Quadro IV.1 Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro.

(1)

IV – O transformador

Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam.

Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação.

Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro.

POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA

Em 31.12 2001 1999 2000 2001 Entradas Retiradas 25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0,0 69 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0,0 88 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,0 138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0,0 230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0,0 345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,0 440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0,0 500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0 750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0

(1) Apenas transformadores elevadores de usinas

Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).

O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial. Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de curto-circuito ou de harmônicos.

O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização.

IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos

Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as seguintes relações entre as tensões terminais:

( )

t dt d N t dt d N t v t dt d N t dt d N t v m m φ φ φ φ 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = =

Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por:

( )

2 1 2 1 N N t v t v = (IV.1)

(2)

( )t i1 ( )t v₁ + – N1 espiras φm( )t ( ) φ ( )t v₂ + – ( )t i2 N2 espiras Fluxo em 1: ( )t φ_m( )t φ1 = Fluxo em 2: ( )t φ_m( )t φ2 = Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos.

Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, p₁

( )

t , é igual a potência instantânea de saída, p₂

( )

t pois as perdas são desprezíveis, ou seja:

( )

t p

( )

t v

( ) ( )

t i t v

( ) ( )

t i t p₁ = ₂ ⇒ ₁ ⋅₁ = ₂ ⋅ ₂ logo,

( )

1 2 1 2 2 1 N N t v t v t i t i ₌ ₌ (IV.2)

As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais.

Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e secundário, respectivamente.

De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, K=1. Para as polaridades indicadas na Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões:

( )

i

( )

t dt d M t i dt d L t v₁ = ₁ ₁ − ₂ (IV.3)

( )

i

( )

t dt d L t i dt d M t v2 = 1 − 2 2 (IV.4)

( )

dt t di M 2 1 L + – + 2 L + – •

( )

t i₁

( )

t v1 + – •

( )

t i₂

( )

t v2 + – K=1

( )

t v₁

_{( )}

t v₂

( )

t i1 i2

( )

t

( )

dt t di M i 2 1 2 1 L L M L L K M = = + • • 2 1:N N

Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado.

Isolando i

( )

t dt

d

2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se:

( )

      − = i t v t dt d M L t i dt d 2 1 2 2 1

( )

v

( )

t L M t i dt d L M L t v t i dt d M L M t i dt d L t v 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 +         − =       − − = (IV.5)

(3)

Como K=1, pode-se escrever: ⇒ = ⇒ = 1 2 2 2 1L M LL L M 0 2 2 1− = L M L (IV.6) ⇒ = ⇒ = = ₂ 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 N N L M L L L L L L M L N N L α α 2 1 2 N N L M ₌ (IV.7)

pois as auto-indutâncias são proporcionais ao quadrado do número de espiras

( )

   = t i t N L 1 1 1 1 φ , com

( )

t N1i1

( )

t 1 =P

φ , sendo P a permeância do espaço atravessado pelo fluxo, então

[

_{( )}

( )

]

_   = = 2 1 1 1 1 1 1 P P N t i t i N N L .

Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expressão (IV.5), chega-se a expressão (IV.1):

( )

_{( )}

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 0 N N t v t v t v N N t v N N t i dt d t v = + = ⇒ =

IV.1.1 – Transformador ideal em regime permanente senoidal

A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal.

• 1 I _I₂ Transformador Ideal • Ideal 1 V + – 2 V + – 2 1: N N

Figura IV.3 – Transformador ideal em regime permanente senoidal.

Considerando as polaridades indicadas na Figura IV.3 e as expressões gerais (IV.1) e (IV.2), o regime permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por:

2 1 2 1 N N V V = ⇒ 1 1 2 2 V N N V = 1 2 2 1 N N I I = ⇒ 1 2 1 2 I N N I = fazendo 1 2 N N

a= , a relação de espiras do transformador ideal, pode-se escrever:

1 2 aV V = ⇒ 1 1V2 a V = 1 2 1 I a I = ⇒ I1 =aI2

(4)

Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, N1=2000, N2 =500, 1 1200 0 V o =

V e I1=5 −30o A,

quando uma impedância Z2 é ligada ao secundário. Determinar V2, I2, Z2 e a impedância ref 2

Z que é definida como sendo o valor de Z2 referido ao primário do transformador (impedância refletida).

Solução Exemplo IV.1: Supondo que o transformador é ideal, tem-se:

V 0 300 0 1200 2000 500 1 1 2 2 = V = o = o N N V A 30 20 30 5 500 2000 1 2 1 2 = I = − o= − o N N I

Pela definição de impedância, tem-se: Ω = − = = 1530 30 20 0 300 2 2 2 _o o o I V Z Ω = − = = 240 30 30 5 0 1200 1 1 ref 2 _o o o I V Z ou Ω =       =       =       = = = 15 30 240 30 500 2000 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ref 2 Z o o N N I V N N I N N V N N I V Z

A expressão obtida no Exemplo anterior

2 2 2 1 ref 2 Z N N Z _      =

é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário. Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja,

1 2 1 2 ref 1 Z N N Z _      =

Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo. Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor da impedância em ohms.

IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu

Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de base para o primário e secundário, respectivamente:

pri base

V – Tensão de base do primário [kV] sec

base

V – Tensão de base do secundário: basepri 1 2 sec base V N N V = [kV]

(5)

Sendo S_base a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário, respectivamente, são: pri base base pri base V S I = pri base 2 1 pri base 1 2 base sec base base sec base I N N V N N S V S I = = =

Desta forma, os valores em pu serão dados por:

pri base 1 pu 1 V V V = ⇒ = = = _pri base 1 pri base 1 2 1 1 2 sec base 2 pu 2 V V V N N V N N V V V V2 pu=V1 pu (IV.8) pri base 1 pu 1 I I I = ⇒ = = = pri base 1 pri base 2 1 1 2 1 sec base 2 pu 2 I I I N N I N N I I I I2 pu =I1 pu (IV.9)

Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser substituído por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9).

– + pu 1 I I2 pu pu 1 V + – pu 2 V + – Transformador Ideal em pu pu 2 I pu 2 V + – pu 1 I pu 1 V

Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu.

IV.2 – Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos

No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas por r e ₁ r , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento ₂

enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão x e ₁ x , ₂

respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do sentido do fluxo (histerese) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado, denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de magnetização r e _m x , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário). _m

(6)

Considerando os efeitos anteriormente mencionados, o transformador real de dois enrolamentos pode ser representado por um circuito composto por transformador ideal de dois enrolamentos e algumas impedâncias para representar o efeito das perdas ôhmicas, devido ao fluxo disperso e à magnetização, conforme ilustra a Figura IV.5

m jx

( )

t i₁

( )

t v₁ + – N1 espiras

( )

t m φ

( )

φ

( )

t v₂ + –

( )

t i₂ N2 espiras Fluxo disperso em 1:

( )

t disp 1 φ Fluxo disperso em 2:

( )

t disp 2 φ • 1 I _I₂ Transformador Real • Ideal 1 V + – 2 V + – 2 1: N N

(a) Transformador real de dois enrolamentos.

(b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente.

1 1 jx

r + r2+ jx2

m

r

Figura IV.5 – Transformador real de dois enrolamentos.

Quando todos os parâmetros (r , 1 x , 1 r , 2 x , 2 r e m x ) e grandezas (m V , 1 I , 1 V e 2 I ) estão em pu, o 2

transformador ideal pode ser omitido (substituído pelo seu circuito equivalente em pu que é um curto-circuito), resultando no circuito da Figura IV.6.

m jx 1 I _I₂ Transformador Real em pu 1 V + – 2 V + – 1 1 jx r + r₂+ jx₂ m r m I

Figura IV.6 – Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Os parâmetros em série (resistência dos enrolamentos e reatância de dispersão: r , 1 x , 1 r , e 2 x ) são 2 determinados por intermédio do ensaio de curto-circuito no qual os enrolamentos são submetidos à corrente nominal. Neste ensaio, um dos enrolamentos é curto-circuitado enquanto aplica-se uma tensão variável em outro enrolamento até que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedância de magnetização é desprezada pois a tensão empregada

(7)

neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal

(

I2=10 pu

)

, o circuito equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por:

2 2 1 1 1 1 jx r jx r I V Z= = + + + m jx pu 0 1 2 1≈I = I I2=10 pu 1 V + – 0 2= V + – 1 1 jx r + r2+ jx2 m r 0 ≈ m I

Corrente nominal nos enrolamentos

Magnetização desprezada

Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu).

A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s) permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com tensão nominal

(

V1=1 0 pu

)

, o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por: m m m m jx r jx r jx r I V Z + ⋅ + + = = 1 1 1 1 m jx m I I1= ₀ 2= I pu 0 1 1= V + – 2 V + – 1 1 jx r + r2+ jx2 m r m I

Tensão nominal nos enrolamentos

Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu).

Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores do Quadro IV.2. Em transformadores de maior potência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e 0,5%, respectivamente.

Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido a r e 1 r ) e no 2 núcleo

2

(devido a r e m x ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do m

transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9.

1_{Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio.} 2

(8)

1 I _I₂ 1 V + – 2 V + – jx 2 1 jx jx jx= +

Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos.

Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias.

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV Potência [kVA] Corrente de excitação máxima [%] Perdas em vazio máximo [W] Perdas totais máximas [W] Impedância 75° C [%] 30 4,1 170 740 45 3,7 220 1.000 75 3,1 330 1.470 112,5 2,8 440 1.990 150 2,6 540 2.450 3,5 225 2,3 765 3.465 300 2,2 950 4.310 4,5

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV Potência [kVA] Corrente de excitação máxima [%] Perdas em vazio máximo [W] Perdas totais máximas [W] Impedância 75° C [%] 30 4,8 180 825 45 4,3 250 1.120 75 3,6 360 1.635 112,5 3,2 490 2.215 150 3,0 610 2.755 4,0 225 2,7 820 3.730 300 2,5 1.020 4.620 5,0

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)

Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no

secundário. As resistências dos enrolamentos são r1=2 Ω e r2 =0,125 Ω; as reatâncias de dispersão são Ω

=8 1

x e x2 =0,5 Ω. A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do transformador: % 100 % Regulação carga 2 carga 2 vazio 2 V V V − =

onde Vcarga2 é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e vazio 2

V é a magnitude da tensão no secundário em vazio.

(9)

Solução Exemplo IV.2: Utilizando uma potência de base de 7500 VA e as tensões nominais, tem-se: VA 7500 base= S V 1200 pri base= V 1200 300 V 2000 500 pri base 1 2 sec base = V = = N N V

( )

₌ ₌ _Ω = 192 7500 12002 base 2 pri base pri base S V Z =

( )

= =12 Ω 7500 3002 base 2 sec base sec base S V Z 3

Desta forma, os valores das impedâncias do circuito equivalente em pu são dados por:

(

0,0104 0,0417

)

pu 192 125 , 0 2 pri base 1 1 1 j j Z jx r Z = + = + = +

(

0,0104 0,0417

)

pu 12 5 , 0 125 , 0 sec base 2 2 2 j j Z jx r Z = + = + = + pu 1 12 12 12 sec base carga 2 = = = Z Z

e o circuito equivalente em pu desconsiderando a impedância de magnetização é dado pelo circuito a seguir.

Circuito secundário Circuito primário 1 I _I₂ pu 1 1= V + – 2 V + – 1 1 1 r jx Z = + Z2 =r2 + jx2 Valores em pu carga 2 Z

Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por: 1 1 0417 , 0 0104 , 0 0417 , 0 0104 , 0 1 1 carga 2 1 1 carga 2 carga 2 + + + + = + + = j j V Z Z Z Z V pu 67 , 4 9764 , 0 carga 2 = − o V Vcarga2 =300×0,9764 −4,67o =292,9 −4,67o V

Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária:

pu 1 1 vazio 2 =V = V

Daí, a regulação percentual do transformador é:

% 100 9764 , 0 9764 , 0 1 % 100 % Regulação _carga 2 carga 2 vazio 2 ₋ = − = V V V Regulação%=2,42% 3

(10)

Solução alternativa Exemplo IV.2:

A solução anterior poderia ter sido obtida sem transformar as grandezas para pu, utilizando reflexão de impedâncias.

A relação nominal do transformador é dada por: 4 500 2000 2 1 NOM = = = N N a

Refletindo a impedância série do secundário para o circuito primário, tem-se a seguinte impedância série equivalente do primário e secundário:

(

)

= + ⋅ = Ω + =r1 r2 aNOM 2 2 0,125 42 4 R

(

)

= + ⋅ = Ω + =x1 x2 aNOM 2 8 0,5 42 16 X

(

)

= ⋅ = Ω = NOM 2 12 42 192 carga 2 carga ref Z a Z

Assim, tem-se o seguinte circuito equivalente do ponto de vista do primário.

1 I NOM 2 a I V 1200 1= V + – 2 NOMV a + – jX R+ carga ref Z

Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por:

V 67 , 4 6 , 1171 1200 192 16 4 192 1 carga ref carga ref carga 2 NOM o − = + + = + = j V Z Z Z V a 4 67 , 4 6 , 1171 67 , 4 6 , 1171 NOM carga 2 o o ₋ = − = a V Vcarga2 =292,9 −4,67o V

Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária:

V 1200 1 vazio 2 NOMV =V = a 4 1200 1200 NOM vazio 2 = = a V Vvazio2 =300 V

Daí, a regulação percentual do transformador é:

% 100 9 , 292 9 , 292 300 % 100 % Regulação _carga 2 carga 2 vazio 2 ₋ = − = V V V % 42 , 2 % Regulação =

(11)

Exemplo IV.3 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase Eletrotécnica).

(12)

(13)

Média (escala de 0 a 100) % escolha

Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição

(14)

IV.3 – Transformador com relação não-nominal

Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal

(

2NOM

)

NOM 1 :N

N . Neste caso, os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações (taps), comutáveis

sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga, o transformador apresenta um dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de realizar as conexões necessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância, inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o transformador está desligado.

Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado.

Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões.

Tensão [V] Primário Secundário Tensão máxima do equipamento [KV eficaz] Derivação N° _{Trifásicos e} Monofásicos (FF) Monofásicos (FN) Trifásicos Monofásicos 1 13.800 7.967 2 13.200 7.621 15,0 3 12.600 7.275 1 23.100 13.337 2 22.000 12.702 24,2 3 20.900 12.067 1 34.500 19.919 2 33.000 19.053 36,2 3 31.500 18.187 380/220 ou 220/127 2 terminais 220 ou 127 ou 3 terminais 440/220 ou 254/127 ou 240/120 ou 230/115

(FF) - tensão entre fases (FN) - tensão entre fase e neutro

Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/)

Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob carga, apresentando um maior número de derivações, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as derivações são realizadas no enrolamento de maior tensão, visando operar com menores correntes no comutador sob carga.

Tabela IV.1 – Derivações típicas da regulação sob carga.

Tensão primária [kV] Tensão secundária [kV]

138 % 875 , 1 8 230± × 69 69 23 % 875 , 1 8 138± × 13,8 23 % 875 , 1 8 69± × 13,8

(15)

Considerando toda a impedância série concentrada em apenas um dos enrolamentos (refletida para o primário, por exemplo) e desprezando as perdas no núcleo, o circuito equivalente do transformador com relação não-nominal encontra-se na Figura IV.10. Observar, neste caso, que a relação de espiras dos enrolamentos N₁:N₂ pode ser diferente da relação nominal, dada por N₁NOM:N₂NOM.

• 1 I _I₂ • Ideal 1 V + – 2 V + – a N N : 1 : 2 1 jX R+ 1 E + – 2 E + –

Figura IV.10 – Circuito equivalente de um transformador com relação não nominal. Para o transformador da Figura IV.10 são válidas as seguintes expressões:

1 2 N N a= a E E ₌ 1 2 a I I 1 1 2 =

Utilizando as magnitudes das tensões nominais do primário e do secundário com tensões de base

        = pri base NOM 1 NOM 2 sec base pri base e V N N V

V , define-se a relação nominal como sendo:

NOM 1 NOM 2 pri base sec base NOM N N V V a = =

Considerando a potência de base Sbase, as correntes de base para o primário e secundário são dadas por:

pri base base pri base V S I = pri base NOM pri base NOM base sec base base sec base 1 I a V a S V S I = = =

Assim, transformando as grandezas para pu, tem-se:

pri base 1 pu 1 V E E = pri base 1 NOM pri base NOM 1 sec base 2 pu 2 V E a a V a E a V E E = = = 1 pu NOM pu 2 E a a E = (IV.10) pri base 1 pu 1 I I I = pri base 1 NOM pri base NOM 1 sec base 2 pu 2 1 1 I I a a I a I a I I I = = = 2 pu NOM I1 pu a a I = (IV.11)

Portanto, mesmo quando as grandezas estão em pu, o transformador com relação não nominalnão pode ser substituído por um curto-circuito, pois tanto a tensão quanto a corrente apresenta valores distintos nos enrolamentos – vide equações (IV.10) e (IV.11).

(16)

IV.4 – Transformador de três enrolamentos

Em sistemas de energia elétrica é bastante comum a presença de um terceiro enrolamento nos transformadores de força, além dos enrolamentos primário e secundário. Este enrolamento é denominado terciário e é empregado para fornecer caminho às correntes de seqüência zero, para a conexão dos alimentadores de distribuição, para alimentar os serviços auxiliares das subestações de energia ou para conexão dos equipamentos empregados na compensação de reativos (normalmente bancos de capacitores). A Figura IV.11 mostra um transformador monofásico de três enrolamentos juntamente com o seu circuito equivalente em pu. Observar que o ponto comum O representado no circuito equivalente, mostrado na Figura IV.11(b), é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.

m jx

( )

t i₁

( )

t v1 + – N1 espiras

( )

t m φ

( )

t v2 + –

( )

t i₂ N2 espiras Fluxo disperso em 1:

( )

t disp 1 φ Fluxo disperso em 2:

( )

t disp 2 φ 1 I 3 I 1 V + – 3 V + – (a) Transformador de três enrolamentos.

(b) Circuito equivalente em pu.

1 1 1 r jx Z = + 3 3 3 r jx Z = + m r

( )

t v₃ + –

( )

t i₃ N3 espiras Fluxo disperso em 3:

( )

t disp 3 φ 2 I + 2 2 2 r jx Z = + 2 V – O

Figura IV.11 – Transformador de três enrolamentos.

As impedâncias de qualquer ramo da Figura IV.11(b) podem ser determinadas através da impedância de curto-circuito entre os respectivos pares de enrolamentos, mantendo o enrolamento restante em aberto (ensaio de curto-circuito). Desta forma, sendo z a impedância obtida no ensaio no qual é aplicada tensão 12 no enrolamento primário suficiente para fazer circular a corrente nominal quando o secundário está em curto-circuito e o terciário aberto (vide Figura IV.12), tem-se (desprezando o ramo de magnetização):

2 1 12 Z Z

(17)

m jx pu 0 1 2 1 ≈I = I 3 I 1 V + – 3 V + – 1 1 1 r jx Z = + 3 3 3 r jx Z = + m r pu 0 1 2 = I 2 2 2 r jx Z = + O 0 ≈ m I 0 2 = V + –

Figura IV.12 – Exemplo de ensaio de curto-circuito em um transformador de três enrolamentos. Para as demais combinações, tem-se:

3 2 23 Z Z Z = + 3 1 13 Z Z Z = +

As impedâncias de quaisquer ramos da Figura IV.11(b) podem ser determinadas resolvendo-se o sistema formado pelas três equações anteriores (três ensaios de curto-circuito), cuja solução é dada por:

(

12 13 23

)

1 2 1 Z Z Z Z = + −

(

12 23 13

)

2 2 1 Z Z Z Z = + −

(

13 23 12

)

3 2 1 Z Z Z Z = + −

Notar que este modelo pode apresentar resistências e/ou reatâncias negativas. O significado físico de tais parâmetros pode parecer contrariar a natureza do equipamento, mas deve-se levar em conta que o circuito equivalente representa o transformador a partir de seus terminais (portanto, os componentes não precisam possuir individualmente ligação direta com um enrolamento específico).

Diferentemente dos transformadores de dois enrolamentos, os transformadores de três enrolamentos geralmente apresentam enrolamentos com potências nominais diferentes.

IV.5 – Autotransformador

Um autotransformador é um transformador no qual, além do acoplamento magnético entre os enrolamentos, existe uma conexão elétrica conforme mostra a Figura IV.13. São duas as formas possíveis de conexão elétrica: aditiva ou subtrativa.

• 1 I I2 • Ideal 1 V + – 2 V + – a N N I I a N N V V N N a = = = = = 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 • •

Conexões Aditivas Conexões Subtrativas

• • a N N : 1 : 2 1 • • • •

(18)

Em geral utiliza-se a conexão aditiva nas duas formas de operação possíveis, ou seja, como autotransformador elevador ou rebaixador, conforme ilustra a Figura IV.14.

x I y I x V + – y V + – • •

(a) Autotransformador elevador.

x I y I x V + – y V + – • • (b) Autotransformador rebaixador. 1 I 1 V + – 2 V + – 2 I 2 V + – 1 V + – 1 I 2 I

Figura IV.14 – Autotransformador elevador e rebaixador. Para o autotransformador elevador da Figura IV.14(a), tem-se:

1 1 2 1 1 2 1 1 1 I a I N N I I I Ix       + = + = + = 2 2 2 2 1 2 1 1 1 V a V V N N V V Vy       + = + = + =

Daí, as potências complexas de entrada, S , e saída, x S , são dadas por: y * 1 1 * 1 1 * 1 1 * 1 1 1 1 1 1 V I a I a V I a V I V Sx x x       + =       + =             + = = 1 1 1 S a Sx       ₊ = * 2 2 * 1 1 V I a I V Sy y y       + = = 2 1 1 S a Sy       + =

onde S e 1 S são as potências complexas de entrada e saída obtidas na conexão como transformador ideal. 2 Assim, como a é sempre positivo, para a ligação aditiva, o autotransformador permite a transformação de maior quantidade de potência elétrica do que a conexão como transformador. A desvantagem é a perda de isolação elétrica entre o primário e o secundário.

Exercício IV.1: Repetir o equacionamento da potência do autotransformador para a conexão rebaixadora da

Figura IV.14(b).

Exercício IV.2: Determinar a magnitude da tensão secundária e a potência nominal de um

autotransformador construído a partir de um transformador monofásico de 30 kVA, 120/240 V, conectado conforme a Figura IV.14(a) (autotransformador elevador). Sabe-se que a tensão nominal é aplicada ao enrolamento de baixa tensão e que a corrente que circula nos enrolamentos é a nominal.

(19)

IV.6 – O modelo do transformador em fase

A representação de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal com relação de transformação 1:akm e uma impedância série Zkm. Observar que neste modelo as perdas no

núcleo são desprezadas.

k km I Zkm =rkm + jxkm m mk I k k k V V = θ p pm I km a : 1 k k km k km p a V a V V = = θ m m m V V = θ

Figura IV.15 – Representação de um transformador em fase. Da relação do transformador ideal em fase4:

k km p km p k V a V a V V ₌ 1 _⇒ ₌ pm km km km km pm km I a I a a I I ₌ * ₌ _⇒ ₌

As correntes Ipm, Ikm e Imk são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m (Vk =V_k θ_k , k k km p p p V a V

V = θ = θ e Vm =Vm θm, respectivamente) e do valor da admitância série

km km Z Y = 1 :

(

p m

)

km

(

_km k m

)

km pm Y V V Y a V V I = − = −

(

_km k m

)

km km pm km km a I a Y a V V I = = − Ikm =a_km2 YkmVk−a_kmYkmVm (IV.12)

(

_km k m

)

km pm mk I Y a V V I =− =− − Imk =−a_kmYkmVk+YkmVm (IV.13)

Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme está ilustrado na Figura IV.16.

k km I Imk m k V A Vm B C A, B, C admitâncias

Figura IV.16 – Circuito equivalente π de um transformador em fase.

Para o modelo π da Figura IV.16, onde A, B e C são as admitâncias dos componentes, as correntes Ikm e mk

I são dadas por:

4

Lembrar que não há dissipação de potência ativa ou reativa no transformador ideal, logo:

* * * * *         = ⇒ = ⇒ = ⇒ = k p pm km k p pm km pm p km k pm km V V I I V V I I I V I V S S

(20)

(

k m

)

k

(

)

k m km AV V BV A BV AV I = − + = + − Ikm=

(

A+B

)

Vk +

( )

−AVm (IV.14)

(

m k

)

m k

(

)

m mk AV V CV AV A CV I = − + =− + + Imk =

( )

−AVk +

(

A+C

)

Vm (IV.15)

Comparando as expressões (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se:

(

)

(

_km

)

km km km km km km Y a C Y a a B y a A − = − = = 1 1

Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo π da Figura IV.15: 1

=

km

a pu, ou seja, akm =aNOM: A= ykm, B=C=0

1 <

km

a pu, ou seja, akm <aNOM: B<0 (capacitivo) e C>0 (indutivo) 1

>

km

a pu, ou seja, akm >aNOM: B>0 (indutivo) e C<0 (capacitivo)

NOTA IMPORTANTE: As grandezas de base utilizadas para fazer a conversão da impedância série do

transformador para pu devem ser obrigatoriamente relativos ao enrolamento no qual esta impedância está ligada. Mais especificamente, no modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m.

Exemplo IV.4 – Dado um transformador trifásico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatância de dispersão vale

5% (na base do transformador), determinar o circuito equivalente do transformador se as bases do sistema são:

a) 138/13,8 kV, 100 MVA; b) 169/16,9 kV, 200 MVA; c) 169/15 kV, 250 MVA.

Solução Exemplo IV.4:

a) Como x=5%=0,05 pu, tem-se que: pu 05 , 0 j ZTR = pu 20 j YTR =−

e o circuito equivalente é dado por:

1 I 2 I 1 V + – 2 V + – 20 j − Admitância em pu b) Observar que 0,1 138 8 , 13 169 9 , 16 NOM = =a= = a , então 1 pu 1 , 0 1 , 0 NOM pu = = = a a a . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (base1) pu 3 2 base pu 3 2 2 base pu 1 base pu 1 base pu 2 base pu φ φ S S V V Z Z L L         = pu 0667 , 0 100 200 169 138 05 , 0 2 j j ZTR  =      = ′ pu 15 j Y′TR =−

(21)

Solução Exemplo IV.4 (continuação):e o circuito equivalente é dado por: 1 I 2 I 1 V + – 2 V + – 15 j − Admitância em pu

c) Neste caso, tem-se 0,0888 169 15 NOM = = a e 0,1 138 8 , 13 ₌ =

a . Calculando em pu, tem-se:

pu 1267 , 1 169 138 15 8 , 13 NOM pu = = = a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (base1) pu 3 2 base pu 3 2 2 base pu 1 base pu 1 base pu 2 base pu φ φ S S V V Z Z L L         =

Para o modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m, ou seja, a tensão do lado de média tensão do transformador, sendo o

valor em pu na base 169/15 kV, 250 MVA dado por: pu 1058 , 0 100 250 15 8 , 13 05 , 0 2 j j ZTR  =      = ′ pu 4518 , 9 j Y′TR =−

Os parâmetros do circuito equivalente π são dados por:

(

)

(

)

(

)(

)

(

1

)

(

1 1,1267

)(

9,4518

)

1,198 pu pu 349 , 1 4518 , 9 1 1267 , 1 1267 , 1 1 pu 65 , 10 4518 , 9 1267 , 1 pu pu pu pu j j Y a C j j Y a a B j j Y a A TR TR TR = − − = ′ − = − = − − = ′ − = − = − = ′ =

e o circuito equivalente correspondente é:

1 I 2 I 1 V + – 2 V + – 65 , 10 j − Admitâncias em pu 349 , 1 j − j1,197

Exemplo IV.5 – Considerando que o transformador do Exemplo IV.4 alimenta uma carga de 50 MVA, com

fator de potência 0,9 indutivo, no enrolamento de menor tensão e que este é representado pelos três modelos determinados na solução do Exemplo IV.4 (em função das bases adotadas para o sistema pu), determinar o valor da tensão no lado de alta tensão em pu e em kV quando a tensão na carga é igual a 13,8 kV.

a) Considerando os dados do problema, têm-se os seguintes valores em pu para a tensão, potência e corrente secundária, para a base 138/13,8 kV, 100 MVA:

pu 1 8 , 13 8 , 13 2 = = V 0,9 1 0,9 0,45 0,2179 0,5 25,84 pu 100 50 2 2 = + = o      ₊ ₋ = j j S * 2 2 2 * 2 2 2 _       = ⇔ = = V S I I V S

(22)

Solução Exemplo IV.5 (continuação): pu 84 , 25 5 , 0 2179 , 0 45 , 0 1 2179 , 0 45 , 0 * 2  = − = − o      + = j j I

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

(

0,45 0,2179

)

1,0109 0,0225 1,0111 1,28 pu 05 , 0 1 2 2 1=V +Z I = + j − j = + j = o V TR kV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 0111 , 1 138 1= × o = + j = o V

b) Para a base 169/16,9 kV, 200 MVA, tem-se: pu 8166 , 0 9 , 16 8 , 13 2 = = V 0,9 1 0,9 0,225 0,1090 0,25 25,84 pu 200 50 2 2 = _ + j − _= + j = o S * 2 2 2 * 2 2 2 _       = ⇔ = = V S I I V S pu 84 , 25 3062 , 0 1335 , 0 2755 , 0 8166 , 0 1090 , 0 225 , 0 * 2  = − = − o      + = j j I

Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

(

0,2755 0,1335

)

0,8255 0,0184 0,8257 1,28 pu 0667 , 0 8166 , 0 2 2 1 = + − = + = o ′ + =V Z I j j j V TR kV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 8257 , 0 169 1= × o = + j = o V

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao do Item (a), mostrando que o resultado não depende das bases adotadas.

c) Para a base 169/15 kV, 250 MVA, tem-se: pu 92 , 0 15 8 , 13 2 = = V 0,9 1 0,9 0,18 0,0872 0,2 25,84 pu 250 50 2 2 = + = o      ₊ ₋ = j j S * 2 2 2 * 2 2 2 _       = ⇔ = = V S I I V S pu 84 , 25 2174 , 0 0948 , 0 1956 , 0 92 , 0 0872 , 0 18 , 0 * 2  = − = − o      + = j j I

Do circuito equivalente obtido na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por:

1 I _I₂ 1 V + – 2 V + – Admitâncias em pu SH I2 65 , 10 j − 349 , 1 j − j1,197

(

)

(

0,1956 0,0948 1,197 0,92

)

65 , 10 1 92 , 0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 − + × − + = + + =       ₊ + = j j j V C I A V I I A V V SH kV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 8257 , 0 169 1= × o = + j = o V

Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao dos Itens anteriores, mostrando que o resultado não depende das bases adotadas.

(23)

Exemplo IV.6 – Dado um transformador trifásico, 230/69 kV, 50 MVA, cuja reatância de dispersão vale 5%, determinar:

a) o circuito equivalente do transformador, se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA;

b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência igual a 0,8 indutivo;

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência igual a 0,8 capacitivo;

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador;

e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d).

a) Como x=5%=0,05 pu na base de 50 MVA, para a base de 100 MVA e tensões nominais tem-se: pu 10 , 0 50 100 05 , 0 j j ZTR = = YTR =−j10 pu

e o circuito equivalente é dado por:

1 S _I₂ 1 V + – 2 V + – 10 , 0 j Admitância em pu Lado 230 kV Lado 69 kV 1 I S2

b) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por: 3 , 0 4 , 0 8 , 0 1 100 50 8 , 0 100 50 2 2 1 j j S = + − = + pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 0 0,8696 230

200

1 = =

V pu, a corrente no

transformador é dada por: * 1 1 1 V I S = 0,4600 0,3450 0,5750 36,87o 8696 , 0 3 , 0 4 , 0 * * 1 1 1  = − = −      + =         = j j V S I

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

(

)

o 15 , 3 8363 , 0 0460 , 0 8351 , 0 3450 , 0 4600 , 0 10 , 0 8696 , 0 1 1 2 =V −Z I = − j − j = − j = − V TR o 15 , 3 71 , 57 2 = − V kV

c) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por: 06 , 0 08 , 0 8 , 0 1 100 10 8 , 0 100 10 2 2 1 j j S = − − = − pu

Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 0 1,0870 230

250

1 = =

V pu, a corrente no

transformador é dada por: * 1 1 1 V I S = 0,0736 0,0552 0,0920 36,87o 0870 , 1 06 , 0 08 , 0 * * 1 1 1  = + =      − =         = j j V S I

Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV:

(

)

o 39 , 0 0925 , 1 0074 , 0 0925 , 1 0552 , 0 0736 , 0 10 , 0 0870 , 1 1 1 2 =V −Z I = − j − j = − j = − V TR o 39 , 0 38 , 75 2 = − V kV

(24)

Solução Exemplo IV.6 (continuação):

d) A potência complexa fornecida para a carga nas situações dos Itens (b) e (c) são dadas por: * 1 2 * 2 2 2 V I V I S = =

e as perdas no transformador são dadas por: 2

1 perdas S S

S = − ou Sperdas =ZTR I12 Para o Item (b), tem-se:

(

)(

)

o 72 , 33 4809 , 0 2669 , 0 4000 , 0 3450 , 0 4600 , 0 0460 , 0 8351 , 0 * 2 = − j − j = + j = S 0331 , 0 ) 2669 , 0 4000 , 0 ( 3 , 0 4 , 0 perdas j j j S = + − + = pu 0331 , 0 5750 , 0 1 , 0 2 perdas j j S = = pu 31 , 3 perdas j S = MVA

Para o Item (c), tem-se:

(

)(

)

o 26 , 37 1005 , 0 0608 , 0 0800 , 0 0552 , 0 0736 , 0 0074 , 0 0925 , 1 * 2 = − j + j = − j = S 0008 , 0 ) 0608 , 0 0800 , 0 ( 06 , 0 08 , 0 perdas j j j S = − − − = pu 0008 , 0 0920 , 0 1 , 0 2 perdas j j S = = pu 08 , 0 perdas j S = MVA

e) Fasor tensão – No Item (b) a magnitude da tensão em pu no enrolamento de 69 kV é menor do que no enrolamento de 230 kV, pois este fornece potência ativa e reativa para a carga, havendo queda de tensão em sua impedância de dispersão. No Item (c) o fluxo de potência reativa ocorre do enrolamento de 69 kV para o enrolamento de 230 kV (carga capacitiva) e isto faz com que a tensão em pu do enrolamento de 69 kV apresente magnitude superior. Em ambos os casos, o fluxo de potência ativa é em direção ao enrolamento de 69 kV, sendo o ângulo de fase do fasor tensão V menor do que do fasor tensão 2 V . 1

Potência complexa na carga – Nos Itens (b) e (c) a potência ativa na carga é a mesma fornecida para o transformador, pois o modelo considera apenas a reatância de dispersão. A potência reativa difere, pois existe um consumo de potência reativa na reatância do transformador.

Perdas ativas e reativas – Em ambos os casos não existem perdas de potência ativa e existe um consumo de potência reativa em função da reatância de dispersão do transformador ser percorrida pela corrente. No Item (b) as perdas são maiores, pois a corrente é maior.

Exercício IV.4 – Dado um transformador trifásico, 230 (+4)(–8)×1,875%/69 kV, 50 MVA, cuja reatância

de dispersão vale 5%, determinar:

a) o circuito equivalente do transformador, indicando os valores mínimos e máximos da relação de transformação em pu (a), se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA;

b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência igual a 0,8 indutivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 13);

c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência igual a 0,8 capacitivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 1);

d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador;

(25)

Como para a linha de transmissão, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m:

[

]

(

) (

)

(

)

(

km k

) (

km km

) (

km k

) (

m km km

)(

km km

)

km m k km km km km km k km m k km km km k km m km km k km km k m km km k km km k km k km j jb g V V a jb g V a V V jb g a jb g V a V V Y a Y V a V Y a V Y a V V Y a V Y a V I V S θ θ θ sen cos 2 2 * * * 2 2 * * * * 2 * 2 * + − − − = − − − = = − =     _ ₋      = = − = =

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

(

km k

)

km

(

km k

) (

m km km km km

)

km a V g a V V g b

P = 2 − cosθ + senθ (IV.16)

(

km k

)

km

(

km k

) (

m km km km km

)

km a V b a V V g b

Q =− 2 − senθ − cosθ (IV.17)

O fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é dado por:

(

km k

) (

m km mk km mk

)

km m

mk V g a V V g b

P = 2 − cosθ + senθ (IV.18)

(

km k

) (

m km mk km mk

)

km m

mk V b a V V g b

Q =− 2 − senθ − cosθ (IV.19)

Exercício IV.5 – Conhecidos os parâmetros que definem o transformador em fase e os fasores das tensões

terminais, mostrar como é possível determinar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.7 – O modelo do transformador defasador

Os transformadores defasadores são equipamentos capazes de controlar, dentro de determinadas limitações, a relação de fase entre o fasor tensão do primário e do secundário. Para um transformador defasador puro, a relação de transformação em pu é representada por um número complexo de módulo unitário e ângulo de fase ϕ, ou seja, é dada por 1:t_km, com t_km =ejϕ, ou seja, 1:1ϕ. A representação de um transformador defasador puro está mostrada na Figura IV.15.

k km I Zkm =rkm+ jxkm m mk I k k k V V = θ p pm I m m m V V = θ km j km e t = ϕ : 1 km k k k j p e V V V = ϕkm = θ +ϕ

Figura IV.15 – Representação de um transformador defasador puro.

Da relação do transformador ideal:

km k k k k km k j k km p j km p k V V V e V t V e t V V _km km ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ ⇒ = = = ⋅ = + = = 1 1 1 pm j pm km km j km pm km I e I t I e t I I ₌ * ₌ −ϕ_km _⇒ ₌ * ₌ −ϕ_km

(26)

As correntes Ipm, Ikm e Imk são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m (Vk =V_k θ_k , km k k p p p V V

V = θ = θ +ϕ e Vm =V_m θ_m, respectivamente) e do valor da admitância série

km km z y = 1 :

(

p m

)

km

(

_km k m

)

km pm Y V V Y t V V I = − = −

(

)

_km_km km k _km km m I m k km km km pm km km t I t Y t V V t t Y V t Y V I pm * * * * ₌ ₋ ₌ ₋ = 64 74 4 84 Ikm=t_km* t_kmYkmVk+

(

−t*_kmYkm

)

Vm (IV.20)

(

_km k m

)

_km km k km m km pm mk I Y t V V t Y V Y V I =− =− − =− + Imk=

(

−t_kmYkm

)

Vk +YkmVm (IV.21)

Assim, o transformador defasador não pode ser representado por um circuito equivalente do tipo π, conforme está ilustrado na Figura IV.15, pois o coeficiente de V da expressão (IV.20), m −t_km* Ykm, é

diferente do coeficiente de V da expressão (IV.21), k −t_kmYkm.

Como anteriormente, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m:

[

]

(

)

(

)

(

km km

)

k m

(

km km

) (

[

km km

)

(

km km

)

]

k km m k km km km km km k m k km km km k m km km k km k m km km k km k km k km j jb g V V jb g V V V jb g jb g V V V Y t Y V V Y t V Y V V Y t V Y V I V S ϕ θ ϕ θ θ ϕ + + + − − − = − − − = = − =     ₋ = = − = = sen cos 1 2 2 * * * 2 * * * * * * *

Separando as partes real e imaginária, chega-se a:

(

)

(

)

[

km km km km km km

]

m k km k km V g VV g b

P = 2 − cosθ +ϕ + senθ +ϕ (IV.22)

(

)

(

)

[

km km km km km km

]

m k km k km V b V V g b

Q =− 2 − senθ +ϕ − cosθ +ϕ (IV.23)

Exercício IV.6 – Determinar a expressão do fluxo de potência complexa da barra m para a barra k.

Utilizando esta expressão equacionar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador.

IV.8 – Expressões gerais dos fluxos de corrente e de potência

As expressões dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, podem ser generalizadas de forma tal que seja possível utilizar sempre a mesma expressão, fazendo algumas considerações para particularizar o equipamento em questão. Assim, os fluxos de corrente nestes equipamentos obedecem às seguintes expressões gerais:

(

_km _km km _kmsh

) (

k _km km

)

m km t t Y jb V t Y V I = * + + − * Ikm =

(

a_km2 Ykm+ jb_kmsh

) (

Vk+ −a_kme−jϕkmYkm

)

Vm (IV.24)

(

_km km

) (

k km _kmsh

)

m mk t Y V Y jb V I = − + + Imk =

(

−a_kme+jϕkmYkm

) (

Vk + Ykm+ jb_kmsh

)

Vm (IV.25)

De acordo com o tipo de equipamento, as variáveis akm, ϕkm e sh km

b assumem valores particulares, mostradas na Tabela IV.2.

Tabela IV.2 – Parâmetros para os diferentes equipamentos nas expressões gerais dos fluxos.

Equipamento akm ϕkm bkmsh

Linha de transmissão 1 0

Transformador em fase 0 0

Transformador defasador puro 1 0

(27)

Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, obedecem às seguintes expressões gerais:

(

km k

)

km

(

km k

)

m

[

km

(

km km

)

km

(

km km

)

]

km a V g a V V g b

P = 2 − cosθ +ϕ + senθ +ϕ (IV.26)

(

)

(

)

(

km k

)

m

[

km

(

km km

)

km

(

km km

)

]

sh km km k km km a V b b a V V g b

Q =− 2 + − senθ +ϕ − cosθ +ϕ _(IV.27)

Assim, as expressões (IV.24) a (IV.27) podem ser utilizadas indistintamente para o cálculo dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, bastando utilizar os parâmetros conforme a Tabela IV.2.