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INSTITUTO DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA

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Academic year: 2021

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Departamento de Engenharia Elétrica

Centro Tecnológico

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PRINCÍPIOS DE MODULAÇÃO VETORIAL

Acadêmicos:

Carlos Henrique Illa Font Flábio Alberto Bardemaker Batista Ricardo Luiz Alves Disciplina:

EEL6560 – T. A. em Eletrônica de Potência: Retificadores Trifásicos PWM com Elevado Fator de Potência Professor:

Ivo Barbi DEZEMBRO/2003

Caixa Postal 5119 – CEP 88040-970 – Florianópolis – SC Tel. : (0xx48) 331-9204 – Fax: (0xx48) 234-5422 – Internet: www.inep.ufsc.br

(2)

2.1–INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS... 5

2.2–INVERSOR MEIA PONTE A TRÊS NÍVEIS... 9

3 – MODULAÇÃO VETORIAL ... 10

3.1–DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS... 10

3.2–FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO... 12

3.3–VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE I... 12

3.4–FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I... 13

3.5–VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE I... 16

3.6–VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II... 17

3.7–FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II... 18

3.8–VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE II... 20

4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL ESPACIAL... 21

(3)

1 – VETOR ESPACIAL ( CAMPO GIRANTE )

Seja o circuito apresentado na Fig. 1, representando as tensões de alimentação de um sistema trifásico. V1(wt) V2(wt) V3(wt) L1 L2 L3

Fig. 1 – Tensões de alimentação de um sistema trifásico.

O sistema de alimentação pode ser representado pelas equações apresentadas em (1).

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 ( ) cos( ) ( ) cos( 120º ) ( ) cos( 240º ) V t V t V t V t V t V t θ ω θ ω θ ω = ⋅ ⋅ ⎧ ⎪ = ⋅ ⋅ + ⎨ ⎪ = ⋅ + ⎩ (1)

Pode-se formar o diagrama apresentado na Fig. 2, onde os módulos dos vetores , e variam co-senoidalmente sobre seus respectivos eixos de acordo com a expressão (2).

1

VV2 →

3

V

(4)

Para θ =0 tem-se: 1 1 2 2 3 3 0º cos(0º ) 0º 1 cos( 120º ) 120º 120º 2 cos( 120º ) 120º 1 120º 2 V V V V V V V V V V V V ⎧ ⎪ = ⎧ = ⋅ ⎪⎪ = ⋅ + + = − ⋅ + ⎨ ⎨ ⎪ = ⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ = − ⋅ ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG JJG JJG (3)

Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 3.

Fig. 3 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 0º.

A amplitude do vetor resultante é obtida através da soma vetorial dos vetores , e , ou seja: 1 VV2 V3 1 2 R V→ = + + (4) V V V→ → →3 1 1 120º 120º 2 2 R V→ = − ⋅V V + − ⋅V − (5) 3 0º 2 R V→ = ⋅V (6)

(5)

1 1 2 2 3 3 3 0º 2 cos(30º ) 0º 3 cos(30º 120º ) 120º 120º 2 cos(30º 240º ) 240º 0 240º V V V V V V V V V V V ⎧ = ⋅ ⎪ ⎧ = ⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⋅ + = − ⎨ ⎨ ⎪ = ⋅ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ = ⎪ ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG JJG JJG (7)

Então, o diagrama vetorial para este instante é representado na Fig. 4.

2 VJJG 1 VJJG 3 VJJG R VJJG

Fig. 4 – Vetor resultante de tensão para o instante θ =30o.

A amplitude do vetor resultante neste caso é dada pela expressão (8).

3 3 120º 0 240º 2 2 R V→ = ⋅ −VV + (8) 3 30º 2 R V→ = ⋅ −V (9)

Considerando agora o instante de tempo θ =60º tem-se:

1 1 2 3 3 1 0º cos(60º ) 0º 2 cos(60º 120º ) 120º 1 120º 1 cos(60º 240º ) 240º 240º 2 V V V V V V V V V V ⎧ = ⋅ ⎪ ⎧ = ⋅ ⎪ ⎪⎪ = ⋅ + = − ⎨ ⎪ = ⋅ + ⎪ ⎪ ⎪ = ⎩ ⎪⎩ 2 ⎪ ⎨ JJG JJG JJG G JJG JJG JJ (10)

(6)

2 VJJG 1 VJJG 3 VJJG R VJJG

Fig. 5 – Vetor resultante de tensão para o instante θ = 60º.

A amplitude do vetor resultante neste caso dada pela expressão (12).

1 1 0º 1 120º 240º 2 2 R V→ = ⋅V − ⋅V + ⋅V (11) 3 60º 2 R V→ = ⋅ −V (12)

Desta análise é possível concluir que o vetor resultante possui amplitude constante e gira com velocidade constante igual a ω. A expressão geral para o vetor resultante é dada pela equação (13). ( ) . . 3 3 . 2 2 j t R V→ = ⋅ ⋅ − = ⋅V

θ

V e ω θ− (13) 2 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

2.1 – INVERSOR MEIA PONTE A DOIS NÍVEIS

(7)

V S1 V S2 Load Va N

Fig. 6 – Conversor meia ponte a dois níveis.

Para este conversor existem apenas duas etapas de operação, apresentadas na Fig. 7.

V S1 V S2 Va N V S1 V S2 Va N (a) (b)

Fig. 7 – Etapas de operação.

Analisando a Fig. 7 é possível concluir que para gerar a tensão existem apenas duas possibilidades (mantendo o interruptor S

aN

V

1 fechado e o interruptor S2 aberto ou o interruptor S2

fechado e o interruptor S1 aberto).

A combinação de interruptores produz uma tensão positiva de módulo igual a V enquanto que com a segunda opção tem-se um valor negativo de tensão. A cada uma destas combinações atribui-se um vetor, cuja amplitude é igual ao valor da tensão aplicada. Agindo desta forma é possível representar tais vetores segundo a Fig. 8.

aN V

(8)

α

1 0º

V→=V

2 180º

V→ =V

Fig. 8 – Vetores disponíveis.

Em um período de chaveamento uma determinada tensão , representada na Fig. 9 pelo vetor resultante

aN V R

V→ , pode ser obtida através da expressão (14).

α

β

1 0º V→=V 2 180º V→=V R V

Fig. 9 – Formação do vetor resultante.

1 2 1 R T T V V T T → → 2 V→ = ⋅ + ⋅ (14) onde: 1 2 período de chaveamento T T+ = =T (15)

Admitindo agora que o vetor resultante evolua senoidalmente segundo a expressão (16). ( ) R V→ = ⋅A senθ (16) onde: A m V= ⋅ (17) índice de modulação m= (18)

Assim, realizando um simples substituições e igualando-se as expressões (14) e (16) tem-se: 1 R T V V T → = ⋅ T2 V T − ⋅ = ⋅m Vsen( )θ (19)

(9)

1 2 ( )

T T− = ⋅ ⋅T m senθ (20)

Substituindo o valor de T2 da expressão (15) em (20), obtém-se (21).

1 ( 1) ( TT T− = ⋅ ⋅T m sen )θ (21) 1 2 T⋅ = + ⋅ ⋅T T m sen( )θ (22) ( 1 1 ( 2 T T = ⋅ + ⋅m senθ)) (23)

Da equação (23) implica, segundo (15), que:

(

2 1 (

2 T

T = ⋅ − ⋅m senθ)) (24)

A Fig. 10 apresenta a evolução dos tempos T1 e T2 para o inversor em questão.

m/2 m/ 2 0,5 1 T T 0,5 2 T T m/2 m/ 2

Fig. 10 – Tempos de duração dos vetores T1 e T2 para o inversor Meia Ponte Dois Níveis.

O equacionamento apresentado permite concluir que para obter uma determinada tensão senoidal na entrada do filtro LC do sistema apresentado na Fig. 6, pode-se empregar o diagrama mostrado na Fig. 11. S1 S2 PWM m ω S1 S2

(10)

V S1 V S2 Load Va N S3

Fig. 12 – Conversor meia ponte a três níveis.

A inclusão do terceiro interruptor permite aplicar uma tensão nula na carga, aumentando assim o número de vetores disponíveis para formar a tensão VaN desejada.

Sendo assim, o diagrama vetorial para este caso é apresentado na Fig. 13.

α

β

1 0º V→=V 2 180º V→=V 3 0 V→=

Fig. 13 – Vetores disponíveis.

Em um período de chaveamento uma determinada tensão , representada na Fig. 14 pelo vetor resultante

aN V R

V→ , pode ser obtida através da expressão (25).

α

β

1 0º V→=V 2 180º V→=V R V→ 3 0 V→=

(11)

1 1 2 2 o o R o T T V V V T T T → → → = ⋅ + ⋅ + TVo ⋅ ⋅ (25) onde: 1 1 período de chaveamento 2 2 o o o T T T T T T + + = + = = (26)

Fazendo o vetor resultante variar novamente de forma senoidal tem-se: ( ) R V→ = ⋅A senθ (27) onde: A m V= ⋅ (28) Assim: 0 o R T V T → = ⋅ T1 V T + ⋅ To 0 T + ⋅ = ⋅m Vsen( )θ (29) 1 ( ) T = ⋅ ⋅T m senθ (30) (1 ( ) o T = ⋅ − ⋅T m sen )θ (31) 3 – MODULAÇÃO VETORIAL

3.1 – DETERMINAÇÃO DOS VETORES DISPONÍVEIS

Seja o inversor trifásico representado de forma simplificada na Fig. 15.

E S1 S2 S3 S4 S5 S6 a b c

(12)

interruptores S1 e S2 estão associados diretamente à x1, ou seja x1 representa o braço “a” do inversor. Da mesma forma, x2 e x3 representam os braços “b” e “c”.

c a b a b c a b c a b c c a b a b c a b c a b c 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (010) (011) (001) (101) (111) (000) V 1 V2 V3 V4 V 5 V6 V7 V8

Fig. 16 – Estados topológicos do inversor trifásico.

Seja a Fig. 17 onde os eixos “a”, “b” e “c” representam os setores representados por cada braço respectivo do inversor. O eixo “a” representa o braço “a”. Quando S1 está fechado, sobre o eixo “a” é representado o vetor , cujo medulo é E. A mesma idéia pode ser usada para representar os outros braços.

1 V→ 2 V→ 1 V→ 3 V→ 5 V→ 6 V→ 4 V→ 7 V→ 8 V→ I II IV III V VI (1,0,0) (1,1,0) (0,1,0) (0,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0) a b c

(13)

A cada estado topológico corresponde um vetor. Como pode ser verificado, os vetores , , , e são não nulos e possuem a mesma amplitude (E). Os vetores e , por sua vez apresentam amplitude nula.

1 V→ 2 VV3 → 4 VV5 → 6 VV7 → 8 V

Os seis vetores não nulos estão defasados de 60º e geram seis setores identificados na Fig. 17 pelos algarismos romanos I, II, III, IV, V e VI.

3.2 – FATORES DE MÉRITO DE UMA MODULAÇÃO

Os fatores de mérito de uma determinada modulação são: 9 Índice de modulação;

9 Ondulação da Corrente;

9 Minimização das perdas de comutação; 9 Distribuição das perdas de condução.

De acordo com a Fig. 18, a circunferência inscrita no polígono tem como raio R.

2 V→ 1 VR → 30o

Fig. 18 – Circunferência inscrita.

1 3 .s n(60 ) . 2 o R V= e = E (32)

(14)

relação ao vetor V1. → 7 V→ 8 V→ 2 V→ 1 VR V→ 2 R V→ 1 R V→ θ

Fig. 19 – Formação de um vetor no quadrante I.

Embora existam outros vetores que estejam disponíveis deve-se empregar apenas , , e para construir 1 VV2 → 7 VV8 → R

V→ , pois isto reduz o número de comutações realizadas pelo conversor.

O vetor VR

gira com velocidade angular constante ω no sentido anti-horário. No instante observado podem-se determinar as componentes VR1

, alinhada com V1 e

→ 2

R

V→ alinhada com o vetor .

2

V

3.4 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE I

Os vetores VR1 e VR2 são determinados pelos intervalos de duração dos vetores e , respectivamente.

1

VV2

Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante VR seja:

(33)

8, , , , 1 2 7 , 7 , 2 , 1 8

V V V V→ → → → VVVV

(15)

8 1 1 2 2 7 2 2 o o T V V T V T T V → → → → ⎧ ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩ (34)

De tal modo que:

1 2 2 2 o o T T T T T 2 + + + = (35)

Onde T é o período de chaveamento, cujo valor é constante. Deste modo pode-se concluir que:

1 1 2 2 2 2 =2 R R T V V T T V V T → → → ⎧ 1 → = ⋅ ⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ (36) Assim: 1 2 1 2 2 R T T V V T T → → 2 V→ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (37)

Os ângulos dos vetores VR1 →

, VR2 →

e VR

em relação ao eixo zero são respectivamente 0º, 60º e θ. Sejam: ( )

(

)

(

)

1 1 2 2 cos sin 2 cos 0 sin 0 2 = cos 60 sin 60 R R R R V V j T E V j T T E V j T θ θ → → → ⎧ = ⋅ + ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ ⋅= + ⋅ ⎨ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ + ⋅ ⎪⎩ D D D D (38)

Assim, substituindo a expressão (36) em (38) e após em (37):

( ) 1

2

cos sin cos 0 sin 0

R V j T E j T θ θ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

(

D+ ⋅ D

)

(

2 2 cos 60 sin 60 T E j T + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D

)

(39) ( ) 1 2

(

2 2

cos sin cos 60 sin 60

R

V j T E T E j

T T

θ θ

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D

)

(40)

Separando as partes real e imaginária tem-se:

1 2 2 2 2 cos cos 60 2 sin sin 60 R R V T E T E T T V T E T θ θ ⎧ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎩ D D (41)

(16)

Assim: 2 sin 3 R V T T E θ ⋅ = ⋅ ⋅ (43) 2 1 cos 2 R V T T E θ ⋅ 2 T = ⋅ − (44) 1 cos sin 2 3 2 R R V V T T T E θ E θ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (45) 1 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (46) Definindo: R V m E = (47) Tem-se: 1 2 sin cos 2 3 sin 3 T T m T T m θ θ θ ⎧ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ − ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎨ ⎪ = ⋅ ⋅ ⎪⎩ ⎠ (48)

O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (35), ou seja:

1 2

o

T

T = − −T T2 (49)

Neste ponto é importante observar que o ângulo θ varia em intervalos discretos denominados ∆θ. Isto permite escrever:

T θ ω ∆ = ⋅ (50) Assim: 1 n n θ + =θ + ∆θ (51) 1 n n T θ+ =θ + ⋅ω (52)

Desta forma, para cada valor de θ , conhecendo-se o índice de modulação (m), e o período de chaveamento (T) é possível obter T1, T2 e To. Tais tempos são obtidos em tempo real, quer seja por processamento numérico quer seja por leitura de tabelas.

(17)

3.5 – VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE I

Seja a seqüência de vetores para o primeiro quadrante:

(53)

8, , , , 1 2 7 , 7 , 2 , 1 8

V V V V→ → → → VVVV

Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 20.

c a b a b c a b c c a b 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V1 V2 V7 V8 c a b c a b a b c 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V1 V2 V8 c a b 0 E (111) V7 2 o T 2 o T 2 o T 2 o T 1 T T2 1 T 2 T

Fig. 20 – Estados topológicos para o 1º quadrante.

Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 21, de onde é possível afirmar que, para o setor I as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (54)

(18)

t t t B cmd C cmd T 0 V (0 0 0) 1 V (1 0 0) 2 V (1 1 0) 7 V (1 1 1) 2 V (1 1 0) 1 V (1 0 0) 0 V (0 0 0) 7 V (1 1 1)

Fig. 21 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.

1 2 1 2 2 3 2 2 2 o o o T T T D T T T D T T D T+ += ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎩ (54)

Vale ressaltar que as expressões para as razões cíclicas são diferentes para cada setor.

3.6 – VETORES DISPONÍVEIS EM CADA QUADRANTE – QUADRANTE II

Seja o quadrante II. As fronteiras com os demais quadrantes são definidas pelos vetores adjacentes V2 e , e pelos vetores nulos e .

→ 3

VV7 V8

Considerando o vetor VR conforme apresentado na Fig. 22, com módulo A e ângulo θ em relação ao vetor V1.

(19)

θ 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V V6 (1 0 0) (0 1 1) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 0) (0 0 1) R V JJJG

Fig. 22 – Formação de um vetor no quadrante II.

Neste caso deve-se empregar apenas V2 , , e para construir

→ 3 VV7 → 8 VVR

, pois isto reduz o número de comutações realizadas pelo conversor.

O vetor VR

gira com velocidade angular constante ω. No instante observado podem-se determinar as componentes VR2 JJJG , alinhada com V2 JJG e VR3 JJJG

alinhada com o vetor V3 . JJG

3.7 – FORMAÇÃO DO VETOR RESULTANTE – QUADRANTE II

Os vetores VR2

JJJG e VR3

JJJG

são determinados pelos intervalos de duração dos vetores V2

JJG e respectivamente.

3

VJJG

Considerando que a seqüência utilizada para gerar o vetor resultante VR seja:

(55)

7 2 3 8 8 3 2 7

, , , , , , , V V V V V V V VJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG

A duração de cada um dos vetores da expressão (55) é definida por:

7 2 1 3 2 8 2 2 o o T V V T V T T V ⎧ ⇒ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⇒ ⎪ ⎪ ⇒ ⎪⎩ JJG JJG JJG JJG (56)

(20)

Assim: 1 2 2 2 2 R T T V V T T V3 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ JJG JJG JJG (58) Os ângulos dos vetores VR2

JJJG , VR3

JJJG e VR

JJG

em relação ao eixo zero são respectivamente 60º, 120º e θ. Sejam: ( )

(

)

(

)

1 2 2 3 cos sin 2 cos 60 sin 60 2 = cos120 sin120 R R R R V V j T E V j T T E V j T θ θ ⎧ = ⋅ + ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ ⋅= + ⋅ ⎨ ⎪ ⋅ ⋅ ⎪ + ⋅ ⎪⎩ D D D JJG JJJG JJJG D (59)

Assim, substituindo a expressão (59) em (57) e após em (58):

( ) 1

(

)

2

(

)

2 2

cos sin cos 60 sin 60 cos120 sin120

R V j T E j T E j T T θ θ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D + ⋅ ⋅ ⋅ D+ ⋅ D (60) ( ) 1 2 2 1 3 2 1 cos sin 2 2 2 2 R V j T E j T E j T T θ θ ⎛ ⎞ ⎛ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎜ + ⋅ ⎟+ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞⎟⎟⎠ (61)

Separando as partes real e imaginária tem-se:

2 cos R V ⋅ θ = 1 1 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ 2 + 2 1 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ − 2 sin R V θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ = 1 3 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 2 T E T ⋅ ⋅ ⋅ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎩ ⎟ (62) ( ) ( ) 1 2 1 2 cos 3 sin R R E V T T T E V T T θ θ ⎧ ⋅ = ⋅ − ⎪⎪ ⎨ ⋅ ⎪ ⋅ = ⋅ + ⎪⎩ T (63) Assim: 1 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅ + ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (64) 2 sin cos 2 3 R V T T E θ θ ⎛ = ⋅ ⋅ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ (65) 1 2 sin cos 2 3 sin cos 2 3 T T m T T m θ θ θ θ ⎧ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ + ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ = ⋅ ⋅ − + ⎩ ⎠ (66)

(21)

O intervalo de tempo To pode ser obtido através da expressão (67). 1 2 o T T = − −T T2 (67)

3.8 –VISUALIZAÇÃO DOS SINAIS DE COMANDO DOS INTERRUPTORES – QUADRANTE II

Seja a seqüência de vetores para o segundo quadrante:

(68)

7 2 3 8 8 3 2 7 , , , , , , , V V V V V V V V JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG

Os respectivos estados topológicos estão representados na Fig. 23.

c a b a b c a b c c a b 0 E 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V2 V3 V7 V8 c a b c a b a b c 0 E 0 E 0 E (100) (110) (111) (000) V2 V3 c a b 0 E (111) V8 V7 2 o T 2 o T 2 o T 2 o T 1 T T2 1 T 2 T

Fig. 23 – Estados topológicos para o 2º quadrante.

Os sinais de gatilho correspondentes estão mostrados na Fig. 24, de onde é possível afirmar que, para o setor II as razões cíclicas de cada braço são dadas pela expressão (69).

(22)

t t t B cmd C cmd T 0 V (0 0 0) 1 V (1 0 0) 2 V (1 1 0) 7 V (1 1 1) 2 V (1 1 0) 1 V (1 0 0) 0 V (0 0 0) 7 V (1 1 1)

Fig. 24 – Sinais de comando para os interruptores dos braços "a", "b" e "c" do retificador.

1 2 1 2 2 3 2 2 2 o o o T T T D T T T D T T D T+ += ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎩ (69)

4 – CONTROLE VETORIAL DA CORRENTE COM MODULADOR VETORIAL ESPACIAL

(23)

L3 Vs3 Vs1 L1 Vs2 L2 Ro Co PWM Retificador S1 S2 S3 S4 S5 S6 T1 T2 To i1 i2 i3 θ id iq dqo Hv(s) Hd(s) Hq(s) T1 T2 To V1d V1q V2d V2q m ω T id iq id iq * * Vo Vo* + -+ -+ -Vo + -Vd Vq

Fig. 25 – Diagrama de blocos do sistema de controle.

Considerando que a transformação dqo e o projeto dos compensadores sejam conceitos dominados, resta, segundo a lógica apresentada na Fig. 25, determinar os tempos T1, T2, To a

partir de Vd e Vq.

4.1 – CÁLCULO DE T1, T2 E TO A PARTIR DE VD E VQ

Admitindo a existência dos vetores VJJG1e VJJG2 , as projeções destes sobre os eixos d e q podem ser obtidas segundo o equacionamento apresentado a seguir:

(24)

2 2 T V⋅→ 1q V2d VV1d d

Fig. 26 – Projeções nos eixos d e q.

Da Fig. 26 pode-se escrever:

1 1 2 2

R

T V⋅JJG= ⋅ + ⋅T VJJG T VJGJ (70)

Decompondo os vetores nas componentes d e q:

R Rd Rq VJJG=V + ⋅j V (71) 1 1d 1 V =V + ⋅j Vq JJG (72) 2 2d 2 VJJG=V + ⋅j Vq (73) Assim:

(

Rd Rq

)

1

(

1d 1q

)

2

(

2d 2

)

T V⋅ + ⋅j V = ⋅T V + ⋅j V + ⋅T V + ⋅j Vq (74)

Igualando-se as partes reais e imaginárias:

1 1 2 2 Rd d T V⋅ = ⋅T V + ⋅T Vd (75) 1 1 2 2 Rq q T V⋅ = ⋅T V + ⋅T Vq (76) De forma matricial: 1 2 1 1 2 2 Rd d d Rq q q T V V V T T V V V T ⋅ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (77) Assim: 1 1 2 1 1 2 2 1 d d Rd q q Rq V V V T V V V T T − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (78) Sejam:

(25)

1 1 T t T = (79) 2 2 T t T = (80) 1 1 2 1 1 2 2 d d Rd q q Rq V V V t V V V t − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (81)

Seja o produto matricial:

(82) 1 2 1 2 1 0 0 1 d d q q V V a b V V c d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⋅ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ Assim: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 d q d q d q d q a V b V c V d V a V b V c V d V ⋅ + ⋅ = ⎧ ⎪ ⋅ + ⋅ = ⎪ ⎨ ⋅ + ⋅ = ⎪ ⎪ ⋅ + ⋅ = ⎩ (83)

Trabalhando a expressão (83), pode-se escrever:

2q b V⋅ = − ⋅a V2d (84) 1d 1q 1 a V⋅ + ⋅b V = (85) Desta forma: 2 2 d q V b a V = − ⋅ (86) E assim, substituindo (86) em (85): 2 1 1 2 1 d d q V a V a V V q ⋅ − ⋅ ⋅ = (87) 2 1 1 2 1 d d q q V a V V V ⎛ ⎞ ⋅⎜⎜ − ⋅ = ⎝ ⎠⎟⎟ (88) 1 2 2 1 2 1 d q d q q V V V V a V ⎛ ⋅ − ⋅ ⎞ ⋅⎜⎜ = ⎝ ⎠⎟⎟ (89) 2 1 2 2 1 q d q d q V a V V V V = ⋅ − ⋅ (90) Substituindo (90) em (86): 2q V b= − 2 1 2 2 1 2 d d q d q q V V V⋅ −VVV (91) 2 1 2 2 1 d d q d q V b V V V V = − ⋅ − ⋅ (92) Reescrevendo a expressão (81):

(26)

1 Rd t = ⋅a V + ⋅b VRq (94) 2 2 1 1 2 2 1 q Rd d Rq d q d q V V V V t V V V V ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (95)

Por um processo semelhante obtém-se o tempo t2:

1 2 2 1 2 2 1 1 d Rq q Rd d q d q V V V t V V V V ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (96)

Generalizando para um tempo n qualquer:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 Rd n q n d n nd n q n d nq V V V V t V V V V + + + + Rq ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (97) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 nd Rq n q Rd n nd n q n d nq V V V t V V V V + + + + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (98)

De acordo com o esquema apresentado na Fig. 25 pode-se afirmar: 9 VRd e VRq são gerados pelos compensadores de corrente; 9 Vnd e Vnq são as componentes do vetor Vn;

9 V(n+1)d e V(n+1)q são as componentes do vetor V (n+1);

9 Os vetores Vn e V(n+1) são os vetores adjacentes de cada quadrante.

Para uma melhor distribuição das perdas de condução empregam-se os 2 vetores nulos, conforme apresentado na Tabela 1.

Tabela 1 – Seqüência de vetores que minimizam as perdas.

2 T 2 o T 1 T T2 2 o T 7 VJJG VJJG1 VJJG2 VJJG8 Quando

(

1 2

)

2 T T T+ > ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ o vetor desejado não pode ser sintetizado pelo conversor. Neste caso faz-se , ou seja, o vetor nulo é excluído da seqüência de vetores. Assim. O vetor resultante teria uma amplitude limitada através do escalonamento apropriado dos tempos e , conforme apresentado a seguir:

0 o T =

( )

VR Tn 1 n T+

(27)

' 1 n n n n T T T =T +T+ (99) ' 1 1 n n n n T T T T T + +1 + = + (100) Assim: ' 1 n n n n T T T T+ T = ⋅ + (101) ' 1 1 1 n n n n T T T T + + + T = ⋅ + (102)

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