Homogeneização em Equações Diferenciais

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Homogeneização em Equações Diferenciais

Motivação - Materiais Compostos

Marcone C. Pereira

1 2

PROGRAMA DEVERÃO2011 - EDP’S EANÁLISEFUNCIONAL

INSTITUTO DEMATEMÁTICA EESTATÍSTICA

UNIVERSIDADE DESÃOPAULO

SÃOPAULO- BRASIL

1_{Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo}

-São Paulo - Brasil

2

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Referências:

1

_{H. Brézis; Análisis Funcional. Teoría y aplicaciones,}

Alianza Editorial (1984).

2

_{D. Cioranescu and P. Donato; An Introduction to}

Homogenization, Oxford lecture series in mathematics and

its applications (1999).

3

_{D. Cioranescu and J. Saint J. Paulin; Homogenization of}

Reticulated Structures, Springer Verlag (1980).

4

_{E. Sánchez-Palencia; Non-Homogeneous Media and}

Vibration Theory, Lecture Notes in Physics 127, Springer

Verlag (1980).

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Neste mini-curso vamos introduzir métodos matemáticos utilizados no estudo de equações diferenciais parciais que modelam

fenômenos físicos considerados em materiais heterogêneos, com inclusões ou buracos.

Para isto, vamos considerar inicialmente materiais compostos com estrutura -periódica, → 0, cujos métodos de abordagem estão heuristicamente baseados em considerações de duas escalas de comprimento associdas com fenômenos macro e microscópicos.

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Exemplos

Superconducting Multifilamentary Composite.

Material com habilidade de transportar largas densidades de corrente elétrica sobre a influência de campos magnéticos de alta intensidade. Por razões físicas é formado por fibras elementares de diâmetro muito pequeno, isoladas por uma matriz de alta

condutividade térmica. São milhares de fibras com diâmetro variando de 10 a 100µm.

3

3_{http://www.amsc.com/products/htswire/2Gwirearchitecture.html} [email protected] Verão 2011 - IME - USP

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Exemplos

Syntactic foam.

Materiais compostos sintetizados através do preenchimento da matriz de um metal, polímero ou cerâmica com partículas ocas chamadas "syntactic". A presença de tais partículas ocas resulta em menor densidade, maior resistência, menor coeficiente de dilatação térmica e, em alguns casos, influencia na transparência radar ou sonar.

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Exemplos

Mecânica dos fluidos.

Considera-se o fluxo de fluidos em meios porosos, tais como solos, aqüíferos, óleo e reservatórios de gás, tecidos biológicos e plantas, mas também em células de combustível, cimento, têxteis,

compósitos poliméricos etc. Tais problemas são encontrados tanto em sistemas naturais como indústriais.

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5_{http://education.geo.uu.nl/mschydrology/index.php?contentid=10103} 6_{http://soilandwater.bee.cornell.edu/research/pfweb/regulators/intro/why.htm}

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Exemplos

Etc.

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Os materiais apresentados anteriormente possuem um número alto de heterogeneidades. Por isso, quando tentamos caracterizar suas propriedades, podemos fazê-la usando uma escala local, isto é, consideramos cada uma das componentes do composto

separadamente. Mas na prática é mais interessante considerar o composto numa escala global. Em geral, é mais importante obter o comportamento geral do composto negligenciando possíveis flutuações ocasionadas por sua alta heterogeneidade. Este é o objetivo da teoria de homogeneização. Materiais

heterogêneos são substituídos por outros fictícios e homogêneos, em cujo comportamento do fenômeno considerado deve aproximar o do original de maneira conveniente. Desta maneira procuramos descrever propriedades globais dos compostos levando em conta as propriedades locais do problema original.

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Um problema unidimensional com coeficientes oscilantes

Seja f ∈ L2_{(0, 1) e a ∈ L}∞

(R), T -periódica, 0 < α ≤ a(x) ≤ β < ∞ e a=a (x /) .

Para cada > 0, considere o sequinte problema      −d dx adu dx =f em (0, 1) u(0) = u(1) = 0 .

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1 _u_{converge para algum limite u}0_{quando → 0?}

2 _{Se sim, em que sentido e espaço tal convergência ocorre?} 3 _{É u}0_{solução de uma equação do mesmo tipo?}

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Teorema (Spagnolo 1967)

Existe u0_{∈ H}1

0(0, 1), solução única da equação homogeneizada

     − 1 M 1_a d2_u0 dx2 =f em (0, 1) u0_{(0) = u}0_{(1) = 0} tal que u*u0 w − H₀1(0, 1) u→ u0 s − L2(0, 1). i) M 1 a = 1 T RT 0 ds

a(s) é chamado coeficiente de homogeneização.

ii) u_*_u0 _{w − H}1

0(0, 1) quando → 0, se para todo φ ∈ H01(0, 1)

(u, φ)_H1 0 = Z 1 0 du dx (x ) d φ dx(x ) + u (x ) φ(x ) dx → (u0, φ)_H1 0.

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O que usamos?

1 _{Compacidade. Se ku}_k

H1_(O)é uniformemente limitada, então existe u0∈ L2_(O)_{tal que}

u_{→ u}0 _{s − L}2_(O).

2 _{Teorema de Eberlein-Smuljan. Seja X = L}2_(O)_{ou H}1_(O)_e

suponha kf_k

X ≤ C. Então, existe uma sub-seqüência {fi}i∈Ne

f ∈ X tal que, quando i → ∞,

fi _*_f _{w − X , ie.} (ϕ,fi₎

X → (ϕ, f )X ∀ϕ ∈ X0.

3 _{Desigualdade de Hölder. Suponha 1 ≤ p ≤ ∞. Então}

Z

O

|f (x) g(x)| dx ≤ kf k_Lp_(O)kgk_Lp0_(O), 1/p + 1/p0 =1.

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4 _{Desigualdade de Poincaré. Existe uma constante C}

|O|tal que

kf k_L2_(O)≤ C_|O|k∇f k_L2_(O) ∀f ∈ H₀1(0, 1).

5 _{Funções periódicas rapidamente oscilantes. Suponha}

1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp_{(Y ), Y -periódica com} Y = (0, l1) × ... × (0, lN) ⊂ RN. Considere f(x ) = f (x /) q.t.p. Y . Então, se p < ∞ e → 0, f*M (f ) = 1 |Y | Z Y f (x ) dx w − LP(ω) para qualquer aberto ω ⊂ RN_{. Se p = ∞, temos}

f_*_{M (f ) =} 1

|Y | Z

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Formulação variacional do -problema Z1 0 a(x )du dx (x ) d ϕ dx(x ) dx = Z 1 0 ϕ(x ) f (x ) dx ∀ϕ ∈ H01(0, 1).

Formulação variacional do problema homogeneizado Z 1 0 1 M (1/a) du0 dx (x ) d ϕ dx(x ) dx = Z 1 0 ϕ(x ) f (x ) dx ∀ϕ ∈ H01(0, 1).

Em geral, não é possível obter convergência forte em H1.

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Gráficos de a1/4_{e u}1/4 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fig. 2: Gr´aficos de a(·/!) e da solu¸c˜ao exata para ! = 1/4.

2.1 Solu¸c˜ao exata

Nos nossos exemplos, consideramos f (x) = 1, a(x) =1 2(β−α)(1+sin(2πx))+α, α = 1 2, β = 5 2. (2.16) Seja a sequˆencia de problemas onde ! = 1/4, ! = 1/8 e ! = 1/16.

É fácil notar pelas Figuras 2, 3 e 4 deste exemplo, que crescem as oscila¸cões de a(·/!) quando ! → 0.

Em geral, não é poss´ıvel obter solu¸cões anal´ıticas para dimensões maiores. Motivados por esta dificuldade, investigaremos agora como encontrar solu¸cões aproximadas para (2.15).

Uma possibilidade explorada na Se¸cão 2.2 é o uso de técnicas de homogenei-za¸cão. Como vimos, a idéia básica apoia-se no fato de que, quando ! → 0, a solu¸cão exata converge para a solu¸cão homogeneizada. Espera-se então que para

Comparação entre os gráficos de u1/4_{e u}0_.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸cão exata Solu¸cão homogeneizada 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸cão exata Solu¸cão homogeneizada

Fig. 5: Solu¸c˜oes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸c˜ao exata [email protected] Verão 2011 - IME - USP

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Gráficos de a1/16_{e u}1/16 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Comparação entre os gráficos de u1/16_{e u}0_. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸cão exata Solu¸cão homogeneizada 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸cão exata Solu¸cão homogeneizada

Fig. 5: Solu¸c˜oes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PSfrag replacements Solu¸c˜ao exata Solu¸c˜ao homogeneizada

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O caso N-dimensional

Estudaremos o comportamento assintótico do problema div (A_u_{) =}_f _{em Ω,} u₌₀ _{sobre ∂Ω} com → 0. Supomos f ∈ L2_{(Ω), A}_{= (a} ij)Ni,j=1, com a ij(x ) = aij(x /) x ∈ RN, A_{(x ) = A(x /) = (a} ij(x /))N_i,j=1 onde aij(y ) são Y − periódicos (A(y )x , x ) ≥ α|x |2 |A(y )x| ≤ β|x| para todo x ∈ RN_{e q.t.p. Y ,} Y = (0, l1) × ... × (0, lN) ⊂ RN. Nestas condições...

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Sanchez-Palencia (1970b, 1980), Bakhvalov (1974), Bensoussan, Lions and Papanicolaou(1978) u*u0 w − H01(Ω) A∇u *A0∇u0 w − L2(Ω)N onde u0_{∈ H}1

0(Ω)é a única solução da equação homogeneizada

       N X i,j=1 ∂ ∂xi a0ij ∂u0 ∂xj =f em Ω u0=0 sobre ∂Ω em que a matriz A0_{= (a}0 ij) N

i,j=1é constante, elíptica e dada por

A0λ =MY(A∇ˆωλ) ∀λ ∈ R N

, onde ωλé a função auxiliar dada por

   −div (A∇ ˆwλ) =0 em Y , ˆ wλ− λ · y Y − periódico MY( ˆwλ− λ · y ) = 0 .

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1 _{Formulação variacional do problema auxiliar: encontrar ˆ}_ω_λ_{∈ W}_p_, Wp= n v ∈ H1(Y ) | v é Y − periódico, MY(v ) = 0 o , tal que          Z Y A(y ) ∇ˆωλ∇v dy = 0 ∀v ∈ Wp ˆ ωλ− y · λ Y − periódico MY(ˆωλ− y · λ) = 0 .

Além disso temos que este problema é equivalente a        −divA(y )∇ ˆXλ = −div (A(y )λ) em Y , ˆ Xλ Y − periódico MY ˆXλ =0

cuja formulação variacional é: encontrar ˆXλ∈ Wptal que

Z Y A(y ) ∇ ˆXλ∇v dy = Z Y A(y ) λ ∇v ∀v ∈ Wp

onde as funções ˆωλe ˆXλse relacionam pela expressão

ˆ

(20)

2 _{Fórmulas explícitas para a matriz homogeneizada A}0₌ _a0

ij

i,j.

Seja {e1, ...,eN} a base canônica do RN. Então

A0ej=MY(A ∇ˆωj) e (A0ej)i = N X k =1 aik ∂ ˆωj ∂xk , que nos dá para todo i, j = 1, ..., N

a0ij = MY N X k =1 aik ∂ ˆωj ∂xk ! =MY aij− N X l=1 aik ∂ ˆXj ∂xk ! = MY(aij) −MY N X k =1 aik ∂ ˆXj ∂xk ! = 1 |Y | Z Y aij(y ) dy − 1 |Y | N X k =1 Z Y aik(y ) ∂ ˆXj ∂xk dy .

Observe que a matriz A0é diferente da matriz MY(A) de A(associada

a lei das misturas). Com efeito, A0_{é obtida mediante a soma de um}

valor corretor, a saber MY N X k =1 aik ∂ ˆXj ∂xk ! .

(21)

3 _{Fazendo N = 1 no teorema anterior obtemos} a0=M(0,l1) a(y ) d dy y − ˆX =M(0,l1) a(y ) − a(y ) d ˆX dy ! onde              d dy a(y ) d ˆX dy ! = d dy (a(y )) y ∈ (0, l1) ˆ X Y − periódica M(0,l1) ˆX =0 . Logo ˆ X (y ) = − 1 M(0,l1)(1/a) Zy 0 ds a(s)+y + C0, onde a constante C0é dada pela condição M(0,l1)

ˆ_X =0, e M(0,l1) a(y ) − a(y ) d ˆX dy ! = 1 M(0,l₁)(1/a) . Assim o valor corretor no caso unidimensional é

M(0,l1) a(y )

d ˆX dy

! .

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4 _{Pode-se mostrar também que} a0ij = 1 |Y | N X k ,l=1 Z Y akl(y ) ∂ ˆωj ∂xl ∂ ˆωi ∂xk dy i, j = 1, ..., N,

e que existe α0>0 tal que

X

i,j

a0ijξiξj≥ α0|ξ|2 ∀ξ ∈ RN.

Note que se A é simétrica, então A0_{é simétrica.}

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Duas escalas caracterizam nosso problema, uma macroscópica x e outra microscópica x / que descreve as micro-oscilações. Empiricamente, somos levados a olhar para o desenvolvimento de u_{da forma}

u(x ) = u0(x , x /) + u1(x , x /) + 2u2(x , x /) + ...

onde ui(x , y ) é uma função Y -periódica na segunda variável y .

Este método clássico é muito utilizado em Mecânica, Física e Engenharia, em problemas cujos parâmetros são de ordem pequena e descrevem diferentes escalas. Em geral, nos permite identificar o problema homogeneizado de maneiraformal.

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Nosso problema admite a seguinte expansão assintótica: u=u0− N X i=1 ˆ Xi(x /) ∂u0 ∂xi + 2 N X i,j=1 ˆ θij(x /) ∂2u0 ∂xi∂xj + ...

onde u0é a solução do problema homogeneizado, ˆXi é a solução do

problema auxiliar        −divA(y )∇ ˆXi = −div (A(y )ei) em Y ˆ Xi Y − periódico MY ˆXi =0 e ˆθijsatisfaz       

−divA(y )∇ˆθij= −a0ij−

P kl ∂aklδikXˆj ∂yk − P kail ∂ ˆXj−yj ∂yj em Y ˆ θij Y − periódico MY ˆθij =0 .

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Prova de convergência.

Método variacional das funções testes oscilantes de Tartar (1977 e 1978).