Efeito da poluicão atmosférica no pico de fluxo expiratório de escolares: uma aplicacão com dados de painel

(1)

Efeito da polui¸

c˜

ao atmosf´

erica no Pico de

Fluxo Expirat´

orio de escolares: uma

aplica¸

c˜

ao com dados de painel

Niter´oi - RJ, Brasil 19 de Janeiro de 2017

(2)

Deyvid Toledo Santiago de Almeida

Efeito da polui¸

c˜

ao atmosf´

erica no

Pico de Fluxo Expirat´

orio de

escolares: uma aplica¸

c˜

ao com dados

de painel

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Ludmilla da Silva Viana Jacobson

Niter´oi - RJ, Brasil 19 de Janeiro de 2017

(3)

Deyvid Toledo Santiago de Almeida

Efeito da polui¸

c˜

ao atmosf´

erica no Pico de

Fluxo Expirat´

orio de escolares: uma

aplica¸

c˜

ao com dados de painel

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Efeito da polui¸cão atmosférica no Pico de Fluxo Expiratório de escola-res: uma aplica¸cão com dados de painel”, defendida por Deyvid Toledo Santiago de Almeida e aprovada em 19 de Janeiro de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Profa. Dra. Ludmilla da Silva Viana Jacobson Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dra. Jessica Quintanilha Kubrusly Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Wilson Calmon Almeida dos Santos Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

(5)

Diversos estudos mostram efeitos adversos da exposi¸cão a poluentes atmosféricos na saúde humana. O objetivo deste trabalho é avaliar os efeitos da polui¸cão atmosférica, medida pelo material particulado inalável (PM10), no pico de fluxo expiratório (PFE) de

crian¸cas e adolescentes residentes no munic´ıpio de Rio Branco. Trata-se de um estudo de painel com medidas repetidas do PFE de 260 escolares com idades entre 6 e 15 anos, acompanhadas entre os meses de Agosto e Outubro de 2009. Na análise dos dados fo-ram estimados Modelos Lineares Hierárquicos e Modelos de Regressão Linear. O ajuste do efeito da polui¸cão foi a partir da metodologia Single Lag e do Modelo polinomial de defasagem distribu´ıda. O modelo básico inclui as variáveis Sexo, Asma, Fumo domiciliar, Idade, Peso, Altura, medidas repetidas da Temperatura e Umidade Relativa. No modelo hierárquico, o ajuste da polui¸cão pelo método Single Lag mostrou impacto no PFE do aumento de 10 unidades da polui¸cão, este impacto com respectivos intervalos de con-fian¸cas de 95% foi de: −0, 110l/min (−0, 419; 0, 198), −0, 610l/min (−0, 940; −0, 280), −0, 587l/min (−0, 909; −0, 265), −0, 193l/min (−0, 599; 0, 213), −0, 571l/min (−1, 014; − 0, 129), para as defasagens de 1, 2, 3, 4 e 5 dias da polui¸cão, respectivamente. O ajuste da polui¸cão pelo método do Modelo polinomial de defasagem distribu´ıda mostrou impacto no PFE do aumento de 10 unidades da polui¸cão, este impacto com respectivos intervalos de confian¸cas de 95% foi de: −0, 191l/min (−0, 369; −0, 012), −0, 394l/min (−0, 622; −0, 167), −0, 446l/min (−0, 650; −0, 241), −0, 345l/min (−0, 540; −0, 150), −0, 092l/min (−0, 575; 0, 389), −1, 306l/min(−2, 006; −0, 606), para as defasagens de 1, 2, 3, 4, 5 dias da po-lui¸cão e efeito global, respectivamente. No modelo de Regressão Linear o ajuste da polui¸cão pelo método Single Lag mostrou impacto no PFE do aumento de 10 unida-des da polui¸cão, este impacto com respectivos intervalos de confian¸cas de 95% foi de: −1, 628l/min (−11, 324; 8.067), −6, 415l/min (−17.248; 4, 417), −5, 634l/min (−19, 220; 7, 951), −5, 081l/min (−18, 655; 8, 492), 5, 421l/min (−6, 019; 16, 862), para as defasagens de 1, 2, 3, 4 e 5 dias da polui¸cão, respectivamente. Os resultados deste trabalho corro-boram com a literatura e sugerem a exposi¸cão a polui¸cão atmosférica como fator de risco para a saúde respiratória dos escolares.

Palavras-chaves: Pico de Fluxo Expiratório, Estudo de Painel, Modelos Hierárquicos, Modelo Polinomial de defasagem distribu´ıda, Amazônia.

(6)

Gostaria de agradecer, em primeiro lugar, aos meu pais e ao meu irmão por terem me dado condi¸cões de cursar uma universidade, e sempre estarem ao meu lado nessa caminhada, me apoiando nas minhas decisões.

Agrade¸co aos meus irmãos que fiz durante a gradua¸cão: Gabriel Agostini, por sempre me dar um lar após as festas. Jorge Rachid, por sua amizade sincera na qual sei que posso contar sempre. Renato Panaro, por sua lealdade e por ter me ensinado seno e cosseno. As prés com vocês sempre foram as melhores.

Agrade¸co tamb´em a Bernardo Nobrega, Bruno Gomes e Ivan Marreiros por terem formado junto comigo o melhor quarteto de ataque da hist´oria do DCE.

Agrade¸co aos professores do departamento de Estat´ıstica. Em especial, a minha orientadora Ludmilla Jacobson por ter acreditado no meu potencial durante esse projeto e também por toda a aprendizagem. A Wilson Calmon por ter me dado conselhos quando eu precisava. E aos demais que me ensinaram tudo que eu aprendi durante a gradua¸cão, tenho uma profunda gratidão por todos vocês.

Agrade¸co a Paola Martins por ser minha fonte de inspira¸c˜ao e pelo de companhei-rismo durante esse per´ıodo dif´ıcil que ´e o final do curso, muito obrigado mesmo.

Agrade¸co todos os amigos da gradua¸c˜ao que n˜ao citei, pelo tempo que passamos juntos e por serem pessoas incr´ıveis comigo.

(7)

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 10

1.1 Epidemiologia dos efeitos da polui¸c˜ao atmosf´erica sobre o Pico de Fluxo

Expiratório . . . p. 11 2 Objetivos p. 13 2.1 Objetivo Geral . . . p. 13 2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . p. 13 3 Materiais e Métodos p. 14 3.1 Area de estudo . . . .´ p. 14 3.2 Banco de dados . . . p. 14 3.3 Modelo de Regressão Linear . . . p. 15 3.3.1 Hipóteses do MRL . . . p. 16 3.3.2 Estima¸cão do Modelo . . . p. 17 3.3.3 Intervalo de Confian¸ca e Teste de Hipóteses para β . . . p. 17 3.3.4 Análise de Res´ıduos . . . p. 19 3.4 Modelo Linear Hierárquico . . . p. 20 3.4.1 Modelos lineares hierárquicos de dois n´ıveis . . . p. 21 3.4.2 Hipóteses do Modelo Linear Hierárquico . . . p. 24 3.4.3 Estima¸cão do Modelo . . . p. 25

(8)

3.5 Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda . . . p. 28 3.6 Fun¸cão de Variância . . . p. 30 3.7 Autocorrela¸cão dos Res´ıduos . . . p. 30

4 An´alise dos Resultados p. 32

4.1 Análise descritiva . . . p. 32 4.1.1 Variáveis Relacionadas ao Dia . . . p. 32 4.1.2 Variáveis Relacionadas as Crian¸cas . . . p. 35 4.2 Ajuste do Modelo Básico . . . p. 37 4.2.1 Fun¸cão de Variância . . . p. 39 4.2.2 Análise de Res´ıduos . . . p. 41 4.3 Efeitos Ajustados da Polui¸cão . . . p. 42 4.3.1 Single Lag . . . p. 42 4.3.2 Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda . . . p. 45 4.4 Modelo de Regressão Linear . . . p. 47

5 Conclus˜ao p. 51

Referˆencias p. 52

Anexo A -- T´ıtulo do primeiro anexo p. 54

Anexo B -- T´ıtulo do segundo anexo p. 57

(9)

1 Modelo Teórico . . . p. 24 2 Boxplot das variáveis Temperatura, Umidade Relativa e Polui¸cão . . . p. 32 3 Séries Temporais variáveis das Temperatura e Polui¸cão . . . p. 33 4 Séries Temporais variáveis das Umidade Relativa e Polui¸cão . . . p. 33 5 Boxplot Pico de Fluxo Expiratório segundo algumas caracter´ısticas . . p. 34 6 Pico de Fluxo Expiratório ajustado pelo Tempo . . . p. 35 7 Boxplot das variáveis Idade, Altura e Peso . . . p. 36 8 Boxplot dos res´ıduos por Faixa Etária, Sexo e Asma . . . p. 39 9 Normalidade Multivariada dos Efeitos Aleatórios . . . p. 41 10 Normalidade Univariada dos Efeitos Aleatórios Padronizados . . . p. 41 11 Normalidade dos Res´ıduos Padronizados . . . p. 42 12 PDLM: Intervalo de Confian¸ca para 10 unidades de Polui¸cão . . . p. 46 13 Série do PFE ajustado pelo Tempo Centrado na Média por Crian¸ca . . p. 57 14 Diagrama de Dispersão dos Efeitos Aleatórios do Sexo Feminino . . . . p. 60 15 Diagrama de Dispersão dos Efeitos Aleatórios do Sexo Masculino . . . p. 60 16 Diagrama de Dispersão dos Efeitos Aleatórios dos Não Asmáticos . . . p. 61 17 Diagrama de Dispersão dos Efeitos Aleatórios dos Asmáticos . . . p. 61

(10)

1 Distribui¸cão da amostra segundo Idade e Sexo . . . p. 15 2 Exemplo de Dados Balanceados . . . p. 20 3 Exemplo de Dados Desbalanceados . . . p. 20 4 Resumo das variáveis relacionadas ao Dia . . . p. 32 5 Resumo das variáveis Quantitativas relacionadas as Crian¸cas . . . p. 35 6 Resumo das variáveis Qualitativas relacionadas as Crian¸cas . . . p. 36 7 Tabela de Dupla entrada e Teste de Independência . . . p. 37 8 Efeitos Fixos do Modelo Básico . . . p. 38 9 Efeitos Aleatórios do Modelo Básico . . . p. 38 10 Razões de Variância . . . p. 40 11 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 43 12 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 43 13 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 44 14 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 44 15 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 44 16 Efeitos da Polui¸cão Single Lag para 10 Unidades . . . p. 45 17 Desvio Padrão dos Efeitos Aleatórios . . . p. 46 18 Efeitos da Polui¸cão PDLM para 10 Unidades . . . p. 46 19 Coeficientes do Modelo Básico de Regressão Linear . . . p. 47 20 Efeitos da Polui¸cão Single Lag para o aumento de 10 unidades . . . p. 49 21 Compara¸cão dos Intervalos de Confian¸ca do MRL e Modelo Linear Hierárquico p. 49 22 Exames realizados por dia . . . p. 54

(11)

1 Introdu¸

c˜

ao

A polui¸cão atmosférica pode ser definida como a presen¸ca de substâncias no ar que são nocivas a saúde e ao bem estar dos seres vivos [1]. No mundo atual a polui¸cão atmosférica é um problema de saúde pública. Diversos estudos mostram efeitos adversos da exposi¸cão a poluentes atmosféricos na saúde humana [2]. Estes efeitos foram medidos através dos indicadores de mortalidade, interna¸cão, atendimentos de emergência, ocorrência de sin-tomas respiratórios, decréscimos no pico de fluxo expiratório 1, dentre outros [3],[4]. Os grupos mais cr´ıticos a exposi¸cão da polui¸cão do ar são as crian¸cas, os idosos e os indiv´ıduos com problemas no aparelho respiratório[5].

Nas cidades, os ve´ıculos são uma fonte preocupante de poluentes, pois são responsáveis por 14% dos dióxidos de carbono(CO2) e 54% dos monóxidos de carbono (CO),

encon-trados na atmosfera, além de outros poluentes[6]. Não apenas em grandes cidades, mas também em cidades de menor porte a polui¸cão do ar reflete no aumento de interna¸cões por doen¸cas respiratórias e cardiovasculares [7].

Na Amazônia Legal concentra-se cerca de 85% das queimadas, a partir destas ocorre a alta emissão, na atmosfera, de poluentes danosos a saúde humana como PM102 e PM2,53

que são fatores de risco para enfermidades nos aparelhos respiratório e cardiovascular[5]. Na literatura encontram-se diferentes técnicas estat´ısticas utilizadas para explicar o efeito da polui¸cão no pico de fluxo respiratório, como a Modelagem Hierárquica Linear com 2 n´ıveis [4],[8], e Autorregressivo de primeira ordem [9],[8]. Além disso, há estudos em que foram utilizados teste-t, Mann-Whitney, Qui-quadrado, Fisher e Anova[10].

Muitos tipos de dados, incluindo dados observacionais coletados nas ciências biológicas e humanas possuem uma estrutura hierárquica, como, alunos dentro de escolas e estas dentro de munic´ıpios[11].

1_{E o fluxo expirat´}_´ _{orio m´}_{aximo alcan¸}_{cado com um esfor¸}_{co m´}_{aximo ap´}_{os a inspira¸}_c˜_{ao m´}_axima. 2_{Material particulado com diˆ}_{ametro inferior a 10 micrˆ}_ometros

(12)

Os modelos hierárquicos lineares, também chamados de modelos Multin´ıveis, são uma generaliza¸cão dos métodos de regressão clássicos, portanto podem ser usados para inúmeros propósitos, incluindo predi¸cão, redu¸cão dos dados e inferências. Tanto para variáveis em estudos transversais ou ao longo do tempo.

Uma revisão de estudos anteriores é apresentada na próxima se¸cão e busca conhecer a rela¸cão do efeito da polui¸cão atmosférica no pico de fluxo expiratório.

1.1 Epidemiologia dos efeitos da polui¸

c˜

ao atmosf´

erica

sobre o Pico de Fluxo Expirat´

orio

Nesta se¸cão serão descritos 5 estudos realizados no Brasil, publicados no per´ıodo de 2009 a 2014 sobre os efeitos da exposi¸cão a poluentes atmosféricos sobre o pico de fluxo expiratório.

Um estudo com 118 alunos com idades entre 6 e 15 da rede p´ublica do estado do Rio de Janeiro utilizou as seguintes vari´aveis na modelagem dos dados: PM10, SO2, O3, NO2

e CO, temperatura, umidade, exposi¸cão domiciliar ao fumo, ser asmático, altura, sexo, peso, idade das crian¸cas e medidas repetidas do pico de fluxo expiratório. Aplicou-se a modelagem multin´ıvel, onde o primeiro e o segundo n´ıveis são respectivamente os dias da avalia¸cão pulmonar e as crian¸cas. Concluiu-se que os poluentes PM10 e NO2 , estavam

associados à diminui¸cão da fun¸cão respiratória das crian¸cas.[4]

Um estudo transversal com 1.076 escolares com idades de 10 a 14 anos em Monte Apraz´ıvel, São Paulo, incluiu as seguintes variáveis na análise dos dados: antecedentes familiares e pessoais para problemas respiratório, pico de fluxo expiratório, PM2,5, Black

Carbon, temperatura e umidade. Aplicou-se testes de hipóteses, como teste-t, Mann-Whitney e Anova. Concluiu-se que a prevalência diária do pico de fluxo expiratório abaixo de 20% da mediana das medidas na crian¸ca foi maior em dias com maior concentra¸cão de PM2,5.[10]

Em outro estudo realizado em São Paulo com uma amostra de 96 crian¸cas entre 7 a 11 anos, acompanhas por alguns meses, foram utilizadas as variáveis: peso, altura, volume expiratório for¸cado, pico de fluxo expiratório, umidade, temperatura, IgE, e indicadores de polui¸cão (como PM10, NO2, NO, CO, SO2 e O3). Na análise dos dados utilizou-se a

Analise de Regressão baseada em equa¸cões de estima¸cão generalizadas e concluiu-se que a diminui¸cão do pico de fluxo expiratório está associada a polui¸cão do ar.[9]

(13)

escola do munic´ıpio de Alta Floresta, MT, observou-se as seguintes variáveis: tempera-tura, umidade, PM2,5, pico de fluxo expiratório, peso, altura, idade, condi¸cão asmática.

Aplicou-se Modelagem Hier´arquica Linear e conclui-se que a exposi¸c˜ao aos n´ıveis de PM2,5

estava associada com a redu¸c˜ao da fun¸c˜ao pulmonar das crian¸cas.[12]

Em outro estudo de painel com uma amostra de 234 escolares de 6 a 15 anos de idade, residentes do munic´ıpio de Tangar´a da Serra, MT, as seguintes vari´aveis foram pesquisadas: temperatura, umidade, PM10, PM2,5, Black Carbon, pico de fluxo, idade,

peso, altura, sexo, condi¸cão asmática, fumo passivo e IMC. Aplicou-se modelo hierárquico e modelo autorregressivo de ordem 1 para cada crian¸ca. Verificou-se que houve redu¸cão do pico de fluxo expiratório para PM10 e PM2,5 [8]

Diante da revisão da literatura verifica-se a importância de mais estudos sobre efeitos subcl´ınicos da polui¸cão atmosférica devido a queimadas em grupos vulneráveis, como crian¸cas e adolescentes.

Este trabalho está organizado em cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 são descritos os objetivos geral e espec´ıficos. O cap´ıtulo 3 apresenta o banco de dados e os métodos estat´ısticos para a análise dos dados. O cap´ıtulo 4 é reservado para os resultados das análises dos dados. O último cap´ıtulo apresenta as conclusões e limita¸cões do estudo.

4_{Desenho particular de estudo longitudinal em que cada unidade do corte transversal ´}_{e observada em}

(14)

2 Objetivos

2.1 Objetivo Geral

Avaliar o efeito da polui¸cão atmosférica no pico de fluxo expiratório (PFE) de crian¸cas e adolescentes residentes no munic´ıpio de Rio Branco.

2.2 Objetivos Espec´ıficos

• Estimar o efeito da polui¸c˜ao sobre o PFE a partir de modelos de regress˜ao linear, considerando os dados de corte transversal por crian¸ca;

• Estimar o efeito da polui¸c˜ao sobre o PFE a partir de modelos hier´arquicos, consi-derando os dados em painel;

• Comparar as estimativas pontuais e intervalares dos efeitos da polui¸c˜ao obtidas segundo os diferentes m´etodos estat´ısticos.

(15)

3 Materiais e M´

etodos

As próximas se¸cões descrevem a área de estudo, o banco de dados e os métodos utilizados na análise dos dados.

3.1 Area de estudo

´

Segundo o IBGE, em 2015 o munic´ıpio de Rio Branco, no estado do Acre, teve po-pula¸cão estimada de 370.550 pessoas. Sua área territorial é de 8.835,520 km2 e as princi-pais atividades econômicas são: comércio, pesca, extrativismo e servi¸cos. Quanto às fontes de polui¸cão atmosférica, no ano de 2015, a frota de ve´ıculos era composta por 158.053 au-tomóveis[13], enquanto que os focos de incêndio florestais identificados no estado do Acre foram de 5.512, que representa 3,33% das queimadas registradas na Amazônia Legal[14]. Em Rio Branco, no ano de 2014 ocorreram 161 óbitos devido a problemas no aparelho respiratório.

3.2 Banco de dados

O estudo de painel de Rio Branco aconteceu na Escola Estadual Raimundo Herm´ınio de Melo, no per´ıodo de 18 de Agosto de 2009 a 22 de Novembro de 2009. Das crian¸cas e adolescentes selecionados aleatoriamente, 279 iniciaram o seguimento. No entanto, apenas 260 crian¸cas preencheram um questionário com caracter´ısticas individuais e do domic´ılio. Para este estudo, o banco de dados foi reduzido, ou seja, foram utilizados os dados até 31 de outubro e apenas os 260 estudantes que responderam o questionário. A tabela 1 apresenta a distribui¸cão da amostra segundo idade e sexo.

Foram coletados diariamente medidas do pico de fluxo expiratório (PFE), dados sobre os n´ıveis de poluentes atmosféricos e informa¸cões meteorológicas. Além disso, foram coletadas a partir de questionário informa¸cões sobre as caracter´ısticas individuais dos

(16)

Tabela 1: Distribui¸c˜ao da amostra segundo Idade e Sexo

Sexo Idade Total

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Feminino 8 8 16 16 16 15 19 23 14 2 137

Masculino 8 8 11 14 17 14 22 13 14 2 123

estudantes.

No monitoramento do PFE foi usado o aparelho manual portátil Mini-Wright Peak Flow Meter, com escala variando de 60 l/min a 800 l/min, que mede o fluxo expiratório for¸cado máximo alcan¸cado com um esfor¸co máximo após a inspira¸cão máxima, medido em litros por minuto. Cada crian¸ca tinha o seu aparelho e diariamente, excluindo os finais de semana, feriados e recessos escolares, eram coletadas três medidas consecutivas do PFE. Na análise dos dados foi utilizada como variável resposta o valor máximo das 3 medi¸cões. Quando o estudante faltava a escola no dia, seu exame não era realizado. A tabela 22 ,no Anexo A, mostra a frequência de estudantes com exame realizado por dia.

Do questionário respondido pelos pais, neste trabalho foram usados os módulos sobre asma e sobre exposi¸cão ao fumo no domic´ılio. Na avalia¸cão da asma foi usado o ques-tionário padronizado referente a fase I do International Study of Asthma and Allergies in Childhood (ISAAC). Este instrumento possui 8 perguntas referentes ao sintoma da asma [15] e é usado para classificar as crian¸cas como asmáticas e não asmáticas.

Quanto aos dados meteorológicos foram inclu´ıdas nas análises as variáveis referentes `

a temperatura e umidade. E para a exposi¸cão à polui¸cão atmosférica foi utilizada a informa¸cão dos n´ıveis de PM10.

3.3 Modelo de Regress˜

ao Linear

O Modelo de Regressão Linear (MRL), consiste na realiza¸cão de uma análise es-tat´ıstica com a finalidade de estabelecer a rela¸cão entre uma variável dependente e um conjunto de variáveis explicativas. Quando essa rela¸cão é feita com apenas uma variável explicativa o MRL também é chamado de Modelo de Regressão Linear Simples (MRLS), e quando essa rela¸cão é feita com duas ou mais variáveis explicativas é chamado também de Modelo de Regressão Linear Múltiplo (MRLM). Como mostrado a seguir [16],

(17)

yi = β0+ β1x1i+ ei (3.1)

yi = β0+ β1x1i+ β2x2i+ . . . + βkxki+ ei (3.2)

Onde a equa¸cão 3.1 representa o MRLS e a equa¸cão 3.2 representa o MRLM e ei é

um erro aleat´orio.

Uma forma alternativa, e mais geral, de representar o MRL tanto simples quanto o m´ultiplo ´e utilizar a forma matricial. Como mostrado a seguir,

y = Xβ + e (3.3) Onde, y =        y1 y2 .. . yn        n×1 ; X =        1 x11 x21 . . . xk1 1 x12 x22 . . . xk2 .. . ... ... . .. ... 1 x1n x2n . . . xkn        n×k+1 ; β =        β0 β1 .. . βk        k+1×1 ; e =        e1 e2 .. . en        n×1

Note que a matriz X ´e composta pela primeira coluna apenas de 10s e nas demais colunas pelas vari´aveis x1, x2, . . . , xk.

3.3.1 Hip´

oteses do MRL

Assim como muitas técnicas estat´ısticas, o MRL também necessita de algumas hipóteses para que seja corretamente aplicado, são elas:

• E[ei] = 0 ou E[ei|x1i, x2i, . . . , xki] = 0 , i = 1, 2, . . . , n

• V ar[ei] = σ2 , i = 1, 2, . . . , n (Homocedasticidade)

• Cov[ei, ej] = 0 , ∀i 6= j (Independˆencia)

• O termo aléatório ei possui distribui¸cão Normal.

Neste conjunto de hipóteses do MRL, a primeira hipótese garante estimativas não viesadas para β. A segunda e a terceira hipótese garantem que os erros padrões das estimativas estejam corretas. A inclusão da quarta hipótese garante também que cada

(18)

componente do estimador de β possui distribui¸cão Normal, neste caso o MRL recebe um nome especial, passa a ser denominado Modelo de Regressão Linear Clássico.

3.3.2 Estima¸

c˜

ao do Modelo

Sob as hipóteses do MRL podemos encontrar boas estimativas para β, utilizando dife-rentes métodos de estima¸cão, como por exemplo M´ınimos Quadrados Ordinários (MQO) ou Máxima Verossimilhan¸ca (MV). Estes métodos resultam no mesmo estimador, que pos-sui ótimas propriedades e é chamado de Melhor Estimador Linear Não Viesado (MELNV), ou seja, dentre os estimadores lineares e não viesados para β é o que possui a menor variância. O estimador é dado a seguir:

ˆ

β = (X0X)−1X0y (3.4)

Note que, na estima¸cão por MQO é necessário apenas as três primeiras hipóteses do MRL para que o estimador seja não viesado, já pela estima¸cão por MV é necessário incluir a hipótese de Normalidade dos termos de erro.

Além disso, a variância do estimador ˆβ é dada por:

V ar( ˆβ) = σ2(X0X)−1 (3.5)

A partir da estima¸c˜ao do vetor β, pode-se estimar valores para a vari´avel dependente, apenas substituindo as estimativas encontradas no modelo. Como mostrado abaixo:

ˆ

y = X ˆβ (3.6)

Dessa forma, pode-se fazer previs˜ao de um novo indiv´ıduo incluido na amostra.

3.3.3 Intervalo de Confian¸

ca e Teste de Hip´

oteses para β

Técnicas bastante aplicadas em várias análises estat´ısticas, tanto o Intervalo de Con-fian¸ca quanto o Teste de Hipóteses, também são utilizadas no MRL para analisar o com-portamento de β.

(19)

seja, ˆ βj ∼ N βj, σ2(X0X)−1_(j+1)(j+1) (3.7)

Onde σ2(X0X)−1_(j+1)(j+1)é o elemento j+1 da diagonal principal da matriz de variâncias e covariâncias de ˆβ.

Na prática, a matriz de variâncias e covariâncias de ˆβ não é conhecida, portanto é preciso estimá-la.

Estima-se a matriz de variˆancias e covariˆancias de ˆβ por:

d V ar( ˆβ) = S2(X0X)−1 (3.8) Onde, S2 = n X i=1 (ˆyi− yi)2 n − k − 1 (3.9)

Para construir Intervalos de Confian¸ca e Testes de Hip´oteses para βj usa-se a seguinte

quantidade: ˆ βj − βj q S2_(Xt_X)−1 (j+1)(j+1) ∼ tn−k−1 (3.10)

Dessa maneira, o Intervalo de Confian¸ca ´e dado por:

IC(1−α)%(βj) =h ˆβj− t(n−k−1),α₂ q S2_(X0_X)−1 (j+1)(j+1); ˆβj + t(n−k−1),α₂ q S2_(X0_X)−1 (j+1)(j+1) i (3.11) Al´em disso, Testes de Hip´oteses da seguinte forma H0 : βj = βj∗ contra H1 : βj 6= βj∗

são bastante utilizados. E sua regra de decisão é dada abaixo,

• Se |t∗_{| ≥ t}

(20)

• Se |t∗_{| < t} (n−k−1),α 2 n˜ao rejeita-se H0 Onde, t∗ = ˆ βj − βj∗ q S2_(X0_X)−1 (j+1)(j+1) (3.12)

Um caso particular e muito usado no contexto de MRL, é quando se quer testar H0 : βj = 0 contra H1 : βj 6= 0, desta maneira o objetivo é testar a significância das

vari´aveis e intercepto do modelo.

3.3.4 An´

alise de Res´ıduos

A Análise de Res´ıduos é um procedimento fundamental em um MRL, pois a partir dessa análise pode-se verificar se algumas hipóteses do modelo realmente são satisfeitas, como Normalidade e Homocedasticidade dos termos de erro. Assim é poss´ıvel afirmar se o modelo estimado é válido ou não.

Os Res´ıduos de um MRL são obtidos pela diferen¸ca entre a variável dependente esti-mada e observada. Assim, os Res´ıduos são definidos como:

ˆ

ei = ˆyi− yi (3.13)

Para verificar a hipótese de normalidade do termo de erros, utiliza-se gráficos, como Histrograma dos Res´ıduos e Quantil-Quantil, além de Testes de Aderência, como Shapiro ou Kolmogorov-Smirnov. Caso essa hipótese não seja satisfeita, não se pode afirmar que os ˆβ_j0s sigam distribui¸cão Normal, o que invalidaria os Intervalos de Confian¸ca e os Testes de Hipóteses apresentados em 3.11 e 3.12.

Para verificar a hip´otese de homocedasticidade dos termos de erro (σ₁2 = σ₂2 = . . . = σ2

n), utiliza-se gr´aficos, como Res´ıduos contra Valor Estimado e espera-se que n˜ao haja

ne-nhum padrão nesse gráfico. Também é utilizado Teste de Hipóteses, como Breusch-Pagan para verificar a hipótese de homocedasticidade. Caso essa hipótese não seja satisfeita, a matriz de variâncias e covariâncias do vetor β não será, simplesmente, σ2(XtX)−1 e terá uma forma mais complexa, o que invalidaria os Intervalos de Confian¸ca e os Testes de Hipóteses apresentados em 3.11 e 3.12.

(21)

Neste projeto de final de curso serão estimados modelos hierárquicos lineares com dois n´ıveis, onde o primeiro n´ıvel está relacionado aos dias de acompanhamento e o segundo n´ıvel tem rela¸cão com as crian¸cas, e a variável dependente do estudo será o pico de fluxo expiratório.

Na modelagem hierárquica linear, cada um dos n´ıveis de estrutura dos dados é re-presentado por um submodelo e apresentam uma ideia de que os sujeitos dentro de um mesmo grupo tendem a ser homogêneos. Uma vantagem dessa técnica é que não requer que a estrutura dos dados seja balanceada, ou seja, pode haver número de observa¸cões diferentes em cada unidade de n´ıvel superior.

As estruturas hierárquicas mais simples que existem são aquelas com 2 n´ıveis, por exemplo alunos de uma escola sendo acompanhado durante alguns dias. Dessa maneira é poss´ıvel tra¸car dois tipos de desenhos: Balanceados, onde todas as unidades de n´ıvel 2 possuem a mesma quantidade de unidades de n´ıvel 1; e Desbalanceados, onde as unidades de n´ıvel 2 possuem diferentes quantidades de unidades de n´ıvel 1, como mostrado a seguir nas Tabelas 2 e 3 [17].

Tabela 2: Exemplo de Dados Balanceados

Aluno1 Aluno2 ... AlunoJ

Dia1 Dia2 ... DiaN Dia1 Dia2 ... DiaN ... Dia1 Dia2 ... DiaN

Tabela 3: Exemplo de Dados Desbalanceados

Dia1 Dia2 ... DiaN1 Dia1 Dia2 ... DiaN2 ... Dia1 Dia2 ... DiaNJ

Modelos hierárquicos lineares são muito utilizados para análise de medidas repetidas ou dados longitudinais, sendo bastante utilizados em estudos biológicos e ciências medici-nais. Uma das vantagens de trabalhar com este tipo de modelo é a flexibilidade a dados com estrutura desbalanceada, muito comum em estudos longitudinais [18].

Neste trabalho, o conjunto de dados possui estrutura de dados desbalanceada e n´ıveis de hierarquia da seguinte forma:

(22)

3.4.1 Modelos lineares hier´

arquicos de dois n´ıveis

Esses Modelos dispõem de uma estrutura de análise que permite serem reconhecidos os diferentes n´ıveis em que se articulam os dados, onde cada subn´ıvel possui seu próprio modelo. Cada um dos submodelos mostra a rela¸cão entre as variáveis dentro de algum n´ıvel e especifica como as variáveis deste n´ıvel influenciam as rela¸cões que se estabelecem em outros n´ıveis. Em compara¸cão ao modelo de regressão clássico, aqui não é necessário estimar um modelo para cada unidade de n´ıvel 2, o que não é nada prático dependendo da quantidade de unidades de n´ıvel 2.

Para o problema deste trabalho, as unidades de primeiro n´ıvel s˜ao as medidas repetidas diariamente e as unidades de segundo n´ıvel s˜ao as crian¸cas e adolescentes.

Assim, um modo de formalizar o Modelo Linear Hierárquico de dois n´ıveis, partindo de uma forma mais simples com apenas o intercepto e a inclin¸cão é:

yij = β0j + β1jX1tj+ etj, etj ∼ N (0, σ2) (3.14)

onde,

t refere-se as unidades de n´ıvel 1 (Dias) t = 1, . . . , nj e j refere-se as unidades de n´ıvel

2 (Crian¸cas) j = 1, . . . , 260

β0j e β1j s˜ao coeficientes aleat´orios da forma:

β0j = γ0+ u0j β1j = γ1+ u1j (3.15)

Em que γ0 e γ1 são os coeficientes de n´ıvel 2 e u0j e u1j são os termos aleatórios, tais

que urj ∼ N (0, σr2). Al´em disso,

E(urj) = 0

V ar(u0j) = σ02

V ar(u1j) = σ12

Cov(u0j, u1j) = σ01

Ent˜ao yij pode ser expresso como uma soma de partes fixas e aleat´orias.

(23)

quatro parâmetros (σ₀, σ₁, σ01, σ ). Estes últimos chamados de parâmetros aleatórios.

Tomando-se o exemplo com os dias de observa¸c˜ao no n´ıvel 1 e os alunos no n´ıvel 2, e considerando apenas σ2

0 e σ2 como parâmetros aleatórios, desta forma a correla¸cão entre

dois dias de um mesmo aluno ´e dada por:

ρI = σ2 0 σ2 0 + σ2 (3.17) Onde ρI é chamado de correla¸cão intraclasse do n´ıvel 2, que mede a propor¸cão da

variância total que é devida ao n´ıvel 1 e ao n´ıvel 2. Se essa correla¸cão for diferente de zero, devido a presen¸ca de mais de um termo residual, o procedimento de estima¸cão por M´ınimos Quadrados Ordinários (MQO) não é aplicável.

A matriz de variâncias e covariâncias de y para n dias para uma crian¸ca é dada por:

       σ2 0 + σ2 σ02 . . . σ20 σ₀2 σ₀2+ σ2 . . . σ2₀ .. . ... . .. ... σ2 0 σ02 . . . σ02+ σ2        n×n

A matriz de variˆancias e covariˆancias de y dos dias de duas crian¸cas diferentes, sendo que a primeira possui n dias e a segunda possui m dias:

"

A 0

0 B

#

(m+n)×(m+n)

Onde A é a matriz de variâncias e covariâncias dos erros da primeira crian¸ca e B é a matriz de variâncias e covariâncias dos erros da segunda crian¸ca. Essa matriz bloco diagonal se dá pelo fato de que os dias para diferentes crian¸cas possuem covariância nula. Uma maneira mais compacta de representar a matriz acima seria da seguinte forma,

V = " σ_u02 Jn×n+ σ2In×n 0 0 σ2 0Jm×m+ σ2Im×m # (m+n)×(m+n)

(24)

Formalmente o modelo ´e expressado como: ytj = β0+ Q P q=1 βqxqtj+ u0j + R P r=1 urjxrtj + etj ytj = β0j+ R P r=1 βrjxrtj+ Q P q=1 βqxqtj+ etj y = Xβ + Zu + σ2I | {z } V Onde:

• βrj(r = 0, 1, . . . , R) s˜ao coeficientes aleat´orios da forma βrj = βr+ urj;

• βq(q = 1, 2, . . . , Q) s˜ao coeficientes fixos.

• xqtj ´e a vari´avel preditora q do dia t para a crian¸ca j;

• etj ´e o efeito aleat´orio do n´ıvel 1 (Dias);

• σ2 _´_{e a variˆ}_{ancia de e} tj

• urj ´e o efeito aleat´orio do n´ıvel 2 (Crian¸cas);

• σ2

r ´e a variˆancia de urj

Neste trabalho serão utilizadas medidas repetidas, ou seja, variáveis que variam no tempo e também variáveis que são invariantes no tempo. As variáveis de variam no tempo serão consideradas efeitos aleatórios, desta forma tendo coeficientes distintos para cada crian¸ca, as variáveis que não variam no tempo serão consideradas efeitos fixos, assim haverá um único coeficiente para todas as crian¸cas.

O banco de dados com as informa¸cões dos alunos de Rio Branco possui estrutura hierárquica com 2 n´ıveis. No n´ıvel 1 estão os dias, as variáveis que pertencem a este n´ıvel, e serão usadas neste estudo foram as seguintes medidas: Pico de Fluxo Expiratório, Temperatura, Umidade e Polui¸cão (PM10). No n´ıvel 2 estão as 260 crian¸cas, as variáveis

(25)

Figura 1: Modelo Te´orico

Modelo Te´orico Modelo n´ıvel 1

P F Eij =β0j + β1jT emperaturai+ β2jU midadei+ β3jP olui¸c˜aoi+ β4Asmaj

+ β5F umoj + β6P esoj+ β7Alturaj+ β8Idadej+ β9Sexoj + ρei−1j+ aij

Modelo n´ıvel 2

βrj = βr+ urj

3.4.2 Hip´

oteses do Modelo Linear Hier´

arquico

• Cov(urj, eij) = 0, j = 1, . . . , 260, i = 1, . . . , nj, r = 0, . . . , R;

• E(eij|x1ij, . . . , xQij) = 0, j = 1, . . . , 260, i = 1, . . . , nj;

• E(urj|x1ij, . . . , xQij) = 0, r = 0, . . . , R;

• eij possui distribui¸c˜ao normal com variˆancia constante;

• O vetor (u0j, . . . , uRj)tpossui distribui¸c˜ao normal multivariada com matriz de variˆancias

(26)

3.4.3 Estima¸

c˜

ao do Modelo

A Estima¸cão do Modelo Linear Hierárquico pode se tornar bastante trabalhosa de-pendendo de algumas circunstâncias. Se a matriz V =

R

P

r=0

ZrZtrσr2 + σ2I ´e conhecida

então a estima¸cão por Máxima Verossimilhan¸ca é obtida da seguinte maneira: Supondo y normalmente distribu´ıdo.

y ∼ N (Xβ, V ) (3.18)

Desta forma o log da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ´e dado por:

l = −1 2(y − µ) t V−1(y − µ) − 1 2log|V | − N 2 log(2π) (3.19) Seja µ = Xβ e β = θ. ∂l ∂θ = ∂µt ∂θ V −1_{(y − µ)} _(3.20)

Igualando a equa¸c˜ao 3.20 a 0, com β = ˆβ tem-se:

XtV−1X ˆβ = XtV−1y ⇒ ˆβ = (XtV−1X)−1XtV−1y (3.21) Assim V ar( ˆβ) = (XtV−1X)−1XtV−1V ar(y)V−1X[(XtV−1X)−1]t (3.22) V ar( ˆβ) = (XtV−1X)−1XtV−1V V−1X[(XtV−1X)−1]t (3.23) V ar( ˆβ) = (XtV−1X)−1XtV−1X[(XtV−1X)−1]t (3.24) V ar( ˆβ) = (XtV−1X)−1 (3.25)

Porém, na prática a matriz V raramente é conhecida, dessa maneira não é poss´ıvel calcular estimativas para β diretamente, neste caso a fun¸cão de verossimilhan¸ca deve

(27)

de 3.21 substituindo V por ˆV , assim independentemente de ˆV , o estimador de m´axima verossimilhan¸ca para β ser´a:

ˆ

β = (XtVˆ−1X)−1XtVˆ−1y (3.26)

Seja µ = Xβ e V = V (σ2₎

As equa¸cões de máxima verossimilhan¸ca de V são encontradas igualando a seguinte expressão a 0. ∂l ∂σ2 r = −1 2 tr V−1∂V ∂σ2 r − (y − Xβ)t_V−1∂V ∂σ2 r V−1(y − Xβ) (3.27) então ∂V ∂σ2 r = ∂ R P r=0 ZrZtrσr2 ∂σ2 r = ZrZtr e fazendo ∂l ∂σ2 r = 0 para r = 0, 1, . . . , R . tr V−1ZrZtr = (y − Xβ) t_V−1 ZrZtrV −1 (y − Xβ) (3.28)

O lado direito da equa¸cão 3.28 envolve Xβ e V , de alguma forma as equa¸cões devem ser resolvidas numericamente. Uma das sa´ıdas para solucionar este problema é a utiliza¸cão de um algoritmo iterativo chamado de ”Expected Maximization” que tem por objetivo calcular estimadores de máxima verossimilhan¸ca ou máxima verossimilhan¸ca restrita. A ideia deste método é alternar entre o cálculo de valores esperados condicionais e maximizar verossimilhan¸cas simplificadas.

O algoritmo para m´axima verossimilhan¸ca restrita ´e dado a seguir, Seja ˆP = ˆV−1− ˆV−1X(Xt_Vˆ−1_X)−1_Xt_Vˆ−1 _{e q}

r igual a dimens˜ao de ur

Passo 1. Inicie m = 0 e dˆe valores iniciais para β(0) _{e σ}2(0)

r para r = 0, 1, . . . , R. Passo 2. Calcule Xβ(m+1) = Xβ(m)+ σ2(m)X(XtX)−1XtV−1(m)(y − Xβ(m)) (3.29) σ_r2(m+1)= σ2(m)+ σ 4(m) qr h ytPˆ(m)ZrZtrPˆ (m)_{y − tr(Z}t rPˆ (m)_Z r) i (3.30)

(28)

Passo 3. Se a convergência é obtida, defina X ˆβ = Xβ(m+1) e ˆσ_i2 = σ_i2(m+1). Caso contrário incremente m em uma unidade e volte para o passo 2.

3.4.4 An´

alise de Res´ıduos

Assim como os Modelos de Regressão Linear, os modelos Modelos Lineares Hierárquicos possuem um conjunto de suposi¸cões. Caso essas suposi¸cões não sejam satisfeitas, os pro-cedimentos para estimar e testar os coeficientes da regressão podem ser inválidos.

Para checar as suposi¸c˜oes, as seguintes quest˜oes devem ser avaliadas[18]:

1. A parte fixa contém as variáveis corretas? 2. A parte aleatória contém as variáveis corretas? 3. Termo de Erro Normalmente distribu´ıdos? 4. Termos de Erro Homocedásticos?

5. Efeitos Aleat´orios Normalmente Distribu´ıdos?

6. Efeitos Aleat´orios possuem matriz de covariˆancia constante?

As questões 1 e 2 estão relacionadas a especifica¸cão do modelo, e trata-se da sele¸cão de variáveis explicativas que irão compor as parcelas fixas e aleatórias do modelo. A especifica¸cão do modelo é umas das partes mais dif´ıceis da inferência estat´ıstica. No contexto do MRL esta tarefa não é fácil, no caso dos Modelos Lineares Hierárquicos a dificuldade é ainda maior devido a parte aleatória do modelo, a especifica¸cão errada em algum dos n´ıveis pode afetar as estimativas dos coeficientes e desvios padrões do outro n´ıvel. A natureza complicada dos Modelos Lineares Hierárquicos implica que não há regras claras ou fixas para a especifica¸cão do modelo. Desta maneira é necessário algum conhecimento prévio do problema e da teoria existente. Em muitos casos não há apenas uma especifica¸cão correta, e diferentes pontos de vista podem chegar a representa¸cões válidas. Estas duas suposi¸cões podem ser avaliadas por meio de gráficos dos dados e res´ıduos.

As questões 3 e 4 são relacionadas ao primeiro n´ıvel do modelo linear hierárquico, a Hipótese de Normalidade pode ser verificada, graficamente, por meio de qqnorm onde quanto mais próximo os valores observados estão da reta maior a evidência de Norma-lidade. A Heterocedasticidade pode ser investigada através de boxplots dos res´ıduos por

(29)

ser necessária a modelagem da mesma, por meio de fun¸cões de variância. Em ambos os casos testes de hipóteses podem ser usados para verificar as suposi¸cões, porém gráficos de diagnósticos são suficiente para concluir a análise.

As questões 5 e 6 são referentes ao segundo n´ıvel do modelo linear hierárquico, a Hipótese de Normalidade marginal dos efeitos aleatórios, assim como no primeiro n´ıvel, pode ser verificada por meio do qqnorm. A Heterocedasticidade da matriz de variâncias e covariâncias do efeito aleatório pode ser verificada a partir de gráficos de dispersão dos efeitos aletórios por n´ıveis dos fatores.

3.5 Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda

´

E coerente supor que o efeito causado pela polui¸cão no Pico de Fluxo Expiratório não ocorre devido apenas a exposi¸cão do poluente em um único dia, e sim a exposi¸cão ao longo de vários dias. Porém incluir defasagens da polui¸cão diretamente no modelo resultaria em problemas na estima¸cão, pois é esperado as defasagens sejam altamente correlacionadas. Uma maneira de contornar esta adversidade é a utiliza¸cão do Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda, onde é poss´ıvel estimar o efeito acumulado da polui¸cão.

O Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda possui o seguinte aspecto:

Yt = α + covariaveis + β0Xt+ β1Xt−1+ . . . + βqXt−q+ et, (3.31)

onde q ´e o n´umero de defasagens. Seja wi = βi q P j=0 βj

, i = 1, . . . , q, o peso de cada defasagem da polui¸c˜ao e

q

P

i=0

wi = 1.

Desta forma a equa¸c˜ao 3.32 pode ser reescrita como,

Yt = α + covariaveis + βg(w0Xt+ w1Xt−1+ . . . + wqXt−q) + et, (3.32) onde βg ₌ q P j=0 βj.

βg _´_{e o efeito global da polui¸c˜}_{ao para q defasagens da polui¸c˜}_{ao, e pode ser interpretado}

(30)

ponderada (w0Xt+ w1Xt−1+ . . . + wqXt−q) de q + 1 dias.

Para evitar o problema da colinearidade das defasagens da polui¸c˜ao, reescreve-se os coeficientes βi da seguinte maneira:

βi = d

X

k=0

ηkik, (3.33)

onde d ´e o grau do polinˆomio.

Considerando um exemplo com 3 defasagens (q=3) e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 2 (d =2) ent˜ao,

β0 = η0

β1 = η0+ η1+ η2

β2 = η0+ 2η1+ 4η2

β3 = η0+ 3η1+ 9η2

Após a reparametriza¸cão e alterando a nota¸cão de forma conveniente tal que Z0 =

Xt, Z1 = Xt−1, . . . , Zq= Xt−q tem-se Yt= α+covariaveis+η0Z0+ d X k=0 ηk ! Z1+ d X k=0 ηk2k ! Z2+. . .+ d X k=0 ηkqk ! Zq, (3.34) ou ainda Yt = α + covariaveis + η0 q X k=0 Zk+ η1 q X k=0 kZk+ . . . + ηd q X k=0 kdZk, (3.35)

Considerando o modelo (3.35) define-se novas vari´aveis a por meio da seguinte trans-forma¸c˜ao: W0 = q P k=0 Zk, W1 = q P k=0 kZk, . . . , Wd= q P k=0 kd_Z k

Desta maneira o seguinte modelo estime-se o modelo:

Yt = α + covariaveis + η0W0+ η1W1+ . . . + ηdWd (3.36)

e a partir deste modelo encontra-se os βiestimados assim como seus respectivos desvios

(31)

No contexto de Modelos Lineares Hierárquicos a hipótese de variância constante do termo de erro eij pode ser relaxada, substituindo por uma hipótese mais fraca de modo

que essa variância possa depender de forma linear ou quadrática de variáveis explicativas [18]. A fun¸cão de variância é utilizada para modelar a heterocestaticidade dentro dos grupos, neste trabalho crian¸cas, usando covariáveis.

A fun¸cão de variância para os erros dentro dos grupos é definida por[19]:

V ar(ij|b e i) = σ2g(µij, v e ij, δ e ), i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , ni, (3.37) onde µij = E[yij|b e i], v e

ij ´e o vetor de variˆancia de covariaveis, δ

e ´

e o vetor de parâmetros de variância e g é uma fun¸cão cont´ınua em δ

e .

Existem diversos tipos de fun¸cões de variância, neste trabalho será usada a fun¸cão de variância estratificada. Esta classe representa um modelo com diferentes variâncias para cada n´ıvel da variável de estratifica¸cão.

Suponha que S seja a vari´avel de estratifica¸c˜ao podendo assumir valores no conjunto {1, 2, . . . , s}, neste caso o modelo possui a seguinte forma:

V ar(ij) = σ2δSij, (3.38)

sendo a fun¸c˜ao de variˆancia g(Sij, δ

e

) = δSij.

O modelo da variância (3.38) possui s + 1 parâmetros para representar s variâncias. Para evitar problemas com identificabilidade do modelo é feita uma restri¸cão definindo o primeiro estrato como sendo a referência de modo que δ1 = 1, então δl para l = 2, 3, . . . , s

representa a razão entre os desvios padrões dos erros do l-ésimo estrato para o primeiro estrato. Por constru¸cão δl> 0, l = 2, 3, . . . s.

3.7 Autocorrela¸

c˜

ao dos Res´ıduos

Em um estudo longitudinal, a suposi¸c˜ao de que os erros eij s˜ao independentes

(32)

pela autocorrela¸c˜ao de primeira ordem[18],

ei+1j = ρeij + ai+1j i ≥ 1, (3.39)

onde as var´ıaveis aij s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdas e E(aij) = 0.

O parâmetro ρ é chamado de coeficiente de autocorrela¸cão. Este modelo apresenta a dependência entre observa¸cões adjacentes, esta dependência é fun¸cão apenas da distância entre as observa¸cões e reduz a medida que as observa¸cões se afastam. A correla¸cão entre os res´ıduos é dado por:

ρ(eij, ei0_j) = ρ|i−i 0_|

(3.40) O AR(1), como ´e denotado o modelo autoregressivo de ordem 1, ´e modelo mais simples e um dos mais usados[19].

(33)

4 An´

alise dos Resultados

4.1 An´

alise descritiva

Nesta sessão serão apresentadas estat´ısticas e gráficos das variáveis medidas diari-amente e das caracter´ısticas individuais das crian¸cas, com o objetivo de explora-las e verificar poss´ıveis padrões.

4.1.1 Vari´

aveis Relacionadas ao Dia

Tabela 4: Resumo das vari´aveis relacionadas ao Dia

Variável Média Mediana Desvio Padrão M´ınimo Máximo Q3 - Q1

Temperatura 28,41 28,50 2,01 21,70 31,70 2,70

Umidade Relativa 68,94 68,90 8,39 48,40 86,00 12,6

Polui¸c˜ao 39,72 36,25 16,75 17,18 97,00 18,04

PFE 274,60 260,00 92,91 50,00 650,00 150,00

(34)

A Tabela 4 e a Figura 2 apresentam, de forma resumida, as distribui¸cões das variáveis medidas diariamente. A variável Temperatura possui média igual 28,41oC e desvio padrão igual a 2,01o_{C a sua distribui¸c˜}_{ao apresentou mediana na ordem de 28,50}o_{C, primeiro e}

terceiro quartis iguais a 27,40o_{C e 30,10}o_{C, respectivamente. A vari´}_{avel Umidade Relativa}

possui média igual a 68,98% e desvio padrão igual a 8,39% a sua distribui¸cão apresentou mediana na ordem de 68,90%, primeiro e terceiro quartis iguais a 28,07% e 46,11%, respectivamente. A variável Umidade Relativa possui média igual a 68,98% e desvio padrão igual a 8,39% a sua distribui¸cão apresentou mediana na ordem de 68,90%, e primeiro e terceiro quartis iguais a 62,10% e 74,70%, respectivamente. A variável Polui¸cão apresentou n´ıvel médio igual a 39,72 e desvio padrão igual a 16,75 a sua distribui¸cão possui mediana na ordem de 36,25, primeiro e terceiro quartis iguais a 28,07 e 46,11, respectivamente. O PFE apresentou média igual a 274,60l/min e desvio padrão igual a 92,91l/min a sua distribui¸cão possui mediana na ordem de 260,00l/min, e primeiro e terceiro quartis iguais a 200,00l/min e 350,00l/min, respectivamente.

Figura 3: Séries Temporais variáveis das Temperatura e Polui¸cão

(35)

dade relativa com a polui¸cão. Graficamente, as séries da temperatura e polui¸cão não aparentam ter alguma rela¸cão, pois não é observado nenhum tipo de padrão que indique este fato. As séries da umidade relativa e polui¸cão parecem estar relacionadas de modo que a medida em que são observado valores mais altos da umidade relativa são observados valores mais baixos de n´ıveis de polui¸cão, e vice-versa.

Figura 5: Boxplot Pico de Fluxo Expirat´orio segundo algumas caracter´ısticas

Na Figura 4.1.1 são apresentados o PFE segundo algumas caracter´ısticas das crian¸cas. Na primeira compara¸cão entre os boxplot parece haver maior variabilidade nos PFE no grupo dos Não Asmáticos se comparado aos Asmáticos, os Não Asmáticos apresenta-ram mediana igual a 270 l/min e quanto os Asmáticos apresentaram mediana igual a 250 l/min. Na segunda as crian¸cas que Não são Fumantes Passivas apresentaram uma mediana menor do que o grupo que são Fumantes Passivos, 250 l/min e 290 l/min res-pectivamente. Na terceira percebe-se uma grande diferen¸ca entre todas as faixas de idade, crian¸cas com idade entre 6 e 9 anos apresentaram mediana igual a 190 l/min, já a que estão na faixa entre 10 a 12 anos apresentaram uma mediana de 280 l/min e a ultima faixa etária que vai de 13 a 15 anos apresentou uma mediana na ordem de 350 l/min.

(36)

Graficamente, na ultima compara¸cão não há muita diferen¸ca no PFE segundo o Sexo, as crian¸cas do sexo Feminino apresentaram uma mediana de 270 l/min enquanto as do sexo Masculino foi igual a 260 l/min.

Figura 6: Pico de Fluxo Expirat´orio ajustado pelo Tempo

A Figura 8 apresenta a série do PFE de cada crian¸ca ajustada por uma spline cúbica, observa-se que algumas crian¸cas apresentaram valores de PFE muito acima das demais e algumas crian¸cas também apresentaram PFE abaixo da maioria das crian¸cas. No Anexo A foi ilustrado a série do PFE de cada crian¸ca ajustado por uma tendência linear.

4.1.2 Vari´

aveis Relacionadas as Crian¸

cas

Tabela 5: Resumo das variáveis Quantitativas relacionadas as Crian¸cas Variável Média Mediana Desvio Pardão M´ınimo Máximo Q3-Q1

Idade 10,06 11,00 2,42 6,00 15,00 4,00

Altura 141,80 141,00 15,50 106,00 180,00 23,00

(37)

Figura 7: Boxplot das vari´aveis Idade, Altura e Peso

A Tabela 5 e a Figura 7 apresentam, de forma resumida, as distribui¸cões das variáveis relacionadas as caracter´ısticas das crian¸cas. A média de Idade das crian¸cas foi de 10,06 anos com desvio de 2,42 anos a distribui¸cão da idade apresentou mediana na ordem de 11,00 anos, primeiro e terceiro quartis, respectivamente, iguais a 9,00 anos e 13 anos. A média de Altura das crian¸cas foi de 141,80cm anos com desvio padrão de 15,50cm a distribui¸cão da idade apresentou mediana na ordem de 141,00cm, primeiro e terceiro quartis, respectivamente, iguais a 130,00cm e 153,00cm. A média de Peso das crian¸cas foi de 35,26kg com desvio padrão de 11,41kg a distribui¸cão da idade apresentou mediana na ordem de 33,00kg, primeiro e terceiro quartis, respectivamente, iguais a 26,00kg e 43,00kg.

Tabela 6: Resumo das vari´aveis Qualitativas relacionadas as Crian¸cas

Sexo Fumo Domiciliar Ser Asm´atica

Masculino Feminino Omitiu Sim N˜ao Omitiu Sim N˜ao Omitiu

48,7% 49,8% 1,5% 33,7% 57,3% 9,0% 21,9% 70,3% 7,8%

A Tabela 6 mostra as propor¸cões de algumas caracter´ısticas das crian¸cas na amostra. Em rela¸cão ao sexo das crian¸cas, 48,7% (127) são do sexo masculino, 49,8% (129) são do sexo feminino e 1,5% (4) omitiram essa informa¸cão. Sobre fumantes no domicilio,

(38)

33,7% (88) possuem fumantes no seu domicilio, 57,3% (149) não possuem fumantes em seu domic´ılio, 9,0% (23) omitiram a informa¸cão. Em rela¸cão a condi¸cão de saúde, 21,9% (57) possuem asma, 70,3% (183) não possuem asma e 7,8% (20) omitiram a informa¸cão.

Tabela 7: Tabela de Dupla entrada e Teste de Independˆencia Fumo Domiciliar

P-valor Sexo P-valor

Sim N˜ao Masculino Feminino

Ser Asm´atica Sim 75,6% 77,7% 0,8293 77,3% 75,2% 0,8075

N˜ao 24,4% 22,3% 22,7% 24,8%

Pela Tabela 7 observa-se que a propor¸cão de Asmáticos que possuem algum fu-mante em seu domic´ılio (75,6%) e os que não possuem indiv´ıduos que fumam (77,6%) são próximos, o mesmo ocorre nos Não Asmáticos (24,4% e 22,3% respectivamente), o P-valor do teste Qui-Quadrado de Independência (0,8293) indica que não há associa¸cão entre a crian¸ca possuir Asma e haver indiv´ıduos que fumam em seu domic´ılio. Nesta mesma Tabela observa-se também que a propor¸cão de Asmáticos dos sexos Masculino (77,3%) e Feminino (75,2%) são próximos, o que ocorre também entre os Não Asmáticos (22,7% e 24,8% respectivamente), o P-valor do teste Qui-Quadrado de Independência (0,8075) indica que não há associa¸cão entre a crian¸ca possuir Asma e o Sexo do indiv´ıduo.

4.2 Ajuste do Modelo B´

asico

Nesta sessão serão apresentados o ajuste do modelo básico, ou seja, sem o ajuste da polui¸cão, o ajuste da fun¸cão de variância e a verifica¸cão das suposi¸cões do modelo linear hierárquico.

Inicialmente, ajustando o modelo nulo, foi observado um coeficiente de correla¸c˜ao intraclasse na ordem de 0, 8894, ou seja, 88, 94% da varia¸c˜ao do PFE ocorre devido a diferen¸ca entre as crian¸cas.

(39)

ˆ

β Erro Padr˜ao P-valor

(Intercepto) 265,3639 4,4217 <0,0001 (Tempo) 0,1411 0,0679 0,0378 (Tempo)2 _0,0089 _0,0060 _0,1443 (Tempo a Direita)3 _-0,0001 _0,0001 _0,6519 (Tempo a Esquerda)3 _0,0004 _0,0001 _0,0113 (Temperatura) 0,3055 0,1319 0,0206 (Idade) 11,6332 2,5751 <0,0001 (Peso) 1,3860 0,4970 0,0057 (Altura) 2,1278 0,5242 0,001 (Fumo Domiciliar) 2,5993 5,5560 0,6403 (Sexo Masculino) 10,8403 5,3321 0,0431 (Asm´atico) -0,0353 6,2413 0,9955

A Tabela 8 apresenta os valores estimados e os respectivos desvios padrões das esti-mativas além do P-valor do teste t-Student. Observa-se na coluna referente ao P-valor que alguns coeficientes estimados não são significativos ao n´ıvel de significância de 5% ((Tempo)2_{, (Tempo a Direita)}3_{, Fumo Domiciliar, Asm´}_{atico), por´}_{em segundo o teste de}

Razão de Verossimilhan¸ca e o Critério de Informa¸cão de Akaike estas variáveis ajudam a melhorar o ajuste do modelo. Foi utilizado modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1) para a corre¸cão da autocorrela¸cão serial dos termos de erro, o coeficiente de auto-correla¸cão foi de 0, 2124.

Tabela 9: Efeitos Aleat´orios do Modelo B´asico

Desvio Padr˜ao M´ınimo M´aximo

(Intercepto) 45,2646 -109,2247 206,0061 (Tempo) 0,8874 -2,3036 2,9278 (Tempo)2 _0,0645 _-0,1555 _0,1925 (Tempo a Direita)3 _0,0018 _-0,0047 _0,0040 (Tempo a Esquerda)3 0,0019 -0,0045 0,0047 (Temperatura) 0,4059 -0,4330 0,2733 Res´ıduos 30,1637 -201,0648 164,3039

Na Tabela 19 são apresentados os desvios padrões dos efeitos aleatórios e os maiores e menores desvios dos coeficientes de cada crian¸cas em rela¸cão ao coeficiente global estimado

(40)

pelo modelo , por exemplo o menor ˆβ0j observado foi de 265, 3639 − 109, 2247 = 159, 1392

e o maior foi na ordem de 265, 3639 + 206, 0061 = 471, 3700, e assim sucessivamente.

4.2.1 Fun¸

c˜

ao de Variˆ

ancia

Figura 8: Boxplot dos res´ıduos por Faixa Et´aria, Sexo e Asma

Legenda

1 6 a 9 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 7 6 a 9 anos, Sexo Feminino, Asmático 2 10 a 12 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 8 10 a 12 anos, Sexo Feminino, Asmático 3 13 a 15 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 9 13 a 15 anos, Sexo Feminino, Asmático 4 6 a 9 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 10 6 a 9 anos, Sexo Masculino, Asmático 5 10 a 12 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 11 10 a 12 anos, Sexo Masculino, Asmático 6 13 a 15 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 12 13 a 15 anos, Sexo Masculino, Asmático

(41)

Estrato ˆδ 6 a 9 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 0,76 10 a 12 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 0,88 13 a 15 anos, Sexo Feminino, Não Asmático 1,11 6 a 9 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 0,72 10 a 12 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 0,90 13 a 15 anos, Sexo Masculino, Não Asmático 1 1,00

6 a 9 anos, Sexo Feminino, Asm´atico 0,82

10 a 12 anos, Sexo Feminino, Asmático 1,12 13 a 15 anos, Sexo Feminino, Asmático 0,99 6 a 9 anos, Sexo Masculino, Asmático 0,73 10 a 12 anos, Sexo Masculino, Asmático 0,98 13 a 15 anos, Sexo Masculino, Asmático 1,05

Pela Figura 8 e pela Tabela 10 observa-se que existem diferentes variabilidades de res´ıduos segundo algumas caracter´ısticas das crian¸cas, isto justificaria o uso da Fun¸cão de Variância. Para o modelo básico a fun¸cão de variância estimada é dada por:

\

V ar(eij) =909, 62 × [0, 76 × I(Estrato 1) + 0, 88 × I(Estrato 2) + 1, 11 × I(Estrato 3)

+ 0, 72 × I(Estrato 4) + 0, 90 × I(Estrato 5) + 1, 00 × I(Estrato 6) + 0, 82 × I(Estrato 7) + 1, 12 × I(Estrato 8) + 0, 99 × I(Estrato 9) + 0, 73 × I(Estrato 10) + 0, 98 × I(Estrato 11) + 1, 05 × I(Estrato 12)]

onde I(.) é fun¸cão indicadora, que toma valor 1 se j-ésima crian¸ca pertence ao es-trato e 0 caso o contrário. Desta maneira, uma crian¸ca que possui entre 6 a 9 anos, do sexo feminino e não possui asma apresenta variância residual igual a 691,31, e assim sucessivamente.

(42)

4.2.2 An´

alise de Res´ıduos

Figura 9: Normalidade Multivariada dos Efeitos Aleat´orios

(43)

Figura 11: Normalidade dos Res´ıduos Padronizados

Na Figura 9 a suposi¸cão de normalidade multivariada dos efeitos aleatórios não parece satisfeita , na Figura 10 há evidências de normalidade univariada dos efeitos aleatórios em alguns casos, a ausência de normalidade dos termos de erro também é observada a partir da Figura 11. Este fato pode comprometer algumas inferências, porém este problema já era previsto devido a complexidade do modelo.

A suposi¸cão de Homocedasticidade dos efeitos aleatórios parece ser satisfeita devido a semelhan¸ca no padrão dos diagramas de dispersão dos efeitos aleatórios para os diferentes n´ıveis das variáveis sexo e asma, os diagramas encontram-se no Anexo C.

4.3 Efeitos Ajustados da Polui¸

c˜

ao

Nesta sessão serão apresentados os efeitos do ajuste da polui¸cão para o modelo linear hierárquico pelos métodos Single Lag e PDLM.

4.3.1 Single Lag

(44)

\

P F Eij =266, 193087 + 0, 159050 × T empoi+ 0, 06888 × T empo2i − 0, 000044 × T empo 3 Di

+ 0, 000309 × T empo3_Ei+ 0, 295918 × T emperaturai+ 12, 361712 × Idadej

+ 1, 355478 × P esoj+ 2, 107694 × Alturaj + 2, 286406 × I(F umoj)

+ 9, 868533 × I(SexoM ascj) − 0, 440937 × I(Asmaj) − 0, 011049 × P oluicao1i

Tabela 11: Desvio Padr˜ao dos Efeitos Aleat´orios

Intercepto T empo T empo2 _{T empo}3

D T empo3E T emperatura Residuos

45, 308563 0, 926282 0, 068338 0, 001892 0, 001990 0, 150749 30, 075582

Defasado 2 dias

\

P F Eij =267, 657956 + 0, 171848 × T empoi+ 0, 001198 × T empo2i + 0, 000098 × T empo 3 Di

+ 1, 220199 × P esoj + 2, 249382 × Alturaj + 2, 601166 × I(F umoj)

45, 17562 0, 934840 0, 065985 0, 001809 0, 001980 0, 604388 30, 296779

Defasado 3 dias

\

P F Eij =267, 847050 + 0, 144800 × T empoi+ 0, 004476 × T empo2i + 0, 000056 × T empo 3 Di

(45)

Intercepto T empo T empo T empo_D T empo_E T emperatura Residuos 46, 080377 0, 831966 0, 079749 0, 002056 0, 002430 0, 433208 30, 450128

Defasado 4 dias

\

46, 080747 0, 940859 0, 091553 0, 002314 0, 003153 0, 548622 30, 287104

Defasado 5 dias

\

(46)

Tabela 16: Efeitos da Polui¸c˜ao Single Lag para 10 Unidades Single Lag βˆ Intervalo de Confian¸ca (95%)

Lag1 -0,110 (-0,419 ; 0,198)

Lag2 -0,610 (-0,940 ; -0,280)

Lag3 -0,587 (-0,909 ; -0,265)

Lag4 -0,193 (-0,599 ; 0,213)

Lag5 -0,571 (-1,014 ; -0,129)

Observa-se na Tabela 16 os efeitos da Polui¸cão ajustado pelo Single Lag, neste método as defasagens da polui¸cão são ajustadas uma de cada vez, defasagens 2, 3 e 5 se mos-traram significativas ao n´ıvel de significância de 5%. O impacto no PFE do aumento de 10 unidades da polui¸cão com respectivos intervalos de confian¸cas de 95% foi de: −0, 110l/min (−0, 419; 0, 198), −0, 610l/min (−0, 940; −0, 280), −0, 587l/min (−0, 909; − 0, 265), −0, 193l/min (−0, 599; 0, 213), −0, 571l/min (−1, 014; −0, 129), para as defa-sagens de 1, 2, 3, 4 e 5 dias da polui¸cão, respectivamente.

4.3.2 Modelo Polinomial de Defasagem Distribu´ıda

As contas para o PDLM com q = 5 e d = 2 podem ser encontradas em [20] Modelo Representado na forma 3.31.

\

+ 6, 508266 × I(SexoM ascj) − 2, 530911 × I(Asmaj) + 0, 016404 × P oluicao0i

− 0, 019136 × P oluicao1i− 0, 039474 × P oluicao2i− 0, 044609 × P oluicao3i

− 0, 034542 × P oluicao4i− 0, 009273 × P oluicao5i

(47)

\

+ 6, 508266 × I(SexoM ascj) − 2, 530911 × I(Asmaj) − 0, 1306304×

[−0, 125574 × P oluicao0i+ 0, 146492 × P oluicao1i+ 0, 302180 × P oluicao2i

+ 0, 341492 × P oluicao3i+ 0, 264426 × P oluicao4i+ 0, 07098281 × P oluicao5i]

45, 698278 1, 028018 0, 089854 0, 002280 0, 003136 0, 378137 30, 643892

Tabela 18: Efeitos da Polui¸c˜ao PDLM para 10 Unidades

PDLM βˆ Intervalo de Confian¸ca (95%) Lag0 0,164 (-0,157 ; 0,486) Lag1 -0,191 (-0,369 ; -0,012) Lag2 -0,394 (-0,622 ; -0,167) Lag3 -0,446 (-0,650 ; -0,241) Lag4 -0,345 (-0,540 ; -0,150) Lag5 -0,092 (-0,575 ; 0,389) Efeito Global -1,306 (-2,006 ; -0,606)

(48)

Na Tabela 18 e Figura 12 observa-se os efeitos da Polui¸cão, que foram ajustados pelo PDLM utilizando um polinômio de grau 2 (d =2) e 5 dias defasados (q=5), onde cada uma das defasagens da polui¸cão é ajustada pelas outras defasagens, desta forma pode-se avaliar também o efeito global da polui¸cão, as defasagens 1, 2, 3, 4 e o efeito global se mostraram significativos ao n´ıvel de significância de 5%. O impacto no PFE do au-mento de 10 unidades da polui¸cão com respectivos intervalos de confian¸cas de 95% foi de: −0, 191l/min (−0, 369; −0, 012), −0, 394l/min (−0, 622; −0, 167), −0, 446l/min (−0, 650; − 0, 241), −0, 345l/min (−0, 540; −0, 150), −0, 092l/min (−0, 575; 0, 389), −1, 306l/min (−2, 006; −0, 606), para as defasagens de 1, 2, 3, 4, 5 dias da polui¸cão e efeito global, respectivamente.

4.4 Modelo de Regress˜

ao Linear

Nesta sessão serão apresentados os efeitos do ajuste da polui¸cão encontrados utilizando o MRL, e também será feita uma compara¸cão dos intervalos de confian¸cas encontrados pelo MRL e modelo hierárquico linear.

Para a utiliza¸cão das variáveis temperatura, umidade relativa e polui¸cão no Modelo de Regressão Linear foi necessário agrega-las. Foi calculado a mediana do PFE de cada crian¸ca, sendo essa a variável resposta no MRL; para as outras variáveis relacionadas aos dias foram criados indicadores da seguinte maneira: foi calculada a média das variáveis Temperatura, Umidade Relativa e Polui¸cão dos dias em que o PFE observado de uma determinada crian¸ca estava abaixo da sua própria mediana, desta forma cada crian¸ca terá um indicador para cada uma dessas variáveis.

Tabela 19: Coeficientes do Modelo B´asico de Regress˜ao Linear ˆ

β Erro Padr˜ao P-valor

(Intercepto) 249,9957 7,2496 <0,0001 (Temperatura) -1,3965 5,1075 0,7848 (Idade) 12,2934 2,7961 <0,0001 (Peso) 0,9609 0,5725 0,0951 (Altura) 2,0716 0,5970 0,0006 (Fumo Domiciliar) 3,4869 6,2254 0,5761 (Sexo Masculino) 10,9230 6,0270 0,0717 (Asm´atico) -5,5437 6,6144 0,4031

(49)

mantidas as mesmas variáveis nos dois modelos, sendo que no MRL não há variáveis relacionadas ao tempo.

Defasado 1 dia

\

P F Ej =245, 252102 − 0, 490323 × T emperaturaj + 12, 700229 × Idadej

+ 9, 868533 × I(SexoM ascj) − 4, 875436 × I(Asmaj) − 0, 189393 × P oluicao1j

Defasado 2 dias

\

Defasado 3 dias

\

Defasado 4 dias

\

(50)

\

P F Ej =241, 015746 − 1, 578378 × T emperaturaj+ 11, 928000 × Idadej

0, 900185 × P esoj+ 2, 158596 × Alturaj + 3, 860170 × I(F umoj)

+ 10, 705549 × I(SexoM ascj) − 5, 278727 × I(Asmaj)0, 542124 × P oluicao5j

Tabela 20: Efeitos da Polui¸c˜ao Single Lag para o aumento de 10 unidades Single Lag βˆ Intervalo de Confian¸ca (95%)

Lag1 -1,628 (-11,324 ; 8,067)

Lag2 -6,415 (-17,248 ; 4,417)

Lag3 -5,634 (-19,220 ; 7,951)

Lag4 -5,081 (-18,655 ; 8,492)

Lag5 5,421 (-6,019 ; 16,862)

Na Tabela 20 observa-se que nenhum dos efeitos da polui¸cão do PFE foi significativo ao n´ıvel de significância de 5%. O impacto no PFE do aumento de 10 unidades da polui¸cão com respectivos intervalos de confian¸cas de 95% foi de: −1, 628l/min (−11, 324; 8.067), −6, 415l/min (−17.248; 4, 417), −5, 634l/min (−19, 220; 7, 951), −5, 081l/min (−18, 655; 8, 492), 5, 421l/min (−6, 019; 16, 862), para as defasagens de 1, 2, 3, 4 e 5 dias da polui¸cão, respectivamente.

Tabela 21: Compara¸cão dos Intervalos de Confian¸ca do MRL e Modelo Linear Hierárquico Modelo de Regressão CV ( ˆ\β) Modelo Hierárquico CV ( ˆ\β)

(Intercepto) (231,698 ; 250,560) 0,020 (256,696 ; 274,031) 0,017 (Idade) (6,773 ; 17,813) 0,227 (6,561 ; 16,705) 0,221 (Peso) (-0,169 ; 2,091) 0,596 (0,407 ; 2,365) 0,359 (Altura) (0,892 ; 3,250) 0,288 (1,095 ; 3,160) 0,246 (Fumo Domiciliar) (-8,803 ; 15,777) 1,785 (-8,343 ; 13,542) 2,137 (Sexo Masculino) (-0,975 ; 22,821) 0,552 (0,337 ; 21,342) 0,492 (Asm´atico) (-18,602 ; 7,514) -1,193 (-12,328 , 12,257) -177,035

A Tabela 21 apresenta os intervalos de confian¸ca para os coeficientes da regressão obtidos pelo MRL e pelo Modelo linear hierárquico e seus respectivos coeficientes de varia¸cão estimados \CV ( ˆβ). As variáveis que foram significativas segundo a Tabela 8, ao n´ıvel de significância de 5%, apresentaram coeficientes de varia¸cão menores no modelo

(51)

a Tabela 8, o MRL apresentou coeficientes de varia¸c˜ao menores se comparado ao modelo linear hier´arquico.

(52)

5 Conclus˜

ao

Este trabalho avaliou os efeitos da polui¸cão atmosférica, medida pelo material par-ticulado inalável (PM10), no PFE de crian¸cas e adolescentes residentes no munic´ıpio de

Rio Branco. Foram usadas três abordagens metodológicas para avaliar estes efeitos. Na primeira foram estimados modelos lineares hierárquicos para as medidas defasadas de 1 a 5 dias da polui¸cão, com ajuste do efeito Single Lag, ou seja, cada defasagem foi in-clu´ıda no modelo separadamente. Na segunda também foram estimados modelos lineares hierárquicos, porém o ajuste da polui¸cão foi feito através do PDLM, com até cinco dias de defasagem e grau polinomial de ordem dois. Nesta abordagem foi poss´ıvel estimar o efeito global de 5 dias de exposi¸cão ao PM10. A última abordagem foi o ajuste de modelos

de regressão linear, com a agrega¸cão dos dados por indiv´ıduo e ajuste da polui¸cão pelo Single Lag. Nos modelos lineares hierárquicos foram observados efeitos significativos da exposi¸cão ao PM10 sobre o PFE. Para cada aumento de 10 unidades do PM10, os efeitos

no PFE segundo a abordagem Single lag variaram de −0, 110l/min a −0, 610l/min; en-quanto que para o PDLM a varia¸cão foi de −0, 092l/min a −0, 450l/min. O efeito global da polui¸cão foi de −1, 306l/min no PFE. Nos modelos de regressão linear não houveram efeitos significativos da polui¸cão no PFE. Em conclusão, os resultados corroboram com a literatura sugerindo a exposi¸cão a polui¸cão como fator de risco para a saúde respiratória dos escolares.

Quanto as limita¸cões deste resultado, algumas suposi¸cões como normalidade do termo de erro normalidade multivariada dos efeitos aleatórios não foram satisfeitas. Devido a problemas computacionais não foi poss´ıvel testar outros ajustes para a dependência dos dados alem do AR(1). Não foi poss´ıvel estimar a precisão dos efeitos da polui¸cão para cada crian¸ca. A biblioteca nlme ajusta o efeito aleatório da polui¸cão, por exemplo, porém não calcula a variância do efeito para cada crian¸ca.

Para trabalhos futuros seria importante fazer análises de sensibilidade, como exclusão de outliers, estratifica¸cões ou inclusão de termos de intera¸cão nos modelos, segundo as variáveis asma, faixas de idade, fumo no domic´ılio.