Professora Bruna Rodrigues
Disciplina: Álgebra Linear
Tema 3
–
Sistemas Lineares
Equação linear
É Toda equação da forma: a1x1a2x2 anxn b, onde a1,a2,,an são números
reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1,x2,xn e b é um número real
chamado termo independente.
Observações:
i) Pelo menos um dos coeficientes não é nulo; ii) Todas as variáveis têm expoente 1.
Exemplos:
a) 3x + 5y = 20
b) x - 3y + 2z = 0 (linear homogênea)
Solução da Equação Linear:
Para a equação linear a1x1a2x2 anxn b, a solução é a n-upla ordenada
(𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) que torna verdadeira a equação, sendo 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 números reais.
Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
m n mn m
m m
n n
n n
b x a x
a x a x a
b x a x
a x a x a
b x a x
a x a x a
3 3 2 2 1 1
2 2
3 23 2 22 1 21
1 1
3 13 2 12 1 11
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
Obs.:
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No exemplo anterior: 3x + 5y = 20
O par (5,1) é solução, pois 3.5 + 5.1 = 20.
Solução do Sistema Linear: Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados
r1,r2,,rn
que é, simplesmente, solução de todas as equações do sistema.Matrizes associadas a um Sistema Linear
Matriz incompleta: É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Exemplo:Seja o sistema: 4 2 7 4 0 3 2 z y x z y x z y x
Matriz incompleta: A=
1 1 2 1 1 4 1 3 2 .
Matriz Completa: É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz
completa referente ao sistema anterior é: B =
4 7 0 1 1 1 1 1 3 2 -4 2 .
Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Exemplo: 4 3 2 0 3 4 0 2 3 y x z y x z y x
Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial.
Obs.:Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções:
Possível: determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções).
Impossível: não possui solução.
Vejamos os seguintes exemplos:
1) 1 2 8 y x y x 2) 16 2 2 8 y x y x 3) 10 10 y x y x
Importante: Um sistema possui solução o determinante da matriz dos coeficiente for diferente de zero. Isto é, det A0.
Regra de Cramer
Dado um sistema linear na forma matricial:
Consideremos os determinantes:
Da matriz dos coeficientes.
Das matrizes obtidas quando se substitui uma de suas colunas, relativa a uma incógnita, pela coluna dos termos independentes (D1, D2,..., Dn).
Os valores das incógnitas, quando D≠0, são iguais a:
𝒙
𝟏=
𝑫𝑫𝟏,𝒙
𝟐=
𝑫𝟐𝑫,... ,
𝒙
𝒏=
𝑫𝒏
𝑫
Exemplo:
Com o auxílio da Regra de Cramer, resolva o seguinte sistema:
3 3 2
7 2
y x
y x
.
Observações importantes:
A regra de Crammer nem sempre consiste no melhor método. Embora tenha sua
utilidade pelo fato de gerar uma forma explícita das soluções de um sistema, a sua utilidade é fragilizada em cálculos numéricos demasiadamente grandes.
Veja: O sistema {𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 12𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 16, é nitidamente impossível e, resolvendo pela Regra de
Crammer, pode parecer indeterminado.
Discussão de um Sistema Linear: Para discutir um sistema linear de n equações e n
incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:
D0 Sistema é possível edeterminado (SPD), ou seja, possui solução única.
Observações:
1) Se o D0, o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema. 2) Se o D0, sistema poderá ser SPI ou SI. A resolução pelo Escalonamento (visto a seguir) garante de forma satisfatória.
Sistemas equivalentes: Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Exemplo:Sendo 8 3 2 3 1 y x y x
S e
5 2 3 2 y x y x
S , o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz
ambos e é único. Logo, S1eS2 são equivalentes: S1~S2.
Propriedades dos sistemas equivalentes:
P1: Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
P2: Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k *
R
, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
P3: Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k *
R
, obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Sistemas escalonados:
O escalonamento é o processo através do qual se reduz o número de incógnitas de equação para equação, efetuando operações com as mesmas até que o mesmo fique na forma de
“escada”. Essas operações com as equações obedecem ao padrão da aplicação do Teorema de
Jacobi.
Dado um sistema linear:
m n mn m m m n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a S 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11
, onde existe pelo
menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número
de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação.
Como escalonar um sistema:
1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.
4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Ex 1:Vamos escalonar o sistema
2 z 2y x 0 4 2 3x 5 z 2 z y y x .
Ex 2: Vamos escalonar o sistema
Ex 3:Vamos escalonar o sistema
5 2
3
1 2 2
6
z y x
z y x
z y x
.
Exercícios
1) (Ufes – com modificações) O desenho ao lado mostra os preços de três conjuntos compostos por faca, garfo e colher.
a) Escreva o sistema de equações que representa essa situação.
b) Calcule o preço de um garfo.
2) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
a)
3 5
0 3
2
4 2
z y x
z y x
z y x
b)
6 3 4 5
4 2
3
6
z y x
z y x
z y x
c)
14 6 3 3
10 4 2 2
5 2
z y x
z y x
z y x
d)
9 7 2 3
5 4 3 2
4 3
z y x
z y x
z y x
3) (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:
4) (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos.
O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a: a) 25
b) 20 c) 12 d) 10
5) (CPII – 2007). O sistema linear {𝑎𝑎21𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑏21𝑦 + 𝑐𝑦 + 𝑐21𝑧 = 𝑑𝑧 = 𝑑12 𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
é possível e determinado. A
representação geométrica das soluções pode ser:
6) (CPII – 2013). Para que o sistema de equações lineares { 𝑥 + 𝑦 = 1 − 𝑚𝑧2𝑦 + 𝑧 = 2 − 𝑥
2𝑥 − 3𝑧 = 𝑝 − 5𝑦seja
classificado como indeterminado, devemos considerar que: A) m = 6 e p = 5.
B) m = 6 somente, não importando o valor que p pode assumir. C) m 6 somente, não importando o valor que p pode assumir.
D) m = 6 e p 5.
7) Resolva o seguinte sistema de equações:
{
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10 4𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0
