Professora Bruna Rodrigues Disciplina: Álgebra Linear Tema 2 - Determinantes

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Professora Bruna Rodrigues

Disciplina: Álgebra Linear

Tema 2 - Determinantes

1. Definição:

A notação para o determinante da matriz A 



 

 

2 3

0 5 será det A ou 2 3 0 5 .

2. Determinante de primeira ordem: é o próprio elemento da matriz.

 

A a₁₁ detAa₁₁ ou a₁₁ a₁₁ Exemplo:

 

3. Determinante de segunda ordem: é a diferença entre os produtos dos elementos das diagonais principal e secundária (nesta ordem).

A a a

a a A a a a a

 

 



   

11 12

21 22

11 22 12 21

det

Exemplo:

A 



 

 

2 1

5 3

4. Determinante de terceira ordem:

4.1.Regra de Sarrus:

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPOGRANDENSES (FIC)

Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450, Site: www.feuc.br

O determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[aij] , segundo uma determinada lei.

1º passo: Repetimos, ordenadamente, duas colunas (ou linhas), à direta (ou abaixo).

2º passo: Calculamos os produtos dos elementos da diagonal principal e das outras duas paralelas que têm três elementos e somamos os três resultados.

3º passo: Repetimos o processo para a diagonal secundária e suas paralelas.

2 Seja a matriz A

a a a

a a a

a a a

 

   



   

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, calcula-se o determinante da mesma através da

“Regra de Sarrus” da seguinte maneira:

det A = P1 + P2 + P3– P4– P5– P6

Exemplo:

Det A = ?

A   

   



   

5 0 2

1 2 4

3 6 1

Exercícios (parte 1)

1. Sejam: A = (aij)1x1 tal que aij = 2i+j e B = (bij)2x2 tal que bij = (-2)i-j. Calcule det(A) – det (B).

2. Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:

    

 

 

 

j i se , j i

j i se , j i

j i se ,

m_ij

0

. Ache o valor

do determinante de M.

3. (UFPR) Considere as matrizes

  

 

  

  

x z y

x y z

z y x

A e _

  

 

 

 



x z y z

z x y x

B e _

     

4 2

6 4

C .

3

5. Dada as matrizes

                    1 2 1 3 2 0 1 1 9 3 2 x B e x

A , determine x para que det A = det B

6. Seja A = (aij)3x3 definida por       j > i se 1, -j = i se k, j < i se 1,

a_ij . Determine o valor de k  R que anula o

determinante de A.

7. A razão entre x e y para x = d b c a 2 2

e y =

3 3 3 3 d c b a é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 18

8. Resolva a equação 0

4 2 3 1 2 1 5 3   x x

9. Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz

             2 2 0 1 1 2 1 1 2 P .

10.Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo

           3 2 1

A , B





              4 1 3 0 1 2 2 0 1 C .

5. Determinante de ordem n2

5.1. Menor Complementar (Dij):

É o determinante obtido quando são excluídas as linhas “i” e a coluna “j” da matriz original.

Por exemplo:

Seja a matrizA

a a a

a a a

a a a

          

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, vamos determinar o menor principal D11, associado ao

elemento a11:

A

a a a

a a a

a a a

          

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=> _𝐴′_{= [}𝑎_𝑎22 𝑎23

4

5.2. Complemento algébrico ou cofator (Cij):

É o resultado da expressão Cij = (-1)i+j.Dij, sendo Dij o menor complementar relativo à linha “i” e coluna “j”. Na matriz A anterior, temos:

C31=(-1)3+1.D31 = (-1)4. [

𝑎12 𝑎13

𝑎22 𝑎23], por exemplo.

5.3.Teorema de Laplace.

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Nota: É mais prático considerar a fila que contém o maior número de zeros.

Exemplo:

a)A 



   



   

1 3 4 2 0 5 7 6 8

det A = ?

5.4.Regra de Chió

A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n (n2).

Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual determinante.

Para isso, basta seguirmos os seguintes passos:

Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.

Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).

Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por

 

Exemplo:

1) Calcule o determinante associado à matriz

  

 

  

  

6 4 2

3 1 5

4 3 2

A com o auxílio da regra

de Chió:

5

A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema:

A matriz inversa _A1 _{de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,}

0 A

det  e é dada por:

adjA A det

1 A1 _{ }

OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A =

 

1) Verifique se a matriz _

  

 

 

3 1

0 6

A admite inversa.

2) Calcular o elemento a₂₃ da matriz inversa de

  

 

  

  

3 0 2

1 1 4

3 2 1

A .

6. Propriedades dos determinantes.

1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.

Exemplo: _  3 1 0

10 0

2) Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.

Exemplo:  3 2

3 2

3) Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, ou seja, det A = 0.

Exemplo:  12 6

4 2

4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.

OBS.: Definição de combinação linear: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1,

v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk

Exemplo:|−1 4 71 2 5

0 4 8| =

6 4 3 4 2 4 3 2 1 2 

6) Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: n _n

n) k detA

kA

det(   Exemplo:                   ) 5 det( 20 10 15 5 5 det 4 2 3 1 A A A A

7) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det At.

Exemplo:               d b c a A e d c b a A t b c d a A det e c b d a A

det     t    

8) Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.

Exemplo:               A

A ,det

5 2 2 0 3 5 1 2 1               A A det 5 2 2 0 5 3 1 1 2

9) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo: 15 3 1 5 det 3 1 3 0 1 1 0 0 5                 A A

10) Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então

B det A det AB

det   (teorema de Binet).

7

 

  

       

 

 

 



 

      

   

 

 

AB AB

B B

A A

det 6 3

14 6 4 10 3 0

8 6 6 0

det 4 3

2 0 det

1 5

2 3

11) Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A=det B (Teorema de Jacobi).

Exemplo: 9 20 11

9 4

5 1

    

    

 detA

A

Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos: 11

10 1 1

2 5 1

     

  

 



 detA

A

Exercícios (parte 2)

1. Sendo _

  

   

3 1

2 1

A e _

     

1 2

1 0

B , dê o valor de: a) det (A). det(B)

b) det (A.B)

2. (UNICAMP) Seja a matriz A, quadrada de ordem 3. Suponha, agora, que a_ij = 0 para

todo elemento em que j > i, e que a_ij ij1 para os elementos em que j i.

Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, 1

A .

3. Analise as afirmações abaixo, sabendo que:   a b c

d e f 2

g h i

.

I. 

d e f a b c 2 g h i

; II.  

3a 3b 3c 3d 3e 3f 6 3g 3h 3i

;

III. 

a b c 0 0 0 0 g h i

; IV.     

a b c

d 2a e 2b f 2c 2

g h i

Assinale a alternativa correta.

8

4.

Sendo

A

=

  

 

  

 

1 0 1

2 1 3

1 1 2

e

f

(

x

) = 

x



x

 1, então

f

[

det

(

A

)] vale:

a)

4

_b)

4

7

_c)

4 7



d)

7 4



e)

4 5

5. Sendo A5x5 e Det(A) = 3, calcule Det(2A).

6. Sendo _|1 𝑎 𝑏1 𝑐 𝑑

1 𝑒 𝑓| = 𝑘, determine:

a) _|2 6𝑎 2𝑏1 3𝑐 𝑑 1 3𝑒 𝑓|

b) _|1 + 5 1 + 5 1 + 5_{𝑏 𝑑 𝑓}

𝑎 𝑐 𝑒 |

7. Mostre que o determinante _|3 4_{0 7 −5}7

2 5 3 |

é nulo através de propriedades.

8. Construa a matriz quadrada A de 5ª ordem, com elementos definidos por: