ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

VLúcio Mar.06 ₁

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

PROGRAMA

PROGRAMA

1.Introdução ao betão armado

2.Bases de Projecto e Acções

3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade

5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão

6.Estado limite último de resistência à flexão simples

7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas

9.Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação

11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção

VLúcio Mar.06 ₂

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

1. PRINCÍPIOS:

i. As secções planas mantêm-se planas após a deformação por flexão,

isto é, desprezam-se as deformações por corte da viga;

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

M + V + -p V V

ii. Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do

betão, ou seja, a armadura é aderente ao betão, não existindo

escorregamento entre a armadura e o betão que a envolve;

M M

VLúcio Mar.06 ₃

iii. Betão

• A resistência do betão em tracção é

desprezada.

• A relação tensão-deformação em

compressão é parabólica até

ε

_c2 = 2x10-3_{e é constante até à} extensão máxima

ε

_cu2= 3.5x10-3 (ver valores na Tabela 3.1 do EC2 para betões de alta resistência).

iv. Aço

Para cálculo, pode admitir-se uma das seguintes relações tensão-deformação:

1- comportamento elástico até (f_yd, ε_yd), ramo inclinado com extensão limite de ε_ud=0.9ε_uk;

2- comportamento elástico até (f_yd, ε_yd), ramo horizontal sem extensão limite.

2.18 1.74 εydx103 435 348 fyd[MPa] A500 A400 AÇO 75 50 25 ε_ukx103 1,15 1,08 1,05 k= (ft/fy)k C B A Classe duct. VLúcio Mar.06

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

b d A_s h M III IV ε_cu2= 3.5x10-3 εc2 = 2x10-3 εyd ε

2. MODELO A - Para a relação tensão-deformação 1 do aço.

I εud II σs< fyd σ σc= fcd I IV III II I CASO ε_c< 2x10-3_{, σ} c< fcd rotura ε_s=ε_ud; σ_s> f_yd 2x10-3_≤ε c< 3.5x10-3, σc= fcd rotura ε_s=ε_ud; σ_s> fyd rotura ε_c= 3.5x10-3_{, σ} c= fcd ε_sd≤ε_s≤ε_ud; σ_s≥ f_yd rotura ε_c= 3.5x10-3_{, σ} c= fcd ε_s<ε_yd; σ_s< f_yd BETÃO AÇO σs> fyd σ σc= fcd III x σs> fyd σ σc< fcd IV x x σs≥ fyd σ σc= fcd II x b – largura da secção h – altura total da secção d – altura útil da armadura

traccionada

x – altura da zona de betão comprimido A_s– área da secção de armadura traccionada

(

)

_yd yd uk yd s S 1 k 1 ⎥f ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + = ε ε ε ε σ

VLúcio Mar.06 ₅ b d A_s h M εcu2= 3.5x10-3 εyd ε I II σs< fyd σ σc= fcd I σs= fyd σ σc= fcd II II I CASO rotura ε_c= 3.5x10-3_{, σ} c= fcd ε_s≥ε_yd; σ_s= f_yd rotura ε_c= 3.5x10-3_{, σ} c= fcd ε_s<ε_yd; σ_s< f_yd BETÃO AÇO x x b – largura da secção h – altura total da secção d – altura útil da armadura

traccionada, distância entre a resultante das tensões nas armaduras traccionadas e a fibra mais comprimida do betão x – altura da zona de

betão comprimido A_s– área da secção de

armadura traccionada

VLúcio Mar.06 ₆

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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

b d A_s h M_Rd εc= εcu2= 3.5x10-3 εyd ε σ_s= f_yd σ σ_c= f_cd x

3.1. SOLUÇÃO PARA O CASO

F_s= A_s f_yd Fc= λx b fcd ξx z d EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO x F_s= A_s f_yd F_c= λx b f_cd λ = 17/21 ξ = 99/238 (2/3.5)x (1.5/3.5)x (5/8)·(2/3.5)x 2/3·fcd·(2/3.5)x f_cd (1) F_s= F_c (2) M_Rd= F_c· z εs A_s f_yd = λx b f_cd M_Rd= λx b f_cdz (1) A_s f_yd/bdf_cd= λ x/d (2) M_Rd/ bd2_f cd= λ (x/d) (z/d) ω = λ k μ = λ k ζ II ε_{c= 3.5x10}-3_{, σ} c= fcd ε_s≥ ε_yd; σ_s= f_yd L N

Com k = x/d e ζ = z/d , sendo z = d – ξx, ou seja, ζ = 1 - ξk ω = A_s f_yd/bdf_cd é a percentagem mecânica de armadura traccionada

μ = M_Rd/bd2_f

cd é o momento reduzido

VLúcio Mar.06 ₇ b d A_s h M_Rd εc= εcu2= 3.5x10-3 εyd ε σs= fyd σ σc= fcd x F_s= A_s f_yd F_c= λx b f_cd ξx z d EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO F_s= A_s f_yd F_c= λx b f_cd x λ = 17/21 _{ξ = 99/238} εs (1) ω = λ k (2) μ = λ k ζ k = x/d ; ω = A_s f_yd/bdf_cd; μ = M_Rd/bd2_f cd ; ζ = z/d ; ζ = 1 - ξk μ = λ k (1 – ξk) ζ k2 _{- k + μ / λ = 0} ξ λ ξμ 2 4 1 1 k = − − EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE

x

10

5

.

3

x

d

3 S −

×

=

−

ε

3 S

_k

3

.

5

10

k

1

ou

ε

=

−

×

− (3)

Verificação da hipótese inicial ε_s≥ ε_yd ; σ_s= f_yd

SOLUÇÃO PARA O CASO _s≥ _yd; _s= f_{yd c}= 3.5x10 , _c= f_cd

L N

Forças

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

ξ λ ξμ 2 4 1 1 k= − − 3 S

_k

3

.

5

10

k

1

−

_×

−

=

ε

com 2.18 1.74 ε_ydx103 435 348 fyd[MPa] A500 A400 AÇO VERIFICAÇÃO DA HIPÓTESE INICIAL ε_s≥ ε_yd ; σ_s= f_yd

Se ε_s≥ ε_yd podemos prosseguir com o caso II ,

caso contrário estamos no caso I , ε_s< ε_yd e σ_s= E_sε_s< f_yd

Substituindo (1) ω = λ k em (2) _{μ = λ k (1 – ξk)}

μ = ω (1 – ω ξ/λ)

Ou, para dimensionamento da armadura:

ω2_{ξ/λ – ω + μ = 0 isto é,}

_ξ

_λ

λ

ξμ

ω

2

4

1

1

−

−

=

Prosseguindo com o caso II :

VLúcio Mar.06 ₉ 0.832 2.055 1 1 k= − − μ Substituindo os valores de λ e ζ: λ = 17/21 ξ = 99/238 1.028 2.055 1 1 μ ω = − − μ = ω (1 – 0.514 ω) k = 1.235 ω

ANÁLISE DA SECÇÃO DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

ω = A_s f_yd/bdf_cd μ = MRd/bd2fcd x = k d M_Rd= μ b d2 _f cd _A s= ω b d fcd/fyd x = k d VLúcio Mar.06 ₁₀

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

Define-se k_limitecomo o valor de k correspondente a ε_s= ε_yd

3 yd

_k

3

.

5

10

k

1

−

_×

−

=

ε

3 yd 3 ite lim

10

5

.

3

10

5

.

3

k

₋ −

×

+

×

=

ε

donde 0.499 0.541 ω_limite 0.617 0.668 k_limite 0.371 0.391 μ_limite 2.18 1.74 ε_ydx103 A500 A400 AÇO Substituindo em (1)ω = λ k e em (2) μ = λ k (1 – ξk)

Obtém-se os valores da tabela, acima dos quais nos encontramos no caso I , isto é, ε_s< ε_yd e σ_s= E_sε_s< f_yd.

VLúcio Mar.06 ₁₁ b d A_s h M_Rd ε_c= ε_cu2= 3.5x10-3 εyd ε σ_s< f_yd σ σ_c= f_cd F_s= A_s γ f_yd Forças F_c= λx b fcd ξx z d F_s= A_s γ f_yd F_c= λx b f_cd x λ = 17/21 _{ξ = 99/238} εs c c cd s yd s s s x γ = σ_s/ f_yd = ε_s/ ε_yd< 1.0 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE 2 cu S

_k

k

1

_ε

ε

=

−

1

.

0

k

k

1

yd 2 cu

_<

−

=

ε

ε

γ

donde

μ = γω (1 – 0.514γω)

da equação (1) k = 1.235 γ ω substituindo γ em (1)

ω

ε

ε

yd 2 cu

235

.

1

k

k

1

k

=

−

ou seja

k

=

0

.

5

⋅

K

(

1

+

4

_K

−

1

)

_ω

ε

ε

yd 2 cu

235

.

1

K

=

ANÁLISE DA SECÇÃO com 3.2. SOLUÇÃO PARA O CASO

L N

Com k, determina-se γ e μ:

VLúcio Mar.06

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

0

.

1

k

k

1

yd 2 cu

_<

−

=

ε

ε

γ

0.832 2.055 1 1 k= − − μ γ μ ω ⋅ − − = 1.028 2.055 1 1 μ = γ ω (1 – 0.514 γ ω) ω = A_s f_yd/bdf_cd> ω_limite μ = MRd/bd2fcd > μlimite x = k d M_Rd= μ b d2 _f cd A_s= ω b d f_cd/f_yd x = k d

ANÁLISE DA SECÇÃO DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA

0

.

1

k

k

1

yd 2 cu

_<

−

=

ε

ε

γ

e Para

(

1

4

_K

1

)

K

5

.

0

k

=

⋅

+

−

ω

ε

ε

yd 2 cu

235

.

1

K

=

com DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA ite lim k 0.832 2.055 1 1 k= − − μ >

γ

μ

ω

⋅

−

−

=

1.028

2.055

1

1

VLúcio Mar.060.18 0.201 0.248 0.897 ₁₃ 0.903 0.232 0.188 0.17 0.910 0.217 0.176 0.16 0.916 0.202 0.164 0.15 0.922 0.188 0.152 0.14 0.928 0.173 0.140 0.13 0.934 0.159 0.128 0.12 0.940 0.145 0.117 0.11 0.946 0.131 0.106 0.10 0.951 0.117 0.095 0.09 0.957 0.103 0.084 0.08 0.963 0.090 0.073 0.07 0.968 0.077 0.062 0.06 0.974 0.063 0.051 0.05 0.979 0.050 0.041 0.04 0.984 0.038 0.030 0.03 0.990 0.025 0.020 0.02 0.995 0.012 0.010 0.01 ζ k ω μ 0.755 0.589 0.477 0.36 0.765 0.565 0.458 0.35 0.774 0.542 0.439 0.34 0.784 0.520 0.421 0.33 0.793 0.499 0.404 0.32 0.801 0.478 0.387 0.31 0.810 0.458 0.371 0.30 0.818 0.438 0.355 0.29 0.826 0.419 0.339 0.28 0.834 0.400 0.324 0.27 0.841 0.382 0.309 0.26 0.849 0.364 0.295 0.25 0.856 0.346 0.280 0.24 0.863 0.329 0.266 0.23 0.870 0.312 0.253 0.22 0.877 0.296 0.239 0.21 0.884 0.280 0.226 0.20 0.890 0.264 0.213 0.19 ζ k ω μ RELAÇÃO μ − ω, k e ζ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ω,k e ζ μ ω k ζ RELAÇÃO μ − ω 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ω μ A400 A500 μ= M_Rd/bd2_f cd ω = As fyd/bdfcd k = x/d ζ = z/d 3.3. TABELAS E ÁBACOS VLúcio Mar.06 ₁₄

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6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

ALTURA ÚTIL

d = h – c –

φ

_t

–

φ / 2

c d b h

φ

t

φ

RELAÇÃO μ − ω, k e ζ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ω,k e ζ μ ω k ζ 0.897 0.248 0.201 0.18 ζ k ω μ

M

_Rd

= A

_s

f

_yd

· z

com z ≈ 0.9 d

FÓRMULA APROXIMADA

(para efeitos exclusivamente de estimativa ou de verificação de resultados) μ_limite MRd = A s f yd · 0.9 d

VLúcio Mar.06 ₁₅ εcu2= 3.5x10-3

ε_yd

ε

Para a relação tensão-deformação 2 do aço.

σs= fyd σ σc= fcd x 3.4. ARMADURA DE COMPRESSÃO ε_s L N M_Rd F_s= A_s σ_s FORÇAS ξx d σ’_s F’_s= A’_sσ’s F_c= λx b fcd aa EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO F_s= A_s γ f_yd F_c= λx b f_{cd λ = 17/21 ξ = 99/238} k = x/d ; ω = A_s f_yd/bdf_cd; μ = M_Rd/bd2_f cd ; ζ = z/d ; ζ = 1 - ξk (1) F_s= F_c+ F’_s (2) M_Rd= F_c· (d-ξx) + F’_s· (d-a) A_sγ f_yd = λx b f_cd+ A’_sγ’ f_yd M_Rd= λx b f_cd(d-ξx) + A’_sγ’ f_yd(d-a) (1) γ A_s f_yd/bdf_cd= λ x/d + γ’ βA_sf_yd/bdf_cd (2) M_Rd/ bd2_f cd= λ (x/d) (1-ξx/d) + γ’ βAsfyd/bdfcd(1-a/d) γ ω = λ k + γ’ β ω μ = λ k (1- ξk) + γ’ β ω (1-a/d) F’_s= A’_sγ’ f_yd γ = σ_s/ f_yd = ε_s/ ε_yd≤ 1.0 -1.0 ≤ γ’ = σ’_s/ f_yd = ε’_s/ ε_yd ≤ 1.0 ε’_s d a A_s A’_s h b β = A’_s/ A_s VLúcio Mar.06

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d a A_s A’_s h b

6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

γ = ε_s/ ε_yd< 1.0 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE 2 cu S

_x

x

d

_ε

ε

=

−

1

.

0

k

k

1

yd 2 cu

_≤

−

=

ε

ε

γ

εcu2= 3.5x10-3 εyd ε σs= fyd σ σc= fcd x εs L N M_Rd Fs= As σs FORÇAS ξx z d σ’s F’_s= A’_sσ’_s F_c= λx b f_cd aa ε’s 2 cu S

_x

a

x

'

ε

ε

=

−

1

.

0

k

d

a

k

'

0

.

1

yd 2 cu

_≤

−

=

≤

−

ε

ε

γ

-1.0 ≤ γ’ = ε’_s/ ε_yd ≤ 1.0 Para γ’ = 1.0 _{⇒ σ’s}= - f_yd Para 0< γ’ <1.0 _{⇒ -fyd < σ’s}<0 Para -1.0< γ’ < 0 _{⇒ 0 < σ’s}< f_yd Para γ’= -1.0 _{⇒ σ’s}= f_yd

VLúcio Mar.06 ₁₇

Relação μ - ω para diferentes valores de β

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 ω μ β=0.0 β=0.2 β=0.1 β=0.3 β=0.6 β=1.0 β = A’_s/ A_s ω = A_s f_yd/bdf_cd; μ = M_Rd/bd2_f cd

O aumento da armadura de compressão é vantajoso do ponto de vista do aumento da ductilidade na rotura para valores de k>k_lim.

VLúcio Mar.06 ₁₈

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6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

Relação μ - ω+ω' 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 ω+ω' μ β=0.0 β=0.2 β=0.1 β=0.3 β=0.6 β=1.0 β = ω’ / ω ω = A_s f_yd/bdf_cd;ω’ = A’_sf_yd/bdf_cd; μ = M_Rd/bd2_f cd

ω+ω’ corresponde à percentagem mecânica de armadura total

O aumento da armadura de compressão é vantajoso do ponto de vista económico para valores de k>k_lim.

VLúcio Mar.06 ₁₉

DIAGRAMA RECTANGULAR para o betão e relação tensão-deformação 2 do aço. εcu2= 3.5x10-3 εyd ε I II σs< fyd σ σc= fcd I x 0.8x σs= fyd σ σc= fcd II x 0.8x 4. MODELO C F_c= λx b f_cd λ = 0.8 ξ = 0.4 F_s= A_s γ f_yd γ = σ_s/ f_yd = ε_s/ ε_yd≤ 1.0 λ = 17/21=0.810≈0.8 ξ = 99/238=0.416≈0.4 F_s= A_s f_yd F_c= λx b fcd _ξx z d Forças M_Rd b d A_s h L N γ = 1.0 γ < 1.0

analisando em simultâneo os casos I e II, seja:

com γ < 1.0 (σ_s< f_yd) no caso I e γ = 1.0 (σ_s = f_yd) no caso II

VLúcio Mar.06

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6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE _{S cu2}

k

k

1

_ε

ε

=

−

0

.

1

k

k

1

yd 2 cu

_≤

−

=

ε

ε

γ

que, substituindo em γ = εs/ εyd≤ 1.0 obtém-se (3): EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (1) F_s= F_c (2) M_Rd= F_c· z (1) A_sγ f_yd = 0.8x b f_cd (2) M_Rd= 0.8x b f_cd(d –0.4x) com k = x/d ; ω = A_s f_yd/bdf_cd; μ = M_Rd/bd2_f cd γ ω = 0.8 k μ = 0.8 k (1 – 0.4k) F_c= λx b f_cd F_s= A_s γ f_yd A_s γ f_yd = λx b f_cd M_Rd= λx b f_cd(d –ξx) λ = 0.8 ξ = 0.4

VLúcio Mar.06 ₂₁ DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA μ = γ ω (1 – 0.5 γ ω) M_Rd= μ b d2 _f cd ANÁLISE DA SECÇÃO

(

1

4

_K

1

)

K

5

.

0

k

=

⋅

+

−

ω

ε

ε

yd 2 cu

25

.

1

K

=

μ = M_Rd/bd2_f cd ω = A_s f_yd/bdf_cd com substituindo (1) em (2), vem: 0.8 2.0 1 1 k = − − μ

1

.

0

k

k

1

yd 2 cu

_≤

−

=

ε

ε

γ

(1) γ ω = 0.8 k (2) μ = 0.8 k (1 – 0.4k) de (2): 0.499 0.541 ω_limite 0.617 0.668 k_limite 0.371 0.391 μ_limite 2.18 1.74 ε_ydx103 A500 A400 AÇO γ μ ω =1− 1−2.0 A_s= ω b d f_cd/f_yd então: substituindo k em (1), vem:

ou, se μ ≤ μ_limite, então γ = 1.0 e: ω =1− 1−2.0μ

• se ω ≤ ω_limite, então γ = 1.0 e, de (1): k = 1.25 ω

substituindo k em (2), vem: μ = ω (1 – 0.5 ω) • se ω > ω_limite, então γ < 1.0 e, substituindo (3) em (1):

(3)

substituindo k em (3) determina-se γ

então:

4.1 DIAGRAMA RECTANGULAR DE TENSÕES NO BETÃO PARA A SECÃO RECTANGULAR

VLúcio Mar.06 ₂₂

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

4.2 DIAGRAMA RECTANGULAR DE TENSÕES NO BETÃO

PARA OUTRAS SECÇÕES

Nas secções em que a largura reduz para a extremidade mais comprimida, a tensão no betão é limitada a 0.9f_cd

σ_s σ σ_c= f_cd x 0.8x F_s= A_s σs F_{c ξx} z d Forças M_Rd b_variável d h L N bvariável L M_Rd N L d h σs σ σc= 0.9 fcd x 0.8x F_s= A_s σs F_c ξx z d Forças

dy

)

y

(

b

f

F

_c

=

_cd

_∫

_yy₌=₀0.8x c x 8 . 0 y 0 y cd

F

dy

y

)

y

(

b

f

x

∫

= =

⋅

=

ξ

dy

)

y

(

b

f

9

.

0

F

_c

=

_cd

_∫

_yy₌=₀0.8x c x 8 . 0 y 0 y cd

F

dy

y

)

y

(

b

f

9

.

0

x

∫

= =

⋅

=

ξ

VLúcio Mar.06 ₂₃ b d h b_w h_f A_s M_Rd N L

5. SECÇÕES EM T (DIAGRAMA RECTANGULAR)

F_s F_c 0.4x d Forças σs σ σc= fcd x 0.8x M_Rd b d h L N b_w h_f A_s F_s Fc1 _h f/2 hf+ (0.8x-h_f)/2 d Forças Fc2 σs σ σc= fcd x 0.8x 1 2

COMPRESSÕES APENAS NO BANZO → 0.8x ≤ h_f

COMPRESSÕES NO BANZO E NA ALMA → 0.8x > h_f

b – largura do banzo comprimido b_w– espessura da alma (web)

h – altura total da secção h_f– espessura do banzo (flange)

VLúcio Mar.06

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

F_c= 0.8x b f_cd F_s= A_s γ f_yd EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (1) F_s= F_c (2) M_Rd= F_c· (d- 0.4x) σs σ σc= fcd x 0.8x M_Rd b d h N L b_w h_f A_s

COMPRESSÕES APENAS NO BANZO → 0.8x ≤ h_f

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE 2 cu S

k

k

1

_ε

ε

=

−

1

.

0

k

k

1

yd 2 cu

_≤

−

=

ε

ε

γ

(3) ou F_s F_c 0.4x d Forças z

Problema semelhante ao de uma secção rectangular de largura b.

Se, ao determinar x = kd, pelas expressões das secções rectangulares, se verificar que 0.8x > h_f, então estamos na segunda situação, isto é, também existem compressões na alma.

Notas:

1. Como a área de betão comprimido, em secções em T, é grande, é frequente ser γ=1.0, isto é, o aço

estar em cedência;

2. Como primeira aproximação, pode-se considerar que,

se 0.8hfbfcd≤Asfyd, então 0.8x≤hf. ε εc= 3.5x10-3 x εs d-x

VLúcio Mar.06 ₂₅ M_Rd b d h L N b_w h_f A_s F_c1= h_fb f_cd F_s= A_s γ f_yd σs σ σc= fcd x 0.8x F_s F_{c1 h} f/2 _h f+(0.8x-hf)/2 d Forças F_c2 F_c2= (0.8x-h_f) b_wf_cd EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (1) F_s= F_c1+ F_c2 (2) M_Rd= F_c1 · (d-h_f/2) + F_c2· [d-(0.8x-hf/2)] (1) A_sγ f_yd = h_fb f_cd+ (0.8x-h_f) b_wf_cd (2) M_Rd= h_fb f_cd(d - h_f/2) + (0.8x-h_f) b_wf_cd [d-(0.8x-h_f/2)] 1 2

COMPRESSÕES NO BANZO E NA ALMA → 0.8x > h_f

VLúcio Mar.06 ₂₆

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fct_fct--UNLUNL

M_Rd b d h L N b_w h_f A_s

6

6 –

–

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES

5. SECÇÕES EM T (DIAGRAMA RECTANGULAR)

σ_s σ σ_c= f_cd x 0.8x F_s F_{c1 h} f/2 _h f+(0.8x-hf)/2 d Forças F_c2 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (1) A_sγ f_yd = h_fb f_cd+ (0.8x-h_f) b_wf_cd (2) M_Rd= h_fb f_cd(d - h_f/2) + (0.8x-h_f) b_wf_cd [d-(0.8x-h_f/2)] 1 2

Dependendo de se tratar da Análise da Secção (conhece-se A_se pretende-se determinar M_Rd) ou do Dimensionamento da armadura (pretende-se determinar A_s, fazendo M_Rd≥ M_Ed, que é conhecido), utiliza-se (1) ou (2) para determinar x.

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE (para determinas ε_se, consequentemente, γ)

2 cu S

x

x

d

_ε

ε

=

−

1

.

0

x

x

d

yd 2 cu

_≤

−

=

ε

ε

γ

(3) sendo