Melhores Cestas x y z 𝑥 𝑥
Na figura ao lado, apresentamos um conjunto de cestas compostas por unidades do bem 1 e do bem 2. Nela, destacamos três cestas, 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 , 𝑦 =
𝑦 , 𝑦 𝑒 𝑧 = 𝑧 , 𝑧 . O agente econômico deve conseguir ordenar essas
cestas. Duas cestas podem ter bens que parecem semelhantes, mas que são, na verdade, bem diferentes. Pense, por exemplo, no consumo de água de coco. É diferente o consumo de água de coco no verão e no inverno. Também será diferentes o consumo da água de coco na praia e na sala de sua casa. Ainda pode-se falar do consumo de água de coco hoje ou amanhã. Esse exemplo é bastante interessante, pois trata de um dos principais problemas de economia: a antecipação ou postergação do consumo. Por exemplo, economistas gastam muito tempo na resolução do problema da casa própria. Para adquirir a casa própria, muitas vezes, consumidores devem antecipar a renda que receberão no futuro. Isso significa que tomarão um empréstimo e pagarão juros por isso.
Trata-se da antecipação do consumo. Outro problema enfrentado por
consumidores é a previdência. Nesse caso, eles postergam o consumo fazendo uma aplicação e postergando o consumo. Essa aplicação receberá juros que é a remuneração por postergar o consumo.
Se a cesta
𝑥 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑡ã𝑜 𝑏𝑜𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑦, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑥 ≿ 𝑦. Se a cesta 𝑥 é considerada indiferente à cesta 𝑦, denotaremos por 𝑥 ∼ 𝑦 .
Finalmente se a cesta 𝑥 é melhor do que a cesta y, denotaremos por 𝑥 ≻ 𝑦 Figura 1 – Conjunto de Cestas
𝑥 𝑦 𝑧
𝑥 𝑦
Pressuposto 1: O agente deverá ter preferências completas. Isso implica que dadas duas cestas, 𝑥 𝑒 𝑦, o agente deverá definir que 𝑥 ≿ 𝑦, 𝑜𝑢 𝑦 ≿ 𝑥, 𝑜𝑢 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑒 𝑥 ∼ 𝑦. Note-se que se 𝑥 ≿ 𝑦 for verdadeiro, mas se y ≿ 𝑥, for falso, então 𝑥 ≻ 𝑦. Isso vale para quaisquer cestas no conjunto 𝑋 ⊂ ℝ . O agente econômico deve sempre conseguir comparar duas cestas que lhes são apresentadas. Embora essa hipótese seja bastante simples, ela pode vir a requerer grande complexidade de raciocínio dos agentes. Por exemplo, este pressuposto exige que, comparando dois carrinhos de supermercado cheios, o consumidor consiga se posicionar quanto sua preferência por eles. Acima, falamos sobre o problema da previdência.
Naquele problema, o consumidor deveria levar recursos do presente para o futuro. No entanto, como saber qual a melhor aplicação. As decisões podem ser tão complexas que podem tornar a hierarquização das opções bastante difícil. Essa é uma das razões porque Estados nacionais muitas vezes tornam a previdência um problema público, criando regras compulsórias de contribuição e regras de benefícios. Enfim, a hipótese de preferências completas, quando frente a situações complexas, pode ser excessiva. Contudo, ela é central na formatação de racionalidade e outras soluções técnicas como racionalidade limitada podem vir a ser abordadas.
Pressuposto 2: O segundo pressuposto é a transitividade. Suponha que, na figura 1, um consumidor tenha declarado que 𝑦 ≿ 𝑥 e 𝑥 ≿ 𝑧. Por transitividade, 𝑦 ≿ 𝑧. É razoável supor que tenhamos preferências transitivas? A hipótese de
transitividade implica a existência de consistência no comportamento. Agentes racionais
A teoria econômica tem preocupação de analisar como os agentes escolhem as cestas. No entanto, só analisará um tipo específico de agente: aqueles que têm preferências racionais. O que significa ter preferências racionais. Um agente terá preferências racionais se atender a dois pressupostos.
Pressuposto 3: Por transitividade, sabe-se que se 𝑥 ≿ 𝑦 e 𝑦 ≿ 𝑥, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑥 ≿ 𝑥, ou seja, uma cesta é pelo menos tão boa quanto ela mesma. Isso é conhecido como o pressuposto da reflexividade.
Um consumidor que tenha preferências completas e transitivas é reconhecido, na teoria econômica, como um consumidor racional
Conjuntos Podemos agora definir uma série de conjuntos.
Denominaremos de conjunto de cestas pelo menos à cesta x aquele cujas cestas y atendam às seguintes características: 𝑋≽ = 𝑦 ∈ 𝑋: 𝑦 ≿ 𝑥 . A cesta x como é
pelo menos tão boa quanto ela mesma também pertence a esse conjunto. x 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
Figura 2 – Cestas pelo menos tão boas
A figura 2 apresenta o conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto a x. Ele é limitado inferiormente por cestas que são indiferentes à cesta x, representadas na figura pela linha negra. Essas cestas também pertencem ao conjunto de cestas pelo menos tão boas, ou seja, esse conjunto é representado pelas cestas em vermelho mais as cestas da linha negra que passa por x.
As cestas da linha negra fazem parte de um outro
conjunto bastante interessante, denominado de cestas indiferentes, 𝑋∼ = 𝑦 ∈ 𝑋: 𝑦 ∼ 𝑥 . As curvas de
indiferença permitem realizar uma representação gráfica das preferências.
As cestas que compõem apenas a área vermelha são cestas melhores do que a cesta x. Nesse caso, pode-se denotá-las por: , 𝑋≻ = 𝑦 ∈ 𝑋: 𝑦 ≻ 𝑥 . Esse conjunto
tem a particularidade de não conter o elemento x. Assim, enquanto o conjunto de cestas pelo menos tão boas contém o seu limite e, portanto, é limitado e
fechado inferiormente, o conjunto de cestas melhores é limitado inferiormente, mas não fechado.
Curvas de indiferença x 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
Figura 3 – Curvas de indiferença
As figuras 3 e 4 apresentas curvas de indiferença que delimitam conjuntos de cestas pelo menos tão boas. Na figura 3, as setas indicam que, na medida em que nos distanciamos da origem, passamos a cestas melhores. Na figura 4, as curvas de indiferença também delimitam conjuntos de cestas, mas com uma especificidade. As setas indicam que, na medida em que caminhamos para a direita melhoram as preferências, mas as curvas de indiferença se apresentam positivamente inclinadas, o que significa que, na medida em que se aumenta a quantidade do bem 2, deve-se compensar com maior quantidade do bem 1. Na verdade, o bem 2 é um mal.
𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝑥 𝑥 Figura 4 – Curvas de indiferença com um mal
A figura 5 apresenta curvas de indiferença com um bem (2) que é neutro. Assim, apesar de se aumentar a quantidade do bem 2, o consumidor só melhora em sua escala de preferências se aumentar a quantidade consumida do bem 1.
𝑥
𝑥
Figura 5 – Curvas de indiferença de bens neutros
Se um agente é racional, atendendo as hipóteses de preferências completas e transitivas, suas curvas de indiferença não poderão se cruzar. Figura 6, aparecem duas curvas de indiferença e três cestas. Nela, 𝑥 ∼ 𝑦 e x ∼ 𝑧. No entanto, 𝑦 ≻ 𝑧, que, por transitividade é inconsistente. 𝑥 𝑥 x y z
Preferências bem comportadas: algumas hipóteses adicionais
Existem duas hipóteses que são normalmente utilizadas para a análise das preferências. A primeira é a monotonicidade. Uma maneira simples de se definir preferências que atendem a monotonicidade é defini-las como “quanto mais melhor”. Assim, as preferências atenderão ao pressuposto da
monotonicidade se (𝑥 + Δ𝑥 , 𝑥 + Δ𝑥 ) ≻ (𝑥 , 𝑥 ) e (𝑥 + Δ𝑥 , 𝑥 ) ≿ (𝑥 , 𝑥 ), para Δ𝑥 , Δ𝑥 > 0. A monotonicidade será estrita se (𝑥 + Δ𝑥 , 𝑥 ) ≻ (𝑥 , 𝑥 ).
Quais as consequências do pressuposto de monotonicidade? Existem duas consequências bastante visíveis para o
pressuposto da monotonicidade. A primeira é que os conjuntos de indiferença não poderão ser grossas, ou seja, serão formadas por curvas. A segunda consequência é que as curvas de
indiferença não poderão ser positivamente inclinadas e, no caso de monotonicidade estrita, serão negativamente inclinadas.
x 𝑥
𝑥 𝑥
𝑥
Suponha a figura 7, em que destacamos a cesta 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 . Se existe monotocidade, qualquer cesta que esteja no quadrante I terá cestas que são melhores do que a cesta 𝑥, pois terão maiores quantidades tanto de 𝑥 , quanto de 𝑥 . O inverso ocorrerá com o quadrante III, em que estarão cestas sempre avaliadas como piores. Assim, não há possibilidade de haver uma cesta indiferente, 𝑦 ∼ 𝑥, em uma linha de inclinação positiva. Isso significa que as curvas de indiferença terão inclinação não positiva. Se as preferências forem estritamente monótonas, as linhas pontilhadas também não terão cestas indiferentes, tornando, obrigatoriamente, as curvas de indiferença serão negativamente inclinadas, conforma a curva de indiferença vermelha.
Figura 7
I
II III
IV
Alternativamente, pensemos na cesta 𝑧 = 𝑧 , 𝑧 , suficientemente próxima à cesta x. Ali, também se pode montar os mesmos
quadrantes e excluir cestas em I e III. Assim, impossibilita-se a existência de conjuntos de indiferença grossos, constituindo-se em uma curva.
z
É razoável se supor preferências monótonas? Existe um conjunto de questões a esse respeito. A hipótese de monotonicidade se relaciona diretamente com a ideia de escassez. Nesse caso, pensa-se que, pelo menos na região delimitada pelas possibilidades de consumo, ou seja, a restrição orçamentária, as preferências serem monótonas é uma hipótese que faz sentido econômico.
No entanto, pode-se pensar de uma maneira alternativa. Pensemos um caso específico em que temos um bem e um mal, como é o caso do trabalho. Pode-se pensar em uma situação em que se tem um
bem como o trabalho (L) e outro como consumo (C) de uma maneira geral, como ocorre na figura 8. Nesse caso, as curvas de indiferença serão positivamente inclinada, dado que a pessoa reluta em trabalhar (veja bem, trabalho é a tarefa que não é lazer e, portanto, você tem de receber remuneração para realizá-la. Consumo é, no entanto, um bem. Uma maneira alternativa de se analisar essas preferências é pensar em lazer (R) e não trabalho, sendo 𝑅 = 𝐿 − 𝐿, sendo 𝐿, o número máximo de horas disponíveis ao trabalho (lembrem-se que as restrições orçamentárias são apenas algumas das diversas restrições enfrentadas por agentes. Nesse caso, a legislação trabalhista, os hábitos e a capacidade de trabalho do ser humano são limites também). Assim, pode-se elaborar um mapa de curvas de indiferença como a figura 9, com consumo e lazer.
C
L
Figura 8 – Curvas de indiferença (consumo e trabalho)
C
R
Figura 9 – Curvas de indiferença (consumo e lazer)
O segundo pressuposto para se ter uma curva de indiferença bem comportada é a convexidade, que implica que o conjunto de cestas pelo menos tão boas quanto x é convexo. Um conjunto X será convexo se, para 𝑥 𝑒 𝑦𝜖𝑋, 𝑧 =
𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 𝜖𝑋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝛼 ≤ 1, ou seja, se uma combinação linear entre dois elementos do conjunto também pertencer ao conjunto. Isso significa que para todo 𝑦 𝑒 𝑤 ∈ 𝑋: 𝑦 ≿ 𝑥 , 𝑧 = 𝛼𝑤 + 1 − 𝛼 𝑦 ≿ 𝑥. O conjunto será estritamente convexo se, para todo 𝑦 𝑒 𝑤 ∈ 𝑋: 𝑦 ≿ 𝑥 , 𝑧 = 𝛼𝑤 + 1 − 𝛼 𝑦 ≻ 𝑥. A figura 10 apresenta preferências convexas. As figuras 11 e 12, por sua vez, apresentam casos de preferências não convexas.
𝑥 𝑥
Figura 10 – Preferrências estritamente convexas x y w 𝑥 𝑥 z z' Figura 11 – Preferências não convexas 𝑥 𝑥 Figura 12 – Preferências não convexas x y x y
A convexidade tem um sentido econômico bastante interessante. Ela define a preferência pela diversificação à
especialização. Assim, agentes econômicos que atendem a esse pressuposto teriam preferências por cestas mescladas a cestas que contêm uma mercadoria só.
Esse pressuposto é muito importante em determinados casos, como ocorre na escolha de ativos financeiros.
Normalmente, investidores que são cautelosos diversificam os ativos que mantêm. Por exemplo, suponha que um investidor tenha comprado ações de uma empresa de mineração, em 2008, quando o preço do minério estava alto. Ele pode ter tido lucro até 2013. A partir daí, quando o preço do minério começou a cair, as ações se desvalorizaram. O ideal para esse consumidor seria fazer alguma diversificação de ativo, como a compra de títulos governamentais, ou ações de empresas industriais, para diversificar o seu risco. Pessoas avessas ao risco têm preferências como aquelas definidas na figura 10. Já amantes do risco preferirão investir tudo em um só ativo, como aqueles representados na figura 11.
Assim como no caso das preferências monótonas é de se avaliar a plausibilidade das hipóteses adotadas. Parece que agentes avessos ao risco terão preferências convexas. Contudo, não é rara a presença de amantes do risco e, portanto, de curvas de preferências convexas.
Pensemos em alimentação. É comum pais obrigarem (criarem restrições) seus filhos a uma alimentação diversificada, causando alguma chateação. Isso ocorre porque, aparentemente, eles preferem uma alimentação mais especializada em doces e guloseimas. Ao mesmo tempo, uma pessoa que mantém vícios terá preferências não convexas.
Por fim, não é necessária a manutenção de todas as hipóteses e o analista econômico pode simplesmente escolher manter aquelas que melhor se associam à situação que quer analisar, deixando-se claro que sempre a teoria econômica deverá analisar indivíduos racionais e, portanto, que atendem aos pressupostos de preferências completas e transitivas.
A inclinação da curva de indiferença deve ser entendida como a razão de troca entre o bem 2 e o bem 1 que deixa o consumidor exatamente tão bem quanto estava antes. Intuitivamente, deve ser entendido como o desejo marginal à substituição de um bem por outro, ou como denominamos, taxa marginal de substituição (TMS). A ideia de marginal é muito usada em economia, significa a unidade que está na margem da análise, contrastando com a ideia de média que leva em consideração todas as unidades. Assim, pode-se pensar no
segmento de reta 𝑥𝑦, na figura 13, como a taxa média de substituição do bem 2 pelo bem 1 entre a cesta x e a cesta y. No entanto, a tangente à cesta y é a taxa em que se está trocando o bem 2 pelo bem 1 no ponto y, essa seria a TMS no ponto y, que é bem diferente da inclinação da tangente em x.
Há uma clara associação entre as hipóteses adotadas e a inclinação das curvas de indiferença. Pudemos concluir acima que a razão de troca entre dois bens, ou seja, para um consumidor com preferências estritamente monótonas terá inclinação sempre negativa. Isso significa que TMS=∆∆ < 0. Ao mesmo tempo, quando um dos bens é um mal, ou seja, quando as preferências forem
definidas por curvas de indiferença como na figura 4, a inclinação será
positiva, ∆∆ > 0. Essa inclinação pode ser denotada no ponto como a primeira derivada do bem 2 com respeito ao bem 1, .
Inclinação Curva de Indiferença 𝑥
𝑥 x
y
Figura 13 – Taxa Marginal de Substituição
Pode-se perceber também que existe uma relação entre a variação da TMS e a
hipótese de convexidade. Quando as preferências são estritamente convexas, a inclinação da curva de indiferença
diminui, em módulo, na medida em que se troca o bem e pelo bem 1, significando que: < 0, ou seja , a TMS é
decrescente. Caso as preferências sejam côncavas: : > 0, ou seja, a TMS é crescente.
