Para serem feitas as modelagens por Box & Jenkins com filtragem SSA primeiramente deve-se analisar as hip´oteses b´asicas para a utiliza¸c˜ao do modelo.
4.3.3.1 Teste de Normalidade
O teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov apresentou um p-valor de 2,52466e- 012. Sendo hip´otese nula de normalidade, ent˜ao h´a evidˆencia para rejeita-la, de modo que a s´erie n˜ao ´e normal, sendio necess´aria a transforma¸c˜ao logaritma.
4.3 Filtragem SSA 38
4.3.3.2 Teste de Raiz Unit´aria
O teste ADF apresenta p-valor igual `a 0,00941. Com isso, a hip´otese nula de existˆencia de raiz unit´aria ´e rejeitada sendo, portanto, a s´erie estacion´aria e n˜ao ne- cessitando fazer diferen¸cas.
4.3.3.3 Estat´ısticas de Aderˆencia
As modelagens de Box & Jenkins ap´os a filtragem SSA foram geradas de acordo como o modelo escolhido pelo modo especialista do FPW e por suas varia¸c˜oes diminuindo o n´umero de parˆametros. A tabela 10 apresenta os resultados das estat´ısticas de aderˆencia dos modelos, sendo BJ1-SSA o modelo SARIM A(2, 0, 2) × (1, 0, 3)12 para a s´erie filtrada
SSA, BJ2-SSA o modelo SARIM A(2, 0, 1)×(1, 0, 2)12para a s´erie filtrada SSA e BJ3-SSA
o modelo SARIM A(1, 0, 1) × (1, 0, 2)12.
Tabela 10: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Box & Jenkins com Filtragem SSA
M´etodo MAPE RMSE BIC R2
BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0.9994 BJ-2-SSA 0,00879 98,65 102,1 0,9994 BJ-3-SSA 0,01778 207,1 208,7 0,9974
Como pode ser visto na tabela 10, o modelo SARIM A(2, 0, 2) × (1, 0, 3)12 apresenta
os menores valores das estat´ısticas de aderˆencia e o maior coeficiente de determina¸c˜ao R2,
sendo o melhor dentre os modelos de Box & Jenkins aplicados `a s´erie ap´os a filtragem SSA.
Ap´os esta etapa, os modelos que obtiveram o melhor desempenho dentre os modelos de Box & Jenkins sem SSA e com SSA s˜ao comparados e os resultados apresentados na tabela 11.
Tabela 11: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Box & Jenkins sem e com Filtragem SSA
M´etodo MAPE RMSE BIC R2
BJ-2 0,16450 2439,00 2001,00 0,7838 BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0,9994
Como pode ser visto na tabela 11, o modelo de Box & Jenkins da s´erie com friltragem SSA apresenta melhor desempenho que o modelo de Box & Jenkins da s´eries sem a filtragem.
4.3 Filtragem SSA 39
Esta an´alise tamb´em confirma a superioridade dos modelos de Holt-Winters da s´erie com filtragem SSA. Sendo assim, a conclus˜ao de que a filtragem SSA melhora o desem- penho da modelagem tanto na classe de amortecimento exponencial quanto na classde ARIMA.
O ´utimo passo desta an´alise consiste em verificar, via estat´ısticas de aderˆencia, qual das classes de mdelo usando SSA possui melhor desempenho.A tabela 12 apresenta os resultados esta compara¸c˜ao.
Tabela 12: Estat´ısticas de Aderˆencia dos Modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins com Filtragem SSA
M´etodo MAPE RMSE BIC R2
HW-2-SSA 0,07428 883,50 892,70 0,9559 BJ-1 - SSA 0,00841 91,62 97,69 0,9994
Como pode ser visto na tabela 12, o modelo de Box& Jenkins com a filtragem SSA tem desempenho superior ao modelo de Holt-Winters tamb´em com SSA, o que indica que, assim como a filtragem, a modelagem ARIMA se apresenta como ideal para esta s´erie.
4.3.4
An´alise dos Res´ıduos
Ap´os definir o melhor modelo de acordo com as estat´ısticas de aderˆencia, a an´alise dos res´ıduos decide se o modelo escolhido ´e adequado para esta s´erie. A figura 9 mostra a o gr´afico da FAC dos res´ıduos.
Como pode ser observado na figura 9, os res´ıduos s˜ao n˜ao correlacionados, indicando que o modelo selecionado ´e adequado.
4.3 Filtragem SSA 40
41
5
Conclus˜ao
Este projeto teve como objetivo avaliar a melhora da capacidade preditiva de modelos de s´eries temporais de duas classes diferentes sem e com o uso de uma filtragem Singular Spectrum Analysis com base na an´alise gr´afica do comportamento de autovetores na fase de decomposi¸c˜ao.
Na ocasi˜ao, uma s´erie temporal de m´edias mensais de vaz˜ao de afluentes do Rio Paran´a qua abastece a Usina Hidrel´etrica de Itaip´u foi modelada por cinco modelos diferentes da classe de amortecimento exponencial de Holt-Winters e o o melhor modelo foi seelcionado com base nas estat´ısticas de aderˆencia MAPE e RMSE, pelo crit´erio BIC e pelo coeficiente de determina¸c˜ao 2. Esta mesma s´erie foi modelada por trˆes modelos da classe de Box & Jenkins e o melhor tamb´em foi seleceionado com base nos mesmos crit´erios utilizados no caso do amortecimento exponencial.
Ap´os a an´alise com a s´erie original, a filtragem SSA foi feita e as modelagens com a s´erie filtrada seguiram os mesmos moldes das modelagens sem a filtragem. Em seguida, os modelos destacados sem a filtragem foram comparados com os modelos destacados ap´os a filtragem SSA tanto para a classe Holt-Winters quanto para a classe de Box & Jenkins. Ao final, os modelos de melhor desempenho dentre os melhores da classe Holt-Winters e Box & Jenkins foram comparados.
De acordo com estes resultados, pode-se concluir que o modelo de amortecimento exponencial de Holt-Winters mais adequado ´e o modelo com sazonalidade multiplicativa, mas quando a filtragem SSA ´e aplicada, o modelode Holt-Winters com a filtragem tem melhor desempenho. tamb´em conclui-se que a capacidade preditiva do modelo de Box & Jenkins com a filtragem SSA ´e melhor que a mesma avaliada no modelo sem a filtragem. Conclui-se tamb´em que o modelo de Box & Jenkins supera o modelo de Holt-Winters para esta s´erie.
Ent˜ao, chega-se a conclus˜ao de que a filtagem SSA melhora a capacidade preditiva do modelo e que os modelos de Box & Jenkins s˜ao mais adequados para modelagem e
5 Conclus˜ao 42
43
Referˆencias
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mental hydrologic forecasting for the eastern U.S. Journal of Geophysical Research, 36, pp 70 - 86.
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[10] Hassani, H., Heravi, S., and. Zhigljavsky, A. (2012). Forecasting UK Industrial Pro- duction with Multivariate Singular Spectrum Analysis, presentedat the 2012 Intrer- national Conference on the Singular Spectrum Analysis and its Applications, Beijing, China.
[11] Hipel, K. W. e McLeod, A. I. (1994). Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems. Ed. Elsevier. Amsterdam, The Netherlands.