Integrais fuzzy

I

IN'rEGRAIS FUZZY

,.

Este exemplar corresponàe a reda-ção final da tese devidamente cor. rigida e defendida pelo Sr. JORGE COSTA DUARTE FILHO, e aprovada pe la Comissão Julgadora . Campinas,

:26 de

.

,.

I'

Prof.Dr.~·---~

₇

L~~~~·--­

Orientador de 1988

Dissertação apresentada ao Inst:i.tQ.

'

to de Matemática, Estatística e ciência da Computação, mncr,MP, CQ mo requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática.

, -UNICAr~P BIBLIOTECA CENTRAL

À minha esposa Rosangela e as minhas filhas Marmela e Hariana

i i

~os meus pais, Jorge(in rnemori~n)e Josefa e às minhas irmãs Rita e

iii

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Rodney C. Bassanezi pela orientação e dedicação nestes meses de trabalho.

~os meus colegas que de alguma mane1ra participaram des-te trabalho.

ÍNDICE 1. INTRODUÇAO . . • • • , , ••••.••• , •• , .••• , • • • • • • • • • • • . • • • • • • , • • • • 01 2. MEDIDAS FUZZY 2.1 Definições e Exemplos . . . • • . . . • . • . . . 02· 3, A INTEGRAL FUZZY 3.1 Funções Mensuráveis . . . • . . . 16 T. 2 Integrals Fuzzy • . . . • . . . • • • • . . • . • • . • . . . 18 3;3 O espaço L1(") . . . 34· 3.4 COmparação entre esperança clássica e

esperança fuzzy • . . . • • . . . 38

4. CONVERGENCIA DE INTEGRAIS FUZZY.

4.1 A Autocontinuidade de Funções de conjuntos

e a Integral F u z z y . . . 47 4.2 Continuidade de Integrais fuzzy . • • . . . • . . . 69

l

lNTRODUÇ)\.0

O conceito de medida de fuzzy foi introduzido por M. Sugeno (1974). Esta medida corresponde

à

forma mais adequada para medir graus de incerteza, valores que dependem quase exclusivamente da subjetividade de quem está medindo. Por exemplo, quando uma pes-soa faz a aValiação de um carro, ela considera muitos fatores

si

multaneamente: cor, mecânica, opcionais, custo, etc. Note-se que a importância de cada um desses fatores pode diferir de pessoa para pessoa e algumas partes de um déterminado fator podem ser redundantes.

A preocupação em medir usando a subjetividade humana nao e ' um problema recente. Bernoulli e Lambert "já conheciam a diferen ça entr~ a "probabilidade aleatória" e a"probabilidade

epistêmi-"

ca. No caso da probabilidade aleatória usavam funções de conjun-tos aditivas. Quando os fenêmenos erarn descriconjun-tos fazendo uso de

julgamentos subjetivos usavam probabilidades epistêmicas.De qual quer forma, tanto num caso como no outro, a função de probabili-dade era usada como modêlo matemático.

Quando se pesquisa a inteligência artificial fica eVidente que o uso de funções probabilidades para descrever julgamentos subjetivos

é

inadequado e leva ·a· resultados contraditórios. Nes-te caso, impor que a medida seja aditiva

é

uma condição muito forte e não

é

respeitada pelo tipo de fenômeno estudado.Isto nos dá uma motivação para se trabalhar com medidas subjetivas que não têm a propriedade de serem aditivas. No capítulo 1 deste trg

2 balho, daremos a definição de medida de fuzzy, algumas de _suas propriedades e alguns resultados que serão necessários no decor-rer deste trabalho.

Uma outra teoria, chamada teoria da evidência, foi introdu-zida por Shafer em 1976, sempre com a preocupaçao em resolver problemas de julgamentos subjetivos. Ele fez isto, expressando estes julgainentos através de graus de credibilidade.

O ponto comum destas duas teorias era que elas podiam ser tratadas, do ponto de vista matemático, corno teoria de funções de conjuntos monótonas em relação

à

inclusão isto e, se A c B então p(A)::_ ll(B). Esta sera uma das condições exigidas para que uma função de conjunto ll seja uma medida fuzzy.

Podemos acrescentar, ainda, no conjunto das medidas subjeti vaso trabalho de Choquet:Teoria das Capacidades(l953), onde ele descreve capacidades como funções de conjuntos definidas numa clàsse de subconjuntos compactos de um espaço topolÓgico adequa-do.

Cada uma dessas teorias cobre somente alguns aspectos do problema geral e nenhuma delas está contida nas restantes. Por exemplo, a medida de possibilidade

é

uma função de plausibilida-de e não

é

uma medida fuzzy, maS

é

uma capacidade. Analogamente, nem toda medida fuzzy

é

uma fur:iç.ão de c:::-edibilidade e/ou plausi-bilidade.

Com o conceito de medida fuzzy, Sugeno construiu um funcio-nal, chamado integral fuzzy. Este funcional pode ser interpreta-do como a avaliação subjetivas -de objetos, onde esta

subjetivi-3

dade está ligada

à

medida fuzzy. Podemos interpretar a integral fuzzy de outras ~aneiras. Por exemplo, nós poderíamos chamá-la de esperança fuzzy em comparaçao com esperança probabilistica.I2 to será mostrado mais adiante no capítulo 2. Quando as integrais fuzzy são comparadas com a integral de Lebesque, elas poderiam ser chamadas de integrais não-lineares ou alguma coisa similar. Do ponto de· vista de funcional, as integrais fuzzy são simples-mente um tipo de funcional não-linear, como os funcionais mono-tonos.

A int.egral fuzzy tem sido ~plicada numa variedade de

pro-blemas, como por exemplo, nos processos de avaliação subjetivas: processos de decisão-fabricação, pro~esso de aprendizagem, etc. Um dos problemas mais essenciais nestas aplicações

é

a identifi-cação d~ medida fuzzy humana. É muito importante identificar ex-perimentalmente esta medida fuzzy, já que ela

é

considerada como medida subjetiva de indivÍduo. Existem dois métodos, direto e in diretb, para a sua identificação. Em ambos os métodos, a medida

fuzzy de Sugeno gÀ indicada no capÍtulo l,

é

usada com frequência como modêlo matemático de medidas subjetivas. No capÍtulo 2, introduzimos a definição de integral

'

dada por sugeno, que e:

(S)

maior

fuzzy

onde v,A indicam sup e inf respectivamente, F '; {xEX; f(x)>, o:} _{. a} ou Fo:~{f > o:} e A

é

um elemento da a-álgebra de subconjuntos

!

---4

de X considerada. As condições sobre f e v serão dadas mais adiante.

~inda no capítulo 2, daremos algumas propriedades da

inte-gral fuzzy,· bem como alguns exemplos.

Nosso principal interesse neste trabalho

é

mostrar as boas propriedades matemáticas desta int.egral. Alguns resultados

clás-s~cos da teoria da medida, como o teorema da Convergencia Monó-•

tona, Lema de Fatou e outros, serao demonstrados aqui. Quãndo da demonstrãção destes fatos, Sugeno apresentou dificuldades,sen do que estas dificulaades contornadas por Ralescu e Adams [ 3

J

dando outras definições para integral fuzzy, equivalentes

à

dada por Sugeno. Esta equivalência está mos-t:..rada no capítulo 2. A

se-.

.

gu~r no cap~tulo 3, mostraremos alguns resultados sobre conver-gencia d~ integrais fuzzy, apresentadas por ~Vang [ 4

J.

Para isto usaremos alguns conceitos básicos dados no capítulo l, como a a~ tocontinuidade e a zero-aditividade de funções de conjuntos. Com estas condições, obtemos um resultado mais geral que o teorema Convergência Dominada de Lebesgue , sendo este resultado o pr~nc~ pal do caPÍtulo 3. ~presentaremos ainda um teorema devido a Gre-co-Bassanezi [ 6

J,

onde eles obtem através dele todos os outros resultados anteriormente apresentados.

CI\PÍTULO I

MEDIDAS FUZZY

Como dissemos, o conceito de medida fuzzy foi introduzido , por Sugeno[

1].

Aqui, os conceitos de o~álgebra e de espaço rnen surável utilizados sao os mesmos da teória clássica da _medida. Dado um conjunto qualquer X, nao-vaz1o, cons1deraremos neste t r ª

.

-

~

.

.

. balho, a menos que se faça referência ao contrário, a

a-

álgebra de todos os subconjuntos de X, denotada por

X.

A seguir,introdu ziremos o conceito de medida fuzzy dado por Sugeno. Tal conceitQ tem sido modificado ern outros trabalhos, embora -a monotoCidade da medida seja sempre mantida.

Definição 1.1 - Uma função- de conjunto ~:X.~

[o

,oo) e uma med_i '

da fuzzy se sao satisfeitas as propriedades:

(i) ~(</>) ~

o

(monotocidade) (iii) Se {A

11}

_n

_{E I}

é

uma sucessao de conjuntos em

X

tal que

A 1 c A2 c . . . , então V(lim n~oo " ) o

n

lim _n~oo (iv) Se {A }

~(lim n~oo

A )

n

6

Observação:. 1) I\ restrição Jl ( 1\l )·<::: w exigida em (i v) pode ser colocada em uma forma mais geral, ou seja, _para

al-gum 11

0 E r.

2) A.s condições ( iii) e (i v) • propõe a continuidade de medida f1.1~ zy por sequências monótonas. Estas condições podem eventualmente serem dispensadas, Greco-Bassanezi [ 6 ] ..

3) Sem perda generalidade pode-se considerar Jl:X~[o,l], poiS se ~; [O,oo) ~[0,1]

_ê

uma função contínua e crescente, temos:

~{ff d~)= ~[ v [aA~(F )]= v [~(a)A~(~(F )) =

aE [O,oo) a aE [O,oo) a

Exemplos de medidas fuzzy

1.1) Qualquer medida positj_va a-aditiva

é

uma medida fuzzy. Em particular, a medida de Lebesgue

é

uma medida fuzzy.

1.2) A. função de probabilidade básica p:2X +

[o,~],

com X finito satisfazendo:

(a) p(~) = o (b)

C

p(A) = 1

1:3) A medida concentrada de Dirac em W 0 , definida por: se w E A se w o

lt

A o ~~~ c X

1.4) A medida gÀ de Sugeno

é

uma função ~=X ~[o,oo] que satisfaz

(a) v(X) = 1

toda com -l<À<oo

é

uma medida fuzzy, ver Banon[

J

pág. 294.

7

1.5) Medida de possibilidade de Zadeh definida como segue,e uma medida fuzzy, considerando X finito.

Seja

n:X

~[o, 1] tal que

(a) IT(W) = O; IT(X) = 1

(b) ~~ex, ~BcX, ~nB =

0

então IT(~uB) = máx (IT(~). IT(B)).

Se ~

é

uma medida fuzzy, a tripla (X,X,~) será chamado de espaço de medida fu~. Daremos algumas definições e resultados

sobre funções de conjuntos relativos às funções sub-aditivas zeros-aditivos e sobre aauto-continuidade de funções de conjun-tos.

Adotaremos as convençoes seguintes: sup{i,iE~}= O; oo-= = O;

,..,

O.oo =O e se o conjunto de Índices f

é

vazio, ~ (·) =O.

r

8

par ~,B E

X

~(~uB):O_ ~(~)+~(B).

Exemplo 1.5: A medida de probabilidade do exemplo 1.2.

Definição 1'.3: Uma função de conjunto J..l

é

chamada zero-aditiva se ~(EuF)= u(E), com E,F

EX,

EnF =

0

e u(F) = o .

Proposição 1.4: Se uma função de conjunto J..l e tal que J..l(E)f O

.

para E

EX,

E# ~ então lJ..

é

zero-aditiva.

ProQQ§icão 1.5: Seja (X,X,1-!) um espaço de medida fuzzy. São equivalentes:

(a) ~

é

zero-aditiva

(b) E, F E X. ~(F) = 0 ~ ~(EuF) = ~(E)

(c) E, F E

X

_{FCE e} ~(F) =O ~ u(E-F) = ~(E), onde E-F e

.

o complementar de F em E.

(d) E, F

e

X

~(F) = o • u(E-F) = u(E)

(e) E,F E X, u(F)=Oo u(EOF)=u(E), onde EOF=(EuF)-(EnF).·o sÍmbQ lo 6 indica.a diferença simétrica entre E e F.

Demonstração: (a) :;.(b). Sejam 11 zero-aditiva e E,FEX coin 'f.l(F)=O Temos que EuF = Eu(F-E}. Note que(F-E)cF e sendo 1-l uma medida fuzzy, (ii) implica que 1J(F-E)=O. Como 1-l

é

zero- aditiva e En(F-E) =

0,

segue-se que

9

..

(b)~ (c). Sejam E,FE

X

com E~F e ~(F) =O. Agora E=(E-F)uF. Por (b) temos que ~(E)= ~((E-F)uF) =~(E-F).

(c) ~(d). Sejam E,FE

X

com ~(F)=O. Temos que E-F=E-(EnF) _e

note que EnFcF. Assim, ~(EnF)=O. Além disso, EnFcE e então ternos:

~(E-F) = ~(E-(EnF)) =~(E)

(d) :::> (e). Sejam E,FE X com Jl(F)=O. Como EnFcF segue-se que ~(EnP)=O. Logo ~(E6F)= ~( (EuF)-(EnF) )= ~(EuF). Por outro

E-F=(EuF)-F. Então ~(E)= ~(E-F)= ~(EuF).

Portanto ~(E6F)= ~(EuF)= ~(E).

lado

(e)~ (a). Sejam E,FE X. com EnF=0 e Jl(F)=O. Então E6F=EuF.

Logo J1(EuF}~ Jl(-ELIF)= f.!(E}_ e portanto Jl

é

zero--aditiva .

•

Observação: Da proposição 1.5 podemos notar que se _{e uma medi} '

da fuzzy, a condição 11_{EnF=0" pode ser omitida da definição de} função de conjunto ·zero-aditiva.

Daremos abaixo exemplos relativos às medidas zero-aditivas: Exemplo 1.6' Seja X>={O,l,2, •••. } e X cr-álgebra dos

subcon-juntos de X. Defina 1-l: X-+

[o.

oo]

por

c,

l

o

~ E 2i+l

•

se

iEE

~(E)= 00 .se OEE _{e E- {O}}

f

~

10

É simples verificar que ~ _{e urna medida fuzzy, e pela proposição} '

1.4,

v

é

zero-aditíva.

,Exemplo 1.7: Sejam X

=

{a,b} e 11 uma medidã fuzzy definida por:

~ X~

[o.

oo)

{:.

se E

₌

X

~(E)

₌

se E

_#

X

Considere E

=

{a} e F

=

{b} , Temos que ~(F)

=

~(E)

=

O e EuF = X. Então J1(EUF) = JJ(X) = 1. Logo J.l não

é

zero-adtiva pois ~(EUF)

#

~(E),

Definição 1.6: Uma função de conjunto 11-

é

dita autocontínua

su-periormente se, sempre que e

~(A) •

Definição 1. 7: Uma -função de conjunto 11

é

dita autocontínua infeiiormente se, sempre que

~(B )~ O n

com B Cl>,. \;:f

n ' n

e

1..Jma frmção de conjunto 11 que e autocontínua superiormente e in f e-riormente será chamada de autocontínua. Se 11

é

uma medida fuzzy as condições 11_1\.nB

=0'

_e 11_{B CA}11 _{podem ser omitidas das}

n n

11

-

.

.

Proposicao 1.8: Se J1 e autocontlnua superiormente ou infei'iormen te então ~

é

zero a di t i v a.

Demonstração: Suponhamos que J1 seja autocontínua superiormente

e sejam E,FE

X.,

EnF =

0·

com l.l(F) =0. Tomemos em 1.6 A= E

Assim:

tin. Então A,Bn E )._ 1 AnBn =

0,

•

lim ~(AUB ) ~

n

Portanto \1

é

zero-aditiva.

V ( EUF)

Suponhamos agora que Jl seja autocontínua inferiormente e sejam E,FE

X

_com

_EnF

= ~

e

Jl(F) =O.

Tomemos em

1.7

A = EUF e B = F. Como EnF =

1/J,·

temos que (EUf') - F = E e n

.

e claro que B CA.. Assim: n

Logo \1

é

zero-aditiva e a proposição está demonstrada •

•

Proposição 1.9: Uma medida fuzzy \1

é

autocontínua se, e sómente

il(A), com A,B E·:(

n e

Demonstração: Suponhamos que J1 e autocontÍnua

O, n= 1, 2,

e

A, B E

X.

n tal que Jl(B11) ~ o. Considere c11

=

B11-A. Temos C _{n ·} n~ ~

0

e como C cB _{n n} e ~

é

uma medida fuzzy

sejam que

D c B e

n n ~

é

uma medida fuzzy. "(A-Dn)4 "(A).

Mas

A-D CA6B CAUC tr.

~"' ~-"

n

n

n'

n

Logo ~(A-D )< ~(AÓB )< ~(1\UC )

n - n - n e portanto:

lim ~(A6Bn)= ~(A)

fi400

12

Portanto

Suponhamos que se A,B E

-;!.

e . ~(B )4 O se tenha ~(A6Bn)4~(A).

n n

Suponha também que AnB =

0.

Temos então que

n

-(AnBn) = AUBn. Logo ~(1'.) = lim ~(1'.6Bn) = lim ~(~UBn)

n+= n-+«>

.

e portan-to ~é autocontínua superiormente. Seja agora A,BnE ~ tal que

~

n e AMn = (AUB ) -n (AnB ) = n A - B n·

Logo J.l(A) = lim Jl(All.Bn) = lirn Jl(A-Bn) e portanto 11 e

autocon-n-+oo n-+(0

tínua inferiormente. Assim sendo, 11

é

autocontínua.

*

Exemplo 1.8: Uma gÀ-medida

é

autocontínua. De fato, sejam com ll(B )-+O. Então l.l(Alffin) =

. n "

= ~(A uB ) = ~(A)+ ~(B ) + À~( 1'.) ~(B ) • Tomando o limite

n n n quando

n -+-oo temos:

lim ~(A6Bn) = ~(A) n4oo

I

---13 Notemos que uma medida fuzzy nao

é

necessariamente autocon tínua superiormente e inferiormente, como mostra o exemplo abái-xo.

Exemplo 1.9: Seja X

=

{1,2,3, . . . . } _e

_X

_{a o-álgebra de} to-dos os subconjuntos de X. Defina

para E E

X

_{, onde k}

_é

_{o número de pontos de E.Afirmarnos que} ~

é

autocontínua inferiormente.e consequentemente zero-aditiva (proposição 1.8), mas não

é

autocontínua. De fato, tomemos A={l} e B _n "' {n} , n = 1, 2,

o

e

Então

e ~(A)= 1 _2.

Segue-se outras definições de diferentes tipos de "conti-nuidade11 em relação

à

uma função de conjunto, dadas por Wang

[4]

que serão Úteis no estudo da convergência das integrais fuzzy.

Definição 1.10: Uma

coleção~

de conjuntos em cadeia se, para todo par

c

1,

c

2 E ~

X _e ' _chamada

ou

Definição 1.11: Uma cadeia

tfo

_é

chamada ~-limitada, se existe

M >O tal que l~<cli<M,

_para

_{todo C Eift,.}

DefiniCão 1.12: Uma função de conjunto 11

é

chamada autocontínÚa superiormente localmente uniforme se ela

é

autocontínua superior

..

e para toda cadeia l.l -limitada

t&

c

X.

e para todo

ó

=

'ó((

i;)>

o

tal

que

~(A)-< < ~(AuB)~ ~(A)+<

onde. AE

J,,

BE

X ,

AnB =

~.

I

~(B)

I< ô

14

e:>

o

1 existe

Definição 1.13: Urna função de conjunto

_é

_{chamada autocontínua} inferiormente localmente

unifOrme

se ela

é

autocontínua inferior e para toda cadeia v-limitada

~c

X e para todo _{E: >O, existe}

ô=ô(t#,,g}>O _{tal que}

~(A)-<< "(A-B)~ "(A)+€

Definição 1.14-: Uma função de conjunto

_é

_{chamada autocontínua} localmente uniforme se ela

é

autocontínua superiormente e ·infe-riormente localmente uniforme.

Definição 1.15: Uma função de conjunto l.l e chamada uniformemente autocontínua superior se para todo E> O, existe _ô

_=o<

_<l

_>

_o

tal que sempre que A,BEX, ArB= ~. I "(B) I <ô _então

}.I( i\) -E < p(AUB) .::._ JJ(i\) + E

15 autocontínua inferior se para todo ·E>O, existe ·ó=ó(E)> O tal

que sempre que A,BE

X

,

BcA,

I

~(B)

I<

ó

então

~(A)-c < ~(A-B) < ~(A) + c

Uma função de conjunto ~

é

chamada de autocontínua uni-forme se ela.

é

uniformemente autocontínua superior e inferior.

CAPÍTULO II

A INTEGRAL FUZZY

1. FunçÕes Mensuráveis

Vamos apresentar agora algumas definições e resultados cl᧠sicos sobre·mensurabilidade, que nos serão Úteis no estudo da int~ gral fuzzy ..

Definição 2.1: Seja X· um conjunto qualquer nao vazio e

X

uma o-álgebra em X. Urna função f:x~·R

_é

_{mensurável se para todo a}

real, o conjunto {x X;f(X)>a}- pertence a

X.

Exemplos: 2.1) Toda função constante

é

mensurável pois se f(x)=c,

V E X e se o: > c então {x X; f(X) >o:} = ~E X enquanto que se

X

o:< c, {xEX; f(X) >o:} ~ XE X

2.2)

se

AE

X

então a função característica de A, def~

nida por

é

mensurável pois

cem a X

1 , se x E A

O, se x

rt

A

{xEX; X (x)>a} ou

é

X, ou A ou~

A que perten

2. 3) Se f

é

contínua soDre

IR

e X

é

a a-álgebra de Borel ~então f

é

mensurável, pois o conjunto {xEX;f(x)>a} _e '

17

aberto de ~ e portanto

é

a união de intervalos abertos, pertencen do- então a S

O prÓ~imo lema também nos dá. urna caracterização para funçÕes

'

.

rnensuravels.

Lema 2. 2: Seja f:X~[O,<>') uma função.

são

equivalentes: (a) ~~E

R,

l\ _a

= {

xEX · _' ffx)>a)E

:c

(b)~aE &_, B

=

{xEX; f(x)::_a)E X

a

(c)~aE

_{R, c}

_a

₌

{ xEX; f(x)2'_a)E :X: (d)~aE

li\.,

_Da

=

{ xEX; f(x)<a)E X

Lema 2. 3:. Sejam f e g funções mensuráveis e c E

ti<. •

Então sao mensuráveis as funções c f, f+g f fg e

Lema 2.4: Seja (fn) uma sequência no conjuntodas funções

mensura-~eis de valores reais extendidos M(X,X} e defina as funções:

A f (Jl)

nElN n ·· F(.%:) =

f*(JI,) = lim inf fn(x) ; F*(") = lim sup fn(X.).

Então f(x), F(X), f*(~) e F*(X) pertencem a M(X,X).

18

para uma função f, então f

M(X,X).

Lema 2. 6: Se f

ê

uma função não-nega t i v a em · ·M ( x,:::c.) então exis-te uma sequência (

flh)

em M(X,X.) ·tal que:

(ã) O< cpn(x).::_ cpn+l (x·), x~, nElN

(b) f(X) = lim cpn(x:, para cada xEX

(c) Cada cpn tem somente um número finito de valores re-ais, isto

é,

são funções simples.

2. Integrais Fuzzy

~s integrais fuzzy foram introduzidas por M. Sugeno

[D

em sua te-se de doutorado , utilizando medidas fuzzy(definição 1.1). A seguir daremos a definição dada por Sugeno.

Definição 2.6: Séja f:X-+ [0,00 } uma função mensurável, positiva e

v

uma medida fuzzy. Sugeno definiu o funcional F da seguinte forma

onde

F(f) = (s) _f d~

A

AEX ,F o:= {xEX;f(X)2_o:} e A,v

( l)

indicam respecti vament.e o inf e o sup em [0,00 ) . O funcional p·

é

denominado integral fuzzy ou integral de Sugeno.

I'

--19

Daremos alguns exemplos de integral fuzzy.

Exemplo 2.4: Seja f: [0,1]+[0,1], definida por:

1/2 , se O<x<l/2 f (x) =

x , se l/2<x<l.

Seja

v

a medida de Lebesgue. Então

J

fd~=

v

[aA~(F

)]= v

[aA~(F

)]

aE [o, oo) a aE [o, 1/2] a aE[l/2,1] v [aA~(F a

D•

a>l v

1/2.

Exemplo 2.5: Seja X= {1,2,3, . . . } e considere v: -+[0,=) a medida dada no exemplo 1.9. Seja A= {2,3,4,5}

e

considere f:X-+

[o,=)

definida por:

1

2 ,

se l<x<3 f(x)

=

20

J

fd~=

v

[aA~(AnF

)] = v

[aA~(MF

)]

aE[O,oo) a aE[0,1/2] a _(1/2,1]

fd-~

(

AnF _a.a>1

l]

v

=

1 3 =

2 vl6

= v

[aA~

J

= aE(1/2,1] 16 3 v a; v .. aE

[o,

1/2] 16 1

=

₂

21

Com o intuito de avaliar objetos fuzzy

é

que Sugeno introdu-ziu estas integrais. Por exemplo, suponha que se queira avaliar um objeto O segrmdo um conjunto Oe. criterios X . . se ~(X) deno,ta q grau de satisfa-ção do qual

é

rm.midó o objeto O se o critério x

é

considerado, e se

~(X) denota o grau .de importância deste critério x, a integral

fuzzy pode ser interpretada, comparando estas duas quantidades no sentido do operador A , com a proCura do máximo grau de

concordân-cia entre as duas tendênconcordân-cias opostas, isto e, o valor da ' integral fuzzy pode ser "o melhor valor pessimista" ou o "pior valor otimi.§. ta".

Mais especificamente, suponhamos que se queira avaliar subjg tivamente um objeto, por exemplo, uma casa. Assuma que o objeto po de ser dividido em n elementos. Seja k={s

1, ... , sn} o conjunto de tais "elementos. Em geral k não

é

necessariamente um conjunto de elementos fÍsicos mas ele poderia ser um conjunto de pontos-de vl~

ta ou de critérios. Seja h:k-t-[ O, 1] uma avaliação parcial do obj~ to. Isto

é,

h(s) implica na avaliação parcial do objeto, do ponto de vista do elemento s. Se pensamos no modelo de reconhecimento h(s) pode ser olhado como a função característica do modelo. A ava liação parcial h(s) pode ser determinada subjetivamente ou objeti-vamente. Por exemplo, nós podemos ter objetivamente h(área)=200m2, o qual deve ser normalizado. Assuma que a medida fuzzy é uma me-dida subjetiva expressando o grau de importância do subconjunto de k. Por exemplo, g({s

1}) expressa o quanto s1

'

e importante para avaliar o objeto g({s

1,s2}) implica o grau de importância de s

2. É necessário assumir que o grau de importância de · k

'

22

1. Portanto a integral fu~zy de h representa a agregaçao de n avaliaçÕes parciais e pode ser considerada como a melhor de todas as avaliações do objeto.

Com a definição 2.6, Sugeno procurou,mostrar que os -teoremas da teoria da medida Clássica ainda continuaram válidos na teoria· da medida fuzzy. Porém, quando da demonstração do análogo ao teor~ ma da convergência monótona de Lebesque, Sugeno usou a igualdade

({xEX; lim fn(x) _'>a})

=

lim ~{ xEX; fn(x)_'>a} n -+«> n -+oo

que nao

é

verdadeira. Para ver isto, tome um espaço de medida fuz-zy (X,X., 11) com (X)=l e considere fn = 1 -

~,

n= 1,2, . . . . e-a=l.

Temos então que lim fn

=

1

,.~

e ({xEX, lim f _n (x)>,l})=u(x)=l. _- Mas

( !x EX. f ( x) 2.. 1 l) = u( ~) = o.

n

Entretanto, Ralescu e ~dams[ 3 ] , contornam este problema dando.outras definições equivalentes para integral fuzzy. É o que faremos a seguir.

Seja (X,X,~) um espaço de medida fuzzy e f:X~lo,oo) uma fun

çao mensurável,positiva. Seja s =

V-mensurável e positiva com

çao característica de Definimos então 1\.. l

a.f

a:. l J n 'v

[o:.A

i=l ~ n E i=l a. l para ~(1\nl\. )] • l

uma função simples,

'

e a fun-e

23

Observação: Se A

=

X, denóta-remos Qx ( s) por Q(s)

Com isto, Ralescu definiu o integral fuzzy como sendo:

Definição 2 .. 7: Seja f:X-+ [b,oo) ménsurável, positiva e Jl uma rfte-dida fuzzy. Então

sup Q~(s)

s.:_f •

( 2)

onde o sup

é

tOmado sobre as funções simples s tais que s<f. Também, Ralescu-Adams deram uma outra definição de integra.l fuzzy. É o que apresentaremos agora:

Definição 2.8: Seja f:X-+ [0,00 ) uma função mensurável positiva.En tão:

(Rh)

!:

dU = suplu(A)Ainf _{AEX XEA} f(X)]

( 3)

Mostraremos que as definições 2.6, 2.7 e 2.8 sao equivalen-tes e com isto poderemos mostrar o teorema da Convergência Monó-tona, usando a definição 2. 7 dada por. Ralescu-Adarns; Mostraremos

inicialm~nte algumas propriedades das integrais fuzzy, que nos

se-rão Úteis para a demonstração dessa equivalência.

PropoBição 2.9: Sejam f:X-+ [O,co) e g:X -+-[0,00

) funções veis, positivas. Então:

mensurá-I ~ ~ ~

24

" ,, ,., .. '" ""''" ·,,)I.""'"'!:''

ii) Se AC!l então (R)

f:d~::_(R) f:d~

A, BE

X.

iii) Se

~(A)~O então.(R)f~d~"O

, AEX

iv)

(R)f:d~" cA~(A),

onde c

é

uma constante não-negati va e A.EX..

Demonstração: i) Observe em (2) que o sup

é

tomado sobre todas as funções simples s~f. Como f2g então: sup

s::_f

Logo

'

ii).Basta observar que e usar o ltem

an-terior.

iii} Coffio AnA. E

X

1 e A..nAcA 1 e V

é

uma medida fuzzy

temos que ~(A.ni\i)=O. Então ai"1-l(AnAi)=O :::.-- QA.(s)=O. Portanto

f:d~=

o

n

iv) Temos QA(c)" v [cA~(A)] "cA~(A). Logo i=l

sup QA(s)

"cA~(A)

e

(R)Fd~"

cAu(A).

25

Provaremos agora a equivalência das definiçÕes 2.6, 2.7 e 2 .8.

Teorema 2.10: Seja (X,:X.., 11) um espa_ço de medida fuzzy e f:X-+[O,oo) uma função mensurável, sao equivalentes:

a) (R)

ffd~=

(RI'.)

f

fd~

b) (s)

ffd~=

•

(RI'.)ffd~

Demonstração: a) Sejam AE X e <X₀ = inf f(x) e considere a

fun-xEA

ção 50 = <X0XA, que

e

uma função simples, mensuiável e S0~f. En tão: Logo ~(A)Ainf f(x) xEI'.

(R)ffdv~sup[v(A)Ainf

f(xl] = (RA)f fdV I'.E xEI'.

(4)

n Seja agora s = E i=l

a.x.,.

1 n . 1

uma função simples,

positiva,men-surável tal que s~f. Então

k

Q(s) =v [a.AV(I'..)] =a. A~(l'.. )

i=l l l 1 0 1 0 para algum i

Corno s< f, ex. ~ inf f(x). Logo ~. E Q(s)<~(11.. )' - ~. Portanto in f xEA.

'·

sup s~f X 11.'

'·

f(x)~ sup[~ (11.)" 1\.E De (4) e (5) segue a). inf f(x)] xE 11. 26 ( 5)

b) Sejam AE X e _{CX 0} ~ inf f(x). Então para xEA,f(x)~a₀ •

xE11.

Logo Ac{xEX;f{x)~cx₀}. Sendo~ uma medida fuzzy

Portanto

~(1\.)A inf f(x) xE11.

i.

v [cxA~{xEX; f(x)_::cxl] 0:.2:_0

onde concluÍmos que:

sup[~(A)'

inf

f(x)]~ (s)ffd~

AE xE11.

temos que

( 6)

Seja agora u>O. Como -f

é

mellsurável, o conjunto A

0

~{xÊX;

f(x)2_a}E :X: e inf I(x)2_a • Logo xEAo sup [~( 11.) 'in f AE xEI\ f(x)J.?.~(11..)A inf xEA₀ f(x) >ctAV{xEX; f(x)2:_a}

27 Então sup c~

(

~) 'inf A.E xEA f(x)]2_ v

[a,~{xEx;f(x)2_al]=(S)fd~

·et>O

J

( 7) De

(6)

e

(7)

segue

b.

Assim as definições dadas por Sugeno, Ralescu e Ralescu/Adarns sao portanto, equivalentes e#serão denotadas simplesmente

por}.

Algumas propriedades da integral fuzzy já foram mostradas an-teriormente. ~qui, acrescentaremos mais algumas delas. Denotaremos

por

Proposic:ão· 2.11: Sejam f,g: X-+

[o,w)

mensuráveis e AE

X

então

(i)

}id~= rfX~d~

, onde

X~

é

a função caracterÍstica de

~

A

(ii)

f(f+a)d~<' ffd~+ a'~(~)= ffd~+fad~,

aE [o,ro)

A

h

A

~

(iii) Se if-gl:".a

em~.

aE[o,ro) então

iffd~-fgd~l:".

a.

A

A

f

fd~=

v

[a'~ (~"Fa)]

A

a

E

[o,

ro)

Demonstração: {i) Ternos onde

Logo

=

(ii)

Temos v '[aA~ ( AnF )] aE[o,w) <X ' F<X = {xEX;f(x)+a~a) EntãO: v [aA~(AnF) aE [0, a) " = v [aA~(A)] aE[ü,a) v '[aA~(AnF )] <X <X>a v [aA~(An{f~a-a})] a.2_a 28 onde

pois se aE[O,a), a-a< O e {xEX;f(x)+a2:_a} ={xEX;f(x)2:_o:-a} =X

e portanto AnFa= A. Notemos que

< (a-a)A~(An{t..:::_a-a)}+ aAll(A).

·Nas desigualdades acima usamos o fato de que An{f~a-a} c A e a

f

(f+a)d~=

v

[nA~

(A)] nE[o,a) v [aA~(An{f.c_n-a))] U)B .<:_(aA~(A)Ic:[(aA~(A))+ (n-a)A~(An{f>n-a) )] 29

(iii) Como

lf-gj

<a, temos f .':.g+a. Então pela proposição 2.9,

Ítem (i),

+ a

Por outro lado, g~f+a e

De ( *,} e ( **) segue o resultado.

Proposição 2.12: Se ffdV=O então v({xEA; f(x)>OJ)= O A

Demonstração: A = {xEA; f(x) >!

n n

Seja

={ xEA;f(x)>O}. Logo

Mas sendO i1 uma medida fuzzy temos

Então (I( A ) n A CA _{1 2•} c

=

o,

'tj n . . . e (* ), w .A= U A = n::::l n

( ) ( uoo ) ~ ~ =~ ~ = lim n n=l n-t-oo ~({xE~;f(x)>O})

=o .•

~(~ _n

_{) =}

o

30 ou seja,

Os resultados a seguir serao Úteis no estudo da convergência de integrais fuzzy.

•

Lema 2.13: Seja ha , o::E[O,oo) uma função não-negativa, decrescente de valores reais extendidos de a . Se

< h _ ,·onde h - lim 0 h,...e h.-v 0 +0

=

0::₀ -0 <X0--0 """ '""

a-+a:o-Demonstração: Se ao=

o

temos que ha: =0, para

a.>o. se

então

a _o = =

então = 00 para a:E[O,oo). Nestes casos o lema está

demonstra-do. Suponhamos o:Ah < cx₀

a - temos para todo e portanto h < 0:₀ • Por outro lado, assuma

0:0+0- que h -0< 0:0 • Então existe 0: 1 <0:0

a.-tona decrescente, temos que ho:<ha,~ ao para temente,

< sup v -aE

[o,

a•)

.

.

e mono-a>a:•. Consequen~

Portanto,

Denotaremos

..

O lema está demonstrado.

•

lim F a, a '-+ct+O por F et+O. 31

Teorema 2.14: Seja f:X-+ [O,w) uma função mensurável e seja ~uma medida fuzzy. Então, para ~E X e aE

\j(

temos:

(i)

f~d~=a ~ ~(AnFa)2<X2~(AnFa+O)

(ii)

f~d~>a~ ~(AnFa)>

a

(iii)

f~d~2"~ ~(AnFa)2

a

Demonstração:

(i)

Suponhamos que

Observe que v À ÀE[o,a] v À>a 11(1\nF )·>a>v(AnF 0). Então a - - a+

À>O::>Il(AnF _{- U+Q •} ) Logo

Suponha agora que Seja _À e '

decrescente em relação a À • Como a

=

su~ [ÀAhÀ] e hÀ-O = hÀ,

ÃELO,co)

32

..

(ii) Seja

Oo·=Lfd~.

Então

(iii) Suponha que

A-recÍproca decorre dos Ítens anteriores. Sabemos que se f

1

,f

2 são funções mensuráveis então t

1

~f

2

quase sempre se ~({xEX;f

1

(x)#f

2

(x)})=O. Na teoria de medida clá~ sica temos que se f ₁=f₂ quase sempre ou quase toda parte, aqui denotado' por q·. t. p., então suas integrais sãO iguais. Isto ainda será verdadeiro para intégral fuzzy? O seguinte teorema

responde-rá esta questão.

Teorema 2.15: ·se f

1=f2 q.t.p. então

te se ~

é

zero-aditiva.

Demonstração: Suponhamos que

_é

zero-aditiva. Para O e como

f

₁

~f

₂

q.t.p. isto

é,

~( {xEX;f

33

nição 2.6 que

Suponha que _{ff 1dv=ff 2du. Considere E, FE)l com u(F)=O e de}

•

fina fl (x)= {oo, se xEE {oo, se xEEuP e f₂(x)= o, se x~E

_o'

se xe'EuF

Temos en"t;ão que _fl=f2 q.t.p. Mas _ff

1dv= ooA\l(E) e ffzdV=

00_AV(EUF)

•

Proposição 2.16: Se

v

é

zero-aditiva então que E,FEX com \l(F)=O

então

Como l-l(F)=O e Fa:nFcF segue-se que l-Í(Fa:nF)=O. Sendo

zero-adi-ffdV .

E t

v [cxAV(Fcxn(EUF)]= cxE[O,oo)

34

3 • O espaço L l ( ul _

Chamaremos de L1(v) ao espaço das funçÕes mensuraveis posi tivas tais que

f

fd

u

< 00

Uma caracterização para o espaço L1(v) é:

Proposição 2.17: Se f:x~[o,oo)

é

uma função mensurável, então sao equivalentes:

(b) _{o conjunto M={a>O;v{f~a}= oo}}

_é

_limitado.

Demonstração: Suponhamos,. por contradição que M na o

é

limita do. Sg ja M' o complemento de M·. Então, observado o fato de que em M,

u(i

)=oo a temos: Então v [a'u(F

aU

=

a..::-_o

=

v a v

a

EM

aEM' v [aAu(Fal]= sup M v

v [aAu(F a)].?_sup 11= oo

o:EM'

Logo ffL1(v), o que prova que

a)~

b).

f

fdU=

v [aAu(FaÜ

= Ct2:,0

v [a'u(F )]

cxEM

ex

=

sup M ' v

nEM•

Sendo M _{limitado, M' na o o e. Logo lim}

a~~

remos esta afirmação. Seja G(a)= -ll{xEX;f(x)2:_a}=Jl{f..:::_a}

35

Procu-Temos que G(a) é-decrescente e limitado inferiormente. Logo existe lim G(a) = lim F(n), nEIM

Como a sucessão de conjuntos {f2_n}

é

decrescente, então

lim {f>nl =

n

{f>nl n=l

Por outro lado,

n

{f~n}

=0

pois caso contrário, existiria n=l

Logo

o que

é

absurdo. Logo

lim

{f_::n}

=

0 ~ n implicaria que

N

lim G(a)

=

o

n a seria limitado ,

Com isto,

é

impossível que Jl{f2:.et}2:.a,traEM'. Portanto

0::₀ EM 1 • Então para a>a

0

( 9)

36

v [o:Av({f>a)) aEM'

•sup M v v [o:Av ({ f>a)) v v [o:Av({f>a)f

aEM' aEM1 -

-àgora observe que:

Por ( 9) temos _que

Logo Então a<a0 v [o:Av({f2_a)J]~a, aEM' o:< ao v [o:Av({f~a)J]< o:EM' sup v({f~a))~v({f~a.)). a>a _{- o} 0:2:_0:o v [o:Av({f.>al)] v v [o:Av({f_ia)J] aEM' o:EM' o:< ao CI..!:._Cto

< sup M v v({f>ao))<oo o>fE - o

Teorema 2.18: Se f:X-+ [O,oo) e fE L1(ll) então

00

Jv({f~o:))dx.

. o

onde a integral do lado direito da igualdade

é

a integral fuzzy de G(o:)=ll({f_::o:}), com respeito a medida de Lebesque em [0,00

) :

37

..

Como _fEL 1 _{(~), segue-se que lim G(a):Q (ver demonstração da prQ} posição anterior). Seja X0.2:0 e S0 =G(x0 )'X[O,x

0

] • Temos que s 0

e uma função simples tal que s <G

0 - e

Logo ffdV=

Q(so)= G(x

_{0 )Ax 0}

~ sup Q(s) =

s<G

v [x

x2_0 00

"G(x)]~

JG(a)dx. Mostremos a

o

k

Considere agora uma função simples s= E a.

l Então: Q(s) = k v [a,AÀ(~. )] = i=l 1 1 i=l outra desigualdade. xA., s#O, s~G. l

para algum i 0 , l~i0<k, com À a medida de Lebesque em [ü,oo). Como lim G(a)=O então

a+oo

A..

é

limitado. Seja

lo ~. c

[o,

B]

lo e À{A. lo -)<B • Portanto e então 00

l

G( a)dx o [xAG(x)]

f

fdv.

(

=

J

8 =sup A. lo Logo fdv

!

----38

4 . Comparação Entre a Esperança Class-ica e a Esperança Fuzzy

Nesta seçao nós comparamos a integral clásSica(Lebesque) e a integral fuzzy, aqui denominadas por esperança clássica e por esperança fuzzy, uma vez que a medida usada é a medida da probabi lidade que também é uma medida fuzzy, e isso dando sentido a com-paração. Salientamos ainda, que no caso de medidas mais gerais tal comparação não terá sentido, pois, por exemplo, a medida de possibilidade não precisa ser uma medida fuzzy.

Seja (Q,X, ~)um espaço de probabilidade ou um espaço de

rne-dida fuzzy tal que ~(Q)~l. Note que a medida fuzzy

é

considerada como uma medida de grau de inexatidão. Uma função X:Q~~,l] men-surável, será chamada de variável inexata ou v.i .. Então a espe-rança fuzzy

E(X)=(L)

I

Xd~

Q

V [aA~(X-':<x)] e a esperança

O::_

a.s_l

fazem sentido. Sugeno mostrou que

Nosso problema aqui e computar o supremo do lado

clássica

( 4.1 )

esquerdo de (4.1). ~ntes, porém, de computarmos tal supremo, daremos al-guns resultados e definições preiiminares.

'

e definida por F(u) =~ {X~a}

análoga a uma função distribuição. Ela tem as seguintes propried~

des:

(1) F(O)

=

1 e 1im F(X)

=

0 cx~oo

39

(2)a<B F( a)2:F(S)

(3) F

é

contínua

à

esquerda.

Definição 2.19: Uma variável inexata X

é

do tipo contínuo ou sim-plesmente, contínua se F(a)=~{X~a} _{e contlnua.} ' '

Daremos um teorema básico que diz respeito a esperança de urna variável inexata do tipo contínuo.

Teorema 2.20: Se X

é

urna variável inexata do tipo contínuo, en-para algum Ü E (O, 1]

Demonstração: Considere a função F(a)=~{X2a} _tal

E. (X)= v [aAF(a)] • Sendo X do tipo contínuo, F: [0,00 ) 4 [0,1]

f CX2:0

contínua e portanto tem um ponto fixo ÜE

'[o,

1] . Como F (O) =1 Õ:E (O, 1] . Vamos mostrar que

F(ii)

Denote por G(ci)=aAF(a). Queremos mostrar que G(a)~ G{Õ:) para algum aE[O,oo). Se a<a entao F(a}2:F(Ü)= ã>a . Então

G(a)

=

a<a = G(ii)

-Se a>a então F (a) .s_F ( ã) = a< a Então

G(a) = F(a)~ii = G(ã)

que

'

ConcluÍmos que G(ã)= sup G(a) = Ef(X)

<x>O

para algum ãE( O, 1]+ .

e portanto

'

Voltando ao nosso problema, nos mostraremos que

40

'

e

1/4 a

melhor constante, tanto no caso de v.i., como no caso mais parti cUlar de variável inexata do tipo contínuo.

1

É conhecido que E(X)=(L)

J~{X~a)da.

Denote por

F(a)=~{x~a}.

o

Como para qualquer "distribuição F" nós podemos encontrar uma va-riável inexata X cuja distribuição e exatamente F e o proble-ma de _avaliação do lado e·squerdo de 3.l.pode ser dito em termos de F. Então nosso problema

é

computar

sup FEU

I

(L) v [aA F(a)]

I

o~a~l

onde U= {F:

[o,

1]-+

[o,

1] ; F

é

não-crescente} , contínua

à

esquer-da e F(O)=l.

Proposição 2.21:

atingido.,

. 1

supl (L)J F(a)da- v[aAF(a)]

I

FEU o:

o

1

=

4

_ Demonstração: SUgeno ~_strou ~- sua tese __ que o supremo, e '

a função

'

e o supremo e

Então Logo

rl

se Ü<a<l/2

=

~1/2

se

l/2<a~l

·1/2 =

Jlda+

o

v[a.AF 0(a)] =

a

v [aAFO(a)] 0.:5_0..:5_1/2 1

=

v 1

=

1 2

I

(L)

F

_{0 (a)da-}

~

[aAF₀ (a)]

I

=·I~-

11

=

1/4

o

Isto mostra que o supremo

é

atingido .

•

Agora nos restringimos nossa atuação a variáveis

do tipo contínuo.

O problema

é

computar: sup · [

J;

(a) da- v [ aAp ( a)]

I ,

Ff.V o:

. .

o

41 e = inexatas onde V = {F EU; F

é

contínua}. 1

Teorema 2.22: sup IJF(a)do:- v [o:AF(a)]l=

~

e o supremo nao e

FEV. a

o

Prova: Usando o teo. 2.20,temos, para FfõU:

v [aAF(a)] = F(Õ:)= a

O<o:< 1

para algum a (0,1]. 1

Também, (L) JF( a) da pode ser pensada como uma area, e ' tão obtemos: O sup FEU .1

I

(L) JF(a)da-

~[aAF(a)]

I

=

o

sup .F

As notações são ilustradas abaixo:

i

I(B+C)-(A+Cll =

-Dois casos sa considerados: A>B, B>A.

sup

FEU

42

en-Se A>B, então sup( A-·B):::_

~

pois F

A~~

e B>O. Observe que 1/4

é

a área máxima do retangulo inscrito, como na ilustração

- - - - --~~

//~r?W/;

/ :

/ / /

'

/ /

Do mesmo modo, se B >A., • max (sup(II.-B), F IPB sup(B-11.).<:_

~­

F 1 sup(B-11.)).':.4. F B >11. 43 Portanto

Para mostrar que o

sup!A-B!=l/4 temos que mostrar que podemos tê-lo mais perto de 1/4 quando quisermos, com FE

v.

A próxima ilustração mostra que existe uma s_equencia {F

1..) com

o

'

:L

Para mostrar que o supremo nao

é

atingido, vamos considerar os mesmos casos:

(i)

se

com

IA

0-B0

I=

1/4 ; e suponhamos tão

-

'

.

nao e cont1nua no zero.

e

B

0

=1/4

neste caso .

•

1 B _o

=-

₄ em

(o'

1]

isto e implica F0 (a)=l, e

44

A.pesar das equivalências das integrais definidas por Suge-no, Ralescu e Ralescu-Adams nos permitirem provar alguns teor e-mas equivalentes aos clássicos, como v~!"ernqs,,outrq~ resulta,1bs

continu.ª-xall! fal~os como,por exemplo, o teorema de Fubini. Entretanto Wang

zi:._Xiao [ 5

J ,

dá uma nova definição de medida fuzzy, bem _como de integral fuzzy, procurando resolver este fato. ~presentaremos

agora estas .definições.

Definição 2.23: Seja (X,X) um espaço mensurável. Uma função de conjunto J-l:X.-+[0,1]

é

umamedida fuzzy(segundo Wat\q Zi-Xiao) se são satisfeitas:

(i) ~(0) =

o

~(X)=l

(ii) Se ~,BC( e ~nB=0 então ~(~uB)=~(~)v~(B) (aditivi-da de fuz'zy)

( iii) Se {1\n} n2'_l

é

uma sequencia monótona em X. então

~(lim ~ ) =

n lim (continuidade)

Com esta definição de medida fuzzy, Wa~g Zi-Xiao de fi-niu uma integral fuzzy:

Definição 2.24: Seja Ci,X,~) um espaço de medida fuzzy e seja

h: X-+

[o,

1

J

uma função mensurável.

n

(i) Se h

é

uma função simples, isto

é,

h(x)= _v [aiAXE. (x)]

~=1 ~

E. fiE .=Çb, i l j , então para todo AE

.X.

45

com respeito a medida fuzzy u em A. ·e definida por:

(W)f h(x)dw

~

[a.Av(F.nA)] i;;;l 1 l A

(ii)

Se h

é

uma função qualquer,então h

é

limite unifor-me de uma sequência monótona crescente ~n(x) de funções simples

(Lema 2.6). "Neste caso, a integral fuzzy de h com respeito

4

a medida fuzzy kL em A

é

definida como:

7 vés da (W) {

h(x)d~=

A lim (w) _.

f~ (x)d~

_n n~w A

t>Iostremos agora que estas integrais sao bem definidas

atra-Prposicão 2.25: O valor da integral fuzzy na definição 2.10 nao depende da expressão de h(x}, isto

é:

mos:

então

·(i)

Se h

é

urna função simples e tem duas expressoes, digã

n n h(x)= _{v [a.} AXE (x)] i=l l i = v [S.AXF (x)] j=l J

i

n v [a.A~(E.)] = i=l l J n v [S.A~(F.)] j=l J J

46

(ii) Se h e uma função tal que existem duas sequencias crescentes de fun~Ões simples ~n(x) e Wm(x) as quais convergem uniformemente para h, então:

lim(W)

r

~n (x)d~=

CII.PÍTULO III

CONVERG~NCIII. DE INTEGRII.IS FUZZY

3. A. A.utocontinuidade de Funções de Conjuntos e a Integral Fuzzy

Veremos mais adiante que o teorema da Convergência Monótona

1

Lema de Fatou, resultados clássicos da teoria da medida de

Lebes-•

gue, continuam sendO válidos na linguagem fuzzy. O teorema da Con vergência Dominada de Lebesque teria um análogo na teoria fuzzy que seria: tivas, com "Se (f ) n f -+f n e ' '

.

e uma sequenc~a _{de funções mensuráveis, posi}

então exemplo

-

'

a seguir, mostra que isto nao e verdadeiro na linguagem fuzzy.

Exemplo 3.1: Considere X=~,ro) e V a medida de Lebesque. Tome

Mas e note que f -+ 1. n Também

!f

d U=2 n pois v [cx•'u( {f 2_a))] a>o n = lV 2 VÜ = 2 v [cxAu( {f >ex})] o:.E(l,2] n- _0:>2 v [aAu( {fn-':"l l]

48

Vê-se então que o teorema da Convergência Dominada de Lebe~ que não

é

válido agu1. Um outro problema nosso seria se f ~f

n

Lembramos que

para todo E>O.

f +f em medida se

n n-+oo lim~({xEX;

I

f (x)-f(x) ,n

I

->d)=O

Rale seu e ~dams [ 3 ] resolveram este problema, tomando ll

uma me

dida fuzzy sub-aditiva, como veremos no decorrer deste capÍtulo Eles tentam mostrar, através de um exemplo dado a seguir que .a condição de sub-aditividade nao pode ser retirada.

Exemplo 3.2: Sejam X= {1,2,3, . . . . }

~:X-+[O,oo) definida· por: seja

O

se

E

=

!i

e =P(~) partes de X _e ~(E)

₌

1 n se E= {nl, n= 1,2,3, . . . . 100 se = E 22. Considere as funções: Temos que 100 se x = 1 ou x o ' caso contrário f _n -+f em medida, mas n _{100 se x=l} e f(x)

=

o,caso contrário

e

ffd~=l.Entretanto

49

a medida ~ usada por Ralescu e ~dams núo

é

fuzzy. De fato, seja An = {n,n+l, . . . . } Então ll(An)=lOO, n=l,2, . . . • , Observe

(A )

n

é

uma sequencia decrescente e então lim A _n =

00 ~(nA)=O. . n n=l Mas lim n. n u(A )=lOO. n • que Logo

Pode-se então observar que a condição de sub-aditividade,r~ querida por Ralescu e Adams era muito forte para resolver o pro-blema. Wang . em [ 4] dá condição necessária e suficiente para que uma sequência- de ·funções . que convirja em medida, tenha sua se-quencia de integrais convirgindo. Esta condição

é

a autocontinui-dade da medida ll • Outros problemas também serão tratados aqu~.

Teorema 3.1: (Teorema da Convergência Monótona) - Sejam f ~~,oo)

. n

mensuráveis para todo nE.

!lJ

~

Ex.

X. Demonstração: Como Então f f

<f

n- n+l e e mensurável e

quencia de integrais

é

monótona crescente e portanto convergente. A..lém disso, ( *) f <f ~ E n- ' n lirn n , o que implica e então

50

Mostraremos agora que

limffnd~ >ffd~.

Para isto, seja s uma função simples,mensurável, tal que O~s5_f e seja O<c<l.

De-1\ sequencia (En)

crescente pois se xEE , f (x) >c s(x). Mas

n n

-tanto _xEEn+l'

Provemos que

Além disso, X ~

IT

E . De fato,

é

claro que . n=l n

~

u E :JX,

n=l n

Seja' xEX. Como f(x)= lim fn(x)

n

n, tal que cs(x)~fn (x), pois

o cs(x)~s(x)~f(x). Logo então X

.

.

e por-~ u E eX. n n=l existe e ( 8)

Considere a função

v

(E)=QE(cs). Afirmamos que

v

e urna

me-dida fuzzy. Com efeito.

(i) v(~) = o

(ii)

Sejam A,BE

X

com ACB. Então QA(cs)SQB(cs)~ (A)5_ (B) (iii) Seja (An) uma sequencia crescente. Então:

= v( u h ) = n=l n Q ( cs) = ~ uh n n=l

=

k = v [a. AV(E. n( · u h )] i=l 1 1 n=l n k 00

J

v [a.AV( U (E.nA )) i=l 1 n=l 1 n

! --k V [ 0(, A i=l 1 lim ~(E. nr. )

J

~ n = lim n n

= lim QA (cs) = lim v(An)

n n

De maneira semelhante prova-se que lim

n

00

v(A )=v( n r.), onde n n=l n

51

é

uma sequencia decrescente em X e para algum n₀ .Vo~

tando a (8) temos: a=limff dJl>lim _n -n . n QE (cs) = n lim n = \i(X) = Q(cs)~~Q(cs) = (**) Se tomarmos c~l, temos: a>Q(s) = lim n a> sup Q(s)

=

s<f

=

v( lirn E _n I

=

De (*) e (**) segue o resultado.

52

Lema 3. 2: (Lema de F atou). Se f :X-+ [O,w)

n sao mensuráveis então

f

lim inf fn dV <lim

n-+w

Demonstração: Prova clássica.

inf

f

_{. n}

f

d~

.

Teorema 3.3: [ 4](Teorema da Convergencia Monótona)

uma sequencia crescente de funções mensuravels

.

.

não-negativas convergindo para uma função mensurável, não-negati-va, f e seja PE X Então

Demonstração: Seja

c =

ffd~.

Se

c=O

então

o.::_ffndWffd~=O.

Nes·· tecaso o teorema está provado. Suponhamos O<c<oo . Para EE(O,c/2), existe

ja sequencia

é

crescente e lim

n

E _n

=

Segue-se da rnonotocidade e continuidade de

v

que v(En)~v(E).

Além disso, como temos que E~{f>a_- 0} pois se xE{f>U_- 0 } existe n tal que

rf

d~=

V

[aA~((f

>a})]>

J

n aE

[o,w)

n-

53

Finalmente, se c""oo então 1J({f2_a:})=oo, 'dc/[D,m). _Dado N>O .arbitrário, seja _Fn = { f >N}. Então

N

n-

e

por-tanto ll(FN)/'n 1

\.t

( oo FN). Por outro lado, como _{temos F~:J{f..?_N+l}}

e então ll(F;).::_J.d{fi!Hl})= oo • Logo existe TI_{0 tal que Jl(F~)>N}

n~n₀ • Pelo teorema vado.

Teorema 3.4 - Se {f

0 }

é

uma sequencia de funções mensuráveis,não-negativas, decrescente, convergindo para uma função mensurável f, não-negativa, em

AE

:C

e se existem n₀ e uma constante

tal que Jl({f > c 1_}nA..)<= n

-o então

c'

Demonstração: Seja c= Jtd"f.l • Temos então que lim ftndll_2:C. Se

c= oo, nada a provar. Se c<oo _{, assuma que limff dll>C.}

54

existe ó~

O

tal que lim

ff

d11>c+ô. Como

n

-n+oo

é

decrescente

'

e portanto usando o teorema 2.14, ~ ({f >c+6} l>c+ 6,

n-

-Então

'rf n . Por hipótese, temos que ~({f _{n -}>c+6})<

-o temos: e como

•

{{f >c+ôff

é

decrescente n-{fn>c+6} \

n

{fn~c+6}" {f~c+6l.

n=l

Segue-se da contin;Jidade de ~ que:

n~oo

lim ~( {f >c+ 6}) > c+ 6

n- -·

em n

Logo do teorema 2, 14 temos ffd V >c+ 6 o que

é

uma contradição. Isto completa a prova do teorema .

Corolário 3.5: Se fn~ f e

Demonstração: Sendo ll finita, gue do teorema.

•

v

é

finita, então f fnd

v\r

~-ll( {f :::c}) <v( X)<<» .

o

resultado

n-

se-Observemos que hipótese de finitude no teorema anterior nao pode ser retirada, como mostrará o exemplo seguinte.

Exemplo 3. 3: Seja X= (O, co) e

de Lebesgue. Tomemos f

0(x)= ~

a o-álgebra de Borel e Jl a ·medida n= 1,2, . . . Então fn\ f ::O

55

É claro que as hipóteses do teorema anterior nao são satisfeitas. Consequentemente,

Corolário 3.6: Seja

v

zero-aditiva. Então

i) fn/" f quase sempre '> ffndv

?

ffdv.

ii)

fn~

f quase sempre e existe n0 e c 1

<ffdv tal que

v({fno>c1})<oo "ffndv \, ffdv.

Demonstração:

i)

Sejam B {xEX; I f _n (x)-f(x)l>d _- e ~=X-B. Ternos

qu~ 1J(B)::O, pois f _,. f _n quase sempre. Corno \1

é

zero-aditiva, ffndv= ffndv= ffndv

~uB A

Em A, f _n + f. Pelo teorema da Convergência Monótona,

Mas

56

ii) Sejam A,B como antes sendo ~ zero-aditiva, temos do teorema anterior que

Mas

ffnd~

=

ffnd~

=

ffnd~

e

A. AU B

Logo

•

No teorema 3.4, tomamos uma sequencia de funções _mensura-'

veis decrescente convergindo para uma nova função f mensurável. Vamos generalizar este resultado.

Teorema 3. 7: Se {f } converge para f em AE

::I-n , e existem no

e uma constante tal que ~( {sup fr?c' )n~)<w então

n n0

,'

existe e e igual a

Escre-57 v a sup f, 1 i>n e f -n inf f .• Então i>n 1 e fn n=1,2, . . . sao '

.

mensurave~s com Como e portanto f <f <f -n- n- n lim n~oo e segue-se que <lim n~oo

tsando o teorema de Convergencia Monótona e teorema 3.4,

lirn

f

n~oo Consequentemente, lim

f

~w = lim n~oo

=

lim ~00

E o teorema está provado.

Corolário 3.8: Se

constante

f _n ~f quase sempre e se existem n0

tal que c'} )<oo e·ntão

temos

58

se, ~ somente se, ~ ~ zer6-aditiva.

Demonstração: Suponha que J..l

é

zero-aditiva e seja

B={xEX; fn (x)~f(x)} Temos então que J..l(B)=O. Seja A=X-B ..•

Pe-lo teorema 3.7:

Mas da proposição 2.16. temos:

e

Portanto

a proposição

2.15 para demonstrarmos o teorema. Seja

f

=f

como

1 n qtp

então f ~f

n 1 e fn~f

2

. Logo, por hipótese,

e

59

Teorema 3 . 9 ' [ 4

J

veis, positivas,

Suponhamos que (fn) e f sejam funções

mensurá-f EL1(~) e f ~f em medida. Suponha que a

n n

medida fuzzy

é

sub-aditiva. Então

fEL

1

(~)

e

Demonstração: Usaremos a seguinte desigualdade na demonstração do teorema.

(a+b)Ac~(aAc)+(bAc) a+(bAc)

(lO)

com a,b,c,E

/R.;.

Mostraremos que fEL . l (~). Para isto, seja E>O fixo. Temos para algum

o:>b

que

{xEX;f(x)>a)c{xEX; I f (x)-f(x) l>slu{xEX;f (x)>a-E}

- - n - n

-De fato, seja yE{xEX;f(x)_:::o:} e suponhamos que Yj"{ XEX; f (x) -f(xbo}

n

-Como f +f

n

e portanto

em medida,

I

f (y)-f(y) l<c . Então

n f n (y) f(y)-E><X-E

-yE{xEX;f _n (x)>o:-E _- • Sendo 11 sub-aditiva,temos:

~({xEX;f(x)>a})<~({xEX;If (x)-f·(~ll>d)+~({XEX;f (xl>a-s})

- - n - n

60

= ~({xEX;If (x)-f(xll>d)+(a-o+E)A~({xEX;f (x)>a-d)

n - n

-< ~({xEX;If (x)-f(x)l>d)+(a-o)A~({xEx;f (x)>a-E})+E.

n - n

-Portanto,para a::>O

Tomando o sup sobre

Como f ~f em medida e

n

Temos também que, para

CXl:_O, obtemos:

a>O e

~

n segue-se que

c >O fixado,

{xEx; fn (x) _:>a)c{xEX;

I

fn (x)-f(x) l.:>dc{xEX; f(x) _:>a d

( l l )

e

=~( {xEX; I f _n (x) -r(x) I >d) + (a- o+ _- d Av( {xEX; f (x) >a- E})

-<v( {xEX; I f (x)-f(x) I >d)+a-EA~( {xEX;f(x) >a-E})+o

-61

Tomando o sup sobre

a.

> O, obtemos:

(12)

De (Ü) e (12)

quando n-+=

e como f ~f em medida temos, tomando o n

o resultado desejado.

•

limite

Corolário 3. 10: Se 11

é

uma medida fuzzy sub-aditiva, finita, com e f funções rnensuráveis,positivas e

parte:. então:

f -+f em quase

n toda

Demonstração: Como convergencia quase sempre implica em convergen cia em medida, segue o cor9lário do teorema anterior.

Teorema 3.11: "Suponhamos que a sequencia de funções mensuráveis (fn) convirja para a função mensurável f, finita quase-sempre

sobre AE J_ • Então

ffnd~4ffd~

se e só se

~

é

autocontínua.

A

A

Demonstração:

sêm

perda de generalidade, seja A=X e f finita. Provemos a suficiência. Escreva .Fa={xEX;f(x)iu}={f~u},Fa+o =

={xEX;f(x)>a}={f>aLFn {xEX;f (x)>a}= {f >al. Seja aE[O,oo) e

n-62

úividiremos em dois casos. Se c= oo então Dado aE(O,oo) arbitrário temos:

(12)

De fato, seja yEFa+

1{xEX; lf(x)-fn(x) l21l Então yEF a+

1

~f(y)>a+l

-e y~{xEX; lf(x)-f (x) 1>1). Corno f ~f em medida, ternos _{n - n} que

lf _n (y)-f(yll<1~ f (y)hf(y)-1>a+1-1 =a~ yEFna. Sendo~ autocontí-_{n ·}

-nua inferior, existe ô::o6(a)>O tal que ~(B)<O, BE

X,

e ll{Fa+lB)_:::_a

para n>n0 • Consequentemente,

Do teorema 2.15 temos que

ffnd~2a,

n>n0 , isto e,

Jfnd"~oo.

Consi

dere agora c<oo . Pâra a>c temos que ll(Fa)~ll(Fct+O)~c<oo.Portanto

o

e uma cadeia ]l-limitada. Seja c>o dado. Temos que

Fn _U+E cp u{!f _{a n}

-fi

_->€} e sendo ll ~~tocontínua temos que ll

é

autocon-tínua localmente uniforme superior e usando o fato de que

em medida·, existe n0 tal que

f ~ f n