SOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES DE PROBABILIDADES DE
TRANSIÇÃO DE PROCESSOS SEMI MARKOVIANOS UTILIZANDO
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Márcio José das Chagas Moura Universidade Federal de Pernambuco Avenida Acadêmico Hélio Ramos, s/n, CTG - DEP
marciocmoura@gmail.com Enrique López Droguett Universidade Federal de Pernambuco Avenida Acadêmico Hélio Ramos, s/n, CTG - DEP
ealopez@uol.com.br Carlos Magno Jacinto
Petrobras cmcj@petrobras.com.br
RESUMO
Os processos semi Markovianos são modelos bastante importantes dentro do contexto de Engenharia de Confiabilidade. Tais processos não são mais estritamente Markovianos, mas por possuírem características suficientes comuns a estes recebem tal denominação. Basicamente, um sistema é denominado semi Markoviano quando suas taxas de transição dependem do tempo de permanência do processo em um determinado estado. O presente artigo propõe e descreve um método numérico de solução das equações de probabilidade de transição de processos semi Markovianos baseado em inversão de transformadas de Laplace e integração numérica via Quadratura Gaussiana. Dois exemplos de aplicação a sistemas de segurança do método numérico descrito são apresentados.
PALAVRAS CHAVE. Confiabilidade. Processos semi Markovianos. Transformadas de
Laplace. Estatística.
ABSTRACT
The semi Markovian processes are rather important models inside of the context of Reliability Engineering. Such processes are not more strictly Markovian, but for possessing common enough characteristics to these they receive such denomination. Basically, a system is called semi Markovian when its transition rates depend on the holding time of the process in any determined state. The present paper proposes and describes a numerical method of solution of the equations of transition probabilities of semi Markovian processes based on inversion of Laplace transforms and numerical integration via Gaussian Quadrature. Two examples of application to safety systems of the described numerical method are presented.
1. Introdução
Os processos Markovianos são um dos processos estocásticos mais úteis na modelagem de sistemas dinâmicos. No contexto da Engenharia de Confiabilidade, são utilizados basicamente quando modelos como árvore de falhas, árvore de eventos ou diagrama de blocos são insuficientes para representação funcional de um sistema complexo. Como aplicação de processos Markovianos em Confiabilidade pode-se citar Moura et al. (2005) e Oliveira et al. (2005).
Considere um processo estocástico {X(t),t≥0} com tempo contínuo e espaço de estados discreto X = {1, 2, ..., n}, onde n é o número de estados. Considere que o estado do processo no instante υ é X(υ)=i. A probabilidade condicional que o processo estará no estado j no instante t é: )) ( ) ( , ) ( | ) ( (X t j X i X u x u P = υ = = Equação 1
onde 0≤u<υ<te {x(u),0≤ u<υ} representa a trajetória percorrida pelo processo até, mas não incluindo, o instante υ.
O processo é chamado de Processo Markoviano contínuo no tempo se satisfaz a propriedade Markoviana, que é dada pela equação 2:
). ) ( | ) ( ( )) ( ) ( , ) ( | ) ( (X t j X i X u x u P X t j X i P = υ = = = = υ = Equação 2
Segundo Howard (1971a), a propriedade Markoviana, também conhecida como “falta de memória”, significa que somente o último estado ocupado pelo processo é relevante na determinação do seu comportamento futuro. Em outras palavras, quando o presente é conhecido o desenvolvimento futuro do processo é independente do passado. Para um processo ser Markoviano esta hipótese deve ser verdadeira em todo instante do tempo.
Graficamente, um processo Markoviano é representado pela cadeia de Markov. Esta cadeia é composta por nós, que representam os possíveis estados que o processo pode ocupar e setas as quais representam as transições (falha ou reparo) entre os estados.
Probabilisticamente, um processo de Markov é caracterizado a partir de um vetor de probabilidades iniciais P(X(t0)=k),k=0,1,...,n e pelas probabilidades de transição entre estados ) ) ( | ) ( ( ) , ( t P X t j X i pij υ = = υ = Equação 3
para 0≤υ≤t e i,j=0,1,...,n, onde n é o número de estados do processo Markoviano.
As probabilidades de transição de um processo de Markov satisfazem a equação de
Chapman – Kolmogorov, a qual estabelece que ∀ ,i ∀j∈X,
∑
= • = n k kj ik ij t p u p u t p 0 ) , ( ) , ( ) , (υ υ Equação 4 para 0≤υ<u<t.Os processos semi Markovianos são uma extensão dos processos Markovianos. Tais processos não são mais estritamente markovianos, mas possuem características comuns suficientes a estes para receberem tal denominação.
Segundo Howard (1971b), um processo semi Markoviano pode ser entendido como um processo no qual a ocupação de sucessivos estados é governada pelas probabilidades de transição de um processo de Markov. Porém, o tempo de permanência em qualquer estado depende do estado presentemente ocupado e do estado para o qual a próxima transição será feita. Desta forma, nos instantes de transição o processo semi Markoviano comporta-se exatamente como um Markoviano. Entretanto, os instantes nos quais as transições ocorrem são governados por um mecanismo probabilístico diferente.
Existem dois tipos de processos semi Markovianos: Homogêneo, no qual as taxas de transição dependem do tempo de permanência do processo em um determinado estado e Não – Homogêneo, no qual as taxas de transição além de dependerem do tempo de permanência em um determinado estado também dependem do tempo de processo ou de calendário o qual se inicia
com o início da observação do processo. A partir de agora toda referência que se faça a processos semi Markovianos neste trabalho corresponde a processos semi Markovianos Homogêneos.
O comportamento dinâmico das probabilidades de transição de um processo semi Markoviano é dado por:
∑ ∫
= > + − = n k t kj ik ik i ij ij t w t h p t d p 1 0 ) ( ) ( ) ( ) (δ
ϕ
τ
τ
τ
Equação 5onde n é o número de estados do processo, δij é o delta de Dirac, >wi(t) é o complementar da função de distribuição acumulada do tempo de espera no estado i, φik é a probabilidade de transição constante do estado i para o k e hik(.) é a função densidade de probabilidade do tempo de permanência no estado i dado que o próximo estado a ser ocupado pelo processo é j, veja Howard (1971b) para maiores detalhes.
A equação 5 pode ser entendida da seguinte forma: a primeira parcela da soma corresponde ao evento que o processo permanece no estado i pelo menos até o instante t, somente contribuindo para pii(t). A segunda parcela descreve o evento que o processo permanece no estado i até um instante τ quando se desloca para algum estado k e então move-se do estado k para o estado j em (t – τ) unidades de tempo. A equação 5 é conhecida como a equação fundamental dos processos semi Markovianos.
A equação 5 é a mais comum definição utilizada para as probabilidades de transição ou equações de estado de processos semi Markovianos. Entretanto, da mesma forma que ocorre com os processos Markovianos, é mais útil em problemas de Engenharia de Confiabilidade definir as probabilidades de transição semi Markovianas a partir das taxas de transição do processo.
As taxas de transição, que no contexto de Engenharia de Confiabilidade podem representar taxas de falha ou reparo, são definidas como:
) ) ( | ) ( ( ) (t P X t dt j X t i ij = + = = λ Equação 6
que corresponde à probabilidade do processo deslocar-se para o estado j em um intervalo de tempo infinitesimal dado que está no estado i.
A definição da equação 5 a partir de taxas de transição é dada em Becker et al. (2000), como:
∑∫
∫
∫
= − − + − = n k t kj i ik t i ij ij d t p dx x dx x t p 1 0 0 0 ) ( ) ) ( exp( ) ( ) ) ( exp( ) ( τ τ τ λ τ λ λ δ Equação 7 onde∑
= = n k ik i t t 1 ) ( ) ( λλ e n é o número de estados do processo semi Markoviano.
O foco deste artigo é apresentar um método de solução da equação das probabilidades de transição ou equações de estado de processos semi Markovianos Homogêneos dada pela equação 7 através da utilização de inversão numérica de transformadas de Laplace. Dada a solução transformada, a sua inversa é calculada a partir do método de Quadratura Gaussiana conhecido como Gauss Legendre, o qual é bastante rápido. A partir do método apresentado as taxas de transição as quais podem representar taxas de falha ou reparo podem seguir qualquer função de densidade arbitrária como Lognormal, Weibull ou Exponencial.
O presente artigo está organizado da seguinte maneira: na próxima seção é descrito o método para solução das equações das probabilidades de transição de processos semi Markovianos baseado em inversão numérica de transformadas de Laplace e no método de integração Gauss Legendre. Na seção 3, serão apresentados dois exemplos de aplicação a sistemas de segurança que possuem alguns equipamentos sob efeito de processos de deterioração e que têm suas taxas de falha dependentes do tempo que o processo permanece em um determinado estado. Na seção 4, são feitas algumas conclusões sobre o trabalho.
2. Descrição do método numérico
A equação 7 pode ser escrita em forma matricial da seguinte maneira:
τ τ τ t d K t W t t ) ( ) ( ) ( ) ( 0 − Φ ⋅ + = Φ
∫
Equação 8onde para i = j, ( ) exp( ( ) )
0
∫
−
= t i
ij t x dx
w λ e 0wij(t)= caso contrário. A função matricial K(τ)é o Kernel do processo semi Markoviano e cada um de seus elementos é dado por
∫
− =λ τ τλ τ 0 ( ) ) exp( ) ( ) ( x dx kij ik i .A integral que aparece na segunda parcela da equação 8 pode ser escrita como uma integral de convolução, veja Boyce & Diprima (2002). Uma integral de convolução tem a seguinte forma:
∫
∗ − t d t f f 0 2 1(τ) ( τ) τ Equação 9Fazendo uso da propriedade, provada no ANEXO 1, que a transformada de Laplace da convolução de duas funções de tempo contínuo f1(ο) e f2(ο) é igual ao produto das suas transformadas individuais, pode-se transformar a equação integral da equação 8 em uma equação algébrica.
Desta forma, aplicando transformadas de Laplace à equação 8, tem-se que: ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ~ ~ ~ s s K s W s = + ∗Φ Φ Equação 10 ou ) ( ) ( )] ( [I−K~ s Φ~ s =W~ s Equação 11
onde s é a variável transformada e I é a matriz identidade.
A equação matricial 11 corresponde a um sistema de equações algébricas que tem como solução as probabilidades de transição do processo semi Markoviano na variável transformada s. A solução desse sistema pode ser obtida a partir do método de Decomposição Inferior – Superior, veja Press et al. (2002) para maiores detalhes.
Conhecida a solução transformada, é necessário inverter a transformada de Laplace a fim de obter a solução na variável t. Pela definição de transformada de Laplace, tem-se que:
∫
∞ − = 0 ~ . ) ( ) (s e f t dt f st Equação 12Fazendo a mudança de variável z = e-t, a equação 12 torna-se:
∫
− =1 − 0 1 ~ . )) ln( ( ) (s z f z dz f s Equação 13A integral que aparece no lado esquerdo da equação 13 pode ser aproximada por uma quadratura gaussiana, a qual envolve a avaliação ponderada da função f(.) em abscissas previamente conhecidas, segundo o método de integração de Gauss Legendre. Veja Press et al. (2002) para maiores detalhes sobre quadraturas gaussianas. Desta forma, tem-se que:
∑
= − − = R j j s j jz f z w s f 1 1 ~ )) ln( ( ) ( Equação 14onde wj e zj são os pesos e raízes, respectivamente, fornecidos pelo método numérico de integração Gauss Legendre. É importante frisar que wj e zj não dependem da função f(.) e sim somente do número R de pontos da quadratura.
Discretizando a equação 14 em R valores de s, por exemplo, s = 1,2,...,R, origina-se um sistema de R equações lineares com R incógnitas f(-ln(zj)):
] [ ] ][ [A F = F~ Equação 15 onde 1 − = i j j ij w z a Equação 16 , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ) ln( ( ... ... ... ... ... ... ) ln( ( ) ln( ( ] [ 2 1 R z f z f z f F Equação 17 e . ) ( ... ... ... ... ... ... ) 2 ( ) 1 ( ] [ ~ ~ ~ ~ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = = = R s f s f s f F Equação 18
Assim como o sistema de equações da equação 11, a equação 15 também pode ser resolvida pelo método de Decomposição Inferior – Superior. Dentro do contexto dos processos semi Markovianos, as funções das equações 17 e 18 são substituídas pelas probabilidades de transição pij(t) e soluções transformadas, respectivamente, com i = 1,...,N e j = 1,...,N, sendo N o número de estados do processo semi Markoviano. Oliveira et al. (2005) também utiliza tal método de inversão de transformadas de Laplace para calcular as probabilidades de estado de um processo semi Markoviano Não Homogêneo.
Uma das limitações da utilização do método descrito é que somente é possível determinar as probabilidades de transição pij(t) nos pontos t = -ln (z). Porém, esta limitação pode ser contornada com a utilização de um fator de escala que torna possível a determinação das probabilidades de transição para qualquer horizonte de previsão T. O fator de escala que será utilizado neste trabalho é:
1
ln z T
C=− Equação 19
, onde z1 é o valor mínimo das abscissas do método de Gauss Legendre. O fator de escala C deve
ser multiplicado pelos parâmetros das funções das taxas de transição que são dependentes do tempo e desta forma obtêm-se as probabilidades de transição para qualquer horizonte de previsão T. Na próxima seção, serão apresentados dois exemplos de aplicação do método numérico descrito a sistemas de segurança.
3. Exemplos de aplicação
3.1. Dois componentes em paralelo
Considere um sistema composto por dois componentes em paralelo. Cada componente i possui taxa de falha λi(t) dada por uma distribuição Weibull:
1 ) ( − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i i i i i t t β α α β λ Equação 20
Como mostrado na Tabela 1, quando ambos os componentes estão falhos o sistema alcança o estado de indisponibilidade representado pelo número 0:
Tabela 1 – Estados de um sistema composto por dois componentes em paralelo
Estado do Sistema Componente 1 Componente 2
0 (Indisponível) Falho Falho
1 (Disponível) Falho Operacional
2 (Disponível) Operacional Falho
3 (Disponível) Operacional Operacional
Fonte: Autor (2006)
As taxas de reparo são consideradas constantes e iguais a μ para ambos componentes, como na Figura 1, a qual apresenta o diagrama de estados para o sistema em paralelo:
3
2
0
1
) ( 1 t λ ) ( 1 t λ ) ( 2 t λ ) ( 2 t λ μ 2μ μFigura 1 – Diagrama de estados para o sistema com dois componentes em paralelo
Supondo que tanto o componente A como o B estão sujeitos a processos de deterioração no qual as suas taxas de falha dependem do tempo de permanência do sistema em determinado estado e são dadas por uma distribuição Weibull, seguem os dados para execução do modelo numérico:
− Taxa de falha do componente 1: α1 = 850.0 hrs, β1 = 2.0;
− Taxa de falha do componente 2: α2 = 1000.0 hrs, β2 = 1.5;
− Taxa de reparo: μ = 0.006 hr-1; − Tempo de missão T = 17520.0 hrs.
Já que as taxas de transição (falha) do sistema em questão dependem do tempo de permanência em um certo estado, o que viola a condição Markoviana, o processo representado na Figura 1 pode ser considerado semi Markoviano e suas probabilidades de transição serão avaliadas através do método numérico descrito na seção 2. Supondo que o sistema esteja no estado 3, em t = 0, tem – se que o comportamento dinâmico das probabilidades de transição do processo semi Markoviano é ilustrado na Figura 2:
Probabilidades de Transição 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Tempo (hrs) Pr o b ab il id ad e P0(t) P1(t) P2(t) P3(t)
Figura 2 – Probabilidades de transição do sistema semi Markoviano formado por dois componentes em paralelo
Foram utilizados R = 16 pontos no procedimento de quadratura gaussiana para inversão numérica das transformadas de Laplace de acordo com uma análise de sensibilidade desenvolvida em Oliveira et al. (1997). A execução do modelo para o sistema semi Markoviano com dois componentes em paralelo composto por quatro estados e sete transições durou 0,800 do segundo. A disponibilidade do sistema pode ser calculada pelo somatório das probabilidades instantâneas nos estados 1, 2 e 3 já que estes correspondem aos estados nos quais o sistema encontra-se disponível como consta na Tabela 1.
3.2. Sistema em Paralelo com standby
Considere um sistema de segurança redundante constituído de dois componentes sendo que uma destas unidades encontra-se em espera, ou seja, em standby. Como ilustrado na Figura 3, a unidade A está inicialmente em operação (em t = 0) e a unidade B encontra-se em standby enquanto que S corresponde ao subsistema que desempenha as funções de sensor da condição do componente A e de mudança de unidade de A para B em caso de falha de A.
Figura 3 – Diagrama de blocos de um sistema em standby
O sistema em standby da Figura 3 pode ser operado e reparado de diversas formas: − O componente em standby pode estar “frio”, i.e., fora de operação ou pode estar parcialmente carregado;
− O switch S pode apresentar diversos modos de falha, como “falha em atuar” ou “atuação indevida”, entre outras.
Considere que o sistema a ser modelado aqui possui uma unidade em standby passiva, i.e., assume-se que este componente não falha enquanto estiver em standby. Assuma também que o switch é perfeito, a falha da unidade em operação é detectada imediatamente e a unidade em standby é ativada com probabilidade 1. Os possíveis estados do sistema estão listados na Tabela 2 e seu diagrama de estados na Figura 4.
Tabela 2– Estados do sistema em standby
Estado do Sistema Componente A Componente B
0 (Indisponível) Falho Falho
1 (Disponível) Operacional Falho
2 (Disponível) Standby Operacional
3 (Disponível) Falho Operacional
4 (Disponível) Operacional Standby
Fonte: Autor (2006)
3
2
0
1
A λ μ4
A μ B μ λB(t) A λ ) (t B λFigura 4 – Diagrama de estados do sistema em standby
Supondo que o componente em standby está sob o efeito de um processo de deterioração no qual a sua taxa de falha depende do tempo de permanência em um determinado estado e é dada por uma distribuição Weibull e que a taxa de falha do componente A e as taxas de reparo são constantes, seguem os dados para execução do modelo numérico:
− Taxa de falha do componente A: λA = 1e-4 hr-1;
− Taxa de falha do componente B: αB = 500.0 hrs βB = 2.5;
− Taxa de reparo do componente A: μA = 0.01 hr-1;
− Taxa de reparo do componente B: μB = 0.001 hr-1;
− Taxa de reparo: μ = 0.001 hr-1;
− Tempo de missão T = 17520.0 hrs;
Como relatado imediatamente antes, a taxa de falha do componente em standby depende do tempo de permanência do sistema em um certo estado. Desta forma, o processo representado na Figura 4 pode ser considerado semi Markoviano e suas probabilidades de transição serão avaliadas através do método numérico descrito na seção 0. Supondo que o sistema estava no estado 4, em t = 0, tem - se que o comportamento dinâmico das probabilidades de transição do processo semi Markoviano é ilustrado na Figura 5:
Probabilidades de Transição 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 Tempo (hrs) Pr o b abil idade P0(t) P1(t) P2(t) P3(t) P4(t)
Figura 5 – Probabilidades de transição do sistema semi Markoviano em standby
A execução do modelo para o sistema semi Markoviano em standby composto por cinco estados e sete transições durou 0,875 do segundo, assim como o sistema com dois componentes em paralelo. A disponibilidade do sistema em questão pode ser avaliada pelo somatório das probabilidades instantâneas nos estados 1, 2, 3 e 4 já que estes correspondem aos estados nos quais o sistema encontra-se operacional. 4. Conclusões
O presente trabalho apresentou um método numérico de solução das equações de convolução das probabilidades de transição de processos semi Markovianos baseado em inversão numérica de transformadas de Laplace e no método de quadratura gaussiana conhecido como Gauss Legendre. Tal método apresentou-se bastante robusto e rápido na modelagem de sistemas de segurança como foi visto nos exemplos de aplicação.
O desenvolvimento de um método numérico rápido e preciso para sistemas semi Markovianos é muito importante, já que são uma extensão dos processos Markovianos e por isso são muito úteis em análises de confiabilidade desde que generalizam resultados obtidos através destes.
Como sugestão de trabalhos futuros tem-se o desenvolvimento de um método igualmente robusto e eficaz para sistemas semi Markovianos Não Homogêneos, os quais possuem suas taxas de transição dependentes tanto do tempo de permanência em determinado estado quanto do tempo de calendário, também conhecido como tempo de processo.
Referências
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BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC. 7ª Edição.2002.
HOWARD, R. A. Dynamic Probabilistic Systems. California: John Wiley & Sons, v.1, Markov Models.1971a.
HOWARD, R. A. Dynamic Probabilistic Systems. California: John Wiley & Sons, v.2, SemiMarkov and Decision Processes.1971b.
MOURA, M. C., DINIZ, H. H. L., DROGUETT, E. L. & JACINTO, C. M. C. Análise comparativa da disponibilidade de duas malhas de completação inteligente em poços de petróleo. Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Porto Alegre, RS, 2005.
Eleventh National Meeting on Reactor Physics and Thermal hydraulics, Brazilian Association for Nuclear Energy. Rio de Janeiro, 1997. p.337.
OLIVEIRA, E. A., ALVIM, A. C. M. & FRUTUOSO E MELO, P. F. Unavailability analysis of safety systems under aging by supplementary variables with imperfect repair. Annals Nuclear Energy, v.32, p.241-252. 2005.
PRESS, W. H., TEUKOLSKY, S. A., VETTERLING, W. T. & FLANNERY, B. P. Numerical Recipes in C++. Cambridge: Cambridge University Press. Second Edition.2002.
ANEXO 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS DE CONVOLUÇÃO
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ~ 2 ~ 1 0 1 0 2 0 0 1 2 0 ) ( 2 1 0 0 0 ) ( 2 1 2 1 0 s f s f u f due f e d t u e u f e duf d e t f e dtf d e t f e f d dt t f f d dte su s su s t s s t t s st st ∗ = = − = = − = − = −
