Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

(1)

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

D

ISCIPLINA DE

E

STRUTURAS

M

ETÁLICAS E

M

ISTAS

A

PONTAMENTOS DE

E

STRUTURAS

M

ETÁLICAS

DINAR CAMOTIM

CILMAR BASAGLIA

NUNO SILVESTRE

(2)

(3)

Estruturas Metálicas (de Aço)

E

STRUTURAS

M

ETÁLICAS

(

DE

A

ÇO

)

1. I

NTRODUÇÃO

• Em Portugal, as estruturas metálicas são quase exclusivamente utilizadas na construção de edifícios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalações fabris, armazéns, centros comerciais, pavilhões gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente em pontes de pequeno porte e em passadiços para peões.

Figura 1.1 – Estruturas de edifícios industrial e comercial

• Recentemente, tem-se observado a utilização de estruturas metálicas em várias obras “de prestígio” (e.g., na Expo 98), com grande impacto estético/visual, e ainda na reparação de estruturas deterioradas (constituídas por diversos materiais: betão, madeira, etc.).

Figura 1.2 – Edifícios (i) “Turning Torso” (Suécia) e (ii) “Burj Al Arab” (Dubai) • É (ainda) rara a utilização de estruturas metálicas em edifícios destinados a habitação

ou a escritórios, apesar de esta tendência esteja a mudar lentamente. Existem várias razões para este facto, nomeadamente razões de natureza económica/comercial (não científica).

(4)

Figura 1.3 – Estruturas de edifícios destinados a habitação

• Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construção mista – elementos estruturais em que o aço e o betão (armado) trabalham conjuntamente.

Figura 1.4 – Estruturas mistas aço-betão

• O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metálicas e Mistas (EMM) consiste em fornecer os conhecimentos necessários para o dimensionamento e verificação de segurança de estruturas constituídas por um conjunto de pórticos planos, nomeadamente edifícios industriais correntes.

(5)

Figura 1.6 – Estrutura tridimensional constituída por um conjunto de pórticos planos • Procurar-se-á proporcionar uma familiarização com a filosofia, os fundamentos e a

aplicação das disposições do novo Eurocódigo 3, o qual está já em vigor no nosso país com o estatuto de Norma Europeia (EN). Após um “período experimental”, que se estenderá até 2012-2013, a utilização deste regulamento passará a ser obrigatória em todos os países da Comunidade Europeia.

• Algumas disposições do Eurocódigo 3 (versões ENV ou EN) foram já introduzidas na disciplina de Estruturas Metálicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas.

• O Eurocódigo 3 (EC3) – Dimensionamento de Estruturas de Aço – é um de um conjunto de dez regulamentos estruturais europeus. É constituído pelos seguintes 17 documentos, os quais se encontram agrupados em 6 “Partes”:

(i) Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifícios (ii) Parte 1.2: Segurança ao Fogo

(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio (iv) Parte 1.4: Aços Inoxidáveis

(v) Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu próprio plano) (vi) Parte 1.6: Cascas

(vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente (viii) Parte 1.8: Ligações

(ix) Parte 1.9: Fadiga (x) Parte 1.10: Tenacidade

(6)

(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados (xii) Parte 1.12: Aços de Alta Resistência.

(xiii) Parte 2: Pontes

(xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chaminés (xv) Parte 4: Reservatórios, Silos e Condutas (xvi) Parte 5: Estacas

(xvii) Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevação

• Nesta disciplina apenas se vão abordar disposições contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e regras para edifícios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligações). Note-se que algumas das Partes referidas atrás não se encontram ainda traduzida em português – encontram-se em vários “estágios de evolução” (muito provavelmente, algumas delas não chegarão msmo a ser traduzidas).

• Apresentar-se-ão ainda vários anexos da Parte 1.1 da versão anterior do EC3 (ENV – estatuto de Pré-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova versão (EN). • Para além destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte

desta disciplina (Estruturas Metálicas), referem-se ainda os livros (i) “Estabilidade Estrutural”, de António Reis e Dinar Camotim, (ii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas”, de Rui Simões, e (iii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas: Métodos Avançados”, de Luís Simões da Silva e Helena Gervásio. Enquanto o primeiro contém princípios fundamentais de estabilidade estrutural e métodos de análise não-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicação das disposições das Partes 1.1 e 1.5 do EC3.

• A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carácter mais abrangente e destina-se a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tópicos relacionados com a análise e o dimensionamento de estruturas metálicas (de aço).

(7)

2. S

ISTEMATIZAÇÃO DAS

D

ISPOSIÇÕES DO

EC3

R

ELATIVAS A

P

ÓRTICOS

P

LANOS

• A utilização do EC3 para dimensionar e verificar a segurança de pórticos planos envolve o cumprimento sequencial de um certo número de etapas que não se encontram explicita e/ou adequadamente identificados no texto do EC3.

• Identificam-se e descrevem-se sucintamente as várias etapas, definidas de modo a minimizar o (inevitável) grau de interdependência entre elas. Em seguida, trata-se cada uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicação das respectivas disposições regulamentares.

• Pode dizer-se que, para cada combinação de acções relevante, o Dimensionamento e a Verificação da Segurança (DVS) de um pórtico plano envolve as seguintes etapas: (I) Classificação do Pórtico

- Necessidade de considerar efeitos de 2ª ordem (equilíbrio na configuração deformada – não linearidade geométrica)

- Secção das barras (fenómenos de encurvadura local – esbelteza das paredes) Classe 1: Análise plástica (com formação de rótula plástica)

Classe 2: Análise plástica (sem formação de rótula plástica) Classe 3: Análise elástica (secção bruta)

Classe 4: Análise elástica (secção efectiva − “enfraquecida”) Rigidez (análise elástica)

- Ligações

Resistência (análise plástica) (II) Consideração das Imperfeições

- Imperfeições Globais (do pórtico) - Imperfeições Locais (das barras) - Forças Equivalentes às Imperfeições

(8)

(III) Escolha do Método de Análise Global - Análise Elástica

Rígido-Plastica

- Análise Plástica Elástica-Perfeitamente Plástica (conceito de rótula plástica − RP) Elasto-Plástica (espalhamento)

(IV) Cálculo dos Esforços de Dimensionamento - Análise de 1ª ordem (geometricamente linear)

- Análise de 2ª ordem (geometricamente não-linear − várias possibilidades) (V) Verificação da Estabilidade do Pórtico

- Escolha e cálculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas (VI) Verificação da Segurança das Barras

- Tensões Directas (secções)

- Fenómenos de Instabilidade (barras e/ou troços livres de barra – contraventamento) - Outros Fenómenos

(VII) Verificação da Segurança das Ligações corte Parafusos tracção

corte + tracção Conjuntos de parafusos - Ligações soldadas – tipos de cordões de soldadura - Ligações mistas – parafusos + soldadura

(VIII) Verificação da Deformabilidade do Pórtico

Deslocamentos - Estados Limites de Utilização (Serviço)

Vibrações - Ligações aparafusadas

(9)

• Para combinações de acções que incluam uma acção sísmica, há ainda que satisfazer as disposições relevantes do Eurocódigo 8 (EC8). Estas disposições serão abordadas na disciplina de “Dinâmica e Engenharia Sísmica”.

• De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um pórtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos:

Dados: Geometria + Acções

Esforços de Dimensionamento Comprimentos de Encurvadura VS das Barra VS das Ligações Deformabilidade (I) – (V) (VI) (VII)

Estados Limites Últimos (ELU)

Estados Limites de Serviço (ELS) (ou de Utilização)

• Inicialmente, aborda-se a Verificação da Segurança (VS) das barras, admitindo conhecidos os valores dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura. • Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinação dos esforços

de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.

• Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponível, apresentam-se alguns conceitos relativos à VS das ligações.

(10)

3. V

ERIFICAÇÃO DA

S

EGURANÇA DAS

B

ARRAS

3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

• A geometria da secção transversal dos perfis é, muitas vezes, condicionada pelos requisitos específicos de uma determinada aplicação, o que faz com que existam secções com uma enorme variedade de formas e dimensões (sobretudo no caso dos perfis enformados a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das secções de alguns dos perfis de aço utilizados com mais frequência em estruturas de edifícios: secções em U, C, Z, “hat”, “rack” e I.

Figura 3.1 – Geometria das secções dos erfis em U, C, Z, “hat”, “rack” e I

• A classificação de uma secção está relacionada com a sua resistência e capacidade de rotação quando submetida a tensões normais. Essa classificação depende das dimensões e da tensão de cedência dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser (i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade apoiada e a outra livre).

Elementos salientes Elemento interior

Elemento interior

Figura 3.2 – Defnição dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma secção • Esta classificação destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de rotação

da secção, tomando em consideração a possibilidade da ocorrência de fenómenos de encurvadura local (das paredes da secção – a abordar mais adiante).

(11)

• O EC3 considera 4 Classes de Secção, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a exemplificação para o caso de uma secção a flexão pura)

4 3 2 1

σ

ε

(σcr)EL Encurvadura Local

(i) Classe 1 – secções em que se pode atingir a resistência plástica e, para além disso, existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica.

ϕpl ϕ Mpl M EL ϕpl ϕ M_pl M EL f_y f_y M_pl

(ii) Classe 2 – secções em que se pode atingir resistência plástica, mas sem ser possível garantir capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica (é necessário efectuar a verificação, a qual depende da ordem de formação das rótulas plásticas na estrutura m análise).

fy fy Mpl ϕpl ϕ Mpl M EL ϕpl ϕ M_pl M EL

(12)

(iii) Classe 3 – secções onde se pode atingir apenas a resistência elástica (tensão de cedência na fibra mais solicitada), em virtude de os fenómenos de encurvadura local impedirem que se chegue à resistência plástica.

fy fy Mel ϕ Mpl M EL Mel ϕ M EL Mel ϕel

(iv) Classe 4 – secções onde a ocorrência (prematura) de fenómenos de encurvadura local faz com que não se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada.

fy σmax< fy Mmax < Mel ϕ M_pl M EL Mel Mmax ϕ Mpl M EL Mel

O processo de dimensionamento das secções de classe 4 envolve a substituição da secção bruta por uma secção efectiva, a qual é posteriormente tratada como uma secção de classe 3.

f_y

fy

Zona não efectiva da secção

σ

(13)

(14)

ANEXO: FENÓMENOS DE ENCURVADURA LOCAL

• Os “fenómenos de encurvadura local”, de grande importância no dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos). Deste modo, é indispensável utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a verificação da segurança das barras em relação a estados limites últimos que envolvam este tipo de fenómenos de encurvadura.

• A figura A.1 ilustra fenómenos de encurvadura local em barras de aço com secção em I.

Figura A.1 – Fenómenos de encurvadura local em barras com secção em I. A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS

• A tensão crítica de bifurcação elástica de uma placa quadrada “ideal” (geometricamente “perfeita”) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida é dada por

2 2 2 cr b t v 1 12 E 4       − = ) ( π σ , (A.1)

onde (i) E é o módulo de elasticidade, (ii) v é o coeficiente de Poisson e (iii) b e t são a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcação ocorre num modo de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direcção longitudinal (a da compressão) como na direcção transversal.

(15)

Estruturas Metálicas (de Aço) σ/σcr 1 δ σ b σ b b b

Figura A.2 – Bifurcação de equilíbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada “ideal” simplesmente apoiada e uniformemente comprimida

• Em “placas longas” (a>>b − em termos práticos, basta que se tenha a> 4b), como é o caso das paredes das barras metálicas com secção de parede fina, os valores de σcr são (praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrição à rotação dos bordos transversais (de comprimento b). Esta característica deve-se ao facto de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinação de (i) várias semi-ondas longitudinais, de comprimento igual à sua largura, com (ii) uma única semi-onda transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um “conjunto” de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer dizer que os resultados relativos a placas quadradas são também válidos para placas longas.

σ σ σ a >>b b b σ b b b b b b b b

Placa quadrada Placa longa

Figura A.3 – Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa • A título de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constituídos por

placas longas e submetidos a compressão: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforçado. Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tensão crítica das placas/paredes através de (A.1), pois são placas longas cujos bordos longitudinais se admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrição à rotação).

(16)

(a) (b)

Figura A.4 – Elementos estruturais constituídos por placas longas: (a) coluna tubular e (b) painel reforçado.

• As placas comprimidas têm, em regime elástico, um comportamento de pós-encurvadura (trajectória de equilíbrio) estável caracterizado por uma elevada “resistência pós-crítica” (ou “resistência de pós-encurvadura”). Isto significa que, mesmo após ocorrer a encurvadura (bifurcação), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considerável sem apresentar deslocamentos significativos. O comportamento de pós-encurvadura de uma placa (quadrada ou longa) comprimida “ideal” (sem imperfeições geométricas) é definido por

2 2 cr t q v 1 8 3 1       − + = ( ) σ σ _{, (A.2)}

onde σ é a tensão aplicada e q o deslocamento transversal máximo por ela provocado. A trajectória de pós-encurvadura da placa está representada na figura A.5, onde se mostra também as distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação. Observa-se que as tensões permanecem uniformes até à bifurcação, passando a exibir um andamento não linear após essa occorrência − dá-se uma redistribuição das tensões normais longitudinais, caracterizada por uma “transferência” da zona central (mais flexível ou “fraca”) para a vizinhança dos bordos longitudinais (zona mais rígida ou “forte”). Por outro lado, a figura A.6 mostra as distribuições das tensões normais longitudinais (

σ

x) e transversais (

σ

y) instaladas na placa na fase de pós-encurvadura. Para além da redistribuição de

σ

x, já referida, desenvolvem-se também tensões transversais de tracção na zona central da placa, as quais têm um papel crucial na resistência de pós-encurvadura (a tracção transversal aumenta a rigidez de flexão da zona central da placa − analogia com um cabo).

(17)

δ σ/σcr

cr σ

Figura A.5 – Distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação

Figura A.6 – Distribuição de tensões, na fase de pós-encurvadura, de uma placa quadrada • A figura A.7 compara qualitativamente as trajectórias de equilíbrio de colunas e placas “ideais” comprimidas. Observa-se que a resistência de pós-encurvadura das placas é muito superior à das colunas (quase desprezável), o que justifica a diferença entre os métodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto é aceitável

σ/σcr 1 Trajectória Fundamental Trajectórias de Pós-encurvadura Bifurcação q/t Coluna Placa

(18)

admitir que σcr é a máxima tensão (carga) que as colunas podem suportar, essa hipótese é claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas.

• Põe-se então a seguinte questão, de grande importância para o dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis de parede fina: qual o valor da tensão (carga), já em fase de pós-encurvadura, que corresponde ao estado limite último da placa (colapso iminente)? Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metálicas, a resposta a esta questão envolve o conceito de “largura efectiva”.

A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA

• A resposta mais lógica à questão colocada no ponto anterior consiste em admitir que o estado limite último da placa corresponde a atingir-se a tensão de cedência (fy) na fibra mais solicitada. Esta situação está representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir esta hipótese se está a desprezar a “reserva de resistência elasto-plástica” da placa (o colapso dá-se quando se atinge um ponto limite da trajectória). Esta resistência adicional, de difícil determinação (é necessário um método numérico que contabilize o espalhamento da plasticidade), é pequena e pode ser encarada como um “factor de segurança” − a figura A.8 ilustra este facto.

δ

σ

max= fy

σ

max= fy Colapso Reserva de resistência elasto-plástica

Figura A.8 – Estado último (cedência da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada • Subsiste a (muito importante) questão de saber para que carga (isto é , em que ponto da

trajectória de pós-encurvadura) se tem σmax=fy. Para resolver este problema, von Karman sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma delas é uma hipótese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):

(19)

IDEIA 1: Substituir a secção bruta com uma distribuição de tensões variável por uma

“secção efectiva” submetida a uma distribuição de tensões uniforme (ambas estaticamente equivalentes ao esforço de compressão actuante) − a secção efectiva obtém-se removendo material da zona central da placa (a zona mais “fraca”). No estado limite último da placa, o valore do esforço normal (Nu) é então dado por

b

_e

/2

b

_e

/2

f

y

f

y

f

y

f

y u b 0 u y tdy bt

N =

∫

σ( ) = σ (secção bruta) N_u =b_et f_y (secção efectiva) onde σ_u é a tensão média da placa no estado limite último (ou “colapso”). Igualando as duas expressões, obtém-se

y e u f b b = σ

expressão que relaciona a tensão média no colapso com a largura efectiva.

DIFICULDADE: Para determinar o valor de be é necessário conhecer a distribuição de tensões instalada na placa (σ( y)), no estado último da placa (σmax=fy). Por outras palavras, apenas se “substituiu o conceito de “pós-encurvadura” pelo conceito de “largura efectiva”, mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema, é indispensável a segunda “ideia” que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na figura A.9, a título ilustrativo, a variação “exacta” da largura efectiva com a tensão aplicada (σm é a tensão média actuante na placa).

1 σm/σcr

1 0.5 be/b

(20)

IDEIA 2 (Hipótese Simplificativa): Na placa com a secção efectiva a encurvadura ocorre

precisamente quando se atinge a tensão de cedência, isto é, tem-se σcre=fy. Logo, vem 2 2 2 cr b t v 1 12 E 4       − = ) ( π σ (placa real) 2 e 2 2 cre b t v 1 12 E 4 _      − = ) ( π

σ (placa efectiva − fictícia) Utilizando agora a hipótese simplificativa , tem-se

y 2 e cr 2 e 2 2 cre f b b b t v 1 12 E 4 _ =      =       − = π σ σ ) ( ⇒ y cr e f b b σ = (mas sempre < 1)

Finalmente, utilizando a relação da página anterior, vem

y cr y e u f f b b σ σ = =

expressão que permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir de duas quantidades fáceis de calcular − deste modo, evita-se a necessidade de conhecer o comportamento de pós-encurvadura da placa.

A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES

No caso de placas submetidas a outras distribuições de tensões, definidas por um parâmetro ψ=σ1/σ2, onde σ1 é a máxima tensão de compressão e σ2 é a tensão actuante na outra extremidade da placa, é necessário introduzir, na expressão que fornece σ_u, o valor correcto de σcr, o qual é dado pela expressão genérica

σ

1

σ

1

σ

1

ψ

(ψ

>

0)

(ψ

<

0)

σ

2

=

σ

2

=

ψ

σ

1 2 2 2 cr b t v 1 12 E k       − = ) ( π σ σ , (A.3)

(21)

onde kσ é um coeficiente de encurvadura que depende da distribuição das tensões actuantes e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A título ilustrativo, refira-se que (i) kσ=4.0 para a compressão pura (ψ=1 − problema estudado) e (ii) kσ=23.4 para a flexão pura (ψ=−1).

A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

• A expressão (A.3) também se aplica a placas com outras condições de fronteira (apoio) − é válida para placas com combinações arbitrárias de distribuições de tensões actuantes e condições de apoio. Os valores de kσ podem ser encontrados na literatura, nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condições de apoio: (i) quatro bordos simplesmente apoiados e (ii) três bordos simplesmente apoiados e um bordo livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura.

Condições de Fronteira Carga Coeficiente de encurvadura (kσ) Compressão Uniforme 4.0 Compressão Uniforme 0.43 Flexão Pura 23.9

Tabela A.1 – Valores de kσ

A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA −LARGURA EFECTIVA

• Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a “esbelteza normalizada de (uma) placa”, definida como

cr y p f σ λ =

é uma grandeza que traduz a importância relativa da plasticidade e da instabilidade no colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de λ_p (em relação a 1.0) indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um

(22)

valor de λ_p próximo de 1.0 significa que ambos os fenómenos têm uma influência significativa no colapso da placa.

• No caso de uma placa constituída por uma aço com E=210 GPa (103

N/mm2), tomando em consideração (A.3) e fazendo

[

]

05

y MPa

f

235/ ( ) . =

ε , o valor de λp é dado por

σ ε λ k 4 28 t b p . / =

expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa no seu estado limite último (be).

• Tem-se então que b_e = ρb, onde ρ é um coeficiente (ou factor) de redução. Pode mostrar-se que este coefciente de redução relaciona também os valores de Nu (esforço normal último) e Npl (esforço normal de plastificação ou resistência plástica). De facto,

pl y e y e u bt f N b b f t b N = = =ρ

• Com base neste conceito, von Karman propôs a seguinte fórmula para determinar a resistência útima de uma placa (a qual corresponde à curva da figura abaixo)

     ≥ = ≤ = 1 se 1 1 se 1 p p p λ λ ρ λ ρ 1 ρ λp 1 fy fy σcr σcr σ σ δ δ 1/λp

Note-se que os dois troços da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem (i) σcr>fy (troço horizontal) e (ii) (i) fy>σcr (troço horizontal) expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa

(23)

no seu estado limite último (be). Para além disso, é importante realçar a semelhança formal entre a fórmula de von Karman e a expressão da curva de dimensionamento de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metálicas. A única (e muito importante) diferença reside na troca de “ 2

1/λ ” (colunas) por “1/λ_p” (placas), o que traduz o facto de o dimensionamento de colunas não contabilizar qualquer resistência de pós-encurvadura (a curva de colunas fica “abaixo” da de placas − ver a figura A.11). A.5 PLACAS “REAIS”(COM IMPERFEIÇÕES)

• No caso das placas “reais”, as quais possuem imperfeições geométricas (sobretudo) e tensões residuais, deixa de ocorrer bifurcação de equilíbrio. O conjunto “trajectória fundamental + trajectória de pós-encuvadura” das placas “ideais” é substuído por uma trajectória de equilíbrio não linear, à qual estão associados deslocamentos de flexão desde o início do carregamento, conforme mostra a figura A.10.

• Como, para um determinado nível de carregamento, existem maiores deslocamentos na placa “real” que na placa “ideal”, o correspondente estado limite último é atingido para uma carga mais baixa − ver a figura A.10.

Placa “real” Placa “ideal”

σ

max = fy

σ

q

σ

cr

Figura A.10 – Trajectórias de equilíbrio e estados limites últimos das placas “ideais” e “reais” • Para contabilizar a diminuição da carga última, devido à presença das imperfeições

geométricas e das tensões residuais, Winter propôs, com base num elevado número de resultados experimentais, a substituição (modificação) da fórmula de von Karman por

     ≥ − = ≤ = 673 0 se 22 0 673 0 se 1 p 2 p p p . . . λ λ λ ρ λ ρ

(24)

expressão que ainda hoje figura em vários regulamentos, nomedamente no EC3. Deve referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22 e da esbelteza limite 0.673 têm sofrido variações resultantes de estudos mais recentes (a título de curiosidade, é interessante mencionar que Winter propôs originalmente o valor 0.25 para o coeficiente). • Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparação entre as curvas de dimensionamento (i)

de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crítica de bifurcação (semelhante à curva de dimensionamento de colunas). É interessante observar que, para valores de λp

superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas “reais”) passa a estar acima da curva baseada na tensão crítica de bifurcação (placas “ideais” ), facto que reflecte a contabilização da resistência de pós-encurvadura (note que a diferença aumenta com λ_p).

Figura A.11 – Comparação entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e baseada na tensão crítica de bifurcação.

(25)

3.2 DETERMINAÇÃO DA CLASSE DE UMA SECÇÃO

• A determinação da classe de uma secção faz-se classificando os seus elementos (paredes) comprimidos, através das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base nos diagramas das tensões actuantes.

• A classificação faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parâmetro

y

f 235/ =

ε e o coeficiente de encurvadura kσ. Depende ainda do tipo de elemento, o qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como apoiado-livre).

• Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos são fixados com base em análises estatísticas de resultados experimentais e/ou numéricos, os quais contabilizam a influência de imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, etc.

• A classe de uma secção é maior das classes dos seus elementos comprimidos. • A classe de uma barra é maior das classes das suas secções.

• A classe de uma secção depende (i) dos esforços que nela actuam, no estado limite último, e (ii) do aço que a constitui (ver tabelas).

• A determinação da classe de uma secção submetida a flexão composta não é imediata – conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compressão pura.

• Um grande número de perfis laminados correntes (formados por aços de resistência “normal”) são de classe 1 ou 2 para qualquer solicitação (e.g., ver a tabela da fig. 3.5). • Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construção mista têm frequentemente secções

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Estruturas Metálicas (de Aço) EXEMPLO ILUSTRATIVO IPE 550 Aço S235 (fy=235 MPa = 235N/mm2) ⇒

ε

=1 Área A=13440 mm2 d= 46 8m m b=210mm f t =17.2mm t w=11.1mm

Classificar a secção representada, quando submetida a flexão em torno do eixo de maior inércia composta com compressão de valor NEd=1300kN (Caso I) ou NEd=750kN (Caso II) RESOLUÇÃO

• Classificação do Banzo Comprimido Compressão uniforme 45 99 2 1 11 210 2 t b

c₌ − w ₌ − . ₌ _. _{(desprezando os raios de concordância)}

9 9 78 5 2 17 45 99 t c f = < = = . ε . . ⇒ Banzo de classe 1 • Classificação da Alma 42 42 2 42 1 11 468 t c w = > = = . ε

. ⇒ Alma de classe 4 à compressão pura (classificação conservativa)

∴

Nada se pode concluir (i) Determinação da classe da secção para NEd=1300kN (Caso I)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2) - Cálculo do esforço normal de plastificação da alma

(31)

Estruturas Metálicas (de Aço) kN 1221 10 235 1 11 468 f dt N_pl_,_w= _w _y = × . × × −3 =

Como Npl,w=1221kN < NEd=1300kN, a alma estaria submetida a compressão uniforme e, portanto, seria de classe 4 – esta conclusão estaria em contradição com a hipótese admitida, pois numa secção de classe 4 não pode existir uma distribuição plástica de tensões.

Hipótese 2: Distribuição elástica de tensões no estado limite último da secção (classe 3 ou 4) - Determinação da relação entre tensões ψ

h c 2 h h₁ ψfy y f

- Determinação das alturas h1 e h2 mm 4 502 2 17 2 468

h= + × . = . (desprezando os raios de concordância)

mm 85 426 177 1 4 502 h₁ . . . ₌ = h₂ =h−h₁=75.55mm - Determinação da relação entre tensões na alma ψw

1 141 0 2 17 85 426 2 17 55 75 w ₋ =− >− − − = . ) . . ( ) . . ( ψ 36 67 141 0 33 0 67 0 42 33 0 67 0 42 2 42 t c w w . . . . . . . = × − = + < = ψ ε ⇒ Alma de classe 3

∴

Secção de classe 3 (ii) Determinação da classe da secção para NEd=750kN (Caso II)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2) Parcela da flexão Parcela da compressão Eliminando σf A N f Ed f y =σ + A N f Ed f y =−σ + ψ 177 0 1 235 13440 10 1300 2 1 f A N 2 3 y Ed ₋ ₌₋ _. × × × = − = ψ

(32)

Como Npl,w=1221kN >NEd=750kN, a linha neutra plástica cruza a alma, como mostra a figura 3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao esforço normal, i.e.,

y w N Ed c t f N = ⇒ 28752mm 235 1 11 10 750 c 3 N . . × = × = mm 76 377 2 52 287 468 2 c 2 c _N C . . ₌ + = + = α

Em seguida, determina-se o parâmetro α, o qual corresponde à relação entre a altura da zona da alma comprimida (αc) e a altura total da alma (c).

5 0 807 0 468 76 377 c C ₌ . ₌ _. _> _. =α α 7 41 1 807 0 13 396 1 13 396 2 42 t c w . . . = − × = − > = α ε 05 48 1 807 0 13 456 1 13 456 2 42 t c w . . . = − × = − < = α ε ⇒ Alma de classe 2

∴

Secção de classe 2 h fy c y f fy y f fy αc _c N

Zona da alma plastificada devido a N =750kNEd

Zona da secção plastificada devido ao momento flector

(33)

3.3 RESISTÊNCIA A TENSÕES DIRECTAS

3.3.1 TENSÕES NORMAIS (N_Ed+ M_y,Ed + M_z,Ed)

• Secções de Classe 1 e 2 - Resistência Plástica

- Critérios (diagramas) de interacção não lineares

Resistência plástica (a forma do diagrama varia de secção para secção)

Resistência plástica (aproximação linear – conservativa) Resistência elástica 1 1 M/Mpl N/Npl

Figura 3.7 – Critérios (diagramas) de interacção não lineares

No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. É habitual serem desenvolvidos critérios de interacção planos MN,y – MN,z, em que a presença do esforço normal já está “embebida” nos valores de MN,y e MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um critério (diagrama) de interacção espacial (tridimensional).

• Secções de Classe 3 - Resistência Elástica

- Critérios (diagramas) de interacção lineares equivalente a

yd Ed x, ≤ f

σ , (3.10)

onde f_yd = f_y/γ_M₀ e γ_M₀ é o coeficiente parcial de segurança (para o qual o EC3-1-1 propõe o valor 1.0).

(34)

1 1

M/Mel N/Nel

Figura 3.8 – Critério de interacção linear • Secções de Classe 4

- Resistência Elástica da secção efectiva

• Critérios que envolvem secções efectivas correspondentes à actuação individual de cada um dos esforços actuantes (NEd, My,Ed, Mz,Ed)

• Equivalência a

yd Ed x, ≤ f

σ f_yd = f_y/γ_M₀ , (3.11)

na reunião das secções efectivas.

• Já se estudaram, na disciplina de Estruturas Metálicas, as VS das secções de Classe 1 e 2. • A VS das secções de Classe 3 envolve apenas a resistência elástica e resume-se a um

simples problema de Resistência de Materiais.

• A VS das secções de Classe 4 é qualitativamente semelhante à das secções de Classe 3, mas requer o conhecimento prévio das características geométricas da(s) secção (ões) efectivas envolvidas − propriedades efectivas.

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 2)

(35)

d=hw=249.6mm A=45.94cm2

tw=6.6mm Wpl.y=484cm3

b=135mm Wpl.z=96.95cm3

tf=10.2mm

de aço S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforços NEd=580kN, My,Ed=25.5 kNm e Mz,Ed=16.4 kNm RESOLUÇÃO

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.y,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN 59 1079 0 1 10 235 4594 Af N 3 0 M y Rd pl . . , = × × = = − γ NEd=580kN > 0.25Npl,Rd=270kN kN 56 193 10 1 235 6 6 6 249 5 0 f t h 5 0 N 5 0 kN 580 N 3 0 M y w w Rd w pl Ed = > . , , = . = . × . × . × × = . − γ

∴

É necessário reduzir Mpl.y,Rd (bastava uma das condições)

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.z,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN 12 387 10 1 235 6 6 6 249 f t h N kN 580 N 3 0 M y w w Rd w pl Ed = > , , = = . × . × × = . − γ

∴

É necessário reduzir Mpl.z,Rd

• Como a secção está submetida a flexão desviada, adopta-se o critério

1 M M M M Rd z N Ed z Rd y N Ed y _≤       +       α β , , , , , ,

onde (i) MN,y,Rd e MN,z,Rd são momentos plásticos reduzidos pela presença de NEd e (ii) α e β são constantes que dependem do tipo da secção

Secção em I: α=2;β =5n mas β≥1 537 0 59 1079 580 N N n Rd pl Ed _. . , = = = ⇒ β=2.685 > 1.0 IPE 270

(36)

(37)

(38)

Estruturas Metálicas (de Aço) ) . ( ) ( , , , , a 5 0 1 n 1 M M_N _y_Rd _pl_y_Rd − − = kNm 74 113 0 1 10 235 10 484 f W M 6 3 0 M y y pl Rd y pl . . , , , = × × × = × = − γ

{

05 0401

}

0401 94 45 02 1 5 13 2 94 45 5 0 A bt 2 A 5 0 a f min . , . . . . . . , . min , . min = =       − × × =       − = ) ( . ) . . ( ) . ( . , , ,yRd yEd N 6587kNm M 401 0 5 0 1 537 0 1 74 113 M = > × − − = n≤ a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd n>a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd               − − − 2 a 1 a n 1 n=0.537 e a=0.401 ⇒ n >a kNm 78 22 0 1 10 235 10 95 96 f W M 6 3 0 M y z pl Rd z pl . . . , , , = × × × = × = − γ ) ( . . . . , , , , , zEd 2 Rd z pl Rd z N 2161kNm M 401 0 1 401 0 537 0 1 M M = >               − − − = Finalmente, tem-se 1 M M M M Rd z N Ed z Rd y N Ed y _≤       +       α β , , , , , , _⇒ 1 627 0 477 0 15 0 61 21 4 16 87 65 2 25 2 2685 < = + =     +     . . . . . . . .

∴

A segurança da secção está verificada

• Nota: Se se utilizasse o critério linear (mais simples) – EC3-1-1 6.2.1 (7)

1 481 1 720 0 224 0 537 0 78 22 4 16 74 113 5 25 59 1079 580 M M M M N N Rd z pl Ed z Rd y pl Ed y Rd pl Ed ₊ ₊ ₌ ₊ ₊ ₌ _. ₊ _. ₊ _. ₌ _. _> . . . . . , , , , , , ,

(39)

3.3.1.1 SECÇÕES DE CLASSE 4

• A VS das secções de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores das seguintes características geométricas:

(i) Área Efectiva Aeff

(ii) Excentricidades eNy e eNz (afastamento em relação ao eixo – nova posição de G) (iii) Módulo de flexão efectiva Weff,y,min (fibra com tensão máxima)

(iv) Módulo de flexão efectiva Weff,z,min (fibra com tensão máxima)

• Os valores de Aeff, eNy e eNz são determinados numa secção efectiva obtida admitindo que na secção bruta actua apenas Nc,Ed (esforço nomal de compressão)

• O valor de Weff,y,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção bruta actua apenas My,Ed.

• O valor de Weff,z,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção bruta actua apenas Mz,Ed.

• Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem três secções efectivas diferentes. A figura 3.9 ilustra as secções efectivas de uma secção em I com banzos iguais.

Figura 3.9 – Tipos de secções efectivas numa secção em I

(40)

3.3.1.1.1 DETERMINAÇÃO DE UMA SECÇÃO EFECTIVA

• Passos

(i) Determinar os valores de ψ (os quais definem o diagrama das tensões actuantes) nos elementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades da secção bruta.

(ii) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos paralelos ao eixo de flexão, através do seguinte procedimento:

(a) A partir do valor de ψ, determinar o coeficiente de encurvadura kσ , através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(b) A partir do valore de kσ, determinar a esbelteza normalizadas de placa λp,

através da expressão σ ε σ λ k 4 28 t b f cr y p . / = = . (3.12)

(c) A partir dos valores de λ_p e ψ, determinar o factor de redução ρ, através de expressões que dependem de o elemento ser interno ou saliente:

- Elementos Internos ρ=1.0 para λ_p≤0.673 2 p p 0055 3 λ ψ λ ρ = − . ( + ) para λ_p >0.673 [com (3+ )ψ ≥0)] - Elementos Salientes ρ=1.0 para λ_p≤0.748 2 p p 0188 λ λ ρ = − . )ρ=1.0 para λ_p>0.748

(41)

(42)

(d) Uma vez conhecido o valor de ρ, determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos elementos comprimidos através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 − a partir dos valores de bc,eff , é imediato obter as respectivas áreas efectivas (Ac,eff).

(e) Se for necessário (i.e., se a largura efectiva não for “contínua”), determinar, a partir de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido (be1 e be2), também através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(iii) Determinar os valores de ψ nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades de uma “secção fictícia”, constituída pelas respectivas áreas brutas e pelas áreas efectivas dos elementos paralelos ao eixo de flexão (já determinadas em (ii)).

(iv) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos perpendiculaes ao eixo de flexão, através do procedimento descrito em (ii).

(v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s).

• NOTA: No caso de uma secção submetida a compressão pura, tem-se sempre ψ=1.

3.3.1.1.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Flexão desviada composta com tracção

0 M y yd z eff Ed z y eff Ed y Ed _f f W M W M A N γ = ≤ + + min , , , min , , , _{. (3.13)}

• Flexão desviada composta com compressão

0 M y yd z eff Nz Ed Ed z y eff Ny Ed Ed y eff Ed _f f W e N M W e N M A N γ = ≤ + + + + min , , , min , , , _{. (3.14)} • OBSERVAÇÕES

(i) A aplicação das equações de interacção faz-se para a fibra mais solicitada pertencente à reunião de todas (no máximo três) secções efectivas. Os valores de Weff,y,min e

(43)

(ii) No caso de a fibra mais solicitada não pertencer a alguma das secções efectivas, o valor da parcela associada ao esforço correspondente será nulo.

(iii) Os sinais das parcelas dependem da combinação de compressões e tracções, a qual varia de caso para caso. Não podem “somar-se” compressões e tracções e é conveniente adoptar a convenção de atribuir sinal positivo à tensão “dominante” (compressão ou tracção).

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da secção

10 400 6 10 800 300

y

z

_G (mm)

z

zG=444.32mm (medido a partir da base) formada por três chapas de aço S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordões de soldadura de largura a=6 mm), sujeita aos esforços NEd=390kN (compressão ou tracção) e My,Ed=630 kNm (momento flector positivo)

RESOLUÇÃO - 0814 355 235 f 235 y . = = = ε - Área: 2 mm 11800 6 800 10 300 400 A=( + )× + × =

- Cordões de soldadura: a=6mm ⇒ a=6 2=8.49mm

a a

(44)

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm 51 188 2 49 8 2 6 400 c=( − − × . )/ = .

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒_k_σ_=0.43

kσ=0.43 ⇒

(

)

1244 0748 43 0 814 0 4 28 10 51 188 K 4 28 t c _f p . . . . . ) / . ( . / > = × × = = σ ε λ 682 0 188 0 2 p p− . ₌ _. = λ λ ρ mm 56 128 51 188 682 0 c b_c_,_eff =ρ = . × . = . mm 1 280 49 8 2 6 56 128 2 a 2 t b 2 b_e)_banzo _c_eff _w . . . ( _._sup= _, + + = × + + × = • Secção Efectiva do Banzo Inferior

mm 51 138 2 49 8 2 6 300 c=( − − × . )/ = .

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒_k_σ=0.43

kσ=0.43 ⇒

(

)

0914 0748 43 0 814 0 4 28 10 51 138 K 4 28 t c _f p . . . . . ) / . ( . / > = × × = = σ ε λ 869 0 188 0 2 p p− . ₌ _. = λ λ ρ mm 37 120 51 138 869 0 c b_c_,_eff =ρ = . × . = . mm 72 263 49 8 2 6 37 120 2 b_e)_banzo . . . ( _._inf = × + + × = • Secção Efectiva da Alma

mm 02 783 49 8 2 800 b=( − × . )= .

(45)

Estruturas Metálicas (de Aço) kσ=4.0 ⇒

(

)

2823 0673 4 814 0 4 28 6 02 783 K 4 28 t b _w p . . . . ) / . ( . / ₌ _> × × = = σ ε λ 327 0 823 2 1 3 055 0 823 2 3 055 0 2 2 p p _. . ) ( . . ) ( . = + − = + − = λ ψ λ ρ mm 05 256 02 783 327 0 b b_c_,_eff =ρ = . × . = . mm 03 128 b 5 0 b b_e₁= _e₂= . _c_,_eff = . mm 52 136 49 8 03 128 b_e)_alma . . .

( = + = (junto de cada banzo) A figura abaixo mostra a secção efectiva determinadas.

136.52

136.52 263.72

• Cálculo da área efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy)

2 eff 2801 26372 10 2 13652 6 707644mm A =( . + . )× +( × . )× = . mm 37 419 44 7076 6 74 741 52 136 26 78 52 136 10 5 72 263 815 1 280 z_G _eff . . ) . . . . ( ) . . ( ) ( = × + × × + × + × × = mm 95 24 37 419 32 444 e_Ny = . − . = . (↓)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm 1 280 49 8 2 6 56 128 2 b_e)_b . . .

(46)

• Secção Efectiva da Alma - Cálculo de ψ na alma

280.1

1

σ

σ =

2

ψ

σ

1 2 mm 10601 6 800 10 300 1 280 A′=( . + )× + × = mm 40 402 10601 410 6 800 10 5 300 815 1 280 z_G′ =( . × + × )× + × × = . 962 0 40 402 49 8 810 49 8 10 40 402 . . . ) . . ( − = − − − − − = ψ - Cálculo de ρ na alma 962 0. − = ψ ⇒ k_σ =7.81−6.29ψ+9.78ψ2=22.91 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) 91 22 k_σ = . ⇒

(

)

1179 0673 91 22 814 0 4 28 6 02 783 K 4 28 t b _w p . . . . . ) / . ( . / > = × × = = σ ε λ 768 0 179 1 962 0 3 055 0 179 1 3 055 0 2 2 p p _. . ) . ( . . ) ( . = − − = + − = λ ψ λ ρ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

mm 09 399 962 0 1 02 783 1 b b_c . . . = + = − = ψ

(47)

Estruturas Metálicas (de Aço) mm 50 306 09 399 768 0 b b_eff =ρ _c = . × . = . mm 6 122 50 306 4 0 b 4 0 b_e₁= . _eff = . × . = . mm 9 183 50 306 6 0 b 6 0 b_e₂= . _eff = . × . = . mm 09 131 49 8 6 122 a b b_e)_alma _e₁ . . . ( _,_sup= + = + = mm 32 576 49 8 09 399 02 783 9 183 a b b b_e)_alma _e₂ _t . ( . . ) . . ( _,_inf = + + = + − + =

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada. 280.1

131.09

576.32

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min)

) base da partir a medido ( . ) ( mm 67 389 6 131.09) (576.32 10 280.1) (300 65.55) -(810 6 131.06 298.16 6 576.32 10 815) 280.1 5 (300 z_G _eff = = × + + × + × × + × × + × × + × = 4 2 2 2 2 3 3 3 3 eff y mm 1175472955 67 389 55 65 810 6 09 131 16 298 67 389 6 32 576 67 389 815 10 1 280 384 10 300 12 09 131 6 12 32 576 6 12 10 1 280 12 10 300 I = = − − × × + − × × + + − × × + × × + + × + × + × + × = ) . . ( . ) . . ( . ) . ( . . . . ) ( 3 eff y y eff 273156172mm 67 389 820 I W . ) . ( ) ( ) ( , ,min sup = − = 3 eff y y eff 3016585714mm 67 389 I W . ) . ( ) ( ) ( _, _,_min _inf = =

(48)

(III) Verificação da Segurança MPa 355 0 1 355 f f 0 M y yd = = = . γ • NEd=390kN (Compressão) - Fibras superiores 0 1 815 0 660 0 155 0 355 72 2731561 95 24 10 390 10 630 355 44 7076 10 390 f W e N M f A N 3 6 3 yd y eff Ny Ed Ed y yd eff Ed . . . . . . . ) ( _, _,_min _sup , < = + = = × × × + × + × × = + +

∴

A segurança da secção está verificada • NEd=390kN (Tracção) - Fibras superiores 0 1 557 0 650 0 093 0 355 72 2731561 10 630 355 11800 10 390 f W M Af N 3 6 yd y eff Ed y yd Ed _. _. _. _. . ) ( _, _,_min _sup , ₌₋ ₊ ₌ _< × × + × × − = + −

∴

A segurança está verificada - Fibras inferiores 0 1 681 0 588 0 093 0 355 714 3016585 10 630 355 11800 10 390 f W M Af N 3 6 yd y eff Ed y yd Ed _. _. _. _. . ) ( _, _,_min _inf , ₌ ₊ ₌ _< × × + × × = + −

∴

A segurança está verificada

• NOTA: As fibra mais solicitada são as inferiores, que não correspondem ao valor mínimo do

módulo de flexão efectivo. Por outro lado, como a compressão é sempre mais penalizadora que a tracção, não havia qualquer dúvida que a segurança da secção seria verificada.

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da chapa de pavimento misto representada na figura 3.10 durante a fase construtiva (i.e., enquanto o betão está “fresco” e, portanto, não desempenha funções resistentes − traduz-se apenas por uma acção).

(49)

L=2.60

m

p

b/2 c b c b/2 a t

a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mm

c = 14.5mm t = 1.0mm

h H Secção Transversal Betão H = 120mm y y G Z

(50)

RESOLUÇÃO

(I) Dados

- Chapa de pavimento: HI Bond 55 com fy=320MPa

857 0 320 235 . = = ε

- Valor do momento actuante máximo

m m kN 438 2 25 0925 0 10 8 9 83 12

p=( . × . × −3+ . × )= . / / (carga uniformemente distribuída) Chapa Betão Coeficiente de majoração m kNm 09 3 8 6 2 438 2 5 1 M 2 Ed y . / . . . , = × ×

= (momento máximo − meio vão)

(II) Características Geométricas da Secção Bruta - Área º . . 03 15 54 5 14 arctg = = α 55.91mm º 03 . 15 cos 54

= (comprimento das paredes inclinadas)

2 mm 83 232 0 1 91 55 2 5 60 25 30 2

A=( × . × . + × . )× . = . (célula com 150mm de largura)

m mm 2 1552 m 15 0 83 232 A . 2/ ) ( . . =

= (área por metro de largura)

- Centro de gravidade

zG=27mm (a partir da linha média) - Momento de inércia: Ia=Ibcos2α + Icsen2α _α a a b c c

(51)

[

. .

]

. (porcélula) . ) . ( . . ) . ( cos . . . . . . 4 2 3 2 3 2 3 y mm 29 115389 313 0 79 13584 2 08 88219 03 15 sen 12 0 1 91 55 03 15 12 0 1 91 55 2 27 0 1 5 60 12 0 1 5 60 2 I = + × + = =    × × +    + × × × +       × × + × × = m mm 9 769261 15 0 29 115389 I_y . 4/ . . ₌ =

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior

mm 5 59 5 0 2 5 60 c= . − × . = .

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=4.0

kσ=4.0 ⇒

(

)

1222 0673 0 4 857 0 4 28 0 1 5 59 K 4 28 t c _f p . . . . . ) . / . ( . / > = × × = = σ ε λ 671 0 222 1 1 3 055 0 179 1 3 055 0 2 2 p p _. . ) ( . . ) ( . = + − = + − = λ ψ λ ρ mm 92 39 5 59 671 0 c b_c_,_eff =ρ = . × . = . mm 96 19 92 39 5 0 b 5 0 b b_e₁= _e₂= . _c_,_eff = . × . = . be1 be2 e1 b = = 19.96mm e1 b

• Secção Efectiva das Almas - Cálculo de ψ nas almas

[

. . ( . . )

]

. . 2 (porcélula) mm 24 213 0 1 0 1 92 39 91 55 2 25 30 2 A′= × + × + + × = ) secção da base da partir a medido ( . . . ) . . ( . . . . . . mm 02 25 24 213 5 54 0 1 92 39 5 27 0 1 91 55 2 5 0 0 1 25 30 2 z_G = = × + + × × × + × × × = ′

(52)

Estruturas Metálicas (de Aço) 829 0 02 24 53 02 24 1 2 _. ) . ( . − = − − = = σ σ ψ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

829 0. − = ψ ⇒ k_σ =7.81−6.29ψ+9.78ψ2=19.75 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) mm 91 54 5 0 2 91 55 b = . − × . = . 75 19 k_σ = . ⇒

(

)

0508 0673 75 19 857 0 4 28 0 1 91 54 K 4 28 t b _w p . . . . . ) . / . ( . / ₌ _< × × = = σ ε λ

∴ A alma é toda efectiva • Cálculo de Weff,y,min (zG)eff =25.02 mm

[

]

) célula por ( . . . . . ) . . ( . . ) . . ( ) . . ( . . ) . . ( . . . . ) ( 4 2 2 2 3 eff y mm 464 98132 944 27857 039 33895 439 36374 042 5 02 25 5 27 0 1 91 55 313 0 79 13584 2 02 25 5 54 0 1 92 40 5 0 02 25 0 1 5 60 12 0 1 5 60 I = + + + = = − × × + + × + + − × × + − × × + × = m mm 427 654216 15 0 464 98132 I_y _eff . 4/ . . ) ( = =

(III) Verificação da Resistência

0 1 443 0 0 1 320 762 21821 10 09 3 f W M 6 yd mim y eff Ed y _. _. . . . , , , ₌ _< × × =

∴

A resistência da chapa está verificada 3.3.2 TENSÕES TANGENCIAIS (Vz,Ed + Vy,Ed)

• Secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não tem qualquer relação com a resistência às tensões tangenciais)