Modulo 3 - Tensão e Deformação - Lei de Hooke

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Belo Horizonte Belo Horizonte 2014 2014 EDITORA EDITORA 1ª Edição 1ª Edição

Thiago Bomjardim Porto

MÓDULO 3

Mecânica dos Sólidos

T

ENSÃO

E

D

EFORMAÇÃO

EM

E

LEMENTOS

L

INEARES

;

L

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(3)

Porto,

Porto, Thiago Thiago BomjardimBomjardim

P853m

P853m Mecânica Mecânica dos dos sólidos: sólidos: módulo módulo 3: 3: TTensão ensão e e deformação deformação em em elementoselementos

lineares;

lineares; Lei Lei de de Hooke Hooke / / Thiago Thiago Bomjardim Bomjardim PortPorto. o. Belo Belo Horizonte: Horizonte: FUMARC,FUMARC,

2014. 2014. 150p. 150p. : : il.il. ISBN: ISBN: 978-85-8124-056-5978-85-8124-056-5 1.

1. Sólidos Sólidos elásticos. elásticos. 2. 2. Análise Análise estrutural estrutural (Engenharia). (Engenharia). 3. 3. Deformações Deformações ee

tensões.

tensões. 4. 4. Resistência Resistência de de materiais. materiais. I. I. Título.Título.

CDU: 620.17

É proibida, de qualquer forma ou por qualquer meio eletrônico e mecânico, a reprodução É proibida, de qualquer forma ou por qualquer meio eletrônico e mecânico, a reprodução total ou parcial deste livro sem a permissão expressa do autor. Os direitos de propriedade total ou parcial deste livro sem a permissão expressa do autor. Os direitos de propriedade desta edição estão

desta edição estão reservados ao autor.reservados ao autor.

Revisão Técnica:

Prof. Antônio Pires Azevedo Júnior

Departamento de Engenharia Civil Departamento de Engenharia Civil

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais -

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC MINASPUC MINAS

Notas explicativas:

1. Foram feitos esforços para identificar os detentores dos direitos das obras. Caso 1. Foram feitos esforços para identificar os detentores dos direitos das obras. Caso ocor-ra alguma omissão involuntária de dados, a editoocor-ra buscará a correção na primeiocor-ra ra alguma omissão involuntária de dados, a editora buscará a correção na primeira oportunidade.

oportunidade.

2. Apesar dos melhores esforços do

2. Apesar dos melhores esforços do autor, do editor e dos revisores, é possível que surjamautor, do editor e dos revisores, é possível que surjam inexatidões ao longo do texto.

inexatidões ao longo do texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobreAssim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores

aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminha-podem ser encaminha-dos ao professor Thiago

dos ao professor Thiago Bomjardim Porto pelo email porto@pucminas.brBomjardim Porto pelo email porto@pucminas.br

FICHA

FICHA CACATTALOGRÁFICAALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

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DEDICATÓRIA

Aos mestres e amig

Aos mestres e amigos Antônio Carlos Nogueira Rabelo,os Antônio Carlos Nogueira Rabelo,

Armando Cesar Campos Lavall, Estevão Bicalho P

Armando Cesar Campos Lavall, Estevão Bicalho Pintointo

Rodrigues, José Márcio F

Rodrigues, José Márcio Fonseca Calixto eonseca Calixto e

P

Pedro Viannedro Vianna Pa Pessoa de Mendonça,essoa de Mendonça,

eméritos conhecedores da Engenharia de Estruturas,

aos quais devo parte de meu saber;

Aos meus P

Aos meus Pais, Alberto Bomjardim ais, Alberto Bomjardim PorPorto eto e

Maria Margarida Bomjardim

Maria Margarida Bomjardim Porto,Porto,

pelo legado e carinhoso afeto;

Aos meus irmãos, Luiz A

Aos meus irmãos, Luiz Alberto Bomjardim Plberto Bomjardim Portoorto

e Paulo Roberto Bomjardim Porto, pela amizade

verdadeira de tantos anos.

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AGRADECIMENTOS

À Deus, presente em todos os momentos de minha vida. Agradeço aos colegas do departamento de Engenharia Civil da PUC MINAS pela confiança e pelo apoio mantidos durante todo o desenvolvimento do projeto “Livro Texto Mecânica dos Sólidos”. Gostaria de agradecer à Diretoria do Instituto Politécnico da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, IPUC-PUC MINAS, em particular, ao professor Jánes Landre Júnior pelo apoio irrestrito a este trabalho. Agradeço também, a todos os alunos do curso de Engenharia Civil da PUC MINAS e UFMG que ajudaram, diretamente e indiretamente, na produção deste livro, em particular: Alice Laura de Oliveira

Alves, André Luis de Castro Silva, Felipe Dutra Galuppo, Felipe Magleau,

Igor Prado da Silveira, Jonas Paulo Costa Silveira, Juliana Rodrigues Alves, Mila Carvalho de Almeida e Weberson Gonçalves Alves.

Gostaria de agradecer, também à CONSMARA ENGENHARIA LTDA

pelo apoio integral para viabilização deste livro texto. Este projeto está concluído, mas o livro didático de Mecânica dos Sólidos não se encerra nesta primeira edição. Espero que o mesmo possa ser aperfeiçoado em edições futuras, por meio do envio de críticas e sugestões por parte dos leitores

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PREFÁCIO

Trabalhar com engenharia é uma tarefa complexa, porém prazerosa, que ao ser com-plementado com o ensinar fecha um ciclo de realização para o profissional que nela atua.

Esta publicação que hora se apresenta, é fruto de uma grande dedicação do engenheiro e professor Thiago, que com uma linguagem clara e objetiva passa aos seus leitores os conceitos básicos e necessários aos que se iniciam na área do cálculo estrutural, ser- vindo também como um rico material de consulta no dia a dia do cálculo e no uso de

ferramentas que atualmente fazem parte do dia a dia de um engenheiro.

Aproveito, então, para parabenizar o engenheiro e professor Thiago pelo trabalho de-senvolvido e desejo sucesso para esta e para as próximas que virão.

Jánes Landre Júnior Professor da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Diretor do Instituto Politécnico da PUC MINAS - IPUC

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APRESENTAÇÃO

Este livro procura fornecer explicações claras, com profundidade adequada, dos prin-cípios fundamentais da Mecânica dos Sólidos. O entendimento destes prinprin-cípios é considerado uma base sobre a qual se deve construir a experiência prática futura na Engenharia de Estruturas.

Admite-se que o leitor não possui conhecimento prévio sobre o assunto, mas possui bom entendimento da Mecânica Newtoniana.

Não se pretendeu elaborar um manual, nem um trabalho puramente científico, mas um livro texto, um guia de aula, rico em exemplos brasileiros. Outra preocupação foi que aspectos polêmicos não fossem considerados, mas que, ao contrário, fossem abor-dadas as técnicas e os métodos reconhecidos e aceitos em nosso meio técnico.

O livro tornará a “temida” Mecânica dos Sólidos mais acessível a todos, permitindo que o leitor envolva-se com a fantástica e singular capacidade da Engenharia de Es-truturas de transferir conhecimentos e informações sobre materiais, concepção es-trutural, dimensionamento e detalhamento de peças, antecipando comportamentos e proporcionando economia e segurança às estruturas civis.

O livro foi feito para estudantes e profissionais juniores e, tanto quanto possível, em-basado numa linguagem simples e direta, evitando o jargão científico. Permitirá, entre-tanto, que profissionais experientes, porém não familiarizados com determinada área de atuação da Engenharia de Estruturas, nele, encontrem os conhecimentos essenciais e, por meio da bibliografia recomendada de cada módulo, elementos suficientes para se aprofundarem no assunto.

Este livro não tem a pretensão de esgotar o vasto e complexo campo da Mecânica dos Sólidos, nem constituir um estado da arte sobre assunto tão amplo. Ao escrevê-lo, fui

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10

Desejo bom proveito a todos os leitores, professores, estudantes e profissionais, pois são vocês, em última análise, aqueles que farão, com certeza, a melhor avaliação do resultado alcançado.

Por se tratar de uma livro texto introdutório à Mecânica dos Sólidos, utilizei a seguin-te sisseguin-temática: cada módulo inicia-se com um resumo dos conceitos seguin-teóricos básicos fundamentais para o entendimento do assunto e, na sequência, um conjunto de exer-cícios resolvidos com a aplicação da teoria apresentada. Em seguida, são apresentados vários exercícios propostos com o objetivo do leitor consolidar os conhecimentos

aprendidos.

Enfim, a melhor satisfação para quem traça plano, é ver seus projetos realizados. Este livro é a realização de um antigo projeto que se concretiza.

O autor coloca-se à total disposição para a solução de problemas particulares de Mecâ-nica dos Sólidos, disponibilizando sua experiência como Engenheiro Calculista, adqui-rida em mais de uma centena de projetos de Engenharia em todo o Brasil e América Latina.

O Autor, Thiago B. Porto

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Mód. 1

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE FIGURAS PLANAS

Mód. 2

INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL

Mód. 3

TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM ELEMENTOS LINEARES;

LEI DE HOOKE

Mód. 4

TORÇÃO

Mód. 5

FLEXÃO E PROJETO DE VIGAS

Mód. 6

CISALHAMENTO EM ELEMENTOS LINEARES

Mód. 7

TRANSFORMAÇÕES DE TENSÃO E SUAS APLICAÇÕES

Mód. 8

DEFLEXÃO EM VIGAS

Mód. 9

FLAMBAGEM EM ELEMENTOS LINEARES E PROJETO

DE PILARES

Coleção

NA

PRÁTICA

(13)

12

ÍNDICE

PREFÁCIO ... 7 APRESENTAÇÃO ... 9 1. TENSÃO ... 15 1.1. Introdução ... 15

1.2. Tensões em Elementos de uma Estrutura ... 15

1.3. Análise e Projeto de Engenharia ... 17

1.4. Tensões Normais ... 17

1.5. Tensões de Cisalhamento ... 19

1.6. Tensões em Soldas ... 20

1.7. Tensões de Esmagamento ... 22

1.8. Tensões em um Plano Oblíquo ... 49

1.9. Estado de Tensão ... 59

1.10. Considerações de Projeto ... 60

1.10.1. Limite de Resistência de um material ...60

(14)

2. TENSÃO E DEFORMAÇÃO - CARREGAMENTO AXIAL ...73

2.1. Introdução ... 73

2.2. Deformação específica normal ... 74

2.3. Diagrama tensão-deformação ... 75

2.4. Lei de Hooke ... 76

2.5. Carregamentos repetidos - Fadiga ... 77

2.6. Deformações sob carregamento axial ... 78

2.7. Indeterminação estática ... 109

2.8. Tensão térmica ... 111

2.9. Coeficiente de Poisson ... 119

2.10. Lei de Hooke generalizada ... 120

2.11. Dilatação: Módulo de compressibilidade Volumétrica ... 121

2.12. Deformação de cisalhamento ... 122

2.13. Relação entre E, ν e G ... 131

2.14. Princípio de Saint-Venant ... 134

REFERÊNCIAS ... 143

ANEXOS ... 145

Anexo A.1 - Centróides de Áreas Usuais na Engenharia ...145

Anexo A.2 - Momentos de Inércia de Seções Usuais na Engenharia ...146

Anexo A.3 - Prefixos do Sistema Internacional...147

Anexo A.4 - Propriedade dos Materiais ...148

(15)

14

Biografia

ADHÉMAR JEAN-CLAUDE BARRÉ DE

SAINT-VENANT

Engenheiro e professor Francês, nasceu em 1797 e faleceu em 1886; atuava principalmente na hidráulica, no entanto, fez diversas contribuições para a Resistência dos Materiais. Uma de suas principais contribuições para a disciplina foi o princípio de Saint-Venant, que afirma que os esforços internos

normais em um elemento estrutural resultante de um esforço externo concentrado pode ser considerado uniformemente dis-tribuído, desde que, seja considerado em regiões distantes do ponto de aplicação da carga. Maiores detalhes do princípio de

(16)

1.

TENSÃO

1.1. INTRODUÇÃO

Este capítulo aborda o conceito de tensão, que é simplificadamente a distribuição da força por unidade de área. Tal conhecimento será de fundamental importância ao logo da disciplina, do curso e da carreira profissional de um engenheiro.

A seções 1.2 e 1.3 explicam o que é tensão e qual a utilidade desse tipo de conheci-mento para a Engenharia.

As seções 1.4, 1.5, 1.6 e 1.7 demonstram os tipos de tensões que serão estudadas ao longo da disciplina. As tensões que serão analisadas no decorrer do capítulo são: tensão normal, tensão de cisalhamento, tensões em solda e tensão de esmagamento.

A seção 1.8 aborda os casos onde considera-se um plano inclinado para a análise de tensões.

A seção 1.9 define estado de tensão e demonstra qual a aplicação do mesmo no estudo de tensões. Esta seção demostra, também, quais os tipos de estado de tensão e qual será a convenção de sinais adota ao longo do livro.

E por último, a seção 1.10 informa quais as considerações devem ser observadas em um projeto para a análise de tensões.

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16 A P = σ (1.1) Em que: P → Força aplicada;

A → Área de aplicação da força.

FIGURA 1 - Tensão

Fonte: Elaborada pelo autor

Utilizado as unidades do Sistema Internacional, SI, tem-se P em Newtons (N) e A em

metros quadrados (m²), logo a unidade de σ é

²

m

N _{. Esta unidade é conhecida como}

Pascal, porém, utiliza-se mais os múltiplos quilopascal (kPa), Megapascal (MPa) e Gi-gapascal (GPa).

(18)

1.3. ANÁLISE E PROJETO DE ENGENHARIA

Outro parâmetro a ser observado é o material do qual a estrutura é confeccionada, pois cada material comporta-se de maneira diferente quando solicitado. Alguns mate-riais como o aço, possuem as mesmas propriedades na direção x, y e z, portanto, são isotrópicos. Outros no entanto, como a madeira, possuem comportamento mecânico na direção longitudinal das fibras, diferente na direção perpendicular as fibras. Este tipo de material é chamado de anisotrópico. Para encontrar a tensão admissível de um material torna-se necessário se utilizar um coeficiente de segurança (CS) sobre a tensão de ruptura de um dado material. Esse coeficiente de segurança leva em conta as incertezas do carregamento, as propriedades mecânicas e a qualidade do material. Maiores detalhes sobre esse tema serão abordados no item 1.10 deste capítulo.

1.4. TENSÕES NORMAIS

A tensão normal é definida como a intensidade da força que é aplicada, perpendicular-mente, à uma unidade de área.

A equação (1.1) representa a tensão normal média e não uma tensão em um ponto específico da seção transversal.

(19)

18

Para calcular a tensão em um ponto específico Q da seção transversal (fig. 2),

dividiu-se ∆ F por ∆_A fazendo com que ∆_A tenda a zero.

A F A ∆ ∆ = → ∆ 0 lim σ _(1.2)

Em termos gerais, o valor de tensão encontrado em um ponto específico é diferente da tensão média. A figura 3 mostra como se dá a distribuição de tensões ao longo de uma barra.

FIGURA 3 - Distribuição de Tensão

Como pode-se notar, a variação de tensão em um plano distante da aplicação da car-ga é pequena, porém, em planos próximos ao da aplicação da carcar-ga essa variação é significativa.

Em geral, para dimensionamento de peças, utiliza-se a tensão média, exceto nos pon-tos próximos da aplicação da carga.

Utiliza-se como convenção a tensão normal de compressão tendo o sinal negativo en-quanto a tensão normal de tração terá o sinal positivo.

(20)

1.5. TENSÕES DE CISALHAMENTO

A tensão de cisalhamento é definida como a intensidade da força que é aplicada, tan-gencialmente à uma unidade de área.

A figura abaixo mostra uma barra submetida a cisalhamento e seu respectivo diagrama de corpo livre.

FIGURA 4 - Cisalhamento

Como a barra está em equilíbrio existe uma força resultante P de mesma intensidade que P’ e sentido oposto a este, que é a força cortante da seção. Ao dividir a cortante P pela área da seção transversal A, obtém-se a tensão de cisalhamento média, que é

representada pela letra grega τ (tau).

A P

med =

τ (1.3)

Assim como no cálculo da tensão normal, o valor obtido na equação (1.3) é um valor médio. Diferentemente da tensão normal, a tensão de cisalhamento não pode ser con-siderada uniforme ao longo da seção uma vez que ela varia de zero, na superfície da

(21)

20

FIGURA 5 - Cisalhamento Duplo

Ao traçar o diagrama de corpo livre do parafuso e analisar o equilíbrio, encontra-se a cortante P = F/2. Com isso, a tensão de cisalhamento média é definida por:

A P A P med 2 2 = = τ (1.4)

1.6. TENSÕES EM SOLDAS

Considerando uma seção qualquer da solda em duas barras, submetidas às forças F e F’, conforme a figura 6 e 7, conclui-se que para manter o equilíbrio, têm-se uma força interna P de sentido oposto a F.

(22)

FIGURA 6 - Chapas Soldadas

FIGURA 7 - Diagrama de Forças

Essa força P irá atuar, tangencialmente, sobre qualquer plano longitudinal da solda, caracterizando que a o carregamento aplicado sobre a barra provoca uma tensão de cisalhamento ao longo da solda.

(23)

22

FIGURA 8 - Corte A-A

Uma vez que a tensão alcançará seu valor máximo no plano de menor área e o períme-tro da solda permanecerá constante, conclui-se que a tensão alcançará o valor crítico no plano cujo a distância d tenha o menor valor, ou seja, em um plano inclinado 45º. Com isso:

d = t . sen 45º (1.5)

O perímetro (p) da solda será dado, neste caso, por:

p = 2 . a + b (1.6)

E a tensão de cisalhamento máxima será:

p d P ⋅ = max τ (1.7)

1.7. TENSÕES DE ESMAGAMENTO

A tensão de esmagamento é definida como a tensão criada por parafusos, pino e rebi-tes sobre os componenrebi-tes aos quais estão conectados.

(24)

FIGURA 9 - Tensão de Esmagamento

O parafuso exerce uma força P de mesmo módulo e sentido oposto a F. A tensão de

esmagamento (σ _e) é dada por meio da força P dividida pelo retângulo da projeção do

parafuso sobre a placa. Como a área é igual a t ⋅d , em que t é a espessura da barra e d

o diâmetro do parafuso, a tensão de esmagamento é dada por:

d t P e ⋅ = σ (1.8)

(25)

24 E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.1. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a

um carregamento conforme a figura. Sabendo que d₁ = 100 mm, d₂ = 50 mm,

F ₁ = 80 kN e F ₂ = 50 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e BC.

FIGURA 10 - Exercício Resolvido 1.1

Resolução:

Na barra AB, atuam os esforços F ₁ e F ₂, por isso, para o cálculo da tensão em AB

deve-se considerar:

(26)

E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S

Posteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que se-rão utilizadas as unidades N e mm.

Na barra BC, o cálculo será de forma análoga ao da barra AB, porém, somente o

esfor-ço F ₂ atua na mesma. Desta forma:

F = F ₂ = 50kN

A área da seção transversal da barra BC é dado por:

(27)

26 E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O

S_1.2. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a

um carregamento conforme a figura. Sabendo que, F ₁ = 80 kN, F ₂ = 50 kN e

que a tensão normal média não pode exceder 140 MPa, determine os menores

valores admissíveis para d 1e d 2.

Resolução:

Como a tensão admissível foi dada, assim como os esforços atuantes, é possível deter-minar, por meio da equação (1.1), a área da seção transversal:

A F = σ Logo: σ F A=

(28)

Como , a unidade encontrada para a área será mm2_.

A = 928,57 mm2

Com o valor da área, é possível determinar o diâmetro da barra AB através da equação:

4 2 d A = π

Logo o diâmetro é dado por:

π

A d = ⋅

4

Desta forma, o diâmetro mínimo da barra AB será:

(29)

S_1.3. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a

um carregamento conforme a figura. Sabendo que d₁ = 50 mm, d₂ = 30 mm,

F ₁ = 100 kN e F ₂ = 75 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e

BC.

Resolução:

Na barra AB:

F = –F ₁ = –100 kN

A área da seção transversal da barra AB é dado por:

Posteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que se-rão utilizadas as unidades N e mm.

A tensão negativa indica que a barra está submetida a uma tensão de compressão. Na barra BC:

A área da seção transversal da barra BC é dado por:

(30)

1.4. Considerando a figura da questão 1.3, determine o valor de

1

F _{, para que a tensão}

de compressão na barra AB tenha a mesma intensidade da tensão de tração da

barra BC. O valor de F 2, d 1 e d 2 continuam os mesmos da questão anterior.

Resolução:

Uma vez que a intensidade da tensão normal média na barra AB é igual a da tensão normal média em BC temos:

Como foi visto no problema anterior, a intensidade da tensão na barra AB é dada por:

E a intensidade da tensão na barra BC é:

(31)

S_1.5. Quando a força F alcançou 5 kN, a peça de madeira mostrada na figura falhou sob

cisalhamento ao longo da superfície C indicada pela linha tracejada. Determine a tensão média ao longo da seção C no momento da ruptura.

Resolução:

Para o cálculo da tensão de cisalhamento média na seção utiliza-se a equação (1.3):

Sendo:

(32)

1.6. Uma carga axial de 50 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira, de dimensões

100 mm x 100 mm, suportada por uma base quadrada de concreto sobre um solo estável. Determine a tensão normal média na coluna de madeira e as dimensões da base de concreto para que a tensão de contato média entre o concreto não ultrapasse 200 kPa. Despreze os pesos da coluna de madeira e da base de concreto.

Resolução:

A tensão normal média na coluna de madeira é encontrada através da equação (1.1), em que:

O cálculo das dimensões da base de concreto é realizado por meio da mesma equação acima, porém a área é que será determinada, pois a tensão admissível é conhecida.

(33)

S_1.7. Uma carga axial P é suportada por uma coluna curta W200 x 15,0 com seção

transversal de área A = 1940 mm² e distribuída a uma fundação de concreto por uma placa quadrada. Sabendo que a tensão normal média na coluna não pode exceder 200 MPa e que a tensão de esmagamento na fundação de concreto não pode exceder 20 MPa, determine as dimensões da chapa que proporcionará o projeto mais seguro e econômico.

Resolução:

Para este problema calcula-se a maior força que pode ser aplicada e que atenda a tensão admissível da coluna e posteriormente calculam-se as dimensões da placa por meio da força P encontrada.

O cálculo da força P será por meio da equação (1.1).

Utilizando, novamente a equação (1.1), encontra-se a área mínima da placa respeitan-do a tensão de esmagamento admissível.

(34)

1.8. Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F = 250 kN

como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da solda é 100 MPa, determine o menor valor possível de a. Desconsidere o atrito entre as peças.

Resolução:

Para o cálculo das dimensões de (a), calcula-se primeiro a área do plano longitudinal da solda onde ocorre o maior valor para a tensão de cisalhamento máxima.

(35)

S_1.9. Para o carregamento mostrado, em que P é igual a 10 kN, determine a tensão

normal média na barra AB. A área da seção transversal AB é igual a 200 mm².

FIGURA 17 (a) - Exercício Resolvido 1.9

Resolução:

Para este exercício, o primeiro passo é determinar a força atuante na barra AB. Para isso, é necessário analisar o nó B.

FIGURA 17 (b) - Equilíbrio nó B

Por meio do somatório de forças, sabe-se que a componente vertical de F_AB deve

anular a força P.

(36)

Uma vez calculada a intensidade de F_AB, é possível encontrar a tensão normal média

atuante na barra:

1.10. Para a figura abaixo, determine a tensão de cisalhamento média no pino.

Considere P=14,14 kN e diâmetro do pino igual a 8 mm.

(37)

S_1.11. Os diâmetros das hastes AB e BC são 8 mm e 6mm, respectivamente. Se a

carga vertical de 10 kN for aplicada ao anel em B, determine a tensão normal média em cada haste.

Resolução:

Para a resolução deste exercício, é preciso fazer o somatório de forças em B.

FIGURA 19 (b) - Equilíbrio B

Como o sistema está equilíbrio, pode-se dizer que a componente y da haste F_AB

(38)

E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S Logo,

∑

F _y = 0

Além da afirmação acima, pode-se concluir que a componente x de F_AB deve ser igual

a componente x de F_BC.

Assim,

∑

F _y = 0

Analisando a equação acima, pode-se afirmar que:

Substituindo a equação acima na primeira equação do exercício, encontra-se:

Resolvendo a equação:

Uma vez encontrado o valor de F_BC é possível encontrar o valor de F_AB substituindo

o BC por 5,18 kN na terceira equação do exercício:

Com os esforços atuantes nas barras definidos, basta dividi-los por suas respectivas áreas para determinar as tensões normais médias atuantes.

(39)

38 E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.1. A força axial na coluna mostrada na figura é P = 75 kN. Determine o menor

comprimento L admissível para a chapa, quadrada, para que a tensão de contato na madeira não exceda 5 MPa.

FIGURA 20 - Exercício Proposto 1.1

(40)

E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S

1.2. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 800 mm2.

Deter-mine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga P = 50 kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão.

(41)

40 E X E R C Í C I O S P R O P O S T O

S1.3. Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal média máxima em

qualquer barra não pode ultrapassar 160 MPa, determine o valor máximo de P que pode ser aplicado.

(42)

1.4. O conjunto de pendural a seguir é usado para suportar um carregamento

distribu-ído igual a 15 kN/m. Determine a tensão normal média na haste AC, de diâmetro igual a 30 mm, e a tensão de cisalhamento média nos parafusos em A e C. O diâ-metro dos parafusos é igual a 12 mm.

(43)

S1.5. Se a tensão normal admissível para o material da base sob os apoios em A e B for

igual a 3 MPa, determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 75 mm x 75 mm, respectivamente.

(44)

1.6. Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal admissível para o

ma-terial da base sob os apoios em A e B for igual a 3 MPa, determine as dimensões das chapas, de seções quadradas, sob os apoios. Considere P = 8 kN.

(45)

S1.7. O bloco de concreto de 40 kN está suspenso por quatro cabos, de 40 mm de

diâmetro, conforme a figura abaixo. Se o diâmetro dos cabo forem 12 mm, deter-mine a tensão normal média em cada cabo.

(46)

1.8. O acoplamento de gancho e haste a seguir está sujeito a uma força de 8 kN.

Sa-bendo que os diâmetros das hastes são de 40 mm e o diâmetro do pino é 20 mm, determine a tensão normal média das hastes e a tensão de cisalhamento média do pino.

(47)

S1.9. Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F, como mostra

a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da solda é 150 MPa e que a é igual 4 mm, determine o maior valor possível de F. Desconsidere o atrito entre as peças.

(48)

1.10. A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira (A e B) de seção

transversal uniforme, unidos pela emenda colada mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento na emenda.

(49)

S1.11. Resolva o problema anterior considerando que os elementos de madeira A e B

estão separados 4mm.

(50)

1.8. TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO

A seção 1.4 demonstra que uma carga axial aplicada em um elemento provoca uma tensão normal no mesmo, enquanto que na seção 1.5 é demonstrado que uma carga tangencial provoca uma tensão de cisalhamento.

Isto se deve ao fato de que, até o presente momento, foram considerados os planos perpendiculares ao eixo da barra ou parafuso. Ao utilizar um plano oblíquo, observa-se que uma carga axial provoca tensões normais e de cisalhamento no elemento, assim como uma carga tangencial.

Considere uma barra submetida a um carregamento P (fig. 28) e um plano inclinado

θ graus.

FIGURA 28 - Tensão em plano inclinado

(51)

50

Ao substituir as equações 1.9 e 1.10 nas equações 1.3 e 1.1 tem-se:

θ θ σ cos cos A P ⋅ = θ θ τ cos A sen P med ⋅ = (1.11) ou A P θ σ 2 cos ⋅ = A sen P med θ θ τ = ⋅cos ⋅ (1.12)

Verifica-se que o maior valor para σ é encontrado quando _θ₌ 0 enquanto que o

(52)

E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.12. Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme

unidos por uma emenda colada, como mostra a figura. Sabendo que P = 8 kN e que os elementos tem seções transversais com área igual a 625mm², determine as tensões de cisalhamento e normal na emenda colada.

Resolução:

Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:

(53)

S_1.13. Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme

unidos por uma emenda colada, como mostra a figura 29. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 600 kPa, determine a maior força P que pode ser aplicada.

Resolução:

Este cálculo será análogo ao anterior, porém a força P que será a incógnita. Ao substi-tuir os valores na equação 1.12:

(54)

1.14. Uma carga P de 1x106 N é aplicada ao bloco quadrado, de lado igual a 150 mm,

de granito mostrado na figura. Determine a tensão normal média no bloco e a tensão de cisalhamento média resultante de maior valor.

Resolução:

Para o cálculo da normal média utiliza-se a equação 1.1

A P

=

σ

(55)

S_1.15. O elemento na figura abaixo está submetido a um carregamento P = 4 kN.

Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano inclinado. Considere o elemento com seção transversal quadrada com lado igual a 30 mm.

Resolução:

Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:

A P θ σ 2 cos ⋅ = A sen P med θ θ τ = ⋅cos ⋅

Com isso ao substituir os valores encontra-se:

Observe que o ângulo utilizado foi 30° e não 60°. Isso se deve ao fato de que o ângulo considerado para a definição da formula é o formado entre o plano da seção transversal e o plano inclinado.

(56)

1.16. Um corpo de prova sob tração com seção transversal de medidas 100 mm x 20

mm é submetido a uma força axial P igual a 200 kN. Determine a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova.

Resolução:

Para o cálculo da tensão de cisalhamento média utiliza-se a equação 1.12, com θ igual

a 45°, onde encontra-se o maior valor para a tensão de cisalhamento média.

A sen P med θ θ τ = ⋅ ⋅cos Logo

(57)

56 E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.12. A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira de seção

transversal uniforme unidos pela emenda colada. Determine as tensões normal e de cisalhamento na emenda colada sabendo que os elementos tem seção transver-sal igual a 100 mm x 75 mm.

(58)

1.13. A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento mostrado.

De-termine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age na seção a-a. A seção transversal quadrada do elemento AB tem 35 mm de lado. Considere P = 10 kN.

(59)

S1.14. Resolva o exercício anterior considerando a seção b-b, sendo que a seção

transversal quadrada do elemento CB tem 35 mm de lado. Espaço Reservado para a Resolução do Exercício

1.15. Considere a figura do exercício 1.13. Determine a maior intensidade P da carga

que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média na seção b-b

ultrapasse 15 MPa. O elemento tem seção transversal de área igual a 900 mm2_.

(60)

1.9. ESTADO DE TENSÃO

Todo material pode estar submetido a esforços aplicados em um ou mais planos. No caso de aplicação de esforços em um único plano, afirma-se que o material está subme-tido a um estado plano de tensões ou também, estado duplo de tensões. Neste caso, o material será submetido apenas a tensões no plano x-y por exemplo.

FIGURA 35 - Estado plano de tensão

Neste caso, são consideradas somente as tensões σ_x , σ_y e τ_xz e a convenção de sinais

(61)

60

FIGURA 36 - Tensão em plano inclinado

1.10. CONSIDERAÇÕES DE PROJETO

1.10.1. Limite de Resistência de um material

Este parâmetro informa à carga última, ou de ruptura do material. É obtido por meio de ensaios de laboratório, em que uma amostra submetida a esforços de tração ou compressão recebe acréscimos de carga até que a peça rompa ou que comece a su-portar menos carga (Perda de resistência). Essa força máxima é conhecida como carga

limite, P_u, e, ao dividi-la pela área de aplicação da carga, obtém-se a tensão normal

limite do material.

A P _u

u =

σ (1.13)

Para o cálculo da tensão de cisalhamento limite, existem vários métodos existentes. No entanto, o mais comum é por meio do ensaio de torção. Outro método é a aplicação de uma força cisalhante na amostra até o rompimento, porém, este método não é usual.

(62)

1.10.2. Tensão admissível e coeficiente de segurança

Por questões de segurança, não são utilizadas as tensões limites, também conhecidas como tensões de ruptura, no projeto. Utiliza-se uma fração da tensão limite conhecida

como tensão admissível (σ _adm). A relação entre as tensões limite e admissível é

co-nhecido como coeficiente de segurança (fator de segurança), expressão pela equação.

Admissível Tensão Limite Tensão S C . .= (1.14)

Obviamente, a tensão admissível deverá sempre ser menor que a tensão limite. Para a definição de um correto C.S. diversos fatores devem ser observados, uma vez que a escolha de um valor muito pequeno aumenta o risco de falha do material, enquanto um muito elevado torna o projeto, economicamente inviável.

Para a escolha do C.S. ,o engenheiro deve considerar:

• Incerteza nas propriedades do material • Incerteza de cargas

• Incerteza das análises

• Número de ciclos de carga • Tipos de falha

• Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração • Importância da barra para a integridade de toda estrutura • Risco à vida e à propriedade

• Influência sobre a função da máquina

Geralmente os coeficientes de segurança são definidos por normas técnicas ou por especificações de projeto.

No Brasil, as principais normas regulamentadoras são:

(63)

62 E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.17. Os componentes AB e BC da treliça mostrada abaixo, são feitos do mesmo

material. Sabe-se que a tensão de ruptura para esse material é 300 MPa, que o diâmetro dos componentes da treliça são iguais a 50 mm e que o coeficiente de segurança adotado é 2,8. Determine a tensão normal média para os componen-tes AB e BC quando submetidos a um carregamento P igual a 100 kN e informe se para esse carregamento o projeto é aprovado, ou seja, a tensão atuante é me-nor ou igual a tensão admissível.

Resolução:

Para a resolução deste exercício deve-se primeiro calcular os esforços atuantes em cada componente da treliça. Neste caso isso é possível analisando apenas o nó B, ao fazer o somatório de forças em y, é possível perceber que a componente de força vertical da barra AB deve anular a força P.

Desta forma:

O valor do ângulo θ pode ser encontrado

por meio da seguinte equação:

FIGURA 37 (b) - Equilíbrio nó B

(64)

E E X X E E R R C C Í Í C C I I O O S S R R E E S S O O L L V V I I D D O O S S Substituindo os valores na

Substituindo os valores na equação acima, encontra-se:equação acima, encontra-se:

F

F _AB_AB .. sen sen 26,565º26,565º = = 100100 kNkN

F

F _AB_AB = = 223,61223,61 kNkN

Logo:

Ao fazer o somatório de forças em

Ao fazer o somatório de forças em x percebe-se que a componente horizontal de ABx percebe-se que a componente horizontal de AB

deve anular a força atuante em BC.

Substituindo os valores encontrados anteriormente, encontra-s

Substituindo os valores encontrados anteriormente, encontra-se o e o valor de BC.valor de BC.

F

F _BC_BC = = 223,61223,61 .. cos cos 26,56526,565 = = 200200 kNkN

Posteriormente deve-se calcular a tensão normal média atuante em cada barra da

tre-liça, utilizando a equação (1.1).

liça, utilizando a equação (1.1).

A A P P = = σ σ Substituindo os valores

Substituindo os valores encontrados:encontrados:

Após

Após o cáo cálculo lculo das das tensões tensões deve-se deve-se calcular calcular a tea tensão nsão admissível admissível e vee verificar rificar se ase as tens tensõessões

são menores ou igual a tensão admissível. O cálculo da tensão admissível é dado pela

equação 1.14.

(65)

64 64 E E X X E E R R C C Í Í C C I I O O S S R R E E S S O O L L V V I I D D O O S

S_1.18._1.18. Considerando a treliça e o carregamento do exercício anterior e sabendo queConsiderando a treliça e o carregamento do exercício anterior e sabendo que

a tensão de cisalhamento admissível dos pinos é 80 MPa, determine o menor

diâmetro para o pino em A.

FIGURA 38

-FIGURA 38 - Exercício Resolvido 1.18Exercício Resolvido 1.18

Fo

Fonte: Elante: Elaborada borada pelo aupelo autor tor

Resolução:

Como calculado no exercício resolvido 1.17, a força atuante na barra AB é igual a

223,6 kN. Com isso, deve-se substituir os valores na

223,6 kN. Com isso, deve-se substituir os valores na equação (1.3).equação (1.3).

A A F F med med == τ τ

Substituindo os valores, é possível encontrar a área admissível à aplicação da força.

Uma vez encontrada a área, é possível determinar o diâmetro.

(66)

E E X X E E R R C C Í Í C C I I O O S S R R E E S S O O L L V V I I D D O O S S 1.19.

1.19. _{Quatro parafusos de aço devem ser usados para fixar a chapa de aço em uma viga}_{Quatro parafusos de aço devem ser usados para fixar a chapa de aço em uma viga}

de madeira, conforme mostrado na figura 39. Sabendo que a chapa suportará uma

carga P de 180 kN, que o limite da tensão de cisalhamento do aço utilizado é 360

MPa e que é desejado um coeficiente de

MPa e que é desejado um coeficiente de segurança de 3,3, determine os diâmetrosegurança de 3,3, determine os diâmetro

dos parafusos.

FIGURA 39

-FIGURA 39 -Exercício Resolvido 1.19Exercício Resolvido 1.19

Fo

Fonte: Elante: Elaborada pborada pelo autoelo autor r

Resolução:

Primeiramente deve-se calcular a força em cada parafuso:

Utilizando-se da equação 1.4 para acharmos a força de ruptura temos:

Com o valor da força de ruptura, podemos calcular o diâmetro:

(67)

66 66 E E X X E E R R C C Í Í C C I I O O S S R R E E S S O O L L V V I I D D O O S

S_1.20._1.20. Quatro parafusos de aço com 25 mm de diâmetro devem ser usados para fixar aQuatro parafusos de aço com 25 mm de diâmetro devem ser usados para fixar a

chapa como mostra a figura do exercício anterior. Sabendo que a chapa

suporta-rá uma carga de 100 kN

rá uma carga de 100 kN e que a tensão de e que a tensão de cisalhamentcisalhamento limite do o limite do aço utilizadoaço utilizado

é 360 MPa, determine o coeficiente de segurança para o projeto.

Resolução:

Primeiramente, deve ser calculado a tensão de cisalhamento média atuante nos pinos,

por meio da equação 1.3.

Uma vez determinada a

Uma vez determinada a tensão atuante determina-se o coeficiente de segurança atra-tensão atuante determina-se o coeficiente de segurança

atra- vés da equaç

vés da equação 3.14ão 3.14

. . . .S S C C rup rup adm adm σ σ σ σ == Logo Logo

(68)

E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.16. A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para

os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for

τ_rup = 300 MPa e P = 50 kN. Use um coeficiente de segurança igual 3,2.

(69)

S1.17. Considerando a figura do exercício anterior, pede-se:

Determine o C.S. do sistema sabendo que, τ_rup = 300 MPa, τ_atuante = 40 kN

e o diâmetro do parafuso é 10 mm.

(70)

1.18. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura à tração é

τ_rup = 450 MPa. Usando um coeficiente de segurança igual a 2, determine o

menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada.

(71)

S1.19. Na estrutura de aço é usado um pino de 8 mm de diâmetro em A e um de 10

mm de diâmetro em B e C. O limite da tensão de cisalhamento é 140 MPa em todas as conexões e o limite da tensão normal é 400 MPa na barra BC. Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança igual a 3,2, determine o maior valor da carga P que pode ser aplicada em B.

(72)

1.20. Resolva o problema anterior considerando que foram utilizados pinos de 12 mm

em toda as conexões.

(73)

Biografia

ROBERT HOOKE

Cientista experimental que nasceu na Inglaterra em 1635 e faleceu em 1703. Hooke, assim como Newton, foi um dos cientistas mais renomados do século XVII. Foi membro da Sociedade Real de Londres (The Royal Society of London for the Improvement of Natural Knowledge), instituição esta des-tinada ao desenvolvimento do conhecimento científico. Sua principal contribuição para a Resistência dos Materiais foi a descoberta da Lei de Hooke, que relaciona a tensão e defor-mação em um corpo no regime elástico linear.

(74)

2.

TENSÃO E DEFORMAÇÃO

-CARREGAMENTO AXIAL

2.1. INTRODUÇÃO

O capítulo 2 aborda as tensões e deformações causadas por um carregamento axial. O capítulo conceitua deformação e analisa o conhecimento básico sobre o tema que é de elevada importância para a Engenharia.

A seção 2.2 define deformação específica normal, que é a base para o entendimento do capítulo.

As seções 2.3 e 2.4 relacionam a deformação específica normal com a tensão aplicada sobre o material. Na seção 2.4, será apresentada a Lei de Hooke de fundamental im-portância para a análise de tensão e deformação.

A seção 2.5 verifica o comportamento dos materiais submetidos a carregamentos re-petidos. Este fenômeno é conhecido como fadiga.

A seção 2.6 relaciona a lei de Hooke com a variação do comprimento inicial de um material submetido a carregamento axial.

A seção 2.7 demonstra como resolver problemas estaticamente indeterminados utili-zando o método aprendido na seção anterior.

A seção 2.8 aborda as tensões e deformações causadas pela variação de temperatura analisando o comportamento do material quando submetido a esta situação.

(75)

74

A seção 2.13 rel

A seção 2.13 relaciona o módulo de aciona o módulo de elasticidade, o celasticidade, o coeficiente de Poeficiente de Poisson e o módulooisson e o módulo

de rigidez. Esta relação será importante no caso de se conhecer somente duas das três

constantes.

Por último, a seção 2.14

Por último, a seção 2.14 apresenta o Princípio dapresenta o Princípio de Saint-e Saint-VVenant que seenant que será utilizado para rá utilizado para aa

análise de tensões cujo carregamen

análise de tensões cujo carregamento não seja aplicado de forma distribuída no material.to não seja aplicado de forma distribuída no material.

2.2.

2.2. DEFORMAÇÃO

DEFORMAÇÃO

ESPECÍFIC

A NORMAL

Ao ap

Ao aplicar umlicar uma carga a carga axial Paxial P, de , de compressão compressão ou traçãou tração, em o, em uma bauma barra a rra a mesma tmesma tende aende a

mudar de tamanho e forma, conforme mostra na figura 43.

FIGURA 43

-FIGURA 43 - Deformação específica normalDeformação específica normal

Fo

Fonte: Elante: Elaborada borada pelo aupelo autor tor

Define-se deformaçã

Define-se deformação normal média o normal média ((ε ε ) como a relação entre a variação de compri-) como a relação entre a variação de

compri-mento (

mento (δ δ ) e o comprimento inicial de uma barra (L) e o comprimento inicial de uma barra (L_i_i) submetida a um carregamento) submetida a um carregamento

axial (P), ou seja: axial (P), ou seja: i i L L δ δ ε ε == (2.1)(2.1) O valor de

O valor de δ δ é obtido pela diferença: é obtido pela diferença: i i f f LL L L −− = = δ δ (2.1)(2.1)

(76)

Em que

Em que L L_f_f é o comprimento final da barra e é o comprimento final da barra e L L_i_i o comprimento inicial. o comprimento inicial.

Como

Como δ δ e L possuem unidades de comprimento, percebe-se que a deformação ( e L possuem unidades de comprimento, percebe-se que a deformação ( ε ε ))

é adimensional.

Para um valor de

Para um valor de ε ε positivo, tem-se um aumento no comprimento da barra. Se o valorpositivo, tem-se um aumento no comprimento da barra. Se o valor

for negativo, o comprimento foi diminuído.

2.3.

2.3. DIAGRA

DIAGRA

MA T

ENSÃO-DEFO

RMAÇ

ÃO

Com dados obtidos em ensaios de tração ou compressão, obtém-se os valores de

ten-sões e suas respectivas deformações no corpo de prova. O gráfico constr

sões e suas respectivas deformações no corpo de prova. O gráfico construído com essesuído com esses

valores

valores é é conhecido como conhecido como diagrama de diagrama de tensão-defortensão-deformação, mação, conforme figura conforme figura 44, 44, emem

que

que ε ε é a abscissa e é a abscissa e σ σ é a ordenada. é a ordenada.

FIGURA 44

-FIGURA 44 -Diagrama Tensão-Deformação GenéricoDiagrama Tensão-Deformação Genérico

Legend

Legenda:a:

1

1 - - Comportamento Comportamento elásticoelástico

2

2 - - ComportComportamento amento plástico plástico ouou

parcialmente plástico

A

A - Reg- Região elásião elásticatica

B

B - - EscoamentEscoamento o do do material material parapara

uma tensão constante

C

C -- Endurecimento por deformaçãoEndurecimento por deformação

D

D - - EstricçãoEstricção σ

(77)

76

Por meio do diagrama, é possível concluir algumas informações importantes sobre o

material, por exemplo: tensão de escoamento e ruptura; região elástica; definir se o

material é dúctil (suporta grandes deformações antes de romper) ou frágil (possuem

pouco ou nenhum escoamento), etc.

Caso a tensão aplicada seja menor ou igual à tensão limite de proporcionalidade, ao

retirar a tensão aplicada, a deformação irá retroceder a zero. Caso a tensão seja maior,

haverá uma deformação permanente, sendo encontrada ao traçar uma reta paralela á

reta do regime elástico, do ponto com as coordenadas encontradas no momento da

aplicação da carga até o eixo das deformações.

Caso o material não possua um limite de proporcionalidade bem definido, pode-se

usar a tensão de escoamento como a tensão limite de proporcionalidade, pois

acarre-tará em um erro muito pequeno, uma vez que são valores, extremamente próximos.

tará em um erro muito pequeno, uma vez que são valores, extremamente próximos.

É

É importante importante ressaltar ressaltar que que na na prática prática é é muito muito difícil difícil diferenciar diferenciar a a TTensão ensão dede

Escoamento

Escoamento Limite e Limite e o limite o limite de proporcionade proporcionalidade. Assim, lidade. Assim, é muito é muito comum comum consi-

consi-derar esses dois pontos sendo apenas um, ou seja, o

derar esses dois pontos sendo apenas um, ou seja, o limite elástico,limite elástico,σσ_E_E..

V

Vale ale lembrar lembrar que que existem existem dois dois diagramas diagramas de de tensão-defortensão-deformação, mação, o o teórico teórico e e o o real.real.

O primeiro, utiliza a seção transversal do corpo de prova constante ao longo de todo

ensaio, ou seja, não considera o decréscimo de área das seções do material, causado

pela estricção. No diagrama genérico apresentado, a área para o cálculo das tensões é

constante.

O segundo diagrama utiliza as

O segundo diagrama utiliza as tensões reais, considerando o decréscimo da área. Mes-tensões reais, considerando o decréscimo da área.

Mes-mo que o primeiro diagrama seja menos preciso que o segundo, ele é utilizado na

mo que o primeiro diagrama seja menos preciso que o segundo, ele é utilizado na

Engenharia pois

Engenharia pois apresenta resultados aceitáveis.apresenta resultados aceitáveis.

2.

4.

4. LE

LE

I DE

HOOKE

A

A maioria dos maioria dos materiais de materiais de Engenharia possui uma Engenharia possui uma proporcionaproporcionalidade entre lidade entre tensão etensão e

deformação no regime elástico. Este fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676

e, por isso, é conhecido como Lei de Hooke.

ε

σ

σ ₌₌_E_E⋅⋅ _(2.3)_(2.3)

Em que E é o módulo de elasticidade (também conhecido como Módulo de Young),

obtido pela inclinação da reta na fase elástica do diagrama de tensão-deformação. O

módulo de elasticidade é dado pela divisão da tensão do limite de proporcionalidade

pela respectiva

(78)

(2.4) Vale lembrar que a lei de Hooke só é valida para materiais com comportamento linear

elástico e com tensões menores ou iguais à tensão limite de proporcionalidade.

2.5. CARREGAMENTOS REPETIDOS - FADIGA

Quando uma tensão é aplicada milhares ou até milhões de vezes ao material, este ten-de a romper mesmo que a tensão aplicada seja muito menor que a tensão ten-de ruptura. Este fenômeno é conhecido como fadiga.

Quando um material rompe por fadiga, a falha será de natureza frágil, não apresentan-do grandes deformações, mesmo em materiais dúcteis.

Para definir o número de ciclos de carregamentos que levam à ruptura do material, realizam-se ensaios em que uma tensão é aplicada repetidamente. O mesmo ensaio é

repetido para vários valores de σ e, posteriormente constrói-se a curva _σ− n, em

que n é o número de ciclos necessários para a ruptura do material.

(79)

78

2.6. DEFORMAÇÕES SOB CARREGAMENTO AXIAL

Considerando uma barra homogênea de comprimento L e seção transversal uniforme de área A, submetida a uma carga axial P, cujo a tensão P/A não ultrapasse o limite de proporcionalidade, pode-se escrever a lei de Hooke como:

ε ⋅ = E A P _(2.5) Ou, ainda: E A P ⋅ = ε (2.6)

Ao igualar a equação (2.6) com a equação (2.1), tem-se:

E A P L = ⋅ δ _(2.7) Logo: E A L P ⋅ ⋅ = δ (2.8)

Essa equação só pode ser usada se o módulo de elasticidade E, for constante, se a seção transversal for uniforme e se a força for aplicada em suas extremidades. Caso contrário, a barra deve ser dividida de forma que satisfaça estas condições. Com isso, a variação de comprimento será dada por meio do somatório das variações das partes da barra.

∑

⋅ ⋅ = n n n n n E A L P δ (2.9)

Aplicando-se a soma de Riemann para todas as barras, pode-se integrar a equação an-terior para obtermos a variação total.

(80)

E X E R C Í C I O S R E S O L V I D O S EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2.1. Uma barra de aço com comprimento igual a 2 m aumenta 1 mm no comprimento

quando lhe é aplicada uma força de tração igual a 15 kN. Sabendo que E=200 GPa, determine o diâmetro da barra na situação deformada e a tensão normal média correspondente. Desconsiderar a estricção da peça (regime elástico linear).

Resolução:

Como foi fornecido o comprimento inicial e a variação desse comprimento, é possível determinar a deformação da barra:

Uma vez conhecida a deformação na barra, calcula-se a tensão atuante na mesma.