empresa:
5
4.
EXERCÍCIOS
1. O valor de um título de R$ 159.529,30, referente à compra de um implemento agrícola, é pago dois meses antes do vencimento. A taxa de desconto racional é de 5,5% ao mês. Calcular o valor descontado deste título.
2. Um título de R$ 22.000,00 é descontado em um banco, por uma empresa agrícola., 2 meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto (“por fora”) cobrada pelo banco é de 4% ao mês. Calcule o valor do desconto e o valor creditado na conta da empresa.
3. Uma empresa leva a um banco para desconto simples os títulos abaixo. Sabe-se que o banco cobra uma taxa de 3% ao mês nessas operações. Calcule o valor a ser creditado para a empresa.
Titulo Valor nominal Prazo de desconto
A 5.230,00 30 dias
B 8.340,00 50 dias
C 10.000,00 60 dias
D 7.640,00 60 dias
4. Um título vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adotado o critério do desconta racional simples, à taxa de 15% a.m., qual o valor descontado e o desconto desse título de valor nominal igual a R$ 100.000,00?
5. Um título de valor nominal de R$ 500.000,00 vai ser negociado três meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional simples. Sabendo-se que a taxa de desconto racional é de 96%a.a., qual o valor descontado e o valor do desconto?
6. Um título vai ser resgatado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que foi adotado o critério do desconto bancário simples, à taxa de 15% a.m., qual o valor descontado se o valor nominal desse título é igual a R$ 100.000,00?
