Departamento de Engenharia Elétrica
Centro Tecnológico
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PRINCÍPIOS DE MODULAÇÃO VETORIAL
Acadêmicos:
Carlos Henrique Illa Font Flábio Alberto Bardemaker Batista Ricardo Luiz Alves Disciplina:
EEL6560 – T. A. em Eletrônica de Potência: Retificadores Trifásicos PWM com Elevado Fator de Potência Professor:
Ivo Barbi DEZEMBRO/2003
Caixa Postal 5119 – CEP 88040-970 – Florianópolis – SC Tel. : (0xx48) 331-9204 – Fax: (0xx48) 234-5422 – Internet: www.inep.ufsc.br
2.1–INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS... 5
2.2–INVERSOR MEIA PONTE A TRÊS NÍVEIS... 9
3 – MODULAÇÃO VETORIAL ... 10
3.1–DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS... 10
3.2–FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO... 12
3.3–VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE I... 12
3.4–FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I... 13
3.5–VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE I... 16
3.6–VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II... 17
3.7–FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II... 18
3.8–VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE II... 20
4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL ESPACIAL... 21
1 – VETOR ESPACIAL ( CAMPO GIRANTE )
Seja o circuito apresentado na Fig. 1, representando as tensões de alimentação de um sistema trifásico. V1(wt) V2(wt) V3(wt) L1 L2 L3
Fig. 1 – Tensões de alimentação de um sistema trifásico.
O sistema de alimentação pode ser representado pelas equações apresentadas em (1).
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 ( ) cos( ) ( ) cos( 120º ) ( ) cos( 240º ) V t V t V t V t V t V t θ ω θ ω θ ω = ⋅ ⋅ ⎧ ⎪ = ⋅ ⋅ + ⎨ ⎪ = ⋅ ⋅ + ⎩ (1)
Pode-se formar o diagrama apresentado na Fig. 2, onde os módulos dos vetores , e variam co-senoidalmente sobre seus respectivos eixos de acordo com a expressão (2).
1
V→ V2 →
3
V→
Para θ =0 tem-se: 1 1 2 2 3 3 0º cos(0º ) 0º 1 cos( 120º ) 120º 120º 2 cos( 120º ) 120º 1 120º 2 V V V V V V V V V V V V ⎧ ⎪ = ⎧ = ⋅ ⎪ ⎪⎪ = ⋅ + + ⇒⎪ = − ⋅ + ⎨ ⎨ ⎪ = ⋅ − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ = − ⋅ − ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG JJG JJG (3)
Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 3.
Fig. 3 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 0º.
A amplitude do vetor resultante é obtida através da soma vetorial dos vetores , e , ou seja: 1 V→ V→2 V→3 1 2 R V→ = + + (4) V V V→ → →3 1 1 120º 120º 2 2 R V→ = − ⋅V V + − ⋅V − (5) 3 0º 2 R V→ = ⋅V (6)
1 1 2 2 3 3 3 0º 2 cos(30º ) 0º 3 cos(30º 120º ) 120º 120º 2 cos(30º 240º ) 240º 0 240º V V V V V V V V V V V ⎧ = ⋅ ⎪ ⎧ = ⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⋅ + ⇒⎪ = − ⋅ ⎨ ⎨ ⎪ = ⋅ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ = ⎪ ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG JJG JJG (7)
Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 4.
2 VJJG 1 VJJG 3 VJJG R VJJG
Fig. 4 – Vetor resultante de tensão para o instante θ =30o.
A amplitude do vetor resultante neste caso é dada pela expressão (8).
3 3 120º 0 240º 2 2 R V→ = ⋅ −V ⋅V + (8) 3 30º 2 R V→ = ⋅ −V (9)
Considerando agora o instante de tempo θ =60º tem-se:
1 1 2 3 3 1 0º cos(60º ) 0º 2 cos(60º 120º ) 120º 1 120º 1 cos(60º 240º ) 240º 240º 2 V V V V V V V V V V ⎧ = ⋅ ⎪ ⎧ = ⋅ ⎪ ⎪⎪ = ⋅ + ⇒ = − ⎨ ⎪ = ⋅ + ⎪ ⎪ ⎪ = ⎩ ⎪⎩ 2 ⎪ ⎨ JJG JJG JJG G JJG JJG JJ (10)
2 VJJG 1 VJJG 3 VJJG R VJJG
Fig. 5 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 60º.
A amplitude do vetor resultante neste caso dada pela expressão (12).
1 1 0º 1 120º 240º 2 2 R V→ = ⋅V − ⋅V + ⋅V (11) 3 60º 2 R V→ = ⋅ −V (12)
Desta análise é possível concluir que o vetor resultante possui amplitude constante e gira com velocidade constante igual a ω. A expressão geral para o vetor resultante é dada pela equação (13). ( ) . . 3 3 . 2 2 j t R V→ = ⋅ ⋅ − = ⋅V
θ
V e ω θ− (13) 2 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO2.1 – INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS
V S1 V S2 Load Va N
Fig. 6 – Conversor meia ponte a dois níveis.
Para este conversor existem apenas duas etapas de operação, apresentadas na Fig. 7.
V S1 V S2 Va N V S1 V S2 Va N (a) (b)
Fig. 7 – Etapas de operação.
Analisando a Fig. 7 é possível concluir que para gerar a tensão existem apenas duas possibilidades (mantendo o interruptor S
aN
V
1 fechado e o interruptor S2 aberto ou o interruptor S2
fechado e o interruptor S1 aberto).
A combinação de interruptores produz uma tensão positiva de módulo igual a V enquanto que com a segunda opção tem-se um valor negativo de tensão. A cada uma destas combinações atribui-se um vetor, cuja amplitude é igual ao valor da tensão aplicada. Agindo desta forma é possível representar tais vetores segundo a Fig. 8.
aN V
α
1 0ºV→=V
2 180º
V→ =V
Fig. 8 – Vetores disponíveis.
Em um período de chaveamento uma determinada tensão , representada na Fig. 9 pelo vetor resultante
aN V R
V→ , pode ser obtida através da expressão (14).
α
β
1 0º V→=V 2 180º V→=V R V→Fig. 9 – Formação do vetor resultante.
1 2 1 R T T V V T T → → 2 V→ = ⋅ + ⋅ (14) onde: 1 2 período de chaveamento T T+ = =T (15)
Admitindo agora que o vetor resultante evolua senoidalmente segundo a expressão (16). ( ) R V→ = ⋅A senθ (16) onde: A m V= ⋅ (17) índice de modulação m= (18)
Assim, realizando um simples substituições e igualando-se as expressões (14) e (16) tem-se: 1 R T V V T → = ⋅ T2 V T − ⋅ = ⋅m V ⋅sen( )θ (19)
1 2 ( )
T T− = ⋅ ⋅T m senθ (20)
Substituindo o valor de T2 da expressão (15) em (20), obtém-se (21).
1 ( 1) ( T − T T− = ⋅ ⋅T m sen )θ (21) 1 2 T⋅ = + ⋅ ⋅T T m sen( )θ (22) ( 1 1 ( 2 T T = ⋅ + ⋅m senθ)) (23)
Da equação (23) implica, segundo (15), que:
(
2 1 (
2 T
T = ⋅ − ⋅m senθ)) (24)
A Fig. 10 apresenta a evolução dos tempos T1 e T2 para o inversor em questão.
m/2 m/ 2 0,5 1 T T 0,5 2 T T m/2 m/ 2
Fig. 10 – Tempos de duração dos vetores T1 e T2 para o inversor Meia Ponte Dois Níveis.
O equacionamento apresentado permite concluir que para obter uma determinada tensão senoidal na entrada do filtro LC do sistema apresentado na Fig. 6, pode-se empregar o diagrama mostrado na Fig. 11. S1 S2 PWM m ω S1 S2
V S1 V S2 Load Va N S3
Fig. 12 – Conversor meia ponte a três níveis.
A inclusão do terceiro interruptor permite aplicar uma tensão nula na carga, aumentando assim o número de vetores disponíveis para formar a tensão VaN desejada.
Sendo assim, o diagrama vetorial para este caso é apresentado na Fig. 13.
α
β
1 0º V→=V 2 180º V→=V 3 0 V→=Fig. 13 – Vetores disponíveis.
Em um período de chaveamento uma determinada tensão , representada na Fig. 14 pelo vetor resultante
aN V R
V→ , pode ser obtida através da expressão (25).
α
β
1 0º V→=V 2 180º V→=V R V→ 3 0 V→=1 1 2 2 o o R o T T V V V T T T → → → = ⋅ + ⋅ + T ⋅V→o ⋅ ⋅ (25) onde: 1 1 período de chaveamento 2 2 o o o T T T T T T + + = + = = (26)
Fazendo o vetor resultante variar novamente de forma senoidal tem-se: ( ) R V→ = ⋅A senθ (27) onde: A m V= ⋅ (28) Assim: 0 o R T V T → = ⋅ T1 V T + ⋅ To 0 T + ⋅ = ⋅m V ⋅sen( )θ (29) 1 ( ) T = ⋅ ⋅T m senθ (30) (1 ( ) o T = ⋅ − ⋅T m sen )θ (31) 3 – MODULAÇÃO VETORIAL
3.1 – DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS
Seja o inversor trifásico representado de forma simplificada na Fig. 15.
E S1 S2 S3 S4 S5 S6 a b c
interruptores S1 e S2 estão associados diretamente à x1, ou seja x1 representa o braço “a” do inversor. Da mesma forma, x2 e x3 representam os braços “b” e “c”.
c a b a b c a b c a b c c a b a b c a b c a b c 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (010) (011) (001) (101) (111) (000) V 1 V2 V3 V4 V 5 V6 V7 V8
Fig. 16 – Estados topológicos do inversor trifásico.
Seja a Fig. 17 onde os eixos “a”, “b” e “c” representam os setores representados por cada braço respectivo do inversor. O eixo “a” representa o braço “a”. Quando S1 está fechado, sobre o eixo “a” é representado o vetor , cujo medulo é E. A mesma idéia pode ser usada para representar os outros braços.
1 V→ 2 V→ 1 V→ 3 V→ 5 V→ 6 V→ 4 V→ 7 V→ 8 V→ I II IV III V VI (1,0,0) (1,1,0) (0,1,0) (0,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0) a b c
A cada estado topológico corresponde um vetor. Como pode ser verificado, os vetores , , , e são não nulos e possuem a mesma amplitude (E). Os vetores e , por sua vez apresentam amplitude nula.
1 V→ 2 V→ V3 → 4 V→ V5 → 6 V→ V7 → 8 V→
Os seis vetores não nulos estão defasados de 60º e geram seis setores identificados na Fig. 17 pelos algarismos romanos I, II, III, IV, V e VI.
3.2 – FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO
Os fatores de mérito de uma determinada modulação são: 9 Índice de modulação;
9 Ondulação da Corrente;
9 Minimização das perdas de comutação; 9 Distribuição das perdas de condução.
De acordo com a Fig. 18, a circunferência inscrita no polígono tem como raio R.
2 V→ 1 V→ R → 30o
Fig. 18 – Circunferência inscrita.
1 3 .s n(60 ) . 2 o R V= e = E (32)
relação ao vetor V1. → 7 V→ 8 V→ 2 V→ 1 V→ R V→ 2 R V→ 1 R V→ θ
Fig. 19 – Formação de um vetor no quadrante I.
Embora existam outros vetores que estejam disponíveis deve-se empregar apenas , , e para construir 1 V→ V2 → 7 V→ V8 → R
V→ , pois isto reduz o número de comutações realizadas pelo conversor.
O vetor VR
→
gira com velocidade angular constante ω no sentido anti-horário. No instante observado podem-se determinar as componentes VR1
→
, alinhada com V1 e
→ 2
R
V→ alinhada com o vetor .
2
V→
3.4 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I
Os vetores V→R1 e V→R2 são determinados pelos intervalos de duração dos vetores e , respectivamente.
1
V→ V→2
Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante V→R seja:
(33)
8, , , , 1 2 7 , 7 , 2 , 1 8
V V V V→ → → → V→ V→ V→ V→
8 1 1 2 2 7 2 2 o o T V V T V T T V → → → → ⎧ ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎪ ⇒ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩ (34)
De tal modo que:
1 2 2 2 o o T T T T T 2 + + + = (35)
Onde T é o período de chaveamento, cujo valor é constante. Deste modo pode-se concluir que:
1 1 2 2 2 2 =2 R R T V V T T V V T → → → ⎧ 1 → = ⋅ ⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪⎩ (36) Assim: 1 2 1 2 2 R T T V V T T → → 2 V→ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (37)
Os ângulos dos vetores VR1 →
, VR2 →
e VR
→
em relação ao eixo zero são respectivamente 0º, 60º e θ. Sejam: ( )
(
)
(
)
1 1 2 2 cos sin 2 cos 0 sin 0 2 = cos 60 sin 60 R R R R V V j T E V j T T E V j T θ θ → → → ⎧ = ⋅ + ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ = ⋅ + ⋅ ⎨ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ ⋅ + ⋅ ⎪⎩ D D D D (38)Assim, substituindo a expressão (36) em (38) e após em (37):
( ) 1
2
cos sin cos 0 sin 0
R V j T E j T θ θ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
(
D+ ⋅ D)
(
2 2 cos 60 sin 60 T E j T + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D)
(39) ( ) 1 2(
2 2cos sin cos 60 sin 60
R
V j T E T E j
T T
θ θ
⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D
)
(40)Separando as partes real e imaginária tem-se:
1 2 2 2 2 cos cos 60 2 sin sin 60 R R V T E T E T T V T E T θ θ ⎧ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎩ D D (41)
Assim: 2 sin 3 R V T T E θ ⋅ = ⋅ ⋅ (43) 2 1 cos 2 R V T T E θ ⋅ 2 T = ⋅ − (44) 1 cos sin 2 3 2 R R V V T T T E θ E θ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (45) 1 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (46) Definindo: R V m E = (47) Tem-se: 1 2 sin cos 2 3 sin 3 T T m T T m θ θ θ ⎧ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ − ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎨ ⎪ = ⋅ ⋅ ⎪⎩ ⎠ (48)
O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (35), ou seja:
1 2
o
T
T = − −T T2 (49)
Neste ponto é importante observar que o ângulo θ varia em intervalos discretos denominados ∆θ. Isto permite escrever:
T θ ω ∆ = ⋅ (50) Assim: 1 n n θ + =θ + ∆θ (51) 1 n n T θ+ =θ + ⋅ω (52)
Desta forma, para cada valor de θ , conhecendo-se o índice de modulação (m), e o período de chaveamento (T) é possível obter T1, T2 e To. Tais tempos são obtidos em tempo real, quer seja por processamento numérico quer seja por leitura de tabelas.
3.5 – VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE I
Seja a seqüência de vetores para o primeiro quadrante:
(53)
8, , , , 1 2 7 , 7 , 2 , 1 8
V V V V→ → → → V→ V→ V→ V→
Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 20.
c a b a b c a b c c a b 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V1 V2 V7 V8 c a b c a b a b c 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V1 V2 V8 c a b 0 E (111) V7 2 o T 2 o T 2 o T 2 o T 1 T T2 1 T 2 T
Fig. 20 – Estados topológicos para o 1º quadrante.
Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 21, de onde é possível afirmar que, para o setor I as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (54)
t t t B cmd C cmd T 0 V (0 0 0) 1 V (1 0 0) 2 V (1 1 0) 7 V (1 1 1) 2 V (1 1 0) 1 V (1 0 0) 0 V (0 0 0) 7 V (1 1 1)
Fig. 21 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.
1 2 1 2 2 3 2 2 2 o o o T T T D T T T D T T D T ⎧ + + ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎩ (54)
Vale ressaltar que as expressões para as razões cíclicas são diferentes para cada setor.
3.6 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II
Seja o quadrante II. As fronteiras com os demais quadrantes são definidas pelos vetores adjacentes V2 e , e pelos vetores nulos e .
→ 3
V→ V→7 V→8
Considerando o vetor V→R conforme apresentado na Fig. 22, com módulo A e ângulo θ em relação ao vetor V1.
θ 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V V6 (1 0 0) (0 1 1) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 0) (0 0 1) R V JJJG
Fig. 22 – Formação de um vetor no quadrante II.
Neste caso deve-se empregar apenas V2 , , e para construir
→ 3 V→ V7 → 8 V→ VR →
, pois isto reduz o número de comutações realizadas pelo conversor.
O vetor VR
→
gira com velocidade angular constante ω. No instante observado podem-se determinar as componentes VR2 JJJG , alinhada com V2 JJG e VR3 JJJG
alinhada com o vetor V3 . JJG
3.7 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II
Os vetores VR2
JJJG e VR3
JJJG
são determinados pelos intervalos de duração dos vetores V2
JJG e respectivamente.
3
VJJG
Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante V→R seja:
(55)
7 2 3 8 8 3 2 7
, , , , , , , V V V V V V V VJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG
A duração de cada um dos vetores da expressão (55) é definida por:
7 2 1 3 2 8 2 2 o o T V V T V T T V ⎧ ⇒ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⇒ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG (56)
Assim: 1 2 2 2 2 R T T V V T T V3 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ JJG JJG JJG (58) Os ângulos dos vetores VR2
JJJG , VR3
JJJG e VR
JJG
em relação ao eixo zero são respectivamente 60º, 120º e θ. Sejam: ( )
(
)
(
)
1 2 2 3 cos sin 2 cos 60 sin 60 2 = cos120 sin120 R R R R V V j T E V j T T E V j T θ θ ⎧ = ⋅ + ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ = ⋅ + ⋅ ⎨ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ ⋅ + ⋅ ⎪⎩ D D D JJG JJJG JJJG D (59)Assim, substituindo a expressão (59) em (57) e após em (58):
( ) 1
(
)
2(
)
2 2
cos sin cos 60 sin 60 cos120 sin120
R V j T E j T E j T T θ θ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D (60) ( ) 1 2 2 1 3 2 1 cos sin 2 2 2 2 R V j T E j T E j T T θ θ ⎛ ⎞ ⎛ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜⎜ + ⋅ ⎟⎟+ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞⎟⎟⎠ (61)
Separando as partes real e imaginária tem-se:
2 cos R V ⋅ θ = 1 1 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ 2 + 2 1 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ − 2 sin R V θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ = 1 3 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜⎝ ⎠ ⎩ ⎟ (62) ( ) ( ) 1 2 1 2 cos 3 sin R R E V T T T E V T T θ θ ⎧ ⋅ = ⋅ − ⎪⎪ ⎨ ⋅ ⎪ ⋅ = ⋅ + ⎪⎩ T (63) Assim: 1 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅⎜ + ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (64) 2 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (65) 1 2 sin cos 2 3 sin cos 2 3 T T m T T m θ θ θ θ ⎧ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ + ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = ⋅ ⋅ −⎜ + ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎠ (66)
O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (67). 1 2 o T T = − −T T2 (67)
3.8 –VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE II
Seja a seqüência de vetores para o segundo quadrante:
(68)
7 2 3 8 8 3 2 7 , , , , , , , V V V V V V V V JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG
Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 23.
c a b a b c a b c c a b 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V2 V3 V7 V8 c a b c a b a b c 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V2 V3 c a b 0 E (111) V8 V7 2 o T 2 o T 2 o T 2 o T 1 T T2 1 T 2 T
Fig. 23 – Estados topológicos para o 2º quadrante.
Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 24, de onde é possível afirmar que, para o setor II as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (69).
t t t B cmd C cmd T 0 V (0 0 0) 1 V (1 0 0) 2 V (1 1 0) 7 V (1 1 1) 2 V (1 1 0) 1 V (1 0 0) 0 V (0 0 0) 7 V (1 1 1)
Fig. 24 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.
1 2 1 2 2 3 2 2 2 o o o T T T D T T T D T T D T ⎧ + + ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎩ (69)
4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL ESPACIAL
L3 Vs3 Vs1 L1 Vs2 L2 Ro Co PWM Retificador S1 S2 S3 S4 S5 S6 T1 T2 To i1 i2 i3 θ id iq dqo Hv(s) Hd(s) Hq(s) T1 T2 To V1d V1q V2d V2q m ω T id iq id iq * * Vo Vo* + -+ -+ -Vo + -Vd Vq
Fig. 25 – Diagrama de blocos do sistema de controle.
Considerando que a transformação dqo e o projeto dos compensadores sejam conceitos dominados, resta, segundo a lógica apresentada na Fig. 25, determinar os tempos T1, T2, To a
partir de Vd e Vq.
4.1 – CÁLCULO DE T1, T2 E TO A PARTIR DE VD E VQ
Admitindo a existência dos vetores VJJG1e VJJG2 , as projeções destes sobre os eixos d e q podem ser obtidas segundo o equacionamento apresentado a seguir:
2 2 T V⋅→ 1q V→ 2d V→ V→1d d
Fig. 26 – Projeções nos eixos d e q.
Da Fig. 26 pode-se escrever:
1 1 2 2
R
T V⋅JJG= ⋅ + ⋅T VJJG T VJGJ (70)
Decompondo os vetores nas componentes d e q:
R Rd Rq VJJG=V + ⋅j V (71) 1 1d 1 V =V + ⋅j Vq JJG (72) 2 2d 2 VJJG=V + ⋅j Vq (73) Assim:
(
Rd Rq)
1(
1d 1q)
2(
2d 2)
T V⋅ + ⋅j V = ⋅T V + ⋅j V + ⋅T V + ⋅j Vq (74)Igualando-se as partes reais e imaginárias:
1 1 2 2 Rd d T V⋅ = ⋅T V + ⋅T Vd (75) 1 1 2 2 Rq q T V⋅ = ⋅T V + ⋅T Vq (76) De forma matricial: 1 2 1 1 2 2 Rd d d Rq q q T V V V T T V V V T ⋅ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (77) Assim: 1 1 2 1 1 2 2 1 d d Rd q q Rq V V V T V V V T T − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (78) Sejam:
1 1 T t T = (79) 2 2 T t T = (80) 1 1 2 1 1 2 2 d d Rd q q Rq V V V t V V V t − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (81)
Seja o produto matricial:
(82) 1 2 1 2 1 0 0 1 d d q q V V a b V V c d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⋅⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ Assim: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 d q d q d q d q a V b V c V d V a V b V c V d V ⋅ + ⋅ = ⎧ ⎪ ⋅ + ⋅ = ⎪ ⎨ ⋅ + ⋅ = ⎪ ⎪ ⋅ + ⋅ = ⎩ (83)
Trabalhando a expressão (83), pode-se escrever:
2q b V⋅ = − ⋅a V2d (84) 1d 1q 1 a V⋅ + ⋅b V = (85) Desta forma: 2 2 d q V b a V = − ⋅ (86) E assim, substituindo (86) em (85): 2 1 1 2 1 d d q V a V a V V q ⋅ − ⋅ ⋅ = (87) 2 1 1 2 1 d d q q V a V V V ⎛ ⎞ ⋅⎜⎜ − ⋅ = ⎝ ⎠⎟⎟ (88) 1 2 2 1 2 1 d q d q q V V V V a V ⎛ ⋅ − ⋅ ⎞ ⋅⎜⎜ = ⎝ ⎠⎟⎟ (89) 2 1 2 2 1 q d q d q V a V V V V = ⋅ − ⋅ (90) Substituindo (90) em (86): 2q V b= − 2 1 2 2 1 2 d d q d q q V V V⋅ −V ⋅V ⋅V (91) 2 1 2 2 1 d d q d q V b V V V V = − ⋅ − ⋅ (92) Reescrevendo a expressão (81):
1 Rd t = ⋅a V + ⋅b VRq (94) 2 2 1 1 2 2 1 q Rd d Rq d q d q V V V V t V V V V ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (95)
Por um processo semelhante obtém-se o tempo t2:
1 2 2 1 2 2 1 1 d Rq q Rd d q d q V V V t V V V V ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (96)
Generalizando para um tempo n qualquer:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 Rd n q n d n nd n q n d nq V V V V t V V V V + + + + Rq ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (97) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 nd Rq n q Rd n nd n q n d nq V V V t V V V V + + + + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (98)
De acordo com o esquema apresentado na Fig. 25 pode-se afirmar: 9 VRd e VRq são gerados pelos compensadores de corrente; 9 Vnd e Vnq são as componentes do vetor Vn;
9 V(n+1)d e V(n+1)q são as componentes do vetor V (n+1);
9 Os vetores Vn e V(n+1) são os vetores adjacentes de cada quadrante.
Para uma melhor distribuição das perdas de condução empregam-se os 2 vetores nulos, conforme apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 – Seqüência de vetores que minimizam as perdas.
2 T 2 o T 1 T T2 2 o T 7 VJJG VJJG1 VJJG2 VJJG8 Quando
(
1 2)
2 T T T+ > ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ o vetor desejado não pode ser sintetizado pelo conversor. Neste caso faz-se , ou seja, o vetor nulo é excluído da seqüência de vetores. Assim. O vetor resultante teria uma amplitude limitada através do escalonamento apropriado dos tempos e , conforme apresentado a seguir:
0 o T =
( )
VR Tn 1 n T+' 1 n n n n T T T =T +T+ (99) ' 1 1 n n n n T T T T T + +1 + = + (100) Assim: ' 1 n n n n T T T T+ T = ⋅ + (101) ' 1 1 1 n n n n T T T T + + + T = ⋅ + (102)
