UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CTC - Centro Tecnológico
TCE - Escola de Engenharia
TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
' & $ %Título do Projeto:
ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR
INCOMPRESSÍVEL EM JATOS COAXIAIS
UTILIZANDO TEORIA DE CAMADA LIMITE COMO
ESCOAMENTO BASE
' & $ %Autor(es):
HELIO RICARDO DE AGUIAR QUINTANILHA JÚNIOR
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Orientador(es):
LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.
HELIO RICARDO DE AGUIAR QUINTANILHA JÚNIOR
ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR INCOMPRESSÍVEL
EM JATOS COAXIAIS UTILIZANDO TEORIA DE CAMADA
LIMITE COMO ESCOAMENTO BASE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientador(es):
LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.
Niterói 9 de Julho de 2015
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
Q7 Quintanilha Júnior, Helio Ricardo de Aguiar
Análise da estabilidade linear em jatos coaxiais incompressíveis utilizando teoria de camada limite como escoamento base / Helio Ricardo de Aguiar Quintanilha Júnior. – Niterói, RJ: [s.n.], 2015.
63 f.
Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal Fluminense, 2015.
Orientador: Leonardo Santos de Brito Alves.
1. Escoamento de fluido. 2. Jato Coaxial. 3. Análise de estabilidade linear. I. Título.
CDD 620.106
DEDICATÓRIA
Dedico à meu pai, minha mãe e meu irmão.
RESUMO
A análise de estabilidade linear é utilizada para o estudo de jatos coaxiais incompres-síveis convectivamente instáveis onde a espessura de momento do jato é muito menor que o diâmetro do mesmo. Em outras palavras, os efeitos devido à curvatura são ignorados e o jato coaxial é modelado como múltiplas camadas de mistura plana. O objetivo principal é investigar as taxas de crescimento e/ou decaimento das perturbações através da interação entre diferentes parâmetros de controle das camadas da mistura. Para isso, um escoamento base preciso deve ser empregado, combinando camadas de mistura individuais por meio das suas expansões assintóticas. Esse método gera uma solução com a mesma ordem de pre-cisão da solução obtida pela teoria de camada limite. Dois casos são então considerados, onde a parede do bocal interno que separa os jatos possuem espessura significante ou não. Além disso, duas técnicas diferentes são utilizadas para a análise de estabilidade. Primei-ramente, uma abordagem pelo método "matrix forming"construído com diferenças finitas de segunda ordem com malha não-uniforme gera estimativas de baixa precisão para todos os auto-valores. Depois, esses valores são utilizados como estimativa inicial no método do tiro para gerar uma solução mais precisa no calculo dos auto-valores instáveis. Resultados obtidos até agora mostram interações entre as taxas de crescimento das perturbações, para diferentes parâmetros de controle do jato coaxial.
Palavras-Chave: Camada de mistura; Camada de mistura dupla; Camada de mistura tripla; Análise de estabilidade linear; Jatos Coaxiais.
ABSTRACT
A linear stability analysis is employed to study convectively unstable incompressible co-axial jets with a momentum thickness that is much smaller than the jet diameter. In other words, curvature effects are neglected and the coaxial jet is modelled as multiple planar mixing-layers. The main goal is to investigate the growth and/or decay rate of the perturbati-ons through the interaction between these mixing-layers. In order to do so, an accurate base flow must be employed. It is created in the present project by combining individual mixing-layers using matched asymptotic expansions, which generates a solution with the same accu-racy order of the standard boundary-layer approximation. Two cases are considered, where the inner nozzle wall separating both streams has negligible as well as non-negligible thick-nesses. Furthermore, two different techniques are used to solve the linear stability problem. First, a matrix forming approach built with second-order finite- differences on non-uniform meshes generates low accuracy estimates for all eigenvalues. Second, these values are used as initial guesses for a shooting method to generate high accuracy solutions for the unstable eigenvalues. Results obtained so far shows some interactions between the growth rate of the perturbations for different parameters control.
Key-Words: Mixing layers; Double mixing layer; Triple mixing layer; Linear stability analy-sis, Coaxial jets.
SUMÁRIO
1. Introdução . . . 1
1.1 Motivação . . . 1
1.2 Revisão Bibliográfica . . . 3
1.2.1 Teoria da Estabilidade Linear . . . 3
1.2.2 Camada de Mistura: O Escoamento Base . . . 9
1.2.3 Camada de Mistura: Análise de Estabilidade Linear . . . 12
1.3 Objetivos . . . 15
2. Formulação Matemática . . . 16
2.1 Equações linearizadas de Navier Stokes Incompressível . . . 16
2.1.1 A Equação de Orr-Sommerfeld . . . 17
2.1.2 A Equação de Rayleigh . . . 17
2.2 A Equação de Camada Limite . . . 18
3. Métodos Numéricos . . . 20
3.1 Escoamento Base . . . 20
3.1.1 Método do Tiro . . . 20
3.1.2 Combinação das Expansão Assintótica . . . 21
3.2 Estabilidade Linear . . . 24
3.2.1 Método do Tiro . . . 24
3.2.2 Matrix Forming . . . 26
4. Resultados e Discussão . . . 28
4.1 Método do tiro x Matrix Forming . . . 28
4.2 Camada de Mistura Dupla: Escoamento Base . . . 29
4.3 Análise de Estabilidade: Camada de Mistura Dupla . . . 29
4.3.1 Similaridade x Tangente Hiperbólica . . . 30
4.3.2 Análise de Estabilidade . . . 31
x
4.3.3 Similaridade x Tangente Hiperbólica . . . 34
4.3.4 Análise de Estabilidade . . . 36
4.4 Camada de Mistura Tripla: Escoamento Base . . . 39
4.5 Análise de Estabilidade: Camada de Mistura Tripla . . . 40
4.5.1 Análise de Estabilidade . . . 40
5. Conclusões . . . 42
LISTA DE FIGURAS
1.1 Injetor Coaxial [1] . . . 2
1.2 As ondas, frequentemente, viajam em forma de pacotes e possuem um enve-lope bem definido. . . 7
1.3 Convectivamente instável e Absolutamente instável [2] . . . 7
1.4 Mapa da estabilidade linear [3]. . . 8
1.5 Enfoques na análise de estabilidade espacial e temporal respectivamente [4]. 9 1.6 Conceito de similaridade [5]. . . 10
1.7 Conceito de similaridade [5]. . . 11
1.8 Esquema das condições de contorno, adaptado de Salemi [6]. . . 11
1.9 Camada de Mistura simples, Oberdan [1]. . . 13
1.10 Camada de Mistura dupla. . . 14
1.11 Camada de Mistura tripla. . . 15
3.1 Mapa de Isolinhas . . . 26
4.1 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,∆y/δR = 8 eδ2,3 = 1/40 28 4.2 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 1/2, VR2 = 0.1,∆yl /δR = ∆yr /δR = 8 eδ1,2 =δ2,3 =δ3,4 = 1/40 . . . 28
4.3 Escoamento base para camada dupla . . . 29
4.4 Escoamento base para camada dupla variando o tamanho do jato externo . . . 30
4.5 Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por similari-dade, com VR = 3/2 . . . 30
4.6 Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por tangente hiperbólica com VR = 3/2 . . . 31
4.7 Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato interno . . . 31
4.8 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,∆y/δR = 8 eδ2,3= 1/40 32 4.9 Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato externo . . 32 4.10 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8 32
xii
4.11 Escoamento base para camada dupla com espessuras do jatos diferentes e variando o tamanho do jato externo . . . 33 4.12 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2 = 1/60 eδ2,3 = 1/20 33
4.13 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2 = 1/20 eδ2,3 = 1/60 34
4.14 Escoamento base para camada dupla variando o tamanho do jato externo para VR= 1/2 . . . 34 4.15 Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por
similari-dade, com VR = 1/2 . . . 35 4.16 Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por tangente
hiperbólica, com VR = 1/2 . . . 35 4.17 Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato interno . . . 36 4.18 Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 1/2,∆y/δR = 8 eδ2,3= 1/40 36
4.19 Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato externo . . 37 4.20 Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8 37
4.21 Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8 37
4.22 Escoamento base para camada dupla com espessuras do jatos diferentes e variando o tamanho do jato externo . . . 38 4.23 Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/60 eδ2,3 = 1/20 38
4.24 Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/20 eδ2,3 = 1/60 39
4.25 Escoamento base para camada tripla . . . 39 4.26 Escoamento base para camada tripla variando o tamanho do bocal interno . . 40 4.27 Taxa de crescimento por frequência do primeiro modo para o caso único da
camada tripla . . . 40 4.28 Taxa de crescimento por frequência do segundo e terceiro modo para o caso
LISTA DE TABELAS
1.1 Classificação das teorias de estabilidade . . . 4 4.1 Variação dos parâmetros na camada de mistura dupla . . . 29 4.2 Variação dos parâmetros na camada de mistura tripla . . . 40
NOMENCLATURA
V Ri , j→Razão de velocidade entre as camadas i e j δi , j →Espessura entre as camadas de mistura i e j ∆y/δR→posição dos bocais do jato
y/δR→posições da malha do jato
δR→espessura padrão para a adimensionalização ReNúmero de Reynolds
Símbolos Gregos
ρdensidade do fluido
αr número de onda
αi taxa de crescimento ou decaimento da perturbação ωfrequência da perturbação
Subscritos
i , j índices
1 – Introdução
1.1
Motivação
Em termos gerais, a propulsão aeroespacial é conseguida através da transformação de energia interna, criada no interior de câmaras de combustão, em energia cinética, que gera o impulso necessário para criação do movimento. As reações químicas responsáveis por esse acúmulo de energia são fortemente dependentes do processo de formação da mistura. Por isso, é fundamental entender corretamente como os sistemas de injeção introduzem e mistu-ram os combustíveis e oxidantes dentro da câmara de combustão. Combustíveis escolhidos são geralmente querosene, hidrogênio e hidrazina, sendo que os oxidantes escolhidos são geralmente oxigênio, peróxido de hidrogênio e nitrogênio di-tetróxido. O presente trabalho de conclusão de graduação enfoca os sistemas de injeção utilizados em motores foguete de propulsão líquida ou LREs. Um tipo amplamente utilizado é o injetor coaxial de cisalha-mento (figura 1.1), em que o jato interno contém oxidante e o jato anular externo contém combustível. Eles podem ser encontrados no motor J-2 utilizado para alimentar o foguete Saturno V, o motor RS-24, também conhecido como o motor principal da Estação Espacial, e o motor Vulcan usado para alimentar o foguete Ariane 5. Os jatos livres, sejam individu-ais ou coaxiindividu-ais, são escoamentos cisalhantes altamente instáveis, tornando suas capacidades de mistura fortemente suscetíveis à excitação acústica. Além disso, pequenas e grandes es-truturas coerentes, bem como ondas de instabilidade, presentes nesses fluxos geram ruído. Outras fontes de ruído também podem estar presentes em um LRE, tal como vibração estru-tural. Um dos principais desafios enfrentados por projetistas de sistemas de injeção é evitar interações ressonantes entre o ruído gerado pelo jato e a acústica da câmara de combustão, o que modifica drasticamente as características de mistura do jato, devido à sua natureza instável. Como consequência direta, a combustão pode ocorrer longe das condições ideais e causar sérios danos ao motor ou até mesmo a destruição do veículo.
2
3
1.2
Revisão Bibliográfica
1.2.1 Teoria da Estabilidade Linear
Instabilidade é a incapacidade de um determinado padrão ser mantido diante de pequenas perturbações a que um sistema físico está sujeito [7]. Tais perturbações podem aparecer por vários fatores, como vibrações da estrutura, ruído, turbulência, rugosidade, entre outros. Em um sistema hidrodinâmico em regime permanente, a estabilidade busca determinar a resposta desse sistema a pequenas perturbações. Contudo, a maneira como esse sistema irá responder a essa perturbação é de fundamental interesse. Se essa perturbação diminuir aos poucos, o sistema é estável àquela perturbação em particular. Se ela aumentar de tal forma que o sistema perturbado seja gradativamente desviado de seu estado inicial, o sistema é dito instável. Segundo Salemi [6], a teoria da estabilidade hidrodinâmica investiga como as perturbações em um escoamento são amplificadas ou amortecidas e como a evolução dessas perturbações está relacionada ao fenômeno de transição para o escoamento turbulento.
Tradicionalmente, para uma análise da instabilidade em um escoamento para pequenas perturbações, uma abordagem modal é utilizada [8]. Dado um operador que descreva essa perturbação, essa abordagem considera o desenvolvimento temporal ou espacial dos autova-lores individuais desse operador. A teoria da estabilidade linear (LST) utiliza a decomposi-ção de uma quantidade q qualquer de um escoamento em uma parte qque é normalmente chamada de escoamento base e uma perturbaçãoq˜
q(s, t ) = q(s) + ε˜q(s, t) (1.1)
onde s é o vetor coordenada espacial (x,y,z), t é o tempo eε ¿1 é uma pequena amplitude. Com a melhoria dos processamentos dos computadores modernos, drásticas simplificações para a perturbaçãoq(s, t )˜ na equação 1.1 da LST podem ser feitas. Isso acaba limitando a LST para escoamentos que são homogêneos em duas das três direções espaciais. O exemplo de camada de mistura é um clássico desse tipo. Nesse caso, as perturbações são expandidas em sua transformada de Laplace no tempo e transformada de Fourie em uma ou duas direções
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espaciais. A estabilidade é calculada separadamente para cada modo, dando origem para o termo modal na teoria da estabilidade linear. Explicitando o termo da perturbação q˜ na equação 1.1
˜
q = ˆqeiΘ (1.2)
ondeqˆeΘsão funções de amplitude e fase da perturbação linear, respectivamente.
Recentemente, eficientes algoritmos para a solução de problemas de auto-valor multidi-mensional permitiram a utilização da análise de estabilidade por modos normais para qual-quer escoamento laminar. A primeira consideração a ser feita para a resolução do problema de estabilidade é considerar o número de direções homogêneas do estado básico. A tabela 1.2.1 apresenta as suposições da homogeneidade do escoamento baseq, a dimensão da per-turbaçãoq˜, o quadro e a nomenclatura resultante para a LST.
Denominação Hipóteses do escoamento base Função amplitude Função de faseΘ Global TriGlobal — q(x, y, z) q(x, y, z)ˆ ωt
PSE-3D ∂xq ¿ ∂yq,∂zq q(x∗, y, z) q(xˆ ∗, y, z)
Rx
α(x,)d x,− ωt
BiGlobal ∂xq = 0 q(y, z) q(y, z)ˆ αx− ωt
Não Local PSE ∂xq ¿ ∂yq;∂zq = 0 q(x∗, y) q(xˆ ∗, y)
Rx
α(x,)d x,+ βz − ωt
Local OSE ∂xq = ∂zq = 0 q(y) q(y)ˆ αx + βz − ωt
Tab. 1.1: Classificação das teorias de estabilidade
Segundo (Lin [9]; Drazin [10]; Mack [11]), para a maior aproximação possível, o es-coamento base é considerado homogêneo ao longo de duas direções espaciais e, com isso, a aproximação de escoamento paralelo é considerada. Nesse caso, a componente da vel-coidade normal à parede e a derivada do escoamento nessa direção são desprezíveis. Com isso:
˜
q(s, t ) = ˆq(y)ei (αx+βz−ωt) (1.3)
A Equação 1.3 será a utilizada no presente trabalho. Para as hipóteses restantes da tabela 1.1 ver [8].
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Análise de Estabilidade Local
A análise de estabilidade pode ser utilizada tanto em escoamentos paralelos ou em escoa-mentos que possuam pequenas variações em uma coordenada espacial. Muito dos conceitos estudados em uma análise local, tais como instabilidades convectivas e absolutas, são usadas para se começar a entender o comportamento encontrado em uma analise global. Pode-se separar a análise de estabilidade local em três tipos: Temporal, espacial ou espacial-temporal.
Análise de Estabilidade Temporal
Para esse tipo de análise, segundo Kundu e Cohen [12], os parâmetros αe βque apa-recem na equação 1.3 são números de onda reais, relacionados com comprimentos de onda periódicosλx e λz, ao longo das direções x e z, respectivamente, por α = 2λπx eβ = 2λπz. O
autovalor solicitado é, então,ωque em geral é um número complexo [10], [11], [13], [2] e [14]. A taxa em que a fase de uma perturbação muda por unidade de tempo, ou a frequência angular, é dado porω = αc[6]. Essa abordagem introduz o autovalor complexo c, onde a sua parte real pode ser interpretada como a velocidade de fase, enquanto a sua parte imaginária é a responsável pela taxa de amplificação ou decaimento da perturbação (equação 1.4).
˜
q = ˆq(y)eiα(x−ct)= ˆq(y)eiα[x−(cr+i ci)t ] (1.4)
Essa perturbação pode ser compreendida inicialmente como uma superposição linear de on-das monocromáticas que se desenvolvem em partes periódicas de comprimento de onda
λx = 2απ e λz = 2απ [8]. Cada onda viaja pelo escoamento base com sua própria constante
de fasecr e pode crescer ou se atenuar com taxaeαcit. À medida que o tempo passa,
ape-nas uma dessas ondas é dominante, e ela é o autovalor dominante que deve ser calculado na análise de estabilidade.
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Análise de Estabilidade Espacial
Ao assumir uma frequência monocromática real ω constante, a solução passa a ser o número de onda α, visto agora como o autovalor do problema. Desse ponto de vista, a perturbação linear pode ser expressa como:
˜
q = ˆq(y)ei [(αr+i αi)x+βz−ωt] (1.5)
Ondeαi pode ser interpretado como a taxa de amplificação ou decaimento espacial da
per-turbação eαr como sendo o seu número de onda. Para um ponto de vista teórico/numérico,
o problema de autovalor a ser calculado é não-linear [8].
Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo
Na equação 1.3, utilizandoβ = 0por conveniência, a perturbação pode ser escrita como a equação 1.4 vista anteriormente. Para um dado valor de α, o valor de q˜ é constante ao longo de uma faixa particular onde(x − ct) =constante. Para um número de onda αreal, c representa a velocidade da crista da onda [12]. Nesse caso, essa velocidade é denominada velocidade de fase. Segundo Kundu e Cohen [12], se, e somente se, ω é diretamente pro-porcional aα, então todo o número de onda possui a mesma velocidade de fase e a média é conhecida como ondas não-dispersivas. Segundo Rayleigh [14], uma perturbação consiste, geralmente, da superposição de várias ondas. Essas ondas podem interagir entre elas de ma-neira construtiva e/ou destrutiva. Os tipos de interferência normalmente fazem com que a perturbação tenha um "envelope"definido, como visto na figura 1.2. Se a crista da onda de todos os números de onda semovem com a mesma velocidade de fase, então esse tipo de interferência, e com isso esse envelope, também se move com a mesma velocidade de fase e eles não mudam de forma ao longo do tempo.
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Porém, se a crista da onda de diferentes números de onda movem-se com velocidades de fase diferentes, então esse tipo de interferência muda de forma com o tempo e o envelope se move com velocidade diferente da crista da onda. Essa velocidade do envelope é conhe-cida como veloconhe-cidade de grupo e pode ser calculada como ddαω [14]. Nesse caso, a média é conhecida como ondas dispersivas [12].
Fig. 1.2: As ondas, frequentemente, viajam em forma de pacotes e possuem um envelope bem definido.
Análise de Estabilidade Temporal e Espacial
Para esse tipo de análise, tantoαcomoωsão complexos. Se faz necessário então diferen-ciar três tipos de escoamento, de acordo com a sua resposta a um impulso. O escoamento é dito estável se a resposta ao impulso decai em qualquer direção. Um escoamento é dito con-vectivamente instável se a resposta ao impulso introduzido cresce se movendo do ponto do impulso mas decai no ponto em que o impulso foi inserido. Um escoamento é absolutamente instável se a resposta ao impulso cresce a partir do ponto, inclusive nele. A figura 1.3 abaixo mostra o esquema convectivamente instável e absolutamente instável, respectivamente.
Fig. 1.3: Convectivamente instável e Absolutamente instável [2] .
8
Para um aprofundamento nesse ideia, uma leitura de Huerre e Monkewitz [15] se torna essencial. Mais detalhes podem ser encontrados nos trabalhos de Huerre e Rossi [16] e Huerre et al. [17]. A extensão dessa análise para escoamentos quasi-paralelo leva para um dos contextos da terminologia instabilidade global [2]. Segundo Alves [3] um mapa de estabilidade se faz necessário, como visto na figura 1.4. Este mapa é importante pois um problema pode mudar de instabilidade dependendo dos seus parâmetros de controle.
Fig. 1.4: Mapa da estabilidade linear [3].
Para o caso da camada de mistura, os dois tipos de análise vistos anteriormente (temporal e espacial), podem ser interpretados analisando se o referencial está fixo e vendo o escoa-mento de fora ou se o referencial está se movendo junto com o escoaescoa-mento. O primeiro caso se refere a análise espacial e o segundo caso para a análise temporal. Como mencionado por Monkewitz e Huerre [18], os resultados da análise temporal não são diretamente aplicáveis à dados experimentais deferentemente da análise espacial. A diferença de enfoque pode ser visto na figura 1.5 a seguir.
9
Fig. 1.5: Enfoques na análise de estabilidade espacial e temporal respectivamente [4].
Para o presente trabalho, apenas uma análise espacial será abordada.
1.2.2 Camada de Mistura: O Escoamento Base Perfil Tangente Hiperbólica
Na construção do escoamento base que será utilizado para a análise de estabilidade, di-versos autores consideram um perfil analítico de tangente hiperbólica em suas análises.
Michalke [19] utilizou um perfil de velocidade laminar base analítico dado por U(y) = 0.5[1+tanh(y)]. Blumen et al. [20] apresentaram um perfil analítico dado por U(y) = tanh(y) e Monkewitz e Huerre [18] utilizaram perfis laminares base calculados e analíticos do tipo U(y)= 1 +λU tanh(y/2) semelhante aos dois anteriores. Jackson e Grosch [21] utilizaram o
mesmo perfil de velocidade U(y) = 0.5[1+tanh(y)] para seus cálculos. Por isso, o perfil de velocidade laminar base dado por U(η) = A tanh(D η) + B, onde A, B e D são constantes e o perfil laminar base calculado por solução similar serão comparados para a camada de mistura dupla.
Similaridade
Como pôde-se notar, para construção do escoamento base algumas abordagens podem ser utilizadas. Seguindo o conceito de camada limite para construção desse escoamento, algumas condições devem ser satisfeitas. Em termos gerais, a variação de propriedades do
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escoamento em uma camada de mistura bidimensional é função de ambas as coordenadas espacias. Com isso, para diferentes posições no espaço, dois perfis diferentes de velocidade podem ser vistos na figura 1.6.
Fig. 1.6: Conceito de similaridade [5].
Normalmente, como pode-se notar acima, os perfis são diferentes. Contudo, em certos casos, uma transformada pode ser realizada e as variáveis dependentes se tornam indepen-dentes. Isso é mostrado na figura 1.7. Ou seja, os mesmos perfis de velocidade existem em diferentes valores deξ . Logo, no plano novo transformado, o perfil de velocidade é dado como função apenas deη. A região da camada de mistura que se comporta dessa forma é conhecida como região similar e suas soluções são conhecidas como soluções similares [6].
Currie [22] diz que soluções similares são as únicas que existem para alguns proble-mas não-lineares da teoria de camada limite. Menciona ainda que as soluções similares são uma classe especial de soluções que existem para problemas governados por equações di-ferenciais parciais parabólicas em duas variáveis independentes onde não existe uma escala geométrica que limita o problema, que é o caso da região de mistura similar.
O Problema da Terceira Condição de Contorno
Quando se busca uma solução similar, as equações de Navier-Stokes com aproximação de camada limite são transformadas para um sistema de coordenadas similares e se transformam na equação de Blasius [22]. Esta equação, como bem conhecida na literatura de mecânica
11
Fig. 1.7: Conceito de similaridade [5].
dos fluidos, é de terceira ordem. Por isso, três condições de contorno são necessárias para a sua resolução. Para o caso de camada limite, as condições de contorno são: condição de não-escorregamento do fluido com a placa, a inexistência de transferência de massa pela parede e a terceira, de que a velocidade paralela ao escoamento na borda da camada deverá ser igual a velocidade do escoamento livre.
Agora voltando para o escoamento em uma camada de mistura, buscando-se uma solução similar, uma equação de terceira ordem também é encontrada. Contudo, falta uma condição de contorno. Como se pode ver na figura 1.8, apenas as condições nas bordas das camadas, que são a de que a velocidade deve ser a mesma do escoamento livre em uma região sufici-entemente longe da placa são conhecidas. Esse é o problema conhecido como o problema da terceira condição de contorno.
12
Ting [23] comenta que a falta dessa condição de contorno faz com que o problema possua infinitas soluções. Com isso, como falta a condição para a velocidade normal, o perfil de velocidades fica com sua posição no espaço indeterminada podendo ser deslocado para cima ou para baixo na direção y.
De acordo com Alston e Cohen [24], Vón Kárman sugeriu que a terceira condição de contorno preferível seria a de assumir-se que o somatório das forças na direção normal ao escoamento é igual a zero. Nesse trabalho, apesar de que Alston e Cohen [24], Ting [23] e Klemp e Acrivos [25] derivaram condições de contorno baseadas nisso, utilizaremos, assim como nos trabalhos recentes de Salemi [6] e Oberdan [1] que a terceira condição de contorno é a de velocidade normal nula. Isso implica que a origem coincide com o ponto de inflexão do perfil de velocidade. Salemi [6] mostra que isto se deve à complicações matemáticas que aparecem na busca de uma equação similar quando tenta-se utilizar uma condição de contorno diferente.
É importante ressaltar também que o ponto escolhido para que a solução similar seja válida é de grande importância. Um ponto muito próximo do contato inicial das correntes de fluido ou um ponto muito longe que possa se situar já na região de transição ou na região turbulenta não são pontos válidos. Assim sendo, o ponto escolhido para o cálculo deve ser longe o suficiente para que os perfis sejam similares, mas não tão longe a ponto de sair da região de escoamento laminar.
1.2.3 Camada de Mistura: Análise de Estabilidade Linear Camada de Mistura Simples
A Camada de mistura é a região de interação entre fluidos que, inicialmente separados, escoam paralelamente até se encontrarem formando uma interface. Essa interface ocorre devido aos gradientes de propriedades entre as camadas. Pequenas perturbações (i.e. In-finitesimais) geradas (Turbulência residual entre camadas, ondas acústicas e rugosidade da placa) acarretam o surgimento de vórtices transversais que consequentemente transecionam o escoamento para um regime turbulento. Uma camada de mistura pode ser classificada de acordo com número de interações entre os fluidos. No caso de uma camada de mistura
sim-13
ples, dois fluidos possuem apenas uma região de interação como pode ser visto na figura 1.9 abaixo.
Fig. 1.9: Camada de Mistura simples, Oberdan [1].
Definindo, como mencionado por Oberdan [1],U1é denominado como sendo a
veloci-dade do escoamento livre na direção x para a camada superior, onde x representa a direção na qual o escoamento flui eU2 como sendo a velocidade do escoamento livre na direção x
para camada inferior. Como se pode notar, a velocidade na camada superior é maior que na camada inferior. Por isso, ela é chamada de camada rápida e a inferior de camada lenta.
Quando duas camadas de fluido em um escoamento incompressível estão em movimento relativo horizontal e a interface destas é perturbada, uma camada de mistura aparece, e pode ser vista como uma lâmina de vorticidade de espessura desprezível se o comprimento de onda da perturbação presente for muito maior que a espessura da camada. Essa perturbação gera a instabilidade comummente encontrada na atmosfera, denominada instabilidade de Kelvin-Helmholtz [6].
A fonte de energia para essa instabilidade, segundo Chandrasekhar [7], está claramente presente na energia armazenada sob a forma de energia cinética do movimento relativo de diferentes camadas. A tendência da existência da mistura e da instabilidade será tanto maior quanto maior for o cisalhamento dado por dUd y. Apenas a derivada da inércia se comporta como força contrária, amortecendo essa tendência. Enquanto essa força de inércia for sufici-ente para manter um gradisufici-ente de pressão e evitar a mistura, não haverá instabilidade. Para o problema da instabilidade de Kelvin-Helmholtz existe solução analítica, vista em Mendonca [26], que fornece a relação de dispersão f (ω,α) = 0.
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Camada de Mistura Dupla
Para os próximos dois tipos de camada, a interpretação de aproximação da camada para um jato coaxial será considerada. Esses são os dois casos de análise empregados no presente trabalho. Contudo, como a espessura do jato é muito menor que o diâmetro do mesmo, os efeitos devido à curvatura são ignorados e o jato coaxial é modelado como múltiplas camadas de mistura plana. Por isso, uma camada de mistura dupla pode ser vista como sendo a região de interação entre dois escoamentos, onde a axi simetria se deve a diferentes razões de velocidades entre os escoamentos nos bocais. Para a camada dupla, não há região de separação entre os escoamentos, de modo que eles interagem entre si logo após a saída do bocal, como visto na figura 1.10. Novos modos de instabilidade são buscados, além dos dois modos existentes devido aos dois pontos de inflexão presentes no escoamento, como derivado por Fjφrtoft, visto por Kundu e Cohen [12] e mostrado também por Salemi [6].
Fig. 1.10: Camada de Mistura dupla.
Camada de Mistura Tripla
Para a análise de estabilidade em uma camada de mistura tripla, uma região de separação com espessura finita é considerada, como visto na figura 1.11. A aplicação dessa espessura faz com que uma região de esteira viscosa surja entre as camadas, e por isso, uma transição de estabilidade é esperada para dados parâmetros do bocal. Novos modos de instabilidade também são procurados nesse caso, além dos três já esperados devido aos três pontos de inflexão devido a forma do escoamento.
15
Fig. 1.11: Camada de Mistura tripla.
1.3
Objetivos
O objetivo do presente trabalho é investigar a instabilidade hidrodinâmica em jatos co-axiais incompressíveis por meio da técnica de análise de estabilidade linear. Para isso, são avaliados:
• A construção do perfil laminar base por solução similar para a camada de mistura dupla e tripla;
• As diferenças entre o perfil de velocidade laminar base analítico dado por U(η) = A.tanh(D.η) + B e o perfil laminar base calculado por solução similar.
• A validação do método Matrix Forming pelo método do tiro para a uma busca mais geral dos autovalores instáveis.
• Aplicação de análise de estabilidade linear variando certos parâmetros de controle do jato;
2 – Formulação Matemática
2.1
Equações linearizadas de Navier Stokes Incompressível
As conhecidas equações de Navier Stokes incompressível e linearizadas - LNSE - as-sumem a forma modificada a seguir quando insere-se a definição de escoamento base mais perturbação para a velocidade:
∂˜u
∂t + ˜u.∇u + u.∇ ˜u = −∇ ˜p +
1 Re∇ 2˜ u (2.1) ∇ ˜u = 0 (2.2) Re = uδ0 ν (2.3)
Para Re sendo o Número de Reynolds,u o escoamento base,u˜ uma pequena perturba-ção, νa viscosidade cinemática eδ0 a espessura do jato. Ao se introduzir o estado básico
definido por modos normais da equação 1.1 vista anteriormente, a LNSE se transforma em um problema de auto valor generalizado. Para escoamento incompressível e definindo as coordenadas espaciais como sendo (x,y,z), temos as equações abaixo:
iα ˆu + ˆvy+ i β ˆw = 0 (2.4)
`1du − ˆˆ uyv − i α ˆˆ p + i ω ˆu = 0 (2.5)
`1dv − ˆˆ py+ i ω ˆv = 0 (2.6)
−wyv + `ˆ 1dw − i β ˆˆ p + i ω ˆw = 0 (2.7)
Para`1d definido como sendo(Re1 )[( d
2
d y2) − (α2+ β2)] − i αu − i βw e o subscrito y
signi-ficad yd . A análise de instabilidade baseada nas equações 2.4 são muito usadas para descrever instabilidade de escoamentos livres e de camada limite. A consideração chave feita no con-texto da teoria local é a de escoamento paralelo, onde por isso a componentev de velocidade do escoamento base é desprezada. Consequentemente, o estado básico pode ser
17
dido por duas componentes de velocidade denominadas streamwiseu(y)e spanwisew (y). Ambos são função de apenas uma coordenada espacial.
2.1.1 A Equação de Orr-Sommerfeld
A Equação 2.4 pode ser reorganizada e escrita na forma de uma única equação diferencial ordinária, onde o termo da pressão é eliminado, dando origem a equação de Orr-Sommerfeld dada por:
i Re[ ˆv
(4)
− 2k2vˆ00+ α4v] + (αu − ω)[ ˆˆ v00− k2v] − αuˆ 00v = 0ˆ (2.8)
ondev(y)ˆ é a componente da velocidade da perturbação. As derivadas são em relação à coordenada espacial y ek =pα2+ β2. As condições de contornov = ˆˆ v0= 0delimitadas em
y→ ∞em ambos os extremos de integração definem a descrição do problema.
Para o caso em estudo, o escoamento longe o suficiente da interação é definido como sendou = U∞, e a equação 2.8 possui soluções assintóticas. Usando-se a transformação de
Squire [6], chega-se a conclusão de que o escoamento bidimensional se torna instável antes do tridimensional, para modos comβ = 0.
2.1.2 A Equação de Rayleigh
Para o limite onde o número de ReynoldsRe → ∞, os termos viscosos da equação de Orr-Sommerfeld 2.8 podem ser descartados, dando origem a equação de Rayleigh:
(αu − ω)[ ˆv00− α2v] − αuˆ 00v = 0ˆ (2.9)
ou, parau = U∞ec =ωα,
18
Que será a equação utilizada no presente trabalho.
2.2
A Equação de Camada Limite
A análise de estabilidade hidrodinâmica local por modos normais precisa do cálculo das soluções laminares das variáveis dependentes do problema. As soluções laminares são as soluções das equações de conservação para o escoamento da camada de mistura. A técnica utilizada para a solução do escoamento base é a busca por soluções similares, como visto anteriormente. A solução por similaridade existe se a equação de transporte e suas condições de contorno permitirem uma transformação homogênea. Isto implica em encontrar uma relação entre as variáveis independentes, no caso x e y, para apenas uma variável, η, que seria uma combinação entre y e uma função de x a ser determinada. Expressando a variável dependente em termos de um produto de funções, e utilizando as condições de contorno para uma camada limite temos, por fim:
u U∞ = f 0(η) (2.11) η = y s U∞ νx = y δ (2.12) δ = rνx U∞ (2.13)
ondeηé adimensional e a direção normal no espaço similar, x é a direção longitudinal no espaço físico e y é a direção normal no espaço físico. Com as equações acima, transforma-se o espaço físico (x,y) no espaço similar(η)
Com isso, a equação de conservação similares para o problema de camada laminar in-compressível torna-se:
19
Com as seguintes condições de contorno:
f (0) = 0 (2.15)
f0(−∞) = 1 (2.16)
f0(∞) = V R (2.17)
onde VR é a razão de velocidades entre as camadas. Com isso temos a velocidade e a vorticidade adimensionais dados por:
u∗= U∞f0 (2.18) d u∗ d y∗ = U∞ δ∞ f00 (2.19)
3 – Métodos Numéricos
Para o estudo da estabilidade hidrodinâmica da camada de mistura precisa-se solucionar o escoamento laminar base através das equações similares para depois resolver as equações de estabilidade. Das equações de estabilidade surge um problema de autovalor onde se busca o autovalorα, que fornece as taxas de amplificação das perturbações.
Precisa-se então resolver dois problemas. O primeiro é a solução do escoamento base e depois, solucionar o problema de estabilidade através do enfoque espacial. Para isso, foi desenvolvido um notebook no software Mathematica e códigos em linguagem FORTRAN 90.
3.1
Escoamento Base
3.1.1 Método do Tiro
Para a simulação do escoamento base, necessitou-se utilizar o método do tiro. O método do tiro consiste em transformar um problema de condição de contorno em um problema de condição inicial. Para isso a equação 2.14 que é uma equação diferencial de ordem maior que dois, pode ser reescrita em um sistema de equações de primeira ordem, da seguinte forma:
f0= d f d f0= dd f 2d d f0+ f d f0= 0 (3.1)
Para um sistema de equações de primeira ordem, necessita-se de condições inciais para a resolução do problema.
21
Para isso, tem-se:
f (0) = 0 (3.2)
d f (0) = cte1 (3.3)
d d f (0) = cte2 (3.4)
onde as constantes serão inicialmente estimadas e a equação será integrada até o valor suficientemente longe para comparação com as condições em+∞ sabidas. Para tal, o co-mando NDSolve do software Mathematica foi o escolhido para realização dessa integração, que possui controle do passo automático e alterna entre métodos mais eficientes de acordo com a rigidez da equação diferencial a ser resolvida. O comando FindRoot foi utilizado para a obtenção das constantes corretas, onde o método de maior ordem de precisão é es-colhido de acordo com o problema. Após isso, o comando NDSolve é novamente utilizado para resolver a equação diferencia com as constantes corretamente calculadas.
3.1.2 Combinação das Expansão Assintótica
Após o cálculo da camada limite para cada parte do escoamento, necessita-se juntá-las afim de se formar o escoamento base necessário para a análise de estabilidade. Para isso as camadas são combinadas pelas suas expansões assintóticas. Para os dois casos considerados, camada dupla e tripla, a junção será mostrada abaixo.
Camada dupla
Para camada dupla, duas camadas são necessárias, aqui denominadas 1 e 2. Para a ca-mada 1 temosU1,δ1,2 eη = δy1,2, logo:
f1,20 (−∞) = 1 (3.5)
f1,20 (∞) = V R1,2= U2 U1
22
Onde definimos o perfil de velocidade e a vorticidade como sendo:
u1,2∗ = U1f1,20 (3.7) d u∗ d y∗|1,2= U1 δ1,2 f1,200 (3.8)
Para a 2ª camada, temosU2,δ2,3eη =δy2,3, logo:
f2,30 (−∞) = 1 (3.9)
f2,30 (∞) = V R2,3= U3 U2
(3.10)
E o perfil de velocidade e a vorticidade são:
u2,3∗ = U2f2,30 (3.11) d u∗ d y∗|2,3= U2 δ2,3 f2,300 (3.12)
E, dividindou∗porU1, pode-se combinar os perfis de velocidade para:
u = {f1,20 [ y∗ δ1,2 ]} +∆y + {V R1,2f2,30 [ y∗ δ2,3 ]} −∆y − V R1,2 (3.13)
Sabendo quey =δRy∗ ondeδR é uma espessura característica utilizada para adimensiona-lizar, tem-se que:
u = {f1,20 [ δR δ1,2 y]} y→y+∆y + {V R1,2f2,30 [ δR δ2,3 y]} y→y−∆y − V R1,2 (3.14)
23
E a vorticidade combinada é dada por:
d u d y = { δR δ1,2 f1,200 [ y ∗ δ1,2 ]} +∆y + {V R1,2 δR δ2,3 f2,300 [ y ∗ δ2,3 ]} −∆y − 0 (3.15)
Que pode-se resumir a:
d u d y = { δR δ1,2 f1,200 [ δR δ1,2 y]} y→y+∆y + {V R1,2 δR δ2,3 f2,300 [ δR δ2,3 y]} y→y−∆y (3.16)
Ou seja, parau =uU∗1 ey =δy∗R e∆y =∆yδ∗
R tem-se que: u = f1,20 [ δR δ1,2(y + ∆y)] + V R1,2 f2,30 [ δR δ2,3(y − ∆y)] − V R1,2 (3.17) d u d y = δR δ1,2 f1,200 [ δR δ1,2(y + ∆y)] + V R1,2 δR δ2,3 f2,300 [ δR δ2,3(y − ∆y)] (3.18)
para a Camada Dupla.
Camada Tripla
Seguindo o mesmo raciocínio feito anteriormente para o caso da camada dupla, a camada tripla pode ser formada. Por isso a camada 1 é montada da mesma forma que a camada 1 vista anteriormente. A camada 2 segue também os mesmos procedimentos, contudo ela é avaliada emy = y +∆y −δ, ondeδé a espessura do bocal interno, presente na camada tripla.
A camada 3 tem como parâmetros sua espessura dada porδ3,4 eη = y
∗ δ3,4. Assim: f3,40 (−∞) = 1 (3.19) f3,40 (∞) = V R3,4= U4 U3 (3.20) Logo:
24 u3,4∗ = U3f3,40 (3.21) d u∗ d y∗|3,4= U3 δ3,4 f3,400 (3.22) emy = y − ∆y
ou seja, parau =uU∗1 ey =δy∗R e∆y =∆yδ∗
R tem-se que: u = f1,20 ·δ R δ1,2(y + ∆y) ¸ + V R1,2f2,30 · δ R δ2,3(y + ∆y − δ) ¸ + V R1,2.V R2,3f3,40 ·δ R δ3,4(y − ∆y) ¸ − V R1,2(1 + V R2,3) (3.23) d u d y = δR δ1,2 f1,200 · δ R δ1,2(y + ∆y) ¸ + V R1,2 δR δ2,3 f2,300 · δ R δ2,3(y + ∆y − δ) ¸ + V R1,2V R2,3 δR δ3,4 f3,400 ·δ R δ3,4(y − ∆y) ¸ (3.24)
para a camada tripla.
3.2
Estabilidade Linear
Para a solução da equação de estabilidade 2.10 com o escoamento base já definido, duas abordagens foram utilizadas no presente trabalho. O método do tiro, inicialmente, e o mé-todo denominado matrix forming. O problema a ser resolvido se resume a um problema de autovalor e a maneira como ele é analisado difere entre os dois casos.
3.2.1 Método do Tiro
Para o caso do método do tiro, utilizado por Salemi [6] e Oberdan [1] em suas teses, o problema de autovalor analisado é indireto. O método consiste em transformar o problema, que é um problema de valor de contorno, em um problema de valor inicial. Resolvendo a equação 2.10 para a pressão, tem-se que:
25
−α2P [Y ] + P00[Y ] +2αP
0[Y ]U0[Y ]
(ω − αU[Y ]) = 0 (3.25)
P0[Y ] = Pd[Y ]; (3.26)
Onde se assume a solução de menos infinito, numericamente visto como uma distância suficientemente grande da influencia da perturbação no escoamento denominada deYL, até
o centro da camadaY = 0como sendo:
P [YL] = eYLα (3.27)
d P
d y[YL] = αe
YLα (3.28)
e de mais infinito, numericamenteYR, até o centro como sendo:
P [YR] = e−YRα (3.29)
d P
d y[YR] = −αe
−YRα (3.30)
Como o problema agora é um problema de valor inicial, o valor deωreal eαcomplexo são inicialmente estimados e o problema é integrado pelas soluções 3.27 e 3.29 e deve res-peitar a equação da continuidade no centro, Y = 0. O comando NDSolve foi novamente utilizado para a integração da equação.
Relação de Dispersão
O problema então consiste em resolver a denominada relação de dispersão f (α,ω) =
0. Para resolver essa relação, uma malha é criada para os valores de α real e imaginário estimados e uma frequênciaωreal (apenas por ser uma análise espacial) é também estimada. Quando se avalia o determinante da matriz de solução, para um solução não trivial, o seu valor deve ser 0. Assim, um mapa de isolinhas 3.1 pode ser feito, onde para a frequência
26
fixa, duas curvas (deαreal e deαimaginário) são plotadas.O ponto de interseção entre elas é a solução da relação para aquele ponto.
Fig. 3.1: Mapa de Isolinhas
Após isso, o próximo ponto é estimado com uma pequena variação ∆ da frequência, e uma estimativa deαreal e imaginário próximos ao anterior. O comando FindRoot foi o utilizado para a busca dessa raiz. Assim, com os dois pontos já calculados, uma extrapolação pode ser feita afim de capturar os modos presentes no escoamento.
3.2.2 Matrix Forming
Para o caso da solução da equação 2.10 como um verdadeiro problema de autovalor, a abordagem utilizada foi a Matrix Forming. Como visto e derivado por Theofilis [2][27], o método consiste em resolver o seguinte problema de autovalor:
27
Porém, utilizando a transformaçãoq = αqafim de linearizar a equação, chega-se a:
Aq = αB q (3.32)
onde o famoso algorítimo QZ utilizado para a resolução do spectro completo, para os valores das matrizesA B, todos os autovaloresαdo problema são calculados.
O método utilizado para discretização das equações foi o método das diferenças finitas e o escolhido foi o de segunda ordem, devido a sua menor contaminação dos resultados (métodos de maior ordem contaminam muito o spectro e muitos modos espúrios interferem na análise).
Para as camadas de mistura dupla e tripla, uma malha não-uniforme foi utilizada, tendo em vista a configuração do escoamento base.
4 – Resultados e Discussão
4.1
Método do tiro x Matrix Forming
Primeiramente, a verificação do método Matrix Forming foi feita para as camadas de mistura dupla e tripla, comparando-o com o método do tiro. Para os parâmetros da Camada dupla, onde VR é a velocidade entre as camadas de mistura,∆y o tamanho do bocal externo eδi , j a espessura do jato entre as camadas i e j, tem-se:
æ æ æ æ æ æ ææ ææ ææ æ ææ æ ææ æ æ æ æ ææ ææ æ ææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ à à à à àà àà ààà àààààààààààà ààà à à à à à à à à à ì ì ì ì ì ì ì ì ì ìì ììì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òòòò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ô ô ô ôô ô ô ô ô ô ô ô ô ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ááá ááá áááááááááááááááááááááá ááá áá íííííííííííííí 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re@ΩD 0.02 0.04 0.06 -Im@ΑD ∆12=160 140 120 110 ∆12=160,140,120,110
Fig. 4.1: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,∆y/δR = 8 eδ2,3 = 1/40
qualitativamente, os pontos, que representam o método Matrix Forming, estão em cima da curva contínua, que representa o método do tiro.
Para o caso da camada tripla, adicionando a velocidade VR2 que representa a queda de velocidade entre os jatos devido a presença da parede, tem-se:
æ ææ ææ ææ æ æ æ æ æ æ ææ æ ææ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ æ ààà àà àà àà àà àà àààààà à à à à à àà àà àà àà àà ì ì ì ììììì ì ì ì ì ì ì ì 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Re@ ΩD 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 - Im@ ΑD
Fig. 4.2: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 1/2, VR2 = 0.1, ∆yl /δR = ∆yr
/δR = 8 eδ1,2=δ2,3=δ3,4 = 1/40
29
onde, novamente, o método Matrix Forming se comportou qualitativamente como o mé-todo do tiro.
4.2
Camada de Mistura Dupla: Escoamento Base
Para os casos considerados na camada de mistura dupla, os parâmetros do escoamento base que serão variados podem ser melhores visualizados na figura 4.2 abaixo:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12= 3 2 ∆23 D13
Fig. 4.3: Escoamento base para camada dupla
4.3
Análise de Estabilidade: Camada de Mistura Dupla
A tabela 4.3 a seguir mostra a variação dos parâmetros que serão adotados para a análise de estabilidade linear da camada de mistura dupla:
VR ∆y/δR δ1,2 δ2,3 3/2 8 1/60, 1/40, 1/20 and 1/10 1/40 3/2 8 1/40 1/60, 1/40, 1/20 and 1/10 3/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/40 1/40 3/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/60 1/20 3/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/20 1/60 1/2 8 1/60, 1/40, 1/20 and 1/10 1/40 1/2 8 1/40 1/60, 1/40, 1/20 and 1/10 1/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/40 1/40 1/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/60 1/20 1/2 8, 6, 4, 3, 2 and 1 1/20 1/60
30
Primeiramente, para o primeiro caso de cada razão de velocidades, a comparação entre o perfil analítico dado por tangente hiperbólica e o calculado por similaridade é realizada. Após isso, o perfil do escoamento base calculado por similaridade foi o adotado.
Para a primeira comparação, o tamanho do jato externo foi o parâmetro variado, como pode-se ver abaixo:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12=32 ∆23 D13
Fig. 4.4: Escoamento base para camada dupla variando o tamanho do jato externo
4.3.1 Similaridade x Tangente Hiperbólica
Para essa configuração, a análise de estabilidade linear fornece para o caso do escoamento base por similaridade:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -Im@ΑD Dy∆R=8,6,4,3,2,1 Dy∆R=8,6,4,3,2,1
Fig. 4.5: Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por similaridade, com VR = 3/2
31 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -Im@ΑD Dy∆R= 8,6,4,2,1 Dy∆R= 8,6,4,3,2
Fig. 4.6: Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por tangente hiper-bólica com VR = 3/2
Pode-se então perceber, que o perfil dado pela tangente hiperbólica possui frequências maiores assim como também maiores taxas de amplificação da perturbação. Para o caso onde a distância do jato externo é 2, a tangente hiperbólica calcula o segundo modo de instabilidade fora da sequência padrão de suavização devido a diminuição da distancia, ao passo que o perfil de similaridade, que resolve realmente as equações de conservação, mostra o padrão de suavização bem definido.
4.3.2 Análise de Estabilidade
Agora, seguindo as análises utilizando apenas o perfil de similaridade como escoamento base, varia-se a espessura do jato interno, como mostrado:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12=32 ∆23 D13
Fig. 4.7: Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato interno
32 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -Im@ΑD ∆12=160 140 120 110 ∆12=160,140,120,110
Fig. 4.8: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,∆y/δR = 8 eδ2,3 = 1/40
e variando a espessura do jato externo, como mostrado abaixo:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12=32 ∆23 D13
Fig. 4.9: Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato externo
tem-se da análise de estabilidade:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 -Im@ΑD ∆23=160 140 120 110 ∆23=160,140,120,110
Fig. 4.10: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8
33
taxa de crescimento ou decaimento da perturbação referente ao segundo modo, enquanto que variar a espessura do jato externo, controla a taxa do primeiro modo de estabilidade. Logo, o jato mais lento(interno) influi no primeiro modo, ao passo que o jato mais rápido (externo) influi no segundo modo.
Colocando agora o jato externo com espessura diferente do interno (maior ou menor) e variando o tamanho do jato externo, como mostrado:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12=32 ∆23 D13
Fig. 4.11: Escoamento base para camada dupla com espessuras do jatos diferentes e variando o tamanho do jato externo
tem-se para o primeiro caso, com a espessura do jato interno menor que a do externo:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re@ΩD 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 -Im@ΑD 4 3 8,6,4,3 Dy∆R=8,6 2 2 1
Fig. 4.12: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2= 1/60 eδ2,3= 1/20
Nota-se que a espessura menor do jato interno provocou uma interação no segundo modo de estabilidade, quando o tamanho do jato externo é de 2. Uma análise mais critica se faz então necessária nesse ponto, para saber o motivo dessa interação.
34 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 -Im@ΑD 8,6,4,3,2 Dy∆R=8,6,4,3 2 1
Fig. 4.13: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 3/2,δ1,2= 1/20 eδ2,3= 1/60
Nesse caso, todos os primeiros modos são dominantes em relação aos segundos modos de estabilidade.
Os resultados a seguir são relativos a segunda parte da tabela, onde a velocidade entre as camadas agora é de 1/2, ou seja, a camada externa é mais rápida que a interna.
4.3.3 Similaridade x Tangente Hiperbólica
Como dito anteriormente, primeiramente uma comparação entre o escoamento base feito por tangente hiperbólica é comparado com o perfil de similaridade.
Fazendo a análise variando o tamanho do jato externo e mantendo os outros parâmetros fixos como mostrado anteriormente na tabela ??, o caso variado é:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 ∆23 D13
Fig. 4.14: Escoamento base para camada dupla variando o tamanho do jato externo para VR= 1/2
35 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -Im@ΑD 4 6 8 3 2 1 Dy∆R= 0 Dy∆R= 8,6,4 3 2
Fig. 4.15: Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por similaridade, com VR = 1/2
ao passo que por tangente hiperbólica:
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -Im@ΑD 8 4 6 3 2 Dy∆R= 1 Dy∆R= 8, 6, 4 3
Fig. 4.16: Taxa de crescimento por frequência para um escoamento base por tangente hiper-bólica, com VR = 1/2
É possível notar uma grande diferença, além do maior range de frequência e de taxa de crescimento da perturbação já debatidas para o caso anterior com VR de 3/2. Aqui, quando a o tamanho do jato externo é de 2, o perfil de similaridade capta o primeiro e o segundo modo separadamente e eles estão bem definidos, ao passo que o perfil de tangente hiperbólica captura o primeiro e o segundo modo juntos, mostrando apenas um modo para a análise de estabilidade.
36
4.3.4 Análise de Estabilidade
Agora, seguindo as análises utilizando apenas o perfil de similaridade como escoamento base, varia-se a espessura do jato interno, como mostrado a seguir:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 ∆23 D13
Fig. 4.17: Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato interno Com isso, tem-se:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re@ΩD 0.02 0.04 0.06 0.08 -Im@ΑD ∆12=160 140 120 110 ∆12=160,140,120 e 110 15
Fig. 4.18: Taxa de crescimento por frequencia com : VR = 1/2,∆y/δR = 8 eδ2,3 = 1/40
e variando a espessura do jato externo, como mostrado abaixo: tem-se da análise de estabilidade:
Percebe-se nesse caso então que, assim como visto para camada de mistura com razão de velocidade de 3/2 entre as camadas, mexer na espessura do jato interno, controla a taxa de crescimento ou decaimento da perturbação referente ao segundo modo, enquanto que variar a espessura do jato externo, controla a taxa do primeiro modo de estabilidade. Assim, o jato mais lento(externo) influi no primeiro modo, ao passo que o jato mais rápido (interno) influi no segundo modo.
37 y∆R 1 uU1 1 ∆12 ∆23 D13
Fig. 4.19: Escoamento base para camada dupla variando a espessura do jato externo
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 -Im@ΑD ∆23=160 140 120 110 ∆23=160,140,120,110
Fig. 4.20: Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8
Além disso, é importante notar a seguinte interação, dando um zoom no modo onde a espessura do jato externo foi variada:
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Re@ΩD 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 -Im@ΑD 111 112 ∆23=110
Fig. 4.21: Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2 = 1/40 e∆y/δR = 8
Para as espessuras do jato externo de 1/10, 1/11 e 1/12, uma interação é evidenciada, onde uma análise mais profunda se faz necessária, a fim de se conhecer a origem de tal
38
iteração.
Colocando agora o jato externo com espessura diferente do interno (maior ou menor) e variando o tamanho do jato externo, como mostrado:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 ∆23 D13
Fig. 4.22: Escoamento base para camada dupla com espessuras do jatos diferentes e variando o tamanho do jato externo
tem-se para o primeiro caso, com a espessura do jato interno menor que a do externo:
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -Im@ΑD 4 1 8,6 4 0 Dy∆R=8,6 3 4 3 2
Fig. 4.23: Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2= 1/60 eδ2,3= 1/20
Nota-se que a espessura menor do jato interno provocou uma variação grande nas frequên-cias e amplitudes dos modos a medida que se variava a distancia do jato externo do interno, ao passo que o primeiro modo permaneceu em baixa frequência.
39
Já para o caso com a espessura do jato externo menor que a do interno e variando a distância do jato externo do interno novamente:
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Re@ΩD 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 -Im@ΑD 4 0 3 8,6 Dy∆R=8,6,4,3 2 1
Fig. 4.24: Taxa de crescimento por frequência com : VR = 1/2,δ1,2= 1/20 eδ2,3= 1/60
Nesse caso, os segundos modos de estabilidade não variam de acordo com a distância do jato externo, ao passo que o os primeiros modos variam bastante de acordo com essa distância.
4.4
Camada de Mistura Tripla: Escoamento Base
Para os casos considerados na camada de mistura tripla, os parâmetros do escoamento base que serão variados podem ser melhores visualizados na figura 4.4 abaixo:
y∆R 1 uU1 1 ∆12 VR12= 0.1 VR23= 32 ∆23 D12 D23
40
4.5
Análise de Estabilidade: Camada de Mistura Tripla
A tabela 4.5 a seguir mostra a variação dos parâmetros que serão adotados para a análise de estabilidade linear da camada de mistura tripla:
VR1 VR2 ∆yr /δR ∆yl/δR δ1,2 δ2,3 δ3,4
3/2 0.1 8 8 1/40 1/40 1/40 Tab. 4.2: Variação dos parâmetros na camada de mistura tripla
Os parâmetros serão fixados e o tamanho do bocal será variado, como pode-se ver a seguir:
Figura/similar-tripla-explicado-3-2-espessura-eps-converted-to.pdf
Fig. 4.26: Escoamento base para camada tripla variando o tamanho do bocal interno
4.5.1 Análise de Estabilidade
Para o caso em questão, a análise de estabilidade fornece 3 modos de instabilidade, se-parados aqui para melhor visualização.
Primeiramente, o modo com taxa de crescimento maior:
0.5 1.0 1.5 2.0 Re@ΩD 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 -Im@ΑD DyL∆R=8,6 4 2 1
Fig. 4.27: Taxa de crescimento por frequência do primeiro modo para o caso único da ca-mada tripla
41
e, os outros dois modos de instabilidade:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Re@ΩD 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 -Im@ΑD DyL∆R=8,6,4,2,1 8 4 2 1 6
Fig. 4.28: Taxa de crescimento por frequência do segundo e terceiro modo para o caso único da camada tripla
Nesse caso, uma suavização da taxa de crescimento se da a medida que o tamanho do bocal se torna menor para o primeiro e terceiro modo, ao passo que o segundo modo não sofre grandes alterações.
5 – Conclusões
A análise de estabilidade linear é uma técnica que tem se mostrado útil à compreensão de problemas complexos na área de mecânica dos fluidos ou, especificamente, nos proble-mas de camada de mistura. No presente trabalho de conclusão de graduação, a análise de estabilidade foi aplicada ao estudo do problema das camadas de mistura incompressíveis e laminares em jatos coaxiais com bocais duplo e triplo, onde foi possível comparar soluções de diferentes escoamentos base e que a aproximação de camada limite funciona para tais escoamentos. Também foi possível identificar algumas tendências e características do esco-amento ao variar-se parâmetros relevantes ao problema. Um novo método Matrix Forming foi também verificado para a solução da analise de estabilidade em camadas de mistura, onde os autovalores iniciais podem ser calculados nesse método para serem aplicados como estimativa inicial no método do tiro. Para determinadas variações no perfil base, houve in-teração entre os modos, o que é interessante devido a analise ser linear, o que leva a uma análise aprofundada da origem dessa interação.
Além disso, o estudo tem aplicações no desenvolvimento e familiarização do autor com problemas de estabilidade, como primeiro passo para a continuação da análise da estabili-dade para problemas mais complexos, visando resultados satisfatórios a serem implementa-dos no projeto de propulsão espacial da Força Aérea Americana.
Como referência para trabalhos futuros, uma maior variação dos parâmetros para as ca-madas de mistura dupla e tripla, afim de se localizar novos modos de instabilidade ou até mesmo configurações que permitam a transições de estabilidade, focando na camada de mis-tura tripla variando a espessura da parede separadora. Com a validação do método Matrix Formingpara o problema aqui abordado, é esperado uma redução do tempo necessário para análise de estabilidade em relação ao mapa de isolinhas utilizado para estimativa inicial no método do tiro, podendo-se assim realizar maiores buscas com variados parâmetros.
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