GeometriaS

(1)

Uma abordagem geral

(2)

Índice

1.

1. Geometria EuclidianaGeometria Euclidiana

2.

2. Geometria HiperbólicaGeometria Hiperbólica

2.1.

2.1. Postulados da Geometria HiperbólicaPostulados da Geometria Hiperbólica

2.2.

2.2. Características da Geometria HiperbólicaCaracterísticas da Geometria Hiperbólica

2.2.1. 2.2.1. RectasRectas 2.2.2 2.2.2. Triângulos. Triângulos 2.2.3. 2.2.3. CírculosCírculos 3.

3. Modelos de Geometria HiperbólicaModelos de Geometria Hiperbólica

3.1.

3.1. Modelo do Semi-plano de PoincaréModelo do Semi-plano de Poincaré

3.2.

3.2. Modelo do Disco de PoincaréModelo do Disco de Poincaré

3.3.

3.3. Modelo Modelo de de Klein Klein -- BeltrBeltramiami

3.4.

3.4. Um comparativo gráfico entre modelosUm comparativo gráfico entre modelos

3.5.

3.5. Outras dimensõesOutras dimensões

3.5.1.

3.5.1. A PseudoesferaA Pseudoesfera

3.5.2.

3.5.2. Modelo de Poincaré a 3DModelo de Poincaré a 3D

3.5.3.

(3)

Ε

ὐὐ

κλείδης

Euclides de

Alexa

ndria

(aprox.300 a.C.)

http://www.ebook3000.com/Euclid-s-Elements-of-Geometry_34614.html

http://www.ebook3000.com/Euclid-s-Elements-of-Geometry_34614.html Para fazer download dos “Elementos” de Euclides:

Para fazer download dos “Elementos” de Euclides:

1. Geometria Euclidiana

(4)

5 Postulados de

Euclides

O

OAxioma das ParalelasAxioma das Paralelas

Uma representação gráfica

1. Geometria Euclidiana

(5)

2.

2. Supor Supor que:que:

““Por um ponto P exterior a uma recta m, numPor um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano

mesmo plano, exis, existe uma infinidadte uma infinidadee de rectasde rectas

paralelas à recta m.” paralelas à recta m.” Geometria Esférica, Geometria Esférica, Elíptica ou Riemanniana. Elíptica ou Riemanniana. Geometria Hiperbólica Geometria Hiperbólica As novas geometrias nascem das sucessivas tentativas de deduzir o axioma das As novas geometrias nascem das sucessivas tentativas de deduzir o axioma das paralelas a partir dos outro quatro axiomas.

paralelas a partir dos outro quatro axiomas. Há

Há duas formasduas formas de negar a afirmação de Euclides:de negar a afirmação de Euclides: 11.. SSuuppoor r qquuee::

““Por um ponto P exterior a uma recta m, numPor um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano

mesmo plano, não e, não existe uma únicaxiste uma única rectarecta

paralela à recta m.” paralela à recta m.”

2. Geometria Esférica e Hiperbólica

(6)

--AsAs geodésicasgeodésicas são linhas rectas.são linhas rectas.

--A soA soma ma dodoss ângulosângulos internos de um triângulo é 180ºinternos de um triângulo é 180º

(Curvatura Zero)

--A árA área ea de ude umm triângulotriânguloé dada por:é dada por:

Áre

Área a [ABC]= base*altura/2[ABC]= base*altura/2

-- Há triângulos semelhanHá triângulos semelhantes com tamanhos difertes com tamanhos diferententes.es.

“

“Por um ponto P exterior a uma recta r, num mesmo plano, passaPor um ponto P exterior a uma recta r, num mesmo plano, passa

uma e só uma única

uma e só uma única recta parecta paralela ralela à recta à recta rr..” ”

1. Geometria Euclidiana

(7)

-- AA geodésicageodésica é uma curva ao longo de um círculo máximo.é uma curva ao longo de um círculo máximo.

-- A sA somoma da dosos ângulosângulos internos de um triângulo é maior queinternos de um triângulo é maior que

180

180ºº. . (Curvatura (Curvatura Positiva)Positiva)

-- A árA área ea de ude umm triângulotriângulona superfície esférica de raio R éna superfície esférica de raio R é

dada por

Ár

Áreaea[A[ABC] BC] = R= R22.(.(αα ++ ββ ++ γγ -- ))

-- Não eNão exixiststemem tritriângângululosos sesememelhlhanantetess popois, pois, por terr teremem ângângululosos ininteternrnos iguaos iguais, nãois, não

f

formormamamnenececessassariariamementntee tritriângângululosos comcom a a memesmasmafformorma.a.

“

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano,Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano,

não existe uma única

não existe uma única recta paralela à recta m.” recta paralela à recta m.”

Geometria Esférica

(8)

“

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano,Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano,

existem infinitas

existem infinitas rectas paralelas à recta m.” rectas paralelas à recta m.”

Postulado 1

Postulado 1: Por d: Por doisois ponpontos ditos difeferenrentetes s podpode ser tre ser traçadaçadaa uma, e sóuma, e sóuma, ruma, rectectaa

hiperbólica.

Postulado 2

Postulado 2: Uma: Uma recta recta hiperhiperbólica podbólica pode estee estender-snder-se indefine indefinidamentidamente eme em ambas asambas as

dir

direcçõecçõeses semsem que os que os seuseuss ponpontos etos extrxtremos semos se toqe toquemuem..

Postulado 3

Postulado 3: Pod: Pode desene desenhar-se umhar-se um círculo ucírculo usando qualqsando qualqueruer pontponto como ceno como centro, etro, e

qualqu

qualquerer medida medida como como raio.raio.

Postulado 4

Postulado 4: T: Todos odos os ânos ângulgulosos rerectos ctos sãosão iguaiguaisis enentre tre si.si.

Postulado 5

Postulado 5: Pelo ponto: Pelo ponto PP, qu, que nãoe não pepertrtenencece a uma umaa rerectcta hia hipeperbrbóliólica, podca, podemem seserr

traç

traçadasadas pelo pelo menos menos duasduas rectas rectas hiperbhiperbólicas parólicas paralelas aalelas a PP..

2.2. Postulados da Geometria Hiperbólica

(9)

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Conjunto de rectas que, passando pelo mesmo

ponto, são todas paralelas à linha mais escura.

As

As geodésicasgeodésicas na superfície hipena superfície hiperbólica podem ser reprbólica podem ser represenresentadas portadas por linhas rectlinhas rectasas

ou por arcos de cír

ou por arcos de círculo, depeculo, dependendndendo o do modelo utilizaddo modelo utilizado e da o e da posiçãoposição dos pontdos pontosos

na superfície.

2.2.1. Rectas

(10)

A

A ssoommaa ddooss âânngguullooss iinntteerrnnooss ddee uumm ttrriiâânngguulloo éé sseemmpprree mmeennoorr ddoo qquuee 118800ºº..

A

A didiffererenençaça éé dedenonomiminanadada defeitodefeito..

2.2.2. Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Na geometria euclidiana dois triângulos podem ser semelhantes e não serem

congruentes. Isto é impossível na geometria hiperbólica, onde

congruentes. Isto é impossível na geometria hiperbólica, onde triângulostriângulos

semelhantes têm de ser rigorosamente iguais.

(11)

V

Veerriiffiiccaammooss qquuee,, aappeessaarr dede nnããoo hhaavveerr uumm lliimmiittee ppaarraa oo ccoommpprriimemennttoo ddooss llaaddooss d

dee uumm trtriiânângugulolo,, hháá uumm lilimmititee ppararaa oo vvalaloror ddaa rreespspeectctiivvaa áráreea.a. N

Naa iinntteerrnneett ppooddeemmooss eennccoonnttrraarr uumm aapppplleett qquuee ccaallccuullaa aa áárreeaa ddee ttrriiâânngguullooss hi

hipeperbrbólólicicosos nono didiscscoo dede PPoioincncararé,é, coconsnsididereranandodo R=R=1.1.

Área de Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

A área de um triângulo hiperbólico é proporcional

ao seu defeito e é dada por:

Área

Área_[ABC]_[ABC] = R= R22_{. (}_{. (} _-- _-- _-- ₎₎

http://www.geom.uiuc.edu/java/triangle-area/

Podemos também usar um

(12)

Na

Na gegeomeometritriaa hihipeperbrbóliólica, ca, umumaa circircuncunfeferêrêncinciaa teterráá semsemprpree umum peperímrímetretroo

mai

maioror do qdo que umue umaa circircuncunfeferêrêncinciaa EucEuclidlidianiana coma com o meso mesmomo rraioaio!!!!!!

2.2.4. Círculos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Sendo

Sendo rr o o raio raio do do círculocírculo, , , , aa medidmedida a dodo

perímetro e da área são dadas por:

Uma

Umacircucircunfernferênciaênciahipehiperbólirbólica é ca é o lugar geoméo lugar geométrictricoo

dos pon

dos pontos cuja distos cuja distântânciaciahiperhiperbólibólica a umca a um ponpontoto

fixo

fixo chamado chamado centro é ccentro é constonstante.ante.

P = 2

P = 2π π sinh(r)sinh(r) A = 4

A = 4π π sinhsinh 2 2_(r/2)_(r/2)

A = 2

A = 2π π RR 2 2_(cosh_(cosh 2 2_{(r/R -}_{(r/R -}₁₁₎₎

P = 2

(13)

3. Modelos de Geometria Hiperbólica

Foram desenvolvidos

Foram desenvolvidos quaquatrotro prinprincipcipais ais modemodeloslos para a Geometria Hiperbólica.para a Geometria Hiperbólica.



 SeSemimiplplananoo SSupupererioiorr dede PoPoinincacarréé:: ttoommaa ccoommoo ppllaannoo uumm sseemmiippllaannoo aabbeerrttoo ddoo

plan

planoo euceuclidilidiano.ano.

  DiDiscscoo dede PoPoinincacaréré:: rreepprreesseennttaa oo ppllaannoo ccoommoo oo inintteerriioorr ddee uumm ccíírrcuculloo ee aass rreeccttaass c coommoo aarrccooss ddee cciirrccuunnffeerrêênncciiaa oortrtooggoonnaaiiss àà ffrroonntteeiriraa ddoo ddiissccoo oouu ddiiââmmeettrrooss ddoo mesmo. mesmo.   PrProojejecctitivvoo ddee KlKleieinn –– BeltramiBeltrami :: RReepprreesseennttaa oo ppllaannoo ccoommoo oo iinntteerriioorr ddee uumm cí círrcuculoloee asasrreectctasascocomomoccororddasasdedessssee cícírrcuculolo.. 

 dede LoLorerenznz ouou Hiperbolóide:Hiperbolóide: NeNessttee ccasasoo,, uusasammosos uummaa ffololhhaa dede uumm hhipipeerbrbololóióidede

d dee rrevevololuuççãoão.. OsOs ppoonnttosos sãsãoo clclasassesess ddee eeququiivvalalênênciciaa ddee vveectctororeess qqueue sasatitissffazazeemm um umaa dedetteermrmininadadaa fforormamaququadadrrátáticicaa ee asasrerectctasasrresesuultltamam dadainintterersesecçcçãoão ddee cecertrtosos pl plananososcocomm oo hihipeperbrbololóióidede.. NãNãoo vavamomoss eexpxplilicicitatarr esestetemomodedelolo..

(14)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

Este modelo baseia-se no semiplano superior

..

TTrata-se de um morata-se de um modelo que:delo que:

•

• é conforme, isto é, preserva ângulos,é conforme, isto é, preserva ângulos,

•

• não preserva distâncias,não preserva distâncias,

•

• nem áreas de figurasnem áreas de figuras..

Esta forma de projecção é denominada

(15)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Euclidiana: Métr

Métricaica HipeHiperbólrbólica:ica:

As barras verticais indicam As barras verticais indicam a distância euclidiana. a distância euclidiana.

http://www.quantum-immortal.net/math/hyperbolic.php#parallel

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: As geodésicas são linhas curvas.

(16)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

Appl

Applet pet paraaradesdesenhaenharrlinhlinhasasno seno semiplamiplanonosupesuperiorior de Poir de Poincancaréré(in(inteternetrnet):):

http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/uhp/uhpjava.html

Construções no Semiplano Superior:

(17)

 Linha perpendicular ao eixo dos xx;Linha perpendicular ao eixo dos xx;

 Linha que intersecta o eixo dos xx não perpendicular a este;Linha que intersecta o eixo dos xx não perpendicular a este;

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

 Linha parLinha paralela ao eixo dos xx ealela ao eixo dos xx e círculos tcírculos tangenangentes ao eixo dos xx:tes ao eixo dos xx: horocicloshorociclos..  Arcos que intersectam o eixo dos xx, mas não na perpendicular:Arcos que intersectam o eixo dos xx, mas não na perpendicular: equidistantesequidistantes..  Círculos que não intersectam o eixo dos xx : sãoCírculos que não intersectam o eixo dos xx : são círculoscírculos na geometria dena geometria de

Lobachevsky. Lobachevsky.

(18)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

•

• ÂngulosÂngulos da superfície mantidos no mapada superfície mantidos no mapa  Mapa conformeMapa conforme

•

(19)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

Como calcular uma área neste modelo?

Verificamos o que já tinhamos escrito nas Verificamos o que já tinhamos escrito nas características da geometria hiperbólica: características da geometria hiperbólica: A

(20)

3.1. Semiplano Superior de

Poincaré

Transformações Transformações Translação Translação Rotação Rotação

(21)

3.2. Disco de

Poincaré

Formalmente, o Disco de Poincaré é

Formalmente, o Disco de Poincaré é definido como o conjunto de todos osdefinido como o conjunto de todos os pontos de um disco unitário aberto

pontos de um disco unitário aberto

•

• é conforme, isto é, preserva ângulos,é conforme, isto é, preserva ângulos,

•

(22)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Euclidiana: Métr

Métricaica HipeHiperbólrbólica:ica:

As barras verticais indicam As barras verticais indicam a distância euclidiana. a distância euclidiana.

http://www.josleys.com/article_show.php?id=83#formule

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: As

As geodésicasgeodésicas são gersão geralmenalmente linhas curvas,te linhas curvas, emborembora possam ser recta possam ser rectas emas em alguns casos.

(23)

Para

Para desenhadesenharr linhaslinhasno Discno Disco de o de PoincaPoincaréré

(wolfram)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

B B

t t

-- l l é um arco de raio infinito.é um arco de raio infinito.

-- mm ee nn são concorrentessão concorrentes

-- l l ee nn são estritamente paralelas.são estritamente paralelas.

-- l l ee mm seriam assimptoticamenteseriam assimptoticamente

parale

paralelaslas se se tocassem na frse se tocassem na fronteonteira doira do

disco

(24)

•

• Ângulos:Ângulos: medidos através do ângulo formado pelasmedidos através do ângulo formado pelas

tangentes aos arcos no ponto de intersecção. tangentes aos arcos no ponto de intersecção.

•

• Triângulos hiperbólicosTriângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)(mantêm os ângulos!)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Construções no Disco de Poincaré:

Construções no Disco de Poincaré: http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.htmlhttp://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html

Área de um triângulo no Disco de Poincaré

(25)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Todos os triângulos usados nesta Todos os triângulos usados nesta pavimentação têm a mesma área... pavimentação têm a mesma área...

Outras pavimentações Outras pavimentações

(26)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Círculos hiperbólicos

Círculo, seu centro e raios. Círculo, seu centro e raios.

Uma circunferência dentro do Uma circunferência dentro do disco de Poincaré

disco de Poincaré que não passeque não passe pelo centro

pelo centro OO _{do disco}_{do disco} teráterá

como imagem, na superfície, como imagem, na superfície, outra circunferência

outra circunferência..

Construções no Disco de Poincaré:

(27)

U

Umm seserr vivivevendndoo dedenntrtroo dede uumm ununiviveerrsoso hi

hipeperbrbólólicicoo seseririaa tototatalmlmenentete inincacapapazz dede pe

percrcebeberer,, ununicicamamenentete atatrravavésés dodoss seseusus sseennttiiddooss,, qquuee vviivvee nnuumm eessppaaççoo ttããoo cu

cuririososoo viviststoo dede fforora.a.

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

SSeegguunnddoo eellee,, vviivvee nnuumm uunniivveerrssoo p

peerrffeeiittaammeennttee ppllaannoo,, nnoo qquuaall ooss sseeuuss h

haabbiittanantteess ssããoo vviissttooss ddee ffoorraa ccomomoo nnaa fi

(28)

Mauritius Cornelius Escher Mauritius Cornelius Escher

(1898

(1898 – – 1972), Holanda1972), Holanda

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Par

Para saber maisa saber maissobrsobree M.C.EscherM.C.Escher e suae sua

liga

ligaçãoçãocom a gcom a geomeeometriatria hiphiperberbólicólicaa

SSeemm tteerr ffoorrmmaaççããoo mmaatteemmááttiiccaa,, EEsscchheerr ccoonnsseegguuiiuu rreepprreesseennttaarr mmuuiittooss ccoonncceeiittooss m

maatteemámátiticcosos ddaa ggeeomomeetrtriiaa eeuuclclididiaiannaa ee nnãoão euclidiana.

euclidiana.

M

Muuiittooss ddooss sseeuuss ttrraabbaallhhooss ssããoo uussaaddooss ppoorr mat

(29)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Circle Limit I

(30)

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Circle Limit II

(31)

Circle Limit III Circle Limit III

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Esboço original Esboço original

(32)

Circle Limit IV Circle Limit IV

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Mais Exemplos !!! Mais Exemplos !!! Note-se que as Note-se que as figuras parecem figuras parecem mais pequenas à mais pequenas à medida que nos medida que nos aproximamos da aproximamos da fronteira do disco, fronteira do disco, mas que têm o mas que têm o mesmo tamanho na mesmo tamanho na Geometria do Plano Geometria do Plano Hiperbólico. Hiperbólico.

(33)

Transformações Transformações Translação Translação Rotação Rotação

3.2.

3.2. Disco

Disco

de

Poincaré

Transformação

Disc

Disco -o - SemiSemiplanplanoo

Filme Filme Transformação Transformação Möbius Möbius

(34)

3.3.

3.3. Mode

Mode

lo

de

Klein

-

Beltr

ami

Eugene Beltrami Eugene Beltrami 1835 1835 – – 1900, Italia1900, Italia Felix Klein Felix Klein 1849 1849 – – 1952, Alemanha1952, Alemanha

(35)

Mod

Modeloelo dede BelBeltrtramiami-Kl-Kleinein:: obobtétém-m-sese dedefforormamandndoo aa gegeomometetririaa hihipeperbrbólólicicaa dodo DiDiscscoo d

dee PPoioincncararéé ddee mmododoo aa ququee asas rrececttasas hhiipeperrbbólólicicasas nnoo ddisisccoo ddee PPoioinnccararéé ((osos ararccosos dede cir

circuncunfeferêrêncincia)a) sese trtransansfoformrmamam emem cocordrdas.as.

3.3.

3.3. Mode

Mode

lo

de

Klein

-

Beltr

ami

•

• não é conforme, isto é, não preserva ângulos,não é conforme, isto é, não preserva ângulos, •

•

(36)

3.3.

3.3. Mode

Mode

lo

de

Klein

-

Beltr

ami

Métrica

Métrica Disco Disco de Pde Poincaroincaré:é:

Métric

Métricaa modelo modelo Klein-BeKlein-Beltramiltrami::

A A B B U U V V

As barras verticais indicam a As barras verticais indicam a distância euclidiana.

distância euclidiana.

O factor ½ é necessário para que O factor ½ é necessário para que a curvatura seja -1.

a curvatura seja -1.

As

As geodésicasgeodésicas no modelo de Beltrami são as cordas euclidianas do disco unitáriono modelo de Beltrami são as cordas euclidianas do disco unitário..

A

(37)

Projecção Central Projecção Central Curvatura positiva Curvatura positiva

Meia esfera é projectada em Meia esfera é projectada em todo o plano. todo o plano. Curvatura negativa Curvatura negativa Toda a superfície é Toda a superfície é projectada em parte do projectada em parte do plano. plano.

3.3.

(38)

3.3.

3.3. Mode

Mode

lo

de

Klein

-

Beltr

ami

Neste exemplo,

-- m e n são rectas diverm e n são rectas divergengentemente paraletemente paralelas;las; -- l e m são assiml e m são assimptoticamptoticamentente paralelas.e paralelas.

EEssttee mmaappaa ssóó éé ccoonnffoorrmmee nnaa oorriiggeemm,, ppoorr iissssoo éé d

denenomomininadadoo dede nnãoão ccoonnffoormrmee -- ddiissttoorrccee âânngguullooss ee medidas

medidas – – ee,, aassssiimm,, aa mmeeddiiççããoo ddee ângulosângulos éé mmuuiittoo

complicada. complicada.

Mas, existe um isomorfismo entre os modelos de Poincaré e Klein-Beltrami que Mas, existe um isomorfismo entre os modelos de Poincaré e Klein-Beltrami que permite efectuar medições de ângulos com relativa facilidade....

(39)

3.3.

3.3. Mode

Mode

lo

de

Klein

-

Beltr

ami

EEssttee iissoommoorrffiissmmoo ttrraannssffoorrmmaa âânngguullooss ddoo mmooddeelloo ddee BBeellttrraammii eemm âânngguullooss co

conngrgrueuenntteses nnoo didiscscoo ddee PPoioinncacaréré,, bbasastatandndoo asassisimm uusasarr asas rerectctasas trtrananssfforormamadadass n

noo ppllananoo ddee PPoioinnccararéé ee ttomomarar aa mmeeddididaa eeuuclclididiaiannaa ddoo ânângugulolo dede ininteterrsseecçcçãoão ddasas respe

respectivasctivas tangetangententes:s:

A transformação é feita A transformação é feita através da seguinte através da seguinte fórmula: fórmula:

(40)

3.4.

(41)

3.4.

(42)

3.4.

(43)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

3.5.1. A pseudosfera

(44)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D

•

• EspaçoEspaço :: esesffereraa ununititáráriaia;;

•

• LinhasLinhas:: aarrccooss ddee ccíírrccuulloo qquuee iinntteerrsseeccttaamm aa ffrroonntteeiirraa ddaa

es

esffereraa ununititáráriaia emem ânângugulolo rerectcto;o;

•

• PlanosPlanos:: ppoorrççõõeess ddee eessffeerraa qquuee iinntteerrsseeccttaamm aa eessffeerraa

un

unititáráriaia emem ânângugulolo rrecectoto..

Para visualizar um Para visualizar um visitante de um visitante de um museu hiperbólico!!! museu hiperbólico!!!

(45)

3.5.

(46)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

M

Maass... ccoommoo ccoonnssttrruuiirr uummaa ssuuppeerrffíícciiee hhiippeerrbbóólliiccaa nnuumm mmooddeelloo ssóólliiddoo ee palpável???

palpável???

TTooddaass eessttaass ssuuppeerrffíícciieess ssããoo ccoonncceeppttuuaaiiss ee éé pprreecciissoo nnããoo eessqquueecceerr qquuee,, hháá aallgguunnss ananooss,, oo uussoo ddoo ccoommppuuttaaddoorr,, ccoomm ooss sseeuuss pprrooggrraammaass ddee ggeeoommeettrriia,a, nnããoo er

eraa prprátáticicaa cocorrrrenentete.. SuSurgrgiriramam alalgugunsns momodedeloloss emem papapepel,l, mamass mumuititoo frfrágágeieis.s.

O

Oss mmaatteemmááttiiccooss eespspeerraavvaamm oo ddiiaa eemm qquuee ppuuddeesssseemm ppeeggaarr nnuummaa ssuuppeerrffíícciiee hi

(47)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

É neste contexto que surge

É neste contexto que surge Daina TaiminaDaina Taimina, matemática Letã que, num momento, matemática Letã que, num momento inspirado de uma tarde de 1977, se lembra de... Tricotar estas superfícies. Aqui inspirado de uma tarde de 1977, se lembra de... Tricotar estas superfícies. Aqui vemos alguns exemplos do seu trabalho.

vemos alguns exemplos do seu trabalho.

A pseudosfera,

palp

(48)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

Paralelas

(49)

3.5.

3.5. Outras dimensões

Outras dimensões –

–

Modelos a 3D

Para ter em casa

Manta

Algas

Um conjunto de planos hiperbólicos, Um conjunto de planos hiperbólicos,

tricotados, imitando

(50)