PREDITORDESMITHFILTRADOPARAATENUAÇÃODERUÍDONOCONTROLEDEUMROBÔ OMNIDIRECIONAL
JESSIVALDO SANTOS,HUMBERTO X.ARAÚJO,TITO L.M.SANTOS,ANDRÉ G.S.CONCEIÇÃO
Laboratório de Robótica-LaR, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia Rua Aristides Novis, nº 2, Federação. CEP 40210-630 – Salvador-BA - Brasil
E-mails: jessivaldojr@hotmail.com,humberto.araujo@ufba.br,tlsantos@ufba.br,
andre.gustavo@ufba.br
Abstract Several important control issues as nonlinearities, measurement noise, constraints and limited computational re-sources appears in mobile robots control problems. The remote control of omnidirectional mobile robots generates an undesired communication delay, which increases control design complexity. In this work, the filtered Smith predictor is analyzed in order to attenuate measurement noise by considering a nonlinear model of an omnidirectional mobile robot, controlled with a LQR based state-feedback control law. The three-wheeled robot mobile model is obtained from experimental data. Simulation results are presented in order to evaluate the proposed LQR/filtered Smith predictor strategy in the presence of communication delay and measurement noise.
Keywords Omni-Directional Robot, Tracking Control, Filtered Smith Predictor, LQR.
Resumo O projeto de um sistema de controle aplicado à robótica móvel apresenta desafios importantes como restrições, não-linearidades, ruído de medição e recursos computacionais limitados. Para robôs omnidirecionais controlados remotamente, o atraso de comunicação dificulta o projeto do controlador. No presente trabalho, avalia-se a utilização do preditor de Smith filtra-do com vistas a atenuar o ruífiltra-do de medição de um modelo não-linear de um robô omnidirecional controlafiltra-do a partir de uma rea-limentação de estado do tipo LQR. O modelo foi obtido a partir de experimentos feitos em um robô com três rodas. Resultados de simulação são apresentados para analisar o comportamento do preditor de Smith filtrado e do controlador LQR na presença de atraso de comunicação e ruído de medição.
Palavras-chave Robô Omnidirecional, Controle de Trajetória, Preditor de Smith Filtrado, LQR.
1 Introdução
O desenvolvimento da robótica móvel vem ampliando o universo de aplicações dos robôs ominidirecionais. Este tipo de robô se destaca pela capacidade de se mover em qualquer direção, sem a necessidade de reorientação (Li e Zell, 2007). Do ponto de vista de controle, estes robôs apresentam desafios interessantes na medida em que, em geral: i) possuem capacidade computacional limitada, ii) apresentam restrições significativas nos atuadores, iii) possuem não-linearidades inerentes e iv) o sistema de controle é afetado por níveis consideráveis de ruídos de medição.
Uma das alternativas para superar a limitação computacional se dá através da utilização de uma unidade de processamento remota. Neste tipo de aplicação, surge um atraso de comunicação que afeta o desempenho de controle em malha fechada (Araújo
et al., 2011). Para superar este tipo de problema,
pode-se utilizar estruturas de compensação de atraso a exemplo do preditor de Smith filtrado, avaliado em (Normey-Rico et al., 1999), ou do preditor ótimo, também conhecido como preditor analítico, aplicado em (Araújo et al., 2011). Sabe-se que o preditor ótimo, utilizado implicitamente em estratégias de controle preditivo, minimiza o erro de predição no caso nominal (sem incertezas), mas não pode ser aplicado para melhorar requisitos de malha como robustez e atenuação de ruído (Santos e Normey-Rico, 2012). Desta forma, o preditor de Smith filtrado se torna uma opção interessante no contexto
da robótica móvel para sistemas nos quais a lei de controle é calculada remotamente.
Em (Normey-Rico et al., 1999), o preditor de Smith filtrado foi testado num robô ominidirecional com o objetivo de melhorar o comportamento robusto na presença de incertezas paramétricas, mas a atenuação de ruído não foi tratada. Recentemente, o problema da atenuação de ruído foi avaliado no contexto de uma estratégia de controle preditivo para robôs ominidirecionais (Alcantara, Araújo e Santos, 2014). Para tanto utilizou-se uma técnica de controle preditivo baseado em modelo, necessitando resolver um problema de otimização convexa com restrição a cada período de amostragem. No entanto, devido ao custo computacional, faz-se necessário utilizar horizontes de controle e predição curtos.
Com o presente trabalho, pretende-se avaliar a utilização do preditor de Smith filtrado em conjunto com uma realimentação de estados baseada no Regu-lador Linear Quadrático (do inglês LQR). O principal interesse é analisar o comportamento em malha fe-chada na presença de ruídos de medição, utilizando-se o modelo do robô ominidirecional deutilizando-senvolvido em (Conceição et al, 2015). Este modelo tem se mostrado mais adequado para descrever o compor-tamento de um robô ominidirecional se comparado aos utilizados em (Araújo et al., 2011) e (Alcantara, Araújo e Santos, 2014). Desta forma, o efeito do preditor de Smith filtrado com um controlador LQR será analisado na presença de ruído, sob efeito das não-linearidades do novo modelo, utilizando uma lei
de controle simplificada, definida a partir de uma realimentação de estados usual.
Na Seção 2, o robô omnidirecional utilizado é apresentado, bem como sua modelagem. Na Seção 3, descrevem-se o regulador linear quadrático LQR (Linear Quadratic Regulator) e as estratégias de compensação de atraso conhecidas como o preditor ótimo e preditor de Smith filtrado. Na Seção 4, os resultados de simulação são apresentados, compa-rando-se as respostas obtidas a partir de cada predi-tor, e as conclusões são discutidas na Seção 5.
2 Robô omnidirecional
Para realizar a simulação, foi utilizado o modelo não linear de um robô móvel omnidirecional, com três rodas, proposto em (Conceição et al., 2015). Os termos não lineares do modelo estão relacionados com as forças de atritos. Serão considerados o atrito de Coulomb, o Stiction e o efeito Stribeck, e o atrito viscoso.
Figura 1. Geometria e Sistemas de Coordenadas.
2.1 Modelo Cinemático
A partir da Figura 1, é possível relacionar a veloci-dade linear de cada roda i, Vmi, com as velocidades
do robô no plano, 𝑣 e 𝑣𝑛, e a velocidade de giro do centro de massa,
𝜔,
ou seja:𝑉𝑚1= −𝑣𝑛+ 𝜔𝑏, (1)
𝑉𝑚2= 𝑣 cos 𝛿 + 𝑣𝑛sen 𝛿 + 𝜔𝑏, (2) 𝑉𝑚3= −𝑣 cos 𝛿 + 𝑣𝑛sen 𝛿 + 𝜔𝑏, (3) com 𝑏 sendo o raio da base,
𝑉𝑚𝑖 = 𝑟𝑙𝑖
𝑖𝑤𝑚𝑖, (4)
𝛿 = 30° , (5)
e ri e li representam o raio da roda i e a relação de
redução do motor i, respectivamente. E 𝑤𝑚𝑖 é a
velo-cidade angular da roda.
2.2 Modelo Dinâmico
A relação entre as forças 𝐹𝑣 e 𝐹𝑣𝑛, e o torque Γ, que atuam sobre o robô, e as forças produzidas a partir do torque gerada por cada um dos motores, 𝑓𝑚𝑖, é dada por:
𝐹𝑣= 𝑓𝑚2cos 𝛿 − 𝑓𝑚3cos 𝛿, (6)
𝐹𝑣𝑛= −𝑓𝑚1+ 𝑓𝑚2sen 𝛿 − 𝑓𝑚3sen 𝛿, (7) 𝛤 = 𝑓𝑚1𝑏 + 𝑓𝑚2𝑏 + 𝑓𝑚3𝑏. (8)
As componentes de força de cada uma das rodas relacionam-se com o torque, T, do motor pela seguin-te equação:
𝑓𝑚𝑖 =𝑇𝑟𝑖
𝑖, 𝑖 = 1,2,3. (9)
O torque pode ser determinado por
𝑇𝑖= 𝑙𝑖𝐾𝑡𝑖𝑖𝑎𝑖, 𝑖 = 1,2,3, (10)
e Kt é a constante de torque e ia é a corrente de
arma-dura do motor CC.
A dinâmica do motor é descrita pela equação 𝑢𝑖(𝑡) = 𝐿𝑎𝑖
𝑑𝑖𝑎𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 + 𝑅𝑎𝑖𝑖𝑎𝑖(𝑡) + 𝐾𝑣𝑖𝑤𝑚𝑖(𝑡),𝑖 = 1,2,3,(11)
e Lai é a indutância da armadura do rotor, e será
des-prezada na modelagem, pois seu valor é pouco ex-pressivo, Rai é a resistência de armadura, e Kvi é a
constante de força contra eletromotriz.
Aplicando-se a segunda Lei de Newton, tem-se que: 𝑑𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 𝑀 = 𝐹𝑣(𝑡) − 𝐹𝑎𝑣(𝑡), (12) 𝑑𝑉𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 𝑀 = 𝐹𝑣𝑛(𝑡) − 𝐹𝑎𝑣𝑛(𝑡), (13) 𝑑𝑊(𝑡) 𝑑𝑡 𝐽 = 𝛤(𝑡) − 𝛤𝑎(𝑡), (14) sendo M a massa do robô, J seu momento de inér-cia, 𝐹𝑎𝑣 e𝐹𝑎𝑣𝑛os atritos relativos as forças 𝐹𝑣 e 𝐹𝑣𝑛, e
𝛤𝑎 o atrito relativo ao torque 𝛤. As componentes de força relativas aos atritos são determinadas pelas seguintes equações: 𝐹𝑎𝑣(𝑡) = 𝐵𝑣𝑉(𝑡) + [𝐶𝑣+ (𝐹𝑠𝑣− 𝐶𝑣)𝑒 −|𝑣(𝑡)| 𝑣𝑠𝑣 𝛿𝑠𝑣 ] sign(𝑣(𝑡)), (15) 𝐹𝑎𝑣𝑛(𝑡) = 𝐵𝑣𝑛𝑣𝑛(𝑡) + [𝐶𝑣𝑛+ (𝐹𝑠𝑣𝑛− 𝐶𝑣)𝑒 −|𝑣𝑛(𝑡)| 𝑣𝑠𝑣𝑛 𝛿𝑠𝑣𝑛 ] sign(𝑣𝑛(𝑡)), (16)
𝛤𝑎(𝑡) = 𝐵𝜔𝜔(𝑡) + [𝐶𝜔+ (𝐹𝑠𝜔− 𝐶𝜔)𝑒 −|𝜔(𝑡)| 𝑣𝑠𝜔 𝛿𝑠𝜔 ] sign(𝜔(𝑡)), (17)
e 𝑣𝑠 é a velocidade Stribeck nas direções 𝑣, 𝑣𝑛 𝑒 𝑤 (𝑣𝑠𝑣, 𝑣𝑠𝑣𝑛 𝑒 𝑣𝑠𝑤) que representa a velocidade de es-corregamento, 𝛿𝑠 é o termo referente à transição entre o atrito viscoso e o atrito de Coulomb nas dire-ções de 𝑣, 𝑣𝑛 𝑒 𝑤 (𝛿𝑠𝑣, 𝛿𝑠𝑣𝑛 𝑒 𝛿𝑠𝜔), 𝐶𝑣, 𝐶𝑣𝑛 𝑒 𝐶𝜔 são os coeficientes de atrito de Coulomb, 𝐵𝑣, 𝐵𝑣𝑛 𝑒 𝐵𝜔
são os coeficientes de atrito Viscoso, segundo as direções de 𝑣, 𝑣𝑛 𝑒 𝑤, respectivamente. Já os termos 𝐹𝑠𝑣, 𝐹𝑠𝑣𝑛 e 𝐹𝑠𝜔 referem-se ao Stiction, ou, mais espe-cificamente, ao atrito estático. O efeito da combina-ção dos atritos pode ser observado na Figura 2.
Figura 2. Efeito do Atrito – Coulomb + Stiction + Stribeck + Viscoso.
2.3 Representação no espaço de estados
Manipulando-se as equações (1) a (17), obtém-se a seguinte representação matricial para o robô:
{ 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) + [𝐾 + 𝐺. 𝐸(𝑡)]𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑥(𝑡)) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) (18) com 𝑢(𝑡) = [𝑢1(𝑡) 𝑢2(𝑡) 𝑢3(𝑡)]𝑇, (19) 𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡) = [𝑣(𝑡) 𝑣𝑛(𝑡) 𝜔(𝑡)]𝑇; (20) 𝐴 = [ −2𝑟3𝑙22𝑀𝑅𝐾𝑡2𝑎− 𝐵𝑣 𝑀 0 0 0 − 3𝑙2𝐾𝑡2 2𝑟2𝑀𝑅𝑎− 𝐵𝑣𝑛 𝑀 0 0 0 −3𝑙2𝐾𝑡2 2𝑟2𝐽𝑅𝑎− 𝐵𝜔 𝐽] ; 𝐵 =𝑙𝐾𝑡 𝑟𝑅𝑎 [ 0 2𝑀√3 −2𝑀√3 −𝑀1 2𝑀1 2𝑀1 𝑏 𝐽 𝑏 𝐽 𝑏 𝐽 ] , 𝐶 = [1 0 00 1 0 0 0 1]; 𝐾 = [ −𝐶𝑀𝑣 0 0 0 −𝐶𝑣𝑛 𝑀 0 0 0 −𝐶𝜔 𝐽] ; 𝐺 = [ −𝐹𝑠𝑣+𝐶𝑣 𝑀 0 0 0 −𝐹𝑠𝑣𝑛𝑀+𝐶𝑣𝑛 0 0 0 −𝐹𝑠𝜔+𝐶𝜔 𝐽 ] ; 𝐸(𝑡) = [ 𝑒−|𝑉(𝑡)| 𝑣𝑠𝑣 𝛿𝑠𝑣 0 0 0 𝑒− |𝑉𝑛(𝑡)| 𝑣𝑠𝑣𝑛𝛿𝑠𝑣𝑛 0 0 0 𝑒− |𝜔(𝑡)| 𝑣𝑠𝜔 𝛿𝑠𝜔 ] . (21)
Os métodos de estimação utilizados para obter os parâmetros do modelo são descritos em (Concei-ção et al., 2015).
Para a síntese do controlador LQR, as não linea-ridades do modelo serão ignoradas. Considerando-se a taxa de amostragem Ts = 50ms (Araújo et al., 2011)
e o segurador de ordem zero, foi encontrado um modelo linear no espaço de estados, em tempo dis-creto, para o robô:
{𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴𝑦[𝑘] = 𝐶𝑑𝑥[𝑘] + 𝐵𝑑𝑢[𝑘],
𝑑𝑥[𝑘]. (22)
2.4 Atraso de comunicação
Alguns sistemas robóticos móveis possuem baixa capacidade computacional e, por isso, se faz necessá-rio que o processamento das informações e o cálculo da ação de controle sejam realizados por uma cama-da de software externa ao robô. Eventualmente, a capacidade de processamento pode ser destinada exclusivamente para tarefas de medição e atuação. O tempo gasto na comunicação entre a base e o softwa-re de controle insesoftwa-re um atraso considerável na ma-lha de controle e o controlador deve ser capaz de compensar este atraso. Para o problema em análise, após avaliação experimental (Araújo et al., 2011), verificou-se que o atraso é da ordem de 50ms, de maneira que o modelo com atraso passa a ser descrito como segue:
{𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴𝑑𝑥[𝑘] + 𝐵𝑑𝑢[𝑘 − 1]
𝑦[𝑘] = 𝐶𝑑𝑥[𝑘] (23) 3 Controlador
O controlador linear quadrático LQR será usado para controlar o robô móvel. A função custo a ser minimi-zada é definida por
𝐽 = ∑∞ (𝑥[𝑘]𝑇𝑄𝑥[𝐾] + 𝑢[𝑘]𝑇𝑅𝑢[𝑘])
𝑘=0 , (24)
fornecendo uma solução ótima para o controlador por realimentação de estado
𝑢[𝑘] = −𝐹{𝑥[𝑘]}. (25)
As matrizes de ponderação Q e R são escolhidas durante o processo de sintonia do controlador,
permi-tindo ajustar o tempo de resposta e limitar o sinal de controle para satisfazer as restrições físicas. O uso desse tipo de controlador se justifica pela simplicida-de implementação, além da redução do custo compu-tacional no cálculo do sinal de controle. Ao contrário de outras abordagens como a utilizada em (Alcanta-ra, Araújo, Santos, 2014), onde a cada instante de amostragem é preciso resolver um novo problema de otimização, aqui a minimização da função custo ocorre uma única vez, off-line, durante a sintonia do controlador.
3.1 Inserção de ação integral
A fim de se obter erro nulo em regime permanente, para o segmento de referência, é necessário realizar manipulações no sistema apresentado em (23), de tal modo que seja inserido um integrador ao modelo. Definindo-se ∆𝑦[𝑘 + 1] = 𝑦[𝑘 + 1] − 𝑦[𝑘], obtém-se a partir da equação (23):
{∆𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴∆𝑦[𝑘 + 1] = 𝐶𝑑∆𝑥[𝑘] + 𝐵𝑑∆𝑢[𝑘 − 1],
𝑑∆𝑥[𝑘 + 1]. (26) A equação (26) pode ser reescrita como: { ∆𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴𝑑∆𝑥[𝑘] + 𝐵𝑑∆𝑢[𝑘 − 1],
𝑦[𝑘 + 1] = 𝑦[𝑘] + 𝐶𝑑𝐴𝑑∆𝑥[𝑘] + 𝐶𝑑𝐵𝑑∆𝑢[𝑘 − 1].(27)
Definindo-se um novo vetor de estado para o sis-tema 𝜉[𝑘] = [∆𝑥[𝑘] 𝑦[𝑘]]𝑇, obtém-se o seguinte modelo aumentado: {𝜉[𝑘 + 1] = 𝐴𝑦[𝑘] = 𝐶𝑎𝜉[𝑘] + 𝐵𝑎∆𝑢[𝑘 − 1], 𝑎𝜉[𝑘], (28) com 𝐴𝑎= [𝐶𝐴𝑑 0 𝑑𝐴𝑑 𝐼];𝐵𝑎= [ 𝐵𝑑 𝐶𝑑𝐵𝑑]; 𝐶𝑎= [0 𝐼] (29) 3.2 Preditor Ótimo
Sistemas com atraso acrescentam uma dificuldade a mais ao projeto do controlador. Atrasos reduzem a robustez e as margens de ganho do sistema, além de dificultar a sua análise (Santos e Normey-Rico, 2012).
Com a utilização do preditor ótimo, é possível atacar este problema de modo simples, pois o sinal de controle é calculado para um instante de tempo
k+d, dado o vetor de estado no instante k atual, ou
seja, obtém-se o sinal de controle para um estado futuro, predito a partir do estado atual, resolvendo de modo intrínseco o atraso. No modelo utilizado d é igual a 1, uma vez que o atraso nominal é de 50ms, o que corresponde a um período de amostragem.
Seguindo os passos apresentados em (Santos e Normey-Rico, 2012) para d=1, tem-se que a predição do sistema se dá conforme
𝜉[𝑘 + 1|𝑘] = 𝐴𝑎𝜉[𝑘] + 𝐵𝑎∆𝑢[𝑘 − 1], (30) Sendo o modelo predito dado por
𝜉[𝑘 + 2|𝑘] = 𝐴𝑎𝜉[𝑘 + 1|𝑘] + 𝐵𝑎∆𝑢[𝑘], (31) E, desta forma, o modelo predito passar a não ter atraso e a ação de controle passa a ser obtida através da expressão:
∆𝑢[𝑘] = 𝐹{𝜉𝑟𝑒𝑓[𝑘 + 1] − 𝜉[𝑘 + 1|𝑘]}, (32) sendo F a realimentação de estados que soluciona o problema LQR dado por:
𝐽 = ∑∞ (𝜉[𝑘 + 1|𝑘]𝑇𝑄𝑥𝜉[𝑘 + 1|𝑘] + ∆𝑢[𝑘]𝑇𝑅∆𝑢[𝑘])
𝑘=0 (33).
3.3 Preditor de Smith Filtrado
Figura 3. Estrutura de Compensação de Atraso - preditor de Smith
filtrado.
O preditor de Smith filtrado pode ser utilizado para modificar o comportamento de malha a exemplo do comportamento robusto e da atenuação de ruídos de medição (Santos e Normey-Rico, 2012) mesmo no caso de sistemas com não-linearidades. Para obter melhores resultados em face de um ambiente ruidoso como este, utiliza-se a versão filtrada do preditor de Smith, conforme sugerido em (Alcantara, Araújo e Santos, 2014):
𝐹𝑟[𝑧] =𝑧(1−𝛼)𝑧−𝛼 . (34)
Uma análise detalhada do papel do preditor de Smith filtrado na atenuação de ruído para sistemas com não-linearidades na entrada pode ser encontrada em (Lima, Santos, Normey-Rico, 2015). De maneira simplificada, conforme se observa na Figura 3, o ruído de medição, n(t), é filtrado diretamente por 𝐹𝑟[𝑧]. Desta maneira, além de atenuar o efeito dos erros de modelo, que se surgem no sinal 𝑒(𝑡), um filtro passa-baixas pode ser utilizado para atenuar as altas frequências do ruído de medição.
4 Resultados
As simulações foram executadas de modo a compa-rar o desempenho do controlador LQR utilizando-se os preditores ótimo e de Smith filtrado. Nestas
consi-derou-se o modelo não-linear apresentado na equa-ção (18). Para tal foi aplicado um degrau na entrada para 𝑣 𝑒 𝑣𝑛, mantendo a referência de 𝜔 em zero. Na síntese do controlador, utilizaram-se as seguintes matrizes de ponderação: 𝑄 = [1000 1000 00 0 0 100] e 𝑅 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1], (35) de modo a manter o sinal de controle no intervalo [-6, 6] volts. Considerou-se um atraso de 50ms na malha de controle, e o modelo com os atritos. Para o preditor de Smith filtrado, α foi ajustado em 0,95.
4.1 Resposta ao Degrau Unitário
Aplicando-se o sinal de referência 𝑥𝑟𝑒𝑓 = [0,5 0,5 0]𝑇, ou alternativamente 𝜉
𝑟𝑒𝑓 = [0 0 0 0,5 0,5 0]𝑇, obtém-se a resposta apresentada nas Figuras 5 e 7. Pode-se observar que ambos os preditores são capazes de compensar o atraso exis-tente, realizando a tarefa de seguimento de referência com respostas semelhantes (Figuras 4 e 6).
Figura 4. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau - Preditor Ótimo.
Figura 5. Resposta ao Degrau - Preditor Ótimo.
Figura 6. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau - Preditor de Smith Filtrado.
Figura 7. Resposta ao Degrau - Preditor de Smith Filtrado.
4.1.1 Atenuação de Ruído
Utilizou-se uma função de simulação de ruído branco para adicionar um sinal de ruído às variáveis de saída 𝑣 𝑒 𝑣𝑛, avaliando o desempenho dos compensadores de atraso. Manteve-se a entrada degrau utilizada anteriormente.
O preditor ótimo mostrou-se sensível à presença do ruído, comprometendo totalmente a capacidade de seguimento de referência, conforme observado na
Figura 9. Além disto, o sinal de saída do controlador
LQR com o preditor ótimo (Figura 8) atingiu valores superiores aos limites operacionais aceitáveis, o que causa a saturação do sinal de controle.
O controle LQR com o preditor de Smith filtra-do, por sua vez, apresenta um desempenho superior. Neste caso, o efeito do ruído foi quase imperceptível devido ao efeito do filtro 𝐹𝑟[𝑧], como pode ser visto nas Figuras 10 e 11. Nota-se que o sinal de controle continua respeitando os limites operacionais.
Figura 8. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor Ótimo.
5 Conclusão
Este trabalho abordou o problema de controle de referência para um robô omnidirecional sujeito a ruídos de medição e atraso de comunicação. Para realizar as simulações, considerou-se o modelo de um robô omnidirecional com três rodas, onde estão presentes os efeitos das não-linearidades causadas por diferentes forças de atrito. Foi utilizado um
con-trolador de baixo custo computacional, o concon-trolador por realimentação de estado do tipo LQR. Compa-rou-se o desempenho do preditor ótimo com o do
Figura 9. Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor Ótimo.
Figura 10. Sinal de Controle da Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor de Smith Filtrado.
Figura 11. Resposta ao Degrau na Presença de Ruído - Preditor de Smith Filtrado.
preditor de Smith filtrado no seguimento de referên-cia, para uma entrada do tipo degrau. Os resultados obtidos mostraram que, para o caso sem ruído de medição, ambos os preditores atingem erro nulo em regime permanente, com desempenho semelhante, respeitando as restrições no sinal de controle. Entre-tanto, ao se considerar o ruído de medição, observou-se que com o preditor de Smith filtrado as saídas seguem as referências, satisfazendo as restrições nos atuadores, ao passo que com o preditor ótimo o sis-tema de controle apresenta um péssimo desempenho.
Com esses resultados, o preditor de Smith filtrado mostrou-se mais adequado no tratamento do atraso e dos ruídos de medição para o robô móvel estudado.
Face aos resultados promissores aqui atingidos usando-se um modelo de robô obtido a partir de dados experimentais, o próximo passo é a aplicação do controlador proposto no robô real.
Agradecimentos
Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq. Referências Bibliográficas
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