Análise bidimensional não-linear da instabilidade feixe-plasma

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Análise bidimensional não-linear

da instabilidade feixe-plasma

[PPCF 50 (2008) 085011]

Luiz F. Ziebell

Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Porto Alegre, RS, Brazil

Rudi Gaelzer

Universidade Federal de Pelotas – Pelotas, RS, Brazil

Peter H. Yoon

University of Maryland – College Park, MD, U.S.A.

Joel Pavan

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Introdução

• _{Solução autoconsistente} _{bidimensional} _das

equações que descrevem a evolução da

interação feixe eletrônico-plasma no âmbito da turbulência fraca;

• _{Inclui processos quase-lineares e processos}

não-lineares (decaimento de três ondas e espalhamento onda-partícula);

• _Sistema: _{Plasma de fundo, feixe de elétrons,}

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Equação para ondas

L

∂I_kσL ∂t = ∂IσL k ∂t ql + ∂I σL k ∂t 3_w + ∂I σL k ∂t sc ∂IσL k ∂t ql = πω 2 p k2 Z dv δ(σω_kL − k · v) × n0e 2 π Fe(v) + σω L k I σL k k · ∂Fe(v) ∂v .

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Equação para ondas

L

∂I_kσL ∂t = ∂IσL k ∂t ql + ∂I σL k ∂t 3_w + ∂I σL k ∂t sc ∂IσL k ∂t ql = πω 2 p k2 Z dv δ(σω_kL − k · v) ×   n0e 2 F (v) + σωL IσL k _· ∂Fe(v)   

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Ondas

L

. . .

∂IσL k ∂t 3_w = πe 2 2T 2 e X σ′_,σ′′=±1 σω_kL × Z dk′ µk−k′(k · k ′₎2 k2 k′2_{|k − k}′_|2 × δ(σω_kL − σ′ω_kL′ − σ′′ω S k−k′) × " σω_kL I_kσ′′L I_k−kσ′′S′ µ_k−k′ − σ′ω_kL′ I_k−kσ′′S′ + σ′′ω_k−kL ′ I σ′_L k′ ! I_kσL # .

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Ondas

L

. . .

∂IσL k ∂t sc = − πe 2 m2 eω 2 p X σ′=±1 Z dk′ Z dv (k · k ′₎2 k2 k′2 × δ σω_kL − σ′ω_kL′ − (k − k ′_{) · v} × ˆn e 2 πω2 p σω_kL σ′ω_kL′ I σL k − σω L k I σ′_L k′ × Fi − me m σω L k I σ′_L k′ I σL k (k − k′) · ∂Fi ∂v .

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Equação para ondas

S

∂I_kσS ∂t = ∂IσS k ∂t ql + ∂I σS k ∂t 3_w ∂ ∂t I_kσS µ_k ql = πµkω 2 p k2 Z dv δ(σω_kS − k · v) × n0e 2 π (Fe + Fi) + σω_kL I σS k µ_k k · ∂ ∂v Fe + me mi Fi .

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Ondas

S

. . .

∂ ∂t I_kσS µ_k 3_w = πe 2 4T 2 e X σ′_,σ′′=±1 σω_kL × Z dk′ µk [k ′ _{· (k − k}′_)]2 k2 k′2|k − k′|2 × δ(σω_kS − σ′ω_kL′ − σ ′′_ωL k−k′) × σω_kL I_kσ′′L I σ′′_L k−k′

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Função distribuição eletrônica

∂Fe(v) ∂t = ∂ ∂vi Ai(v) Fe(v) + Dij(v) ∂Fe(v) ∂vj Ai(v) = e2 4πme Z dk ki k2 X σ=±1 σω_kL × δ(σω_kL − k · v); Dij(v) = πe2 m2 e Z dk ki kj k2 X σ=±1 I_kσL × δ(σωL − k · v).

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Função distribuição iônica

Assume-se um estado estacionário:

Fi(v) = 1 (2πTi/mi) exp −miv 2 2Ti .

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Inicialização dos elétrons

Fundo Maxwelliano acrescido de um feixe Gaussiano tênuo: Fe(v, 0) = 1 − nb/n0 πv2 e exp −v 2 ⊥ v2 e − (vk − v0) 2 v2 e + nb/n0 πv_b2 exp −v 2 ⊥ v_b2 − (v_k − vd) 2 v_b2 . Com v0 = −v_dn_b/(n0 − n_b).

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Solução numérica

• _{Espaços 2D para número de onda e velocidade;} • _{Runge-Kutta com passo temporal adaptável}

para as equações de onda;

• _{Passo temporal obtido com R-K usado como}

passo na equação cinética de partículas;

• _{Equação de partículas: método implícito em}

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Evolução das ondas

L

. . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=500 L wave

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Evolução das ondas

L

. . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=2000 L wave q-perp q-parallel

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Evolução das ondas

L

. . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=5000 L wave

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Comentários sobre as ondas

L

• _{Desenvolvimento de uma estrutura}

quase-circular;

• _{Em 2D} _{não parece haver formação do}

“condensado de Langmuir” para grande comprimento de onda;

• _{Em 2D o comprimento de onda não aumenta,}

apenas a direção de propagação é alterada;

• _{A redução 1D ao longo de} k_k _{produz a falsa}

impressão de “inverse cascading” para o regime de longo comprimento de onda (como

observado na análise 1D ) [Ziebell, Gaelzer & Yoon

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Redução espectral 1D

1e-05 0.0001 0.001 0.01 L wave,1D T=0 T=500 T=1000 T=1500 T=2000 T=2500 T=3000 T=3500 T=4000 T=4500 T=5000

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Evolução eletrônica . . .

-10 -5 -10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=0 Fe

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Evolução eletrônica . . .

-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=2000 Fe u-perp u-parallel

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Evolução eletrônica . . .

-10 -5 -10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 T=5000 Fe

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Efeito dos diferentes termos . . .

-10 -5 -10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL T=5000 Fe

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Efeito dos diferentes termos . . .

-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL+D T=5000 Fe u-perp u-parallel

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Efeito dos diferentes termos . . .

-10 -5 -10 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL+S T=5000 Fe

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Efeito dos diferentes termos . . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL T=5000 L wave

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Efeito dos diferentes termos . . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL+D T=5000 L wave q-perp q-parallel

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Efeito dos diferentes termos . . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 QL+S T=5000 L wave

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Efeito da densidade do feixe . . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 2e-4 T=3000 L wave

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Efeito da densidade do feixe . . .

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-3 T=3000 L wave q-perp q-parallel

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Sumário dos resultados obtidos

• ⇒ _{Espectro das ondas de Langmuir exibe uma}

estrutura quase-circular no espaço 2D de número de onda;

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Sumário dos resultados obtidos

• ⇒ _{Frente à redução 1D, o espectro passa a}

impressão de “inverse cascading” das ondas de Langmuir para o regime de comprimento de

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Sumário dos resultados obtidos

• ⇒ _{Frente à redução 1D, o espectro passa a}

impressão de “inverse cascading” das ondas de Langmuir para o regime de comprimento de

onda mais longo;

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Possíveis desenvolvimentos . . .

• _{Busca por comparação com simulação de}

partículas em 2D (há alguns resultados na literatura, mas com parâmetros bastante diferentes);

• _{Evolução de tempo longo, para investigar a}

formação de cauda eletrônica de alta energia, obtida em 1D;

• _{Geração de ondas EM;}

• _{Inclusão de efeitos colisionais;} • _{. . .}

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Agradecimentos

Este trabalho recebeu o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

(CNPq) e da Fundação de Amparo à Pesquisa do Rio Grande do Sul (FAPERGS). PHY agradece o apoio de AFOSR.