Matemática 2
Matemática 2
01.
01. Cada quadrado pequeno ilustrado na figura tem lado 2. Qual é a área doCada quadrado pequeno ilustrado na figura tem lado 2. Qual é a área do polígono ABCDE? polígono ABCDE? A A BB E E D D C C Resposta: 64 Resposta: 64 Justificativa: Justificativa:
O polígono pode ser decomposto no triângulo ABE e no quadrado BCDE que O polígono pode ser decomposto no triângulo ABE e no quadrado BCDE que tem lado
tem lado 4422++6622 . Logo, a área em questão é 1/2.6.4+4. Logo, a área em questão é 1/2.6.4+422+6+622= 12+16+36=64.= 12+16+36=64. Alternativamente, a área em questão é i
Alternativamente, a área em questão é igual à área do quadrado maior mgual à área do quadrado maior m enosenos três veze
três vezes a área do triângulo ABE. s a área do triângulo ABE. Logo, a área é 10.10 – 3.1/2 . Logo, a área é 10.10 – 3.1/2 . 6.4 =64.6.4 =64.
02.
02. Para rebocar uma parede, será necessário preparar 420kg de uma mistura comPara rebocar uma parede, será necessário preparar 420kg de uma mistura com cimento, saibro e areia na proporção de 1 : 2 : 4. Indique quantos quilos de cimento, saibro e areia na proporção de 1 : 2 : 4. Indique quantos quilos de cimento serão necessários.
cimento serão necessários. Resposta: 60
Resposta: 60 Justificativa: Justificativa:
Seja x a quantidade de cimento. Então x+2x+4x = 420
Seja x a quantidade de cimento. Então x+2x+4x = 420 ∴∴7x = 4207x = 420∴∴x = 60x = 60
03.
03. Um filtro de ar retém 0,7g de poeira para cada 100mUm filtro de ar retém 0,7g de poeira para cada 100m33
de ar filtrado. Indique de ar filtrado. Indique quantos gramas de poeira são retidos de 8000m
quantos gramas de poeira são retidos de 8000m33de ar filtrado.de ar filtrado. Resposta: 56 Resposta: 56 Justificativa: Justificativa: P = 0,7.10 P = 0,7.10-2-2.8.10.8.1033= 7.8 = 56= 7.8 = 56 04.
04. Na figura a seguir, as quatro Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mcircunferências têm o mesmo centro, e seus raiosesmo centro, e seus raios são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p.
Resposta: 80 Justificativa:
Sejam A1, A2, as áreas dos anéis menor e maior, respectivamente. Temos 8 , 1 5 9 4 9 16 25 A A 1 2 = = π − π π − π = e p = 80
05. A figura abaixo ilustra a planificação de uma pirâmide de base quadrada com
lado medindo b e faces laterais formadas por triângulos isósceles com um lado medindo b e os outros dois medindo a. Analise as afi rmações.
a
b
0-0) A soma dos comprimentos das arestas da pirâmide é 4(a + b) 1-1) A área da superfície da pirâmide é b2 + 2b 4
b a 2 2 − 2-2) a > b/2 3-3) A altura da pirâmide é 4 b ) 4 b a ( 2 2 2 − − 4-4) O volume da pirâmide é 3 1 b2a Resposta: VVVVF Justificativa:
0-0 e 2-2 são claram ente verdadeiras.
1-1 e 3-3 são conseqüências do teorema de Pitágoras. 4-4 é falsa, pois a altura da pirâmide é menor do que a.
06. A figura a seguir il ustra a região sólida R de um cone reto, compreendida entre
duas seções meridianas que formam, entre si, um ângulo θ. Indique o volume
de R, sabendo que a altura do cone é 5, o raio de sua base é 3 e θ = 2
radianos.
Resposta: 15 Justificativa:
Volume de R = 1/3 (altura x área da base) = 1/3 . 5 . 1/2.2 . (32) = 15
07. Dentre os retângulos com um vértice na origem de um sistema de coordenadas
cartesianas xOy, um vértice no eixo positivo das abscissas, outro no semi-eixo positivo das ordenadas e o quarto vértice na reta 9x+5y=45, existe um que tem a maior área. Assinale o perímetro deste retângulo.
Resposta: 14 Justificativa:
O vértice do retângulo que está sobre a reta situa-se no primeiro quadrante. Se o ponto no eixo das abscissas tem coordenada x, então, a altura do retângulo é (45-9x)/5, e sua área é x(45-9x)/5 que tem valor máximo para x=(0+45/9)/2=5/2. A altura do triângulo de área máxima é 9-9/5.5/2=9/2 e seu perímetro é 2(5/2+9/2)=14.
08. Os pontos F1 e F2 são os focos de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo
eixo menor mede 6. Indique a soma dos perímetros dos triângulos ACF1, BCF2 e F1F2D. A B C F1 F2 D Resposta: 38 Justificativa:
A soma pedida é igual a BF2+BF1+AF2+AF1+DF2+DF1+F1F2 = 3.10 + F1F2. Temos 2 2 1 2 F F ¡ ¢ ¤ ¥ +32 = 52 e 2 F F1 2
= 4. A soma pedida é, portanto, 3.10 + 8 = 38
09. Determine a abscissa x0 do ponto da reta y = 7x – 3 que está a menor
distância do ponto (1,3). I ndique 100x0. Resposta: 86
Justificativa:
Justificativa: O quadrado da distância entre um ponto (x, 7x – 3) da reta e o ponto (1,3) é (x-1)2 + (7x – 3 – 3)2 = 50x2– 86x + 37, que tem mínimo para
x0 = 86/100 = 0,86.
10. Na ilustração abaixo, temos um cone reto com geratriz 10cm e raio da base
6cm, assim como sua planificação. Uma formiga, inicialmente no ponto A da base do cone, poderá atingir o ponto B, caminhando sobre a superfície do cone. Se o ponto B é o ponto médio de uma geratriz VC e o arco AC da base mede 5π /9 radianos, determine a menor distância d que a formiga percorrerá para alcançar o ponto B. Indique d2.
A B C A C B V V Resposta: 75 Justificativa:
O arco AC na circunferência da base mede 5π /9.6 = 10π /3. Na planificação, o ângulo AVC mede (10π /3)/10 = π /3 radianos. Usando a Lei dos cosenos, temos d2= 102+ 52– 2.10.5cos(π /3) = 125 – 50 = 75.
11. O triângulo ABC ilustrado a seguir tem os lados AB e AC medindo 6 e 5,
respectivamente, e o ângulo BAC medindo 120o . Determine o volume V do sólido obtido quando o triângulo ABC gira em torno de uma reta contendo o lado AC. Indique V/ π.
B
A C
Resposta: 45 Justificativa:
O sólido é obtido retirando-se, de um cone de raio da base 6sen 60o= 3 3
e altura 5 + 6cos 60o = 8, um cone de mesmo raio da base e altura 3. O sólido tem volume V = π(3 3)2(8-3)/3 = 45π.
12. Seja G o baricentro do triângulo ABC e sejam I e J os pontos médios dos
segmentos AG e BG. Analise as afirmações a seguir.
A B
C
L K
I J
G
0-0) O segmento IJ é paralelo ao lado AB. 1-1) O segmento KL mede metade do lado AB. 2-2) Os segmentos IJ e KL são congruentes. 3-3) Os segmentos IJ e KL são paralelos. 4-4) IJKL é um paralelogramo.
Resposta: VVVVV Justificativa:
Como I e J são os pontos médios de AG e BG, respectivamente, segue que IJ é paralelo a AB e mede metade de AB. Analogamente, LK é paralelo a AB e mede metade de AB. Portanto, 0-0, 1-1, 2-2 e 3-3 são verdadeiros. Como IJ e KL são paralelos e congruentes, temos que IJKL é um paralelogramo.
13. Quantos ângulos triedros ficam determinados por três retas não-coplanares e
concorrentes em um mesmo ponto? Resposta: 08
Justificativa:
Temos seis semi-retas com origem na interseção das três retas. Para a escolha da primeira semi-reta, temos seis possibilidades, da segunda, quatro possibilidades, e da terceira, duas possibilidades, resultando em 6.4.2/6 = 8 ângulos triedros (observe que, permutando-se as três semi-retas, o triedro fica inalterado).
As informações abaixo referem-se às duas questões seguintes:
Seja ABC um triângulo isósceles com AB = AC = 2BC e BC = 10 15. Seja I o incentro do triângulo, e D o ponto onde a circunferência inscrita intercepta o lado AB.
A
B C
D
I
14. Determine o raio da circunferência inscrita no t riângulo ABC.
Resposta: 15 Justificativa:
A altura do triângulo ABC mede
(
BC/ 2)
4BC BC / 4 15BC/ 2AB2 − 2 = 2 − 2 = e sua área mede
BC.( 15.BC/2)/2 = BC2 15/ 4. Portanto, se r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo ABC, temos (BC+AB+AC).r/2 = BC2 15/ 4 ou 5BC.r/2 =
4 / 15 BC2 e segue que r = BC 15/10 = 15 15 = 15. 15. Calcule BD e indique BD2/5. Resposta: 75 Justificativa: Temos BD2 = BI2 – r2 = r2 + (BC/2)2 – r2 = (BC/2)2 = BC2/4 = (10 15)2/4 = 5.75. Alternativamente, tem-se que BD = BE = BC/2, onde E é o ponto de tangência da circunferência ao lado BC.
16. Na ilustração a seguir, os pontos P1, P2, P3e P4são pontos médios das arestas
VA1, VA2, VA3e VA4. Se a pirâmide VA1A2A3A4tem volume 480, qual o volume da pirâmide VP1P2P3P4? V A1 A2 A3 A4 P4 P3 P2 P1 Resposta: 60 Justificativa:
As pirâmides são semelhantes com razão de semelhança 2. Logo, o volume de VP1P2P3P4 é 480/23= 60.
17. Considerando z = (1 + 3 i)/2, analise as afirmações a seguir:
0-0) A forma trigonométrica de z é cos(π/3) +isen(π/3).
1-1) z6 = 1
2-2) Os afixos de z, z3, z5são vértices de um triângulo eqüilátero. 3-3) Os afixos de z, z2, z4e z5 são vértices de um quadrado. 4-4) z3 = 1.
Resposta: VVVFF Justificativa:
z forma com o semi-eixo positivo das abscissas um ânguloθtal que senθ=
3 /2 e cosθ= ½ logo, θ =π/3 e z = cos(π/3) +isen(π/3). Daí z3= cos(3π/3)
+isen(3π/3) = -1 e z6 = 1. Segue que 0-0 e 1-1 são verdadeiras e 4-4 é falsa.
Temos também que 1, z, z2, z3, z4, z5 são vértices de um hexágono regular. A distância entre z3 e z e entre z3 e z5 é dada por 9/ 4+3/ 4 = 3 ; a distância entre z e z5 é 2. 3/2 = 3 . Portanto, os afixos de z, z3 e z5 formam um triângulo eqüilátero; logo, 2-2 é verdadeira. A distância entre z e z2 é 1 e entre z e z5é 3 ; logo, os afixos de z, z2, z4, z5não são vértices de um quadrado e 3-3 é falsa.
18. A ilustração abaixo representa parte do gráfico de um polinômio cúbico p(x)
com coeficientes reais e coeficiente dominante positivo. O gráfico do polinômio passa pelos pontos (-1,0) e (2,0).
-3 -2 -1 0 1 2 3 -50 -100 -150 -200 x y
Considerando as inform ações acima, analise as alternativas a seguir: 0-0) p(x) admite exatamente duas raízes reais.
1-1) p(x) ≤100, para todo x real.
2-2) p(x) é divisível por x2– x – 2.
3-3) p(x) admite uma raiz complexa não real. 4-4) p(x) ≥-250, para todo x real.
Resposta: FFVFF Justificativa:
Como p(x) é ilimitado para x positivo, temos que p(x) admite três raízes reais; portanto, 0-0, 1-1 e 3-3 são falsas. Como –1 e 2 são raízes de p(x), temos que p(x) é divisível por (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2; logo, 2-2 é verdadeira. Para x negativo, p(x) não admite valor mínimo.
19. Encontre a raiz racional x da equação
0 x x 2 x x x 3 x 1 x 3 x 2 2 2 + = + + − − + − + e indique -30x. Resposta: 50 Justificativa:
Multiplicando a igualdade por (x – 1)x(x + 1), obtemos x(x + 3) + (x + 1)(x – 3) + (x – 1)(x + 2) = 0 que se simplifica como 3x2 + 2x – 5 =0 que tem raízes x = (-2 ± 64 )/6 = -5/3 e 1. x = 1 não é raiz da equação e –30.(-5/3) = 50.
20. Um cilindro reto de raio da base 8cm e altura 30cm está inscrito em uma
superfície esférica. Calcule o volume V, em cm3, da região da esfera exterior ao cilindro e indique a soma dos dígitos do inteiro mais próximo de V. Aproxime π
por 3,14.
Resposta: 14 Justificativa:
O raio da esfera mede 82+152 =17cm, e o volume da região considerada é 4π173/3 -π.82.30 = 14540,29.
21. Na ilustração a seguir, a circunferência passa pelos vértices A e B do quadrado
ABCD e é tangente ao lado CD. Se o quadrado tem lado 12, indique o diâmetro da circunferência.
A B
D C
Resposta: 15 Justificativa:
Considere o triângulo com vértices no centro da circunferência, no vértice A e no ponto médio de AB. Se r é o raio da circunferência, temos (12-r)2+62= r2 que se simplifi ca como 180-24r = 0 e daí r = 7,5.
22. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado medindo 12, e ABE e CDF são
triângulos equiláteros. Indique o inteiro mais próximo da área do quadrilátero EGFH. (Obs.: Use a aproximação 3 ≅1,73.)
A B D C E F G H Resposta: 22 Justificativa:
Solução: EGFH consiste de dois triângulos equiláteros congruentes: EGH e FGH. O ângulo BCH mede 30oe, portanto, cos30o=6/CH; logo, CH=4 3 e o lado do triângulo EGH mede 12-4 3 . A área do quadrilátero EGFH mede 2.(12-4 3)2 3 /4=8(12-6 3 ) 3 = 96 3 -144≅22,08.
23. As expressões numéricas x-5, 2x-9, 3x-13 e 4x-3 podem ser reordenadas de
modo que a soma das duas primeiras seja 30, e a soma das duas últimas seja 60. Qual o maior dos quatro números?
Resposta: 45 Justificativa:
A soma das quatro expressões é 90. Portanto, x-5+2x-9+3x-13+4x-3=90 e daí 10x=120 e x=12. Os números são 7, 15, 23 e 45.
24. Na ilustração abaixo, os segmentos AB e EF são paralelos. Determine a soma
S, em graus, dos ângulos indicados com vértices nos pontos B, C, D e E. Indique S/10. A B C D E F Resposta: 54 Justificativa:
Seja G o pé da perpendicular a AB, passando por A . O polígono ABCDEG tem a soma dos ângulos internos dada por (6-2).180o=4.180º A soma dos ângulos indicados é 4.180o-180o=3.180o=540º.
25. O círculo da ilustração abaixo tem raio 6, o ângulo BOC mede 60o
e os ângulos AOB e COD medem 30o. Qual o inteiro mais próximo da área da região colorida? (Obs.: use a aproximação π≅3,14.)
B A D C O Resposta: 19 Justificativa:
A área do setor OABCD é 1/3.π.62=12πe a do setor OBC é 1/6.π.62=6π. O
triângulo OAD tem área 62.sen120o/2=9 3 e o triângulo OBC tem área 62 3/4=9 3 . A área da região colorida é 12π-9 3 -(6π-9 3 )=6π ≅
18,84.
26. O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces regulares
pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60, e o de arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais?
Resposta: 20 Justificativa:
Da relação de Euler obtemos 60 – 90 + F = 2 e F = 32. Se x é o número de faces hexagonais, temos que existem 32 – x faces pentagonais e, contando o número de arestas, temos 6x + 5(32 – x) = 2.90, que equivale a x = 180 – 160 = 20.
27. Na ilustração a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, a circunferência maior está
inscrita no triângulo a as duas menores são tangentes à maior e a dois lados do triângulo. Se o triângulo tem l ado medindo 18, qual o maior inteiro menor que a área da região colorida? (Dado: use as aproximações 3 ≅1,73 eπ ≅3,14.)
A
B
C
Justificativa:
A circunferência maior tem raio 1/3.18. 3 /2 = 3 3 . As circunferências menores estão inscritas em triângulos eqüiláteros de altura 9 3 - 2(3 3 ) = 3 3 ; logo, têm raio 1/3.3 3 = 3 . A soma das áreas limitadas pelas circunferências é π((3 3 )2 + 2. 3 2) = 33πe a área colorida é 182 3 /4 –
33π ≅36,51.
28. Na ilustração abaixo, o ponto P está no interior do triângulo ABC, e por P são
traçadas paralelas aos lados AB, AC e BC que interceptam estes lados nos pontos D, E, F, G, H e I. Se ABC é eqüilátero de lado 100, DE = 25 e FG = 45, qual a medida de HI?
A B C D E F I H G P Resposta: 30 Justificativa:
Os triângulos ABC, DEP, FGP e HIP são todos semelhantes. Portanto, DE/AB + FG/BC + HI/AC = DE/AB + PF/AB + PI/AB = (EB + DE + AD)/AB = 1. Daí 25/100 + 45/100 + HI/100 = 1 e HI = 30.
29. Na ilustração abaixo, ABCD é um quadrado, e EFGHIJ é um hexágono regular
com os vértices E, G, H e J, nos lados AB, BC, CD e DA do quadrado, respectivamente. A diagonal FI do hexágono está contida na diagonal AC do quadrado. Se o quadrado tem lado 100, qual o inteiro mais próximo do lado do hexágono? (Dado: use a aproximação: cos 15o ≅0,96.)
A B D C E G F H I J Resposta: 52 Justificativa:
Seja O o centro do hexágono (ou do quadrado), e seja K o pé da perpendicular por O ao lado AB. Temos que o triângulo KOE tem o ângulo EOK medindo 60o– 45o= 15o; daí cos 15o= OK/OE e OE = 50/0,96≅52,08.
30. Um tablete de doce de goiaba tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo
de dimensões 10cm, 8cm e 6cm. O tablete foi embrulhado em papel celofane e dividido em cubos de aresta 1cm. Analise as afirmações abaixo, a partir destes dados:
0-0) Existem 480 cubos de aresta 1cm.
1-1) Existem 245 cubos sem qualquer face coberta pelo papel.
2-2) Existem 208 cubos com exatamente uma face coberta pelo papel. 3-3) Existem 36 cubos com exatamente duas faces cobertas pelo papel. 4-4) Existem 8 cubos com exatamente três faces cobertas pelo papel. Resposta: VFVFV
Justificativa:
O número de cubos é 10.8.6 = 480, logo, 0-0 é verdadeira. O número de cubos sem qualquer face coberta de papel é (10 - 2)(8 - 2)(6 - 2) = 192; logo, 1-1 é falsa. O número de cubos com uma face coberta pelo papel é 2(8.6 + 8.4 + 6.4) = 208; logo, 3-3 é verdadeira. O número de cubos com duas faces cobertas de papel é 72; logo, 3-3 é falsa; existem oito cubos com três faces cobertas de papel, o que torna 4-4 verdadeira.
31. Um jogador esteve em três casas de apostas durante uma noite: na primeira,
ele dobrou a quantia que possuía ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 30,00. Na segunda, ele triplicou a quantia que tinha ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 54,00 e, na terceira, ele quadruplicou a quantia que tinha ao chegar, então gastou R$ 72,00 e observou que lhe restavam R$ 48,00. Qual a quantia, em reais, que ele tinha ao chegar à prim eira casa de apostas? Resposta: 29
Justificativa:
chegar à segunda casa de apostas ele tinha (30 + 54)/3 = 28 reais e, ao chegar à prim eira casa, ele tinha (28 + 30)/2 = 29 reais.
32. No primeiro semestre de 2003, a indústria X teve um faturamento 20% superior
ao da indústria Y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y cresceram 20% e 50%, respectivamente. No primeiro semestre de 2004, o faturamento da indústria X foi inferior em p% ao faturamento da indústria Y. Indique 10p.
Resposta: 40 Justificativa:
Se y denota o faturamento da indústria Y no primeiro semestre de 2003, então, o faturamento da indústria X, no mesmo período, foi de 1,2y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y foram de 1,2.1,2y=1,44y e 1,5y, respectivamente. Portanto, o f aturamento da indústria X foi inferior em (0,06./1,5).100%=4% ao faturamento da indústria Y.
