Armazenar a geometria. Armazenar a geometria. Modelos não topológicos. Modelos não topológicos. Topologia: Polygon-arc. Modelos topológicos

(1)

Modelo vetorial

1. Geometrias e armazenamento

2. Modelos de dados não topológicos

(spaghetti)

3. Modelos de dados topológicos

4. Topologia

5. Operadores de análise espacial

6. Generalização

7. Análise de redes: algoritmos de Prim e

Dijkstra

Sistemas de Informação Geográfica

Geometrias

• Pontos:

Estações de monitorização, descargas,

captações

• Linhas:

Troços de rios, canais de rega, eixos

médios, margens de planos de água

• Polígonos:

Planos de água, albufeiras, rios.

Geometrias

• O elemento básico da representação vetorial é o

ponto, definido pelas suas coordenadas cartesianas. • As linhas existem como linhas poligonaisgeradas a

partir de um conjunto ordenado de pontos

• Sendo po,…,pnpontos de R2(n> 0), designa-se por

linha poligonalo subconjunto: L< po,…,pn> ∪i: 0< i <n-1 [pi,pi+1] • Uma linha poligonal é simplesse

∀i: 0< i <n-1, L< po,…,pi> ∩ [pi,pi+1] = ∅ • Uma linha poligonal é um ciclose:

L<po,…,pn-1>é uma linha poligonal simples

L<po,…,pn-1> ∩ [pn-1,pn] = ∅ po=pn

Mais geometrias

Região de polígonos encaixados

Arcos são entidades compostas por segmentos

Arcos podem ser simplemente conexos, disjuntos, com circuitos ou com interseções Região = entidade composta

por polígonos polígonos disjuntos polígonos adjacentes

Linhas e polígonos

• Vértice: parte de uma linha poligonal

• Segmento: linha que conecta dois vértices

• Arco: série (1 ou mais...) de segmentos

• Nó: vértice especial no início ou fim de cada arco • Polígono: série de um ou

mais arcos formando um circuito

• Ponto de label ou de âncora: no interior do polígono

Armazenar a geometria

• Por pares de coordenadas:

– Ponto: (x,y) – Linha: {(x1,y1),…, (xn,yn)} – Polígono: {(x1,y1),…, (xn,yn), [(x1,y1)]} x1,y1 x2,y2 x3,y3 x4,y4 x5,y5 x6,y6 B A

Polígono

Coordenadas

A

x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4

B

x1,y1,x4,y4,x5,y5,x6,y6

entidade-a-entidade

(2)

Armazenar a geometria

p1 p2 p3 p4 p5 p6 B A

Polígono

Pontos

A

p1,p2,p3,p4

B

p1,p4,p5,p6

Ponto

Coordenadas

p1

x1,y1

p2

x2,y2

...

dicionário de pontos

Armazenar a geometria

cadeias p1 p2 p3 p4 p5 p6 B A Cadeia Pontos a p1,p2,p3,p4 b p1,p4 c p1,p6,p5,p4 Ponto Coordenadas p1 x1,y1 p2 x2,y2 ... ... a b c Polígono Cadeia A a,b B b,c

Modelos não topológicos

• As formas de codificação anteriores

armazenam a geometria dos objetos.

• As relações espaciais entre os objetos têm de

ser determinadas analiticamente.

• São modelos ditos “não-topológicos/

spaghetti

”

– Se duas linhas se cruzam, existe uma relação

topológica.

– Não é forçoso existir um vértice na interseção. – O ponto de interseção pode ser determinado

analiticamente (eg: pesquisando interseções entre os segmentos das linhas poligonais).

Modelos não topológicos

• Estrutura simples de polígonos

P1 P2 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Polígono Nome 1 Villarriba 2 Villabajo

• Polígonos com lista de coordenadas

1,4 10,15 5,25 13,37 22,25 2,4 40,10 33,15 28,35 40,40 1 10 15 2 5 25 3 13 37 4 22 25 5 40 10 6 33 15 7 28 35 8 40 40

Polígono Nome Pontos 1 Villarriba 1,2,3,4 2 Villabajo 5,6,7,8

Modelos topológicos

• Um modelo vetorial diz-se “topológico” se

as relações espaciais entre objetos

forem armazenadas explicitamente.

• Objetivos

– menor redundância geométrica (cada

“localização” só é guardada uma vez)

– maior integridade

– maior rapidez nas análises espaciais

• Exemplos: polygon-arc, arc-node,

left-right

Topologia: Polygon-arc

A D E B C 7 1 0 4 3 9 8 2 6 1 5 universo universo Polígono Arco A 1,6,10,5 B 10,7,4 C 5,4,3,9 D 7,6,2,3,0,8 E 8

(3)

Topologia: Arc-node

n1 v1 v2 n2 v3 v4 B A

Arco Fnode Tnode Vértices

a n1 n2 v1,v2 b n1 n2 c n1 n2 v4,v3 a b c polígonos, arcos orientados e nós

Topologia: Left-right

A D E B C 7 1 0 4 3 9 8 2 6 1 5 universo universo

Arco LPoly RPoly

1 U A 2 U D 3 C D 4 B C 5 A C 6 D A 7 D B 8 D E 9 U C 10 A B

Relações topológicas

• Conetividade

• Adjacência

As relações topológicas são invariantes quando as entidades são sujeitas a transformações topológicas, isto é, quando sofrem translações, rotações ou variações de escala.

Relações topológicas

Conetividade Adjacência

Topologia

• Informação espacial: a topologia fornece o comprimento, distância, perímetro, área.

• Relação espacial: a topologia cria conexões, que funcionalmente ligam entidades que são adjacentes. • Múltiplas ligações: Cada entidade é ligada a outras

entidades, fornecendo múltiplas conexões (ligações). • Análise de rede: As conexões funcionais, distância, e

outras relações espaciais, combinadas com uma BD relacional, são o ideal para interpretar entidades de rede.

A topologia é aplicada (“construída”) habitualmente após a digitalização da informação

Relações espaciais

O Dimensionally Extended Nine-Intersection Model, ou matriz de Clementini, indica as possívels relações entre geometrias

equals geometries are topologically equal

disjoint geometries have no point in common

intersects geometries have at least one common point

touches geometries have at least one boundary point in common, but no interior points

crosses geometries share some but not all interior points, and the dimension of the intersection is less than that of at least one of the geometries

within geometry “a” lies in the interior of geometry “b”

contains geometry “b” lies in the interior of geometry “a”

overlaps geometries share some but not all interior points, and the intersection has the same dimension as the geometries themselfves

(4)

Relações espaciais

• Porquê uma matriz 3x3?

WITHIN - linha A e polígono B

CONTAINS - multipontos A e B

• Apicações em BD espaciais, como PostGIS, Oracle Spatial, ArcSDE, Spatial Support for DB2, bibliotecas SIG

E xa m p lo s d e X io n g , H u i, “E n cy cl o p ed ia o f G IS ”, S p ri n g er -V er la g

Operações de análise espacial

Operações que recorrem à componente espacial da informação para a produção de resultados, espaciais ou alfanuméricos.

Conjunto de Dados Geográficos Operação Espacial

Operação SQL

Sequência de Processo

Indicação de Prioridade no Processo

an ál is e es p ac ia l União Tema A Tema B Tema C

União (Union)

an ál is e es p ac ia l A operação de UNIÃO é a operação fundamental. As restantes operações de sobreposição topológica podem ser vistas como operações sobre subconjuntos de objetos resultantes de operações de união.

União

an ál is e es p ac ia l

•A operação de União pode só estar definida entre coberturas de polígonos

•Entre coberturas de pontos, bastará juntar os dois conjuntos de pontos (append,merge...)?

•Entre coberturas de linhas, bastará juntar os dois conjuntos de linhas (append,merge...) e quebrar as interseções?

•Há que resolver o problema da sobreposição, o que pode ser feito com o operador de interseção

Int Tema A Tema B Tema C

Interseção (Intersect)

an ál is e es p ac ia l Um dos temas A ou B tem de ser de polígonos

Interseção

(5)

ID Tema A Tema B Tema C

( )

Identidade (Identity)

an ál is e es p ac ia l Corte Tema A Tema B Tema C an ál is e es p ac ia l

Corte (Cut, Clip)

Fusão <atributo> Tema A Tema C A1C1 C2 A3 _B3 B2 1 3 2 A B C

Fusão (Dissolve)

an ál is e es p ac ia l Eliminação <condição> Tema A Tema C A B C A B C

Eliminação (Eliminate)

an ál is e es p ac ia l Atualização Tema A Tema B Tema C

Atualização

an ál is e es p ac ia l Ext Tema A Tema C <Expressão> A A A A

Extração

(6)

Tema E Part Tema A Tema B Tema D Temas

Partição

an ál is e es p ac ia l Voronoi Tema A Tema B

Diagrama de Voronoi

an ál is e es p ac ia l O resultado é sempre um tema de polígonos Buffer < dist > Tema A Tema B

Buffer (envolvente)

an ál is e es p ac ia l Acesso < valor > Tema A Tema B

Acesso

an ál is e es p ac ia l acesso

Tema linhas Resultado: linhas que

distam cumulativamente até certo valor do tema A

Resultado: polígonos Próximo Tema A Tema A id_próximo,dist Tema B id=27 dist=580m

Próximo (Nearest)

Que operações?

(7)

Que operação?

E se o input for o tema amarelo?

Exemplo de diagrama de análise espacial Exemplo de diagrama de análise espacial

Int Tema A Tema B Tema D Buffer 30m Tema C Tema E Corte Tema F an ál is e es p ac ia l ID ID ID ID ValorValorValorValor ID_Poli

ID_Poli ID_Poli ID_Poli SomaSomaSomaSoma

101 101 101 101 102 102 102 102 103 103 103 103 104 104 104 104 105 105 105 105 11 11 11 11 10 10 10 10 15 15 15 15 27 27 27 27 33 33 33 33 1 11 1 2 22 2 3 33 3 4 44 4 5 55 5 ???? ???? ???? ???? ???? Int Tema A Tema B Tema C ID ID ID ID ValorValorValorValor

101 101 101 101 102 102 102 102 103 103 103 103 104 104 104 104 105 105 105 105 11 11 11 11 10 10 10 10 15 15 15 15 27 27 27 27 33 33 33 33 ID_Poli ID_Poli ID_Poli ID_Poli 1 11 1 1 11 1 3 33 3 2 22 2 3 33 3 an ál is e es p ac ia l ID Valor 101 102 103 104 105 11 10 15 27 33 ID_Poli 1 1 3 2 3 S_Valor 21 27 48 ID_Poli 1 2 3

SELECT ID_Poli , SUM(Valor) FROM Tema C GROUP BY ID_Poli ID_Poli Soma 1 2 3 4 5 ? ? ? ? ? S_Valor 21 27 48 ID_Poli 1 2 3 ID_Poli Soma 1 2 3 4 5 21 27 48 0 0 a n á li s e e s p a c ia l A100 C100 _C200 A300 B300 B200 100 300 200 A B C Int Habitantes Zonas Hab_Zon an ál is e es p ac ia l

exemplo

• Interpolação em áreas

– Implica o cálculo da proporção de cada área num tema que interseta os polígonos de um outro diferente

Secções

estatísticas Valores populacionais atribuídos proporcionalmente

(8)

A60 C40 C150 A100 B200 B50 10.2 11.5 12.3 A160 B250 C190 Int Habitantes Zonas Hab_Zon Habitantes D=N_Hab/área N_Hab = D*área SELECT SUM N_Hab

GROUP BY Zona Tab_HabxZon Solução simplificada usando a densidade populacional Solução simplificada usando a densidade populacional a n á li s e e s p a c ia l an ál is e es p ac ia l C a rt a s d e U s o s d o S o lo In fo rm a ç ã o o b ti d a a p a rt ir d o P D M

Ajuste manual dos limites para concelhos adjacentes Plataforma harmonizada de trabalho (USOS DO SOLO) an ál is e es p ac ia l Rede viária (PRN2000): IP, IC, AE e Estradas Regionais Rede de estradas municipais (AML) Rede viária Calibração da rede: • TMD; • Velocidade mínima; • Perfil da via; • Nº de pistas; • Penalizações Determinação das isócronas an ál is e es p ac ia l Isófonas Conversão Analógico-digital Contabilização das populações abrangidas Usos urbano e urbanizável an ál is e es p ac ia

l _{Informação resultante}_{Informação resultante}

Carta de acessibilidade em transporte individual aos principais aeroportos

Carta de Acessibilidade Regional (em condições desfavoráveis de circulação)

Quantitativo populacional de 1991 e cenários para 2008

Estrutura etária da população Carta de condicionantes e

espaços ecologicamente sensiveis

(9)

Carta de usos do solo afetados pelo ruído do aeroporto Carta de usos do solo Carta de fatores de impacte

no ordenamento do território

Carta de transformação direta do uso do solo

Exercício: LOCALIZAR UM PARQUE DE PIQUENIQUES OBJETIVO

Encontrar os locais com potencial para a construção de um parque de piqueniques.

CONDIÇÕES A zona deverá situar-se:

C1 - a menos de 400m e a mais de 100m de estradas; C2 - a menos 300m de uma linha de água;

C3 - não ser eucaliptal;

C4 - não conter escarpas ou outros obstáculos naturais suscetíveis de produzirem acidentes;

C5 - ter área superior a 1 ha. DADOS

- Todos os que identifique como necessários

Generalização

“A generalização é, antes de mais, uma questão de restrição e seleção da informação de base. Para isso procede-se à simplificação das entidades na carta e à omissão de entidades pequenas ou pouco interessantes.”

A. Hettner (1910) - Die Eigenschaften und Methoden der kartographischen Darstellung

“...capturar as características essenciais de uma classe de objetos...” W.R.Tobler (1964) - An experiment in the computer generalization of maps

“Uma generalização adequada depende de informação e compreensão.”

“Uma vez realizada uma generalização, somente pode ser descrita como boa ou má, não como certa ou errada, uma vez que as alterações introduzidas na informação têm muitas alternativas possíveis, não havendo forma de definir uma solução absoluta.

J.S.Keates (1973) - Cartographic Design and Production

Generalização (cartográfica)

• Em geral designa-se por generalização o processamento de seleção e representação da informação num mapa

• A informação deve adaptar-se à escala a que o mapa será observado/analisado

• Pode considerar-se que a generalização se inicia no processo de aquisição de informação.

• É específica do contexto de utilização

• Em mapas em papel, relaciona-se sobretudo com reduções de escala

Efeitos da redução de escala

• CONGESTIONAMENTO

Quando um elevado número de entidades surge num reduzido espaço.

• COALESCÊNCIA

Quando diferentes entidades se tocam, tanto devido à resolução do periférico de output como devido ao simbolismo utilizado. • CONFLITO

Quando a representação de uma entidade entra em conflito com as entidades subjacentes.

• IMPERCEPTIBILIDADE

Quando uma entidade fica abaixo da dimensão mínima de representação.

Indicadores de necessidade de

generalização

• DENSIDADE

Número de pontos, linhas ou áreas por unidade de área, localização de aglomerados de entidades.

• SINUOSIDADE

Variação angular por unidade de comprimento, direcionalidade, energia.

• FORMA

Variâncias das coordenadas, relações perímetro-área-amplitude. • DISTÂNCIA

Distâncias entre pontos, linhas e áreas, entidades abrangidas por “buffers” em torno de entidades

• “GESTALT”

Características percetuais (continuidade, similaridade). • MEDIDAS ABSTRACTAS

Avaliações conceptuais da distribuição espacial (homogeneidade, simetria, repetição e complexidade).

(10)

Operadores de generalização

• SIMPLIFICAÇÃO

redução do número

de vértices.

• SUAVIZAÇÃO

deslocamento de

vértices obtendo

uma diminuição de

sinuosidade.

Operadores de generalização

• AGREGAÇÃO agrupamento de diversas entidades numa outra entidade hierarqui-camente superior. • AMALGAMAÇÃO preservação das

características gerais de uma área por dissolução detalhes contidos.

Operadores de generalização

• FUSÃO

combinação de

entidades lineares

que não podem ser

representados

separadamente.

• COLAPSO

mudança de classe

topológica

(área-linha,área-ponto).

Operadores de generalização

• REFINAMENTO seleção de um subconjunto de entidades representativo e manutenção do padrão de distribuição. • EXAGERO exagero na dimensão e forma de objetos para evidenciar as suas características.

Operadores de generalização

• REALCE alteração de forma, dimensão e principalmente de tipo de símbolo por forma a evidenciar a entidade. • DESLOCAÇÃO deslocação das

entidades

relativamente à sua posição original para permitir legibilidade e utilização de simbologia.

Operadores de generalização

• OMISSÃO

não representar

determinadas

entidades.

• CLASSIFICAÇÃO

agrupamento de

atributos segundo

proximidade

numérica.

(11)

Efeitos da generalização na

estrutura SIG

• Diminuição de comprimento de linhas • Alteração de áreas

• Alteração de posições relativas dos objetos • Mudança de classe topológica

• Diminuição do número de entidades

nó / vértice

arco / aresta

Um graforepresenta uma rede por um conjunto de arcos e de nós.

Uma entidade linear que liga nós é um arcoou aresta.

Os nósou vérticesrepresentam interseções entre os arcos ou as extremidades destes.

Redes em SIG

•coordenadas xx, yy •nome ou código da via •direção

•classificação: EM, EN, AE, IP, IC, via urbana •limite de velocidade

•volume de tráfego •comprimento •valor cénico •impedância

Atributos dos arcos e dos nós

• G = (V, A), A⊆V2

Exemplo: V = {1,2,3,4}

A = {(1,2),(2,3),(1,4),(2,4)}

Grafo simples não há mais que uma aresta a ligar um par de nós 1 2 4 3

Grafos simples

1 2 4 3

grafo simples _{grafo não simples}

Impedância ou

custo de um arco

:

custo do seu

atravessamento

Impedâncias

Impedância de

mudança de arco

:

tempo ou

pena-lização de efetuar

uma mudança

Análise de caminhos mais curtos

caminhos algoritmo de Dijkstra (fig. esq.) circuitos problema do caixeiro-viajante (fig. dir.)

Árvore de dispersão mínima

algoritmo de Prim

(12)

Algoritmo de Prim

2 3 6 5 1 4 24 24 18 13 ₁₁ 5 12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimo T = {u,v}

enquanto T e V forem diferentes acrescentar em T o nó v*:

(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T fim ciclo; 2 3 6 5 1 4 24 24 18 13 ₁₁ 5 12 17 5

escolher (u,v)∈A: custo é aí mínimo T = {u,v}

enquanto T e V forem diferentes acrescentar em T o nó v*:

(u*,v*)∈A, de custo mínimo: u*∈T e v*∉T

fim ciclo; T= {3,5}, custo total = 5 T= {3,5,4}, custo total = 10 T= {3,5,4,2}, custo total = 23 T= {3,5,4,2,6}, custo total = 35 T= {3,5,4,2,6,1}, custo total = 59 2 3 6 5 1 4 24 13 5 12 5

Algoritmo de Prim

Encontrar o caminho

mais curto (de menor

custo) de modo a ligar

dois locais na rede.

Exemplo: de 1 para 4 2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5

Construir duas listas indexadas pelos nós:

dist

predecessor

e uma listade nós que falta visitar

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

dist(início) = 0; lista= V;

predecessor(início) = *indefinido*;

enquantolista≠ ∅

escolher v ∈lista: disté aí mínimo;

lista= lista\ {v};

para todosos u ∈lista: (v, u) ∈ A

se dist(u) > dist(v) + custo(v,u)

então dist(u) = dist(v) + custo(v,u);

predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo;

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo; dist(início) = 0; lista = V; predecessor(início) = *indefinido*; enquanto lista ≠ ∅

escolher v ∈ lista: dist é aí mínimo; lista = lista \ {v};

para todos os u ∈ lista: (v, u) ∈ A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u);

predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo; vért. dist pred 1 ∞∞∞∞ 2 ∞∞∞∞ 3 ∞∞∞∞ 4 ∞∞∞∞ 5 ∞∞∞∞ 6 ∞∞∞∞

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 ∞∞∞∞ 3 ∞∞∞∞ 4 ∞∞∞∞ 5 ∞∞∞∞ 6 ∞∞∞∞ para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

dist(início) = 0; lista = V;

enquanto lista ≠ ∅

escolher v ∈ lista: dist é aí mínimo; lista = lista \ {v};

predecessor(u)=v; fim ciclo;

fim ciclo; lista= {1,2,3,4,5,6}

Algoritmo de Dijkstra

(13)

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 ∞∞∞∞ 3 ∞∞∞∞ 4 ∞∞∞∞ 5 ∞∞∞∞ 6 ∞∞∞∞ para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

lista= lista\ {v};

predecessor(u)=v; fim ciclo;

fim ciclo; lista= {2,3,4,5,6}

v = 1

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 ∞∞∞∞ 4 ∞∞∞∞ 5 ∞∞∞∞ 6 24 1 para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

lista= lista\ {v};

sedist(u) > dist(v) + custo(v,u)

entãodist(u) = dist(v) + custo(v,u);

predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista= {2,3,4,5,6}

v = 1

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4 ∞∞∞∞ 5 42 6 6 24 1 para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

lista= lista\ {v};

predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista= {2,3,4,5}

v = 1,6

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4 47 5 5 42 6 6 24 1 para todosos v ∈ V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

lista= lista\ {v};

predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo;

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 Sequência vez=0 lista = {1} pred(1) = *indefinido* custo(1) = 0 vez=1 cand: (1,2)0+30; (1,6)0+24 lista = {1,6} pred(6) = 1; custo(6) = 24 vez=2 cand: (1,2)0+30; (6,2)24+12; (6,3)24+17; (6,5)24+18 lista = {1,2,6} pred(2) = 1; custo(2) = 30 vez=3 cand: (2,3)30+13;(6,3)24+17; (6,5)24+18 lista = {1,2,3,6} pred(3) = 6; custo(3) = 41

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 Sequência (cont.) vez=4 cand: (3,4)41+11;(3,5)41+5;(6,5)24+18 lista = {1,2,3,5,6} pred(5) = 6; custo(5) = 42 vez=5 cand: (3,4)41+11;(5,4)42+5 lista = {1,2,3,4,5,6} pred(4) = 5; custo(4) = 47 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4 47 5 5 42 6 6 24 1

Algoritmo de Dijkstra

(14)

Indicadores topológicos

Indicadores topológicos baseados na rede (conetividade) Medida Domínio Expressão Avaliação Número de

ciclos rede

número de ciclos no grafo

Índice α rede número de ciclos em relação ao número máximo possível

de ciclos

Índice β rede número de arestas (troços) em relação ao número de vértices

Índice γ (entre 0 e 1)

rede número de arestas em relação ao máximo possível S V A− + 5 2 − + − V S V A V A 6 3V− A

A = #arestas V = #vértices S = #subgrafos conexos

calcular p/ estas redes

Indicadores topológicos

Indicadores métricos baseados em distâncias (acessibilidade) Medida Domínio Expressão Avaliação Número de

König nó centralidade de um nó (número de arestas necessárias para o ligar com o nó que seja mais

distante)

Diâmetro rede distância (custo) entre os dois nós mais afastados Índice de

conetividade nó grau de conetividade de um nó Índice de

dispersão ou de Shimbel

rede soma dos graus de conetividade de todos os nós ij j i d K =max ij j i, d max

∑

= = V j ij i d A 1

∑∑

= = = V i V j ij i d A 1 1 calcular p/ as redes do slide anterior