Vectores e Matrizes Aplicações à Engenharia. Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2010/2011

Vectores e Matrizes

Aplicações à Engenharia

Pedro Barahona

DI/FCT/UNL

Introdução aos Computadores e à Programação

2º Semestre 2010/2011

Tipo de Dados Primitivo: a Matriz

•  Ao contrário da generalidade das linguagens de

programação, o Octave / MATLAB assume a matriz como o tipo básica de uma variável.

•  Por exemplo, ao se fazer a atribuição de um valor a uma

variável V, “simples”, o Octave está de facto a atribuir esse valor a todos os elementos de uma matriz com uma linha e uma coluna.

•  Para obtermos a dimensão de uma variável X, quer seja

simples, vector ou matriz, podemos usar as funções pré-definidas rows(X) e columns(X). No caso de vectores, linha ou coluna, o número de colunas e linhas é retornado pela função lenght(V).

>> V = 5 >> V(1) ans = 5 >> V(1,1) ans = 5 >> X = 5 >> columns(X) ans = 1 >> M = [1 ; 2]; >> cols(M) ans = 2

Matrizes

•  De facto, as funções aplicáveis a uma variável “simples” são sempre distribuídas por

todos os elementos de uma matriz. Por exemplo, se a função logaritmo receber como parâmetro um vector ou matriz, retorna uma estrutura idêntica como resultado.

•  Naturalmente, esta atribuição pode ser feita elemento a elemento. Assim, sendo V a

anterior matriz, a instrução log(V)/log(2) é equivalente ao programa

for i = 1:rows(V) for j = 1:columns(V) X(i,j) = log(V(i,j))/log(2) endfor endfor >> V = [1,2, 4;8 16 32] V = 1 2 4 8 16 32 >> X = log(V)/log(2) X = 0 1 2 3 4 5

União e Selecção de Matrizes

•  O facto de a estrutura matriz ser uma primitiva da linguagem Octave permite que a

“formação” de matrizes seja feita não só a partir de elementos simples, como também o seja a partir de vectores ou matrizes.

•  Assim, a partir de dois vectores 1*3, A = [1,2,3] e B = [4,5,6], pode constituir-se

•  Similarmente, a selecção de elementos de uma matriz não tem de ser feita elemento

a elemento, podendo ser seleccionadas submatrizes mais complexas . Por exemplo,

% uma matriz de 2*3 >> C = [A;B] C = 1 2 3 4 5 6 % um vector de 1*6 >> D = [A,B] C = 1 2 3 4 5 6 >> S = V(2:3, 1:2) S = 4 5 7 8 >> T = V(:,2:3) T = 2 3 5 6 8 9 6 9 >> V = [1,2,3; 4 5 6; 7 8 9; 3 6 9] V = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 6 9 S T

Selecção de Sub-Matrizes

•  De notar que esta selecção pode ser feita elemento a elemento, através de 2 ciclos

encadeados, havendo necessidade de proceder a uma conversão de índices. Para a matriz anterior de 4*3, a instrução S = V(2:3, 1:2) é equivalente ao programa

•  De notar a utilização de expresssões booleanas compostas, obtidas pela aplicação

de operadores booleanos (& - “e”, | - “ou” e ! – “não”) a relações de comparação simples (==, >=, <=, >, <, !=).

•  De notar ainda a mudança de índices entre a matriz V e

a sua sub-matriz S: i(S) = i(V)+1; j(S) = j(V).

for i = 1:rows(V)

for j = 1:columns(V)

if i >= 2 & i <= 3 & j >= 1 & j <= 2 s(i-1,j) = v(i,j) endif endfor endfor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 6 9 V S

Funções de Agregação sobre Vectores

•  Por vezes estamos interessados em conhecer propriedades do conjunto dos

elementos de um vector, tais como os seus máximo, mínimo ou soma.

•  Estes valores agregados podem ser calculados por funções que utilizam ciclos, em

que se vai alterando uma variável de acumulação. Por exemplo, para calcular o máximo ou a média de um vector, podem utilizar-se as seguintes funções

•  Na realidade não é necessário definir estas funções, pois já existem predefinidas

as funções max(V), min(V), sum(V), prod(V), mean(X).

•  Estas e outras funções agregadas podem ser obtidas indirectamente, como é o caso da média dos valores de um vector V: mean(X)= sum(V)/length(V).

function m = maximo(V); m = -inf; for j = 1:length(M) m = max(m, V(j)); endfor endfunction function s = soma(V); s = 0; for j = 1:length(M) s = s + V(j); endfor endfunction

Soma de Vectores

•  Em geral, qualquer operação “⊗” entre valores numéricos pode ser estendida a todos os

valores corespondentes de vectores e matrizes antecedendo o operador por um ponto, i.e. através do operador “.⊗”.

•  Desta forma a soma de dois vectores V1 e V2, que implementa a conhecida regra do “paralelograma”, pode ser especificada através da operação

V = V1 .+ V2

•  Por ser a matriz um tipo de dados primitivo, e por estar definida a soma de matrizes, a

mesma operação pode ser, no caso da soma, ser especificada como

V = V1 + V2

que faz o “overload” do operador "+”.

>> V1 = [5,4] >> V2 = [7,-3] >> V = V1 + V2 ans = [12 1] V1 V2 V

Produto Interno de Vectores

•  Para além da soma de vectores, o produto interno de vectores é igualmente muito utilizado em Engenharia, por exemplo, para determinação do ângulo entre dois vectores e do módulo (valor absoluto, intensidade) de um vector.

•  Formalmente o produto interno entre dois vectores com o mesmo número de

elementos, A e B, (denotado por A • B) é a soma do produto de todos os elementos correspondentes. Pode pois ser especificado pela função prod_int abaixo (que pressupõe 2 vectores linha com o mesmo número de colunas)

•  Como será de esperar, este produto interno pode ser obtido directamente através da

composição das funções sum e o produto elemento a elemento, isto é

X = prod_int(V1,V2) é equivalente a X = sum( V1 .* V2) function p = prod_int(V1, V2); p = 0 for j = 1:columns(V1) p = p + V1(j)* V2(j); endfor endfunction

Médias Ponderadas

•  É muito vulgar pretender-se obter a média de um conjunto de valores, ponderada pela sua “importância”. Por exemplo, a nota final é a média ponderada entre a nota prática e a nota escrita (exame), sendo os pesos relativos, 25% e 75%, respectivamente..

•  Como é sabido, a média de k valores, v₁ .. v_k, com pesos relativos p₁ .. p_k define-se através da expressão

•  Dados os vectores V e P, contendo respectivamente os valores e os pesos, a média

ponderada pode ser obtida através da função

ou simplesmente através da expressão m = sum(V .* P)/sum(P)

function m = media_ponderada(V, P); x = 0; s = 0; for j = 1:columns(V) x = x + V(j)* P(j); s = s + P(j) endfor m = x/s endfunction

∑

∑

=

v

i

p

i

p

i

m

(

)

*

(

)

/

(

)

Módulo e Ângulo entre Vectores

•  Para além da soma de vectores, o produto interno de vectores é igualmente muito utilizado em Engenharia.

•  Por exemplo, o módulo de um vector A = [a₁, a₂, a₃, ... , a_n], é definido como |A| = (a₁2 + _a

12+ ... an2)1/2

e portanto, a função vec_mod pode ser definida como

•  Para definir, na função ang_vec, o ângulo α entre dois vectores A e B, basta notar que A • B = | A | | B | cos(α), e portanto α = arccos(A • B / (| A | | B | )), donde

function p = mod_vec(V); p = sqrt(prod_int(V,V)) endfunction

function a = ang_vec(V1,V2); % retorna ângulo em graus

M = prod_int(V1,V2))

cos = M /(mod_vec(V1) * mod_vec(V2)) a = acos(cos)*180/pi

Módulo e Ângulo entre Vectores

•  Exemplo: Um corpo é submetido a duas forças, F1 e F2.

–  F1 = 2 e_x -3 e_y+ 4 e_z ; F2 = 1 e_x + 2 e_y - 2 e_z

Qual a intensidade (módulo) de cada uma das forças, qual o ângulo que essas forças fazem entre si, e qual a força resultante, bem como a sua intensidade (Módulo).

F1 = [2 -3 4] , F2 = [1, 2, -2] >> M1 = mod_vec(F1,F1), M2 = mod_vec(F2) M1 = 5.3852 M2 = 3.0000 >> F = F1 + F2, M = mod_vec(F) F = 3 -1 2 % vector [3 -1 2] M = 3.7417

>> alfa = ang_vec(F1,F2) % em graus

Filtros

•  Tipicamente, as expressões booleanas são usadas para decidir condições de entrada

e saída de execuções condicionais e/ou iterativas.

•  Na realidade, as expressões booleanas são avaliadas no conjunto {FALSE, TRUE} que no Octave coincide com o conjunto {0,1} de valores numéricos, o que permite trocar execuções condicionais por “filtros”.

•  Exemplo: Dado um valor numérico x, atribuir a y esse valor, caso seja maior que 5,

ou 0, no caso contrário.

Este problema pode ser resolvido através de (pelo menos) 2 maneiras distintas.

y = x * (x > 5) Filtro if x > 5 y = x else y = 0 endif; Execução Condicional

Filtros em Vectores

•  A filtragem de elementos pode ser feita naturalmente para todos os elementos de um vector, utilizando a extensão do operador de filtragem (geralmente a multiplicação, “*”) pelo correspondenete para todos os elementos do vector (i.e. “.*).

•  Exemplo: Determinar a soma de todos os elementos de um vector que sejam pares mas não múltiplos de 6.

1.  Começamos por definir as funções booleanas par e múltiplo de 6.

2.  Podemos agora utilizá-las em expressões/filtros booleanos

function p = div_2(x) p = (rem(x,2) == 0) endfunction; Function p = div_6(x) p = (rem(x,6) == 0) endfunction; function s = sum_esp(X)

p = sum(X .* (div_2(X) & !div_6(X)) endfunction;

Matrizes

•  As operações descritas para vectores são na generalidade extensíveis a matrizes, com várias linhas e colunas. Por exemplo,

–  a matriz A pode ser “dobrada” através da operação A*2

–  duas matrizes A e B com o mesmo número de linhas e colunas podem ser somadas quer através da operação A+B quer através de A.+B.

•  Existem no entanto algumas diferenças nas operações de agregação (max, min, sum, e prod) que não retornam os valores agregados de todos os elementos da matriz, mas os agregados, coluna a coluna.

•  Assim para se obter os valores agregados de toda a matriz deverá repetir-se a operação desejada, primeiro para agregação das colunas e depois para agregação da linha resultante. A = [ 1 2 3; 8 5 2]; >> sum(A) ans = 9 7 5 >> sum(sum(A)) ans = 21

Multiplicação de Matrizes

•  Sendo a matriz o tipo de dados primitivo, o Octave implementa, como operação primitiva a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B, com dimensões m*k e k*n, o resultado é uma matriz C de dimensões m*n com elementos

•  Naturalmente, esta operação poderia ser igualmente obtida pela função mult_mat

function C = mult_mat(A,B) for i = 1: rows(A)

for j = 1: columns(B) C(i,j) = 0;

for h = 1: columns(A)

C(i,j) = C(i,j)+ A(i,h)*B(h,j); endfor endfor endfor endfunction

∑

=

a

i

l

b

l

j

j

i

c

(

,

)

(

,

)

*

(

,

)

Multiplicação de Matrizes

Transposição de Matrizes

•  Em engenharia, a multiplicação de matrizes tem várias aplicações práticas. Para além da resolução de sistemas de equações, pode ser ainda utilizada na implementação dos produtos interno e externo de vectores (e ainda para rotação de vectores).

•  Para o produto interno, interessa definir inicialmente a operação de transposição de matrizes, que informalmente corresponde a trocar as linhas pelas colunas. Pode ser especificada formalmente através da função transp(A) definida abaixo.

•  Em Octave esta operação é primitiva, e é denotada pelo operador ‘, posfixo, ou seja

A’ é equivalente a transp(A) function B = transp(A) for i = 1: rows(A) for j = 1: columns(A) B(j,i) = A(i,j); endfor endfor endfunction A = 1 2 3 4 5 6 7 8 A’= 1 5 2 6 3 7 4 8

Produto Interno

•  Para se obter o produto interno de dois vectores linha V1 e V2 com k elementos, basta notar que este produto pode ser obtido através da multiplicação da “matriz” V1 (1*k) com a “matriz transposta” de V2 (k*1).

•  Igualmente a média dos valores de um vector V, ponderada pelos pesos de outro vector P, pode ser obtida através da operação

V * P’/sum(P) >> A = [ 1 3 5] A = 1 3 5 >> P = [ 5 2 1] P = 5 2 1 >> C = A * P’ C = 16 >> Mp = A * P’/sum(P) Mp = 2

Produto Externo de 2 Vectores

•  Um outro produto de vectores (definido em espaços 3D) usado em Engenharia é o

produto externo de dois vectores V1 e V2, V1 × V2, definido como o vector V, com

módulo igual ao produto dos módulos dos vectores V1 e V2 pelo seno do ângulo formado entre eles, com direcção perpendicular a ambos os vectores e com sentido definido pela regra do “saca-rolhas”.

•  Em particular este produto é usado para determinar a força exercida por uma carga

eléctrica sujeita a uma força magnética, tal como acontece nos tubos de raios catódicos (CRT) usados nos “antigos” monitores de televisão.

•  Para obtermos este produto é conveniente a utilização de matrizes, da forma seguinte..

1 120º 1.8226

2 1.8226 = abs(1*2*sin(120*pi/180))

Produto Externo de 2 Vectores

•  Denotando por x, y e z os vectores unitários dos repectivos eixos, e de acordo com

a definição, temos

–  x × x = y × y = z × z = 0 (pois x faz um ângulo de 0º com x –  x × y = z ; x × z = - y; y × z = x (regra do saca-rolhas) ; –  y × x = - z ; z × x = y ; z × y = - x (regra do saca-rolhas)

•  Sendo o produto externo distributivo em relação à soma, dados dois vectores

A = a_x x + a_y y + a_z z e B = b_x x + b_y y + b_z z o seu produto externo é dado por

•  A × B = (ax x + ay y + az z ) × ( bx x + by y + bz z) =

(a_y b_z - a_z b_y) x + (a_z b_x - a_x b_z) y + (a_x b_y - a_y b_x) z

que pode ser obtido pela multiplicação do vector A pela matriz M abaixo indicada

x y

z

[a_x a_y a_z] × 0 -b_z b_y

= [

]

b_z 0 -b_x

Produto Externo de 2 Vectores

•  O produto externo de dois vectores pode pois ser definido através da função

•  Por ser muito utilizado, o produto externo (cross-product em inglês) é

disponibilizado em Octave pela função primitiva cross. Assim,

0 -b_z b_y b_z 0 -b_x -b_y b_x 0 function P = prod_ext(A,B) M = zeros(3,3); M(1,2) = -B(3); M(1,3) = B(2); M(2,1) = B(3); M(2,3) = -B(1); M(3,1) = -B(2); M(3,2) = B(1); P = A * M; endfunction >> A = [ 1 -3 5]; B = [ -1 0 4]; >> C = cross(A,B) C = -12 -9 -3 >> D = prod_ext(B,A) D = 12 9 3 % A × B = - B × A

Matrizes e Sistemas de Equações

•  Uma outra aplicação muito importante de matrizes em engenharia (e não só) é na

resolução de sistemas de equações lineares. Um sistema de n equações lineares a n incógnitas, pode ser representado na forma matricial por

a₁₁ x1 + a₁₂ x2 + ... + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x1 + a₂₂ x2 + ... + a_2n x_n = b₂ A X = B

...

a_n1 x1 + a_n2 x2 + ... + a_nn x_n = b_n

em que A é uma matriz n*n, e X e B são vectores coluna com n elementos, isto é

a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n ... a_n1 a_n2 ... a_nn x₁ x₂ ... x_n b₁ b₂ ... b_n

*

=

⇔

Matrizes e Sistemas de Equações

•  Um tal sistema ficará resolvido se se colocar na forma

1 x1 + 0 x2 + ... + 0 x_n = s₁

0 x1 + 1 x2 + ... + 0 x_n = s₂ M * A * X = M * B

...

0 x1 + 0 x2 + ... + 1 x_n = s_n I * X = S

o que pode ser obtido através da multiplicação de uma matriz M em ambos os lados da equação. Como M * A = I, a matriz M é a matriz inversa da matriz A.

•  De notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, pelo que a multiplicação

de B por M “à esquerda”, M * B, é diferente da multiplicação “à direita”, B * M, ou seja

M * B ≠ B * M

⇔

*

=

Matrizes e Sistemas de Equações

•  Existem várias formas de inverter uma matriz. Sendo a matriz um tipo de dados primitivo no Octave a operação de inversão de uma matriz A pode ser invocada da

forma “standard”, A-1_{, ou alternativamente pela chamada da função pré-definida inv}

(A), ou seja

A-1 _{== inv(A).}

•  Assim, para obter as soluções de um sistema de equações A*X = B, basta notar que

se A*X = B então é A-1*A*X = A-1*B, ou seja I*X = A-1*B, e finalmente

X = A-1_B.

•  Na álgebra “real”, a-1 * _{b = b/a, isto é a multiplicação pelo inverso corresponde a uma}

divisão. A divisão é igualmente uma operação primitiva do Octave. No entanto como as multiplicações “à direita” e “à esquerda” são diferentes, o Octave distingue a divisão “à esquerda” da divisão “à direita”, sendo representadas como

A-1_{*B = A\B e B*A}-1 _{= B/A}

Matrizes e Sistemas de Equações

•  Exemplo: Consideremos o sistema de 3 equações a 3 incógnitas

•  Para o resolver basta obter a matriz inversa A-1 _{e multiplicá-la à direita por B}

>> A = [2 4 -1; 1 -2 1 ; -3 3 -1] A = 2 4 -1 1 -2 1 -3 3 -1 >> M = A^-1 M = 0.20000 0.00000 -0.20000 0.20000 0.50000 0.30000 0.20000 2.00000 0.80000 >> B = [7 ; 0 ; 2] ; >> X = M*[7;0;2] X = 1 2 3

⇔

*

=

Matrizes e Sistemas de Equações

•  Podemos ainda notar igualmente que

⇔

*

=

ans = 1.0e-16 * % erros de arredondamento!

4.44089 % (A \ B == M * B) = 0

4.44089 0