Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia 1111 Assunto: ANÁLISE COMBINATÓRIA e PROBABILIDADES.

Suporte teórico: Resumos em PowerPoint e anotações no caderno.

QUEST

1

Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. CALCULE de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas

a) de modo arbitrário, sem restrições; b) de modo que cada casal fique junto;

c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres.

QUEST

2

DETERMINAR quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a {0,5,6,7,8,9}.

QUEST

3

Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. OBSERVE a figura:

Considere as seguintes informações:

• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;

• qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;

• duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente.

CALCULE o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

Colégio Santa Dorotéia

Disciplina: Matemática Ano: 2º – Ensino Médio Professor: Elias

Aluno(a): ________________________________________________Nº: _____Turma: _____

Atividades para Estudos Autônomos

Colégio Santa Dorotéia 2 2 2 2

QUEST

4

O perfil lipídico é um exame médico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de gorduras (lipídios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como “bom colesterol”), colesterol LDL (o “mau colesterol”) e triglicérides (TG). Os valores desses quatro indicadores estão relacionados pela fórmula de Friedewald: CT = LDL + HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o laboratório SangueBom.

Indicador Valores normais CT Até 200mg/dl LDL Até 130mg/dl HDL Entre 40 e 60mg/dl

TG Até 150mg/dl

a) O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 130mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possível para o seu nível de LDL?

b) Acidentalmente, o laboratório SangueBom deixou de etiquetar as amostras de sangue de cinco pessoas. DETERMINE de quantos modos diferentes seria possível relacionar essas amostras às pessoas, sem qualquer informação adicional. Na tentativa de evitar que todos os exames fossem refeitos, o laboratório analisou o tipo sanguíneo das amostras, e detectou que três delas eram de sangue O+ _{e as duas restantes eram de sangue A}+_{. Nesse caso, supondo que cada pessoa} indicasse seu tipo sanguíneo, de quantas maneiras diferentes seria possível relacionar as amostras de sangue às pessoas?

QUEST

5

Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.

a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?

b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante?

(Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho.)

QUEST

6

Uma urna contém 18 bolas vermelhas, 12 amarelas e 20 brancas, sendo todas idênticas. Quantas bolas brancas devem ser retiradas dessa urna, de modo que, ao sortear uma bola, a probabilidade de ela ser branca seja igual a

6 1_? a) 16. b) 15. c) 14. d) 13. e) 12.

Colégio Santa Dorotéia 3333

QUEST

7

Um estudante de Economia precisa escolher exatamente duas dentre três disciplinas eletivas, que são: Econometria, Microeconomia, Macroeconomia. A probabilidade de ele escolher Econometria é a mesma que a de ele escolher Microeconomia, cada uma igual a 62,5%. A probabilidade de ele escolher Econometria e Microeconomia é de 25%.

Sendo assim, a probabilidade de esse estudante escolher Macroeconomia é igual a a) 3. 4 b) 18 . 25 c) 2 . 3 d) 5 . 8 e) 3 . 5

QUEST

8

Em um grande hospital, há 500 leitos e todos estão ocupados. Uma das alas desse hospital é destinada a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV positivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% são HIV positivo. Escolhido um paciente ao acaso, qual a probabilidade de ele ser HIV positivo?

QUEST

9

Em um jogo de tabuleiro, o jogador desloca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos no lançamento de um par de dados convencionais e não viciados. Se o jogador obtém números diferentes nos dados, ele avança um total de casas igual à soma dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a jogada. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais nos dados, ele lança novamente o par de dados e avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos, encerrando-se a jogada. A figura a seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse jogo antes do início de uma jogada.

Iniciada a jogada, a probabilidade de que o peão encerre a jogada na casa indicada na figura com a bomba é igual a a) 37 324. b) 49 432. c) 23 144. d) 23 135. e) 23 216.

QUEST

10

Uma prova consta de 7 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, e apenas uma correta. Se um aluno escolher como correta uma alternativa ao acaso em cada questão, a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente:

a) 87%. b) 85%. c) 90%. d) 47%.

Colégio Santa Dorotéia 4

4 4 4

Res%&u()% das quest-es. Resposta da questão 1: a)

(

)

28.3!.3! .2 = 2016 Resposta da questão 2: 48

Resposta da questão 3: 1ª Solução:

O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por

8 5 3 8! 5! 3! 3! 5! 2! 3! 1! 2! 3 2 1 8 7 6 5 4 ₃ 3 2 2 1680.       ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅       ⋅ ⋅ ⋅       ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2ª Solução:

O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja,

(3, 2, 2) 8 8! P 3! 2! 2! 8 7 6 5 4 2 2 1680. = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = Resposta da questão 4:

a) Sabendo que a dosagem de colesterol total é igual a 198mg/dL e que a de triglicérides é igual a 130mg/dL, temos:

130

198 LDL HDL HDL 172 LDL.

5

= + + ⇔ = −

De acordo com a tabela, para indicadores normais devemos ter:

HDL 172 LDL LDL 130 LDL 130 LDL 130 e e 40 HDL 60 40 172 LDL 60 112 LDL 132 112 LDL 130. = − ≤ ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

Portanto, o intervalo possível para o nível de LDL é [112,130].

b) Sem qualquer informação adicional, é possível relacionar as amostras às pessoas de P₅=5! 120=

maneiras. Se cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, seria possível relacionar as amostras de sangue O+ _de

3

P =3! 6= maneiras, enquanto que as amostras de sangue A+ poderiam ser

Colégio Santa Dorotéia 5555 Resposta da questão 5:

a) 3 pessoas para o primeiro quarto: c_8,3 8 7 6 56. 3!

⋅ ⋅

= =

3 pessoas para o segundo quarto: c_5,3 5 4 3 10. 3!

⋅ ⋅

= =

2 pessoas para o terceiro quarto c_2,2 =1.

Portanto 56⋅10⋅1 = 560.

b) Escolhendo 4 caminhos para norte, num total de 10, temos: 10,4 10 9 8.7 c 210. 4.3.2.1 ⋅ ⋅ = = Resposta da questão 6: [C]

Admitindo que x seja a quantidade de bolas brancas que serão retiradas, temos:

20 x 1 50 x 120 6x 5x 70 x 14 50 x 6 − = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = − Resposta da questão 7: [A]

Suponhamos que o estudante escolherá necessariamente duas dentre três disciplinas. Daí, sabendo que a probabilidade de ele escolher Econometria e Microeconomia é de 0,25, podemos concluir que a resposta é 1 0,25 0,75 3.

4

− = =

Resposta da questão 8:

O número de mulheres com HIV positivo é igual a 0,4 0,1 500 20.⋅ ⋅ = Por outro lado, o número de

homens soropositivos é 0,6 0,15 500 45.⋅ ⋅ = Portanto, a probabilidade pedida é igual a 65 100% 13%.

500⋅ =

Resposta da questão 9: [A]

Lançando os dados uma única vez, os casos favoráveis são (1, 5), (2, 4), (4, 2) e (5, 1). Logo, como o espaço amostral possui 6 6 36⋅ = elementos, segue que a probabilidade de encerrar na casa desejada

com apenas um lançamento é 4 1. 36= 9

Por outro lado, também é possível encerrar na casa desejada obtendo-se (1, 1) no primeiro lançamento e qualquer um dos resultados (1, 3), (2, 2) ou (3, 1) no segundo e último lançamento. Essa probabilidade é igual a 1 3 .

36 36⋅

A última possibilidade consiste em obter (2, 2) no primeiro lançamento e (1, 1) no segundo e último lançamento. Isso ocorre com probabilidade igual a 1 1.

36 36⋅ Portanto, o resultado é 2 2 1 3 1 37 . 9+₃₆ +₃₆ =324 Resposta da questão 10: [A]

A probabilidade de ele acertar ao menos uma questão da prova é igual a probabilidade total (100%)

menos a probabilidade de ele errar todas as questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto de

25% (ou 1 4) e de erro de 75% (ou 3 4). Assim, a probabilidade de errar todas as questões seria:

% 13 133 , 0 384 16 187 2 4 3 7 ≈ = =      

E a probabilidade de que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, aproximadamente: