Transformadas de Fourier para analise de sinais

(1)

Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Engenharia Ambiental(DEA) www.tobias.br.ms

Transformadas de Fourier

para analise de sinais

Tobias Bleninger

(2)

2 Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Departamento de Engenharia Ambiental(DEA) www.tobias.br.ms

(3)

(4)

Medições de velocidades com ADV

(Acoustic Doppler Velocimeter)

(5)

Medições de velocidades com ADV

(Acoustic Doppler Velocimeter)

(6)

Fonte: www.sontek.com

Medições de velocidades com ADV

(Acoustic Doppler Velocimeter)

(7)

Medições de velocidades com ADV

(Acoustic Doppler Velocimeter)

(8)

0

20

40

60

80

100

120

140 -10

-5

0

5

10

15

20 time [s]

v

e

lo

c

it

y

[

c

m

/s

]

u

v

w

Series temporais

(9)

Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Engenharia Ambiental(DEA) www.tobias.br.ms 0 20 40 60 80 100 120 140 -10 -5 0 5 10 15 20 time v e lo c it y [ c m /s ] u v w -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia u-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia v-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 fr e q u e n c ia w-velocity

Direction

Mean [cm/s] std

median

varianca

u

9.6614

2.3859

9.5500

5.6925

v

0.7440

2.0750

0.7300

4.3058

(10)

0

20

40

60

80

100

120

140

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 time

v

e

lo

c

it

y

[

c

m

/s

]

(11)

0

20

40

60

80

100

120

140 -10

-5

0

5

10

15

20 v

e

lo

c

it

y

[

c

m

/s

]

u

v

w

(12)

Source:

(13)

0

20

40

60

80

100

120

140

0

5

10

15

20 time

ve

lo

ci

ty

[

cm

/s

]

cumulative mean

0

20

40

60

80

100

120

140

8

10

12

14

16 cumulative mean

totalmean

0

20

40

60

80

100

120

140 -2

0

2

4

6 cumulative mean-totalmean

-5.2620e-4

-0.0030

-0.0178

(14)

Departamento de Engenharia Ambiental(DEA) www.tobias.br.ms 0 20 40 60 80 100 120 140 -10 -5 0 5 10 15 20 time v e lo c it y [ c m /s ] u v w -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia u-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia v-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia w-velocity

Direction

Mean [cm/s] std

median

varianca

u

9.6614

2.3859

9.5500

5.6925

u-mean

0 2.3859

-0.1114

5.6925

v

0.7440

2.0750

0.7300

4.3058

v-mean

0 2.0750

-0.0140

4.3058

w

-0.5636

1.0668

-0.5000

1.1381

w-mean

0 1.0668

0.0636

1.1381

-10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia u-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia v-velocity -10 -5 0 5 10 15 20 0 200 400 600 velocity [cm/s] fr e q u e n c ia w-velocity

(15)

Direction

Mean [cm/s] std

median

varianca

u

9.6614

2.3859

9.5500

5.6925

u-mean

0 2.3859

-0.1114

5.6925

v

0.7440

2.0750

0.7300

4.3058

v-mean

0 2.0750

-0.0140

4.3058

w

-0.5636

1.0668

-0.5000

1.1381

w-mean

0 1.0668

0.0636

1.1381

0 20 40 60 80 100 120 140 -10 -5 0 5 10 15 time v e lo c it y f lu c tu a ti o n s [ m /s ] u´ v´ w´

Flutuacoes

(16)

Flutuações

-10 -5 0 5 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 v´ w´ -10 -5 0 5 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x´ w´ -10 -5 0 5 10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 u´ v´

(17)

Causa

• Vórtices no escoamento com estruturas dominantes/coerentes

• Flutuações = Oscilações?

(18)

Source:

(19)

Periodic Functions

A periodic function is one for which

f(t) = f(t + T)

where

T

= the period

Source:

(20)

20 Tobias Bleninger

Sinusoids

f(t) = A

₀

+ C

₁

cos(



₀

t +



)

Mean

value

Amplitude

Angular

frequency

Phase

shift



₀

= 2



f =

2 

T

Source:

(21)

Alternative Representation

f(t) = A

₀

+ A

₁

cos(



₀

t) + B

₁

sin(



₀

t)



= arctan(

-

B

₁

/A

₁

)

The two forms are related by

C

₁

=

2 A

₁

+ B

₁

2 f(t) = A

₀

+ A

₁

cos(

₀

t) + A

₁

sin(

₀

t)

Source:

(22)

Series de Fourier

• Series de Fourier (forma geral)

• Usando identidade de Euler

Source:

Chapra, Numerical Methods for Engineers, 2008

(23)

Continuous Fourier Series

Source:

(24)

Time Versus Frequency Domains

• Método alternativo de representar

função/sinal

• Usar amplitude C1 e frequencia

f=1/T para reproducir sinal geral

• Usar

angulo

de

fase

para

posicionar sinal

• = line spectra = espectro de linha

Source:

(25)

Phase Line Spectra

• espectro de linha

• Não

muito

interessante para

sem simples

• Mas

poderoso

quando

consideramos

series

de

oscilações

(i.e.

series de Fourier)

Source:

(26)

Line Spectra for Square Wave

Source:

Chapra, Numerical Methods for Engineers, 2008

Amplitude line Spectra

(27)

Oscilações / flutuações

• Muitos eventos na engenharia são oscilações

• Mas muitos outros não (raio, eventos instantâneos)

• Mas eventos instantâneos criam efeitos contínuos que oscilam (sinal do

raio que disparou será transportado e difusido em forma de oscilações)

• Usar forma integral das series de Fourier

= transformar sinal periódico em sinal nao-periodico

• Soma de sinal periódico (integral) com periodo aproximando infinidade

= integrais de Fourier

• Aproximação ao espectro cont.

(28)

Transformada de Fourier

• Series de Fourier

• periódico

• coeficientes

• transformação de sinais contínuos e

periódicos

(domínio

temporal)

em

magnitudes de distintas (discretas)

frequências (domínio de frequência)

Source: Chapra, Numerical Methods for Engineers, 2008

• Transformada de Fourier

• não periódico (T ∞)

• coeficientes sendo função continua,

chamado integral de Fourier de f(t)

• transformação de sinais contínuos (domínio

temporal) em função continua de frequências

(domínio de frequência)

(29)

Source:

(30)

Discrete Fourier Transform (DFT)

Source:

Chapra, Numerical Methods for Engineers, 2008

(31)

Discrete Fourier Transform (DFT)

Source:

Chapra, Numerical Methods for Engineers, 2008

• Continuo

• Discreto

• Programavel

• Manualmente

(32)

f(t) = 5 + cos(2



(12.5)t) + sin(2



(18.75)t)

Source:

(33)

Power Spectrum

Source:

(34)

Artificial signal with noise added at 0,7 and 120 Hz

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 -10

-5

0

5

10 Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise

time (milliseconds)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

0.5

1

1.5 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)

Frequency (Hz)

|Y

(f

)|

(35)

Wolf Sunspot Number Versus Year

Source:

(36)

Power Spectrum for Sunspot

Numbers

Source:

(37)

0

20

40

60

80

100

120

140 -10

-5

0

5

10 time

v

e

lo

c

it

y

f

lu

c

tu

a

ti

o

n

s

[

m

/s

]

u´

0

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)

|X

(f

)|

vx-mean

vy-rmy

vz-rmz

• Energia

é

proporcional

a

amplitude quadrado!

Espectro de energia

(38)

DFT - x

0

20

40

60

80

100

120

140 -10

-5

0

5

10 time

v

e

lo

c

it

y

f

lu

c

tu

a

ti

o

n

s

[

m

/s

]

u´

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)

Frequency (Hz)

|X

(f

)|

(39)

DFT - y

0

20

40

60

80

100

120

140 -10

-5

0

5

10

15 time

v

e

lo

c

it

y

f

lu

c

tu

a

ti

o

n

s

[

m

/s

]

v´

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)

Frequency (Hz)

|Y

(f

)|

(40)

DFT - z

0

20

40

60

80

100

120

140 -6

-4

-2

0

2

4 time

v

e

lo

c

it

y

f

lu

c

tu

a

ti

o

n

s

[

m

/s

]

w´

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4 Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)

Frequency (Hz)

|Z

(f

)|

(41)

Source:

(42)

Source:

(43)

Source:

(44)

Source:

(45)

Coupling case study Cartagena outfall (Colombia)

Cartagena

(46)

10 km

Punta

Canoa

Bahía de

Cartagena

Estación de

Bombeo Paraíso

Manzanillo

del Mar

Outfall

La Boquilla

Tierra Baja

Puerto Bay

Cartagena

Planta de

Tratamiento

Arroyo

de Piedra

Cienega

de Tesca

Boca

Grande

N



inhabitants: 1 mio.



sewer connection: 60 %



ww-treatment: preliminary / none



ww-discharge: bay or nearshore



high bacterial pollution at open

sewers and nearshore waters



strong health impacts

(i.e.high child mortality)

Masterplan (240 mio. US$) improving:



sewer system (80 km)



treatment (primary)



discharge: long outfall (25 mio. US$)

Santos Bay, Brazil

Cartagena - water quality problems

(47)

(48)

Santos Bay, Brazil

BC - Measured currents at Punta Canoas