Concurso Público para Professor Titular DECONVOLUÇÃO E ESTIMATIVA DO PULSO SÍSMICO ATRAVÉS DO ALGORITMO GENÉTICO. Milton José Porsani

(1)

Instituto de Geociˆencias

Departamento de Geologia e Geof´ısica Aplicada

Concurso P´

ublico para Professor Titular

DECONVOLUC

¸ ˜

AO E ESTIMATIVA DO

PULSO S´

ISMICO ATRAV´

ES DO

ALGORITMO GEN´

ETICO

Milton Jos´e Porsani

SALVADOR - BAHIA Maio de 1999

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A meus pais Elson Porsani e Izolina Straccini Porsani

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Resumo

Um novo método de deconvolu¸cão e estimativa do pulso s´ısmico é apresen-tado. O método utiliza a solu¸cão das equa¸cões estendidas de Yule-Walker para fatorar o pulso de fase m´ınima. As β ra´ızes do polinômio fatorado estimam as ra´ızes do polinomio associado ao pulso de fase m´ınima. Combi-nando as ra´ızes estimadas e revertendo-as para o interior do c´ırculo unitário são gerados filtros de fase mista com espectro de amplitude igual ao filtro de Wiener-Levinson. O desempenho dos filtros é avaliado através de uma fun¸cão objetivo definida com base na norma Lp (p > 2). A determina¸cão do filtro inverso ótimo e do correspondente pulso, a partir de um universo de 2β _{possibilidades, ´}_{e conduzida atrav´}_{es de um algoritmo gen´}_etico.

Resul-tados numéricos utilizando dados sintéticos e reais demonstram que o novo método proposto é robusto e eficaz, fornecendo melhores resultados do que o método convencional de deconvolu¸cão que utiliza o filtro de fase m´ınima de Wiener-Levinson.

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Abstract

A new method for seismic deconvolution and wavelet estimation is presented. The method uses the extended Yule-Walker solution to factorize the mini-mum delay wavelet. The β roots of the factorized polynomial estimate the ones of the polynomial related to the minimum delay wavelet. By combining the estimated roots and flipping them from outside to inside the unit circle, mixed-phase inverse filters can be gererated. These filters have amplitude spectra equal to the Wiener-Levinson inverse filter. The filter’s performance is evaluated by using an objective function whose definition is based on the Lp (p > 2) norm. The search to obtain an optimal inverse filter and its cor-responding pulse, within a set of 2β _{possibilities, is conducted by means of a}

genetic algorithm. Numerical results using synthetic and measured seismic data demonstrated the robustness and effectiveness of the newly proposed deconvolution and wavelet estimation method. It allowed better results than the conventional approach which uses the Wiener-Levinson minimum phase filter.

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(8)

Sum´

ario

Dedicat´oria i

Resumo iii

Abstract v

Introdu¸c˜ao 3

1 Deconvolu¸c˜ao do pulso s´ısmico 7

1.1 O modelo convolucional do tra¸co s´ısmico . . . 7

1.2 Filtro inverso de um pulso conhecido . . . 9

1.3 Filtro inverso de Wiener-Levinson . . . 12

1.4 Estimativa da FAC do pulso . . . 14

1.5 O pulso deconvolvido com o filtro de WL . . . 15

1.6 Obten¸c˜ao do pulso de fase m´ınima . . . 16

2 Filtros inversos através das equa¸cões estendidas de Yule-Walker 19 2.1 Equa¸cões estendidas de Yule-Walker . . . 19

2.2 Fatora¸c˜ao do pulso de fase m´ınima . . . 20

2.3 Obten¸c˜ao do filtro inverso e pulso de fase mista . . . 21

2.4 Obten¸c˜ao do fator de escala K . . . 23

2.5 Algoritmo para obten¸c˜ao de um filtro inverso de fase mista . . 24 vii

(9)

3 Obten¸cão do filtro inverso ótimo através do algoritmo genético 29

3.1 Defini¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo . . . 30

3.1.1 Norma L2 . . . 30

3.1.2 Norma Lp . . . 31

3.2 Algoritmo gen´etico . . . 34

3.2.1 Gera¸c˜ao da popula¸c˜ao inicial . . . 38

3.2.2 Gera¸c˜ao da nova popula¸c˜ao . . . 39

3.2.3 Passos do AG para obten¸c˜ao do filtro inverso ´otimo . . 41

3.2.4 Convergˆencia do AG proposto . . . 41

4 Resultados numéricos 43 4.1 Deconvolu¸cão de um pulso de fase mista sintético . . . 43

4.2 Deconvolu¸c˜ao de um pulso s´ısmico real . . . 50

4.3 Deconvolu¸c˜ao de dados s´ısmicos mar´ıtimos da Noruega . . . . 50

4.4 Deconvolu¸c˜ao dos dados s´ısmicos do Golfo do M´exico . . . 55

4.4.1 Deconvolu¸c˜ao p´os-empilhamento . . . 55

4.4.2 Deconvolu¸c˜ao pr´e-empilhamento . . . 59

5 Conclus˜oes 71

Agradecimentos 73

A Recurs˜ao de Levinson para filtros inversos de WL 75

B Recurs˜ao de Levinson para filtros de forma 79

C Recurs˜ao de Simpson para filtros WL ´otimos 83

D Recurs˜ao de Manolakis para filtros WL ´otimos 87

E Recurs˜ao Simpson/Manolakis para filtros WL 91

(10)

SUM ÁRIO ix G Algoritmo tipo-Levinson para solu¸cão das equa¸cões EYW 99 H Solu¸cão das equa¸cões EYW utilizando filtro de WL 101

(11)

(12)

Lista de Tabelas

2.1 Ra´ızes estimadas a partir do polinomioα_{B(Z) para diferentes}

valores de α. . . 23 2.2 Ra´ızes do polinˆomio αB(Z), α = 10, utilizadas na gera¸c˜ao do

pulso de fase mista. . . 25 4.1 N´umero total de modelos distintos avaliados no AG em fun¸c˜ao

do número de modelos da popula¸cão. Os valores percentuais referem-se ao número de modelos distintos avaliados, e são tomados com rela¸cão ao total de 214 _{filtros poss´ıveis.} _{. . . . .} ₄₈

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(14)

Lista de Figuras

2.1 Decomposi¸c˜ao do pulso de fase m´ınima, obten¸c˜ao de um filtro e

o correspondente pulso de fase mista. Pulso de fase m´ınima em

A; componente causal e n˜ao causal do pulso de fase mista em B e

C; pulso de fase mista estimado em D; componentes causal e n˜ao

causal do filtro inverso de fase mista em E e F; filtro de fase mista

em G; invers˜ao do pulso de fase mista em H. . . 26

3.1 Conjunto de filtros inversos associados ao polinômio de ordem 3. Filtro de fase m´ınima em A e de fase máxima em H. Filtros com uma e duas ra´ızes no interior do c´ırculo unitário em B, C, D, E, e F. . . 32

3.2 Resultados da convolu¸c˜ao do pulso de fase mista com os filtros inversos. O filtro representado em E colapsa o pulso a um impulso e possui maior valor de desempenho. . . 33

3.3 Desempenho dos filtros inversos calculados para diferentes nor-mas. . . 35

3.4 Resultados da deconvolu¸c˜ao de um tra¸co s´ısmico sint´etico com os filtros inversos de fase mista. . . 36

3.5 Desempenho dos filtros inversos de fase mista calculado para diferentes normas na deconvolu¸c˜ao de um tra¸co s´ısmico sint´etico. 37

(15)

4.1 Deconvolu¸c˜ao de um pulso de fase mista utilizando filtros inver-sos obtidos com o AG. Resultados obtidos com valores de {α} =

{20, 25, 30 35} est˜ao representados em A, B, C e D,

respectiva-mente. De cima para baixo nas figuras est˜ao representados o pulso

a ser invertido, (a); o pulso de fase mista estimado, (b); o pulso de fase m´ınima de WL (c); o filtro de fase mista obtido com o AG,

(d); o filtro de fase m´ınima de WL (e); a deconvolu¸c˜ao com o filtro

de fase m´ınima, (f) e, a deconvolu¸c˜ao com o filtro de fase mista. . 44

4.2 Evolu¸c˜ao do desempenho dos filtros de fase mista na deconvolu¸c˜ao

do pulso, representado em (a) na figura anterior. Os resultados

ob-tidos para os valores de {α} = {20, 25, 30, 35} est˜ao representados

em A, B, C e D, respectivamente. . . 45

4.3 Evolu¸c˜ao do desempenho dos filtros de fase mista, obtidos com o

AG, em fun¸c˜ao do parˆametro q. Os resultados obtidos para valores

de {qj} = {1. ; 0, 9 ; 0, 7 ; 0, 5 ; 0, 3 ; 0, 1} est˜ao representados em A,

B, C, D, E, e F, respectivamente. Nβ = 200, e α = 25. . . 47

4.4 Evolu¸c˜ao do desempenho dos filtros de fase mista obtidos com o

AG, em fun¸cão do número de modelos da popula¸cão. Os resultados

obtidos para valores de {Nβ} = {50, 100, 200, 400, 600, 800} est˜ao

representados em A, B, C, D, E, e F, respectivamente. α = 25 e

q = 1. . . 49

4.5 Deconvolu¸c˜ao de um pulso s´ısmico. Pulso de air-gun em A.

De-convolu¸cão com o filtro inverso ótimo em B, e deconvolu¸cão com o

filtro inverso de WL em C. . . 51

4.6 Filtros de fase mista e de fase m´ınima, em A e B, respectivamente. 51

4.7 Pulso de air-gun, em A. Pulso estimado de fase mista em B, e de

fase m´ınima em C. . . 52

4.8 Deconvolu¸c˜ao de um CMP mar´ıtimo. CMP sem deconvolu¸c˜ao em

A, deconvolvido com o filtro de WL em B, e deconvolvido com o

filtro inverso de fase mista em C. . . 53

4.9 Filtros inversos estimados. Filtro de fase mista em A, e filtro de

WL em B. . . 56

4.10 Pulso refletido no fundo do mar e pulsos estimados. Pulso refletido

no assoalho oceˆanico no primeiro tra¸co da fam´ılia CMP, em A.

(16)

LISTA DE FIGURAS 1

4.11 Gr´aficos de semblance para an´alise de velocidades do CMP original

em A; CMP deconvolvido com o filtro de fase m´ınima em B, e CMP

deconvolvido com o filtro de fase mista em C. . . 57

4.12 Se¸c˜ao s´ısmicas empilhadas sem deconvolu¸c˜ao, em A, e empilhadas

ap´os as deconvolu¸c˜oes com filtro de WL, em B, e filtro de fase

mista em C. . . 58

4.13 Se¸c˜oes s´ısmicas empilhadas sem deconvolu¸c˜ao, em A. Resultados

da deconvolu¸c˜ao ap´os o empilhamento, com filtro de WL, em B, e

filtro de fase mista, em C. . . 60

4.14 Deconvolu¸c˜ao de um CMP mar´ıtimo. CMP sem deconvolu¸c˜ao em

A, deconvolvido com o filtro de WL em B, e deconvolvido com o

filtro inverso ´otimo de fase mista, obtido com o AG, em C. . . 61

4.15 Filtros inversos utilizados na deconvolu¸c˜ao do CMP. Filtro de fase

mista em A, e de fase m´ınima em B. . . 62

4.16 Pulso refletido no fundo do mar e pulsos estimados. Pulso refletido

no assoalho oceˆanico no primeiro tra¸co da fam´ılia CMP, em A.

Pulso estimado de fase mista, em B, e pulso de fase m´ınima em C. 62

4.17 Gr´aficos de semblance da an´alise de velocidades do CMP original

em A, do CMP deconvolvido com o filtro de fase m´ınima em B, e

do CMP deconvolvido com o filtro de fase mista em C. . . 64

4.18 Detalhe dos gr´aficos de semblance para as velocidades

compreen-didas no intervalo 1400m/s ≤ v ≤ 1800m/s. CMP original em A; CMP deconvolvido com o filtro de fase m´ınima em B, e CMP

deconvolvido com o filtro de fase mista em C. . . 65

4.19 Se¸c˜ao s´ısmicas empilhadas sem deconvolu¸c˜ao, em A, e empilhadas

ap´os as deconvolu¸c˜oes com filtro de WL, em B, e filtro de fase

mista em C. . . 66

4.20 Se¸c˜ao s´ısmica empilhada sem deconvolu¸c˜ao. . . 67

4.21 Se¸cão s´ısmica empilhada após a deconvolu¸cão com filtro WL. . . . 68

4.22 Se¸cão s´ısmica empilhada após a deconvolu¸cão com filtro de fase

(17)

(18)

Introdu¸

c˜

ao

A deconvolu¸cão dos dados s´ısmicos ou simplesmente deconvolu¸cão, é uma etapa da seqüência do processamento s´ısmico que permite aumentar a re-solu¸cão temporal das se¸cões s´ısmicas. Tem sido aplicada para comprimir o sinal s´ısmico e para atenuar as reflexões múltiplas, tais como aquelas decor-rentes da reverbera¸cão da energia s´ısmica na lâmina d’água, em levantamen-tos s´ısmicos mar´ıtimos. Quando utilizada com o objetivo de comprimir o pulso, é denominada simplesmente deconvolu¸cão do pulso. A deconvolu¸cão do pulso s´ısmico é normalmente aplicada antes da corre¸cão de NMO, ou seja, antes do empilhamento dos sismogramas, sendo entretanto também empre-gada na se¸cão empilhada. Nestes casos é denominada deconvolu¸cão pré ou pós-empilhamento. O contraste de impedância (Z=densidade × velocidade) entre camadas adjacentes de diferentes litologias é responsável pelas reflexões que aparecem nos sismogramas. O pulso presente ao longo do tra¸co s´ısmico, denunciando a presen¸ca de descontinuidades geológicas, é o resultado final das intera¸cões ocorridas basicamente entre o sinal emitido pela fonte de ener-gia s´ısmica, gerado normalmente a pequena profundidade; a onda que retorna e reflete na superf´ıcie e, acompanha o sinal com certo atraso; efeitos de ab-sorsão e dispersão, devidos à propaga¸cão da energia s´ısmica na terra, e efeitos dos filtros eletrônicos do equipamento de registros. A deconvolu¸cão pode ser pensada como um processo inverso de filtragem, no qual se procura recuperar a resposta impulsional do meio, ou seja, a resposta decorrente do uso de uma fonte ideal representada por um impulso instantâneo, de dura¸cão nula. Quando se conhece o pulso que se deseja deconvolver pode-se calcular o filtro inverso com base no método dos m´ınimos quadrados, (Simpson, 1963, Manolakis, 1983, Porsani, 1986).

(\shortciteN{SIMPSON1963}, \shortciteN{MANOLAKIS1983}, \citeN{PORSANI1986}).

Neste caso, obt´em-se um filtro, que convolvido com o pulso transforma-o em 3

(19)

um impulso em uma determinada posi¸cão. Deixando o impulso desejado, ocupar diferentes posi¸cões, diferentes filtros são calculados. O filtro ótimo é selecionado como aquele que resulta na menor soma do res´ıduo quadrado do sinal deconvolvido.

Na maioria das vezes o pulso s´ısmico não é conhecido, podendo-se dispor apenas de uma estimativa de sua fun¸cão de autocorrela¸cão, FAC. Neste caso, o método de deconvolu¸cão usualmente empregado na indústria de explora¸cão de petróleo, utiliza o filtro inverso de Wiener-Levinson, WL,

(\citeN{ROBINSON1980},

\citeN{BERKHOUT1997}, \citeN{YILMAZ1987}).

O método de deconvolu¸cão de WL, conforme é denominado, segue uma abor-dagem estat´ıstica que utiliza uma estimativa da FAC do pulso. O filtro in-verso é calculado resolvendo-se um sistema de equa¸cões normais, EN, cuja solu¸cão é geralmente obtida por meio da eficiente recursão de Levinson (\citeN{LEVINSON1947})

. O método de WL é particularmente simples e útil. A boa qualidade dos resultados obtidos é responsável pelo seu amplo sucesso na indústria do petróleo, bem como pela sua ado¸cão como parte integrante da seqüência normal de processamento dos dados s´ısmicos.

Para uma dada FAC estimada, um ´unico filtro de WL de N coeficientes pode ser obtido. Uma vez que a FAC pode ser a mesma para pulsos distintos, (\citeN{ROBINSON1957}, \citeN{ROBINSON1980}),

apenas um pulso pode ser invertido com o método de WL. Um aspecto in-teressante do filtro de WL é que todas as ra´ızes do polinômio associado ao pulso por ele invertido, possuem amplitude maior que a unidade. Este tipo particular de pulso é denominado pulso de fase m´ınima e possui a maior parte da energia concentrada no seu in´ıcio

(\citeN{ROBINSON1980}).

Se apenas uma raiz possuir amplitude menor que 1, o pulso é dito ser de fase mista e não poderá ser invertido de forma exata com o filtro de WL. Os pulsos s´ısmicos originados com fontes explosivas parecem não contrariar

(20)

LISTA DE FIGURAS 5 fortemente este modelo, razão pela qual os resultados obtidos com o método de WL são bons mesmo quando a hipótese de fase m´ınima não for de todo verificada.

Para a deconvolu¸cão de pulsos de fase mista, várias abordagens alternativas têm sido desenvolvidas na última década.

\citeN{ZIOLKOWSKI_SLOB1987}

discutem o uso de fatora¸cão polinomial para realizar a deconvolu¸cão. Con-cluem não ser poss´ıvel estimar, e, consequentemente, deconvolver o pulso a partir dos dados s´ısmicos sem que se utilizem informa¸cões sobre as proprie-dades estat´ısticas da resposta impulsiva da terra. Mais recentemente, \shortcite{ULRYCH_VELIS_SACCHI1995}

apresentaram dois métodos de estimativa do pulso s´ısmico. O primeiro, ba-seado no empilhamento do logaritmo do espectro (cepstro) e decomposi¸cão homomórfica, que não utiliza nenhuma hipótese sobre as propriedades es-tat´ısticas da fun¸cão refletividade. O segundo método usa um procedimento de otimiza¸cão global com a hipótese de que a refletividade é representada por um processo aleatório não-Gaussiano.

\citeN{EISNER_HAMPSON1990}

propõem um método para decomposi¸cão do pulso s´ısmico em suas compo-nentes de fase m´ınima e máxima, resolvendo 3 sistemas de equa¸cões Toe-plitz. Bednar (1992) usa uma estimativa da FAC do pulso para estimar os parâmetros (p,q), de um modelo autoregressivo de média móvel, ARMA(p,q). Os coeficientes autoregressivos, AR(p), são calculados resolvendo-se o sis-tema de equa¸cões estendidas de Yule-Walker, EYW. Os parâmetros MA(q), são calculados com base na decomposi¸cão espectral que fornece vários pulsos com mesma FAC.

\citeN{PORSANI_URSIN1998}

apresentam uma nova abordagem para a gera¸cão de filtros inversos associados a pulsos de fase mista. O método proposto utiliza a solu¸cão das equa¸cões EYW para fatorar o pulso de fase m´ınima. As α ra´ızes do polinômio re-sultante representam uma estimativa das ra´ızes do polinômio associado ao

(21)

pulso de fase m´ınima. Calculando-se as ra´ızes, para diferentes valores de α, e refletindo-as para o interior do c´ırculo unitário, geram-se diferentes filtros de fase mista. Os filtros assim gerados possuem espectro de amplitude iguais ao filtro de WL. O método foi aplicado na deconvolu¸cão de dados s´ısmicos sintéticos e reais. Para sele¸cão do filtro de melhor desempenho utiliza-se o máximo da fun¸cão objetivo definida com base na norma Lp, p > 2, do tra¸co deconvolvido.

Embora os filtros inversos gerados com o m´etodo de \citeN{PORSANI_URSIN1998}

não possam necessariamente inverter um dado pulso de fase mista, a abor-dagem adotada é de simples implementa¸cão e permite testar vários filtros de fase mista, suplantando a restri¸cão do método convencional de WL, de se utilizar apenas o filtro de fase m´ınima.

No presente trabalho introduz-se um refinamento ao m´etodo proposto por \citeN{PORSANI_URSIN1998}

que permite estimar o filtro inverso ótimo para deconvolu¸cão do pulso s´ısmico. De um conjunto de β ra´ızes estimadas do pulso β < α (um par de ra´ızes com-plexas e conjugadas é tratado como uma raiz) são selecionados subconjuntos arbitrários de ra´ızes para gera¸cão de filtros de fase mista com mesmo espec-tro de amplitude do filespec-tro de WL. Os filespec-tros assim calculados são aplicados na deconvolu¸cão dos dados s´ısmicos, sendo o desempenho medido através da norma Lp. A escolha do filtro ótimo, de um universo de 2β possibilidades, é conduzida através de um algoritmo desenvolvido com base no método de otimiza¸cão global conhecido como algoritmo genético, AG,

(\citeN{GOLDBERG1989}, \citeN{SEN_STOFFA1995}, \citeN{MITCHELL1996}). O texto est´a organizado como segue. No cap´ıtulo 1 s˜ao apresentados os

fun-damentos do método de WL de deconvolu¸cão do pulso s´ısmico. No cap´ıtulo 2 apresenta-se o método de obten¸cão de filtros de fase mista de

\citeN{PORSANI_URSIN1998}.

Um algoritmo genético para obten¸cão do filtro inverso ótimo é apresentado no cap´ıtulo 3. Resultados numéricos de deconvolu¸cão de dados sintéticos e dados de levantamentos s´ısmicos mar´ıtimos são apresentados no cap´ıtulo 4. Detalhes dos algoritmos que resolvem sistemas de equa¸cões associados aos filtros de fase m´ınima e de fase mista compõem apêndices.

(22)

Cap´ıtulo 1

Deconvolu¸

c˜

ao do pulso s´ısmico

1.1 O modelo convolucional do tra¸

co s´ısmico

O modelo matem´atico utilizado para representar o tra¸co s´ısmico, xt, ´e dado

a seguir,

xt= pt∗ et+ ηt (1.1)

onde,

• ptrepresenta o pulso s´ısmico, considerado invariante ao longo do tempo.

Desprezam-se, portanto, os efeitos de dispers˜ao.

• et, tamb´em chamada de fun¸c˜ao refletividade, representa a resposta do

meio a uma fonte impulsional ideal e contém, portanto, todas as re-flexões primárias e múltiplas.

• ηt representa o ru´ıdo superimposto ao sinal s´ısmico.

O s´ımbolo ∗ representa a opera¸cão de convolu¸cão, razão pela qual a equa¸cão (1.1) é chamada de modelo convolucional do tra¸co s´ısmico. Para ilustrar como a convolu¸cão opera pode-se considerar o pulso, pt, discretizado a intervalo

de amostragem constante, ∆t, e representado por apenas dois coeficientes, pt = {p0, p1} = {2, 1} e a fun¸c˜ao refletividade igualmente discretizada dada

por et = {e0, e1, . . . , e6} = {0, 2, 0, 0, −1, 0, 0}. A convolu¸c˜ao discreta pt∗

et = xt = {0, 4, 2, 0, −2, −1, 0} ´e obtida com o procedimento representado

(23)

abaixo, t = 0 ↓ 0 2 0 0 −1 0 0 1 2 → 0 1 2 → 4 1 2 → 2 1 2 → 0 1 2 → −2 1 2 → −1 1 2 → 0

Nota-se que na convolu¸cão, um dos sinais é revertido e deslocado suscessiva-mente. Para cada posi¸cão é efetuado o produto, entre os elementos dos sinais convolvidos, seguido da soma. Nota-se também, no exemplo, que o sinal pt

foi transferido e escalonado para cada posi¸c˜ao do sinal et. Matematicamente,

para um pulso de Np + 1 coeficientes, a equa¸c˜ao (1.1) pode ser escrita na

forma de um somat´orio,

xt= Np

X

k=0

et−kpk+ ηt.

Da mesma forma que se tem a opera¸cão algébrica de divisão, por exemplo a/b = c, que é também a multiplica¸cão com o inverso do número b, (b−1a = c), tem-se a opera¸cão de deconvolu¸cão entre duas seqüências, b−1_t ∗at= ct, igual à

convolu¸cão com o operador (filtro) inverso. Para se recuperar a refletividade é preciso, pois, deconvolver o pulso pt do tra¸co s´ısmico. Isto é feito através

da convolu¸c˜ao do tra¸co s´ısmico com o filtro inverso do pulso, pt.

Deixe ˜ht, representar uma aproxima¸c˜ao do inverso do pulso pt, ˜ht≈ p−1t , ou

seja,

˜

ht∗ pt≈ δt , δt =

0 , t 6= 0

1 , t = 0 . (1.2)

Convolvendo ˜ht com xt obt´em-se,

˜

ht∗ xt= ˜ht∗ pt∗ et+ ˜ht∗ ηt = ˜et.

Quando ˜ht representar o filtro inverso do pulso, ˜ht = p−1t e o ru´ıdo aditivo

for negligenciável, a deconvolu¸cão restitui a fun¸cão refletividade, ˜

(24)

1.2 Filtro inverso de um pulso conhecido 9

1.2 Filtro inverso de um pulso conhecido

Nos levantamentos s´ısmicos mar´ıtimos a assinatura da fonte s´ısmica é regis-trada próximo ao ponto de tiro. Este pulso contém tanto as caracter´ısticas da fonte de energia s´ısmica, como também aquelas inerentes aos dispositi-vos eletrônicos de registro do sinal. Conhecendo-se o sinal, que vai viajar em subsuperf´ıcie, pode-se calcular um filtro inverso para remover alguns dos efeitos conhecidos. Neste caso, o filtro inverso pode ser estimado com base no método dos m´ınimos quadrados, conforme apresentado a seguir.

Considerando-se que o pulso s´ısmico ´e conhecido, pode-se calcular o filtro inverso, ˜ht = {˜h0, . . . , ˜hN}, tal que convolvido com pt = {p0, . . . , pM},

resulte numa aproxima¸c˜ao do impulso, ˜

ht∗ pt = ˜δt ≈ δt (1.3)

O desvio, et, entre o sinal desejado, δt, e o sinal calculado, ˜δt, atrav´es da

equa¸c˜ao (1.3), pode ser representado como segue, et= δt− ˜δt= δt− ˜ht∗ pt.

Utilizando-se nota¸cão matricial e exemplificando-a para um filtro de três coeficientes, pode-se escrever o seguinte sistema de equa¸cões lineares.

          e0 e1 e2 .. . eM eM +1 eM +2           =           1 p0 0 0 0 p1 p0 0 0 p2 p1 p0 .. . ... ... ... 0 pM pM −1 pM −2 0 0 pM pM −1 0 0 0 pM               1 −˜h0 −˜h1 −˜h2    

Para qualquer conjunto de valores arbitr´arios, {˜h0, ˜h1, ˜h2}, pode-se calcular

o n´umero positivoP

te 2

t = Q(˜h), correspondente `a soma dos desvios

quadra-dos. Q(˜h) representa uma forma quadrática não negativa que possui, neces-sariamente, um único ponto de m´ınimo. O conjunto de coeficientes {˜h∗_j} que faz Q(˜h∗) m´ınimo será o filtro inverso ótimo, estimado com base no método dos m´ınimos quadrados. Derivando-se Q(˜h) com rela¸cão aos parâmetros ˜hj

e igualando-se o resultado a zero, obtém-se o conjunto de equa¸cões a ser re-solvido, denominado equa¸cões normais, ENs, representadas a seguir para o

(25)

filtro inverso de N + 1 coeficientes.      r0 r−1 . . . r−N r1 r0 . .. ... .. . . .. . .. r−1 rN . . . r1 r0          ˜ h0 ˜ h1 .. . ˜ hN     =     p0 0 .. . 0     (1.4)

onde rk representa o coeficiente k da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, FAC, do

pulso, calculado com a express˜ao, rk =

X

ptpt+k . (1.5)

Nota-se que rk = r−k. A matriz do sistema representado pela equa¸c˜ao (1.4),

além de simétrica é bandeada com rela¸cão à diagonal principal. E deno-´ minada matriz de auto-correla¸cão banda estruturada Toeplitz. A solu¸cão do sistema pode ser obtida de forma rápida, utilizando-se a recursão de Levinson

(\citeN{LEVINSON1947}, \citeN{PORSANI1986}),

apresentada no apêndice A. Para se evitar a instabilidade numérica da solu¸cão, é comum adicionar à diagonal da matriz dos coeficientes um percentual do valor do coeficiente r0, 0, 1%, por exemplo. Equivalente a substituir o

coefici-ente r0 por ˜r0 = 1, 001r0. No dom´ınio da freq¨uˆencia corresponde a adicionar

um valor constante a todas as freqüências do espectro de potência do sinal. Este recurso é conhecido como luz branca e tem a fun¸cão de prevenir que os coeficientes do filtro apresentem magnitude elevada.

´

E interessante notar que pulsos com caracter´ısticas distintas, por exemplo,

1

pt = {2, 1} ∗ {2, 3} = {4, 8, 3}

2_p

t= {1, 2} ∗ {2, 3} = {2, 7, 6},

possuem coeficientes da FAC iguais, (1_r

k = 2rk), conforme se pode

pron-tamente verificar, através da equa¸cão (1.5). Possuem ainda, filtros inver-sos necessariamente distintos. Contudo, os filtros obtidos com a resolu¸cão da equa¸cão (1.4) serão necessariamente iguais, a menos de um fator de es-cala. No caso de pulsos conhecidos, para assegurar que as caracter´ısticas do pulso sejam utilizadas na constru¸cão do filtro inverso, pode-se formar as ENs deixando-se o sinal desejado deslocado para a posi¸cão k, ou seja, δt−k,

(26)

1.2 Filtro inverso de um pulso conhecido 11 conforme mostrado a seguir,

               e0 e1 e2 .. . ek .. . eM eM +1 eM +2                =                0 p0 0 0 0 p1 p0 0 0 p2 p1 p0 .. . ... ... ... 1 pk pk−1 pk−2 .. . ... ... ... 0 pM pM −1 pM −2 0 0 pM pM −1 0 0 0 pM                    1 −˜h0 −˜h1 −˜h2    

Nota-se que o vetor de correla¸c˜ao cruzada, entre o sinal de entrada e o sinal desejado, ser´a igual a {pk, pk−1, pk−2}. O sistema de ENs para a ordem N

resultar´a igual a,      r0 r−1 . . . r−N r1 r0 . .. ... .. . . .. . .. r−1 rN . . . r1 r0          ˜ h0 ˜ h1 .. . ˜ hN     =     pk pk+1 .. . pk+N     . (1.6)

Desta forma, uma parte do pulso estará presente formando o lado direito do sistema de ENs. Para se resolver o sistema de equa¸cões (1.6) pode-se utilizar a recursão de Levinson, para filtros de forma, apresentada no apêndice B. Calculando-se o erro quadrático Q(k˜_{h), para valores sucessivos de k, dentro}

de um certo intervalo, pode-se escolher o filtro inverso ótimo como aquele associado ao m´ınimo da seqüência {Q(k_˜_{h)}. O filtro ˜}_h∗

t assim obtido ´e

cau-sal, ou seja, possui coeficientes não nulos apenas nos ´ındices de tempo não negativos. Se o filtro ótimo ocorre associado à posi¸cão k∗ > 0 tem-se,

˜

h∗_t ∗ pt≈ δt−k∗,

implicando que todas as reflexões no tra¸co deconvolvido ocorram deslocadas de k∗ amostras. A corre¸cão pode ser feita depois da deconvolu¸cão deslocando-se, para tempos negativos, todo o tra¸co de k∗ amostras, ou deslocando-se o filtro de k∗ coeficientes.

h∗_t+k∗ pt ≈ δt.

Neste caso o filtro inverso estimado, ft= ˜h∗t+k, possuir´a coeficientes tamb´em

a tempos negativos, sendo pois um filtro n˜ao causal.

A obten¸cão do filtro ótimo, para inverter um dado pulso, pode ser realizada através do algoritmo conhecido como recursão de Simpson, desenvolvido por

(27)

\shortciteN{SIMPSON1963},

apresentado no apêndice C. Outro algoritmo duas vezes mais eficiente que a recursão de Simpson é o algoritmo desenvolvido por

\shortciteN{MANOLAKIS1983},

apresentado no apêndice D. Embora o algoritmo de Manolakis seja mais efi-ciente do que o algoritmo de Simpson, ambos trabalham com o filtro de com-primento fixo. Um algoritmo tipo-Levinson, não limitado a trabalhar com filtros de comprimento fixo, e que fornece o filtro ótimo nas variáveis (posi¸cão do sinal desejado × número de coeficientes do filtro), foi desenvolvido por

\citeN{PORSANI1996}

e encontra-se apresentado no apˆendice E.

1.3 Filtro inverso de Wiener-Levinson

Quando o pulso s´ısmico não é conhecido, mas se dispõe de uma estimativa de sua FAC, pode-se utilizar a equa¸cão (1.4) para se estimar o filtro inverso. Normalizando-se a equa¸cão (1.4), pelo primeiro coeficiente do filtro, obt´ em-se,      r0 r−1 . . . r−N r1 r0 . .. ... .. . . .. . .. r−1 rN . . . r1 r0          1 0_c 1 .. . 0_c N     =     0_E N 0 .. . 0     . (1.7)

O sistema de equa¸cões acima é denominado de equa¸cões de Yule-Walker. O filtro assim calculado é denominado filtro inverso de Wiener-Levinson (WL). O sobrescrito 0 nos coeficientes do filtro 0_c

t, e na quantidade 0EN, ´e

uti-lizado no presente trabalho, com o propósito de indicar que a matriz de autocorrela¸cão é simétrica e possui o coeficiente r0 na diagonal principal. É

interessante notar que a equa¸c˜ao acima pode tamb´em ser obtida utilizando-se o modelo linear preditivo,

pt= ˜a1pt−1+ . . . + ˜aNpt−N+ et,

ou modelo de predi¸cão unitária, uma vez que os coeficientes predizem a amos-tra imediatamente à frente, a uma distância em tempo igual a um intervalo de amostragem. Nesse modelo, também chamado de modelo autoregressivo

(28)

1.3 Filtro inverso de Wiener-Levinson 13 \cite{ULRYCH1976},

cada amostra do sinal ao tempo t é obtida como combina¸cão linear dos N valores a tempos atrasados. Os coeficientes do filtro de predi¸cão unitária, ˜

at, são calculados através do método dos m´ınimos quadrados resolvendo-se o

sistema de equa¸c˜oes normais,      r0 r−1 . . . r−N +1 r1 r0 . .. ... .. . . .. . .. r−1 rN −1 . . . r1 r0          ˜ a1 ˜ a2 .. . ˜ aN     =     r1 r2 .. . rN     . (1.8)

Agrupando-se as ENs representadas acima com a express˜ao para c´alculo da soma total dos erros quadrados minimizados, STEQM,

M in{Xe2_t} = r0+

X

r−j0cj ,

obt´em-se o sistema de ENs na forma ampliada, igual ao representado pela equa¸c˜ao (1.7).

{1, −ã1, . . . , −ãN} = {1, 0c1, . . . , 0cN} representa o filtro de erro de predi¸cão

unit´aria e 0_E

N ´e a STEQM, 0EN = min{P e2t}.

Conforme se demonstrou, apesar do pulso s´ısmico não ser conhecido,pode-se obter o filtro inverso de WL, partindo-se de uma estimativa de sua FAC e resolvendo-se as equa¸cões (1.7). Chama aten¸cão, porém, o fato de que pulsos distintos possam ter uma mesma FAC. Aos dois pulsos da se¸cão anterior, com mesma FAC, outros dois podem ser acrescentados,

1_p t = {2, 1} ∗ {2, 3} = {4, 8, 3} , 2_p t = {1, 2} ∗ {2, 3} = {2, 7, 6} , 3_p t = {2, 1} ∗ {3, 2} = {6, 7, 2} , 4_p t = {1, 2} ∗ {3, 2} = {3, 8, 4} .

Os quatro pulsos formados pela convolu¸cão dos dois dipolos, reversos ou não, possuem mesma FAC. Esta é uma propriedade geral

(\citeN{ROBINSON1980}),

que permite a obten¸c˜ao de 2M _{pulsos de M +1 elementos,}j_p

t= {jp0, , jp1, . . . , jpM},

e mesma FAC, gerados a partir da convolu¸c˜ao dos M dipolos {ja0, ja1}, j =

(29)

J´a que a FAC ´e a mesma, para o conjunto de 2M _{pulsos, e apenas o filtro}

inverso de WL é obtido, como solu¸cão da equa¸cão (1.7), então, de qual pulso o filtro de WL é o filtro inverso?

Resolvendo-se as equa¸c˜oes (1.7) para um filtro de “infinito” n´umero de co-eficientes e convolvendo-o com os pulsos j_p

t, j = 1, 2, 3, e 4, obt´em-se uma

aproxima¸c˜ao do impulso apenas quando o filtro ´e convolvido com4pt,

˜

ht∗ 4pt = ˜ht∗ {2, 1} ∗ {3, 2} ≈ δt .

Este também é um resultado geral, ou seja, o filtro ˜ht, obtido como solu¸cão

da equa¸cão (1.7), será sempre uma aproxima¸cão do inverso do pulso, formado pela convolu¸cão de dipolos {j_a

0, ja1}, com o primeiro coeficiente maior que

o segundo. Este tipo particular de pulso é denominado pulso de fase m´ınima. O pulso assim formado possui a energia mais próxima e concentrada no seu in´ıcio [?]. Também, neste caso, a raiz, zj, do binômio Pj(Z) = ja0 + j_a

1Z, associado ao dipolo, {ja0, ja1}, possui amplitude maior que 1, |Zj| =

|j_a

0/ja1| > 1. Consequentemente, todas as raizes do polinˆomio associado

ao pulso terão amplitude maior que a unidade, ou seja, no plano complexo estarão representadas fora do c´ırculo de raio unitário.

1.4 Estimativa da FAC do pulso

Os coeficientes da FAC do pulso, necessários à obten¸cão do filtro inverso, podem ser estimados a partir do tra¸co s´ısmico. Conforme pode ser facil-mente verificado, os coeficientes da FAC podem ser obtidos convolvendo-se o sinal com ele próprio revertido para tempos negativos. Utilizando o modelo convolucional do tra¸co s´ısmico sem ru´ıdo, podemos calcular a FAC do tra¸co, Rx(t), como segue. Rx(t) = xt∗ x−t = (pt∗ et) ∗ (p−t ∗ e−t) = (pt∗ p−t) ∗ (et∗ e−t) = Rp(t) ∗ Re(t) (1.9)

A equa¸cão (1.9) mostra que a FAC do tra¸co é obtida como resultado da convolu¸cão da FAC do pulso, Rp(t) e a FAC da refletividade. Observando-se

a equa¸c˜ao acima podemos afirmar que se: Re(t) =

0 t 6= 0 σ2

(30)

1.5 O pulso deconvolvido com o filtro de WL 15 as FACs de xt e de pt ser˜ao iguais a menos de um fator de escala,

Rp(t) = σ−1e Rx(t).

A fun¸cão refletividade que obedece a propriedade acima é dita ser aleatória, ou branca, referindo-se ao fato de possuir o espectro de amplitude com todas as freqüências, análogo ao da luz branca.

Sob a hipótese que a fun¸cão refletividade é aleatória, o filtro inverso pode ser calculado utilizando-se os coeficientes da FAC estimados a partir do tra¸co s´ısmico, uma vez que o escalonamento dos coeficientes da FAC não afeta a solu¸cão das equa¸cões (1.7). O método de deconvolu¸cão do pulso s´ısmico é usualmente aplicado utilizando-se pois das seguintes premissas:

• o pulso s´ısmico é invariante, • a razão sinal/ru´ıdo é alta,

• o pulso s´ısmico é de fase m´ınima, e a • fun¸cão refletividade é aleatória,

1.5 O pulso deconvolvido com o filtro de WL

A propriedade do filtro de WL ser o inverso de um pulso de fase m´ınima ´e demonstrada a seguir:

Deixe ˜pt representar o sinal de fase mista dado por,

˜

pt= Kat∗ ¯bt = Kpt (1.10)

onde, K é um fator de escala que decorre da normaliza¸cão das componentes causal (a0 = 1) e não causal (b0 = 1), conforme representadas a seguir,

at= { 0 . . . 0 1 a1 . . . aM −α } componente causal de fase m´ınima ¯_b_t_{= {} _b_α _{. . .} _b₁ ₁ ₀ _{. . .} ₀ _} _{componente n˜}_{ao causal de fase m´}_axima pt= { p−α . . . p−1 p0 p1 . . . pM −α } pulso de fase mista n˜ao causal

↑ t = 0

(31)

A FAC do sinal pt pode ser representada como segue, R ˜p(t) = K2Rp(t) = K2(pt∗ ¯pt) = K2_(a t∗ ¯bt) ∗ (¯at∗ bt) = K2_(a t∗ bt) ∗ (¯at∗ ¯bt) = K2(0pt∗ 0p¯t) = K2 0_{Rp(t) ,} (1.11) onde, 0_p

t = at ∗ bt = {1, a1, . . . , aM} ´e o sinal causal e de fase m´ınima

(p0 = 1). Nota-se na equa¸c˜ao (1.11) que as FACs dos sinais de fase mista e

de fase m´ınima, pt e 0pt, respectivamente, s˜ao iguais,

Rp(t) = 0Rp(t) . (1.12)

A multiplica¸c˜ao do vetor 0cN = ( 1 0c1, . . . 0cN) T

pelas linhas da ma-triz representada na equa¸c˜ao (1.7), juntamente com a estrutura bandeada co-diagonal, pode ser representada na forma de convolu¸c˜ao do filtro com os coeficientes da FAC no intervalo 0 ≤ t ≤ N ,

R ˜p(t) ∗ 0ct= gt= 0 , 0 < t ≤ N . (1.13)

Deixando-se N → ∞ na equa¸cão (1.7) e considerando-se a equa¸cão (1.11) obtém-se,

K2 0pt∗ 0p¯t∗ 0ct = K2 0p¯t= gt

= 0 , t > 0

6= 0 , t ≤ 0 . (1.14)

Considerando-se que0_p_¯

t = 0, para t > 0, e gt= 0, para t > 0, pode

concluir-se que,

0_c

t∗ 0pt= δt, (1.15)

ou seja, quando N → ∞ o filtro de WL aproxima-se do inverso do pulso de fase m´ınima,

0_c

t= 0p−1t . (1.16)

1.6 Obten¸

c˜

ao do pulso de fase m´ınima

Conforme demonstrou-se na se¸cão anterior, o filtro inverso de WL inverte um pulso de fase m´ınima. No apêndice F demonstra-se que tal filtro, é sempre

(32)

1.6 Obten¸cão do pulso de fase m´ınima 17 de fase m´ınima, para qualquer número de coeficientes. Significa dizer que to-das as ra´ızes do polinômio 0_{C(Z) possuem amplitude maior que a unidade,}

|Zj| > 1 , j = 1, . . . , N , ou seja, no plano complexo todas as ra´ızes est˜ao

lo-calizadas fora do c´ırculo de raio unitário. Uma conseqüência importante dessa propriedade diz respeito à estabilidade numérica dos métodos de obten¸cão do pulso 0pt. Seus coeficientes podem ser calculados diretamente através da

divisão polinomial 0P (Z) = 1/0C(Z) de forma estável, resolvendo-se com retrosubstitui¸cão o sistema triangular seguinte,

       1 0 0 . . . 0 0_c 1 1 0 . .. ... 0_c 2 0c1 1 . .. 0 .. . . .. . .. . .. 0 0_c ∞ . . . 0c2 0c1 1              1 0_p 1 .. . .. . 0_p ∞       =       1 0 .. . .. . 0       . (1.17)

O fator de escala K na equa¸c˜ao (1.10) pode ser estimado atrav´es da FAC do pulso deconvolvido, Re(t) = R ˜p(t) ∗ 0_Rc(t) = K2Rp(t) ∗ 0Rc(t) = K2₍0_p t∗ 0p¯t) ∗ (0ct∗ 0¯ct) = K2₍0_p t∗ 0ct) ∗ (0p¯t∗ 0¯ct) = K2δt∗ ¯δt . (1.18) Portanto, Re(t) = K 2 _{, t = 0} 0 , t 6= 0 De onde se conclui que,

K = ±Re(0)1/2 = ±nmin{Xe2_t}o1/2 = ±{0EN}1/2. (1.19)

e o pulso estimado resulta igual a, ˜

pt= K0pt= ±

n

0

E_N1/2o 0pt. (1.20)

O sinal ± na equa¸c˜ao acima indica que, a depender do sinal escolhido, o pulso estimado pode apresentar polaridade oposta ao pulso original, do qual se calculou a FAC.

Outro procedimento simples, para se obter o pulso de fase m´ınima, é dado pela convolu¸cão do filtro de WL reverso, 0c¯t, com a FAC que lhe dá origem,

(33)

(i) Resolvem-se as equa¸c˜oes (1.7) para uma ordem N , obtendo-se,

0_c

t= {1, 0c1, . . . ,0cN}.

(ii) Com os N coeficientes do filtro estende-se a FAC, ˜rN +1 → ˜r∞,

utilizando-se a express˜ao, ˜ rN +k = − N X j=1 rN +K−j0cj , k = 1, . . . , ∞ ,

de modo que a solu¸cão das equa¸cões (1.7), para a ordem Ñ > N restitua o filtro de WL com apenas N + 1 coeficientes não nulos [?],

0_c

t= {1, 0c1, . . . , 0cN, 0, . . . 0∞}.

(iii) Convolve-se o filtro de WL reverso com a FAC estendida e normalizada,

0_¯_c t∗ ( R ˜p(t) 0_E1/2 N ) = ±0E_N1/2 0¯ct∗ 0pt∗ 0p¯t = ± n 0_E1/2 N o 0_p t= ± ˜pt

Dois outros métodos para obten¸cão do pulso de fase m´ınima estão descritos na literatura e são conhecidos como o método de Levinson repetido (double Levinson) [?] e o método de Kolmogorov [?].

(34)

Cap´ıtulo 2

Filtros inversos atrav´

es das

equa¸

c˜

oes estendidas de

Yule-Walker

No cap´ıtulo anterior foi demonstrado que, partindo-se da FAC de um pulso desconhecido e, resolvendo-se o sistema de equa¸cões de Yule-Walker, equa¸cão (1.7), obtém-se o filtro inverso de fase m´ınima de WL. Demonstrou-se ainda que o pulso deconvolvido pelo filtro de WL também é de fase m´ınima, não sendo poss´ıvel, portanto, obterem-se através do método de WL, filtros in-versos para deconvolver pulsos de fase mista. A questão que naturalmente emerge é: Partindo-se dos coeficientes da FAC do pulso, será poss´ıvel a ob-ten¸cão de filtros para inverter pulsos de fase mista?

Uma solu¸cão para esse problema pode ser encontrada em [?]. O método proposto utiliza a solu¸cão de sistemas de equa¸cões denominadas equa¸cões estendidas de Yule-Walker, EYW, cuja matriz dos coeficientes possui a es-trutura bandeada porém não sendo porém simétrica. Da mesma forma que as equa¸cões de Yule-Walker, essas equa¸cões são formadas a partir dos coe-ficientes da FAC do pulso que se deseja deconvolver. O método de [?] está reapresentado a seguir.

2.1 Equa¸

c˜

oes estendidas de Yule-Walker

Conhecendo-se os coeficientes da FAC do pulso que se deseja deconvolver, {0∞, . . . , 0, r−M, . . . , r−1, r0, r1, . . . , rM, 0, . . . 0∞} ,

(35)

pode-se representar o sistema de equa¸c˜oes EYW na forma,      rα rα−1 . . . rα−N rα+1 rα . .. ... .. . . .. . .. rα−1 rα+N . . . rα+1 rα          1 α_c 1 .. . α_c N     =     α_E N 0 .. . 0     , α < M . (2.1)

Nota-se que a matriz dos coeficientes é não simétrica e possui bandeamentos co-diagonais. O sobrescrito α, utilizado em α_c

t e αEN, designa a solu¸c˜ao

obtida com o coeficiente rα na diagonal principal da matriz. A solu¸c˜ao do

sistema (2.1) pode ser obtida através de algoritmos recursivos tipo-Levinson ([?], [?]). Apresenta-se no apêndice H um algoritmo que resolve o sistema de equa¸cões (2.1) recursivamente aumentando de um em um o número de coeficientes do vetor α_c

t. No apˆendice I apresenta-se outro algoritmo que,

para uma ordem N do sistema, a solu¸c˜aoα_c

t´e calculada a partir do filtro de

WL, tamb´em de ordem N .

2.2 Fatora¸

c˜

ao do pulso de fase m´ınima

Deixando-se N → ∞ e considerando-se a estrutura bandeada do sistema, pode se escrever,

K2 αct∗ R˜p(t) = K2 αct∗ 0pt∗ 0p¯t= gt , gt =

= 0 , t > α

6= 0 , t ≤ α . (2.2) Uma vez que0_p_¯

t = 0, para t > 0, e gt= 0, para t > α, ent˜aoαctprecisa

neces-sariamente colapsar M − α termos do pulso de fase m´ınima, comprimindo-o,

α_c

t∗ 0pt = αbt= 0 , t > α , (2.3)

onde,α_b

t= {1, αb1, . . . ,αbα}, representa a por¸c˜ao restante do pulso de fase

m´ınima.

Ou seja, o filtro α_c

t deconvolve uma por¸c˜ao do pulso de fase m´ınima,

re-sultando o sinal causal com α + 1 termos n˜ao nulos. Uma vez que at ´e de

fase m´ınima,αbttamb´em ser´a necessariamente de fase m´ınima. Desta forma

tem-se,

K2 αct∗ 0pt∗ 0p¯t= K2 αbt∗ 0p¯t= gt = 0 , t > α . (2.4)

Nota-se que deixando α = 0 e N → ∞ a equa¸cão acima reduz-se à equa¸cão (1.14).

(36)

2.3 Obten¸c˜ao do filtro inverso e pulso de fase mista 21 Deixando-se, α_a

t = {1, αa1, . . . , αaM −α} representar a por¸c˜ao que ´e

remo-vida (deconvolremo-vida) do pulso de fase m´ınima, pode-se escrever,

α_a

t ∗ αbt = 0pt. (2.5)

Utilizando-se a decomposi¸c˜ao do pulso de fase m´ınima, acima representada, na equa¸c˜ao (2.3), e deixando-se N → ∞ conclui-se que,

α_c

t∗ αat = δt (2.6)

que representa uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.15). Equivalentemente,

α

ct= αa−1t (2.7)

Utilizando-se transformada Z e as componentes αat e αbt do filtro de WL

pode-se escrever a equa¸cão de decomposi¸cão do pulso de fase m´ınima como fun¸cão do parâmetro α,

0_{P (Z) =} α_A(Z)α_B(Z) _(2.8) onde, α_{A(Z) = 1 +} α_a 1Z + . . . + αaM −αZM −α α_{B(Z) = 1 +} α_b 1Z + . . . + αbαZα

Uma vez que0_{P (Z) ´}_{e de fase m´ınima, tamb´}_em α_{A(Z) e} α_{B(Z) ser˜}_{ao de fase}

m´ınima.

2.3 Obten¸

c˜

ao do filtro inverso e pulso de fase

mista

Deixando α_a

t e αbt representarem as componentes causal e n˜ao causal,

res-pectivamente, de um pulso de fase mista, e fazendo uso da transformada Z, pode-se escrever o polinˆomio de fase mista, causal,

α

P (Z) = αA(Z)αB(Z−1)Zα (2.9)

onde,

α_B(Z−1_{) = 1 +} α_b

1Z−1+ . . . + αbαZ−α.

Nota-se no polinˆomioα_{P (Z) que as α ra´ızes de}α_{B(Z) foram revertidas para}

o interior do c´ırculo unit´ario. O filtro inverso de fase mista associado aαP (Z) pode ser obtido invertendo-se a equa¸c˜ao (2.9),

α_{H(Z) =} 1 α_{P (Z)} = 1 α_A(Z) 1 α_B(Z−1₎Z −α . (2.10)

(37)

Representando-se a equa¸c˜ao (2.7) em termos de transformada Z obt´em-se, 1

α_A(Z) =

α_{C(Z) .} _(2.11)

Utilizando-se a equa¸c˜ao acima pode-se reescrever a a equa¸c˜ao (2.10),

α_{H(Z) =} αC(Z) α_B(Z−1₎Z

−α

(2.12) Da mesma forma obt´em-se para a equa¸c˜ao (2.3),

α_C(Z)0_{P (Z) =} α_B(Z). _(2.13)

Utilizando-se a equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao (2.12) e considerando-se que 1/0P (Z) =

0_{C(Z) pode-se reescrever a express˜}_{ao do filtro inverso de fase mista,}

α_{H(Z) =} αB(Z) α_B(Z−1_)Zα

0_{C(Z) .} _(2.14)

Nota-se que a fra¸c˜ao formada pelo polinˆomio α_{B(Z) possui espectro de}

am-plitude igual a 1, sendo respons´avel apenas pela mudan¸ca de fase no filtro de fase m´ınima.

O polinômio associado ao pulso de fase mista, equa¸cão (2.9) também pode ser representado na forma,

α_{P (Z) =} 1 α_H(Z) =

α_B(Z−1_)Z−α α_B(Z)

0_{P (Z) .} _(2.15)

Analogamente, nota-se, que tamb´em os pulsos de fase mista e de fase m´ınima possuem iguais espectros de amplitude. α_{B(Z) no denominador da fra¸c˜}_{ao na}

equa¸c˜ao (2.15) cancela as α ra´ızes do pulso de fase m´ınima, enquanto que

α_B(Z−1_{) no numerador as reflete para dentro do c´ırculo unit´}_ario.

´

E oportuno observar que o uso de qualquer polinômio B(Z) na equa¸cão (2.14) mudaria apenas a fase do filtro de WL ou, a fase do pulso de fase m´ınima na equa¸cão (2.15). Entretanto, apenas o polinômio α_{B(Z), cujas}

ra´ızes aproximam-se das ra´ızes do pulso de fase m´ınima, poder´a gerar o filtro inverso do pulso de fase mista.

Para ilustrar a propriedade b´asica do polinˆomio α_{C(Z) que permite fatorar}

o pulso de fase m´ınima e obter α_{B(Z), utilizou-se o pulso cujo polinˆ}_omio

associado possui 4 ra´ızes complexas com amplitudes, Aj, e fases, φj, dadas

por,

(38)

2.4 Obten¸c˜ao do fator de escala K 23 e 4 ra´ızes reais,

{Aj} = {1, 111 ; 1, 428 ; 1, 3 ; −1.5} .

Resolvendo-se as EYW representadas pela equa¸cão (2.1), para α = 1, . . . , 8, calculou-se αC(Z), e com a equa¸cão (2.13) foram obtidos os polinômios

α_{B(Z). As ra´ızes de}α_{B(Z) foram calculadas e est˜}_{ao representadas na Tabela}

2.1. Observa-se que, conforme demonstrado te´oricamente, que as ra´ızes de

α_{B(Z) representam uma boa aproxima¸c˜}_{ao das ra´ızes verdadeiras utilizadas}

no exemplo.

RAIZES ESTIMADAS DO PULSO DE FASE MINIMA RAIZES

α=1 α=2 α=3 α=4 α=5 α=6 α=7 α=8 VERDAD. 1,197 1,053 1,111 1,111 1,111 1,111 1,111 1,111 1,111 -1,441 1,100±130◦1,100±130◦1,100±130◦ 1,100±130◦1,100±130◦ 1,100±130◦ 1,100± 130◦ 1,792 1,250±5,31◦1,251±5,4◦ 1,248±5,08◦ 1,248±5,02◦1,25± 5◦ 1,463 1,313± 29,2◦1,337±30◦ 1,333 ± 30◦ 1,479 1,428 1,3 -1,5 1,7 ± 40◦

Tabela 2.1: Ra´ızes estimadas a partir do polinomio αB(Z) para diferentes valores de α.

2.4 Obten¸

c˜

ao do fator de escala K

O fator de escala K na equa¸cão (1.10) pode ser calculado com procedimento análogo àquele apresentado, na se¸cão 1.5, para o pulso de fase m´ınima. Utilizando-se transformada Z, e considerando-se a equa¸cão (1.12), pode-se representar a convolu¸cão da FAC do pulso com a FAC do filtro, αRh(t), como segue, Re(Z) = K2Rp(Z)αRh(Z) = K2_Rp(Z)α_H(Z)α_H(Z−1₎ = K2_Rp(Z)0_C(Z)0_C(Z−1_{) = K}2_Rp(Z)0_Rc(Z) = 0 , Z 6= 0 K2 _{, Z = 0} , Rp(Z)0Rc(Z) = 1 (2.16)

De onde se obt´em,

K = ±{Re(0)}1/2.

A depender do sinal escolhido para K, a polaridade do pulso de fase mista estimado pode ser oposta `aquela do pulso utilizado para se estimar a FAC.

(39)

2.5 Algoritmo para obten¸

c˜

ao de um filtro

in-verso de fase mista

O algoritmo para gera¸cão de um pulso e filtro inverso de fase mista, para um dado valor de α, pode ser implementado no dom´ınio do tempo ou da freqüência. A seguir estão apresentados os passos do algoritmo juntamente com as equa¸cões correspondentes.

1. Obten¸c˜ao do filtro de WL:

N

X

j=0

Rp(τ − j)0cj = 0 , τ = 1, . . . , N , 0c0 = 1

2. Obten¸c˜ao do pulso de fase m´ınima:

0_{P (Z) =} 1 0_C(Z) ←→ 0_c−1 t = 0_p t

3. Obten¸c˜ao da componente causal do filtro inverso:

N

X

j=0

Rp(τ − j) αcj = 0 , τ = α + 1, . . . , α + N

4. Obten¸c˜ao da componente causal do pulso:

α_{A(Z) =} 1 α_C(Z) ←→ α_c−1 t = α_a t

5. Obten¸c˜ao da componente n˜ao causal do pulso:

α_{B(Z) =} α_C(Z)0_{P (Z)} _←→ α_c

t∗ 0pt= αbt

6. Obten¸c˜ao do pulso de fase mista causal com α ra´ızes dentro c´ırculo unit´ario:

α_{P (Z) =} α_A(Z)α_B(Z−1

)Zα ←→ α_a

t∗ α¯bt∗ δt−α = αpt

7. Obten¸c˜ao da componente n˜ao causal do filtro:

α

D(Z) = 1

B(Z) ←→

α

dt= αb−1t

8. Obten¸c˜ao do filtro de fase mista:

α H(Z) = α_B(Z) α_B(Z−1_)Zα 0 C(Z) = 1 A(Z) 1 B(Z−1₎Z −α_←→ α ct∗ αd¯t∗ δt+α= αht

Para ilustrar o método de decomposi¸cão e inversão do pulso utilizou-se um pulso de fase m´ınima, estimado a partir de dados s´ısmicos reais. Resolvendo-se as equa¸cões EYW para α = 10 obteve-se o polinômio αB(Z). Suas ra´ızes foram calculadas e estão representadas na tabela 2.2.

(40)

2.5 Algoritmo para obten¸c˜ao de um filtro inverso de fase mista 25 RAIZES DE P(Z), |zj| < 1 Reais Complexas Aj φ Aj φ 1/1,451 0◦ 1/1,016 ± 160,220◦ 1/1,527 0◦ 1/1,337 ± 33,653◦ 1/1,350 ± 103,160◦ 1/1,608 ± 138,095◦

Tabela 2.2: Ra´ızes do polinˆomio α_{B(Z), α = 10, utilizadas na gera¸c˜}_{ao do pulso de}

fase mista.

A figura 2.1 mostra os resultados obtidos de acordo com o algoritmo acima apresentado. O pulso de fase m´ınima,0_p

t, est´a representado em A; a

compo-nente causal, αat do pulso de fase mista em B, e a componente n˜ao causal, α_¯_b

t, em C; o pulso de fase mista,αpt= αat∗ α¯bt, em D; a componente causal

do filtro de fase mista, α_c

t em E, e a componente n˜ao causal, αd¯t em F; o

filtro inverso de fase mista, αht = αct∗ αdt em G, e o pulso de fase mista

deconvolvido, α_p

t∗ αht = δt, em H.

As principais conclus˜oes deste cap´ıtulo s˜ao:

• A solu¸cão, αct, das equa¸cões EYW, tem a propriedade básica de

can-celar uma parte do pulso de fase m´ınima extraindo o polinˆomio α_B(Z)

cujas ra´ızes estimam as ra´ızes do pulso de fase m´ınima.

• Atrav´es das equa¸c˜oes (2.14) ou (2.12) pode-se obter um filtro de fase mista com espectro de amplitude igual ao do filtro de fase m´ınima de WL.

• O filtro de fase mista gerado inverte um pulso de fase mista com espec-tro de amplitude igual ao do pulso de fase m´ınima.

• O polinˆomio associado ao pulso de fase mista estimado, possui α ra´ızes dentro do c´ırculo unit´ario.

• Para coeficientes α = 1, . . . , M − 1 na diagonal da matriz das EYW, diferentes filtros inversos, e os correspondentes pulsos de fase mista, podem ser estimados

[?] e [?] utilizaram as equa¸cões (2.14) e (2.15), com diferentes valores de α, para estimar filtros e pulsos de fase mista e aplicá-los na deconvolu¸cão do

(41)

7.8 8.0 8.2 8.4 8.6

Tempo (s)

H

G

F

E

D

C

B

A

Figura 2.1: Decomposi¸c˜ao do pulso de fase m´ınima, obten¸c˜ao de um filtro e o correspondente pulso de fase mista. Pulso de fase m´ınima em A; componente

causal e n˜ao causal do pulso de fase mista em B e C; pulso de fase mista estimado

em D; componentes causal e n˜ao causal do filtro inverso de fase mista em E e F;

(42)

2.5 Algoritmo para obten¸cão de um filtro inverso de fase mista 27 pulso em dados s´ısmicos de reflexão. Nota-se, contudo, que o uso da equa¸cão (2.14) faz com que as α ra´ızes estimadas do pulso de fase m´ınima são, de uma ´

unica vez, revertidas para o interior do c´ırculo unitário. Embora os filtros inversos gerados, para diferentes valores de α, não possam, necessariamente, inverter um dado pulso de fase mista, a abordagem adotada pelos autores acima é de simples implementa¸cão e permite que se testem vários filtros de fase mista, suplantando a restri¸cão do método de deconvolu¸cão convencional que utiliza apenas um filtro, qual seja, o filtro inverso de fase m´ınima.

(43)

(44)

Cap´ıtulo 3

Obten¸

c˜

ao do filtro inverso

´

otimo atrav´

es do algoritmo

gen´

etico

Neste cap´ıtulo apresenta-se um algoritmo para obten¸c˜ao do filtro inverso ´

otimo, a partir de um conjunto de ra´ızes, do pulso de fase m´ınima, estimadas com base no método descrito no cap´ıtulo anterior. Este é, pois, um problema de otimiza¸cão que tem por objetivo determinar, a partir de α ra´ızes, zj, j =

1, . . . , α, estimadas do pulso s´ısmico, o subconjunto das β ra´ızes que, através da equa¸cão (2.14), gera o filtro de fase mista de melhor desempenho na deconvolu¸cão do pulso.

O pulso de fase m´ınima, associado a dados s´ısmicos de reflexão, possui dura¸cão infinita e a maior parte da sua energia está, a grosso modo, si-tuada no intervalo 0 ≤ t ≤ 200ms, ou seja, nas primeiras 50 amostras, considerando-se o intervalo de amostragem ∆t = 4ms. Para estimativa de suas ra´ızes, é necessário pois, resolver o sistema de equa¸cões EYW com o valor de α da ordem de algumas dezenas. Fatorando-se o pulso de fase m´ınima com a equa¸cão (2.13), obtém-se o polinômio α_{B(Z). Calculando-se suas ra´ızes,}

agrupando-as de forma sistemática em subconjuntos, e revertendo-as para o interior do c´ırculo unitário, pode-se formar polinômios menores, βBj(Z), e

obter-se um total de at´e 2β_{, β ≤ α, filtros de coeficientes reais. β = γ +ω ≤ α,}

onde γ representa o n´umero de pares de ra´ızes complexas e conjugadas e ω o n´umero de ra´ızes reais.

Deixando-se, por exemplo, α = 25 e admitindo-se que ocorram 10 pares de ra´ızes complexas conjugadas, (γ = 10), pode-se gerar 215 _{= 32.768 filtros}

inversos. A escolha, portanto, de um filtro ´otimo, a partir de um universo 29

(45)

de algumas dezenas de milhares de possibilidades, implica um custo com-putacional alto, uma vez que, para avalia¸cão do desempenho dos filtros, é necessário convolvê-lo com o sinal sob estudo. Portanto um método para avaliar o desempenho dos filtros e um procedimento computacional eficiente para selecionar o filtro ótimo, torna-se necessário.

3.1 Defini¸

c˜

ao da fun¸

c˜

ao objetivo

Para se avaliar a qualidade do resultado da deconvolu¸cão é preciso definir uma fun¸cão objetivo que quantifique o desempenho dos filtros. Utilizando-se a equa¸cão (2.14) pode-se representar um filtro de fase mista, formado por um conjunto arbitrário, {βj} = {Z1, . . . , Zβ}, das ra´ızes estimadas do pulso,

atrav´es da equa¸c˜ao,

β_{H(Z) =} βB(Z) β_B(Z−1_)Zβ 0_{C(Z) ,} _(3.1) onde, β_{B(Z) =} β Y j=1 1 − Z Zj = 1 + b1Z + . . . bβZβ

3.1.1 Norma L2

Qualquer defini¸cão que se fa¸ca da fun¸cão objetivo utilizará os elementos, β_e t,

da deconvolu¸c˜ao do pulso ou do tra¸co s´ısmico. Considerando-se o modelo convolucional do tra¸co s´ısmico sem ru´ıdo aditivo pode-se escrever,

β_e

t = βht∗ xt

= β_h

t∗ pt∗ et

(3.2) Contrariamente ao que se poderia supor `a primeira vista, a quantidade

Q(βh) =X βet

2

, (3.3)

não nos permite discriminar as diferen¸cas no sinal deconvolvido, que são oca-sionadas pelas diferen¸cas de fase dos filtros, conforme demonstrado a seguir: Utilizando-se transformada Z e considerando-se a equa¸cão (3.1) pode-se re-presentar a equa¸cão (3.2) na forma,

β_{E(Z) =} βB(Z) β_B(Z−1_)Zβ

(46)

3.1 Defini¸cão da fun¸cão objetivo 31 O polinômio associado à FAC do tra¸co deconvolvido é dado por,

β_{Re(Z) =} β_E(Z)β_E(Z−1₎

= 0_C(Z)0_C(Z−1_{)P (Z)P (Z}−1_)E(Z)E(Z−1₎

= 0Rc(Z)Rp(Z)Re(Z)

(3.5)

Conforme demonstrado na equa¸c˜ao (1.18), 0_{Rc(Z) Rp(Z) = 1 e a equa¸c˜}_ao

(3.5) resulta simplificada,

β_{Re(Z) = Re(Z) ,} _(3.6)

demonstrando que para qualquer filtro βht utilizado, as FACs do tra¸co

de-convolvido são iguais. Deixando-se Z = 0 na equa¸cão (3.6) obtém-se, K2 = βRe(0) = Re(0) = Q(βh) =X βet

2

. (3.7)

Uma vez que o filtro βht possue fase arbitr´aria fica demonstrado, atrav´es

da equa¸cão (3.7), que a norma L2 não é apropriada para definir a fun¸cão objetivo do problema proposto, uma vez que ela é insens´ıvel às diferen¸cas no sinal deconvolvido devido às diferen¸cas de fase dos filtros inversos utilizados.

3.1.2 Norma Lp

Alguns exemplos numéricos apresentados a seguir, reproduzidos de [?], ilus-tram o uso da norma Lp na deconvolu¸cão utilizando-se filtros de fase mista. Conforme demonstrado por [?] e [?], a norma Lp, (p > 2) é bastante apro-priada para quantificar as diferen¸cas na deconvolu¸cão, resultantes de filtros com diferentes caracter´ısticas de fase.

O polinˆomio associado ao sinal de fase mista, utilizado no exemplo, ´e dado a seguir:

P (Z) = (1 − 2Z)(1 − 3Z)(1 −1

4Z) . (3.8)

As 3 ra´ızes de P (Z) s˜ao: {Zj} = {1₂, 1₃, 4}. Combinando-as, para formar

o polinˆomio β_{B(Z), e utilizando-se a equa¸c˜}_{ao (3.1) obt´}_{em-se 2}3 _{= 8 filtros}

inversos. A figura 3.1.2 ilustra o conjunto dos 8 filtros inversos gerados, mostrando desde o filtro de fase m´ınima no topo da figura (nenhuma raiz no interior do c´ırculo unitário) até o filtro de fase máxima na base da figura (todas as ra´ızes no interior do c´ırculo unitário).

(47)

Figura 3.1: Conjunto de filtros inversos associados ao polinômio de ordem 3. Filtro de fase m´ınima em A e de fase máxima em H. Filtros com uma e duas ra´ızes no interior do c´ırculo unitário em B, C, D, E, e F.

(48)

3.1 Defini¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo 33

Figura 3.2: Resultados da convolu¸c˜ao do pulso de fase mista com os filtros inversos. O filtro representado em E colapsa o pulso a um impulso e possui maior valor de desempenho.

(49)

O resultado da deconvolu¸cão do pulso com cada um dos filtros está represen-tado na figura 3.1.2. A deconvolu¸cão com o filtro inverso verdadeiro colapsa o pulso a um impulso, conforme ilustrado em E.

Os valores calculados com a norma Lp, p = {2, 3, 4, 5, 10}, Φ(β, p) =nX |β_e

t|p

o1_p

estão graficamente representados na figura 3.1.2. Conforme demonstrado pela equa¸cão (3.7) observa-se que Q(β, 2) = 1. Nota-se também que para p > 2 o máximo valor de Φ(β, p) corresponde ao filtro inverso que confere o caráter mais impulsivo ao tra¸co deconvolvido.

O exemplo mostra que a norma Lp, p > 2 permite discriminar o desempenho do filtro inverso. Adota-se, portanto, a fun¸c˜ao objetivo definida em [?],

Φ(β, p) = P | β_e t|p 1_p {P |0_e t|p} 1 p , (3.9)

que representa uma medida de desempenho relativo do filtro, tomada com rela¸cão ao filtro inverso de WL. Nota-se que Φ(β, 2) = 1. Para ilustrar o uso da equa¸cão (3.9) aplicaram-se os filtros representados na figura 3.1.2 para deconvolver um tra¸co s´ısmico sintético, gerado com o pulso de fase mista re-presentado pela equa¸cão (3.8). A figura 3.1.2 mostra os tra¸cos deconvolvidos. Observa-se que a fun¸cão refletividade é perfeitamente restitu´ıda em E.

As curvas de desempenho dos filtros estão representadas na figura 3.1.2. O máximo de cada curva coincide com a deconvolu¸cão realizada com o filtro inverso exato. Nos demais exemplos numéricos apresentados neste trabalho utilizou-se a fun¸cão objetivo definida pela equa¸cão (3.9) com o valor de p = 5.

3.2 Algoritmo gen´

etico

As ra´ızes zj podem estar dentro, ou fora, do c´ırculo unit´ario. Esta condi¸c˜ao

faz o problema proposto, próprio para ser resolvido através do método de otimiza¸cão global conhecido como algoritmo genético, (AG).

(50)

3.2 Algoritmo gen´etico 35

Figura 3.3: Desempenho dos filtros inversos calculados para diferentes nor-mas.

(51)

Figura 3.4: Resultados da deconvolu¸c˜ao de um tra¸co s´ısmico sint´etico com os filtros inversos de fase mista.

(52)

3.2 Algoritmo gen´etico 37

Figura 3.5: Desempenho dos filtros inversos de fase mista calculado para diferentes normas na deconvolu¸c˜ao de um tra¸co s´ısmico sint´etico.

(53)

O AG é um método computacional de otimiza¸cão que trabalha renovando, de gera¸cão em gera¸cão, os modelos de uma popula¸cão, seguindo os mecanis-mos de reprodu¸cão e sobrevivência que governam a evolu¸cão dos sistemas biológicos.

Este método foi desenvolvido por [?], e sua apresenta¸cão detalhada pode ser encontrada em [?]. Na última década são inúmeras as aplica¸cões dos AGs a problemas geof´ısicos ([?], [?], [?], [?], [?], [?]). Básicamente as seguintes etapas são comuns aos diferentes tipos de algoritmos genéticos:

• Gera¸cão da popula¸cão inicial de modelos aleatórios, • Avalia¸cão do desempenho de cada modelo,

• Gera¸cão da nova popula¸cão com reprodu¸cão dos modelos de melhor desempenho.

3.2.1 Gera¸

c˜

ao da popula¸

c˜

ao inicial

No problema de otimiza¸cão proposto, os modelos são representados pelos filtros inversos βH(Z), calculados com a equa¸cão (3.1). Conforme se pode notar nessa equa¸cão, a distin¸cão entre os modelos depende apenas do po-linômio β_{B(Z) e do termo Z}β_{. Com as ra´ızes reais, {α}

r,j}, j = 1, . . . , ω e

os pares de ra´ızes complexas conjugadas, {αc,j}, j = 1, . . . , γ pode-se obter

os polinˆomios de primeiro e segundo graus,

ω_B j(Z) = 1 + _α1_r,jZ , j = 1, . . . , ω , γ_B j(Z) = (1 +_α1 c,jZ)(1 + 1 α∗_c,jZ) , j = 1, . . . , γ . (3.10)

Cada polinˆomio,ω_B

j(Z) eγBj(Z), pode ser associado a um bit de uma cadeia

bin´aria, Si, de bits aleat´orios, conforme mostrado a seguir,

ω_B 1(Z) . . . ωBω(Z) γB1(Z) . . . γBγ(Z) S1 0 . . . 1 1 . . . 0 S2 1 . . . 0 1 . . . 0 .. . ... . . . ... ... . . . ... Sβ 1 . . . 1 0 . . . 1

(54)

3.2 Algoritmo genético 39 Efetuando-se o produtório dos polinômios associados aos bits não nulos, pode-se gerar os modelos da popula¸cão,

β_B i(Z) = ω Y j=1 si,j6=0 ω_B j(Z) γ Y j=1 si,j6=0 γ_B j(Z) , i = 1, . . . , Nβ (3.11)

3.2.2 Gera¸

c˜

ao da nova popula¸

c˜

ao

Acasalamento

Com o objetivo de acelerar o processo de convergência dos AGs, várias es-tratégias elitistas podem ser utilizadas [?]. Procurando-se aumentar a varia-bilidade genética da popula¸cão e a representatividade dos modelos de melhor desempenho, adotou-se, como regra para gera¸cão dos novos modelos, aca-salar apenas modelos distintos sorteados aleatoriamente dentre aqueles de melhor desempenho. A exclusão, do acasalamento, de modelos iguais per-mite que se explore de forma mais extensiva o espa¸co dos modelos e previne a homogeneiza¸cão prematura da popula¸cão. Para acelerar a convergência do AG pode-se também selecionar para o acasalamento apenas um percentual, q, dos Nd modelos melhores e distintos,

Nb = qNd , 0 < q ≤ 1 , (3.12)

Se q = 1, todos os N d modelos distintos estarão dispon´ıveis para participarem no processo de acasalamento. Se q = 0, 2, por exemplo, apenas os 20% melhores contribuirão na gera¸cão dos novos modelos.

O procedimento descrito acima ´e equivalente ao adotado no AG tradicional [?], no qual se atribui maior probabilidade de sele¸c˜ao, aos modelos de melhor desempenho, fazendo com que sejam mais frequentemente sorteados para o acasalamento.

Cruzamento

A gera¸cão dos novos modelos é feita de forma análoga ao fenomeno biológico de reprodu¸cão de indiv´ıduos de uma dada espécie, no qual, através do cru-zamento cromossômico se transferem as caracter´ısticas genéticas aos descen-dentes.

As cadeias binárias, dos pares de modelos sorteados para o acasalamento, são emparelhadas e através da permuta de uma parte (cruzamento simples), ou de

(55)

mais partes das mesmas (cruzamento múltiplo), um ou mais novos modelos podem ser gerados. No AG proposto, optou-se pelo cruzamento simples e pela forma¸cão de apenas um novo modelo em cada cruzamento. O ´ındice do bit, a partir do qual a cadeia binária é trocada, é sorteado aleatoriamente. O mecanismo de cruzamento está representado a seguir:

p_S j 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 p_S k 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 ↑ f_S j 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

onde, {pSj, pSk} representa o par das cadeias bin´arias dos modelos

acasala-dos. f_S

j representa a cadeia bin´aria do novo modelo, criada a partir de pSj

com a troca dos bits `a direita do bit sorteado (indicado pela seta).

Acasalando-se Nβpares de modelos, sorteados entre os Nbmelhores,

efetuando-se o cruzamento e utilizando-efetuando-se a equa¸c˜ao (3.11), obt´em-se Nβ novos modelos.

Renova¸c˜ao

Nesta etapa do processo, os modelos recém-gerados são e preservados, ou substitu´ıdos, por modelos da popula¸cão anterior, possibilitando a sele¸cão de Nd modelos distintos, dispon´ıveis para a gera¸cão dos novos modelos da

popula¸c˜ao subsequente.

Dispondo-se de Nβ modelos da popula¸c˜ao anterior e Nβ modelos rec´

em-criados, comp˜oe-se o subconjunto ordenado de Ndmodelos distintos

seguindo-se os passos:

• Identificam-se e selecionam-se os Nd modelos distintos.

• Avalia-se, através da fun¸cão objetivo, o desempenho dos modelos dis-tintos recém-criados;

• Organiza-se em ordem decrescente de desempenho o conjunto dos Nd

modelos distintos.

Um procedimento simples para sele¸c˜ao dos modelos distintos, adotado no presente trabalho, consistiu em se comparar o n´umero decimal associado `

as cadeias binárias de cada modelo, excluindo-se os modelos de igual re-presenta¸cão decimal. Desta forma pode-se evitar a avalia¸cão dos modelos repetidos, o que resulta em redu¸cão do custo computacional do AG.