A Reta
Luciana Borges Goecking
Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas janeiro - 2013
A Reta
Equação Vetorial da Reta
Consideremos um ponto A(x1,y1,z1)e um vetor não nulo −
→
v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de−→v . Um ponto P(x , y , z) pertence a r se, e somente se, o vetor−→AP é paralelo a−→v (figura)
isto é,
−→ AP = t−→v para algum t real. Assim
P − A = t−→v ou
A Reta
Equação Vetorial da Reta
Consideremos um ponto A(x1,y1,z1)e um vetor não nulo −
→
v = (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de−→v . Um ponto P(x , y , z) pertence a r se, e somente se, o vetor−→AP é paralelo a−→v (figura)
isto é,
−→ AP = t−→v para algum t real. Assim
P − A = t−→v ou
ou em coordenadas
(x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c) Esta é chamada a equação vetorial de r .
O vetor−→v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
Exemplo. A reta r que passa por A(1, −1, 4) e tem a direção de −
→
v = (2, 3, 2), tem a seguinte equação vetorial r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2)
ou em coordenadas
(x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c) Esta é chamada a equação vetorial de r .
O vetor−→v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
Exemplo. A reta r que passa por A(1, −1, 4) e tem a direção de −
→
v = (2, 3, 2), tem a seguinte equação vetorial r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2)
ou em coordenadas
(x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c) Esta é chamada a equação vetorial de r .
O vetor−→v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
Exemplo. A reta r que passa por A(1, −1, 4) e tem a direção de −
→
v = (2, 3, 2), tem a seguinte equação vetorial r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2)
onde (x , y , z) representa um vetor qualquer de r .
Se desejarmos obter pontos de r , basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+1(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(2, 3, 2) = (3, 2, 6) e, portanto, P1(3, 2, 6) ∈ r para t = 0, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+0(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(0, 0, 0) = (1, −1, 4) e, portanto, P2(1, −1, 4) ∈ r
para t = 3, obtém-se o ponto P3(7, 8, 10)
Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.
onde (x , y , z) representa um vetor qualquer de r .
Se desejarmos obter pontos de r , basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+1(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(2, 3, 2) = (3, 2, 6) e, portanto, P1(3, 2, 6) ∈ r para t = 0, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+0(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(0, 0, 0) = (1, −1, 4) e, portanto, P2(1, −1, 4) ∈ r
para t = 3, obtém-se o ponto P3(7, 8, 10)
Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.
onde (x , y , z) representa um vetor qualquer de r .
Se desejarmos obter pontos de r , basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+1(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(2, 3, 2) = (3, 2, 6) e, portanto, P1(3, 2, 6) ∈ r para t = 0, obtém-se r : (x , y , z) = (1, −1, 4)+0(2, 3, 2) = (1, −1, 4)+(0, 0, 0) = (1, −1, 4) e, portanto, P2(1, −1, 4) ∈ r
para t = 3, obtém-se o ponto P3(7, 8, 10)
Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.
Exemplo. Se P(5, 5, 8) é um ponto que pertence à reta r , conseguimos encontrar o número real t correspondente a este ponto P:
se r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + 1(2, 3, 2) e sendo (5, 5, 8) um ponto desta reta, então r : (5, 5, 8) = (1, −1, 4) + 1(2, 3, 2), donde concluímos que t = 2.
OBS A equação r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2) não é a
única equação vetorial de r . Existem infinitas, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor não nulo que seja múltiplo de−→v . Por exemplo, a equação
r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(4, 6, 4) é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2−→v = (4, 6, 4) como vetor diretor em vez de−→v = (2, 3, 2).
Exemplo. Se P(5, 5, 8) é um ponto que pertence à reta r , conseguimos encontrar o número real t correspondente a este ponto P:
se r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + 1(2, 3, 2) e sendo (5, 5, 8) um ponto desta reta, então r : (5, 5, 8) = (1, −1, 4) + 1(2, 3, 2), donde concluímos que t = 2.
OBS A equação r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2) não é a
única equação vetorial de r . Existem infinitas, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor não nulo que seja múltiplo de−→v . Por exemplo, a equação
r : (x , y , z) = (1, −1, 4) + t(4, 6, 4) é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2−→v = (4, 6, 4) como vetor diretor em vez de−→v = (2, 3, 2).
Equações Paramétricas da Reta
Da equação vetorial da reta (x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c), ou ainda (x , y , z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct), obtemos
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct
que são as chamadas equações paramétricas da reta. Exemplos. 1) A reta r que pasa pelo ponto A(3, −4, 2) e é paralela ao vetor−→v = (2, 1, −3), tem equações paramétricas
x = 3 + 2t y = −4 + t z = 2 − 3t
Equações Paramétricas da Reta
Da equação vetorial da reta (x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c), ou ainda (x , y , z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct), obtemos
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct
que são as chamadas equações paramétricas da reta. Exemplos.1) A reta r que pasa pelo ponto A(3, −4, 2) e é paralela ao vetor−→v = (2, 1, −3), tem equações paramétricas
x = 3 + 2t y = −4 + t z = 2 − 3t
Equações Paramétricas da Reta
Da equação vetorial da reta (x , y , z) = (x1,y1,z1) +t(a, b, c), ou ainda (x , y , z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct), obtemos
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct
que são as chamadas equações paramétricas da reta. Exemplos. 1) A reta r que pasa pelo ponto A(3, −4, 2) e é paralela ao vetor−→v = (2, 1, −3), tem equações paramétricas
x = 3 + 2t y = −4 + t z = 2 − 3t
2) Dado o ponto A(2, 3, −4) e o vetor−→v = (1, −2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de−→v .
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se os pontos D(4, −1, 2) e E (5, −4, 3) pertencem a r .
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F (m, 5, n) pertence a r .
2) Dado o ponto A(2, 3, −4) e o vetor−→v = (1, −2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de−→v .
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se os pontos D(4, −1, 2) e E (5, −4, 3) pertencem a r .
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F (m, 5, n) pertence a r .
Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou por B) e tem a direção do vetor−→v =−→AB.
Exemplo. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, −1, −2) e B(1, 2, 4).
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct
supondo abc 6= 0, vem t = x − x1 a t = y − y1 b t = z − z1 c
Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou por B) e tem a direção do vetor−→v =−→AB.
Exemplo. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, −1, −2) e B(1, 2, 4).
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct
supondo abc 6= 0, vem t = x − x1 a t = y − y1 b t = z − z1 c
Reta Definida por Dois Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou por B) e tem a direção do vetor−→v =−→AB.
Exemplo. Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, −1, −2) e B(1, 2, 4).
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas
x = x1+at y = y1+bt z = z1+ct supondo abc 6= 0, vem
t = x − x1 a t = y − y1 b t = z − z1 c
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x − x1 a = y − y1 b = z − z1 c
que são chamadas as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x1,y1,z1)e tem a direção do vetor
− →
v = (a, b, c). Exemplo. A reta que passa pelo ponto A(3, 0, −5) e tem a direção do vetor−→v = (2, 2, −1), tem equações simétricas x − 3 2 = y 2 = z + 5 −1
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades x − x1 a = y − y1 b = z − z1 c
que são chamadas as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x1,y1,z1)e tem a direção do vetor
− →
v = (a, b, c). Exemplo. A reta que passa pelo ponto A(3, 0, −5) e tem a direção do vetor−→v = (2, 2, −1), tem equações simétricas x − 3 2 = y 2 = z + 5 −1
Equações Reduzidas da Reta
Vamos tomar um caso particular.
Seja a reta r definida pelo ponto A(2, −4, −3) e pelo vetor diretor−→v = (1, 2, −3) e expressa pela equações simétricas
r : x − 2 1 = y + 4 2 = z + 3 −3
A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x , obtém-se
x − 2 1 = y + 4 2 ⇒ y = 2x − 8 e x − 2 1 = z + 3 −3 ⇒ z = −3x + 3
Estas duas últimas equações são as equações reduzidas da reta r , na variável x . Com processo idêntico ao que foi realizado obtemos
x = 1
2y + 4 e z = −3
2 y − 9 que são as equações reduzidas na variável y , e
x = −1
3 z + 1 e y = −2
3 z + 6 que são as equações reduzidas na variável z
Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos xOy , xOz ou yOzse seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula.
Exemplo.
1) A reta r //xOy que passa pelo ponto A(−1, 2, 4) e tem vetor diretor−→v = (2, 3, 0). (Figura)
2) A reta r que passa por A(1, 5, 3) e é paralela ao vetor −
→
Retas paralelas aos Eixos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox , Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a−→i = (1, 0, 0) ou a −
→
j = (0, 1, 0) ou a−→k = (0, 0, 1). Neste caso duas das componentes dos vetores são nulas.
Exemplo. Seja r a reta que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor−→v = (0, 0, 3). A direção de−→v é a mesma de−→k , pois −
→
Ângulo de Duas Retas
Sejam as retas r1e r2com as direções de−→v1e−→v2, respectivamente. (Figura)
Chama-se ângulo de duas retas r1e r2o menor ângulo de um vetor diretor de r1e de um vetor diretor de r2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se
cosθ = k − → v1•−→v2k k−→v1kk−→v2k , 0 < θ < π 2
Exemplo. Calcular o ângulo entre as retas r1: x = 3 + t y = t z = −1 − 2t e r2: x + 2 −2 = y − 3 1 = z 1
Retas Ortogonais
Sejam as retas r1e r2com as direções de − → v1e − → v2, respectivamente. Então, r1⊥ r2⇔ − → v1• − → v2=0 Exemplo. As retas r1: y = −2x + 1 z = 4x e x = 3 − 2t y = 4 + t z = t são ortogonais.
Reta Ortogonal a Duas Retas
Sejam r1e r2retas não paralelas, com as direções de−→v 1e −
→
v2, respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1e r2terá a direção de um vetor
− → v tal que. −→ v •−→v1=0 − → v •−→v2=0
Também podemos obter−→v fazendo−→v =−→v1×−→v 2
Exemplo. Determinar equações paramétricas da reta r que
passa pelo ponto A(3, 4, −1) e é ortogonal às retas r1: (x , y , z) = (0, 0, 1) + t(2, 3, −4) e r2: x = 5 y = t z = 1 − t
