Applications of Ideal Quantum Systems

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Applications of Ideal Quantum

Systems

Refs.: Huang, Landau & Lifshitz, Pathria

5.1 Introduction

Neste cap´ıtulo estudaremos algumas aplica¸cões simples de sistemas ideais quânticos. Ini-cialmente, discutiremos o cálculo de valores médios para sistemas fermiônicos utilizando a densidade de estados de uma part´ıcula. Em seguida, veremos o comportamento mag-nético de um gás de Fermi – incluindo tópicos como paramagnetismo de Pauli e diamag-netismo de Landau –, o gás de fótons e, finalmente, fônons.

5.2 Density of States for Fermionic Systems

Vamos agora generalizar a passagem para o cont´ınuo das integrais fermiônicas estudadas na Se¸cão 4.4. Isto nos permitirá obter resultados bastante gerais em termos da densi-dade de estados de uma part´ıcula, que é uma grandeza utilizada para descrever tanto sistemas não-interagentes quanto, ao menos de modo aproximado, sistemas interagentes.

´

E importante frisar que, na maioria dos casos, a presen¸ca de intera¸cões faz com que se perca a individualidade das part´ıculas; isto é, os autoestados da Hamiltoniana com in-tera¸cão não podem ser escritos como produtos sobre estados de uma part´ıcula. Apesar disto, pode-se obter uma densidade de estados em que as intera¸cões sejam introduzidas através de aproxima¸cões sistemáticas.

Seja V o volume espacial (= Ld, para um hipercubo d-dimensional de lado L) ao qual as part´ıculas estão confinadas. No limite termodinâmico, o espa¸camento entre os n´ıveis de energia diminui, até formarem praticamente um cont´ınuo de estados. O número de estados com energia entre " e " + d" é, então, dado por D(")d", definindo a densidade de estados de uma part´ıcula D("). Por exemplo, para uma part´ıcula livre com spin-1/2 em três dimensões, com "p= p2/2m, já vimos que

D(") = 8⇡V_h₃ p2m3 _"1/2_, _(5.2.1)

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enquanto que em d dimens˜oes,D(") ⇠ "(d 2)/2 _(mostre!).

Assim, introduzindo o número médio de ocupa¸cão do n´ıvel de energia " (veja a Fig. 4.2),

f (") = 1

e (" µ)_{+ 1} (5.2.2)

[supõe-se que a degenerescência esteja inclu´ıda em D(")], a média termodinâmica de qualquer fun¸cão da energia, Q("), fica

hQi = Z d" D(")f(")Q("). (5.2.3) Em particular, hEi = Z d" _D(")f(")", (5.2.4) e hNi = Z d"D(")f("). (5.2.5)

A partir destes exemplos fica claro que frequentemente encontraremos integrais do tipo I =

Z ₁

"0

d" G(")f ("), (5.2.6)

onde "0 é a menor energia dos estados de uma part´ıcula, e G é uma fun¸cão de ".

De particular interesse é o comportamento destas integrais a baixas temperaturas. Para obtê-lo, suponhamos inicialmente que G seja uma fun¸cão cont´ınua e infinitamente diferenciável em " = µ, e que seja lentamente variável num intervalo da ordem de kBT

em torno deste ponto. Seja (") a primitiva de G("), isto ´e, 0(") = G("), de modo que a integra¸c˜ao por partes de (5.2.6) fornece

I = Z ₁ "0 d" f (")d d" = f (") (") 1 "0 Z ₁ "0 d" (")df d", (5.2.7) onde o primeiro termo no lado direito de (5.2.7) se anula porque f (_{1) = 0 e porque} tamb´em sup˜oe-se que ("0) = 0.

´

E fácil ver que, especialmente a baixas temperaturas, a fun¸cão df /d" assume valores muito pequenos, a não ser num intervalo da ordem de kBT perto de " = µ; veja a Fig. 4.2.

Logo, podemos levar a expans˜ao de ("),

(") = (µ) + (" µ) 0(µ) +1

2(" µ)

2 00_{(") + . . . ,} _(5.2.8)

na Eq. (5.2.7), para ser integrada termo a termo.

Estendendo o limite inferior das integrais para _{1 (o que n˜ao causa altera¸c˜oes} sig-nificativas, pois os integrandos se anulam neste limite), e usando os seguintes resultados

Z ₁

1

d" df

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Z ₁ 1 d" (" µ)n df d" = 0 (n impar), (5.2.10) Z ₁ 1 d" (" µ)n df d" = (kBT ) nZ 1 1 dx x n_ex (ex_{+ 1)}2 = = 2 (kBT )nn! 1 21 n ⇣(n) (n par), (5.2.11) obtemos I = (µ) + 1 X r=1 2 1 21 2r ⇣(2r) (kBT )2r (2r)(µ). (5.2.12)

Nas equa¸cões acima, ⇣(n) ⌘ P1l=1l n é a fun¸cão ⇣ de Riemann, cuja rela¸cão com os

n´umeros de Bernoulli, Br, ´e

⇣(2r) = 22r 1 ⇡ 2r (2r)!Br, (5.2.13) com B1 = 1 6, B2= 1 30, B3 = 1 42, B4= 1 30, B5 = 5 66. (5.2.14)

Substituindo-se 0(") por G(") temos Z ₁ "0 d" G(")f (") = Z µ "0 d" G(") +⇡ 2 6 (kBT ) 2 G0(µ) +7⇡ 4 360(kBT ) 4 G000(µ) + . . . (5.2.15) Lembrando que a baixas temperaturas a diferen¸ca entre o potencial quimico e a energia de Fermi ´e muito pequena, da ordem de ("F/kBT )2, podemos efetuar a aproxima¸c˜ao

Z µ "0 d" G(")_' Z "F "0 d" G(") + (µ "F) G("F). (5.2.16)

Com isto, a Eq. (5.2.15) pode finalmente ser escrita de uma forma que separa a con-tribui¸c˜ao do estado fundamental (como uma integral at´e "F) dos efeitos de temperatura

n˜ao-nula: I _⌘ Z ₁ "0 d" G(")f (") = Z "F "0 d" G(") + (µ "F)G("F) + ⇡2 6 (kBT ) 2_G0_{(µ) + . . . (5.2.17)}

A partir da´ı o leitor deve deduzir os seguintes resultados: ✓ @I @T ◆ µ = 1 3⇡ 2_k2 BT G0("F) +O(T3), (5.2.18) ✓ @I @µ ◆ T = G("F) +O(T2), (5.2.19) e _✓ @I @T ◆ N = 1 3⇡ 2_k2 BT 0("F)D("F) +O(T3), (5.2.20)

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onde = G/D.

Em particular, pode-se mostrar (veja o Exerc´ıcio 5.2) que o potencial qu´ımico a baixas temperaturas ´e dado por

µ_{' "}F " 1 ⇡ 2 6 ✓ d ln_D(") d ln " ◆ "="F ✓ kBT "F ◆2# , (5.2.21)

e que o calor espec´ıfico (a volume constante) e a entropia s˜ao aproximadamente iguais entre si: CV ' S ' ⇡2 3 D("F) k 2 BT. (5.2.22) ´

E importante notar que o comportamento dominante do calor espec´ıfico com a temperatura pode ser obtido a partir de um argumento bem simples, com um pequeno erro nos pré-fatores numéricos. O princ´ıpio de exclusão de Pauli impõe que apenas os férmions com energias próximas à energia de Fermi possam ser excitados termicamente; são apenas estes, portanto, que contribuem para a varia¸cão da energia interna com a temperatura e da´ı para o calor espec´ıfico. O número de férmions num intervalo da ordem de kBT em torno da energia de Fermi é

N ⇠ D("F)⇥ kBT, (5.2.23)

pois_{D fornece o número de estados por intervalo de energia, e já inclui a degenerescência} de spin. A varia¸cão na energia interna pode então ser estimada como

E _{⇠ N ⇥ k}BT = (kBT )2D("F), (5.2.24)

o que nos d´a

CV ⇠ D("F)k2BT ; (5.2.25)

este resultado deve ser comparado com (5.2.22). Este argumento também explica porque, no regime degenerado, o calor espec´ıfico de um gás de férmions tem um comportamento linear com a temperatura, para qualquer dimensão espacial e para qualquer dispersão, já que estas duas grandezas entram apenas na densidade de estados.

O procedimento adotado aqui, em termos da densidade de estados, será utilizado na próxima se¸cão.

5.3 Magnetic Behaviour of an Ideal Fermi Gas

Metais apresentam um comportamento paramagnético bastante diferente de isolantes (estes foram discutidos na Se¸cão 3.3). Em particular, veremos que a baixas temperaturas não há satura¸cão do momento magnético resultante, e que a suscetibilidade não depende da temperatura. Para isolantes, ao contrário, existe satura¸cão do momento magnético e a suscetibilidade diverge como 1/T a baixas temperaturas. A sugestão de Pauli, em 1927, de que os elétrons de condu¸cão em metais alcalinos deveriam ser tratados como um

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gás de férmions degenerado, possibilitou a compreensão deste fenômeno, hoje conhecido como paramagnetismo de Pauli.

Enquanto o paramagnetismo é proveniente do acoplamento do momento magnético intr´ınseco dos elétrons com o campo, a quantiza¸cão de suas órbitas helicoidais, em pre-sen¸ca do mesmo campo, dá origem ao diamagnetismo, fenômeno que não tem análogo clássico. Este efeito, que foi previsto primeiramente por Landau em 1930, é caracteri-zado por uma suscetibilidade negativa. A altas temperaturas a suscetibilidade tem um comportamento do tipo lei de Curie; quando T _{! 0 ela independe de T , mas depende} da densidade de part´ıculas. Mais ainda, para campos fortes, a suscetibilidade a baixas temperaturas é oscilatória, com per´ıodo da ordem de 1/H, onde H é o campo aplicado. Este comportamento é conhecido como efeito de Haas-van Alphen em homenagem a quem o observou pela primeira vez, em 1930; sua explica¸cão, todavia, só foi dada por Peierls em 1933.

Mais recentemente (c. 1980), o confinamento de elétrons a uma região bastante estre-ita, numa das interfaces de uma heteroestrutura semicondutora (i.e., uma justaposi¸cão de camadas de materiais semicondutores), possibilitou o estudo de elétrons (quase) bi-dimensionais em presen¸ca de campo magnético. Descobriu-se que a resistividade Hall, ao invés de ter um comportamento linear com o campo aplicado, como previsto classi-camente, apresentava platôs correspondentes a sub-múltiplos de um quantum de resis-tividade. Este fenômeno ficou conhecido como Efeito Hall Quântico (conhecido pela sua sigla em inglês, QHE). Medidas subsequentes mostraram que, na realidade, havia dois tipos de QHE: o inteiro (IQHE) e o fracionário (FQHE). O FQHE ainda é, hoje, objeto de intensa investiga¸cão: uma das mais promissoras explica¸cões para sua ocorrência lan¸ca mão de concep¸cões intrigantes como a de part´ıculas compostas e de fracionaliza¸cão da carga.

A seguir, discutiremos o paramagnetismo e o diamagnetismo de Landau separada-mente; basicamente, nosso objetivo será calcular a magnetiza¸cão e a suscetibilidade em cada caso. Em sequência, faremos uma discussão elementar do QHE, apresentando algumas das novas ideias.

5.3.1 Pauli Paramagnetism

Consideremos inicialmente N férmions sem carga, com massa m e momento magnético µµµ, em presen¸ca de um campo externo H. A Hamiltoniana de cada part´ıcula é

H = p

2

2m µµµ· H, (5.3.1)

representando o acoplamento de seu momento magnético intr´ınseco com o campo. Ana-lisaremos aqui o caso de spin-1/2, de modo que o momento magnético tem apenas duas orienta¸cões poss´ıveis com rela¸cão a H: µ =±µB, onde µB é o magneton de Bohr.

Este sistema pode ser imaginado como se fossem dois gases coexistindo em equil´ıbrio: um, composto de part´ıculas com spin paralelo ao campo, e outro, com spin antiparalelo

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F

(a) H = 0

D( )

F

(b) H = 0

/

D( )

BH +µ µ_BH

Figure 5.1: Schematic density of states for each spin channel, =_{", #, for the three} dimensional Fermi gas: (a) zero field; (b) non-zero field.

ao campo.1 A Fig. 5.1(a) mostra a densidade de estados (no eixo horizontal; a energia aparece no eixo vertical) para estas duas esp´ecies de part´ıculas com H = 0. Quando o campo ´e aplicado, todos os n´ıveis de energia para as part´ıculas com spin paralelo [antiparalelo] ao campo sofrem o mesmo deslocamento de µBH [+µBH]. Portanto,

como indicado na Fig. 5.1(b), a densidade de estados associada ao ‘canal’ de spin ( = _{" $} = +1; = _{# $} = 1) corresponde `a densidade de estados sem campo, transladada de µBH:

D (") = 1₂D(" + µBH), (5.3.2)

onde_{D é dado por (5.2.1) no caso tri-dimensional com dispersão quadrática; o fator 1/2} se deve ao fato de os estados que contribuem para_{D têm agora degenerescência g = 1.} O n´ıvel de Fermi é o mesmo para as duas espécies e é determinado pela posi¸cão em que a soma das áreas das duas curvas é igual ao número total de part´ıculas. Fica também aparente da figura que a maioria das part´ıculas tem spin paralelo ao campo, dando origem a uma magnetiza¸cão resultante, ao contrário do caso em que H = 0.

Para obter a magnetiza¸cão e a suscetibilidade devemos calcular N_" e N_#, o que é feito adaptando-se as expressões da Se¸cão 5.2. Assim,

N = Z ₁ 1 d" D (") f(") = Z ₁ 1 d" 1 2D(" + µBH) f ("). (5.3.3) Consideremos inicialmente T = 0, quando a fun¸c˜ao de Fermi, f ("), restringe os

1_{De agora em diante usaremos a express˜}_{ao ‘spin paralelo ao campo’ como sinˆ}_{onimo de ‘momento}

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limites superiores das integrais acima: N = Z "F µBH d" 1 2D(" + µBH) = Z "F+ µBH 0 d" 1 2D("), (5.3.4) onde se supôs, como na Fig. 5.1, que a menor energia poss´ıvel para os férmions é µBH.

No caso da densidade de estados (5.2.1), a integra¸cão em (5.3.4) é imediata, e obtemos a magnetiza¸cão como M = µB(N+ N ) = µB 4⇡V (2m)3/2 3h3 n ("F+ µBH)3/2 ("F µBH)3/2 o . (5.3.5) Como µBH ⌧ "F, temos M _' 4⇡V (2m) 3/2 3h3 µB " 1/2 F (3µBH) = 3 2 N µ2_BH "F , (5.3.6)

onde N é o número total de part´ıculas e "F é dado por (4.4.7) com g = 2, de modo que

0 ⌘ 1 N @M @H = 3 2 µ2 B "F . (5.3.7)

Estes últimos resultados são muito importantes, e devem ser comentados. A magne-tiza¸cão por part´ıcula é pequena – o termo µB vem multiplicado por um fator da ordem

de µBH/"F –, quando comparada com a obtida em isolantes que, a T = 0, atinge a

satura¸cão; isto é _{M = M/N = µ}B. Esta ausência de satura¸cão é devido à apreciável

energia de ponto zero que ocorre no gás de Fermi, de modo que flutua¸cões quânticas perturbam o alinhamento total. Assim, um pequeno campo não é capaz de aumentar a magnetiza¸cão significativamente, o que se reflete na suscetibilidade finita a T = 0. No caso dos isolantes, a suscetibilidade diverge a T = 0 porque um pequeno campo consegue um alinhamento considerável.

A temperaturas finitas procedemos de modo an´alogo. A magnetiza¸c˜ao fica M = µB(N" N#) = µB

Z d" 1

2{D(" + µBH) D(" µBH)} f("). (5.3.8) Supondo µBH⌧ "F podemos expandirD, obtendo

= M H = µ2 B N Z ₁ 0 d" D0(")f ("), (5.3.9) ondeD0_(")_{⌘ dD/d".}

A baixas temperaturas usamos a Eq. (5.2.20), com = µ2_BD0_/_{D, para obter}

✓ @ @T ◆ N = ⇡ 2 3Nµ 2 BkB2TD("F) ✓ d2ln_D d"2 ◆ "="F . (5.3.10)

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Integrando com rela¸c˜ao `a temperatura vem, finalmente, = µ 2 BD("F) N ( 1 +1 6⇡ 2_(k BT )2 ✓ d2ln_D d"2 ◆ "="F + . . . ) . (5.3.11) ´

E interessante notar que a suscetibilidade a T = 0 traz a assinatura da densidade de estados no n´ıvel de Fermi. Este aspecto se torna particularmente importante porque muitas vezes a intera¸cão entre as part´ıculas é incorporada – de modo aproximado, é claro – como uma modifica¸cão na densidade de estados. Logo, medidas experimentais da suscetibilidade a baixas temperaturas revelam, por exemplo, se a densidade de estados no n´ıvel de Fermi é grande ou pequena.

Especializando para elétrons livres em três dimensões, i.e., comD(") dado por (5.2.1), obtemos M ' 3 2 µ2 B "F H " 1 ⇡ 2 12 ✓ kBT "F ◆2# , (5.3.12) e ' 3 2 µ2 B "F " 1 ⇡ 2 12 ✓ kBT "F ◆2# . (5.3.13)

No limite de altas temperaturas, kBT "F, podemos tomar f (") ' e (" µ) na

Eq. (5.3.9) que, integrada por partes, fornece

' µ

2 B

kBT

. (5.3.14)

Como esperado, este resultado independe da densidade de estados e ´e semelhante ao comportamento paramagn´etico de isolantes, do tipo lei de Curie.

5.3.2 Landau Diamagnetism

Na sub-se¸cão anterior exploramos a intera¸cão do momento magnético intr´ınseco de um férmion com um campo magnético, dando origem ao paramagnetismo. Todavia, uma part´ıcula carregada em presen¸ca de um campo magnético, H = H ˆz, tem uma trajetória helicoidal, com eixo na dire¸cão z do campo; isto é, o movimento no plano xy é circular, e na dire¸cão z é o de uma part´ıcula livre. Poder´ıamos pensar que o movimento circular dá origem a um outro momento magnético (não intr´ınseco), que tende a se alinhar antiparalelamente ao campo. Apesar de atraente, esta imagem clássica não é suficiente para explicar o diamagnetismo, como previsto pelo Teorema de van Leeuwen: o fenômeno do diamagnetismo não existe na F´ısica Clássica; a demonstra¸cão deste teorema é pedida no Exerc´ıcio 5.3.

Consideremos, portanto, o problema sob o ponto de vista quântico, partindo de um gás de elétrons independentes; não levaremos em conta nesta discussão o spin do elétron, pois queremos enfatizar as altera¸cões no movimento orbital. O problema de uma part´ıcula carregada em presen¸ca de campo uniforme é exatamente solúvel (veja, p.ex.,

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Landau e Lifshitz, Quantum Mechanics): os movimentos nas dire¸cões perpendicular e paralela ao campo são separáveis, sendo que o primeiro contribui com a energia de um oscilador harmônico uni-dimensional, e o segundo com a de uma part´ıcula livre. Os n´ıveis de uma part´ıcula são, portanto, dados por

" = ✓ j +1 2 ◆ ~! + p2z 2m, j = 0, 1, 2, . . . , (5.3.15) onde ! é a frequência de revolu¸cão

! = eH

mc. (5.3.16)

A contribui¸cão tipo oscilador harmônico para este espectro corresponde aos chamados n´ıveis de Landau. Para um gás tri-dimensional, a cada um dos n´ıveis de Landau se soma um espectro cont´ınuo devido ao movimento livre ao longo da dire¸cão z; é um espectro sem gaps. Se, por outro lado, o gás está confinado às duas dimensões perpendiculares ao campo, o espectro corresponde apenas aos n´ıveis de Landau, e apresenta gaps.

A Fig. 5.2 mostra esquematicamente os espectros dos movimentos bi-dimensionais, com e sem campo magnético. Pode-se imaginar que vários n´ıveis do sistema sem campo colapsam em um único n´ıvel do sistema com campo. Assim, todos os g estados do quase-cont´ınuo cujas energias estiverem numa faixa de largura~! estarão associados ao estado quantizado mais próximo. Quantitativamente, g é dado pela área do espa¸co de fase correspondendo à energia naquela faixa:

g = L 2 h2 Z Z j~!<p2x+p2y 2m <(j+1)~! dpxdpy = L2 h2 Z j~!<p2 2m<(j+1)~! 2⇡p dp = L 2_eH hc . (5.3.17)

Note que g/L2 _{representa o n´}_{umero de ´}_{orbitas, por n´ıvel de Landau, que podem ser}

aco-modadas em cada cm2_{; isto ´e, fornece uma medida quˆ}_{antica da incerteza na localiza¸c˜}_ao

da ´orbita circular do el´etron.

Os bons números quânticos para férmions sem spin em presen¸ca de campo magnético são, portanto, _{⌘ {p}z, j, ↵}, com ↵ = 1, 2, . . . , g. Assim como no caso sem campo, é

mais conveniente trabalhar no ensemble gran-canônico, no qual a fun¸cão de parti¸cão é fatorada como um produto sobre estados de uma part´ıcula:

Z =Y ⇣1 + ze " ⌘. (5.3.18)

Tomando o logaritmo, vem

lnZ =X ln⇣1 + ze " ⌘= g X ↵=1 1 X j=0 X pz ln⇣1 + ze "(↵,j,pz)⌘₌ = gV 1/3 h Z ₁ 1 dp 1 X j=0 ln⇣1 + ze " ⌘, (5.3.19)

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(a) H = 0

h

(b) H = 0

/

j =

0

1

2

3

Figure 5.2: Planar contribution to the single-particle energy levels (schematic): (a) H = 0, and (b) H6= 0. e, lembrando que hNi = z @ @zlnZ = X hn i, (5.3.20) obtemos hNi = gV 1/3 h Z ₁ 1 dp 1 X j=0 1 z 1_e "_{+ 1}. (5.3.21)

Analisemos agora os casos limites. A altas temperaturas devemos ter o comporta-mento cl´assico com z ⌧ 1, e podemos expandir (5.3.19) e (5.3.21) em potˆencias de z, mantendo apenas o termo em ordem mais baixa,

lnZ ' zgV 1/3 h Z ₁ 1 dp 1 X j=0 e  p2 2m+~!(j+1/2) = zV eH hc 1 ⇤ ⇢ 2 sinh ~! 2kBT 1 , (5.3.22) e, portanto, hNi ' ln Z ' zV ⇤3 x sinh x, (5.3.23) com x_⌘ µ0H kBT , (5.3.24) onde µ0_⌘ eh 4⇡mc (5.3.25)

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A magnetiza¸cão é obtida da maneira usual, isto é, M = 1 VkBT ✓ @ @H lnZ ◆ z,V,T = z ⇤3µ0 ⇢ 1 sinh x x cosh x sinh2x = nµ 0_L(x), _(5.3.26)

onde n_{⌘ hNi/V e a fun¸c˜ao de Langevin ´e definida por} L(x)_{⌘ coth x} 1

x. (5.3.27)

O resultado (5.3.26) é muito semelhante ao obtido pela Teoria de Langevin para dipolos clássicos, sendo que a diferen¸ca fundamental está no sinal de M que, sendo negativo, caracteriza o diamagnetismo. Outra observa¸cão importante diz respeito ao aspecto pu-ramente quântico deste efeito: µ0 ! 0 quando h ! 0, concordando com a demonstra¸cão mais formal do Teorema de van Leeuwen (veja Exerc´ıcio 5.3).

Fazendo a hip´otese adicional de que µ0H _{⌧ k}BT , temos que

L(x)' x/3, (5.3.28) de modo que M ' nµ02H 3kBT , (5.3.29) e ' nµ02 3kBT , (5.3.30)

evidenciando que o caráter diamagnético não depende do sinal da carga da part´ıcula. Ademais, a suscetibilidade total é obtida somando-se as contribui¸cões (5.3.14) e (5.3.30) onde, nesta última, a massa da part´ıcula que aparece na defini¸cão de µ0deve ser entendida como sua massa efetiva no sistema (p.ex., em um cristal):

' n kBT ✓ µ2_B 1 3µ 02 ◆ ; µ0H⌧ kBT. (5.3.31)

Se µ0 = µB, note que a contribui¸cão diamagnética para elétrons é 1/3 da paramagnética,

a altas temperaturas.

Vejamos agora o outro extremo, isto ´e, o comportamento a baixas temperaturas, kBT ⌧ "F. Suponhamos que µ0H ⌧ kBT , de modo que a soma em j na Eq. (5.3.19)

possa ser feita com o aux´ılio da f´ormula de Euler,

1 X j=0 f (j + 1/2)_' Z ₁ 0 f (x) dx + 1 24f 0_(0), _(5.3.32) com o resultado ln_{Z =} eV H h2_c "Z 1 0 dx Z ₁ 1 dp ln ✓ 1 + ze (2µ0Hx+2mp2) ◆ 1 12 µ0H kBT Z ₁ 1 dp 1 z 1_e 2mp2 + 1 # . (5.3.33)

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H

V

H

I

V

t

w

Figure 5.3: Esquema de medida das tens˜oes longitudinal, V , e transversa (Hall), VH, em

uma amostra de largura w e espessura t, percorrida por uma corrente I, em presen¸ca de um campo magn´etico perpendicular H.

Os cálculos de ambas as integrais são simplificados neste limite (veja Pathria, se¸cão 8.2 para detalhes), de modo que a corre¸cão em ordem mais baixa, devido à quantiza¸cão das ´

orbitas, fornece para a suscetibilidade a baixas temperaturas

' 1

2 nµ02

"F

, (5.3.34)

que, mais uma vez, traz a assinatura do diamagnetismo, independentemente do sinal da carga da part´ıcula. Note também que, ao contrário da contribui¸cão paramagnética [Eq. (5.3.7)], a suscetibilidade diamagnética a T = 0 depende da densidade de part´ıculas. Supondo agora que µ0H ' kBT ⌧ "F, pode-se mostrar (veja Pathria, Se¸cão 8.2) que

a suscetibilidade cont´em termos oscilat´orios em H: ' ⇡3nµ02 2"F kBT "1/2F (µ0_H)3/2 sin(⇡"F/µ0H ⇡/4) sinh(⇡2_{/ µ}0_H) . (5.3.35)

Este efeito, conhecido como ‘de Haas-van Alphen’, permite a determina¸c˜ao experimental da energia de Fermi do sistema atrav´es da medida do per´ıodo da suscetibilidade, 2µ0/"F.

5.3.3 The Quantum Hall E↵ect

Imagine uma corrente I passando por uma amostra. Ao aplicarmos um campo magnético, H, perpendicular à corrente (veja a Fig. 5.3), as cargas serão defletidas em dire¸cão à ex-tremidade anterior, devido à for¸ca de Lorentz. Esta acumula¸cão de cargas gera um campo elétrico transverso, E_?, cujo sentido depende do sinal dos transportadores. Uma nova situa¸cão de equil´ıbrio ocorre quando a for¸ca de Lorentz fôr contrabalan¸cada por

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esta for¸ca eletrost´atica; isto ´e, a corrente volta a fluir quando E_? = v

c H (CGS), (5.3.36)

onde v ´e a velocidade dos transportadores, determinada pela corrente I ou, equivalente-mente, pela densidade de corrente j:

v = j nq =

I

n wt q. (5.3.37)

Nesta equa¸cão, n é a densidade de transportadores com carga q, e w e t são, respec-tivamente, a largura e a espessura da se¸cão reta da amostra; como veremos adiante, é conveniente definir a densidade superficial de transportadores como ns= n t.

Medindo-se a voltagem, V , ao longo da corrente (veja a Fig. 5.3), obtemos a magnetor-resistência R = V /I. Podemos também definir a magnetor-resistência Hall como a razão entre a voltagem perpendicular, VH, e a corrente: RH = VH/I. Expressando VH em termos

de E_?, I em termos de j, e, usando (5.3.36) e (5.3.37), obtemos, finalmente, que a resistˆencia Hall depende linearmente do campo magn´etico,

RH =

1 nsqc

H, (5.3.38)

conforme observado por Edwin Hall, em 1879. Este resultado é notável, já que um único parâmetro caracter´ıstico do material – a densidade eletrônica superficial, ns – define a

proporcionalidade entre RH e H, independentemente da forma da amostra.

O desenvolvimento de técnicas de deposi¸cão bastante apuradas, a partir de 1980, permitiu a fabrica¸cão de heteroestruturas semicondutoras com alto grau de pureza, como MOSFET’s (Metal-oxide-semiconductor field-e↵ect transistors) de Sil´ıcio, compostos de uma camada de Si em contato com uma de SiO2.2 Estes dispositivos são capazes de

confinar elétrons à interface entre as camadas, formando, essencialmente, um gás bi-dimensional. A restri¸cão a duas dimensões inibe a imersão do espectro da Fig. 5.2(b) em um cont´ınuo de estados associados ao movimento livre na dire¸cão z; e, como veremos a seguir, a presen¸ca de gaps é crucial para os efeitos interessantes que surgem.

Quando submetidos a temperaturas de 4K e a campos magnéticos da ordem de 20 T, estes dispositivos entram num regime no qual espera-se que o efeito Hall seja dominado por efeitos quânticos, já que os gaps no espectro se tornam comparáveis à energia térmica. Os resultados obtidos3 e mostrados na Fig. 5.4, foram surpreendentes. Em primeiro lugar, o crescimento de RH com H se dá através de platôs, ao invés do

comportamento linear previsto classicamente; veja a Eq. (5.3.38). Em segundo lugar, da mesma figura se nota que o valor de RH nestes platˆos ´e quantizado,

RH =

1 ⌫

h

e2, ⌫ = 1, 2, . . . , (5.3.39)

definindo o que passou a ser conhecido como o quantum de resistˆencia, h/e2 _{' 25.8}

k⌦. E, finalmente, a magnetorresistência apresenta valores extremamente baixos nos intervalos de H correspondentes aos platôs na resistência Hall.

2_{Para uma discuss˜}_{ao mais detalhada, veja, p.ex., H. L. Stormer, Rev. Mod. Phys. 71, 875 (1999).} 3_{K. von Klitzing et al., Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)}

(14)

Figure 5.4: Medidas t´ıpricas de resistência como fun¸cão do campo magnético. A curva com platôs corresponde à resistência Hall, RH, em undidades do quantum de resistência,

h/e2; as setas indicam o valor de ⌫ na Eq. (5.3.39). A resistência longitudinal ex-ibe máximos entre os platôs de RH e se anula nos platôs. [Segundo HL Stormer,

Rev.Mod.Phys.71, 875 (1999)].

A compreensão destes resultados é obtida por etapas. Em primeiro lugar, para entender a existência de uma região de magnetorresistência nula, lembremos que a re-sistividade se deve a algum mecanismo de espalhamento (por vibra¸cões da rede, por impurezas, ou por outros elétrons), que leva elétrons com energias perto da energia de Fermi a estados finais com energias também próximas a "F. Imagine agora que algum

efeito coletivo no sistema cause a abertura de um um gap em torno de "F, de modo que

os estados finais poss´ıveis estão agora separados dos estados iniciais por um limiar de energia. Nestes processos de espalhamento as energias dispon´ıveis para os elétrons não são suficientes para vencer o gap, de modo que a transi¸cão entre estados eletrônicos não ocorre, e o transporte se dá sem resistência. Isto sugere que os gaps entre os n´ıveis de Landau, presentes no movimento bi-dimensional (perpendicular a H) sejam a fonte de queda na magnetorresistência.

Para ver como isto ocorre, consideremos inicialmente um sistema totalmente puro, para o qual a densidade de estados corresponde a fun¸cões- igualmente espa¸cadas, local-izadas nos n´ıveis de Landau; veja a Fig. 5.5(a). A razão entre o número de elétrons e a degenerescência de cada n´ıvel de Landau define o fator de preenchimento,

⌫ = N g = nshc e 1 H, (5.3.40)

(15)

Figure 5.5: Densidade de estados para um gás de elétrons bi-dimensional em um campo magnético: (a) na ausência de impurezas, e (b) na presen¸ca de impurezas. As impurezas causam um alargamento dos n´ıveis de Landau, que se tornam bandas de estados deslo-calizados (regiões hachuradas), ao mesmo tempo em que introduz estados localizados entre sucessivos n´ıveis de Landau.

cujo inverso mede a ‘disponibilidade’ do n´ıvel. É importante notar a dependência de 1/⌫ com H, para uma densidade de elétrons fixa: se H = H1 ⌘ nshc/e, só o n´ıvel de

Landau de mais baixa energia estará (totalmente) preenchido. À medida em que H diminui a partir deste valor, o n´ıvel mais baixo passa a não acomodar todos os elétrons e inicia-se uma ‘migra¸cão’ para o segundo n´ıvel. Quando H = H1/2, os dois n´ıveis de

Landau mais baixos estão totalmente preenchidos; uma diminui¸cão maior de H leva a uma migra¸cão em dire¸cão ao terceiro n´ıvel, e assim por diante. Pode-se se pensar que, para H diminuindo entre H1 e H1/2, o n´ıvel de Fermi permanece ‘grudado’ no segundo

n´ıvel de Landau; quando H < H1/2, "F salta para o terceiro n´ıvel de Landau, ficando

grudado at´e que H < H1/3, etc.

Vemos ent˜ao que valores do campo H = H1/⌫ s˜ao especiais por representarem

preenchimento completo de ⌫ n´ıveis de Landau. Levando estes valores na Eq. (5.3.38), obtemos a quantiza¸c˜ao de RH, descrita pela Eq. (5.3.39). Como para estes campos (ou

valores de ⌫) os gaps de Landau separam estados totalmente ocupados de estados total-mente desocupados, a resistˆencia ´e nula.

A discussão acima, no entanto, não explica a presen¸ca de platôs nem o fato da mag-netorresistência se anular em torno dos ⌫ inteiros. A origem destes efeitos está no fato de que, por mais cuidadoso que seja o processo de crescimento, o sistema sempre apresenta impurezas, as quais causam dois efeitos importantes. Em primeiro lugar, os n´ıveis de Landau se alargam, virando mini-bandas de estados deslocalizados (i.e., elétrons nestes estados podem conduzir corrente quando submetidos a um campo elétrico), represen-tadas na Fig. 5.5(b) pelas regiões hachuradas. Em segundo lugar, as impurezas

(16)

apri-Figure 5.6: FQHE: Resistência Hall (RH) e Magnetorresistência (R) como fun¸cões do

campo magn´etico aplicado, agora no caso de heteroestruturas de GaAs/AlGaAs. Deve ser notado o aparecimento de mais platˆos em RH e de mais quedas em R do que na

Fig. 5.4. [Segundo HL Stormer, Rev.Mod.Phys.71, 875 (1999)].

sionam alguns elétrons, que ficam em estados localizados, não participando, portanto, da condu¸cão; estes estados ocupam as regiões entre as bandas de Landau, como mostra a Fig. 5.5(b). Suponha agora que, para um dado valor de H, o n´ıvel de Fermi esteja no meio de uma das bandas de Landau; neste caso a magnetorresistência não é nula, e RH não está em um platô. À medida em que H diminui, o n´ıvel de Fermi agora

au-menta continuamente, passando pela região de estados localizados, como indicado pela reta pontilhada na Fig. 5.5(b). Nesta região, os elétrons deslocalizados sentem um gap efetivo e, como no caso puro, não apresentam resistência; ademais, como as bandas de Landau permanecem totalmente preenchidas, RH se mantém nos valores quantizados.

Posteriormente, os MOSFET’s de Si foram substitu´ıdos por heteroestruturas de GaAs/AlGaAs, com um ganho significativo na mobilidade dos elétrons; isto é, diminu´ıram significativamente a presen¸ca de impurezas e a rugosidade nas interfaces [veja HL Stormer, op. cit.]. Isto, aliado à disponibilidade de campos magnéticos mais intensos, permitiu es-tabelecer a presen¸ca de platôs também para valores racionais não-inteiros de ⌫, dando origem ao Efeito Hall Quântico Fracionário (FQHE); veja a Fig. 5.6.

A origem do FQHE reside na intera¸cão entre os elétrons, sendo, portanto, um efeito de muitos corpos. Todavia, a análise pode ser reduzida, de modo engenhoso, a um outro

(17)

problema de part´ıculas não interagentes. Para ver isto, devemos notar inicialmente que um campo magnético H, cujo fluxo é dado por = HL2 (L2 é a área), aplicado a uma distribui¸cão uniforme de carga produz vórtices, cada um dos quais associado a um quantum de fluxo magnético 0 = hc/e. A Eq. (5.3.17) nos permite escrever a

degenerescˆencia de cada n´ıvel em termos de uma raz˜ao entre fluxos como g =

0

, (5.3.41)

de modo que a Eq. (5.3.40) fornece

= N

⌫ 0. (5.3.42)

O efeito das intera¸cões entre os elétrons pode ser levada em conta, de modo efetivo, ao ‘fixarmos’ quanta de fluxo nos elétrons, criando as chamadas part´ıculas compostas (PC’s). Isto leva a uma transmuta¸cão estat´ıstica, pois ao trocarmos duas PC’s, a fun¸cão de onda fica multiplicada por um fator de fase ( 1)1+ / 0_{. Assim, elétrons com um}

número par de quanta de fluxo são férmions compostos, enquanto que elétrons com um número ´ımpar de fluxos se tornam bósons compostos. A partir destas idéias pode-se compreender uma boa parte dos platôs e das correspondentes magnetorresistências nulas [veja HL Stormer, op. cit., RB Laughlin, Rev. Mod. Phys. 71, 863 (1998), e referências lá citadas].

5.4 Thermodynamics of Blackbody Radiation

Uma das mais importantes aplica¸cões da estat´ıstica de Bose-Einstein é na descri¸cão de radia¸cão eletromagnética em equil´ıbrio termodinâmico, chamada de radia¸cão de corpo negro. Ela pode ser pensada como um ‘gás’ de fótons. A linearidade das equa¸cões da eletrodinâmica implica na ausência de intera¸cões entre os fótons, de modo que este gás é, de fato, um gás ideal.

Para tratar a radia¸cão em um meio material – e não no vácuo – ainda como um gás ideal, a intera¸cão entre os fótons e a matéria deve ser pequena. Para gases, esta condi¸cão é satisfeita para todo o espectro, com exce¸cão de frequências próximas dos picos de absor¸cão; para meios materiais mais densos, a intera¸cão só pode ser considerada pequena a altas temperaturas. Por outro lado, deve-se ter em mente que a matéria deve sempre estar presente, pois é ela que fornece o mecanismo – através da emissão e absor¸cão de fótons – para a radia¸cão atingir o equil´ıbrio termodinâmico. Por esta razão, o número de fótons N não é definido, ao contrário do que ocorre em um gás material. Assim, para radia¸cão em equil´ıbrio em uma cavidade de volume V , à temperatura T (fixos), N deve ser determinado a partir das condi¸cões de equil´ıbrio do sistema; a condi¸cão de m´ınimo da energia livre do gás de fótons fornece

✓ @A @N ◆ T,V = µ = 0, (5.4.1)

(18)

ou seja, o potencial qu´ımico do gás de fótons é zero. Esta condi¸cão ocorre sempre que as part´ıculas em estudo corresponderem a excita¸cões de algum sistema como, por exemplo, fônons, mágnons, etc.

Os fótons se distribuem entre os diferentes modos normais, caracterizados por vetores de onda k, com energias "k=~!k e rela¸cão de dispersão ! = c|k|; os valores poss´ıveis

de k dependem das condi¸cões de contorno impostas à cavidade. Consideraremos sempre condi¸cões de contorno periódicas em uma caixa cúbica de volume V , que fornecem

k↵ =

2⇡

V1/3 n↵, n↵= 0,±1, ±2, . . . , (5.4.2)

onde ↵ = x, y, z. O número médio de fótons com vetor de onda k é dado pela Eq. (4.3.2) com µ = 0,

hnki =

1

e ~!k 1 , (5.4.3)

que ´e a conhecida distribui¸c˜ao de Planck.

Supondo o volume grande o suficiente, podemos passar para uma distribui¸cão cont´ınua de modos normais. O número de modos com vetores de onda no intervalo dk centrado em k é (V /(2⇡)3)dk, que, devido à isotropia da rela¸cão de dispersão, deve ser o mesmo que o número de modos, com módulo do vetor de onda no intervalo dk centrado em k. Temos então, para a densidade de modos (isto é, o número de modos por intervalo)

g(k) = V (2⇡)3 4⇡k

2_. _(5.4.4)

Para relacionar g(k) com g(!), usamos a rela¸cão de dispersão e notemos que o campo eletromagnético tem apenas duas dire¸cões de polariza¸cão (denotadas por ê1 e ê2, de

modo que a densidade de modos com frequˆencia entre ! e ! + d! fica, finalmente, g(!) = 2_⇥ V

2⇡2_c2 !

2_. _(5.4.5)

O número de fótons com frequência neste intervalo é obtido multiplicando-se a Eq. (5.4.3) por g(!)d!:

dN!= V

⇡2_c3

!2d!

e ~! 1. (5.4.6)

A energia irradiada nesta faixa do espectro ´e obtida como_{~! · dN}!, ou

dE! = V~

⇡2_c3

!3d!

e ~! 1, (5.4.7)

que é conhecida como a fórmula de Planck para a radia¸cão de corpo negro; veja a Fig. 5.7. A baixas frequências (~! ⌧ kBT ), recupera-se o resultado de Rayleigh-Jeans,

dE! =

V !2

(19)

Figure 5.7: Distribui¸c˜ao espectral da energia [(u0_{⌘ dE}!/d!, Eq. (5.4.7)] na radia¸c˜ao de

corpo negro, mostrando os resultados de Planck, Rayleigh-Jeans e Wien; x_{⌘ ~!/k}BT .

enquanto que a altas frequˆencias obtemos a lei de Wien, dE! =

V~ ⇡2_c3!

3_e ~!_d!. _(5.4.9)

Para o cálculo de outras grandezas termodinâmicas necessitamos a fun¸cão de parti¸cão,

Z = X {nk},ê e Pk,ê~!knk,ê ₌Y k,ê 1 X n=0 e ~!kn₌Y k,ê 1 1 e ~!k, (5.4.10)

cujo logaritmo nos d´a

ln Z = X

k,ˆe

ln(1 e ~!k_{) =} ₂X

k

ln(1 e ~!k_). _(5.4.11)

A energia interna ´e dada por

E = @ @ ln Z = X k 2~!ke ~!k 1 e ~!k = X k 2~!khnki, (5.4.12)

ondehnki é dado pela Eq. (5.4.3) e não inclui a degenerescência devido aos dois modos

transversos de polariza¸cão. De modo análogo, a pressão fica P = 1 @ @V ln Z = 1 3V X k 2~!khnki, (5.4.13)

(20)

onde deve-se lembrar que a dependˆencia em V vem atrav´es de !k= ck, com k dado pela

Eq. (5.4.2). Comparando as Eqs. (5.4.12) e (5.4.13), obtemos a equa¸c˜ao de estado, P V = 1

3E, (5.4.14)

que é um resultado bastante conhecido para a pressão da radia¸cão de corpo negro. Deve-se notar que o fator 1/3 repreDeve-senta, na realidade, a razão entre o expoente s da rela¸cão de dispersão ("p ⇠ ps) e a dimensão espacial d.

Tomando agora V _{! 1, as somas em k podem ser substitu´ıdas por integrais, e}

E = V (2⇡)3 Z dk 4⇡k2 ~ck e ~ck 1 = V_~ ⇡2_c3 Z ₁ 0 d! ! 3 e ~! 1, (5.4.15) ou E V = ⇡2 15 (kBT )4 (~c)3 . (5.4.16)

O calor espec´ıfico do g´as de f´otons fica sendo CV =

4⇡k4_B 15(_~c)3 T

3_, _(5.4.17)

Devemos comparar as diferentes contribui¸cões do calor espec´ıfico a baixas temperat-uras. Para o gás de bósons materiais a 3 dimensões, temos CV ⇠ T3/2 e para o gás de

fótons também a 3 dimensões, CV ⇠ T3. Estes resultados podem ser generalizados da

seguinte forma: CV ⇠ Td/s para um gás de bósons. Esta dependência com o expoente

da rela¸cão de dispersão e com a dimensionalidade do sistema deve ser contrastada com o comportamento de um gás de férmions, CV ⇠ T , para quaisquer s e d.

5.5 Phonons

O problema de modos vibracionais de um sólido pode ser estudado considerando o sistema tanto como um conjunto de osciladores harmônicos, quanto como um gás de quanta de som, os chamados fônons. Para ilustrar isto, consideremos a Hamiltoniana de um sólido clássico de N átomos, cujas posi¸cões no espa¸co são especificadas pelas coordenadas (x1, x2, x3, . . . x3N). As vibra¸cões dos átomos em torno de suas posi¸cões

de equil´ıbrio (¯x1, ¯x2, ¯x3, . . . ¯x3N) s˜ao descritas pelos deslocamentos ⇠i = (xi x¯i), onde

i = 1, . . . 3N . A energia cinética do sistema na configura¸cão {xi} é, então, dada por

Ec = 1 2m 3N X i=1 ˙x2_i = 1 2m X i ˙⇠2 i, (5.5.1)

e a energia potencial por = (xi) = (¯xi) + X i ✓ @ @xi ◆ {xi}={¯xi} ⇠i+ X i,j 1 2 ✓ @2 @xi@xj ◆ {xi}={¯xi} ⇠i⇠j+ . . . (5.5.2)

(21)

O termo (¯xi) representa a energia (m´ınima) do s´olido, 0, quando todos os N ´atomos

estão em repouso em suas posi¸cões de equil´ıbrio. O termo seguinte é identicamente nulo porque deve ter um m´ınimo em (¯xi). Os termos de segunda ordem

represen-tam, então, a componente harmônica das vibra¸cões atômicas. Trabalharemos aqui na aproxima¸cão harmônica, baseada na hipótese de que as vibra¸cões têm pequenas ampli-tudes, permitindo-nos desprezar termos de ordem mais alta. Podemos então escrever a Hamiltoniana como H = 0+ 8 < : X i 1 2m ˙⇠ 2 i + X i,j ↵ij⇠i⇠j 9 = ;, (5.5.3) onde ↵ij = 1 2 ✓ @2 @xi@xj ◆ , (5.5.4)

inclui tamb´em o acoplamento entre vibra¸c˜oes em torno de diferentes s´ıtios.

Agora introduzimos uma transforma¸c˜ao linear, das coordenadas ⇠i para as chamadas

coordenadas normais, qi, de modo que a nova expressão para a Hamiltoniana não contém

termos cruzados, H = 0+ X i 1 2m( ˙q 2 i + !2i qi2), (5.5.5)

onde os !i, i = 1, 2, . . . , 3N s˜ao as frequˆencias caracter´ısticas dos chamados modos

normais do sistema. Elas s˜ao determinadas, essencialmente, pelos ↵ij, que refletem

detalhes do potencial de intera¸c˜ao (xi). Ademais, a Eq. (5.5.5) sugere que o s´olido se

comporta como um conjunto de 3N osciladores harmônicos não-interagentes com um espectro de frequências naturais, !i.

Classicamente, então, cada um dos 3N modos normais corresponde a uma distor¸cão dos pontos da rede; isto é, a uma onda sonora. Quânticamente, estes modos dão origem a quanta, chamados de fônons, em analogia com os modos do campo eletromagnético dando origem a fótons. Uma diferen¸ca importante entre estes dois casos é que, enquanto o número de modos normais no caso do campo eletromagnético é indefinido, o número de modos normais no caso de sólidos é especificado pelo número de s´ıtios da rede. Todavia, o número de fônons, bem como o número de fótons, é também indefinido, resultando num potencial qu´ımico identicamente nulo; veja a Se¸cão 5.4. Estas diferen¸cas se manifestam apenas nos comportamentos termodinâmicos envolvendo modos de altas frequências, como pode ser verificado pelos resultados que serão deduzidos nesta se¸cão.

A contribui¸cão dos fônons para a termodinâmica do sólido pode então ser obtida da maneira usual, lembrando, em primeiro lugar, que os autovalores da Hamiltoniana quântica são dados por

E{ni} = 0+ X i ✓ ni+ 1 2 ◆ ~!i, (5.5.6)

onde os n´umeros ni definem o estado de excita¸c˜ao dos diversos osciladores;

(22)

interna do sistema ´e, ent˜ao, E(T ) = ( 0+ X i 1 2 ~!i ) +X i ~!i e~!i/kBT 1. (5.5.7)

A expressão entre colchetes é a energia do sólido no zero absoluto e determina a energia de liga¸cão da rede. O último termo é que determina o calor espec´ıfico,

CV(T ) = ✓ @E @T ◆ V = kB X i (~!i/kBT )2e~!i/kBT (e~!i/kBT ₁₎2 (5.5.8)

Para prosseguirmos além deste ponto necessitar´ıamos de informa¸cões sobre o espectro de frequências, o qual não é simples de ser obtido a partir de primeiros princ´ıpios. Alter-nativamente, lan¸ca-se mão de espectros obtidos experimentalmente, ou faz-se hipóteses simplificadoras a seu respeito. No modelo de Einstein (1907), supõe-se que todas as frequências têm o mesmo valor: !i = !E 8i. O calor espec´ıfico é, então, dado por

CV(T ) = 3N kBE(x), (5.5.9)

onde a fun¸c˜ao de Einstein ´e

E(x) = x 2_ex (ex ₁₎2, x = ~!E kBT ⌘ ⇥E T , (5.5.10)

definindo a temperatura de Einstein ⇥E. A altas temperaturas, T ⇥E, obtemos

CV ⇠ 3NkB, que é o resultado clássico (c.f., o teorema da equiparti¸cão da energia)

como deveria ser. J´a a baixas temperaturas, T _{⌧ ⇥}E, temos CV ⇠ e x, que decai muito

mais r´apido que o previsto experimentalmente (em 3 dimens˜oes) ⇠ T3_{. Como vimos}

anteriormente, o comportamento exponencial do calor espec´ıfico sinaliza a presen¸ca de um gap de energia que, neste caso, ´e atribu´ıdo `a artificialidade do modelo.

No modelo de Debye (1912) considera-se um espectro cont´ınuo, até uma determinada frequência de corte, !D, a qual é determinada impondo que o número total de modos de

vibra¸c˜ao seja igual a 3N ; isto ´e, Z !D

0

g(!) d! = 3N, (5.5.11)

onde g(!)d! fornece o número de modos normais entre ! e ! + d!. Para g(!) podemos usar a expressão (5.4.5), desde que adaptada para levar em conta os seguintes aspectos: (1) os modos de vibra¸cão podem ser longitudinais e transversais (estes últimos são du-plamente degenerados); (2) as velocidades de propaga¸cão dos modos longitudinais (cL)

e transversais (cT) podem ser diferentes. Assim,

g(!) = V ! 2 2⇡2_c3 L + V ! 2 ⇡2_c3 T , (5.5.12)

(23)

Figure 5.8: Distribui¸cão de frequências, g(!), para o Al. A linha cheia é obtida por espalhamento de raios-X [C B Walker, Phys. Rev. 103 547, (1956)] e a linha tracejada corresponde à aproxima¸cão de Debye.

que, levado em (5.5.11), fornece

!_D3 = 18⇡2N V ✓ 1 c3_L+ 2 c3_T ◆ 1 . (5.5.13)

Deste modo o espectro de frequˆencias de Debye ´e dado por g(!) =

(

(9N/!3_D) !2, se ! _{ !}D

0, se ! > !D.

(5.5.14) Neste ponto devemos fazer duas observa¸cões. Em primeiro lugar, o espectro de freqüências de Debye é, claramente, uma idealiza¸cão, como fica aparente ao ser com-parado com um espectro real t´ıpico; veja a Fig. 5.8. Se para os modos de baixa frequência – os chamados fônons acústicos – a aproxima¸cão de Debye é razoável, para os modos de alta frequência – fônons óticos – as discrepâncias são aparentes. Felizmente, para quanti-dades médias como a energia interna e, por conseguinte, para o calor espec´ıfico, detalhes finos do espectro não são muito importantes. Em segundo lugar, os modos longitudinais e transversais têm suas próprias frequências de corte, !D,Le !D,T, ao invés de um valor

comum, !D, simplesmente porque h´a 2N modos transversos e N longitudinais. Todavia,

ambas as frequˆencias de corte correspondem a um mesmo comprimento de onda m´ınimo,

min= (4⇡V /3N )1/3, que é da ordem da distância interatômica no sólido.

Retomando os c´alculos na aproxima¸c˜ao de Debye, e lembrando que na Eq. (5.5.8) a passagem para o cont´ınuo contribui com g(!)_{/ !}2_{, obtemos}

(24)

onde D(x0) ´e a fun¸c˜ao de Debye, D(x0) = 3 x3 0 Z x0 0 dx x 4_ex (ex ₁₎2, (5.5.16) com x0 = ~!D kBT ⌘ ⇥D T , (5.5.17)

o que define a temperatura de Debye para o s´olido. Fazendo a integral em (5.5.16) por partes, obtemos D(x0) = 3x0 ex0 ₁ + 12 x3 0 Z x0 0 dx x 3 ex ₁. (5.5.18)

Para T ⇥D, a fun¸cão D(x0) pode ser expressa em uma série de potências em x0:

D(x0)' 1

x2₀

20, (5.5.19)

e o calor espec´ıfico neste limite fica

CV ' 3NkB, (5.5.20)

que ´e o resultado cl´assico. A baixas temperaturas, T _{⌧ ⇥}D, podemos estender o limite

superior de integra¸c˜ao para1 em (5.5.18), D(x0) = 12 x3 0 Z ₁ 0 dx x 3 ex ₁+ O(e x0_), _(5.5.21)

recaindo nas conhecidas integrais bosˆonicas, gn(z); veja Eq. (4.5.8). Logo,

D(x0)' 12 x3 0 (4)g4(1) = 4⇡4 5 ✓ T ⇥D ◆3 , (5.5.22) e, portanto, CV ' NkB 12⇡4 5 ✓ T ⇥D ◆3 , (5.5.23)

reproduzindo o comportamento conhecido como a Lei-T3_{de Debye, indicando a ausˆencia}

de um gap, contrariamente ao previsto pelo modelo de Einstein. Deve-se notar que a dependˆencia de CV com T a baixas temperaturas pode ser extra´ıda sem nos referirmos

`

as integrais bosônicas: com efeito, a integral em (5.5.21) contribui com um número, enquanto que a dependência com T já está contida em x₀3 que, por sua vez, resultou de uma mudan¸ca de variável de integra¸cão.

Medidas experimentais do calor espec´ıfico de s´olidos a baixas temperaturas servem de teste para o modelo de Debye, atrav´es de estimativas para ⇥D, que devem ser comparadas

com as obtidas a partir de constantes el´asticas; o resultado favorece a teoria de Debye. Valores t´ıpicos de ⇥D cobrem o intervalo de 100 a 1000K.

Finalizando, esta análise indica que se o calor espec´ıfico a baixas temperaturas de um dado sistema obedece à lei-T3, então suas excita¸cões térmicas são explicadas apenas por fônons.

(25)

5.6 Exercises

1. Obtenha os resultados (5.2.18), (5.2.19) e (5.2.20).

2. Mostre que, para um g´as de f´ermions a baixas temperaturas temos, de uma maneira geral, µ' "F " 1 ⇡ 2 6 ✓ d ln g(") d ln " ◆ "="F ✓ kBT "F ◆2# e CV ' S ' ⇡2 3 k 2 BT g("F),

onde g(") ´e a densidade de estados de uma part´ıcula. Discuta estes resultados para um g´as com espectro de energia "p = apn em um espa¸co d-dimensional.

3. Mostre que o diamagnetismo não existe na F´ısica Clássica. [Sugestão: A Hamiltoniana para part´ıculas carregadas em presen¸ca de um campo magnético B =_{r ⇥ A é uma} fun¸cão de pj + (ej/c)A(rj). Deve-se mostrar, então, que a fun¸cão de parti¸cão do

sistema ´e independente do campo aplicado.]

4. Considere um gás ideal de elétrons bi-dimensional, cuja densidade (número de elétrons pela área do sistema) é n. Obtenha a contribui¸cão dos momentos magnéticos intr´ınsecos para a suscetibilidade deste sistema a T = 0.

5. Considere elétrons não interagentes em 3 dimensões, em presen¸ca de um campo magnético uniforme H; a Hamiltoniana de uma part´ıcula é dada pela Eq. (5.3.1). (a) Mostre que a energia de uma dada configura¸cão de spins pode ser escrita como

E =X

p

Ep(np", np#),

onde np (= 0 ou 1) ´e o n´umero de part´ıculas com spin = ±1 (ou ", #) e

momento p, e

Ep(np", np#) = np

p2

2m mpµBH, com np⌘ np"+ np# e mp⌘ np" np#.

(b) Mostre que a gran-fun¸c˜ao de parti¸c˜ao pode ser escrita como Z = Z0(µ + µBH)Z0(µ µBH), onde Z0(⌫) = Y p h 1 + e (⌫ p2/2m)i. (c) Mostre que o gran-potencial pode ser expresso como

J = kBT V ⇤3 h f_5/2(ze µBH_{) + f} 5/2(ze µBH) i , onde as integrais fermiˆonicas f_5/2(w) foram definidas na Eq. (4.4.11).

(26)

(d) Denotando por N o número médio de part´ıculas com spin , mostre que o número total de elétrons e a magnetiza¸cão são dados por

N = N_"+ N_#= V ⇤3 h f_3/2(ze µBH_{) + f} 3/2(ze µBH) i , e M = µB(N" N#) = µB V ⇤3 h f_3/2(ze µBH₎ _f 3/2(ze µBH) i , respectivamente.

(e) Discuta os limites de altas e baixas temperaturas, comparando com os resultados da Se¸c˜ao 5.3.1.

6. Considere um g´as ideal de f´ermions de massa m e spin-1/2, com um espectro de uma part´ıcula "(k).

(a) Qual a probabilidade de ocupa¸cão, p(n; "), à temperatura T (ou sua inversa, ⌘ 1/kBT ) de um estado arbitrário com energia ", sendo n = 0, 1 a ocupa¸cão

do estado? Certifique-se de que esta probabilidade est´a normalizada.

(b) Mostre que a probabilidade do estado com energia µ+ ( é uma energia constante arbitrária) estar ocupado é igual à probabilidade do estado com energia µ estar desocupado. Comente.

Suponha, de agora em diante, que o espectro destes f´ermions admita energias positivas e negativas, com dispers˜ao

"_±(k) =_±pm2_c4₊_~2_c2_k2_,

onde c ´e uma constante.

(c) À temperatura nula, todos os estados de energia negativa estão ocupados, en-quanto que os de energia positiva estão desocupados; logo, µ(T = 0) = 0. Baseado no resultado do item (b), o que se pode afirmar sobre µ(T > 0)?

(d) Mostre que a energia média de excita¸cão deste sistema, à temperatura T > 0, é dada por E(T ) E(0) = 4V (2⇡)3 Z d3k "+(k) e "+(k)+ 1,

onde V é o volume a três dimensões.

(e) Suponha que estes férmions não tenham massa; obtenha a dependência com a temperatura da capacidade calor´ıfica deste gás. Como este resultado se compara com o caso em que o espectro é limitado inferiormente? Discuta.

(f) Suponha agora férmions massivos a baixas temperaturas; obtenha a dependência com a temperatura da capacidade calor´ıfica deste gás. Comente.

(27)

Figure 5.9: Problema 6

7. Ondas de spin são perturba¸cões a baixas temperaturas sobre um estado com spins (clássicos) totalmente alinhados [parte (a) da figura abaixo]. Elas correspondem, essencialmente, a um desvio transversal sendo compartilhado por todos os spins; veja a parte (b) da figura abaixo. Mágnons são os quanta destas excita¸cões, que têm rela¸cão de dispersão ! = Ak2, onde A é uma constante.

(a) Fa¸ca esbo¸cos das densidades de estados de mágnons, _{D("), como fun¸cões da} energia ", para dimensões espaciais d = 1, 2 e 3. Coloque no mesmo gráfico o número médio de mágnons com energia ".

(b) Obtenha o número médio total de mágnons em um sistema de dimensão d. (c) Discuta cuidadosamente seus resultados. Comente, em particular, as consequências

para o alinhamento quando d_{ 2.}

(d) Suponha agora que lim_"!0g(") = , onde ´e uma constante positiva. Como isto alteraria as conclus˜oes do ´ıtem anterior?

8. Supondo que a rela¸cão de dispersão para vibra¸cões em sólidos seja ! = Aks, mostre que a respectiva contribui¸cão para o calor espec´ıfico a baixas temperaturas é propor-cional a T3/s_{. Generalize este resultado para d dimens˜}_{oes. (Obs.: s = 1 corresponde}

a fˆonons, e s = 2 corresponde a m´agnons.)

9. Um gás ideal de bósons se movimenta em bloco com velocidade v em rela¸cão a um referencial inercial.

(a) Mostre que o número médio de ocupa¸cão _hnpi de um estado com energia "p é

dado por

hnpi =

1

e ("p µ v·p) ₁ ,

onde µ ´e o potencial qu´ımico.

(b) Mostre, a partir da´ı, que a densidade de ‘massa inercial’ de um gás de fônons, com rela¸cão de dispersão ! = ck, movendo-se em bloco com velocidade v é

⇢ = 16⇡ 5_(k BT )4 45h3_c5 1 (1 v2_/c2₎3.

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