Dados Multivariados de Contagem com Excesso de Zeros

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Dados multivariados de

contagem com excessos de zeros

Nat´

alia Santana Paiva

Rio de Janeiro 2014

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Dados multivariados de contagem com

excessos de zeros

Nat´

alia Santana Paiva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıs-tica do Instituto de Matemática da Uni-versidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários para a ob-ten¸cão do grau de Mestre em Ciências Es-tat´ısticas.

Comiss˜

ao Julgadora:

Prof. Prof.

Ant^onio Carlos Monteiro Ponce de Leon Helio S. Migon

IMS - UERJ IM - UFRJ

Orientadora Prof.

Tha´ıs Cristina Oliveira da Fonseca IM - UFRJ

Rio de Janeiro 2014

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Ficha Catalogr´

afica

P149b Paiva, Nat´alia Santana

Dados multivariados de contagem com excessos de ze-ros/ Nat´alia Santana Paiva. – Rio de Janeiro, 2014. 131f.: il.; 30cm.

Orientadora: Tha´ıs Cristina Oliveira da Fonseca Disserta¸cão (Mestrado) - UFRJ / Instituto de Mate-mática, Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica, 2014.

Refer^encias: f. 109-113

1. Análise Multivaiada - Tese. 2. Teoria da decisão es-tat´ıstica Bayesiana I. Fonseca, Tha´ıs Cristina Oliveira (Ori-ent.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica. III. T´ıtulo.

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“Why does he insist that we must have diagnosis? Some things are not meant to be known by man.” Susanna Gregory, An Unholy Alliance.

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Agradecimentos

Agrade¸co a todos que de forma direta ou indireta participaram do meu processo de aprendizagem, em especial meus orientadores, em ordem cronol´ogica, Cl´audia Medina, Guillermo Velarde, Leo Bastos e Tha´ıs Fonseca.

Agrade¸co aos meus pais e à CAPES pelo apoio financeiro e minha irmã que mesmo lendo e relendo a disserta¸cão ainda me pergunta o que é um modelo ZIP.

Agrade¸co a paciência de todos tanto pela ausência quanto o mau humor diário ao longo do mestrado.

Agrade¸co por fim aos professores Helio S. Migon e Antônio Carlos Monteiro Ponce de Leon por aceitarem fazer parte da comissão julgadora desta disserta¸cão.

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Resumo

Dados multivariados de contagem, como por exemplo, número de interna¸cões ou óbitos por doen¸cas em determinado hospital geralmente apresentam correla¸cão e excessos de zeros. A análise multivariada de dados cont´ınuos baseada nas distribui¸cões Gaussiana multivariada e afins vem sendo utilizada e é bem estabelecida na literatura estat´ıstica. No entanto, isto ainda não ocorre para os dados discretos multivariados. O objetivo do presente trabalho é propor modelos que capturem a correla¸cão entre as contagens, por unidade amostral, como, por exemplo, o modelo de Poisson multivariado, tratando a correla¸cão no n´ıvel principal da hierarquia. Além disto, deseja-se considerar o excesso de zeros proveniente dos dados, como, por exemplo, o modelo de Poisson Zero Inflacionado (ZIP) multivariado, com e sem covariáveis. A inferência foi feita sob a ótica bayesiana e utilizou a técnica de aumento de dados, com o objetivo de obter um algoritmo de estima¸cão computacionalmente mais eficiente.

Ao longo da metodologia, foram propostos modelos de contagens univariados e multivariados e discutiu-se o método de inferência, a técnica de aumento de dados, métodos de estima¸cão e compara¸cão de modelos além do processo de previsão de dados faltantes.

O presente trabalho apresenta tanto uma análise da sensibilidade da escolha da priori para os modelos Poisson bivariado e ZIP bivariado através de um estudo si-mulado quanto exemplos sisi-mulados com o objetivo de verificar se os parâmetros dos modelos propostos são identificáveis, se os códigos de autoria própria estão corretos e o comportamento dos modelos propostos em diferentes cenários. Por fim, a metodo-logia proposta foi aplicada nos dados referentes ao número de interna¸cão por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e hipertensivas no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro. A partir desses estudos, concluiu-se que distribui¸cões a priori não

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informativas com alta probabilidade em torno do zero não são boas para tais modelos multivariados de contagem. Além disto, a cobertura do modelo ZIP multivariado não ´

e alta para distribui¸c˜oes a priori muito vagas.

Palavras-chave: Dados multivariados de contagem, Modelo ZIP multivariado, T´ ec-nica de aumento de dados

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Abstract

Multivariate count data, such as number of hospitalizations or deaths from certain diseases in hospital usually account correlation and excess zeros. Multivariate analysis of continuous data based on multivariate Gaussian distributions has been used and is well established in the statistical literature. However, this still does not occur in discrete multivariate data. The objective of this paper is to propose models that capture the correlation between counts per sampling unit, for example, the multivariate Poisson model, treating the correlation on the main level of the hierarchy. Furthermore, it is desired to consider the excess of zero from the data, for example, the multivariate Zero Inflated Poisson model (m-ZIP) with and without covariates. The inference was made in the Bayesian perspective and used the technique of data augmentation, in order to obtain an estimation algorithm computationally more efficient.

During the methodology, univariate and multivariate models for cout data were proposed and discussed the inference method, the data augmentation method, methods of estimation and comparison of models and the prediction of missing data.

This paper presents both an analysis of the sensitivity of the choice of prior for the bivariate Poisson and 2-ZIP models through a simulated study as simulated examples with the purpose to verify that the parameters of the proposed models are identifiable, if the codes are correct and the behavior of the models proposed in different cases. Finally, the proposed methodology was applied to data on the number of hospitalizations for ischemic heart disease and hypertensive during 2012 in 75 hospitals in the city of Rio de Janeiro. From these studies, it was concluded that non-informative prior distributions with high probability around zero are not good for such multivariate count models.

Keywords: Multivariate count data, multivariate ZIP model, data augmentation method

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Lista de Figuras

2.1 Número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão (a), Número de interna¸cões por doen¸cas hipertensivas (b) e rela¸cão entre o número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e hipertensivas (c) no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais no munic´ıpio do Rio de Janeiro . . . . 11

2.2 Intensidade do número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão (a) e por doen¸cas hipertensivas (b) em cada um dos 75 hospitais no munic´ıpio do Rio de Janeiro no per´ıodo de 2012. . . 13

2.3 Esfera Administrativa (a), Gestão hospitalar (b), Atende emergência (c) e Número de interna¸cões do cap´ıtulo IX da CID10, no per´ıodo de 2012, no munic´ıpio do Rio de Janeiro (d). . . 14

7.1 Exemplo simulado 1: Distribui¸c˜ao dos dados simulados a partir do mo-delo Poisson + MLG com 300 observa¸c˜oes. 𝑌1|𝜆1 ∼ 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆1) (a) e

𝑌2|𝜆2 ∼ 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆2) (b). . . 76

7.2 Exemplo simulado 2: Distribui¸c˜ao dos dados simulados a partir do mo-delo Poisson + MLG com 300 observa¸c˜oes. 𝑌1|𝜆0,𝜆1 (a) e 𝑌2|𝜆0,𝜆2 (b). . 81

7.3 Exemplo simulado 2: Distribui¸c˜ao a posteriori de 𝑌(1,19) (a), 𝑌(1,52) (b),

𝑌(1,60)(c), 𝑌(1,62)(d) e 𝑌(2,47)(e) resultantes do modelo 2-Poisson. Linha

tracejada (vermelho): valores verdadeiros. Dados simulados a partir do modelo 2-Poisson (N=300). . . 86

(11)

7.4 Exemplo simulado 3: Distribui¸c˜ao dos dados 𝑌1 (a) e 𝑌2 (b) simulados

a partir do modelo 2-ZIP + MLG com 300 observa¸c˜oes. . . 87

7.5 Exemplo simulado 3: Distribui¸c˜ao a posteriori de 𝑌(1,19) (a), 𝑌(1,52) (b),

𝑌(1,60) (c), 𝑌(1,62) (d) e 𝑌(2,47) (e) resultantes do modelo 2-ZIP+MLG.

Linha tracejada (vermelho): valores verdadeiros. Dados simulados a partir do modelo 2-ZIP+MLG (N=300). . . 92

7.6 Aplica¸c˜ao a dados reais: Distribui¸c˜ao a posteriori de 𝑌_(1,19) (a), 𝑌_(1,52) (b), 𝑌_(1,60)(c), 𝑌_(1,62)(d) e 𝑌_(2,47)(e) resultantes do modelo 2-ZIP+MLG. Linha tracejada (vermelho): valores verdadeiros. Dados reais (N=75). . 100

7.7 Aplica¸c˜ao a dados reais: Distribui¸c˜ao a posteriori de 𝑌(1,19) (a), 𝑌(1,52)

(b), 𝑌(1,60) (c), 𝑌(1,62) (d) e 𝑌(2,47) (e) resultantes do modelo ZIP+MLG.

(12)

Lista de Tabelas

2.1 Estat´ısticas descritivas do n´umero de interna¸c˜oes por causa no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . 12

2.2 Estat´ıstica descritiva do n´umero de interna¸c˜oes do cap´ıtulo IX (CID10) no per´ıodo de 2012 no munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . 13

5.1 Calibragem do Fator de Bayes segundo Jeffreys (1961). . . 53

5.2 Calibragem do Fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery (1995). . . 53

6.1 Cen´arios do estudo de sensibilidade da priori para o modelo Poisson bivariado e suas correla¸c˜oes. . . 61

6.2 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: erro quadr´ a-tico m´edio para o Cen´ario (i): 𝜆0= 1, 𝜆1= 5, 𝜆2 = 10. Leia-se “-” como

erro durante o processo de estima¸c˜ao. . . 64

6.3 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: cobertura de 95% para o Cen´ario (i): 𝜆0 = 1, 𝜆1 = 5, 𝜆2 = 10. Leia-se “-” como erro

durante o processo de estima¸c˜ao. . . 64

6.4 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: erro quadr´ a-tico m´edio para o Cen´ario (ii): 𝜆0 = 10, 𝜆1 = 5, 𝜆2 = 1. Leia-se “-” como

(13)

6.5 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: cobertura de 95% para o Cen´ario (ii): 𝜆0 = 10, 𝜆1 = 5, 𝜆2 = 1. Leia-se “-” como erro

durante o processo de estima¸c˜ao. . . 65

6.6 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: erro quadr´ a-tico m´edio para o Cen´ario (iii): 𝜆0 = 10, 𝜆1 = 50, 𝜆2 = 100. Leia-se “-”

como erro durante o processo de estima¸c˜ao. . . 65

6.7 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: cobertura de 95% para o Cen´ario (iii): 𝜆0 = 10, 𝜆1 = 50, 𝜆2 = 100. Leia-se “-” como

6.8 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: erro quadr´ a-tico m´edio para o Cen´ario (iv): 𝜆0 = 100, 𝜆1 = 50, 𝜆2 = 10. Leia-se “-”

como erro durante o processo de estima¸c˜ao. . . 66

6.9 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-Poisson: cobertura de 95% para o Cen´ario (iv): 𝜆0 = 100, 𝜆1 = 50, 𝜆2 = 10. Leia-se “-” como

6.10 Cen´arios do estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP e suas correla¸c˜oes. . . 68

6.11 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: erro quadrático médio para o Cenário (i): Λ = (0,5; 0,5; 0,5) e 𝜋 = (0,25; 0,25; 0,25).. . . 70

6.12 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: cobertura de 95% para o Cen´ario (i): Λ = (0,5; 0,5; 0,5) e 𝜋 = (0,25; 0,25; 0,25). . . 70

6.13 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: erro quadrático médio para o Cenário (ii): Λ = (0,5; 0,5; 0,5) e 𝜋 = (0,45; 0,05; 0,05). . . 70

6.14 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: cobertura de 95% para o Cen´ario (ii): Λ = (0,5; 0,5; 0,5) e 𝜋 = (0,45; 0,05; 0,05). . . 71

6.15 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: erro quadrático médio para o Cenário (iii): Λ = (10; 50; 100) e 𝜋 = (0,45; 0,05; 0,05). . . 71

(14)

6.16 Estudo de sensibilidade da priori para o modelo 2-ZIP: cobertura de 95% para o Cen´ario (iii): Λ = (10; 50; 100) e 𝜋 = (0,45; 0,05; 0,05). . . 71

7.1 Exemplo simulado 1: intervalo de credibilidade de 95% a posteriori. Dados simulados a partir do modelo Poisson + MLG (N= 300) com valores verdadeiros fixados em 𝛽₁= (4,5; −1,5) e 𝛽₂= (2,5; 3,75). Para os modelos sem regressores 𝛽0 = 𝑙𝑜𝑔(𝜆0), 𝛽𝑗0 = 𝑙𝑜𝑔(𝜆𝑗)para 𝑗 = 1,2, “−”

nos coeficientes que não compõem os modelos e em negrito os intervalos que contêm os valores verdadeiros. . . 77

7.2 Exemplo simulado 1: fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery (1995) baseado no modelo Poisson independente. Dados simulados a partir do modelo Poisson + MLG (N=300). Maior fator de Bayes na escala logar´ıtmica em negrito. . . 79

7.3 Exemplo simulado 1: Erro quadrático (EQ) médio e mediano das pre-visões das 5 observa¸cões faltantes para os modelos propostos. Dados simulados a partir do modelo Poisson + MLG com valores verdadeiros fi-xados em 𝑦(1,19) = 34; 𝑦(2,47)= 85; 𝑦(1,52) = 22; 𝑦(1,60) = 25; 𝑦(1,62) = 100.

Menor EQ m´edio e EQ mediano em negrito. . . 79

7.4 Exemplo simulado 1: Interval Score com 𝛼 = 0,05 de cada observa¸c˜ao faltante para os modelos propostos. Dados simulados a partir do modelo Poisson + MLG com valores verdadeiros fixados em 𝑦_(1,19)= 34; 𝑦_(2,47) = 85; 𝑦(1,52) = 22; 𝑦(1,60)= 25; 𝑦(1,62) = 100. Menor Interval Score em negrito. 80

7.5 Exemplo simulado 2: intervalo de credibilidade de 95% a posteriori. Dados simulados a partir do modelo 2-Poisson (N= 300) com valores verdadeiros fixados em 𝜆0= 0,5, 𝜆1 = 1,65 e 𝜆2= 1,65. Para os modelos

com covari´aveis 𝜆𝑗 = 𝑒𝑥𝑝{𝛽𝑗} para 𝑗 = 0,1,2 e em negrito os intervalos

(15)

7.6 Exemplo simulado 2: fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery (1995) baseado no modelo Poisson independente. Dados si-mulados a partir do modelo 2-Poisson (N= 300) com valores verdadeiros fixados em 𝜆0 = 0,5, 𝜆1 = 1,65 e 𝜆2 = 1,65. Maior fator de Bayes na

escala logar´ıtmica em negrito. . . 83

7.7 Exemplo simulado 2: Erro quadrático (EQ) médio e mediano das pre-visões das 5 observa¸cões faltantes para os modelos propostos. Dados simulados a partir do modelo 2-Poisson com valores verdadeiros fixados em 𝑦_(1,19) = 2; 𝑦_(2,47) = 4; 𝑦_(1,52) = 5; 𝑦_(1,60) = 3; 𝑦_(1,62) = 4. Menor EQ médio e EQ mediano em negrito. . . 84

7.8 Exemplo simulado 2: Interval Score com 𝛼 = 0,05 de cada observa¸c˜ao faltante para os modelos propostos. Dados simulados a partir do mo-delo 2-Poisson com valores verdadeiros fixados em 𝑦_(1,19) = 2; 𝑦_(2,47) = 4; 𝑦_(1,52) = 5; 𝑦_(1,60) = 3; 𝑦_(1,62) = 4. Menor Interval Score geral em negrito. 85

7.9 Exemplo simulado 3: intervalo de credibilidade de 95% a posteriori. Dados simulados a partir do modelo 2-ZIP + MLG (N= 300) com valores verdadeiros fixados em 𝜆0= 3, 𝛽1 = (3; 5) e 𝛽2 = (3; 4). Para os modelos

sem regressores 𝛽𝑗0 = 𝑙𝑜𝑔(𝜆𝑗) com 𝑗 = 1,2, para modelos com regressores

𝜆0 = 𝑒𝑥𝑝{𝛽0}, “−” nos coeficientes que n˜ao comp˜oem os modelos, em

negrito os intervalos que cont^em os valores verdadeiros e “NA” representa erro durante o processo de simula¸c˜ao. . . 88

7.10 Exemplo simulado 3: fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery (1995) baseado no modelo Poisson independente. Dados simulados a partir do modelo 2-ZIP + MLG (N=300). Leia-se “NA” como valor muito pequeno e “-” erro durante o processo de simula¸c˜ao. Maior fator de Bayes na escala logar´ıtmica em negrito. . . 89

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7.11 Exemplo simulado 3: Erro quadrático (EQ) médio e mediano das previ-sões das 5 observa¸cões faltantes para os modelos propostos. Dados simu-lados a partir do modelo 2-ZIP+MLG com valores verdadeiros fixados em 𝑦(1,19) = 763; 𝑦(2,47) = 80; 𝑦(1,52) = 1.259; 𝑦(1,60) = 411; 𝑦(1,62) = 64.

Menor EQ m´edio e EQ mediano em negrito e “-” indica erro durante o processo de simula¸c˜ao. . . 90

7.12 Exemplo simulado 3: Interval Score com 𝛼 = 0,05 de cada observa¸c˜ao faltante para os modelos propostos. Dados simulados a partir do modelo 2-ZIP+MLG com valores verdadeiros fixados em 𝑦_(1,19) = 763; 𝑦_(2,47) = 80; 𝑦(1,52) = 1.259; 𝑦(1,60) = 411; 𝑦(1,62) = 64. Menor Interval Score em

negrito e “-” indica erro durante o processo de simula¸c˜ao. . . 91

7.13 Aplica¸c˜ao a dados reais: intervalo de credibilidade de 95% a posteriori de 𝛽0, 𝛽1 e 𝛽2 para os modelos propostos no presente trabalho. Para os

modelos sem regressores 𝛽𝑗0= 𝑙𝑜𝑔(𝜆𝑗) com 𝑗 = 1,2, “−” nos coeficientes

que não compõem os modelos e em negrito os IC de 95% a posteriori que não contêm o valor 0. . . 96

7.14 Aplica¸c˜ao a dados reais: Mediana e intervalo de credibilidade de 95% a posteriori de 𝜋0, 𝜋1e 𝜋2para os modelos ZIP univariado e multivariados

e “−” nos coeficientes que n˜ao comp˜oem os modelos. . . 97

7.15 Aplica¸c˜ao a dados reais: fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery (1995) baseado no modelo Poisson independente. Da-dos reais (N=75). . . 97

7.16 Aplica¸cão a dados reais: Erro quadrático médio e mediano das pre-visões das 5 observa¸cões faltantes para os modelos propostos. Dados reais com valores verdadeiros fixados em 𝑦(1,19) = 0; 𝑦(2,47) = 0; 𝑦(1,52) =

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7.17 Aplica¸c˜ao a dados reais: Interval Score de cada observa¸c˜ao faltante para os modelos propostos com 𝛼 = 0,05. Dados reais com valores verdadeiros fixados em 𝑦(1,19) = 0; 𝑦(2,47) = 0; 𝑦(1,52) = 95; 𝑦(1,60) = 0; 𝑦(1,62) = 190.

(18)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Revis˜ao de literatura . . . 2

1.1.1 Modelo de Poisson Multivariado . . . 2

1.1.2 Modelos Zero Inflacionados . . . 5

1.2 Estrutura do trabalho . . . 8

2 Motiva¸c˜ao 9 3 Modelos para dados univariados de contagem 15 3.1 Poisson . . . 16

3.2 Regress˜ao de Poisson . . . 16

3.3 Zero Inflacionados . . . 17

3.3.1 Regress˜ao ZIP . . . 18

4 Modelos para dados multivariados de contagem 21 4.1 Poisson multivariado . . . 21

4.2 Regress˜ao de Poisson multivariado . . . 27

4.3 ZIP multivariado . . . 29

4.4 Regress˜ao ZIP multivariado . . . 35

(19)

5.1 Infer^encia bayesiana . . . 39

5.1.1 T´ecnica de aumento de dados . . . 40

5.1.2 Distribui¸c˜ao a Priori . . . 42

5.1.3 M´etodos de Estima¸c˜ao . . . 48

5.2 Compara¸c˜ao de modelos . . . 51

5.3 Previs˜ao . . . 54

5.3.1 Dados faltantes . . . 55

5.3.2 Compara¸c˜ao do desempenho preditivo entre modelos . . . 56

6 Estudo de sensibilidade da priori 59 6.1 Modelo 2-Poisson . . . 60

6.2 Modelo 2-ZIP . . . 67

7 Exemplos simulados e Aplica¸c˜oes a dados reais 73 7.1 Exemplo Simulado 1 . . . 75

7.2 Exemplo Simulado 2 . . . 80

7.3 Exemplo simulado 3 . . . 84

7.4 Aplica¸c˜ao a dados reais . . . 93

8 Considera¸c˜oes finais e projetos futuros 103 8.1 Considera¸c˜oes finais . . . 103

8.2 Projetos futuros . . . 106

Refer^encias Bibliogr´aficas 109 A Provas 114 B Condicional Completa 117 B.1 Modelo Poisson multivariado . . . 118

(20)

B.3 Modelo ZIP multivariado . . . 121

(21)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Dados multivariados de contagem, como por exemplo, número de interna¸cões ou óbitos por doen¸cas em determinado hospital, número de cada um dos poss´ıveis defeitos na produ¸cão de determinada pe¸ca, número de peixes ou plantas de espécies distintas em determinado local entre outros, geralmente apresentam correla¸cão e excessos de zeros (Li et al.,1999;Majumdar and Gries,2010;Arab et al.,2012).

Os modelos de regressão para dados de contagem já estão bem estabelecidos na literatura estat´ıstica (McCullagh and Nelder,1989). Geralmente se utiliza o modelo de regressão Poisson log-linear para descrever este tipo de dados, no entanto, a correla¸cão entre os dados através da Poisson log-linear é modelada no n´ıvel das taxas, pois sabe-se que tratá-las no n´ıvel principal da hierarquia, isto é, nos dados, via distribui¸cão de Poisson multivariada, não é tão trivial pela complexidade de sua fun¸cão de probabili-dade conjunta.

Neste trabalho, a correla¸cão entre as contagens, por unidade amostral, será captu-rada através do modelo de regressão de Poisson multivariado e utilizará a técnica de aumento de dados, desta forma, eliminando o somatório presente na fun¸cão de

(22)

proba-Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 2

bilidade conjunta e diminuindo o custo computacional. Isto é, a correla¸cão será tratada no n´ıvel principal da hierarquia.

Para tratar o excesso de zeros será considerado o modelo Zero Inflado (ZI), sem e com covariáveis, tanto na propor¸cão de zeros como nas taxas da Poisson. Novamente será utilizada a técnica de aumento de dados para modelar mistura de distribui¸cões visando diminuir o custo computacional.

O escopo do presente trabalho é propor modelos que considerem a correla¸cão pro-veniente dos dados multivariados de contagens e que acomodem o excesso de zeros de forma eficiente e ilustrá-los em um banco de dados bivariados de interesse em saúde coletiva.

A inferência será feita sob a ótica bayesiana e utilizará a técnica de aumento de dados, uma vez que para estimar as quantidades desconhecidas tanto do modelo de regressão de Poisson multivariado como as do modelo de regressão Poisson Zero Infla-cionado multivariado recorrem-se a métodos intensivos como Monte Carlo via cadeias de Markov (Gamerman and Lopes, 2006), uma vez que a distribui¸cão a posteriori, usualmente, não pode ser obtida analiticamente.

1.1 Revis˜

ao de literatura

1.1.1 Modelo de Poisson Multivariado

A análise multivariada de dados cont´ınuos baseada nas distribui¸cões gaussiana multi-variada e afins vem sendo utilizada e é bem estabelecida na literatura. No entanto, isto ainda não ocorre para os dados discretos multivariados. Ao se tratar de contagens multivariadas as aproxima¸cões pelo modelo gaussiano multivariado podem ser

(23)

utiliza-3 1.1. Revis˜ao de literatura

das, mas podem não ser adequadas, principalmente quando as médias observadas não são grandes o suficiente ou há várias contagens nulas (Karlis and Meligkotsidou,2005).

Uma poss´ıvel abordagem, ainda nesse contexto, ´e a utiliza¸c˜ao de modelos de mis-turas que capturem o excesso de zeros dos dados, como os modelos ZINB (abrevia-¸

cão do inglês para Zero-inflated negative binomial ) e ZIP (abrevia¸cão do inglês para Zero-inflated Poisson) apresentados em Yip (1988) e Heilbron (1994). Todavia, esses modelos não consideram a estrutura multivariada dos dados. Sendo assim, nesse con-texto, faz-se necessária uma modelagem que incorpore as informa¸cões provenientes dos dados, como excessos de zeros e estruturas multivariadas, para que as análises sejam mais precisas e eficientes.

A distribui¸cão de Poisson multivariada, denotada, aqui, por 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛, é uma alternativa para tratar dados discretos multivariados. Uma forma intuitiva para escre-ver a Poisson multivariada é utilizar a soma de variáveis aleatórias independentes de Poisson (mais detalhes em Johnson et al.,1997).

No entanto, a principal desvantagem da aplica¸cão desta distribui¸cão é a forma complexa da fun¸cão de probabilidade conjunta, como pode ser vista na equa¸cão (1.1). A fun¸cão de probabilidade para o modelo de Poisson multivariado de covariância comum para todas as variáveis, isto é, (𝑌1, 𝑌2, · · · , 𝑌𝑚)′ ∼ 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0, 𝜆1, · · · , 𝜆𝑚) é dada

(24)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 4 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚|𝜆0, 𝜆1, · · · , 𝜆𝑚) = 𝑒𝑥𝑝 ⎛ ⎝− 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝜆𝑗 ⎞ ⎠ 𝑚 ∏︁ 𝑗=1 𝜆𝑦𝑗 𝑗 𝑦𝑗! × 𝑚𝑖𝑛(𝑦1,𝑦2,...,𝑦𝑚) ∑︁ 𝑖=0 𝑚 ∏︁ 𝑗=1 (︂𝑦𝑗 𝑖 )︂ 𝑖! (︃ 𝜆0 ∏︀𝑚 𝑗=1𝜆𝑖 )︃𝑖 (1.1)

Um caso especial do modelo de Poisson multivariado é assumir uma covariância comum para todas as variáveis, como pode ser visto em Tsionas(1999), onde é apre-sentada uma análise bayesiana da distribui¸cão de Poisson com base no amostrador de Gibbs com a técnica de aumento de dados e emMa and Kockelman (2006) que apre-sentam uma análise bayesiana da distribui¸cão de Poisson com base no amostrador de Gibbs bem como o “Metropolis-Hastings” (M-H).

A ideia central do presente trabalho segue de certa maneira a mesma abordagem executada por Ma and Kockelman (2006), isto é, as variáveis referentes a covariância entre os dados, para cada uma das unidades amostrais, serão tratadas como variáveis latentes. Esta abordagem evita o cálculo expl´ıcito da fun¸cão massa de probabilidade através de aproxima¸cões ou cálculos recursivos. Uma das diferen¸cas entre este trabalho e o dos autores Ma and Kockelman (2006) é que aqui serão abordados modelos de mistura para acomodar o excesso de zeros presente nos dados e discute-se a inclusão de covariáveis para explicar as taxas de interesse para cada variável resposta e para explicar a probabilidade de zeros.

Ainda na proposta de covariância comum para todas as variáveis, Karlis (2003) discute a ausência de procedimentos de inferência na estima¸cão dos parâmetros e argu-menta que tal deficiência reduz a aplicabilidade de tais modelos. Os autores propõem a

(25)

5 1.1. Revis˜ao de literatura

utiliza¸cão do agoritmo EM, baseado na técnica de redu¸cão multivariada, para estimar os parâmetros via máxima verossimilhan¸ca.

Nos últimos anos, as aplica¸cões de modelos de Poisson têm aumentado, princi-palmente devido ao aumento do desempenho computacional. O modelo de Poisson multivariado usado na prática é baseado numa covariância comum para todos os pares de variáveis, no entanto, esta formula¸cão não permite a modelagem da estrutura de covariância dos dados de maneira flex´ıvel e, geralmente, não retrata a realidade de forma fidedigna.

Uma modelagem mais geral é assumir uma estrutura de covariância 2-a-2, isto é, cada par de variáveis possui uma covariância. Essa modelagem pode ser vista emKarlis and Meligkotsidou (2005);Buck et al. (2009) os quais associam covariáveis a todos os parâmetros, inclusive os de covariância. No presente trabalho, por exemplo, utiliza-se as covariáveis gestão hospitalar, latitude e longitude padronizadas, dentre outras, para tentar explicar as taxas de interesse. Mais detalhes no cap´ıtulo2.

Outra restri¸cão da distribui¸cão de Poisson multivariada é o fato das covariâncias serem obrigatoriamente positivas, devido sua especifica¸cão baseada na soma de vari´ a-veis aleatórias mutuamente independentes com distribui¸cão Poisson. Essa restri¸cão é assumida neste trabalho e é razoável em muitos exemplos aplicados de interesse.

1.1.2 Modelos Zero Inflacionados

Recentemente, tem crescido o interesse na modelagem que capture, de forma eficiente, o excesso de zeros presente em dados de contagem, em especial quando assume-se mo-delos de Poisson. Estes momo-delos s˜ao conhecidos como modelos zero inflacionados (ZI)

(26)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 6

(Majumdar and Gries,2010).

Dados de contagem provenientes de estudos epidemiológicos, industriais, econ^ omi-cos, ecológicos e do meio ambiente usualmente apresentam excessos de zeros, como por exemplo número de interna¸cões ou óbitos por determinada doen¸ca, processos de fabrica¸cão que produzem produtos sem defeitos, número de plantas de determinada espécie, entre outros.

Excluir ou ignorar a informa¸cão de excessos de zeros presente nos dados acabará facilitanto a análise, no entanto, poderá resultar numa perda de informa¸cão. Distri-bui¸cões de probabilidade usadas para dados de contagem, como a binomial negativa e Poisson não conseguem capturar essa informa¸cão, assim, fornecendo um ajuste ina-dequado. Quando esses zeros são plaus´ıveis nos dados, recomenda-se a utiliza¸cão de misturas de modelos (Cohen,1963;Johnson and Kotz,1969).

Yip (1988) e Heilbron (1994) apresentaram modelos de regressão para dados de contagem baseados em misturas de distribui¸cões degeneradas no ponto zero e outras distribui¸cões amostrais, como ZINB (abrevia¸cão do inglês para Zero-inflated negative binomial ) e ZIP (abrevia¸cão do inglês para Zero-inflated Poisson).

Ao estudar processos de contagem multivariados sabe-se que a utiliza¸cão dos mo-delos ZI usuais torna-se ineficaz. Ao se tratar de um processo de Poisson multivariado, uma alternativa é o modelo ZIP multivariado. SegundoArab et al. (2012) a utilidade deste modelo é extensa, porém, a literatura relevante é, ainda, limitada.

Li et al. (1999) formularam o ZIP m-dimensional utilizando o mesmo artif´ıcio da Poisson m-variada proposta porJohnson et al.(1997). Al´em disso, focou no caso

(27)

biva-7 1.1. Revis˜ao de literatura

riado, usando uma mistura de 2 distribui¸cões de Poisson univariadas com a distribui¸cão degenerada no ponto (0,0) e a distribui¸cão Poisson bivariada e estendeu para o caso multivariado apresentando um exemplo real utilizando o modelo ZIP trivariado. O método utilizado pelos autores para estima¸cão dos parâmetros foi o de máxima veros-similhan¸ca.

JáMajumdar and Gries (2010) consideraram a estima¸cão sob o enfoque bayesiano, propuseram modelos com e sem covariáveis e usaram a técnica de aumento de dados. Os autores mostraram resultados de estudos simulados para o caso sem covariáveis para verificar a efetividade da estima¸cão via ZIP bayesiano como demonstraram a metodolo-gia numa aplica¸cão de contagens de plantas de duas espécies distintas e correlacionadas na região metropolitana de Phoenix. Essa estratégia permite que a verossimilhan¸ca seja escrita de uma forma mais simples e dependendo da priori elicitada consegue-se conju-ga¸cão tanto para a propor¸cão de zero quanto para variável latente que configura este aumento. Uma das principais diferen¸cas entreMajumdar and Gries(2010) e o presente trabalho é como será tratado o aumento de dados, além da apresenta¸cão de um estudo de sensibilidade da priori para os modelos Poisson e ZIP multivariados.

Arab et al. (2012) propuseram o ZIP bivariado semiparamétrico bayesiano para modelar processos de contagem bivariados utilizando a extensão dos modelos ZI exis-tentes e utilizaram a técnica de aumento de dados. O aspecto semiparamétrico proposto considera poss´ıveis efeitos não lineares nas covariáveis e além disto utiliza a regressão logit-multinomial para modelar a probabilidade de zeros no modelo inflacionado de zeros, assim como Majumdar and Gries (2010).

A técnica de aumento de dados, utilizada em Majumdar and Gries (2010) eArab et al. (2012), configura que ao invés de executar uma maximiza¸cão ou uma simula¸cão

(28)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 8

complicada, amplia-se os dados observados (Y) com variáveis latentes (T), que simpli-fica o cálculo e, subsequentemente, executa uma série de maximiza¸cões ou simula¸cões simples. Isto é, utiliza-se a distribui¸cão a posteriori aumentada 𝑝(𝜃|𝑌,𝑇 ) caso seja mais simples que posteriori de interesse 𝑝(𝜃|𝑌 ) (Tanner and Wong,1987).

1.2 Estrutura do trabalho

No cap´ıtulo 2 será feita uma breve revisão bibliográfica sobre doen¸cas isquêmicas e hipertensivas e uma análise descritiva dos dados que motivaram o presente trabalho. Nos cap´ıtulos3e 4serão propostos modelos de contagens univariados e multivariados, respectivamente. Será apresentado o modelo mais geral, modelo de regressão de Pois-son inflacionado de zeros multivariado, e diversas subclasses de interesse. No cap´ıtulo

5, será discutido o método de inferência abordado no presente trabalho, a técnica de aumento de dados, os métodos de estima¸cão e compara¸cão de modelos e previsão. No cap´ıtulo6será discutida a sensibilidade da escolha da priori para os modelos de Poisson multivariado e Poisson inflacionado de zeros multivariado através de um estudo simu-lado. No cap´ıtulo7, serão apresentados exemplos simulados com o objetivo de verificar se os parâmetros dos modelos propostos são identificáveis e se os códigos estão corretos. Também neste cap´ıtulo, a metodologia proposta será aplicada nos dados referentes ao número de interna¸cão por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e hipertensivas no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro. No cap´ıtulo8serão apresentadas as considera¸cões finais e os trabalhos futuros como, por exemplo, o modelo de regressão ZIP multivariado espacial.

(29)

Cap´ıtulo 2

Motiva¸

c˜

ao

Apesar dos avan¸cos do s´eculo XXI, as doen¸cas cardiovasculares aparecem como primeira causa de morte nos pa´ıses desenvolvidos e em grande parte das na¸c˜oes em desenvolvi-mento (Godoy et al.,2007).

Em estudo sobre mortalidade por doen¸cas do aparelho circulatório e doen¸cas isqu^ e-micas do cora¸cão (decorrentes do entupimento das artérias por gordura, diminuindo o fluxo de sangue que passa pelo cora¸cão), referente ao per´ıodo de 1979 a 1989, nas capitais de regiões metropolitanas do Brasil, verificou-se que o munic´ıpio do Rio de Janeiro era a única capital que apresentava uma tendência de aumento das taxas de mortalidade por doen¸cas cardiovasculares e isquêmicas do cora¸cão, em ambos os sexos (Lotufo et al.,1995).

A morbidade por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão também representa uma grande carga para o pa´ıs. De 1993 a 1997, as interna¸cões por essas doen¸cas representaram 1% de todas as interna¸cões e 3,3% dos gastos do Sistema Único de Saúde (SUS). A angina foi responsável por 53,3% e o infarto por 26,6% das interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão. As interna¸cões por infarto foram mais comuns em homens e, por angina,

(30)

Cap´ıtulo 2. Motiva¸c˜ao 10

em mulheres (Laurenti et al.,2000).

Estima-se que hipertensão arterial sistêmica atinja aproximadamente 22% da popu-la¸cão brasileira acima de vinte anos, sendo responsável por 80% dos casos de acidente cérebro vascular, 60% dos casos de infarto agudo do miocárdio e 40% das aposentado-rias precoces, além disso, calcula-se um gasto médio de 475 milhões de reais com 1,1 milhão de interna¸cões por ano. Em 2001, cerca de 7,6 milhões de mortes no mundo foram atribu´ıdas à eleva¸cão da pressão arterial, sendo 47% por doen¸ca isquêmica do cora¸cão, segundo (DBH,2010).

A análise das interna¸cões por causas permite que se avalie a frequência de cada uma, o tempo de permanência no hospital, os valores gastos com cada doen¸ca, entre outros. Considerando que os recursos médicos dispon´ıveis, representados por exames que per-mitem diagnóstico cada vez mais precoce e tratamentos de última gera¸cão, influenciam o aumento da sobrevida dos pacientes, a morbidade hospitalar e ambulatorial passam a constituir a melhor e mais ampla fonte de informa¸cão sobre doen¸cas, especialmente as crônicas (Laurenti et al.,2000).

A motiva¸cão neste estudo é o poss´ıvel excesso de zeros presente no número de in-terna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e no número de interna¸cões por doen¸cas hipertensivas, ambos os grupos do cap´ıtulo IX da Classifica¸cão Internacional de Doen-¸cas em sua décima revisão (CID,1997), e a poss´ıvel correla¸cão existente entre os dados nos 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro, no per´ıodo de 2012, como mostra a Figura (2.1).

Estes dados foram coletados diretamente do Sistema de Informa¸cões Hospitalares Descentralizado (SIHD), disponibilizado pelo Ministério da Saúde para os hospitais

(31)

11 0 10 20 30 40 0 95 277 581 1240 0 5 10 15 20 25 30 0 13 30 46 62 81 101 139 194 (a) (b) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 (c)

Figura 2.1: Número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão (a), Número de interna¸cões por doen¸cas hipertensivas (b) e rela¸cão entre o número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e hipertensivas (c) no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais no munic´ıpio do Rio de Janeiro

(32)

Cap´ıtulo 2. Motiva¸c˜ao 12

Esse sistema contém informa¸cões de todas as interna¸cões e óbitos no âmbito do SUS e é fonte de informa¸cão para tomada de decisão de gestores, auxiliando no plane-jamento de a¸cões de saúde e atua¸cão da vigilância sanitária e epidemiologia.

A Tabela (2.1), apresenta algumas das estat´ısticas descritivas para os bancos de dados considerados. Note que o valor das variâncias amostrais são bem maiores que médias amostrais, apontanto ind´ıcios de superdispersão em ambos os bancos de da-dos. Já na Figura (2.2), podem ser visualizadas o padrão espacial e as intensidades do número de interna¸cão por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e por doen¸cas hipertensivas para cada um dos 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro indexados pela UTM1 (abrevia¸cão do inglês para Universal Transversa de Mercator ). As coordenadas geo-gráficas UTM foram obtidas através da longitude e latitude via o pacote “rgdal” doR Development Core Team(2011).

𝑁∘ de interna¸cões por M´ınimo Máximo Mediana Média Variância Doen¸cas isquêmicas do cora¸cão 0 1.240 0 68,17 31.609,98 Doen¸cas hipertensivas 0 194 5 22,49 1.249,31

Tabela 2.1: Estat´ısticas descritivas do n´umero de interna¸c˜oes por causa no per´ıodo de 2012 em 75 hospitais do munic´ıpio do Rio de Janeiro.

As covariáveis dispon´ıveis para tentar explicar o número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão e por doen¸cas hipertensivas, em cada um dos 75 hospitais, no munic´ıpio do Rio de Janeiro no per´ıodo de 2012, são esfera administrativa (Privada, Municipal, Estadual ou Federal), gestão hospitalar (Municipal ou Estadual), se atende ou não emergência, latitude e longitude padronizadas e número total de interna¸cões do cap´ıtulo IX da Classifica¸cão Internacional de Doen¸cas em sua décima revisão, CID10, (CID, 1997) no per´ıodo de 2012 no munic´ıpio do Rio de Janeiro. Na Figura (2.3),

1

(33)

13 630000 650000 670000 690000 7440000 7460000 7480000 630000 650000 670000 690000 7440000 7460000 7480000 (a) (b)

Figura 2.2: Intensidade do número de interna¸cões por doen¸cas isquêmicas do cora¸cão (a) e por doen¸cas hipertensivas (b) em cada um dos 75 hospitais no munic´ıpio do Rio de Janeiro no per´ıodo de 2012.

pode-se visualizar graficamente a distribui¸cão das covariáveis e na Tabela (2.2) a esta-t´ıstica descritiva do número de interna¸cões do cap´ıtulo IX (CID10) no per´ıodo de 2012 no munic´ıpio do Rio de Janeiro.

𝑁∘ de interna¸cões M´ınimo Máximo Mediana Média Variância Cap´ıtulo IX 0 2.438 37 337,8 258.203,4

Tabela 2.2: Estat´ıstica descritiva do n´umero de interna¸c˜oes do cap´ıtulo IX (CID10) no per´ıodo de 2012 no munic´ıpio do Rio de Janeiro.

(34)

Cap´ıtulo 2. Motiva¸c˜ao 14 Estadual Federal Municipal Privada Estadual Municipal (a) (b) Não Sim 0 5 10 15 20 0 190 477 725 1085 1398 1723 2438 (c) (d)

Figura 2.3: Esfera Administrativa (a), Gestão hospitalar (b), Atende emergência (c) e Número de interna¸cões do cap´ıtulo IX da CID10, no per´ıodo de 2012, no munic´ıpio do Rio de Janeiro (d).

(35)

Cap´ıtulo 3

Modelos para dados univariados

de contagem

Nelder and Wedderburn (1972) desenvolveram uma classe de modelos baseados na fam´ılia exponencial com um parâmetro desconhecido (ou um vetor paramétrico desco-nhecido), tal que suas médias são dadas através de fun¸cões não-lineares de componentes lineares. Estes modelos são chamados de modelos lineares generalizados (MLG).

Considere a vari´avel 𝑌 que depende do vetor de par^ametros 𝜃 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑠)′ e

𝑌 |𝜃 ∼ 𝑓 (𝑦|𝜃) tal que perten¸ca a fam´ılia exponencial. Ou seja, a fam´ılia de distribui¸cões com fun¸cão de probabilidade 𝑓 (𝑦|𝜃) pertence à fam´ılia exponencial se puder ser escrita como 𝑓 (𝑦|𝜃) = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ 𝑠 ∑︁ 𝑗=1 𝑎𝑗(y)𝑏𝑗(𝜃) + 𝑐(𝜃) + 𝑑(y) ⎫ ⎬ ⎭

onde 𝑎(·), 𝑏(·), 𝑐(·) e 𝑑(·) são fun¸cões conhecidas. Como dito anteriormente, a média (𝐸[𝑌 |𝜃]) é uma fun¸cão não-linear de componentes lineares, B′𝛽. Ou seja,

(36)

Cap´ıtulo 3. Modelos para dados univariados de contagem 16

𝑔(𝐸[𝑌 |𝜃]) = B′𝛽 (3.1)

com 𝑔(·) fun¸cão de liga¸cão conhecida, B covariáveis e 𝛽 coeficientes de regressão.

Usualmente, em dados de contagem, utiliza-se o modelo de Poisson ou Poisson log-linear para descrever os dados e modelos de mistura para modelagem de dados de contagem inflados de zeros, como pode ser visto a seguir.

3.1 Poisson

O modelo Poisson é um modelo simples, utilizado em dados de contagem e não utiliza covariáveis para tentar explicar a média do processo. Seja 𝑌 |𝜆 ∼ 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), isto é,

𝑓 (𝑦|𝜆) = 𝑒

−𝜆_𝜆𝑦

𝑦! . (3.2)

Este modelo tem como propriedade média e variância iguais e muitas vezes essa suposi¸cão é violada, pois, geralmente, dados de meteorologia, industriais e de saúde apresentam superdisper¸cão (média < variância), como por exemplo, os dados apresen-tados na a se¸cão 2.

3.2 Regress˜

ao de Poisson

Os modelos de regressão para dados de contagem já estão bem estabelecidos na lite-ratura estat´ıstica (McCullagh and Nelder, 1989). Geralmente utiliza-se o modelo de regressão Poisson log-linear (Poisson + MLG) para descrever este tipo de dado, como pode ser visto na equa¸cão (3.3).

(37)

17 3.3. Zero Inflacionados

𝑌 |𝜆 ∼ 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆) (3.3)

com 𝑙𝑜𝑔(𝜆) = B′𝛽, onde 𝑌 é a variável resposta, 𝑙𝑜𝑔(·) fun¸cão de liga¸cão, B covariáveis e 𝛽 coeficientes de regressão. Mais detalhes para modelo de regressão Poisson log-linear sugere-se McCullagh and Nelder(1989);Dobson (2001).

3.3 Zero Inflacionados

Aconselha-se utilizar misturas de modelos quando os zeros presentes nos dados s˜ao pau-s´ıveis (Lambert,1992). Usualmente, os modelos ZI s˜ao compostos de duas componentes que podem ser entendidas como:

(1) Contagem nula, podendo ser subdividida em duas partes:

• Zeros estruturais: pertencentes `a estrutura de zeros dos dados;

• Zeros amostrais: pertencentes `a distribui¸c˜ao de contagem quando a resposta ´

e nula.

(2) Contagem n˜ao-nula, cujo modelo segue uma distribui¸c˜ao de contagem.

Nesta se¸cão a estrutura do modelo de mistura será composta de duas componentes considerando uma média ponderada de duas distribui¸cões como mostra a equa¸cão (3.4).

𝑃 (𝑌 = 𝑦) = 𝜋 𝑓1(𝑦) ⏟ ⏞ Componente 1 +(1 − 𝜋) 𝑓2(𝑦|𝜆) ⏟ ⏞ Componente 2 (3.4) tal que 𝑓1(𝑦) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 se 𝑦 = 0, 0 se 𝑦 ̸= 0 (3.5)

(38)

Cap´ıtulo 3. Modelos para dados univariados de contagem 18

e 𝑓2(𝑦|𝜆) é um modelo de contagem com média 𝜆, 𝑦 ∈ {0,1, . . .} e 𝜋 é uma propor¸cão de

mistura com 0 ≤ 𝜋 ≤ 1. Exemplos conhecidos dessas misturas para dados de contagens são os modelos de Poisson inflacionado de zeros, que utiliza a distribui¸cão de Poisson na componente 2, e o binomial negativo inflacionado de zeros, que utiliza por sua vez a distribui¸cão binomial negativa.

3.3.1 Regress˜ao ZIP

No presente trabalho, um dos modelos a ser considerado ´e o modelo de regress˜ao ZIP independente que pode ser escrito como

𝑌𝑗|𝜋,𝜆𝑗 𝑖𝑛𝑑

∼ 𝜋𝑓1(𝑦𝑗) + (1 − 𝜋)𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑦𝑗|𝜆𝑗) (3.6)

para 𝑗 = 1, . . . ,𝑚 onde 0 ≤ 𝜋 ≤ 1 é a propor¸cão de zeros, 𝜆𝑗 é a taxa referente a

vari´avel de contagem 𝑌𝑗 e 𝑓1(𝑦𝑗) dado na equa¸c˜ao (3.5).

O modelo de regress˜ao ZIP dado da forma descrita em (3.6) tem as seguintes pro-priedades: 𝑌𝑗 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 com probabilidade 𝜋 + (1 − 𝜋)𝑒−𝜆𝑗 k com probabilidade (1 − 𝜋)𝜆 𝑘 𝑗𝑒−𝜆𝑗 𝑘! , 𝑘 = 1,2, . . . (3.7)

O valor esperado é dado por 𝐸(𝑌𝑗) = (1 − 𝜋)𝜆𝑗 e a variância é dada por 𝑉 𝑎𝑟(𝑌𝑗) =

(1 − 𝜋)𝜆𝑗[1 + (1 − (1 − 𝜋))𝜆𝑗] para 𝑗 = 1, . . . ,𝑚. Assim, consegue-se tratar a super

dispersão já que o modelo (de regressão) Poisson não o faz, pois, tem como hipótese média e variância equivalentes.

(39)

19 3.3. Zero Inflacionados

Este modelo adotará covariáveis para descrever as taxas 𝜆’s da mesma forma vista na se¸cão 3.2. Desta forma, 𝑙𝑜𝑔(𝜆𝑗) = B′_𝑗𝛽𝑗, onde 𝑌𝑗 é a variável de interesse indexada

por 𝑗 = 1, . . . ,𝑚, 𝑙𝑜𝑔(·) fun¸cão de liga¸cão, B𝑗 covariáveis e 𝛽𝑗 coeficientes de regressão

(40)

(41)

Cap´ıtulo 4

Modelos para dados

multivariados de contagem

A distribui¸cão de Poisson multivariada é uma alternativa a aproxima¸cões para tratar dados discretos multivariados, no entanto, a principal desvantagem da aplica¸cão desta distribui¸cão é a forma complexa da fun¸cão de probabilidade conjunta como apresentado no Cap´ıtulo 1. Uma forma intuitiva para escrever a Poisson multivariada é utilizar a soma de variáveis aleatórias independentes de Poisson (com termos comuns emJohnson et al.,1997).

4.1 Poisson multivariado

Uma vantagem de utilizar a distribui¸cão de Poisson multivariada é incluir a informa¸cão da correla¸cão proveniente dos dados multivariados no processo de modelagem direta-mente na distribui¸cão de probabilidade dos dados e não em outros n´ıveis da hierarquia do modelo.

(42)

u-Cap´ıtulo 4. Modelos para dados multivariados de contagem 22

mero de variáveis de interesse (𝑚) aumenta, torna-se dif´ıcil a especifica¸cão e avalia¸cão da distribui¸cão conjunta. Dependendo da constru¸cão da distribui¸cão de Poisson multi-variada se tem um grande número de somatórios que muitas vezes apresentam regiões complexas.

Por exemplo, assuma o modelo de Poisson trivariado completo, isto ´e, (𝑌1, 𝑌2, 𝑌3)′ ∼

3 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(Λ) com Λ = {𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆12, 𝜆13, 𝜆23}, tal que

𝑌1 = 𝑋1+ 𝑋12+ 𝑋13

𝑌2 = 𝑋2+ 𝑋12+ 𝑋23

𝑌3 = 𝑋3+ 𝑋13+ 𝑋23

com 𝑋𝑖’s variáveis aleatórias com distribui¸cão de Poisson independentes com par^

ame-tros 𝜆𝑖, 𝑖 ∈ ({1}, {2}, {3}, {12}, {13}, {23}). Desta forma, a fun¸c˜ao de probabilidade

𝑃 (Y = y) = 𝑃 (𝑌1= 𝑦1, 𝑌2= 𝑦2, 𝑌3 = 𝑦3) ser´a dada por

𝑃 (Y = y) = ∑︁

(𝑥12,𝑥13,𝑥23)∈𝐶

𝑒𝑥𝑝(−∑︀ 𝜆𝑖)𝜆₁𝑦1−𝑥12−𝑥13𝜆𝑦₂2−𝑥12−𝑥23𝜆₃𝑦3−𝑥13−𝑥23𝜆₁₂𝑥12𝜆𝑥₁₃13𝜆𝑥₂₃23

(𝑦1− 𝑥12− 𝑥13)!(𝑦2− 𝑥12− 𝑥23)!(𝑦3− 𝑥13− 𝑥23)!

onde a soma ´e dada sob o conjunto 𝐶 ⊂ 𝑁3 que ´e definido como

𝐶 = [(𝑥12, 𝑥13, 𝑥23) ∈ 𝑁3 : {𝑥12+ 𝑥13≤ 𝑦1} ∩ {𝑥12+ 𝑥23≤ 𝑦2} ∩ {𝑥13+ 𝑥23≤ 𝑦3} ̸= ∅].

(43)

23 4.1. Poisson multivariado

uma covariância comum entre as variáveis estudadas. Todavia, sabe-se que, geral-mente, este modelo não retrata a realidade para três ou mais variáveis, podendo ser generalizado para covariâncias diferentes.

Considere a vari´avel aleat´oria 𝑋𝑖 ∼ 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆𝑖) para 𝑖 = 0, . . . ,𝑚 mutuamente

independentes. O vetor 𝑚-variado (𝑌1, . . . , 𝑌𝑚)′|Λ ter´a distribui¸c˜ao de Poisson

𝑚-variada com par^ametro Λ = {𝜆𝑗, 𝑗 = 0,1, . . . ,𝑚} desde que as contagens para cada

uma das 𝑚 vari´aveis, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑚, sejam escritas da seguinte forma:

𝑌1 = 𝑋1+ 𝑋0 𝑌2 = 𝑋2+ 𝑋0 𝑌3 = 𝑋3+ 𝑋0 .. . 𝑌𝑚 = 𝑋𝑚+ 𝑋0. (4.1)

Tem-se que, marginalmente, cada 𝑌𝑗 tem distribui¸c˜ao Poisson com par^ametro 𝜆0+

𝜆𝑗, covari^ancia entre 𝑌𝑗 e 𝑌𝑘 dada por

𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑗,𝑌𝑘) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜆𝑗 + 𝜆0 se 𝑗 = 𝑘 𝜆0 se 𝑗 ̸= 𝑘 (4.2)

e correla¸c˜ao entre 𝑌𝑗 e 𝑌𝑘 dada por 𝐶𝑜𝑟(𝑌𝑗,𝑌𝑘) = 𝜆0/√︀(𝜆𝑗+ 𝜆0)(𝜆𝑘+ 𝜆0).

Cabe ressaltar que, de acordo com esta defini¸cão, a correla¸cão entre as contagens por unidade amostral será necessariamente positiva, pois, a covariância é parâmetro de uma distribui¸cão de Poisson, isto é, 𝜆0 > 0. Sendo assim, esta é outra desvantagem da

(44)

Cap´ıtulo 4. Modelos para dados multivariados de contagem 24

distribui¸cão de Poisson multivariada. Porém, em muitas aplica¸cões de interesse essa é uma suposi¸cão razoável.

Uma dificuldade enfrentada ao longo deste projeto foi escrever e calcular a fun¸cão de probabilidade conjunta. Uma solu¸cão encontrada foi escrevê-la através das variáveis 𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑚, condicionalmente independentes, ao invés de escrevê-la em fun¸cão das

vari´aveis respostas, por sua vez dependentes, como pode ser visto a seguir. A prova segue no Ap^endice A.

𝑃 (𝑌1= 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚|Λ) = ∑︁ 𝑥0 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚, 𝑋0= 𝑥0|Λ) = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝜆𝑗 ⎫ ⎬ ⎭ ∑︁ 𝑥0 (︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0 _𝜆𝑦1 1 . . . 𝜆 𝑦𝑚 𝑚 𝑥0!∏︀𝑚𝑗=1(𝑦𝑗− 𝑥0)! (4.3)

onde 𝑥0 = 0, . . . , 𝑚𝑖𝑛(𝑦1,𝑦2, . . . ,𝑦𝑚) e Λ = {𝜆𝑗, 𝑗 = 0,1, . . . ,𝑚}. Note que ´e f´acil

verificar que no caso 𝜆0 = 0 as variáveis aleatórias 𝑌1, . . . , 𝑌𝑚 serão independentes.

A distribui¸c˜ao condicional 𝑌𝑗|Y−𝑗 = y−𝑗 tal que Y−𝑗 representa as vari´aveis

ale-atórias, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑚, exceto a 𝑗-ésima variável, para 𝑗 = 1,2, . . . ,𝑚, tem uma forma

complicada. No entanto, a seguir será apresentada a distribui¸cão condicional bivariada que será utilizada nos exemplos simulados e na aplica¸cão dos dados reais do presente trabalho.

(45)

25 4.1. Poisson multivariado 𝑃 (𝑌𝑗 = 𝑦𝑗|𝑌𝑘 = 𝑦𝑘) = 𝑃 (𝑌𝑗 = 𝑦𝑗,𝑌𝑘= 𝑦𝑘) 𝑃 (𝑌𝑘= 𝑦𝑘) = 𝑒−𝜆𝑗 𝑚𝑖𝑛(𝑦𝑗,𝑦𝑘) ∑︁ 𝑥0=0 (︂𝑦𝑘 𝑥0 )︂ (︂ 𝜆0 𝜆0+ 𝜆𝑘 )︂𝑥0(︂ 𝜆𝑘 𝜆0+ 𝜆𝑘 )︂𝑦𝑘−𝑥0 _𝜆𝑦𝑗−𝑥0 𝑗 (𝑦𝑗− 𝑥0)! (4.4)

para 𝑗,𝑘 = 1,2, . . . ,𝑚. Como observado emJohnson et al.(1997) essa distribui¸cão con-dicional pode escrita como a soma de duas variáveis mutuamente independentes com as distribui¸cões Poisson(𝜆𝑗) e Binomial

(︁

𝑦𝑘,_𝜆₀𝜆_+𝜆0 _𝑘

)︁ .

Devido a dificuldade em avaliar a distribui¸cão conjunta dada na equa¸cão (4.3) de-vido ao somatório para contagens altas das variáveis de interesse optou-se pela técnica de aumento de dados, isto é, tratar a variável 𝑋0 como uma variável latente.

Essa abordagem foi realizada tanto emMajumdar and Gries(2010) como emArab et al.(2012), no entanto, ambos os trabalhos cometeram equ´ıvocos ao longo das contas ou apresentaram incoerências nos algoritmos de estima¸cão. Por exemplo, Majumdar and Gries (2010) denotam que as variáveis de interesse (𝑌1,𝑌2) são escritas como a

soma de vari´aveis independentes de Poisson, no entanto, com um termo comum, isto ´

e, 𝑌𝑗 = 𝑊𝑗 + 𝑊0 para 𝑗 = 1,2. Ao apresentar o algoritmo de estima¸c˜ao, os autores

sugerem que caso (𝑌1,𝑌2) = (0, 𝑦2) e 𝑦2 > 0 gera-se 𝑊0 de uma binomial (com certos

par^ametros), acha-se 𝑊2 = 𝑌2−𝑊0e por fim gera-se 𝑊1 de uma Poisson. Desta forma,

há uma incoerência, pois em momento nenhum houve a preocupa¸cão em garantir que 𝑊1= 0 e 𝑊0 = 0, já que 𝑌1 = 0.

(46)

propostos propõem gerar as variáveis latentes (refetentes a covariância comum entre os dados) de uma distribui¸cão uniforme discreta com parâmetros [0, m´ınimo(𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠)]. No entanto, a condicional completa é discreta tal que depende de 𝑋0 e do vetor param´

e-trico 𝜃 = (𝜆0, 𝜆1, . . . , 𝜆𝑚), como pode ser visto a seguir.

𝑃 (𝑋0 = 𝑥0|Y = y,𝜃) ∝ 𝑃 (Y = y,𝑋0 = 𝑥0|𝜃) ∝ 𝑃 (Y = y|𝑋₀ = 𝑥0,𝜃)𝑃 (𝑋0= 𝑥0|𝜃) ∝ (︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0 ₁ (𝑦1− 𝑥0)! . . . (𝑦𝑚− 𝑥0)!𝑥0! com 𝑥0 = 0,1, . . . ,𝑚𝑖𝑛(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚).

Embora o objetivo seja escrever 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚|Λ) o artif´ıcio de aumentar

os dados da forma dada na equa¸c˜ao (4.5), 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚, 𝑋0 = 𝑥0|Λ), muitas

vezes diminui o custo computacional, neste caso em particular, por exemplo, implicará em não recorrer ao somatório presente na conjunta dada na equa¸cão (4.3).

𝑃 (𝑌1= 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚, 𝑋0 = x0|Λ) = 𝑃 (𝑌1= 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚|𝑋0= 𝑥0,Λ)𝑃 (𝑋0= 𝑥0|𝜆0) = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝜆𝑗 ⎫ ⎬ ⎭ (︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0 _𝜆𝑦1 1 . . . 𝜆 𝑦𝑚 𝑚 𝑥0!∏︀𝑚𝑘=1(𝑦𝑘− 𝑥0)! (4.5)

A prova encontra-se no Ap^endice A.

Seja Y = (Y1, . . . , Y𝑚) com Y𝑗 = (𝑌𝑗1, . . . , 𝑌𝑗𝑁) para 𝑗 = 1,...,𝑚. Assim, a

(47)

27 4.2. Regress˜ao de Poisson multivariado

dados, pode ser escrita como:

𝑃 (Y = y, X0= x0|Λ) = 𝑃 (Y = y|X0 = x0,Λ)𝑃 (X0= x0|𝜆0) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 ⎡ ⎣𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝜆𝑗 ⎫ ⎬ ⎭ (︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0𝑖 _𝜆𝑦1𝑖 1 . . . 𝜆 𝑦𝑚𝑖 𝑚 𝑥0𝑖!∏︀𝑚_𝑘=1(𝑦𝑘𝑖− 𝑥0𝑖)! ⎤ ⎦ (4.6)

Mais detalhes desta prova encontram-se no Ap^endice A.

4.2 Regress˜

ao de Poisson multivariado

Uma vantagem do modelo de regressão de Poisson multivariado (m-Poisson + MLG) para o modelo de regressão de Poisson independente (Poisson + MLG) é a capacidade de modelar as médias, bem como a covariância, permitindo, assim, uma maior flexibi-lidade na modelagem, assim como apresentado em Karlis and Meligkotsidou(2005) e

Buck et al. (2009) que utilizam covari´aveis para explicar inclusive a covari^ancia.

A utiliza¸cão de covariáveis para explicar a taxa de interna¸cão por tipo de doen¸ca pode ser feita através de uma fun¸cão de liga¸cão como visto no MLG usual dado na equa¸cão (3.1).

Seja 𝑙𝑜𝑔(·) a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao, 𝛽 = (𝛽₀,𝛽₁, . . . , 𝛽_𝑚) com 𝛽_𝑗 = (𝛽𝑗1, . . . ,𝛽𝑗𝑛𝑗) ′ _o

vetor de coeficientes de regressão referente ao parâmetro indexado por 𝑗 = 0, 1, . . . , 𝑚. Escreva B = (B0,B1, . . . , B𝑚) onde B𝑖= (B0𝑖,B1𝑖, . . . , B𝑚𝑖)′ é conjunto de covariáveis

referente a unidade amostral 𝑖 = 1, . . . , 𝑁 e B𝑗𝑖= (𝐵𝑗1, . . . ,𝐵𝑗𝑛𝑗) ′

𝑖o vetor de covari´aveis

referente ao par^ametro 𝜆𝑗 para a unidade amostral 𝑖 = 1, . . . ,𝑁 com 𝑛𝑗 o n´umero de

(48)

tem-se que

𝑙𝑜𝑔(𝜆𝑗) = B′𝑗𝛽𝑗, 𝑗 = 0,1, . . . , 𝑚 (4.7)

Note que o MLG é referente as variáveis aleatórias (independentes) 𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑚 e

𝐸[𝑋𝑗|Λ] = 𝜆𝑗 para 𝑗 = 0,1, . . . ,𝑚. Com isto, a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta ser´a

dada por 𝑃 (𝑌1= 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚, B|𝛽) = 𝑚𝑖𝑛(𝑦1,...,𝑦𝑚) ∑︁ 𝑥0=0 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚, 𝑋0 = 𝑥0, B|𝛽) = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝑒𝑥𝑝{B′_𝑗𝛽_𝑗} ⎫ ⎬ ⎭ × 𝑚𝑖𝑛(𝑦1,...,𝑦𝑚) ∑︁ 𝑥0=0 (︂ 𝑒𝑥𝑝{B′₀𝛽₀} 𝑒𝑥𝑝{B′₁𝛽₁} . . . 𝑒𝑥𝑝{B′ 𝑚𝛽𝑚} )︂𝑥0 × 𝑚𝑖𝑛(𝑦1,...,𝑦𝑚) ∑︁ 𝑥0=0 𝑒𝑥𝑝{B′₁𝛽₁}𝑦1_{. . . 𝑒𝑥𝑝{B}′ 𝑚𝛽𝑚}𝑦𝑚 (𝑦1− 𝑥0)! . . . (𝑦𝑚− 𝑥0)!𝑥0! (4.8)

Atrav´es do artif´ıcio de aumento de dados, a conjunta pode ser escrita como

𝑃 (𝑌1= 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚, 𝑋0 = x0, B|𝛽) = 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚, B|𝑋0= 𝑥0,𝛽)𝑃 (𝑋0 = 𝑥0|𝛽0) = 𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝑒𝑥𝑝{B′_𝑗𝛽_𝑗} ⎫ ⎬ ⎭ × (︂ 𝑒𝑥𝑝{B′₀𝛽₀} 𝑒𝑥𝑝{B′₁𝛽₁} . . . 𝑒𝑥𝑝{B′ 𝑚𝛽𝑚} )︂𝑥0 × 𝑒𝑥𝑝{B ′ 1𝛽1}𝑦1. . . 𝑒𝑥𝑝{B′𝑚𝛽𝑚}𝑦𝑚 (𝑦1− 𝑥0)! . . . (𝑦𝑚− 𝑥0)!𝑥0! (4.9)

(49)

29 4.3. ZIP multivariado

com a t´ecnica de aumento de dados, ter´a a verossimilhan¸ca dada por

𝑃 (Y = y, B|𝛽) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 𝑃 (Y𝑖= y𝑖, 𝑋0𝑖= 𝑥0𝑖, B𝑖|𝛽) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 𝑃 (𝑌1𝑖= 𝑦1𝑖, . . . , 𝑌𝑚𝑖= 𝑦𝑚𝑖,𝑋0𝑖= 𝑥0𝑖, B𝑖|𝛽) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 ⎡ ⎣𝑒𝑥𝑝 ⎧ ⎨ ⎩ − 𝑚 ∑︁ 𝑗=0 𝑒𝑥𝑝{B′_𝑗𝑖𝛽_𝑗} ⎫ ⎬ ⎭ × (︂ 𝑒𝑥𝑝{B′_0𝑖𝛽₀} 𝑒𝑥𝑝{B′_1𝑖𝛽₁} . . . 𝑒𝑥𝑝{B′ 𝑚𝑖𝛽𝑚} )︂𝑥0𝑖 _{𝑒𝑥𝑝{B}′ 1𝑖𝛽1}𝑦1𝑖...𝑒𝑥𝑝{B ′ 𝑚𝑖𝛽𝑚}𝑦𝑚𝑖 (𝑦1𝑖− 𝑥0𝑖)! . . . (𝑦𝑚𝑖− 𝑥0𝑖)!𝑥0𝑖! ]︃ (4.10)

4.3 ZIP multivariado

Yip (1988) e Heilbron (1994) apresentaram modelos de regressão para dados de con-tagem baseados em misturas de distribui¸cões degeneradas no ponto zero e outras dis-tribui¸cões amostrais, como Binomial Negativa e Poisson. Nesta se¸cão, será adotado o modelo de ZIP multivariado.

A proposta inicial é a utiliza¸cão da distribui¸cão de Poisson multivariada no modelo de mistura, assim há a necessidade de estender o ZIP usual dado na equa¸cão (3.4) para o ZIP multivariado (m-ZIP), como apresentado nos trabalhos deLi et al.(1999),Arab et al. (2012) eMajumdar and Gries(2010), onde os dois últimos apresentam apenas o ZIP bivariado.

Seja Y = (𝑌1, . . . , 𝑌𝑚)′|(Λ, 𝜋) com distribui¸c˜ao ZIP 𝑚-variado (m-ZIP) com par^

a-metros Λ = {𝜆0, 𝜆1, . . . , 𝜆𝑚} e 𝜋 = (𝜋0, 𝜋1,𝜋2, . . . , 𝜋𝑚, 𝜋𝑚+1)′com 𝜋𝑚+1 = 1−∑︀𝑚_𝑗=0𝜋𝑗.

(50)

Cap´ıtulo 4. Modelos para dados multivariados de contagem 30 (𝑌1, . . . , 𝑌𝑚)′|(Λ, 𝜋) ∼ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (0,0, . . . , 0) com probabilidade 𝜋0, (𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆1),0, . . . ,0) com probabilidade 𝜋1, (0, 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆2), . . . , 0) com probabilidade 𝜋2, .. . (0, 0, . . . , 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆𝑚)) com probabilidade 𝜋𝑚, 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(Λ) com probabilidade 𝜋𝑚+1. (4.11)

No entanto, esta proposta é um caso particular em que leva em considera¸cão apenas os casos em que todas as variáveis, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑚, têm distribui¸cão degenerada no ponto

zero, apenas uma delas tem distribui¸cão Poisson e as restantes são degeneradas no ponto zero ou as variáveis têm distribui¸cão Poisson multivariada. O caso geral para o caso ZIP 𝑚- variado é descrito com(︀𝑚₀)︀ +(︀𝑚₁)︀ +(︀𝑚₂)︀ +. . .+(︀_𝑚−1𝑚 )︀ +(︀𝑚_𝑚)︀ casos poss´ıveis.

Sabe-se, que, o caso dado na equa¸cão (4.11), embora muito particular, abrange todas as poss´ıveis combina¸cões no caso bivariado. Vale a pena ressaltar que tanto os exemplos simulados e a aplica¸cão aos dados reais do presente trabalho abordarão o ZIP bivariado por ser tratar de dados com estrutura bivariada.

No entanto, para casos com 𝑚 > 2 isto não ocorre. Todavia, na literatura pesqui-sada, o ZIP multivariado é descrito da forma dada na equa¸cão (4.11) mesmo quando exemplificados em casos trivariados como visto emLi et al.(1999).

Como apresentado em Li et al.(1999) a distribui¸c˜ao marginal do ZIP multivariado ´

(51)

31 4.3. ZIP multivariado 𝑌𝑗|(Λ, 𝜋) ∼ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0 com probabilidade 1 − 𝜋𝑗− 𝜋𝑚+1 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆𝑗) com probabilidade 𝜋𝑗+ 𝜋𝑚+1 (4.12) com 𝐸(𝑌𝑗) = (𝜋𝑗+ 𝜋𝑚+1)(𝜆0+ 𝜆𝑗) e 𝑉 𝑎𝑟(𝑌𝑗) = (𝜋𝑗 + 𝜋𝑚+1)(𝜆0+ 𝜆𝑗)[1 + (1 − 𝜋𝑗 −

𝜋𝑚+1)(𝜆0+ 𝜆𝑗)] para 𝑗 = 1, . . . , 𝑚. Note que 𝐸(𝑌𝑗) < 𝑉 𝑎𝑟(𝑌𝑗) e a covari^ancia entre

𝑌𝑗 e 𝑌𝑘 ´e dada por 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑗,𝑌𝑘) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (𝜋𝑗+ 𝜋𝑚+1)(𝜆0+ 𝜆𝑗)[1 + (1 − 𝜋𝑗− 𝜋𝑚+1)(𝜆0+ 𝜆𝑗)] se 𝑗 = 𝑘 𝜆0𝜋𝑚+1[1 + 𝜆0(1 − 𝜋𝑚+1)] se 𝑗 ̸= 𝑘 (4.13) Equivalentemente ao ZIP usual, dado na equa¸c˜ao (3.4), o 𝑚 − 𝑍𝐼𝑃 (Λ,𝜋) pode ser escrito como 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚= 𝑦𝑚|Λ, 𝜋) = 𝜋0𝑓1(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚) + 𝜋1𝑓2(𝑦1|𝜆0+ 𝜆1) + 𝜋2𝑓2(𝑦2|𝜆0+ 𝜆2) + . . . + 𝜋𝑚𝑓2(𝑦𝑚|𝜆0+ 𝜆𝑚) + 𝜋𝑚+1𝑓3(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚|Λ) (4.14) onde 𝑓1(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 se 𝑦1= 𝑦2= . . . = 𝑦𝑚= 0,

0 caso 𝑦𝑗 ̸= 0 para algum 𝑗 = 1, . . . , 𝑚

(4.15)

e 𝑓2(·) é a fun¸cão de probabilidade da Poisson univariada, 𝑓3(·) a fun¸cão da Poisson

multivariada, 𝑦1, . . . ,𝑦𝑚∈ {0,1, . . .} e 𝜋𝑗 é uma propor¸cão de mistura com as restri¸cões

(52)

Uma forma de simplificar o emprego do ZIP, tanto usual quanto multivariado, na modelagem, ´e utilizar o artif´ıcio de aumento de dados. Defina a vari´avel auxiliar W = (𝑊0,𝑊1, . . . ,𝑊𝑚+1)′ e fa¸ca as seguintes analogias:

W = (1,0, . . . ,0,0)′ ⇒ (𝑌1, . . . ,𝑌𝑚)′ ∼ (0,0, . . . ,0) W = (0,1, . . . ,0,0)′ ⇒ (𝑌1, . . . ,𝑌𝑚)′ ∼ (𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆1),0, . . . ,0) .. . W = (0,0, . . . ,1,0)′ ⇒ (𝑌1, . . . ,𝑌𝑚)′ ∼ (0,0, . . . ,𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0+ 𝜆𝑚)) W = (0,0, . . . ,0,1)′ ⇒ (𝑌₁, . . . ,𝑌𝑚)′ ∼ 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(Λ).

Com isto, a conjunta do modelo ZIP multivariado pode ser escrita como

𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚,W = w|Λ) = 𝑓1(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚)𝑤0

× 𝑓2(𝑦1|𝜆0+ 𝜆1)𝑤1. . . 𝑓2(𝑦𝑚|𝜆0+ 𝜆𝑚)𝑤𝑚

× 𝑓3(𝑦1, . . . ,𝑦𝑚|Λ)𝑤𝑚+1 (4.16)

Ent˜ao, a verossimilhan¸ca para o modelo ZIP multivariado (m-ZIP) pode ser escrita como

(53)

33 4.3. ZIP multivariado 𝑃 (Y = y, W = w|Λ) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑛(𝑦1𝑖,...,𝑦𝑚𝑖) ∑︁ 𝑥0𝑖=0 𝑃 (Y𝑖= y𝑖, 𝑋0𝑖= 𝑥0𝑖, W𝑖 = w𝑖|Λ) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑛(𝑦1𝑖,...,𝑦𝑚𝑖) ∑︁ 𝑥0𝑖=0 𝑃 (𝑌1𝑖= 𝑦1𝑖, . . . , 𝑌𝑚𝑖= 𝑦𝑚𝑖, 𝑋0𝑖= 𝑥0𝑖, W𝑖 = w𝑖|Λ) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [𝑓1(𝑦1𝑖, . . . , 𝑦𝑚𝑖)𝑤0𝑖 × 𝑓2(𝑦1𝑖|𝜆0+ 𝜆1)𝑤1𝑖. . . 𝑓2(𝑦𝑚𝑖|𝜆0+ 𝜆𝑚)𝑤𝑚𝑖 × 𝑓3(𝑦1𝑖, . . . , 𝑦𝑚𝑖|Λ)𝑤(𝑚+1)𝑖] (4.17)

onde, para 𝑖 = 1, . . . , 𝑁 , 𝑓1(𝑦1𝑖, . . . , 𝑦𝑚𝑖) ´e dada na equa¸c˜ao (4.15) e

𝑓2(𝑦𝑗𝑖|𝜆0+ 𝜆𝑗) = 𝑒𝑥𝑝{−(𝜆0+ 𝜆𝑗)} (𝜆0+ 𝜆𝑗)𝑦𝑗𝑖 𝑦𝑗𝑖! , 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 (4.18) 𝑓3(𝑦1𝑖, . . . , 𝑦𝑚𝑖|Λ) = 𝑚𝑖𝑛(𝑦1𝑖,...,𝑦𝑚𝑖) ∑︁ 𝑥0𝑖=0 𝑃 (𝑌1𝑖= 𝑦1𝑖, . . . , 𝑌𝑚𝑖= 𝑦𝑚𝑖,𝑋0𝑖= 𝑥0𝑖|Λ) = 𝑒−(𝜆0+𝜆1+...+𝜆𝑚) 𝑚𝑖𝑛(𝑦1𝑖,...,𝑦𝑚𝑖) ∑︁ 𝑥0𝑖=0 [︂(︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0𝑖 × 𝜆 𝑦1𝑖 1 . . . 𝜆 𝑦𝑚𝑖 𝑚 (𝑦1𝑖− 𝑥0𝑖)! . . . (𝑦𝑚𝑖− 𝑥0𝑖)!𝑥0𝑖! ]︂ (4.19)

Como dito anteriormente, o presente trabalho propõe como forma de avalia¸cão da distribui¸cão conjunta de (𝑌1, . . . ,𝑌𝑚)′|Λ o artif´ıcio de aumento de dados tanto no ZIP

multivariado como na fun¸cão de distribui¸cão da Poisson multivariada. Isto é, incluir W e tratar a variável 𝑋0 como uma variável latente, respectivamente. Assim, as fun¸cões

(54)

seguir ou mais detalhadas no Ap^endiceA.

(i) 𝑓₂⋆(𝑦𝑗− 𝑥0|Λ) com 𝑃 (Y−𝑗 = 0|Λ) = 1 ⇒ 𝑃 (X−𝑗 = 0|Λ) = 1. 𝑓₂⋆(𝑦𝑗− 𝑥0|Λ) = 𝑃 (𝑌1= 0, . . . , 𝑌𝑗 = 𝑦𝑗, . . . , 𝑌𝑚= 0, 𝑋0 = 0|Λ) = 𝑃 (𝑋1= 0|𝜆1) . . . 𝑃 (𝑋𝑗 = 𝑦𝑗− 0|𝜆𝑗) . . . 𝑃 (𝑌𝑚 = 0|𝜆𝑚)𝑃 (𝑋0 = 𝑥0|𝜆0) = 1 × . . .𝜆 𝑦𝑗 𝑗 𝑒−𝜆𝑗 (𝑦𝑗)! × . . . × 1 (4.20) onde Y−𝑗 = (𝑌1, . . . , 𝑌𝑗−1, 𝑌𝑗+1, . . . , 𝑌𝑚) e X−𝑗 = (𝑋0, 𝑋1, . . . , 𝑋𝑗−1, 𝑋𝑗+1, . . . , 𝑋𝑚). (ii) 𝑓₃⋆(𝑦1− 𝑥0, . . . , 𝑦𝑚− 𝑥0|Λ) 𝑓₃⋆(𝑦1− 𝑥0, . . . , 𝑦𝑚− 𝑥0|Λ) = 𝑃 (𝑌1 = 𝑦1, . . . , 𝑌𝑚 = 𝑦𝑚, 𝑋0= 𝑥0|Λ) = 𝜆 𝑦1−𝑥0 1 𝑒−𝜆1 (𝑦1− 𝑥0)! . . .𝜆 𝑦𝑚−𝑥0 𝑚 𝑒−𝜆𝑚 (𝑦𝑚− 𝑥0)! 𝜆𝑥0 0 𝑒−𝜆0 𝑥0! = 𝑒−(𝜆0+𝜆1+...+𝜆𝑚) (︂ 𝜆0 𝜆1. . . 𝜆𝑚 )︂𝑥0 _𝜆𝑦1 1 . . . 𝜆 𝑦𝑚 𝑚 (𝑦1− 𝑥0)! . . . (𝑦𝑚− 𝑥0)!𝑥0! (4.21)

Assim sendo, a verossimilhan¸ca com a t´ecnica de aumento de dados tanto no ZIP multivariado como na Poisson multivariada, para o modelo ZIP multivariado, ser´a dada por

(55)

4.4 Regress˜

ao ZIP multivariado

Seja (𝑌1𝑖, . . . , 𝑌𝑚𝑖)′|(Λ𝑖,𝜋𝑖) ∼ 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0𝑖, 𝜆1𝑖, . . . , 𝜆𝑚𝑖, 𝜋0𝑖, 𝜋1𝑖, 𝜋2𝑖, . . . , 𝜋(𝑚+1)𝑖)

mutuamente independentes com as restri¸c˜oes 0 ≤ 𝜋𝑗𝑖≤ 1 para 𝑗 = 0,1,2, . . . ,(𝑚 + 1) e

𝜋_(𝑚+1)𝑖= 1 −∑︀𝑚

𝑗=0𝜋𝑗𝑖 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑁 . Sendo assim, pode-se escrever

(𝑌1𝑖, . . . ,𝑌𝑚𝑖)′|(Λ𝑖, 𝜋𝑖) ∼ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (0,0, . . . ,0) com probabilidade 𝜋0𝑖, (𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0𝑖+ 𝜆1𝑖),0 . . . ,0) com probabilidade 𝜋1𝑖, (0, 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0𝑖+ 𝜆2𝑖), . . . ,0) com probabilidade 𝜋2𝑖, .. . (0, 0, . . . , 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0𝑖+ 𝜆𝑚𝑖)) com probabilidade 𝜋𝑚𝑖, 𝑚 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆0𝑖, 𝜆1𝑖, . . . ,𝜆𝑚𝑖) com probabilidade 𝜋(𝑚+1)𝑖. (4.23) Note que a diferen¸ca entre esta defini¸cão e a dada na equa¸cão (4.11) é que agora tanto as taxas 𝜆’s como as propor¸cões de zero 𝜋 serão fun¸cões de covariáveis, sendo