Indução Matemática Princípio da Indução Matemática: • P(1) verdadeira • (∀k)[P(k) verdadeira → P(k+1) verdadeira] • ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Uma sentença da forma P(n) é verdadeira para todos os inteiros n positivos”. Portanto, quando desejarmos demonstrar que alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n,podemos tentar usar a indução matemática como técnica de demonstração. Demonstração por indução: • estabelecemos inicialmente a veracidade da sentença P(1), que é chamada BASE DA INDUÇÃO ou PASSO BÁSICO DA INDUÇÃO • Estabelecer que P(k) → P(k+1), que é chamado PASSO INDUTIVO • P(k) é chamada SUPOSIÇÃO INDUTIVA ou HIPÓTESE INDUTIVA quando assumimos que P(k) é verdadeira com o objetivo de demonstrar o passo indutivo A indução, apesar do nome, é uma técnica de demonstração dedutiva, isto é, uma forma de demonstrar uma conjectura que possivelmente foi formulada por um raciocínio indutivo. EXEMPLOS: 1. Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 (1) para qualquer inteiro positivo n • A propriedade P(n) é a equação (1) acima (a soma de todos os inteiros positivos ímpares menores que n são igual ao quadrado de n) • Podemos provar que a equação (1) é verdadeira para um determinado valor de n, pela substituição de n na equação. Contudo não poderemos substituir todos os valores inteiros positivos. • Demonstração por indução matemática: • Passo básico P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1) 1 = 12 • Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja 1 + 3 + 5 + ... + (2k 1)= k2 (2) • Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o valor de k+1, é igual (k+1)2 (3)
• A chave da demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1), equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da equação 2, que assumimos como verdadeira • Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2(k + 1) 1) = k2 + 2k + 2 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 cqd 2. Prove que 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 2n+1 1 (1) para qualquer inteiro n ≥ 1 • Passo básico P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1) 1 + 2 = 2n+1 1 = 4 1 = 3 (verdadeira) • Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2k = 2k+1 1 (2) • Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o valor de k+1, é igual 2k+1+1 1 (3) • A chave da demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1), equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da equação 2, que assumimos como verdadeira • Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva: 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2k + 2k+1 = 2k+1 1 + 2k+1 = 2(2k+1) 1 = 21(2k+1) 1 = 2k+1+1 1 cqd 3. Prove que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 (1) para qualquer inteiro positivo n • Passo básico P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1) 1 = 1(1 + 1)/2 = 1 (verdadeira) • Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2 (2)
• Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o valor de k+1, é igual (k + 1)[(k + 1) + 1]/2 (3) • A chave da demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1), equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da equação 2, que assumimos como verdadeira • Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva: 1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = k(k + 1)/2 + k + 1 = (k2 + k)/2 + k + 1 = [k2 + k + 2(k + 1)]/2 = [k2 + k + (k + 1)+ (k + 1)]/2 = [(k2 + 2k + 1)+ (k + 1)]/2 = (k + 1)[(k + 1)+ 1] cqd 4. Prove que 2n > n (1) para qualquer inteiro positivo n • Passo básico P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1) 21 > 1 (verdadeira) • Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja 2k > k (2) • Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o valor de k+1, é igual 2k+1 > k+1 (3) • A chave da demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1), equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da equação 2, que assumimos como verdadeira • Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva: 2k+1 = 2.2k 2k > k 2.2k > 2.k = k + k ≥ K + 1, logo 2k+1 > k+1 cqd
5. Prove que o número 22n – 1 (1) para qualquer inteiro positivo n é divisível por 3 • Passo básico P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1) 22.1 – 1 = 3 (verdadeira) • Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja 22k – 1 = 3.m 22k = 3.m + 1 (2) • Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o valor de k+1, é igual 22(k+1) = 3.n (3) • A chave da demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que se deseja mostrar P(k+1), equação(3), com o que hipótese de indução da P(k), da equação 2, que assumimos como verdadeira • Reescrevendo P(k+1) usando a hipótese indutiva: 22(k+1) – 1 = 22k+2 – 1 = 22k.22 – 1 = 4.22k – 1 = 4.(3m + 1) 1 = 12m + 4 – 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1) = 3n cqd
INDUÇÃO COMPLETA OU INDUÇÃO FORTE Princípio da Indução Matemática (INDUÇÃO FRACA): • P(1) verdadeira • (∀k)[P(k) verdadeira → P(k+1) verdadeira] • ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos INDUÇÃO COMPLETA ou INDUÇÃO FORTE 1. P(1) verdadeira 2. (∀k)[P(r) verdadeira para todo r, 1 r k,≤ ≤ → P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos
Em algumas situações não conseguimos realizar uma
demonstração por indução usando apenas a indução fraca. Nesses casos o uso da INDUÇÃO FORTE é absolutamente necessário.
Prove que para todo n ≥ 2, n é um número primo ou é um
produto de números primos. ○ Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA? ■ Propriedade: Todo inteiro n ≥ 2 é um número primo ou é um produto de números primos. ■ Usando a indução fraca: • Base: 2 é primo VERDADE • Hipótese indutiva: k é primo ou produto de primos se k é primo, tudo bem se k NÃO É PRIMO, então k=a.b onde a e b são primos ou produtos de primos
a e b devem estar nos intervalos: 1<a<k e 1<b<k,
respectivamente, caso contrário, isto é, se 1≤ a≤ k e 1≤b≤k, e k=a.b, então k é primo (uma contradição) Logo, a< k e b< k De onde se conclui que precisamos de uma hipótese indutiva que possa valer para inteiros menores que k; na verdade, para inteiros no intervalo (fechado) [2,k]
Isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como
descrito a seguir.
○ Base:
■ 2 é primo ou produto de primos. VERDADE
○ Hipótese indutiva: Vamos supor que para qualquer r no
intervalo 2 ≤ r ≤ k, P(r) é verdadeira, isto é, r é primo ou é produto de números primos.
○ Tomemos agora o número k+1.
■ Se k+1 é primo, o resultado se verifica.
■ Se k+1 não é primo, então ele é um número composto e
pode ser escrito como k+1=a.b, onde 1<a< k+1 e 1<b< k+1, ou 2≤a≤ k e 2≤b≤ k. Observe que a hipótese indutiva se aplica a a e b. Logo, ou a e b são primos ou são produto de primos. Isso verifica P(k+1) C.Q.D. (Como Queríamos Demonstrar)
Prove que qualquer valor postal maior ou igual a oito
unidades monetárias pode ser obtido usandose apenas selos com valores de 3 e 5. Em outras palavras, um inteiro positivo n, para todo n ≥ 8, pode ser representado como a soma de 3s e 5s
○ Porque não podemos usar a INDUÇÃO FRACA?
■ Propriedade: Todo inteiro n ≥ 8 pode ser representado
como a soma de 3s e 5s ■ Usando a indução fraca: • Base: 8 = 3 + 5 VERDADE • Hipótese indutiva: k pode ser representado como a soma de 3s e 5s vamos verificar se k + 1 pode ser representado como a soma de 3s e 5s k + 1 = [(soma de 3s e 5s) + 1] ≠ (soma de 3s e 5s) não consigo realizar a demostração indutiva
considerando verdadeira a hipotese apenas para o item imediatamente anterior (k)
é necessário considerar a hipótese verdadeira para
um inteiro menor que k
isso nos obriga a tentar a INDUÇÃO FORTE, como
descrito a seguir.
○ Base: a base, por motivos óbvios será o 8. P(8) é a
sentença de que 8 resulta da soma de 3s e 5s. De Fato, 8 = 3 + 5 e P(8) é verdadeira. ○ Hipótese indutiva: Vamos supor agora que para qualquer r, 8 ≤ r ≤ k, P(r) é verdadeira, isto é, P(r) é a sentença de que r resulta da soma de 3s e 5s. ○ Vejamos agora o ocorre com k+1. Queremos mostrar que k+1 pode ser representado como a soma de 3s e 5s. Então, para usar a hipótese indutiva, isto é, usar o fato de que a propriedade é verdadeira para r, onde 8 ≤ r ≤ k, devo considerar um inteiro menor que k
○ A fim de que a hipótese indutiva (8 ≤ r ≤ k) seja
verdadeira, é necessário que (k+1)3 ≥ 8. Assim k+1 precisa ser ≥ 11. Logo não podemos usar a hipótese indutiva para verificar P(9) e P(10). Mas podemos verificar P(9) e P(10) diretamente. ■ P(9) = 3 + 3 + 3 ■ P(10) = 5 + 5 ○ Uma vez que P(r) é verdadeira para 8, 9 e 10 (8 ≤ r ≤ k), podemos assumir que k+1 é no mínimo 11, isto é, k+1 ≥ 11. ■ (k+1) 3 ≥ (11 – 3) ■ (k–2) ≥ 8 ■ Pela H.I. P(r) é verdadeira para 8 ≤ r ≤ k ■ Logo P(k2) é verdadeira (pode ser escrita como a soma de 3s e 5s) ■ (k2)+3 = soma de 3s e 5s ■ (k2+3) = k + 1 = soma de 3s e 5s c.q.d
