A y 4 (2,4) Wk=1 (4,8 1,2) Deformação total (D) (2,4) (2,5 2,5) Translação (T) (2,5 2,5) (2,5 1,7) Rotação (R e ) 2 Deformação

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estrutural

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Fig 2.1

Campos de deslocamento e trajetória das partículas em translação e

rotação rígidas, e deformação (strain) resultante de cisalhamento simples, subsimples e puro (explicados mais à frente). A trajetória das partículas representa o movimento real das partículas individuais na rocha em deformação, ao passo que os vetores de deslocamento apenas conectam as posições iniciais e finais. Portanto, os vetores de deslocamento podem ser construídos a partir da trajetória das partículas, mas a operação inversa não é possível 2 1 1 (1,1) 2 3 1 1 (1,1) (3,1) (3,2/3) (3,1/3) Cisalhamento simples Cisalhamento puro 2 3 1 1 (1,1) Cisalhamento subsimples

Deformação interna (strain) 2 3 1 1 (1,1) (3,1) Translação 2 1 1 (1,1) (1,1/4)

Trajetória das partículas Campo de deslocamento

3 Rotação

Campo de deslocamento

Campo de deslocamento

Trajetória das partículas

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2 Deformação

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(2,4) (4,8 1,2) Wk=1 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (2,4) (2,5 2,5) 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (2,5 2,5) (2,5 1,7) 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (1,3) 1 1 0 x ' y ' (2,5 1,7) (4,8 1,2) Wk=1 1 1 2 2 3 3 4 4 x y y ' x ' A B C D E Deformação total (D) Translação (T) Rotação (Re) Cisalhamento simples (Di)

Sistema interno de referência; cisalhamento simples (Di)

Sistema interno de referência

(2,4) (4,8 1,2) Wk=1 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (2,4) (2,5 2,5) 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (2,5 2,5) (2,5 1,7) 1 1 2 2 3 3 4 4 x y (1,3) 1 1 0 x ' y ' (2,5 1,7) (4,8 1,2) Wk=1 1 1 2 2 3 3 4 4 x y y ' x ' A B C D E Deformação total (D) Translação (T) Rotação (Re) Cisalhamento simples (Di)

Sistema interno de referência; cisalhamento simples (Di)

Sistema interno de referência

Fig 2.2

(A) Deformação total de um objeto (no caso, um quadrado com um círculo interno). As setas em (A) são os vetores de deslocamento que conectam as posições inicial e final das partículas. As setas de (B) a (E) representam as trajetórias das partículas. (B, C) Componentes de translação e rotação da deformação mostrada em (A). (D) O componente de deformação interna (strain); um novo sistema de coordenadas

(x', y') é introduzido. Este sistema interno elimina a translação e a rotação (B, C) e facilita a identificação do componente de deformação interna (strain), que, nesse caso, é caracterizada por cisalhamento simples (E)

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PP?? Bacia Parnaíba SF PP Amazônia Faixa Ribeira Craton do São Fransisco N 200 km Margem passiva Neoprotero-zoica Arco magmático Craton Passos Brasília

Fig 2.3

A translação é o componente mais importante em cavalgamentos em cinturões orogênicos. Este exemplo (simplificado) mostra vetores de deslocamento relativos ao cavalgamento direcionado para ESE (translação) da nappe representada em cor laranja, na porção sul da Faixa Brasília. Para mais detalhes, ver Valeriano et al. (2008)

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Fig 2.4

Deformação homogênea de uma rocha com braquiópodes, manchas de redução, amonites e diques. Duas deformações

diferentes são consideradas (cisalhamento puro e cisalhamento simples). Note que os braquiópodes com orientações distintas antes da deformação adquiriram formas diferentes

Não deformado

Cisalhamento simples

Cisalhamento puro

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Deformação

homogênea

Fig 2.5

Malha regular nos estados indeformado e deformado. A deformação interna (strain) total é heterogênea, de modo que algumas das linhas retas se tornaram curvas. Entretanto, em uma porção restrita da malha, a deformação é homogênea. Nesse caso, ela também é homogênea na escala de uma célula da malha

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Fig 2.6

A deformação discreta ou descontínua pode, em alguns casos e de modo aproximado, ser considerada como uma deformação contínua e, até mesmo, homogênea. Nesse sentido, o conceito de deformação interna (strain) também pode ser aplicado à deformação rúptil (brittle strain). O sucesso dessa abordagem depende da escala de observação

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l

β= s = 1 + e

I

e = (I – I

) / I

Fig 2.7

Extensão de camadas por falhamento. A camada em vermelho tem um comprimento original (l₀) e um comprimento final,

e a extensão é encontrada comparando-os. O fator beta (β) é, em geral, usado para quantificar extensão através de bacias extensionais

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1 1 Cisalhamento simples 0 2 γ = tg ψ ψ x y x y 1 2 0 1 Cisalhamento puro k_x k_y= 1/k_x A B

Fig 2.8

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A

A

Não

deformado

Deformado

Deformação por

cisalhamento

ao longo de B

B

B

ψ = 45°

ψ = –45°

A

B

A

B

A

B

C

D

Deformação por

cisalhamento

ao longo de A

Fig 2.9

A deformação angular por cisalhamento (angular shear strain) é a variação no ângulo entre duas linhas inicialmente

perpendiculares, sendo positiva para rotações horárias e negativa para rotações anti-horárias. Neste exemplo, a deformação por cisalhamento angular é de 45° ao longo da linha A e de –45° ao longo da linha B

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1 0 0 1 2 3 4

Campo 1: estiramento ao longo de X e Y Campo 2: estiramento ao longo de X encurtamento ao longo de Y Campo 3: encurtamento ao longo de X e Y

Círculo

original Círculodeformado

Campo 1 Ca mpo 3 Campo 2 Sem estiramento ou encurtamento Pura varia ção d e área Aumento de área

Diminuição de áreaÁrea constante

Eixo longo da elipse de deformação (X)

Ei xo c ur to d a el ip se d e de fo rm aç ão (Y ) 2 3

Fig 2.10

Classificação de elipses de deformação. Apenas a parte inferior do diagrama está em uso porque X ≥ Y. Note que o Campo 2 é dividido em dois pela linha de área constante. O gráfico é chamado de gráfico X - Y, mas também podemos chamá-lo de gráfico X - Z se considerarmos as deformações máxima e mínima principais

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A =1 A = 0,25 Encolhimento Compactação Deformação (strain) A =1 A = 0,25 A = 0,25 A = 0,25 A =1 A =1 Deformação (strain) (cisalhamento puro, k₁ = 0,5 = 1/k₂) Encolhimento

Fig 2.11

Compactação implica deformação. A deformação pode ser considerada uma combinação de encolhimento (shrinking) uniforme e deformação interna (desenhos ao centro). Os desenhos na parte inferior ilustram que a ordem (deformação interna versus compactação) é irrelevante (somente verdadeiro em deformação coaxial): as elipses finais de deformação são idênticas para os três casos

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Y =1 X =Y =1> Z X >Y =Z =1 X >Y >Z, X >>Y = Z X =Y >> Z Contração uniaxial (compactação) Extensão uniaxial Deformação plana Achatamento axialmente simétrico (ou uniforme) Extensão axialmente simétrica (ou uniforme)

Fig 2.12

Alguns estados de referência de deformação (strain). As condições são uniaxial (superior), plana (centro) e tridimensional (inferior)

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y x z y x z A B Duas seções circulares sem deformação e1 e2 e3 Ιe1Ι = X = S1 = √λ1 Ιe2Ι = Y = S2 = √λ2 Ιe3Ι = Z = S3 = √λ3

Fig 2.13

(A) O elipsoide de deformação é uma esfera imaginária deformada em conjunto com a rocha. O elipsoide depende de deformação homogênea e é descrito por três vetores, e₁,

e₂ e e₃ que definem os eixos principais de deformação (X, Y e Z) e a orientação do elipsoide. O comprimento dos vetores descreve a forma do elipsoide, que independe da escolha do sistema de coordenadas. (B) Elipsoide de deformação plana, com indicação de suas duas seções que não apresentam deformação

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1 2 2 3 3 4 k = ∞ k = 0 k =1 4 3 −1,0 1,0 1 0 1 0,0 −0,5 0,5 ν A B Charutos (X >> Y ≥ Z) Panquecas (X ≥ Y >> Z) Defo rmaç ão p lana In (Y / Z) In ( X / Y ) D ef or m aç ão p la na Charutos Panquecas e_s 1 2 2 3 3 4 k = ∞ k = 0 k =1 4 3 −1,0 1,0 1 0 1 0,0 −0,5 0,5 ν A B Charutos (X >> Y ≥ Z) Panquecas (X ≥ Y >> Z) Defo rmaç ão p lana In (Y / Z) In ( X / Y ) D ef or m aç ão p la na Charutos Panquecas e_s

Fig 2.14

Dados de deformação podem ser representados no (A) diagrama de Flinn (eixos lineares ou logarítmicos) ou (B) no diagrama de Hsü. Os mesmos dados são lançados nos dois diagramas para comparação. Dados de Holst e Fossen (1987)

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0 0 1 0 0 1 0 0 1 +∆ 1 + ∆ 0 0 0 1 + ∆ 0 0 0 1 +∆ Variação isotrópica de volume Variação anisotrópica de volume (compactação)

Fig 2.15

Diferença entre variação isotrópica de volume, que não envolve deformação interna (strain), e variação anisotrópica de volume com encurtamento axial (compactação)

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z

z

=

(1+∆)z

1

α'

α'

α'

α

Fig 2.16

Diminuição do mergulho de uma falha por compactação. O efeito depende da quantidade de compactação

após o falhamento ou da diminuição da porosidade e pode ser estimado usado a matriz de deformação por compactação (Eq. 2.10) ou a relação apresentada na Eq. 2.11.

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Fig 2.17

Ilustração do significado dos termos plano de cisalhamento e direção de cisalhamento em um cubo deformado. Esses termos referem-se ao cisalhamento simples ou ao componente de cisalhamento simples de um tipo mais geral de deformação, como o cisalhamento subsimples

Plano de

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Base β = 1.51 β = 1.43 β = 1.35 β = 1.26 β = 1.20 β = 1.14 β = 1.11 10 cm Traço do canto da caixa

Canto da caixa antes da deformação

Posição final do canto

Fig 2.18

Trajetória de partícula em um experimento com massa de gesso, com padrão teórico de cisalhamento puro (em vermelho) apresentado para comparação. Desenhos feitos durante o experimento também são mostrados. As trajetórias de partículas são encontradas conectando-se os pontos dos cantos com pontos onde as falhas interceptam a estratificação. Neste caso, a deformação é heterogênea e rúptil, mas pode ser comparada ao fluxo homogêneo (cisalhamento puro), pois as descontinuidades são muitas e bem distribuídas. O experimento está descrito em Fossen e Gabrielsen (1996)

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q ISA3 ISA1 x x z z x Z X Z y x z y x z y x z + = AP1 a AP3 AP 2 x x y z z Y Condições de contorno Parâmetros de fluxo Campo de velocidade

Posição multiplicada por L Vetores próprios de LApófises de fluxo

Eixos de estiramento instantâneo

Vetores próprios de S Funções de LVorticidade

Deformação (strain)

Eixos principais de deformação

Vetores próprios de DDT

Fig 2.19

Parâmetros mais importantes de deformação. As condições de contorno controlam os parâmetros de fluxo, que, ao longo do tempo, produzem a deformação

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c c e e c c e e c c e e (Wk = 0)

Cisalhamento subsimples Rotação rígida

α α = 90 _{α = 60} α = 0 θ = 15 θ = 45 q q θ = 0 Cisalhamento puro (Wk = 0,5) Cisalhamento simples (Wk = 1) Cisalhamento supersimples (1 < Wk = ∞) (Wk = ∞)

Fig 2.20

Trajetórias de partículas (em verde) e apófises de fluxo (em azul) de deformações planas. As duas apófises de fluxo, que descrevem o padrão de fluxo, são ortogonais no cisalhamento puro, oblíquas no cisalhamento subsimples e coincidentes no cisalhamento simples. Em uma deformação com maior rotação interna, as partículas se deslocam em trajetórias elípticas. O membro final dessa faixa de variação é a rotação rígida, onde as partículas se movem ao longo de círculos perfeitos. A rotação rígida envolve rotação perfeita sem deformação interna (strain), enquanto o cisalhamento puro é dado simplesmente por deformação interna (strain), sem rotação. Note que os ISA, em geral, são oblíquos às apófises de fluxo para W_k > 0

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α)

α)

Vetor

relativo da placa

Apófises de fluxo

= vetor relativo da placa

Placa A

Placa B

Fig 2.21

Duas placas rígidas (A e B) e uma zona de deformação intermediária (em amarelo). Se estivermos de pé sobre a placa B, observaremos a placa A se movendo obliquamente na nossa direção. Se o encurtamento for compensado por extensão lateral, a apófise oblíqua de fluxo será paralela ao vetor da placa e a trajetória de partícula será desconhecida. W_k pode ser obtido a partir da Fig. 2.24

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Fig 2.22

Interpretação de fluxo na roda d’água. O eixo da roda d’água é paralelo ao vetor de vorticidade e não gira em deformação coaxial (W_k = 0), mostrando uma tendência progressiva para a rotação com o aumento de W_k

Coaxial:

sem rotação

Cisalhamento

subsimples:

pouca rotação

Cisalhamento

simples:

muita rotação

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Componente de cisalhamento

simples

w

Fig 2.23

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50 20 10 90 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Cisalhamento

puro Cisalhamento subsimples Cisalhamentosimples

70 80 60 40 30 θ α α x z ISA₁ ISA₂ α θ α ' Gr aus Wk

Fig 2.24

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B

A

C

_D

Fig 2.25

Cisalhamentos simples homogêneo (A) e heterogêneo (B) não geram problemas de compatibilidade entre rochas deformadas e não deformadas. No cisalhamento puro homogêneo (C), há problemas, porque a extrusão lateral de material cria

descontinuidades. O problema de espaço também é aparente no cisalhamento puro heterogêneo (D), mas as descontinuidades podem ser eliminadas

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Rocha

adjacente

não deformada

Borda da zona de

cisalhamento

Rocha deformada

(zona de cisalhamento)

y

x

Seção não deformada

Seções não

deformadas

Fig 2.26

Compatibilidade entre o bloco adjacente não deformado e uma zona de cisalhamento simples. Qualquer seção paralela à parede da zona de cisalhamento aparecerá indeformada

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Cisalhamento simples

progressivo _{Plano de cisalhamento}

Cisalhamento puro progressivo X X B A

Fig 2.27

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ISA3 ISA1 1 23 4 56 1 2 ₆ 1 2 3 ₆ 5 4 X X 1 2 3 4 65 Encurtamento instantâneo Estiramento instantâneo

Encurtamento finito (incremental) Estiramento finito (incremental) θ B A C D ISA1 ISA3 θ

Fig 2.28

Cisalhamento simples progressivo de um círculo com três conjuntos de linhas ortogonais (1-6). A seta ao longo do círculo em (A) indica a direção de rotação das linhas durante a deformação

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c c e e e e c c,e c,e e e c c,e c,e c c,e c,e c c,e c,e e e c c e e c e c e c e c,e c,e c,e c e c,e e c _c,e c,e c c c c c e e c,e c,e c,e c,e c,e c,e e e e Cisalhamento

puro Cisalhamento subsimples Cisalhamento simples

Fig 2.29

Desenvolvimento de setores onde as linhas passam por uma história qualitativamente comum: c, campo contracional; e, campo extensional. As letras c e e indicam que as linhas nesse campo foram primeiro encurtadas e, em seguida, passaram por extensão. Note a figura simétrica produzida por cisalhamento puro e a assimetria criada por histórias de deformações não coaxiais. Observações de campo de diques e veios deformados podem, em alguns casos, ser usadas para construir os setores e, portanto, definir o grau de coaxialidade

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x y z x y Cisalhamento subsimples z x y Cisalhamento puro Wk= 0 = 0,5 =1 y x y x AP AP AP AP AP x z y Cisalhamento simples Fonte Sumidouro x W_k Wk

Fig 2.30

Representação estereográfica da rotação de uma linha durante cisalhamento puro progressivo, cisalhamento subsimples progressivo e cisalhamento simples progressivo. As apófises de fluxo são indicadas por AP, sendo que uma é um atrator (sumidouro) e a outra, um repulsor (fonte)

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1 5 6 2 3 4 1 5 6 2 3 ₄ 4 1 2 3 5 6 12 3 4 56 ISA1 X = ISA1 ISA3 1 23 4 56 Encurtamento instantâneo Estiramento instantâneo B A C E D

Fig 2.31

Cisalhamento puro progressivo de um círculo com três conjuntos de linhas ortogonais (1-6). As setas ao redor do círculo em (A) indicam as direções de rotação das linhas durante a deformação

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1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 θ Encurtamento instantâneo Estiramento instantâneo X X AP AP ISA1 ISA3 A B C D E _ISA 1

Fig 2.32

Cisalhamento subsimples progressivo de um círculo com três conjuntos de linhas ortogonais (1-6). As setas ao redor do círculo em (A) indicam as direções de rotação das linhas durante a deformação. AP: apófise de fluxo

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0 10 20 10 20 30 Cisalhamento simples local

Gullfaks VikingGraben Plataforma Horda

Shetland Plataforma A B 20 km 20 km Cisalhamento puro em larga escala _Cisalhamento simples local

Fig 2.33

Perfis da porção norte do rifte do Mar do Norte, (A) restaurado e (B) presente. Localmente, a deformação se dá por cisalhamento simples, mas, em escala maior, é mais adequado considerá-la como cisalhamento puro

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x y x y y y x z y x z y x z Extensão Achatamento y z x z y z x y z z y x x z y x z x z Cisalhamento puro y x z x y x y y y x z y x z y x z Extensão Achatamento y z x z y z x y z z y x x z y x z x z Cisalhamento puro y x z

Fig 2.34

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c a b c a b b c a c a b a c b b a c c a b c a c a b c a b c b c a b Zonas de deformação verticalmente adelgaçadas Zonas de deformação verticalmente espessadas Transpressão clássica Cisalhamento subsimples En cu rta m en to la te ra l Ex trusão latera l Transtração clássica Cisalhamento subsimples

Fig 2.35

Faixa de variação de deformação com base na combinação de um único cisalhamento simples (setas em violeta) com deformações coaxiais ortogonais (em amarelo). Há zonas de cisalhamento verticalmente espessadas na metade superior e verticalmente adelgaçadas na metade inferior do círculo Fonte: baseado em Tikoff e Fossen (1999).

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σ₁ σ3 ?? Cisalhamento puro Cisalhamento subsimples Plano de cisalhamento C A B D Cisalhamento simples Plano de cisalhamento σ1 σ3 ?? Cisalhamento puro Cisalhamento subsimples Plano de cisalhamento C A B D Cisalhamento simples Plano de cisalhamento

Fig 2.36

O conhecimento da orientação dos esforços principais (A) não é suficiente para prever a deformação resultante. Em um meio perfeitamente isotrópico, a deformação será um cisalhamento puro (B). Entretanto, se nossas condições de contorno envolverem um plano de fraqueza (plano potencial de cisalhamento), poderá haver um cisalhamento subsimples (C). No caso específico em que o ângulo entre σ₁ e o plano de fraqueza for de 45°, pode haver um cisalhamento simples (D)

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Cisalhamento simples (Wk = 1) Rígi do Rígi do Pouc o resis tent e Cisalhamento puro A B Pouc o resi st ente Rígido C (Wk = 0)

Fig 2.37

Marcadores deformados (A), como seixos ou ooides, não fornecem informações sobre o tipo de deformação. Eles podem representar cisalhamento simples (B), cisalhamento puro (C) ou qualquer outro tipo de deformação. O

conhecimento da orientação dos limites da zona de cisalhamento ou do acamamento litológico poderia, entretanto, nos fornecer as informações necessárias. As elipses amarelas nas três ilustrações são idênticas