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Matematica Apostila UERJ Calculo Volume 01

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Academic year: 2019

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"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?

Isso depende bastante de até onde você quer chegar."

Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas

Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva

ferra-menta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo.

Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se,

inicial-mente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram

impulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemos

que regem a natureza.

Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois

ti-pos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados

de tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de

qua-draturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, como

por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicos

ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos

de problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de

re-giões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado

por uma partícula.

Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século

XVI-II por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia.

Aproxi-madamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente

de Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos a

Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e

inte-gral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz

são as universalmente usadas.

O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo

Di-ferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos,

mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à

interpre-tação geométrica e intuitiva dos conteúdos.

O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e

problemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que

não foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos,

apli-cações e indiapli-cações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referência

ou leitura adicional para os leitores interessados.

(3)

vez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de

calcu-lar e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. As expressões do tipo "é

facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas de

forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar

a apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser

preenchidos.

Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao

Cál-culo Diferencial e Integral de uma variável.

Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos

softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil

ao aprendizado da disciplina.

Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do

IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para

es-crever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. O texto foi digitado

utlizando

Amstex

e a maioria dos desenhos foram feitos utilizando o software

Mathematica

. Certamente, todos os erros são exclusivamente de

responsabili-dade dos autores.

(4)

iii

Copyright by Mauricio A. Vilches

Todos os direitos reservados

(5)
(6)

Conteúdo

1

Introdução

1

1.1 Desiguldades . . . .

1

1.2 Intervalos . . . .

1

1.3 Valor Absoluto . . . .

4

1.4 Distância . . . .

5

1.5 Plano Coordenado . . . .

5

1.6 Equação da Reta . . . .

8

1.6.1

Equação Geral da Reta . . . .

8

1.6.2

Equação Reduzida da Reta . . . .

9

1.6.3

Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . .

10

1.7 Equação das Cônicas . . . .

11

1.8 Trigonometria . . . .

15

1.9 Exercícios . . . .

20

2

Funções de uma Variável Real

25

2.1 Definições e Exemplos . . . .

25

2.2 Gráficos de Funções . . . .

33

2.3 Exemplos de Funções . . . .

39

2.3.1

Função Modular ou Valor Absoluto . . . .

39

2.3.2

Funções Polinomiais . . . .

40

2.3.3

Funções Pares e Ímpares . . . .

47

2.4 Interseção de Gráficos . . . .

49

2.5 Ágebra de Funções . . . .

51

2.5.1

Funções Racionais . . . .

53

2.6 Composta de Funções . . . .

53

2.7 Inversa de uma Função . . . .

57

2.7.1

Método para Determinar a Inversa . . . .

58

2.8 Função Exponencial . . . .

62

2.8.1

Crescimento e Decaimento Exponencial . . . .

65

2.8.2

Função Logística . . . .

66

2.9 Função Logarítmica . . . .

67

(7)

2.9.1 Desintegração Radioativa . . . .

69

2.10 Funções Trigonométricas . . . .

72

2.10.1 Função Seno e Co-seno . . . .

72

2.10.2 Função Tangente e Secante . . . .

73

2.10.3 Função Co-tangente e Co-secante . . . .

74

2.11 Funções Trigonométricas Inversas . . . .

80

2.11.1 Função Arco seno . . . .

80

2.11.2 Função Arco co-seno . . . .

81

2.11.3 Função Arco tangente . . . .

82

2.11.4 Função Arco secante, co-tangente e co-secante . . . .

83

2.12 Funções Hiperbólicas . . . .

85

2.13 Exercícios . . . .

88

3

Limite e Continuidade de uma Função

95

3.1 Limites . . . .

95

3.1.1 Definições e Exemplos . . . .

95

3.1.2 Limites Laterais . . . 102

3.1.3 Limites no Infinito . . . 106

3.1.4 Limites Infinitos . . . 109

3.1.5 Símbolos de Inderminação . . . 113

3.1.6 Limites Fundamentais . . . 114

3.1.7 Assíntotas . . . 117

3.2 Continuidade . . . 121

3.2.1 Teorema do Valor Intermediário . . . 126

3.3 Exercícios . . . 130

4

Derivada

139

4.1 Reta Tangente . . . 139

4.2 Funções Deriváveis . . . 143

4.3 Regras de Derivação . . . 149

4.4 Derivada da Função Composta . . . 151

4.4.1 Derivada da Função Exponencial . . . 154

4.4.2 Derivada da Função Logarítmica . . . 156

4.4.3 Derivada das Funções Trigonométricas . . . 159

4.4.4 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas . . . 161

4.4.5 Derivada das Funções Hiperbólicas . . . 162

4.5 Derivação Implícita . . . 165

4.5.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . 165

4.6 Famílias de Curvas Ortogonais . . . 170

4.7 Derivadas de Ordem Superior . . . 172

(8)

CONTEÚDO

vii

4.9 Velocidade e Aceleração . . . 178

4.10 A Derivada como Taxa de Variação . . . 181

4.11 Exercícios I . . . 186

4.12 Variação de Funções . . . 194

4.13 Funções Monótonas . . . 200

4.14 Determinação de Máximos e Mínimos . . . 204

4.15 Concavidade e Pontos de Inflexão . . . 209

4.16 Esboco do Gráfico de Funções . . . 213

4.17 Problemas de Otimização . . . 221

4.18 Teorema de L’Hôpital . . . 231

4.19 Exercícios II . . . 239

5

Integração Indefinida

246

5.1 Definições . . . 246

5.2 Métodos de Integração . . . 250

5.2.1

Método de Substituição . . . 250

5.2.2

Integrais que Envolvem Produtos e Potências de Funções

Trigonométricas . . . 253

5.2.3

Integração Por Partes . . . 254

5.2.4

Substituição Trigonométrica . . . 257

5.2.5

Integração de Funções Racionais . . . 262

5.2.6

Tangente do Ângulo Médio . . . 271

5.3 Aplicações da Integral Indefinida . . . 272

5.3.1

Obtenção de Famílias de Curvas . . . 272

5.3.2

Outras Aplicações . . . 273

5.4 Exercícios . . . 276

6

Integração Definida

282

6.1 Introdução . . . 282

6.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . 288

6.2.1

Teorema Fundamental do Cálculo . . . 290

6.3 Contrução de Primitivas . . . 297

6.4 Aplicações da Integral Definida . . . 300

6.4.1

Aceleração, velocidade e posição . . . 300

6.5 Cálculo de Áreas . . . 303

6.6 Volume de Sólidos de Revolução . . . 319

6.6.1

Cálculo do Volume do Sólidos . . . 321

6.6.2

Outros Eixos de Revolução . . . 327

6.6.3

Métodos das Arruelas . . . 330

6.7 Comprimento de Arco . . . 334

(9)

6.8.1 Logaritmo Natural como Área . . . 338

6.9 Trabalho . . . 339

6.10 Integrais Impróprias . . . 341

6.10.1 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . 341

6.10.2 Integrais de Funções Descontínuas . . . 348

6.11 Exercícios . . . 353

7

Exercícios Resolvidos

365

8

Apéndice

401

9

Respostas

411

(10)

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Referências

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