Analisando autovetores na abordagem singular spectrum analysis para a previsão de vazão de afluentes

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Douglas de Castro Silva

Analisando Autovetores na abordagem

Singular Spectrum Analysis para a Previs˜

ao

de Vaz˜

ao de Afluentes

Niter´oi - RJ, Brasil 16 de mar¸co de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Douglas de Castro Silva

Analisando Autovetores na

abordagem Singular Spectrum

Analysis para a Previs˜

ao de Vaz˜

ao de

Afluentes

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 16 de mar¸co de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Douglas de Castro Silva

Analisando Autovetores na abordagem

Singular Spectrum Analysis para a Previs˜

ao

de Vaz˜

ao de Afluentes

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Ana-lisando Autovetores na abordagem Singular Spectrum Analysis para a Previsão de Vazão de Afluentes”, defendida por Dou-glas de Castro Silva e aprovada em 16 de mar¸co de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dra. M´arcia Marques de Carvalho Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Keila Mara Cassiano Departamento de Estat´ıstica – UFF

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M 149 Silva, Douglas de Castro

Analisando Autovetores na abordagem Singular Spectrum Analysis para a Previsão de Vazão de Afluentes /Douglas De Castro Silva. - Niterói: [s. n.], 2017.

??f.

Trabalho de Conclusão de Curso - (Bacharelado em Es- tatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Singular Spectrum Analysis. 2. Autovetores. 3. Vazão de Afluentes.

I. Título.

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Resumo

Diante da atual situa¸cão energética brasileira, a previsão de vazão de afluentes surge como uma ferramenta essencial no planejamento de longo prazo. Com mais de 70% da energia gerada no Brasil, as usinas hidrelétricas tem uma fun¸cão importante neste cenário e, dentre elas, a Usina Hidrelétrica de Itaipú é responsável por boa parte desta energia gerada. Como o pricipal afluente à UHE de Itaipú, o Rio Paraná apresenta momentos de baixo e de alto fluxo de correnteza, aumentando e diminuindo sua vazão em épocas distintas. Para se ter um controle sobre a energia que poderá ser gerada na usina é preciso ter um conhecimento prévio da vazão que o afluente poderá servir. A análise de séries temporais tem se mostrado como uma ferramenta adequada para este tipo de previsão e a literatura tem mostrado que filtragens de séries temporais melhoram a qualidade des-tas previsões. Este trabalho objetiva avaliar o ganho preditivo da modelagem de séries temporais quando se aplica à série uma filtragem por Singular Spectrum Analysis (SSA), uma ferramenta em estat´ıstca que permite, dentre outras coisas, remover a componente de ru´ıdo após uma decomposi¸cão adequada e com isso, retornar uma série filtrada menos ruidosa. Na ocasião, uma série de médias mensais de vazão de afluentes do Rio Paraná na Usina Hidrelétrica de Itaipú foi modelada via modelos de amortecimento exponen-cial de Holt-Winters sem e com a filtragem SSA e modelos de Box & Jenkins da classe ARIMA também sem e com a filtragem SSA. A filtragem SSA foi feita a partir da análise gráfica dos autovetores e confirmada pela correla¸cão ponderada. Todos os modelos foram comparados entre si de acordo com as estat´ısticas de aderência Mean Absolute Percentage Error (MAPE) e Root Mean Square Error (RMSE), o critério de sele¸cão do melhor modelo (BIC) Bayesian Information Criterion e o coeficiente de determina¸cão R2_{. Os resultados}

obtidos mostram que os modelos de Box & Jenkins tem um poder preditivo maior que os modelos de Holt-Winters e que, ao aplicar a filtragem SSA, a acur´acia dos modelos ´e melhorada em todos os casos.

Palavras-chaves: Previsão, Séries Temporais, Singular Spectrum Analysis, Autovetores, Vazão de Afluentes, Filtragem, Modelagem, Box & Jenkins, Holt-Winters, ARIMA.

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Dedicat´

oria

(7)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 10

1.1 Contextualiza¸cão . . . p. 10 1.2 Energia Hidrelétrica . . . p. 10 1.3 Previsão de Vazão de Afluentes . . . p. 11 1.4 Proposta . . . p. 12 1.5 Estrutura . . . p. 13 2 Objetivos p. 14 3 Materiais e Métodos p. 15 3.1 Banco de Dados . . . p. 15 3.2 Modelos de Holt-Winters . . . p. 16 3.3 Modelos de Box & Jenkins . . . p. 17 3.3.1 Modelo autorregressivo (AR) . . . p. 18 3.3.2 Modelo de médias móveis (M A) . . . p. 18 3.3.3 Modelo Autorregressivo e de Médias Móveis (ARM A) . . . p. 19 3.3.4 O modelo ARIM A . . . p. 19 3.3.5 Modelagem SARIM A . . . p. 19 3.3.6 Fun¸cão de Auto Correla¸cão (FAC) e Fun¸cão de Auto Correla¸cão

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3.4 Diagnóstico do modelo . . . p. 21 3.4.1 Estat´ısticas de Aderência . . . p. 22 3.4.2 Análise dos Res´ıduos . . . p. 23 3.5 Filtragem SSA . . . p. 23 3.5.1 Decomposi¸cão . . . p. 24 3.5.2 Reconstru¸cão . . . p. 25 3.6 Análise Gráfica dos Autovetores . . . p. 26 3.7 Resumo da Metodologia . . . p. 27

4 An´alise dos Resultados p. 29

4.1 Modelagem por Holt-Winters Sem Filtragem SSA . . . p. 29 4.2 Modelagem por Box & Jenkins Sem Filtragem SSA . . . p. 30 4.2.1 Teste de Normalidade . . . p. 30 4.2.2 Teste de Raiz Unitária . . . p. 30 4.2.3 Análise do Correlograma . . . p. 30 4.2.4 Estat´ısticas de Aderência para os Modelos de Box & Jenkins . . p. 32 4.3 Filtragem SSA . . . p. 32 4.3.1 Análise de Séries Temporais Com Filtragem SSA . . . p. 36 4.3.2 Modelagem de Holt-Winters Com Filtragem SSA . . . p. 36 4.3.3 Modelagem por Box & Jenkins com Filtragem SSA . . . p. 37 4.3.3.1 Teste de Normalidade . . . p. 37 4.3.3.2 Teste de Raiz Unitária . . . p. 38 4.3.3.3 Estat´ısticas de Aderência . . . p. 38 4.3.4 Análise dos Res´ıduos . . . p. 39

5 Conclus˜ao p. 41

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Lista de Figuras

1 Gráfico de Vazão de Afluentes da UHE de Itaipú . . . p. 16 2 Fluxograma da Metodologia . . . p. 28 3 Fun¸cão de Autocorrela¸cão . . . p. 31 4 FAC e FACP Após uma Diferen¸ca Sazonal . . . p. 31 5 Autovetores na Decomposi¸cão SSA . . . p. 33 6 Diagrama de Dispersão de pares de Autovetores na decomposi¸cão SSA p. 34 7 Gráficos das Componentes da Série . . . p. 35 8 Série Origianl e Série Filtrada via SSA . . . p. 36 9 FAC dos res´ıduos . . . p. 40

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Lista de Tabelas

1 Estat´ısticas descritivas de vazão de afluentes do Rio Paraná . . . p. 16 2 Equa¸cões Básicas dos modelos de Holt-Winters . . . p. 17 3 Propriedades teóricas da FAC e FACP . . . p. 21 4 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos . . . p. 29 5 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos . . . p. 32 6 Agrupamento das Componentes . . . p. 35 7 Correla¸cão Ponderada Entre Agrupamentos . . . p. 35 8 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos Após Filtragem SSA . . . p. 37 9 Estat´ısticas de Aderência dos Melhores Modelos com e sem Filtragem SSA p. 37 10 Estat´ısticas de Aderência dos Modelos de Box & Jenkins com Filtragem

SSA . . . p. 38 11 Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Box & Jenkins sem e com

Filtragem SSA . . . p. 38 12 Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Holt-Winters e de Box &

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10

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

A energia elétrica é um dos bens essenciais na evolu¸cão humana. Desde a inven¸cão da lâmpada, o ser humano vem se desenvolvendo ao longo do tempo. Rádio, televisão, tele-fonia móvel, aparelhos hospitalares, o advento dos computadores, dentre outros, têm sua funcionalidade dependente da energia elétrica. Durante todo o século XX, a oferta farta de energia, obtida principalmente a partir dos combust´ıveis fósseis como petróleo e carvão mineral, deu suporte ao crescimento e às transforma¸cões da economia mundial. Já nos primeiros anos do século atual, o cenário mudou ao ser colocado à prova por uma nova realidade: a necessidade do desenvolvimento sustentável. A disponibilidade energética deveria se manter compat´ıvel com o acentuado aumento do consumo provocado por um novo ciclo de crescimento econômico, observado principalmente nos pa´ıses em desenvolvi-mento. Entretanto, as fontes tradicionais teriam que ser substitu´ıdas por recursos menos agressivos ao meio ambiente, dentre eles a energia hidrelétrica.

1.2 Energia Hidrel´

etrica

A água é o recurso natural mais abundante na Terra. Com um volume estimado de 1,36 bilhão de quilômetros cúbicos km3 _{recobre 2/3 da superf´ıcie do planeta sob a forma}

de oceanos, calotas polares, rios e lagos. Além disso, pode ser encontrada em aqu´ıferos subterrâneos, como o Guarani, no Sudeste brasileiro. A água também é uma das poucas fontes para produ¸cão de energia que não contribui para o aquecimento global o principal problema ambiental da atualidade.

A energia hidrelétrica é gerada pelo aproveitamento do fluxo das águas em uma usina na qual as obras civis que envolvem tanto a constru¸cão quanto o desvio do rio e a forma¸cão do reservatório são tão ou mais importantes que os equipamentos instalados. Por isso, ao contrário do que ocorre com as usinas termelétricas (cujas instala¸cões são mais simples),

(12)

1.3 Previs˜ao de Vaz˜ao de Afluentes 11

para a constru¸cão de uma hidrelétrica é imprescind´ıvel a contrata¸cão da chamada indústria da constru¸cão pesada.

Para produzir a energia hidrelétrica é necessário integrar a vazão do rio, à quantidade de água dispon´ıvel em determinado per´ıodo de tempo e aos desn´ıveis do relevo, sejam eles naturais, como as quedas d’água, ou criados artificialmente (ANEEL, 2008).

A primeira hidrelétrica do mundo foi constru´ıda no final do século XIX, quando o carvão era o principal combust´ıvel e as pesquisas sobre petróleo ainda engatinhavam junto `

as quedas d’água das Cataratas do Niágara. Até então, a energia hidráulica da região tinha sido utilizada apenas para a produ¸cão de energia mecânica. Na mesma época, e ainda no reinado de D. Pedro II, o Brasil construiu a primeira hidrelétrica, no munic´ıpio de Diamantina, utilizando as águas do Ribeirão do Inferno, afluente do rio Jequitinhonha, com 0,5 MW (Megawatt) de potência e linha de transmissão de dois quilômetros (ANEEL, 2008).

No Brasil, de acordo com o Banco de Informa¸cões da Gera¸cão (BIG) da Aneel, em novembro de 2008, existiam em opera¸cão 227 CGHs (Cetrais geradoras hidrelétricas), com potência total de 120 MW (MegaWatt); 320 PCHs (Pequenas centrais hidrelétricas, com 2,4 mil MW de potência instalada) e 159 UHE com uma capacidade total instalada de 74,63 mil MW. Em novembro de 2008, as usinas hidrelétricas, independentemente de seu porte, respondiam, portanto, por 75,68% da potência total instalada de 102,26 mil MW no pa´ıs.

No passado, o parque hidrelétrico chegou a representar 90% da capacidade instalada no Brasil. Esta redu¸cão tem três motivos: Primeiro, a necessidade da diversifica¸cão da matriz elétrica prevista no planejamento do setor elétrico de forma a aumentar a seguran¸ca do abastecimento; segundo, a dificuldade em ofertar novos empreendimentos hidráulicos pela ausência da oferta de estudos e inventários; terceiro, o aumento de entraves jur´ıdicos que protelam o licenciamento ambiental de usinas de fonte h´ıdrica e provocam o aumento constante da contrata¸cão em leilões de energia de usinas de fonte térmica, a maioria que queimam derivados de petróleo ou carvão (ANEEL, 2008).

1.3 Previs˜

ao de Vaz˜

ao de Afluentes

A previsão de vazões em tempo real consiste na utiliza¸cão de modelos hidrológicos para prever a vazão em tempos futuros. Esta previsão pode ser utilizada ser utilizada como alertas hidrológicos e para o planejamento da opera¸cão de sistemas hidrelétricos.

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1.4 Proposta 12

O conhecimento antecipado de vazão de afluentes nos reservatórios de gera¸cão de energia elétrica é fundamental para a opera¸cão das comportas e para o planejamento da gera¸cão de energia nas turbinas deste aproveitamento. Este conhecimento pode trazer benef´ıcios relacionados à seguran¸ca da barragem, seguran¸ca das popula¸cões ribeirinhas, redu¸cão de alguns impactos ambientais e maior eficiência na gera¸cão de energia (WOOD et al., 2002).

Alguns pesquisadores tem feito previsões usando diversas ferramentas em busca da melhor capacidade preditiva. Neto (2005) em sua pesquisa sobre previsão de vazão de afluentes do rio São Francisco utilizou rede neurais de Elman (RNA) e obteve erro médio menor que 0,2% indicando que o uso das redes de Elman nesta previsão foi adequado.

Santos (2015) em sua pesquisa sobre previsão de vazão afluente média mensal do rio Tocantins baseou-se nos modelos estocásticos do grupo SARIMA. Na ocasião, utilizou-se o modelo SARIM A(0, 0, 2) × (1, 2, 2) com coeficiente de Nasch-Sutclife (CNS) igual à 0,91 com grande poder preditivo.

1.4 Proposta

Neste projeto será utilizada a abordagen Singular Spectrum Analysis (SSA) para fil-trar séries de vazão de afluentes com base em dados mensais da vazão natural da Usina Hidrelétrica de Itaipú, no per´ıodo de 1931 a 2014, fornecidos pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS). Na ocasião, será utilizada a análise gráfica dos autovetores em uma das fases SSA para obter séries filtradas e em seguida os modelos de Box & Jenkins e de Holt-Winters para modelar a série original e a série filtrada. Ao final, as séries mo-deladas serão testadas via estat´ısticas de aderência para avaliar o seu poder preditivo. Na ocasião, serão utilizadas as medidas: MAPE (Mean Absolute Percentage Error), RMSE (Root Mean Squared Error), BIC (Bayesian Information Criterion) e R2 _{(Coeficiente de}

Determina¸cão). Para o estudo serão utilizados os softwares Forecast pro for Windows (FPW) para modelagem Holt-Winters e análise dos res´ıduos; CaterpillarSSA para fil-tragem SSA e análises gráficas; Microsoft Excel para organiza¸cão gráfica e estat´ısticas descritivas e GRETL para testes de normalidade e de estacionariedade e modelagem Box & Jenkins.

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1.5 Estrutura 13

1.5 Estrutura

Este trabalho está organizado em cinco cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1 está a introdu¸cão com a contextualiza¸cão do tema abordado. No cap´ıtulo 2 estão os objetivos deste trabalho. Os materiais e métodos estão no cap´ıtulo 3. No cap´ıtulo 4, estão as análises dos resultados e no cap´ıtulo 5, estão as principais conclusões.

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14

2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é avaliar o ganho de preditivo de diversos modelos aplicados a série de vazão de afluentes após a filtragem SSA. Avaliar qual seria o melhor modelo em termos de ajustes para séries de vazão de afluentes dentre os modelos de Holt Winters e Box & Jenkins. Verificar o comportamento das séries de vazão de afluentes sob o efeito da filtragem. Implementar um modelo para ser utilizado no planejamento da opera¸cão do sistema hidrelétrico brasileiro.

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15

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Banco de Dados

Os dados utilizados para o estudo se referem à Usina Hidrelétrica de Itaipú, que é uma usina hidrelétrica binacional localizada no Rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai. O banco de dados escolhido é o relatório de atualiza¸cão das séries de vazões médias mensais para o horizonte de 1931 a 2014 com 997 observa¸cões. De forma geral, são apresentadas as vazões naturais mensais nos locais de aproveitamentos hidroelétricos em opera¸cão, em expansão (considerados no planejamento hidroenergético até 2020) e em outros locais de interesse ao SIN (Sistema Interligado Nacional).

As séries de vazões naturais mensais dos aproveitamentos da bacia do rio Paraná foram obtidas no âmbito do Projeto de Revisão das Séries de Vazões Naturais, coorde-nado pela ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico), que para este trabalho con-tou com o acompanhamento técnico da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL), da Agência Nacional das Águas (ANA), do Ministério das Minas e Energia (MME) e dos Agentes de Gera¸cão responsáveis pelos aproveitamentos das bacias hidrográficas do Brasil. A vazão de afluentes é medida em m3_{/s. Os dados est˜}_{ao dispon´ıveis em}

http://www.ons.org.br/historico/index.aspx.

A figura 1 apresenta o gráfico da série média mensal de vazão de afluentes da UHE de Itaipú desde o ano de 1931 à 2014.

A tabela 1 apresenta as principais estat´ısticas descritivas da série utilizada. Nela, pode-se observar que as vazões tem grande variabilidade, o que indica instabilidade ao longo do tempo, justificando a necessidade de realizar boas previsões.

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3.2 Modelos de Holt-Winters 16 15000 20000 25000 30000 35000 Va zã o (m /s 2 ) 0 5000 10000 Va zã o (m /s 2 ) Tempo (meses)

Figura 1: Gráfico de Vazão de Afluentes da UHE de Itaipú Tabela 1: Estat´ısticas descritivas de vazão de afluentes do Rio Paraná

Estat´ıstica Vaz˜ao de afluentes (m3_/s)

M´aximo 31.630

M´ınimo 2.839

M´edia 10.301

Desvio Padr˜ao 4.776

3.2 Modelos de Holt-Winters

O m´etodo de Holt-Winters foi sugerido por Holt (1957) e Winters (1960), que traba-lharam no School of Industrial Administration em Carnegie Institute of Technology.

O método usa médias móveis ponderadas exponencialmente para atualizar as esti-mativas da média ajustada sazonalmente (chamada de n´ıvel), inclina¸cão e sazonalidade. Este modelo possui duas equa¸cões de previsão, a aditiva e a multiplicativa (Morettin e Toloi, 2004).

Segundo Lucio et al. (2010), este modelo possui duas equa¸cões de previsão: aditiva e multiplicativa. Os autores sugerem que o melhor critério de escolha entre os fatores multiplicativos ou aditivos consiste em calcular medidas de precisão, assim a op¸cão recai

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3.3 Modelos de Box & Jenkins 17

naquela que apresentar o(s) menor(es) erro(s). Outra poss´ıvel forma de indicar o modeloa ditivo está na presen¸ca de oscila¸cões aproximadamente constantes na série. Porém, de acordo com Vasconcelos e Costa (2008), se as oscila¸cões sazonais forem proporcionais ao n´ıvel da série, o modelo multiplicativo é o mais indicado. A tabela 2 apresenta as equa¸cões de atualiza¸cão dos parâmetros dos modelos de Holt-Winters.

Tabela 2: Equa¸cões Básicas dos modelos de Holt-Winters Modelo Multiplicativo N´ıvel Lt= α_SY_t−2t + (1 − α) × (Lt−1+ Bt−1) Tendência Bt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)Bt−1 Sazonalidade St = γ_LYt_t + (1 − γ)St−2 Previsão Ft+m = (Lt+ Bt+ m)St−2+m Modelo Aditivo N´ıvel Lt= α(Yt− St−2) + (1 − α) × (Lt−1+ Bt−1) Tendência Bt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)Bt−1 Sazonalidade St= γ(Yt− Lt) + (1 − γ)St−2 Previsão Ft+m = (Lt+ Bt+ m)St−2+m Onde : • S - Comprimento da sazonalidade; • Lt - N´ıvel da série; • Bt - Tendência • St - Componente sazonal;

• Ft+m - Previs˜ao m passos `a frente;

• Yt - Valor observado;

• α β γ - Parˆametros de amortecimento do n´ıvel, da tendˆencia e da sazonalidade, respec-tivamente.

3.3 Modelos de Box & Jenkins

Os modelos de Box & Jenkins, genericamente conhecidos por ARIM A (Auto Re-gressive Integrated Moving Averages) e na literatura em português por Auto-regressivos Integrados de Médias Móveis, são modelos matemáticos que visam captar o comporta-mento da correla¸cão seriada ou autocorrela¸cão entre os valores da série temporal, e com

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base nesse comportamento realizar previsões futuras. Se essa estrutura de correla¸cão for bem modelada, fornecerá boas previsões. Segundo Fava (2000), os modelos ARIM A resultam da combina¸cão de três componentes denominadas “filtros”: a componente au-torregressiva (AR), o filtro de integra¸cão (I) e a componente de médias móveis (M A). Uma série temporal pode ser modelada pelos três filtros ou apenas um subconjunto deles. Para a modelagem de Box & Jenkins é necessário que a série satisfa¸ca duas propriedades:

1. Estacionaridade: Conserva média e variância constantes ao longo do tempo. O teste de raiz unitária de Dickey-Fuller é utilizado para verificar a estacionaridade, onde a hipótese nula é possuir raiz unitária. Deseja-se que o teste traga um p-valor menor que o n´ıvel de significância que, em geral, é 0,05 para que a hipótese nula seja rejeitada. Caso isso não aconte¸ca, procede-se com sucessivas diferen¸cas até obter a série estacionária.

2. Normalidade: Deseja-se que a série tenha distribui¸cão normal com média µ e variância σ2. O teste de Kolmogorov-Smirnov é um dos testes utilizados, cuja hipótese nula ´

e a de normalidade. Deseja-se que o p-valor encontrado seja maior que 0,05 para não rejeitarmos a hipótese nula, caso contrário procede-se com transforma¸cões lo-gar´ıtimicas na série até que a série tenha distribui¸cão normal.

3.3.1 Modelo autorregressivo (AR)

Dizemos que Zt, t Z ´e um processo autorregressivo de ordem p e escrevemos Zt ∼

AR(p) se podemos escrever o processo na seguinte forma: Zt= φ1Zt−1+· · ·+φpZt−p+at,

onde φ1, . . . , φp são parâmetros reais e at é componente aleatória i.i.d. com E(at) =

0 e V ar(at) = σ2.

3.3.2 Modelo de m´

edias m´

oveis (M A)

Considere um processo linear Zt, tZ, dizemos que este processo é de médias móveis

de ordem q, denotado por M A(q), se satisfizer a equa¸c˜ao de diferen¸cas

Zt = at− θ1at−1− · · · − θqat−q, (3.1)

(20)

3.3.3 Modelo Autorregressivo e de M´

edias M´

oveis (ARM A)

O modelo autorregressivo e de médias móveis é a jun¸cão dos modelos AR(p) e M A(q). Denota-se por ARM A(p, q) um processo autorregressivo e de médias móveis de ordem (p, q) e pode ser representado em 3.2 .

Zt= φ1Zt−1+ φ2Zt−2+ . . . + φpZt−p+ at− θ1at−1+ θ2at−2+ . . . + θqat−q (3.2)

Usando o operador de defasagem B, tem-se em 3.3 .

(1 − φ1B − φ2B2− . . . − φpBp)zt= (1 − θ1B − θ2B2− . . . − θpBq)at (3.3)

3.3.4 O modelo ARIM A

O modelo ARIM A considera a tendência da série temporal e a não estácionaridade, já que os modelos anteriores: AR, M A e ARM A são modelos para séries estacionárias. O modelo ARIM A tem ordem (p, d, q) e pode ser representado por 3.4

φ(B)(1 − B)dZt= θ(B)at (3.4)

Sendo : φ(B) = 1 − φ1B − φ2B2− · · · − φpBp o polinˆomio (ou operador) autoregressivo

de ordem p; θ(B) = 1 − θ1B − θ2B2 − · · · − θqBq o polinˆomio (ou operador) de m´edias

móveis de ordem q, B o operador de retardado, tal que BjZt = Zt−j d é o número de

diferen¸cas necessárias para retirar a tendência da série Zte transformá-la em estacionária

e at é a componente aleatória com distribui¸cão normal i.i.d com média zero e variância

constante.

3.3.5 Modelagem SARIM A

Um dos modelos mais utilizados que consideram a sazonalidade de uma determinada serie temporal, é o modelo chamado ARIM A sazonal, ou SARIM A (Morettin e Toloi, 2004). Estes modelos são importantes por levarem em consideracão a sazonalidade es-tocástica dos dados. Quando o per´ıodo s = 12, o modelo denominado SARIM A de ordem (p, d, q) × (P, D, Q)12, é dado por 3.5

(21)

φ(B)Φ(B12)(1 − B)d(1 − B)D₁₂Zt= θ(B)Θ(B)at, (3.5)

em que φ(B) é o operador autoregressivo (AR) de ordem p, θ(B) é o operador de médias móveis (M A) de ordem q, Φ(B) é o operador AR-sazonal de ordem P , Θ(B) é o operador M A-sazonal de ordem Q, (1 − B) é o operador de diferen¸ca, (1 − B)12 é o operador de

diferen¸ca sazonal e at´e um ru´ıdo branco.

3.3.6 Fun¸

c˜

ao de Auto Correla¸

c˜

ao (FAC) e Fun¸

c˜

ao de Auto

Cor-rela¸

c˜

ao Parcial (FACP)

A fun¸cão de autocorrela¸cão mede o grau de correla¸cão de uma variável, em um dado instante, consigo mesma, em um instante de tempo posterior ou anterior. Ela permite que se analise o grau de irregularidade de um sinal.

A análise da FAC e da FACP é de fundamental importância para o procedimento de previsão de séries temporais, pois é com ela que se identificam as ordens p e q de um modelo ARM A.

A FAC é a razão entre a autocovariância e a variância para um conjunto de dados, As equa¸cões (3.6) e (3.7) apresentam a fun¸cão de autocovariância e a fun¸cão de autocor-rela¸cão (FAC) respectivamente de uma dada série temporal.

γk = T −k X t=1 1 T − k(Zt− µ)(Zt+k− µ) (3.6) F AC = (ρk) = γk γ0 (3.7) (3.8)

Os modelos AR(p), M A(q) e ARM A(p, q) apresentam FAC com caracter´ısticas espe-ciais:

1. um processo AR(p) tem FAC infinita em extens˜ao que decai de acordo com expo-nenciais e/ou senoides amortecidas;

2. um processo M A(q) tem FAC finita, no sentido que ela apresenta um corte ap´os a defasagem q;

(22)

3.4 Diagn´ostico do modelo 21

3. um processo ARM A(p, q) tem FACP infinita que decai de acordo com exponencias e/ou senoides amortecidas ap´os a defasagem (q − p).

A FACP corresponde a correla¸c˜ao entre Zt e Zt−k e removendo o efeito das

ob-serva¸c˜oes Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1 e ´e denotada por φkk , ou seja

φkk = Corr(Zt, Zt−k/Zt−1, Zt−2, . . . , Zt−k+1).

A utiliza¸cão das equa¸cões de Yule-Walker é uma forma de obten¸cão da FACP para pro-cessos autorregressivos estacionários.

          1 ρ1 ρ2 . . . ρp−1 ρ1 1 ρ1 . . . ρp−2 ρ2 ρ1 1 . . . ρp−3 .. . ... ... . .. ... ρp1 ρp−2 ρp−3 . . . 1                     φ1 φ2 φ3 .. . φp           =           ρ1 ρ2 ρ3 .. . ρp          

A equa¸cão acima mostra as propriedades teóricas das funcões de autocorrelacão e autocorrela¸cão parcial para alguns processos estacionários como auxiliar na identificacão do modelo. A tabela 3 mostra as propriedades teóricas da FAC e da FACP.

Tabela 3: Propriedades te´oricas da FAC e FACP

Processo FAC FACP

S´erie aleat´oria 0 0

AR(1), α > 0 decaimento exponencial 0, k > 1

M A(1) 0, k > 1 decaimento oscilat´orio ARM A(p, q) decaimento a partir de q decaimento a partir de p

3.4 Diagn´

ostico do modelo

Existem algumas maneiras para chegar à uma conclusão de qual é o melhor modelo para estimar a série temporal escolhida. Usaremos as estat´ısticas de aderência e a análise sobre os res´ıduos.

(23)

3.4 Diagn´ostico do modelo 22

3.4.1 Estat´ısticas de Aderˆ

encia

Para se escolher entre um método de previsão ou outro é importante utilizar uma medida de erro com a finalidade de se encontrar aquele método que seja mais acurado. O erros a serem considerados como estat´ısticas de aderência serão: RMSE (Root Mean Squared Error) ou a Raiz quadrada da Erro Quadrático Médio; MAPE (Mean Absolute Percentage Error) ou Erro Médio Percentual Absoluto. Os cálculos de medidas de erro podem ser visualizados nas equa¸cões abaixo:

RM SE = v u u t N X t=1 (Zt− bZt)2 N (3.9)

onde N é o número de padrões, Zt representa o valor observado no instante t, bZt

representa o valor ajustado no instante t.

M AP E = N X t=1 (Zt− bZt) Zt N × 100 (3.10)

onde N é o número de padrões, Zt representa o valor observado no instante t, bZt

representa o valor ajustado no instante t.

BIC (Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiano - Bayesian Information Criterion)

BIC = −2 log Lp+ [(p + 1) + 1] log n (3.11)

O BIC aumenta conforme o SQE (Soma dos Quadrados dos Erros) aumenta. Al´em disso, o BIC penaliza modelos om muitas vari´aveis, quanto menor o valor de BIC, melhor.

SQE =

N

X

t=1

(Zt− bZt)2 (3.12)

(24)

3.5 Filtragem SSA 23

a melhor escolha ´e balancear o ajuste com a quantidade de vari´aveis.

O coeficiente de determina¸cão, também chamado de R2, é uma medida de ajustamento de um modelo estat´ıstico. O R2 _{varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto}

o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R2_{, mais explicativo ´}_e

modelo, melhor ele se ajusta `a amostra.

R2 = 1 − PT t=1(Zt− ˆZt)2 PT t=1(Zt− ¯Z)2 ! (3.13)

3.4.2 An´

alise dos Res´ıduos

Após um modelo ter sido ajustado a uma série temporal deve-se verificar se ele fornece uma descri¸cão adequada dos dados. Assim como em outros modelos estat´ısticos a idéia é verificar o comportamento dos res´ıduos. É particularmente importante que os res´ıduos de um modelo estimado sejam serialmente não correlacionados. A evidência de correla¸cão serial nos res´ıduos é uma indica¸cão de que uma ou mais caracter´ısticas da série não foi adequadamente descrita pelo modelo. Consequentemente, duas maneiras óbvias de verificar a adequa¸cão do modelo consistem em representar graficamente os res´ıduos e o seu correlograma. O grafico temporal poderá revelar a presen¸ca de dados discrepantes, efeitos de autocorrela¸cão ou padrões c´ıclicos enquanto que o correlograma permite uma análise mais detalhada da estrutura de autocorrela¸cão indicando poss´ıveis termos faltantes no modelo.

3.5 Filtragem SSA

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. E uma t´´ ecnica útil para filtrar dados de séries temporais. Menezes et al. (2014) utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado neste projeto. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (Elsner, 1996). SSA tem sido aplicada com su-cesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na

(25)

meteorologia e oceanografia a ciˆencias sociais (GOLYANDINA et al., 2001).

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (Golyandina et al., 2001; Hassani et al., 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e re-constru¸cão.

3.5.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Yt = [y1, . . . yT]1×T uma s´erie temporal e considere L tal que 2 ≤ L ≤ T de modo

que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (Golyandina et al., 2001). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal YT é levada a uma matriz X chamada “Matriz Trajetória” dada por (3.14).

X =        y1 y2 y3 . . . yk y2 y3 y4 . . . yk+1 .. . ... ... . .. ... yL yL+1 yL+2 . . . yT        (3.14)

A matriz X ´e uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i+j = constante

s˜ao iguais.

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovalores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.15):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (3.15)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (Menezes et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (3.15) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/

PL

(26)

3.5.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

que a expans˜ao (3.15) pode ser reescrita como em (3.16), sendo XIiarbitr´aria tal queXIi =

Ppi j=1XIij (Menezes et al., 2014). X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (3.16)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.17) (MENEZES et al., 2014). Ppi j=1λI_ij PL l=1λl . (3.17)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento y

(i) t da

componente hy_t(i)i

1×T da série temporal [yt]1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (3.18), a partir da matriz elementar XIi.

y_t(i)=                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L∗ ≤ t < K∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K∗ ≤ t ≤ T (3.18)

Cada componente hy_t(i)i

1×T concentra parte da energia da s´erie temporal original

[yt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

(27)

3.6 An´alise Gr´afica dos Autovetores 26

Hassani et al. (2012), podemos classificar as componentes SSA hy_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [yt]_1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo

e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYANDINA et al., 2001).

Um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade (Hassani et al., 2012). Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferen-tes, componendiferen-tes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos en-tender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Y_T(1) e Y_T(2) definida em (3.19) (MENZES et al., 2014).

ρ(w)_ij =

Y_T(i), Y_T(j)

w

||Y_T(i)||w||Y (j) T ||w

. (3.19)

onde ||Y_T(i)||w =

r Y_T(i), Y_T(i) w ; ||Y_T(j)||w = r Y_T(j), Y_T(j) w ;Y_T(i), Y_T(j) w = T P k=1 wky (i) k y (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Segundo Hassani et al. (2012), o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA corres-pondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYANDINA et al., 2001).

3.6 An´

alise Gr´

afica dos Autovetores

A análise das coordenadas da série temporal na base definida pelos vetores singulares resultantes da SVD permite identificar as componentes de tendência e da sazonalidade da série. O problema geral aqui consiste em identificar e separar as componentes oscilatórias das componentes que fazem parte da tendência. De acordo com Golyandina et al. (2001) a análise gráfica de tais coordenadas aos pares permite identificar por meio visual as componentes harmônicas da série.

As coordenadas da série temporal em duas componentes ortogonais podem ser dispos-tas em um diagrama de dispersão. Considere um harmônico puro com frequência igual a ω , fase igual a δ , amplitude igual a ξ e per´ıodo ρ = 1/ω definido como um divisor do tamanho da janela L e K. Se o parâmetro ρ assume um valor inteiro, então ρ é classificado

(28)

3.7 Resumo da Metodologia 27

como per´ıodo do harmônico. Por exemplo, as fun¸cões seno e o cosseno com frequências, amplitudes e fases iguais resultam em um diagrama de dispersão que exibe um padrão circular. Por sua vez, se ρ=1/ω é um inteiro, então o diagrama de dispersão exibe um pol´ıgono regular com ρ vértices. Para uma frequência ω=m/n<0.5 com m e n inteiros e primos, os pontos são vértices de um pol´ıgono regular de n vértices (GOLYANDINA et al., 2001). Dessa forma, a identifica¸cão dos componentes que são gerados por um harmônico é reduzida à análise pictórica do padrão determinado nos diferentes pares de componentes.

3.7 Resumo da Metodologia

Uma série de vazão de afluentes será modelada via BJ (Box & Jenkins) e HW (Holt-Winters). Essa mesma série também passará pela filtragem SSA, onde uma série aproxi-mada será obtida e também será modelada por BJ (Box & Jenkins) e HW (Holt-Winters)). Após isso, será escolhido o melhor modelo e seus parâmetros através das estat´ısticas de aderência: MAPE (Mean Absolute Percentage Error ), MAD (Mean Absolute Deviation), RMSE (Root Mean Squared Error ), BIC (Bayesian InformationCriterion) e R2 (Coefici-ente de Determina¸cão). Ao todo serão comparados oito modelos, e o modelo que melhor se adequa aos dados, possuindo assim a melhor poder preditivo, será aquele que apresen-tar a menor estat´ısticade aderência, exceto o R2_{. Os softwares utilizados para o estudo}

serão: FPW (Forecast Pro for Windows) e Gretl para fazer a modelagem Holt-Winters e Box & Jenkins e CaterpillarSSA para abordagem SSA. Os resultados obtidos através dos experimentos computacionais realizados serão comparados em termos das estat´ısticas de aderência. A figura 2 apresenta o fluxograma proposto neste trabalho.

(29)

3.7 Resumo da Metodologia 28

(30)

29

4 An´

alise dos Resultados

Inicialmente, a série original de médias mensais de vazão de afluentes do Rio Paraná que abastece a UHE de Itaipú foi submetida a análise de séries temporais, sendo modelada por cinco modelos da classe de Amortecimento Exponencial de Holt-Winters e por três modelos da classe de modelos ARIMA de Box & Jenkins. Os modelos e as estat´ısticas de aderência são apresentados nas se¸cões 4.1 e 4.2.

4.1 Modelagem por Holt-Winters Sem Filtragem SSA

O primeiro método utilizado foi o de Holt-Winters. A Tabela 4 traz as estat´ısticas de aderência para cada modalidade de Holt-Winters estudada. Com tendência, sem tendência, com sasonalidade multiplicativa, aditiva e as combina¸cões plaus´ıveis para es-colher o melhor modelo em termos de ajustes. Na ocasião, HW-1 é o modelo de Holt-Winters sem tendência e sazonalidade multiplicativa, HW-2 é o modelo de Holt-Winters com tendência e sazonalidade aditiva, HW-3 é o modelo de Holt-Winters com tendência e sazonalidade multiplicativa, HW-4 é o modelo de Holt-Winters com tendência amortecida e sazonalidade aditiviva e HW-5 é o modelo de Holt-Winters com tendência amortecida e sazonalidade multiplicativa.

Tabela 4: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos

M´etodo MAPE RMSE BIC R2

HW-1 0.1810 2614 2632 0.7019 HW-2 0.1946 2634 2662 0.6972 HW-3 0.1812 2615 2642 0.7018 HW-4 0.1945 2632 2668 0.6978 HW-5 0.1809 2614 2650 0.7019

A partir dos resultados da tabela 4, verifica-se que o modelo HW-1 (Holt-Winters sem tendˆencia e com sazonalidade multiplicativa) apresenta menores valores para MAPE, RMSE e BIC e maior R2_{, sendo este o modelo mais adequado dentre os avaliados.}

(31)

4.2 Modelagem por Box & Jenkins Sem Filtragem SSA 30

4.2 Modelagem por Box & Jenkins Sem Filtragem

SSA

Para obter as modelagens por Box & Jenkins primeiramente deve-se analisar algumas hipóteses básicas para a utiliza¸cão do modelo.

4.2.1 Teste de Normalidade

Utiliza-se o teste de Kolmogorov-Smirnov para verificar a normalidade dos dados, neste teste foi gerado um p-valor de 1.35916e-020, tendo hipótese nula como norma-lidade, temos a evidência para rejeita-la, logo o banco de dados não é normal, sendo necessária uma transforma¸cão logar´ıtimica.

4.2.2 Teste de Raiz Unit´

aria

Para verificar a estacionaridade dos dados utiliza-se o teste de Dickey-Fuller. O p-valor gerado no teste foi de 1.013e-005, que mostra que deve-se a rejeitar a hipótese nula de raiz unitária, logo, indicando que a série é estacionária.

4.2.3 An´

alise do Correlograma

Analisando a FAC (fun¸cao de autocorrela¸cão) é poss´ıvel notar que a série não é esta-cionária sazonalmente. Uma vez que tem uma decaimento lento de lag (defasagem) 12, mostrado na figura 3, implicando na necessidade de ser feita uma diferen¸ca sazonal. Já na parte simples não há necessidade de fazermos essa diferen¸ca uma vez que o teste de Dickey-Fuller rejeitou a hipotese de raiz unitária.

(32)

4.2 Modelagem por Box & Jenkins Sem Filtragem SSA 31

Figura 3: Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao

Analisando a parte simples nota-se que na FAC, um decaimento exponencial nos lags iniciais. Na FACP apresenta-se uma forte significˆancia no primeiro lag, sugerindo um modelo AR(1).

A figura 4 apresenta a FAC e a FACP da s´erie ap´os uma diferen¸ca sazonal.

(33)

De acordo com a figura 4 da FAC e FACP respectivamente após a primeira diferen¸ca sazonal, há uma maior significância no lag 12 da FAC, e pela FACP um comportamento de decaimento exponencial de 12 em 12 meses. Este comportamento é tipico de um modelo MA(1) sazonal, logo o modelo SARIM A(1, 0, 0) × (0, 1, 1)12 mostra-se o mais indicado.

4.2.4 Estat´ısticas de Aderˆ

encia para os Modelos de Box &

Jen-kins

O modelo gerado pelo modo especialista do FPW sugere SARIM A(1, 0, 0)×(2, 0, 1)12,

por´em o mesmo indica pouca significˆancia no estimador do parametro A[24] sugerindo a retirada do mesmo, indicando um novo modelo SARIM A(1, 0, 0) × (1, 0, 1)12.

Após todas as hipóteses para o uso do modelo serem satisfeitas, podem ser feitas as modelagens necessárias para comparar as estat´ısticas de aderência como feito anterior-mente com os modelos de Holt-Winters.

A tabela 5 mostra as estat´ısticas de aderência. Na ocasião, BJ-1 é o modelo SARIM A(1, 0, 0)× (2, 0, 1)12, BJ-2 é o modelo SARIM A(1, 0, 0)×(0, 1, 1)12e BJ-3 é o modelo SARIM A(1, 0, 0)×

(1, 0, 1)12.

Tabela 5: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos

BJ-1 0.1669 2456 2016 0.7837 BJ-2 0.1645 2439 2001 0.7838 BJ-3 0.1671 2455 2009 0.7835

Através das estat´ısticas de aderência da tabela 5, pode-se concluir que o melhor modelo em termos de ajustes dentre os Box & Jenkins testados é o SARIM A(1, 0, 0) × (0, 1, 1)12

pois possui os menores e erros (MAPE, RMSE e BIC) e maior qualidade preditiva anali-sada pelo maior R2_.

O modelo SARIM A(1, 0, 0) × (0, 1, 1)12 ser´a avaliado contra o melhor modelo

encon-trado ap´os a filtragem SSA.

4.3 Filtragem SSA

Para a utiliza¸cão da filtragem SSA, é necessário escolher o comprimento de janela (L). Segundo Golyandina et al. (2001) o valor ideal para o comprimento de janela é L = T /2.

(34)

Com isso, o valor obtido ´e de L = 499. A figura 5 apresenta os 9 primeiros autovetores na decomposi¸c˜ao SSA. 170000 190000 210000 230000 250000 270000 1 ₂2 ₄3 ₆4 ₈5 1 0 6 1 2 7 1 4 8 1 6 9 1 9 0 2 1 1 2 3 2 2 5 3 2 7 4 2 9 5 3 1 6 3 3 7 3 5 8 3 7 9 4 0 0 4 2 1 4 4 2 4 6 3 4 8 4 1(83.818%) -100000 -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000 40000 60000 80000 100000 2(3.861%) -100000 -50000 0 50000 100000 3(3.846%) -50000 -40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 4(0.370%) -40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 5(0.341%) -40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 6(0.336%) -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 7(0.261%) -40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 8(0.260%) -25000 -20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 9(0.217%)

Figura 5: Autovetores na Decomposi¸c˜ao SSA

De acordo com a análise gráfica dos autovetores, pode-se fazer o agrupamento das componentes em: Tendência, harmônica e ru´ıdo.

De acordo com a figura 5, o autovetor 1 (83.818%) tem o comportamento de tendência e os autovetores 2 e 3 tem um provável comportamento harmônico. Para uma análise mais refinada, procura-se fazer o estudo do diagrama de dispersão onde as componentes harmônicas apresentam um formato pol´ıgono regular.

(35)

Na figura 6 pode-se ver que o pares de autovetores 1-2 como uma mistura de compor-tamento de tendência com harmônica, 5-6 com comportamento de tendência, 2-3 e 9-10 apresentam comportamento harmônico, enquanto os pares 157-158 e 224-225 apresentam um comportamento ruidoso.

Gráfico de Dispersão dos Autovetores 2-3

-100000 -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000 40000 60000 80000 100000

Gráfico de Dispersão Autovetores 1-2 Gráfico de Dispersão Autovetores 9-10

Gráfico de Dispersão Autovetores 5-6 Gráfico de Dispersão Autovetores 157-158 Gráfico de Dispersão Autovetores 224-225

(36)

Após a análise gráfica de todos autovetores, obtem-se o agrupamento das componen-tes. A tabela 6 apresenta o resultado obtido.

Tabela 6: Agrupamento das Componentes Tendˆencia Harmˆonica ru´ıdo 1, 4 - 8, 11 - 15 2 - 3, 9 - 10 20 - 21 22 - 23, 26 - 28 16 - 19, 24 - 25, 29 - 33 34 - 499

Já a tabela 7 apresenta a correla¸cão ponderada que mostra o qual bem separados estão os grupos, justamente por apresentarem correla¸cões baixas entre eles.

Tabela 7: Correla¸c˜ao Ponderada Entre Agrupamentos Tend. Harm. Ru´ıdo

Tend. 1 0,003 0,007

Harm. 0,003 1 0,040

Ru´ıdo 0,007 0,040 1

A figura 7 mostra os gráficos das componentes da série em tendência, harmônica e ru´ıdo obtidas na fase de agrupamento SSA.

5000 7000 9000 11000 13000 15000 17000 19000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tendência -6300 -4300 -2300 -300 1700 3700 5700 7700 Harmônica -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Ruidosa

Figura 7: Gr´aficos das Componentes da S´erie

Na reconstru¸cão para a série filtrada exclui-se a componente ruidosa e reconstrói-se a série utilizando apenas as componetes tendência e harmônica.

(37)

4.3 Filtragem SSA 36 20000 25000 30000 35000 va zã o ( m 3 /s ) 5000 10000 15000 20000 va zã o ( m 3 /s ) 0 Tempo (meses)

Original Filtrada SSA

Figura 8: S´erie Origianl e S´erie Filtrada via SSA

4.3.1 An´

alise de S´

eries Temporais Com Filtragem SSA

Após a filtragem SSA, foram feitas as modelagens tal qual foram feitas sem essa ferramenta com o propósito deverificar se há uma melhora relevante nos resultados obtidos nos modelos.

4.3.2 Modelagem de Holt-Winters Com Filtragem SSA

Primeiramente foram testados os modelos de Holt-Winters com SSA baseado nas mesmas caracteristicas dos modelos sem SSA.

A Tabela 8 traz as estat´ısticas de aderência para cada modalidade de Holt-Winters que foi utilizada. Com tendência, sem tendência, com sasonalidade multiplicativa, aditiva e as combina¸cões plaus´ıveis para analisar de fato qual é a mais eficiente em termos de ajuste do modelo. Na ocasião, HW-1-SSA é o modelo de Holt-Winters sem tendência e sazonalidade multiplicativa com a filtragem SSA, HW-2-SSA é o modelo de Holt-Winters com tendência e sazonalidade aditiva com a filtraegm SSA, HW-3-SSA é o modelo de Holt-Winters com tendência e sazonalidade multiplicativa com filtragem SSA, HW-4-SSA é o modelo de Holt-Winters com tendência amortecida e sazonalidade aditiviva com filtragem SSA e HW-5-SSA é o modelo de Holt-Winters com tendência amortecida e sazonalidade multiplicativa com filtragem SSA.

(38)

Tabela 8: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos Ap´os Filtragem SSA

HW-1-SSA 0.07682 959.6 966.2 0.9480 HW-2-SSA 0.07428 883.5 892.7 0.9559 HW-3-SSA 0.07701 964.9 974.9 0.9474 HW-4-SSA 0.07427 883.3 895.6 0.9559 HW-5-SSA 0.07678 959.4 972.8 0.9480

tendência e sazonalidade aditiva é o que apresenta melhor ajuste. Mesmo apresentando MAPE e RMSE sensivelmente maiores que o modelo HW-4, o BIC, que é uma medida convencionalmente mais forte, é menor. O R2 dos dois modelos é o mesmo.

A tabela 9 mostra as estat´ısticas de aderˆencia do melhor modelo em termos de ajustes da classe de Holt-Winters sem a filtragem SSA e o melhor modelo com a filtragem.

Tabela 9: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Melhores Modelos com e sem Filtragem SSA

HW-1 0.18100 2614.0 2632.0 0.7019 HW-2-SSA 0.07428 883.5 892.7 0.9559

Percebe-se uma grande melhora entre o melhor modelo sem filtragem e o melhor modelo com filtragem, melhorando todas as estat´ısticas de aderência. Com isso mostra-se o quanto a filtragem é efetiva na limpeza dos dados ajudando na modelagem da série.

4.3.3 Modelagem por Box & Jenkins com Filtragem SSA

Para serem feitas as modelagens por Box & Jenkins com filtragem SSA primeiramente deve-se analisar as hipóteses básicas para a utiliza¸cão do modelo.

4.3.3.1 Teste de Normalidade

O teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov apresentou um p-valor de 2,52466e-012. Sendo hipótese nula de normalidade, então há evidência para rejeita-la, de modo que a série não é normal, sendio necessária a transforma¸cão logaritma.

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4.3.3.2 Teste de Raiz Unit´aria

O teste ADF apresenta p-valor igual à 0,00941. Com isso, a hipótese nula de existência de raiz unitária é rejeitada sendo, portanto, a série estacionária e não ne-cessitando fazer diferen¸cas.

4.3.3.3 Estat´ısticas de Aderˆencia

As modelagens de Box & Jenkins após a filtragem SSA foram geradas de acordo como o modelo escolhido pelo modo especialista do FPW e por suas varia¸cões diminuindo o número de parâmetros. A tabela 10 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderência dos modelos, sendo BJ1-SSA o modelo SARIM A(2, 0, 2) × (1, 0, 3)12 para a série filtrada

SSA, BJ2-SSA o modelo SARIM A(2, 0, 1)×(1, 0, 2)12para a s´erie filtrada SSA e BJ3-SSA

o modelo SARIM A(1, 0, 1) × (1, 0, 2)12.

Tabela 10: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Box & Jenkins com Filtragem SSA

BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0.9994 BJ-2-SSA 0,00879 98,65 102,1 0,9994 BJ-3-SSA 0,01778 207,1 208,7 0,9974

Como pode ser visto na tabela 10, o modelo SARIM A(2, 0, 2) × (1, 0, 3)12 apresenta

os menores valores das estat´ısticas de aderˆencia e o maior coeficiente de determina¸c˜ao R2_,

sendo o melhor dentre os modelos de Box & Jenkins aplicados à série após a filtragem SSA.

Ap´os esta etapa, os modelos que obtiveram o melhor desempenho dentre os modelos de Box & Jenkins sem SSA e com SSA s˜ao comparados e os resultados apresentados na tabela 11.

Tabela 11: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Box & Jenkins sem e com Filtragem SSA

BJ-2 0,16450 2439,00 2001,00 0,7838 BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0,9994

Como pode ser visto na tabela 11, o modelo de Box & Jenkins da s´erie com friltragem SSA apresenta melhor desempenho que o modelo de Box & Jenkins da s´eries sem a filtragem.

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Esta análise também confirma a superioridade dos modelos de Holt-Winters da série com filtragem SSA. Sendo assim, a conclusão de que a filtragem SSA melhora o desem-penho da modelagem tanto na classe de amortecimento exponencial quanto na classde ARIMA.

O útimo passo desta análise consiste em verificar, via estat´ısticas de aderência, qual das classes de mdelo usando SSA possui melhor desempenho.A tabela 12 apresenta os resultados esta compara¸cão.

Tabela 12: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins com Filtragem SSA

HW-2-SSA 0,07428 883,50 892,70 0,9559 BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0,9994

Como pode ser visto na tabela 12, o modelo de Box& Jenkins com a filtragem SSA tem desempenho superior ao modelo de Holt-Winters tamb´em com SSA, o que indica que, assim como a filtragem, a modelagem ARIMA se apresenta como ideal para esta s´erie.

4.3.4 An´

alise dos Res´ıduos

Após definir o melhor modelo de acordo com as estat´ısticas de aderência, a análise dos res´ıduos decide se o modelo escolhido é adequado para esta série. A figura 9 mostra a o gráfico da FAC dos res´ıduos.

Como pode ser observado na figura 9, os res´ıduos são não correlacionados, indicando que o modelo selecionado é adequado.

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(42)

41

5 Conclus˜

ao

Este projeto teve como objetivo avaliar a melhora da capacidade preditiva de modelos de séries temporais de duas classes diferentes sem e com o uso de uma filtragem Singular Spectrum Analysis com base na análise gráfica do comportamento de autovetores na fase de decomposi¸cão.

Na ocasião, uma série temporal de médias mensais de vazão de afluentes do Rio Paraná qua abastece a Usina Hidrelétrica de Itaipú foi modelada por cinco modelos diferentes da classe de amortecimento exponencial de Holt-Winters e o o melhor modelo foi seelcionado com base nas estat´ısticas de aderência MAPE e RMSE, pelo critério BIC e pelo coeficiente de determina¸cão 2. Esta mesma série foi modelada por três modelos da classe de Box & Jenkins e o melhor também foi seleceionado com base nos mesmos critérios utilizados no caso do amortecimento exponencial.

Após a análise com a série original, a filtragem SSA foi feita e as modelagens com a série filtrada seguiram os mesmos moldes das modelagens sem a filtragem. Em seguida, os modelos destacados sem a filtragem foram comparados com os modelos destacados após a filtragem SSA tanto para a classe Holt-Winters quanto para a classe de Box & Jenkins. Ao final, os modelos de melhor desempenho dentre os melhores da classe Holt-Winters e Box & Jenkins foram comparados.

De acordo com estes resultados, pode-se concluir que o modelo de amortecimento exponencial de Holt-Winters mais adequado é o modelo com sazonalidade multiplicativa, mas quando a filtragem SSA é aplicada, o modelode Holt-Winters com a filtragem tem melhor desempenho. também conclui-se que a capacidade preditiva do modelo de Box & Jenkins com a filtragem SSA é melhor que a mesma avaliada no modelo sem a filtragem. Conclui-se também que o modelo de Box & Jenkins supera o modelo de Holt-Winters para esta série.

Então, chega-se a conclusão de que a filtagem SSA melhora a capacidade preditiva do modelo e que os modelos de Box & Jenkins são mais adequados para modelagem e

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5 Conclus˜ao 42

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43

Referˆ

encias

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