Uma visão sobre Codificação Wavelet de Imagens
Lucas de Oliveira. Atualmente está no programa de mestrado no Departamento de Comunicações Visuais da
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp.
Ana Lúcia M. Cruz Atualmente está no programa de Pós Doutoramento do Departamento de Comunicações da Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação da Unicamp e é co-coordenadora do projeto
LCV-ITASAT.
Fernando S. da Silva Concluiu o curso de Graduação em Engenharia Elétrica em 1998 e obteve o título de Mestrado em
2001 e de Doutorado em 2005, pela UNICAMP.
Yuzo Iano Concluiu o curso de Graduação em Engenharia Elétrica em 1972 e obteve o título de Mestrado em
1974 e de Doutorado em 1986, pela UNICAMP.
Roger F. L. Chavez Concluiu o curso de Graduação em Engenharia de Sistemas na Universidade de San Agustín, Arequipa, Peru, em 2002. Recebeu seu título de mestre na Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP – em 2007, especializado em reconhecimento de padrões.
Vicente Idalberto Becerra Sablón Concluiu a graduação em Engenharia Radio Técnica: especialidade Sistemas de Comunicações pelo
Instituto Tecnico Militar (1985), graduação em Engenharia Eletrônica - Universidad Central de Las Villas (1985),Especialização em Processamento Digital de Sinais Biomedicas. Universidad Central de Las Villas(1996),mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (1998) e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (2002).
Esta pesquisa foi financiada pelas seguintes instituições: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior).
Abstract—This paper presents a vision concerning the basis and the potentialities of the
Wavelet Coding of Signals focused in images. Subjects as basic theory, applications, multiresolutional analysis, the Mallat’s Algorithm, biotogonality, regularity and lifting schemes are detailed. A complete research across traditional references and state of art is presented involving each topic, leading to a brief experimental analysis based on simulations that demonstrate the impact of wavelets regularity in the processing time and compaction of energy.
Index Terms—wavelet, multiresolution, biortogonality, lifting scheme, data compression.
Resumo— Este artigo tem por objetivo apresentar uma visão sobre as bases e potencialidades da Codificação Wavelet de sinais focada em imagens. Tópicos como teoria básica, aplicações, análises Multiresolução, Algoritmo de Mallat, Biortogonalidade, Regularidade e esquemas de Lifting encontram-se detalhados. Uma abordagem bastante completa acerca da bibliografia tradicional e em estado da arte é apresentada sobre envolvendo cada tópico, culminando com uma breve análise experimental baseada em simulações que
ilustram o impacto da regularidade das wavelets sobre o tempo de processamento e compactação de energia.
Palavras chave—wavelet, multiresolução, biortogonalidade, esquema lifting, compressão de
dados.
1. INTRODUÇÃO
As Transformadas Wavelet (TW) tem sido fortemente adotadas para a compressão de sinais, em especial dada a sua habilidade em representar de forma eficiente transientes tais como sons de áudio ou componentes de alta freqüência em imagens, atingindo altas taxas de compressão quando combinadas a esquemas tais como EZW (Embedded Zerotree Wavelet
Coding) ou SPIHT (Set Partitioning in Hierarchical Trees) [1]. Apresentando algoritmos
rápidos, boa capacidade de concentrar a energia do sinal em poucos coeficientes, transmissão progressiva, além de não introduzir artefatos de blocagem, a TW hoje faz parte de importantes padrões recentes de compressão de imagem e vídeo, tais como o JPEG2000, MPEG-4 e MPEG-7 [1]. Figuram entre aplicações do JPEG2000, por exemplo, dispositivos tais como câmeras digitais, assistentes digitais pessoais, telefones 3G móveis, fac-símile, impressoras, varredores etc.).
Estudos mais recentes também têm sido realizados para otimizar a TW [2] e para realizar a compressão wavelet de imagens estáticas explorando características geométricas das imagens, obtendo melhores resultados em termos de qualidade visual com menor complexidade [3]. Codificadores de vídeo tais omo codificadores Rududu [4] (que utiliza Libdwic Directional
Wavelet Image Compression), codificador Dirac, Pixlet (codec intraframe para Apple), padrão
ECW (Enhanced Compression Wavelet), MrSID (Multiresolution Seamless Image Database) e formato de vídeo Bink foram também desenvolvidos utilizando esta transformada. Imagens
codificadas com wavelet também apresentam vantagens ao serem reconstruídas no caso de perdas de pacotes na rede [5].
Remonta a importância da TW sua ampla variedade de aplicações nas mais diversas áreas da ciência. Em análise de dados, a TW encontra aplicações entre esquemas de procura (data
mining) [6], análise de bases de dados de meteorologia [7] e mineração de dados em conjunto de
imagens [8].
Em imagens médicas as wavelet são usadas, por exemplo, em especificações de DICOM para o intercâmbio médico dos dados, codificação e compressão de sinais ECG [9], detecção de câncer através de análise espectroscópica [10], classificação de cadeias (mapeamento de genes) [11], entre outros. É comum utilizar wavelet 3D em vídeo para aplicações médicas, onde a alta complexidade inerente é contornada com diversas técnicas, tais como, por exemplo, a exploração das características da tecnologia Hyper-threading de alguns processadores [12]. Muitos hospitais fazem uso de compressões de imagens com perdas com taxas de compressão de 10:1 e até 40:1 operando sem perdas de informações com relevância clínica [13][14].
Adicionalmente, wavelets são utilizadas em análise de sinais de voz para tratamentos de algumas doenças [15], classificação de tomografias [16], diagnósticos de problemas no coração [17] e em restauração de imagens de ultra-som [18]. Na área de inteligência artificial, é adotada em filtragem e compressão de sinais de um olfato artificial [19] e reconhecimento de objetos utilizando características locais e globais [20].
Também figuram entre as aplicações que adotam a TWD sistemas pertencentes as Forças armadas (imagens de alta definição de satélites, detecção do movimento, distribuição e armazenamento da rede), sensoriamento remoto, codificação de imagens de radar [21], rastreamento geográfico, compressão de objetos com GeoRaster [22], algoritmos para inserir marca de água Watermarking [23] (em sinais de vídeo [24], em imagens médicas [25], até em
sinais musicais [26]), e até mesmo em controle e proteção de linhas de transmissão quando aliada a redes neurais[27].
O presente artigo encontra-se organizado como se segue: Seção 2 inclui a Transformada Wavelet (TW) Contínua. Seção 3 envolve a TW Discreta e o Algoritmo de Mallat, enquanto as Seções 4, 5 e 6 apresentam, respectivamente, a Análise Multiresolução e Projeto da TWD; Biortogonalidade; e a TWD Bidimensional. A Seção 7 analisa as questões de regularidade e seleção das wavelets e a Seção 8 a implementação de lifting. Seção 9 refere-se aos resultados experimentais e na Seção 10, são apresentadas as conclusões.
2. Transformada Wavelet contínua direta(TWC)
Seja a wavelet (x) uma função oscilatória e de curta duração, a TWC é uma transformada
real e é definida pela seguinte expressão [28]:
a b
f f
x
x dx W , ,a,b
a,b (1) onde as funções-base a,b(x) são comumente chamadas de wavelets-filhotes, versõesdeslocadas e dilatadas ou comprimidas da wavelet-básica (x) e capazes de gerar todo o espaço L2(). Sendo a>0 e b números reais:
a b x a 1 x b a, ψ (2)Em (2), b é o parâmetro responsável pelo deslocamento de (x) ao longo do eixo x, a é o
parâmetro responsável pela dilatação ou compressão e a constante a-1/2 é o termo de normalização da energia. Definindo o complexo conjugado refletido sa wavelet escalonada de a, para b=0, e normalizada por a-1/2, tem-se:
a x a 1 x x a a ~ (3)
a b
f
x a
x b
dx f aW ,
*~
(4)
Nota-se que para a fixo, W(a,b) é a convolução de f(x) com o complexo conjugado refletido da wavelet-básica escalonada. A TWC pode ser interpretada como um banco de filtros lineares atuando sobre f(x), conforme ilustrado na Fig. 1. Todas as saídas dos filtros juntas compõem a TWC. Nota-se que 1
x 2
x 3
x 4
x ~ , ~ , ~ , ~ são cada uma, a wavelet-básica escalonada com uma “freqüência” diferente e portanto cada uma é uma família de wavelets graças ao deslocamento b. Cada uma é ainda um conjunto de funções-base de mesma “freqüência”.
Fig. 1. Interpretação da TWC por banco de filtros [1].
3. Transformada Wavelet Discreta e Algoritmo de Mallat
A codificação por subbanda, técnica esta que levou ao desenvolvimento da implementação da Transformada Wavelet Discreta (TWD), possibilita a codificação compacta de sinais de áudio e vídeo, tendo por finalidade decompor o sinal em componentes limitados em faixas de freqüências, representando-os sem redundância [28][29].
Uma vez determinada a wavelet-básica do sistema, Mallat [30] definiu um algoritmo mais eficiente e que é efetivamente utilizado para a implementação da TWD. Este é conhecido simplesmente por algoritmo de Mallat ou também chamado de FWT (Fast Wavelet Transform) ou Mallat’s Herringbone Algorithm, esquematizado nas Figs. 2 e 3.
f(x)
W(1,x)
W(2,x)
Fig. 2. Algoritmo de Mallat (TWD direta) [30].
Fig. 3. Algoritmo de Mallat (TWD inversa) [30].
Neste contexto, a codificação por subbanda começa com a partição do eixo de freqüências em intervalos disjuntos de forma a permitir a implementação de filtros passa-faixas nos quais o sinal será submetido. Deste modo, considerando que o sinal a ser analisado seja f(i.x), seu espectro é
submetido a dois filtros sendo estes passa-baixas meia banda h(i.x) e passa-faixas meia banda g(i.x).
Com a realização da filtragem, y0(i.x) refere-se à saída Passa Baixas (PB) de h(i.x), a qual
sofre, a seguir, subamostragem ou decimação, sendo geralmente representado com a metade das amostras sem perda de informação [30]. Já y1(i.x) refere-se a saída do filtro g(i.x) e contém
exatamente a informação de alta freqüência que foi eliminada de f(i.x) durante a geração de y0(i.x), podendo dizer que, y0(i.x) e y1(i.x) contém juntos toda a informação presente no sinal
original f(i.x) [28][1]. O processo é iterativo sobre a PB resultante do passo anterior, sendo a
PB novamente submetida aos dois próximos filtros, até que seja obtido um único coeficiente. Vale frisar que, a saída dos filtros g(i.x) são retidas a cada processo de iteração, correspondendo
às características de detalhes do sinal.
Os coeficientes transformados são então o coeficiente banda-baixa e o conjunto de coeficientes meia-banda alta codificados, totalizando N coeficientes.
Cada conjunto de coeficientes transformados é obtido através da convolução de f(i.x)
repetidamente com h(ix) e somente uma vez com g(i.x). Daí as funções-base da TWD, ψj,n(x)
serem a reflexão de g(i.x) e de funções derivadas da convolução de g(i.x) repetidamente com
h(i.x) [1].
O processo de reconstrução do sinal original f(i.x) é realizado por meio de superamostragem
dos dois sinais codificados em subbanda, seguindo de uma interpolação com 2h(i.x) e 2g(i.x) e
efetuando a soma destes. Maiores informações podem ser encontradas em [30].
4. Análise Multiresolução e Projeto da TWD
A resolução de um sinal f(x) L2(R) definido no intervalo 0< x <x0 é a quantidade de pontos
para os quais ele é definido [31][30]. Ao alterar a resolução do sinal f(x) original, o sinal resultante dessa mudança é chamado de uma aproximação de f(x). Dada uma seqüência crescente de resoluções {rj , j Z} adotadas para o sinal, os detalhes com uma dada resolução rj do sinal são
definidos como a diferença de informação entre a aproximação com resolução rj e a aproximação
com resolução rj-1 , mais baixa [30].
Considere o sinal original f(x) L2(R) e que o operador A2j seja responsável pela projeção de f(x) no subespaço vetorial V2j L2(R), gerando sua aproximação com resolução 2j. O operador
j
2
A é um operador de projeção no subespaço vetorial V2j L
2
(R). O subespaço vetorial V2j pode
ser interpretado como o conjunto de todas as possíveis aproximações de todas as funções L2(R)
no nível de resolução j 2 .
A. Propriedades
Diversas propriedades são mencionadas para A2j e V2j em [1]. Esta seção sumariza suas
principais implicações.
Dentre todas as aproximações da função f(x) no nível de resolução 2j, A2j f
x é a função quemais se aproxima de f(x), ondejZ,V2j V2j1. É definida também a seguinte hierarquia de
subespaços:
V2-1 V20 V21 V22
(5) A operação aproximação independe do nível de resolução e à medida que a resolução aumenta tendendo a +, a aproximação converge para o sinal original.
Definição A Qualquer conjunto de subespaços vetoriais
V2j que satisfaçam determinadaspropriedades [30] é chamado de Aproximação por Multiresolução em L2(R). O conjunto de
operadores
A2j associados a este conjunto de espaços vetoriais gera as aproximações dequalquer função f(x) L2(R) em todos os níveis de resolução j
2 , para jZ.
Teorema A Seja
V2j ,jZ
uma aproximação por multiresolução em L2
(R). Dado j, há um
único operador A2jque faz a projeção ortogonal de f(x) na base ortonormal de V2j. Existe uma
única função (x) L2(R) responsável pela formação de todas as bases ortonormais de todos os
subespaços. Essa função (x) é denominada função-escala que define [30]:
x 2j 2
2jx n
, n Z nj
/
, (6)
A Fig.4 mostra um esquema da relação entre j,n(x) eV2j. Deste modo, a projeção ortogonal de f(x) no subespaço vetorial V2j pode ser obtida através da decomposição desta função em uma base
ortonormal, assim:
x L
R A f
x f
x f jn n n j j , , 2 2 , ,
(7) A aproximação discreta de f(x) na resolução 2j é denominada por:} , , { , 2 f f n Z A jn d j (8)
Fig. 4. Esquema ilustrativo da relação entre j,n(x) e V2j para j[-1,1] [1]
B. Implementação da Transformada Multiresolução Ortogonal: Decomposição (Análise)
Os sinais utilizados na prática são discretos sendo simbolizados por A2dj.f e possuindo resolução máxima finita. É possível obter aproximações do sinal discreto original a partir de outras aproximações, sendo esta a base da análise multiresolução. A Fig.5 ilustra a obtenção da projeção em V2ja partir da projeção em V2j1, onde A f
d j. 2 refere-se à aproximação e D f d j. 2 ao detalhe.
Fig. 5. Diagrama em blocos do esquema de decomposição
Pode-se obter A2dj.f , convoluindo A f
d j1.
2 com h(-n) e dizimando o resultado por um fator de 2, tendo assim que:
j 1,k k n j, h k 2n f f
, , (9) onde:
m
u
u n Z h -1,0 ,0,m (10) O sinal formado a partir da diferença de informação entre os níveis de resolução 2j e 2j+1 é denominado de sinal de detalhamento no nível de resolução 2j. O subespaço vetorial W2j é ocomplemento ortogonal do subespaço vetorial V2j, como pode ser observado pela Fig.6.
A projeção de f(x) em W2j necessita de uma base ortonormal para gerar o subespaço W2j .
Assume-se que (11) seja uma base ortonormal para W2j[30][31].
Fig. 6. Espaço vetorial W2j[1]
Z n n x x j j n j ( )2 (2 ), 2 / , (11)
Expandindo ψj,n na base ortonormal de V2j1, pode se obter de modo análogo à seção anterior que:
k k j n j g k n f f, , 2 , 1, (12) onde:
m
u
u n Z g -1,0 ,0,m (13) Os filtros g(n) e h(n) utilizados no processo de decomposição e síntese da TWD satisfazem determinadas propriedades e são relacionados por [31]:
w H e w G iw
n h
n
g 1n1 1 (13)Os coeficientes do sinal de detalhamento visto na Fig.2 contêm a diferença de informação entre f A2dj. e A f d j1. 2 , dado por:
f n Z
f D2dj ,j,n , (14)A representação wavelet ortogonal do sinal discreto A1d.f pode ser calculada através de
sucessivas decomposições de A2dj1.f em A f d j. 2 e D f d j. 2 , sendo –J j -1:
2 , 2 Jj1
d d f D f A J j (15)sendo composta então pela aproximação A2dJ.f de resolução mais grosseira (DC) e pelos detalhes f
D2dJ. com resoluções 2
j
(ACS). Se o sinal original possuir N amostras, então os sinais discretos referente à aproximação e aos detalhes possuem 2jN amostras cada. Assim, a representação wavelet (15) apresenta o mesmo número de amostras que Ad f
.
1 , devido à ortogonalidade de
C. Implementação da Wavelet Multiresolução Ortogonal: Reconstrução (Síntese)
O sinal original discreto pode ser reconstruído e sabe-se que o espaço vetorial definido para a representação wavelet ortogonal é completo. Como W2j é o complemento ortogonal de V2j em
1
2j
V ,
j,n(x)
,j,n(x)
nZé uma base ortonormal em V2j+1
. Pode escrever j+1,n(x) como:
) ( , ) ( , ) ( , , , 1 , , , 1 , 1 x x x k j k k j n j k j k k j n j n j
(16)Calculando-se o produto interno de ambos os lados de (16) com f(x), tem-se:
) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , , , 1 , , , 1 , 1 x x f x x f x x f k j k k j n j k j k k j n j n j
(17)Realizando uma mudança de variáveis nos produtos internos em (17), obtém-se:
)
2
(
)
(
),
(
)
(
),
(
, 1,0 0, 2 , 1nu
jku
u
n ku
h
n
k
j
(18))
2
(
)
(
),
(
)
(
),
(
, 1,0 0, 2 , 1nu
jku
u
n ku
h
n
k
j
(19)Substituindo (18) e (19) em (17), permite reescrever em função dos filtros h(n) e g(n), obtendo:
k k j k k j n j x x f k n g x x f k n h x x f ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ), ( ) 2 ( ) ( ), ( , , , 1 (20)A equação (20) mostra que A2dj1.f pode ser construída por superamostragem, ou seja, com a inserção de um zero entre cada amostra A2dj.f e D f
d j.
2 e convoluindo os resultados com h(n) e
g(n), respectivamente. Cada coeficiente de A2dj1.f é formado por todos os coeficientes de A f
d j.
2 e
f D2dj. .
Na Fig.7, encontra-se o diagrama em blocos da reconstrução do sinal. Vale ressaltar que, no algoritmo de decomposição utiliza-se h(-n) e g(-n), enquanto na síntese utilizam-se filtros de resposta impulsiva h(n) e g(n).
Contudo, a escolha arbitrária pode levar a wavelets sem o comportamento desejado. Nesse contexto, diversos pesquisadores se aprofundaram na construção de wavelets que obedecessem à determinadas características importantes para as mais diversas aplicações, elaborando algoritmos partindo de h(n) e achando (x), g(n) e (x).
Fig.7. Diagrama em blocos do esquema de reconstrução da representação wavelet [30]
5. Biortogonalidade
Muitas propriedades interessantes podem ser obtidas ao se utilizar uma base ortogonal para a expansão de sinais. Através dela o sinal pode ser decomposto em um conjunto de coeficientes independentes via projeção, onde cada coeficiente corresponde a um elemento dessa base, não havendo redundância.
No processamento de imagens, contudo, é importante que a transformada utilizada apresente outras vantagens tais como suporte compacto, simetria e regularidade. Para contornar essas questões conflitantes, a condição de ortogonalidade é relaxada, gerando a biortogonalidade.
As wavelets biortogonais são uma generalização das wavelets ortogonais [32]-[34]. Neste contexto, a análise multiresolução para wavelets biortogonais é similar à apresentada para o caso ortogonal, porém há dois espaços vetoriais V2j, Vj
2 ~
dois espaços vetoriais de detalhamento W2j e W2j
~ , assim como um par de wavelets duais
x e x ~
[3].
A. Bases para Multiresolução Wavelet Biortogonal
A família
j,n
é uma base ortonormal para V2j. Essa família também constitui um frame,sendo a definição de frame dada por:
Definição B Seja { gk , kK} um conjunto de funções em L2(R). Este conjunto é um frame se
existirem números 0< A B< , tais que [32]-[34]:
R L f f B f g f A K k k 2 2 2 2 , ,
(21) Um frame é um conjunto de funções, tais que qualquer função não-nula deve ter uma projeção não-nula em pelo menos uma delas. Maiores detalhes sobre a teoria de frames pode ser encontrado em [1].Define-se o conjunto de funções {k , kK} como sendo o frame dual de {gk , kK} obtido da
seguinte forma [35]: k 1 k
T
g
(22) Qualquer função f(x) L2(R) pode ser expressa por:
x g f x f k K k k . , ) (
ou (23)
x g f x f k K k k . , ) (
(24)Deve-se notar que para realizar a transformada inversa precisa-se então apenas calcular o frame dual. Se o frame for estreito, T=A.I (onde I é o operador identidade) e portantok=A-1gk ,
tornando trivial a obtenção do dual. Caso o frame não seja estreito, o dual é obtido de forma não trivial. A biortogonalidade permite que wavelets e funções-escala simétricas e de reconstrução exata sejam construídas, o que se constitui numa de suas principais vantagens.
B. Análise ou Decomposição
O subespaço W2j é o complemento não-ortogonal de V2j em V2j1 . Por sua vez, Wj
2 ~ é o complemento não-ortogonal de V2j ~ em 2 1 ~ j
V , onde Daubechies [36] expressa que:
j j W V 2 2 ~ e V j W j 2 2 ~ (25)
Respeitando estas relações, em desenvolvimento análogo ao caso ortogonal, chega-se à aproximação discreta e ao sinal de detalhamento que são representados, respectivamente, por:
f n Z
f A j jn d , ~ , 2 (26)
f n Z
f Ddj jn, ~ , , 2 (27)Assim, o processo de decomposição da análise multiresolução biortogonal pode ser caracterizado por:
k k j n j h k n f f , 1, ~ , 2 ~ ~ , (28)
k k j n j g k n f f , 1, ~ , 2 ~ ~ , (29) onde:
m
u
u h~ ~1,0 ,0,m (30)
m
u
u g~ ~1,0 ,0,m (31) C. Síntese ou ReconstruçãoA reconstrução do sinal a partir da representação wavelet biortogonal é semelhante à síntese multiresolução ortogonal, resultando em:
k k j k k j n j x x f k n g x x f k n h x x f ) ( ~ ), ( ) 2 ( ) ( ~ ), ( ) 2 ( ) ( ~ ), ( , , , 1 (32)Note que A2dj1.f pode ser reconstruída pela inserção de um zero entre cada amostra de A f d j. 2 e f Dd j.
2 e convoluindo os resultados com os filtros h(n) e g(n), respectivamente. Cada coeficiente
de A2dj1.f é formado por todos os coeficientes de A f
d j. 2 eD f d j. 2 .
O esquema de decomposição e síntese da TW biortogonal encontra-se na Fig.8. Observa-se que na decomposição utiliza-se h ~
n
e g ~
n
, enquanto na síntese utiliza-se filtros de resposta impulsiva h(n) e g(n). Esta característica é diferente da TW ortogonal, na qual são utilizados os mesmos filtros h(n) e g(n) na decomposição e na síntese. Além disso, os filtros correspondentes àwavelet biortogonal são mais flexíveis, fáceis de projetar e podem ser simétricos [37].
Fig.8. Diagrama em blocos do algoritmo de decomposição e síntese da TWD biortogonal
6. Transformada Wavelet Discreta 2D
Já são conhecidos os excelentes resultados da TWD quando aplicada à compressão de imagens estáticas e vídeo. Bons exemplos podem ser encontrados em [38]-[43]. Na análise multiresolução para o caso 2D a partir de wavelets ortogonais, sabendo que V21j é a Aproximação por
Multiresolução em L2(R), tem-se que o subespaço vetorial V22j é definido como o produto
tensorial dado por:
1 2 1 2 2 2j V j V j V (33)
que definirá, preservadas as mesmas propriedades, a Aproximação por Multiresolução em L2(R2).
Sendo (x) a função-escala unidimensional referente a
1 2ja função-escala bidimensional (x,y) ortogonal é separável, podendo ser expressa por:
x y
x y , (34)
O mesmo ocorre para a base ortogonal em 2 2j V :
2 y x n j n j n n j; x,y x,y , x x , y y ,n ,n Z (35) A aproximação discreta de uma imagem f(x,y) na resolução 2j é obtida por:
2
, , 2 f f u,v, u v , n ,n Z Ad jn jn x y y x j (36) Assim: y x y x y x k k k k 1 j x x y y n n j xy hk 2n hk 2n f xy xy y x f , ; , , , ; , , (37) onde
m
u v
u v
u
u
v
v h
hm h, 1;0,0 , ,0;,m , 1,0 ,0 , 1,0 ,0 ,m (38) A aproximação A2dj1.f é filtrada na direção horizontal com o filtro h(-n) 1D, sendo o resultado dizimado por um fator de 2 nessa direção. Em seguida, o resultado é filtrado na direção vertical com o mesmo filtro h(-n), dizimado novamente por um fator de 2 na direção vertical, conforme esquematizado no ramo superior da Fig.9. Todas as aproximações Ad fj
2 para j<0 podem ser
obtidas recursivamente tendo como ponto de partida Ad f
1 utilizando esse procedimento.
Sendo
2 2jV a Aproximação por Multiresolução separável em L2(R2), o detalhe no nível de
resolução 2j é a projeção de f(x,y) no subespaço vetorial 2 2j
W que, analogamente ao caso 1D, é o complemento ortogonal de 2
2j
V em 2
2j1
V .
Teorema B Estendendo o Teorema B para o caso 2D, sendo a função-escala 2D separável
responsáveis pela formação das bases ortonormais [28][30]. As três wavelets bidimensionais são dadas por:
x y
x y y x y x y x y x 3 2 1
, , , (39)Fig. 9. Diagrama de blocos de um estágio de decomposição wavelet de uma imagem
Assim, a família
i
x y
, 1 i 3
y n x n j; , , dada em (40) é uma base ortonormal para cada 2 2j W .
2 y x y j x j 3 j 3 y j x j 2 j 2 y j x j 1 j 1 Z n n , n y 2 , n x 2 2 y x n y 2 , n x 2 2 y x n y 2 , n x 2 2 y x y n x n j y n x n j y n x n j , , , , , ; , ; , ; (40)Analogamente ao caso unidimensional e baseado no Teorema B, a diferença de informação entreAd f
2j1 eA f d
2j é igual à projeção ortogonal de f(x,y) no subespaço 2 2j W [31]:
, , x,y ,nx, Z
1 , ; 1 2 f f x y jn n ny D j x y
, , 2 x,y ,nx, Z
, ; 2 2 f f x y jn n ny D y x j
, , 3 x,y ,nx, Z
, ; 3 2 f f x y jn n ny D y x j (41) que correspondem às três imagens de detalhes.As diferentes imagens de detalhes D2dj.f podem ser calculadas por meio de filtragens sucessivas e subamostragens de Ad f
j1.
2 em ambas as direções, conforme visto em:
x,y x,y gk 2n hk 2n fx,y x,y f y x x y y x j1;n,n k x x k y y 1 n , n ; j x,y x,y hk 2n gk 2n fx,y x,y f y x x y y x j1;n,n k x x k y y 2 n , n ; j x,y x,y gk 2n gk 2n fx,y x,y f y x x y y x j1;n,n k x x k y y 3 n , n ; j (42) onde (43) sendo i o índice da wavelet utilizada:
m
uv
uv
g 0 ,m i 0,0 ; 1 i , , , , ; (43)A Fig.6 ilustra a representação wavelet ortogonal 2D de uma imagem original Ad f
j.
2 , a qual
pode ser calculada por intermédio de sucessivas decomposições de A2dj1.f em A f
d j. 2 , D j.f 1 2 , f D j. 2 2 eD j.f 3
2 , sendo -J j -1. O estágio completo encontra-se na Fig. 9.
Para qualquer J >0, a representação wavelet 2D ortogonal da imagemAd f
x y
1 , é dada pelas 3J+1 imagens discretas:
A f D f , D f , D f
-1 j J -3 2 -1 j J -2 2 -1 j J -1 2 d 2J , j j j A imagem A2dJ.f é a aproximação de A f d . 12 com nível de resolução 2 -J
, o que diz respeito às freqüências mais baixas de f(x,y). As imagens de detalhamento obtidas para os diferentes níveis de resolução são caracterizadas como: D j.f
1
2 refere-se às freqüências verticais altas (linhas
horizontais da imagem), D j.f
2
2 refere-se às freqüências horizontais altas (linhas verticais da
imagem) e D j.f
3
Se a imagem original possuir N pixels, cada imagem A2dJ.f , D j.f 1 2 , D j.f 2 2 , D j.f 3 2 da
representação terá o tamanho de 22jN pixels, resultando nos mesmos N pixels da imagem original
[1].
Para reconstruir a imagem em questão, o procedimento é análogo as seções anteriores. Deste modo, para reconstruir A2dj1.f há a inserção de uma coluna de zeros entre cada coluna de
f A2dj. ,D j.f 1 2 ,D j.f 2 2 eD j.f 3
2 acompanhado pela convolução das linhas resultantes com um filtro unidimensional. Em seguida, há a inserção de uma linha de zeros entre cada linha, acompanhada pela convolução das colunas resultantes com outro filtro unidimensional, conforme esquematizado para um estágio pela Fig.10. Maiores detalhes são obtidos em [30].
7. Regularidade e seleção
Daubechies [44] construiu um conjunto de wavelets-básicas,
N x
que se fossem nulas fora de [0, 2N-1], seus primeiros N momentos também se anulavam, ou seja:
0 n0,1,N
x x Ndxn
(44)
e seu número de derivadas contínuas é N/5. Estas funções bem comportadas são conhecidas como wavelets regulares.
A aplicação em processamento de imagens requer que a TWD e, portanto seus filtros de implementação, apresentem certas características [28][31][36]:
• Suporte compacto: a wavelet-básica ideal deveria ser uma função oscilatória de curta duração, onde as translações diádicas de escalonamentos binários da função fossem ortonormais. Caso função-escala e wavelet possuam suporte compacto, os filtros correspondentes são FIR, possibilitando algoritmos de rápida implementação.
• Coeficientes racionais: as operações de ponto flutuante são evitadas, reduzindo os erros introduzidos.
• Simetria: Filtros simétricos (também chamados de fase linear) tornam possível o cascateamento de bancos de filtros sem a necessidade de compensação de fase, evitando problemas nas bordas naturais das imagens.
• Regularidade: Quanto mais regular a wavelet e a função-escala, maior o número de funções possíveis de serem representadas com fidelidade.
Entretanto, suporte compacto é conflitante com regularidade, pois quanto maior o comprimento do filtro, mais regular a wavelet favorecendo a compressão; porém mais lenta a velocidade de processamento. Deve-se portanto determinar o ponto ótimo entre estas características. As biortogonais têm apresentado bom desempenho na compressão de imagens neste sentido [37].
Podem ser citadas as wavelets spline biortogonais Cohen-Daubechies-Feauveau e variantes de
wavelets biortogonais. A escolha da TWD depende da aplicação. Por exemplo, visando
minimizar os erros nos sinais do sistema de posicionamento por satélite GPS, verificou-se que as
8. Lifting
A técnica lifting, incorporada pelo padrão JPEG2000 [46], foi introduzida por Sweldens como uma ferramenta flexível e aceleradora para construir wavelets de segunda geração de suporte compacto, não necessariamente transladadas e dilatadas da wavelet-básica [46]-[48].
Tomando um conjunto inicial de funções-escala e wavelets biortogonais
,~old,,~old
, o novo conjunto
,~,,~
biortogonal pode ser definido por [47]:
k k old k x s x x ( ) ( ) (45)
k k k old k x k s x k h x) 2 ~(2 ) ~( ) ( ~ (46)
k k x k g x) 2 ~ ~(2 ) ( ~ (47)O parâmetro s refere-se ao polinômio trigonométrico, onde os coeficientes sk podem ser
livremente escolhidos [47]. A equação (45) reflete o que acontece à wavelet após o lifting, sendo a chave para encontrar os coeficientes sk. Maiores detalhes podem ser encontrados em [46] [47].
O esquema lifting, através de s, possui o controle total sobre todas wavelets e funções duais que podem ser construídas a partir de uma função-escala particular. Por este intermédio, pode-se começar a partir de um simples conjunto de funções biortogonais e usar a equação (45) para escolher s, desde que as wavelets, após de efetuar o passo lifting, tenham propriedades desejáveis [46]-[48].
Esta técnica provê um rápido processamento por fazer ótimo uso das similaridades entre os filtros passa-alta e passa-baixa, facilitando e acelerando a implementação e conseqüentemente, o calculo dos coeficientes [48][49].
O sinal a ser analisado, é processado de acordo com as seguintes etapas: split, prediction e
update [51]. No estágio split o sinal é particionado em dois conjuntos disjuntos. O dual lifting
coeficientes da função-escala baseado na correlação presente no sinal. Já o primal lifting realiza o passo update para atualizar os coeficientes da função-escala, possibilitando remover possíveis
aliasing resultante da subamostragem [49].
O princípio da técnica lifting pode ser ilustrado para a transformada de Haar, com o auxílio da Tabela I. A primeira linha refere-se a quatro amostras de um sinal original, as quais possuem correlação. As amostras serão tomadas em pares a fim de se obter a média entre estas e sua respectiva diferença (referenciada em itálico) correspondente a primeira amostra de cada par subtraída da média em questão. Na terceira linha da tabela, é obtida uma aproximação (média) e as diferenças (detalhes) do sinal em questão.
TABELA I
DECOMPOSIÇÃO DE HAAR
40 12 20 28
26 24 14 -4
25 1 14 -4
A transformação realizada por sucessivos cálculos de média e detalhes de um sinal é um exemplo da TWD. Todas as TWD podem ser realizadas de modo análogo, por intermédio deste princípio [51].
A. Transformada Direta e Transformada Inversa em Lifting
Pode-se alternar primal lifting e dual lifting, o que pode resultar em uma análise multiresolução voltada para propriedades específicas [46]-[49]. Por exemplo, após aumentar o número de momentos da wavelet (coeficientes wavelets iguais a zero) com o esquema primal lifting, pode-se ser usado o esquema dual lifting para aumentar o número de momentos da wavelet dual.
Interagindo primal lifting e dual lifting, pode-se resultar em uma análise multiresolução com propriedades desejadas [46].
A Fig.11 mostra o esquema de split, dual lifting e primal lifting utilizado na transformada direta para a decomposição do sinal.
A transformada wavelet direta pode ser formulada por [47]:
Split: jm j k k k j l k l j, h 2 1, , , 1, ~ 2
(48) Dual lifting:
1 0 2 , , , ~ N n n m j n m j m j s (49)Fig.11. Transformada Wavelet Direta utilizando esquema lifting [50] Por sua vez, a transformada wavelet inversa apresentada na Fig.12 é representada por:
Dual lifting:
1 0 2 , , , ~ N n n m j n m j m j s (50) Join:j1,k j,l j,m (51)onde K(j+1), L(j) e M(j) são conjuntos desde que
| ( 1)
, | ( )
, ) ( ) ( ) 1 (j M j K j k k K j l l L j K e
m|mM(j)
. ~N eNsão momentos nulos
Fig.12. Transformada Wavelet Inversa utilizando esquema lifting [50]
B. Decomposição e reconstrução do sinal em lifting
A TWD é obtida combinando um número de passos lifting. Com base na Tabela I, pode ser visto que o princípio de decomposição e reconstrução do sinal é semelhante às wavelets de primeira geração. Considerando o sinal original sj={40,12,20,28}, a primeira e a segunda
aproximação seriam expressas por sj-1={26,24} e sj-2={25}, respectivamente, sendo cada etapa
correspondente a um nível de resolução.
De fato, na implementação clássica (wavelets de primeira geração), as diferenças são calculadas junto com as médias (aproximações), sendo estas interpretadas como a informação necessária para reconstruir a entrada a partir das médias. Já na implementação lifting, médias e diferenças são calculadas separadamente, conforme visto pelas Figs.13 e 14.
Neste contexto, pode ser percebido que os detalhes na decomposição do sinal seriam d j-1={14,4} e dj-2={1,14,-4}, respectivamente. Para reconstruir o sinal, o passo lifting é desfeito
onde os passos de update e prediction são calculados por meio de operações reversas, conforme ilustrado pela Fig.14. Para maiores detalhes [46]-[51].
FIg.13. Decomposição do sinal em dois níveis [51]
Fig.14. Reconstrução do sinal original em dois níveis [51]
9. Resultados experimentais
Foram realizadas algumas simulações para demonstrar o impacto do aumento da regularidade da wavelet tanto no tempo de processamento quanto na concentração de energia dos coeficientes da camada de aproximação. Nestes experimentos foram utilizadas 3 famílias de wavelet ortogonais que possuem ajuste de regularidade: as wavelets de Daubechies, Symlets e Coiflets. Para os testes foram utilizadas 3 imagens-teste monocromáticas de 512x512 pixels de tamanho (Lena, Goldhill, Zelda) que foram submetidas à uma decomposição de 3 níveis.
A Fig. 15 mostra que o tempo de processamento em função do comprimento é proporcional ao comprimento do filtro praticamente linearmente, independente da família wavelet utilizada. Este era um resultado esperado, visto que o tempo de processamento está diretamente conectado com
o número de operações e este varia lineamente com o tamanho do filtro. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 5 10 15 20 25 30 Comprimento do filtro T em p o ( s) Coiflets Symlets Daubechies
Fig. 15. Curva de tempo de processamento em função do tamanho do filtro.
Na Fig. 16 são apresentadas as curvas de concentração de energia na sub-imagem de aproximação em função do número de momentos nulos da wavelet. Como dito anteriormente, quanto maior o número de momentos nulos, maior a regularidade e, portanto, melhor a representatividade dos coeficientes wavelet. Esta figura demonstra que o aumento da concentração de energia com o aumento da regularidade é uma característica presente para todas as famílias pesquisadas.
98,4 98,5 98,6 98,7 98,8 98,9 99,0 0 2 4 6 8 10 12 Momentos nulos E n e rg ia d a A p ro x im a ç ã o ( % ) . Coiflets Symlets Daubechies
Fig. 16. Compactação de energia em função da regularidade.
Outro aspecto interessante que se pode comparar é a relação entre a concentração de energia e o tempo de processamento, mostrado na Fig. 17.
98,4 98,5 98,6 98,7 98,8 98,9 99,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Tempo (s) E n e rg ia d a A p ro x ima ç ã o ( % ) . Coiflets Symlets Daubechies
Analisando estes resultados, pode-se notar que é possível se obter uma maior concentração de energia à medida que se investe tempo de processamento (na forma de aumento de regularidade). No entanto, o tempo aumenta exponencialmente com o aumento da concentração, de forma que ocorre uma saturação, a partir da qual investir em regularidade traz somente aumento no gasto computacional sem geração de ganho. Logo, deve-se procurar operar um sistema wavelet em torno deste ponto ótimo de modo a evitar perdas desnecessárias em tempo de processamento.
10. Conclusões
O presente artigo apresentou uma visão completa sobre as potencialidades da Codificação Wavelet de imagens, abrangendo análises Multiresolução, Algoritmo de Mallat, Biortogonalidade, Regularidade e esquemas de Lifting. Breves análises experimentais baseadas em simulações que ilustram o impacto da regularidade das wavelets sobre o tempo de processamento e compactação de energia.
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