Componente curricular: Matemática e suas tecnologias – 7º ano Habilidades:
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e literatura.
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
AULA1. Sequências
Sequência é a ação de dar continuidade em alguma coisa que foi iniciado em etapa anterior. No caso de sequências numéricas, é importante descobrirmos um padrão para que possamos determinar (“adivinhar”) os termos anteriores e aqueles que estarão em uma determinada posição em etapa posterior.
Veja o exemplo da sequência de valores iniciados com a letra “d”
2, 10, 12, 16, 17 ... Perceba que o 1º termo é o 2. O 2º termo é o 10. O terceiro termo é o número 12 e assim por diante.
Note que temos um padrão de deslocamento desses valores e que estão “aparecendo” de acordo com a sua escrita ter o “d” como letra inicial. Fica evidente que o sexto termo será o 18 (dezoito), o sétimo termo será o 19 (dezenove) e assim por diante.
A figura a seguir representa uma sequência de fractais, onde a primeira figura geométrica (triângulo escuro) é inserida em tamanhos proporcionais no interior dessa mesma forma, gerando a sequência denominada de Sierpinsk.
GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO
A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA EEEFM SÃO FRANCISCO XAVIER
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA ANO/SÉRIE: 7º ANO PROFESSORES (AS) RESPONSÁVEIS: BRUNO ANDRADE DE SOUSA E MARCOS
BENEDITO SANTOS DIAS
... 1 3 9 27 81 243 ...
Esses tipos de sequências que não dependem dos termos anteriores para a determinação do termo seguinte são denominadas de sequências não recursivas. Veja agora a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Aparentemente pensamos que não há um padrão de regularidade. Mas se observamos mais atentamente iremos perceber que o próximo valor será sempre a soma dos valores anteriores. Veja:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (0+1), (1+1), (1+2), (2+3), (3+5), (5+8), ...
Fica evidente que o próximo termo dessa sequência será o 21 (8+13).
A sequência utilizada neste exemplo é denominada de sequência de Fibonacci (lê-se: “Fibonati”) e é encontrada em vários fenômenos da natureza como por exemplo
Esses fenômenos são modelados a partir de quadrados de áreas 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
Nesse caso, a quantidade de quadrinhos que irá compor a próxima figura depende da quantidade anterior adicionado com mais 2 unidades.
Esses tipos de sequência onde o próximo termo depende, isto é, precisa ser associado ao termo anterior, é denominada de sequência recursiva.
ATIVIDADE 1
1. Classifique as sequências a seguir em recursivas ou não recursivas.
a) 1, 4, 7, 10, 13, ... b) 5, 10, 15, 20, ... c) 2, 2, 4, 6, 10, 16,...
d) 0, 3, 3, 6, 9, 15, 24,... e) 1, 2, 4, 8, 16, ...
2. Dada a sequência numérica: 2, 7, 12, 17, ... Determine:
a) o primeiro termo; b) o quinto termo; c) o décimo termo.
3. (OBMEP/2010) Paula iniciou um plano de ginástica no qual os dias de treino são separados por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da semana cairá o centésimo treino?
4. (OBMEP-Adaptado) Carlos trabalha como vigilante e tem uma escala na qual os dias de serviço são separados por dois dias de descanso. Se o primeiro dia de serviço foi em uma segunda-feira, em qual dia da semana cairá o sexagésimo dia de serviço?
5. (OBMEP/2012) Um quadrado de lado 1 cm roda em torno de um quadrado de lado 2 cm, como na figura, partindo da posição inicial e completando um giro cada vez que um de seus lados fique apoiado em um lado do quadrado maior.
Qual das figuras a seguir representa a posição dos dois quadrados após o 2012º giro?
Habilidades:
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar a relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
AULA 2. Representação algébrica de sequências Observe a sequência numérica a seguir 2, 5, 8, 11, ...
Se tomarmos o 3 e multiplicá-lo pelo número referente à sua própria posição obteremos os resultados não compatíveis com os valores expostos na sequência.
3.1 = 3 (o 1º termo é o 2) 3. 2 = 6 (o 2º termo é o 5) 3. 3 = 9 (o 3º termo é o 8)
Para determinarmos a forma algébrica dessa situação, devemos primeiro ajustá-la fazendo com que os resultados sejam os mesmos apresentados na sequência. Fica claro então que além da multiplicação por 3, devemos subtrair o resultado por 1, veja: 3. 1 – 1 = 2
3. 2 – 1 = 5
3. 3 – 1 = 8 e assim por diante.
Fica visível agora que somente uma coluna de valores estão variando. Esses valores de forma geral podem ser substituídos por símbolos ou letras e sendo apresentadas de forma algébrica, sendo esses símbolos ou letras chamados de variável.
Nesse exemplo temos a seguinte forma algébrica 3x – 1. Com isso, podemos descobrir um valor em qualquer posição dessa sequência, por exemplo, o valor localizado no 80º termo será o 239, veja:
3. 80 – 1
240 – 1 = 239. Esse valor procurado, nesse caso o 239, é chamado de incógnita (dúvida em grego).
Veja essa situação.
Dona Maria vende cada litro de açaí por 7 reais. Além disso, dona Maria cobra uma taxa fixa de 2 reais para entregar o açaí em domicílio. Veja como ficaria essa sequência 9, 16, 23, 30, ... (7x + 2)
Litros $ por litro Taxa Valor a pagar
1 7 2 7.1 + 2 = 9
2 7 2 7. 2 + 2 = 16
3 7 2 7. 3 + 2 = 23
... ... ... ...
x 7 2 7.x + 2
Ficou claro que a letra pode substituir qualquer valor ? por isso é chamada de variável.
2, 4 ,6, 8, 10, ... como essa sequência está variando em múltiplos de 2, podemos escrevê-la algebricamente da seguinte forma 2x
Se incluirmos o zero, teremos 0, 2, 4, 6, 8, 10. Nesse formato, a forma algébrica será escrita 2x – 2.
Você sabe que perímetro de uma forma geométrica é a dada pela soma de todos os seus lados. Veja a figura a seguir.
Agora veja como ficaria a forma algébrica do perímetro de uma forma geométrica plana.
ATIVIDADE 2
1. Dada a sequência 1, 5, 9, 13, ... Determine:
a) Qual é o 5º termo? b) a expressão algébrica que define essa sequência.
2. Invente ( FORMULE ) uma expressão algébrica e escreva os primeiros 7 termos presentes nela.
c) Considerando a figura a seguir formada por três quadrados, determine a forma algébrica desse perímetro.
4. Dada a expressão algébrica 5x – 2. Determine o valor numérico dessa expressão considerando a incógnita “x” igual a:
a) 3 b) 0 c) – 3
5. Observe a expressão algébrica a² + 6b – 7 e determine: a) O valor numérico para a = – 4 e b = 3
b) A expressão algébrica considerando a incógnita b = 1
c) A expressão algébrica considerando a incógnita a = 3
AULA 3. Equação
A palavra equação vem do grego equale, que significa igual. Na linguagem matemática, o símbolo para substituir essa palavra é o “ = ”.
Podemos traduzir a frase “três mais dois é igual a 5” para a linguagem matemática da seguinte forma 2 + 3 = 5.
O lado esquerdo da igualdade (2 + 3) é chamado de 1º membro e o lado direito (5) da igualdade, 2º membro.
Em toda igualdade, temos as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. Veja cada uma delas.
1ª) Reflexiva: garante que o 1º membro tenha o mesmo valor do 2º membro. Exemplos:
i) 3 = 3 ii) 4x = 4x iii) a – 8 = a – 8
2ª) Simétrica: permite a troca de ambos os lados sem alterar os valores Exemplos:
i) 2 + 6 = 8 ⇔ 8 = 2 + 6 ii) 2x – 5 = 9 ⇔ 9 = 2x – 5 3ª) Transitiva: garante que se a = b e b = c, então a = c
Exemplos:
i) Se 4 + 3 = 7 e 8 – 1 = 7, então 4 + 3 = 8 – 1, pois ambos os membros são 7.
Vamos entender as equações por meio de uma situação comum do nosso dia-a-dia. Observe a balança a seguir e que está em equilíbrio em seus dois pratos, isto é, possuem o mesmo “peso” em ambos os membros.
Podemos modelar matematicamente essa situação escrevendo-a da seguinte forma x + 5 = 13. A nossa incógnita (dúvida) aqui é o x, que nesse caso tem valor igual a 8, pois 8 + 5 = 13.
Poderíamos também resolver essa equação isolando a incógnita “x” no 1º membro e passando os demais valores para o 2º membro com a sua operação inversa. Veja: x + 5 = 13
Isolando a incógnita “x” e passando o 5 com a operação inversa (adição para subtração), temos
x = 13 – 5 x = 8
Veja essa outra situação.
Aqui temos x + x + 5 = 13 2x + 5 = 13
2x = 13 – 5 2x = 8
Isolando a incógnita “x” e passando o 5 com a operação inversa (multiplicação para divisão), temos
x = 8/2, portanto, x = 4
Perceba que x + x + 5 = 13. Como x = 4, temos a confirmação que 4 + 4 + 5 = 13.
Um desafio para você!
Escreva a situação a seguir em linguagem de equação, apresente o valor de cada fruta e descubra o valor representado pelo símbolo “?”.
ATIVIIDADE 3
1. Marque com um círculo quais das sentenças matemáticas a seguir não são consideradas equações?
a) x + 7 = 12 b) x + 7 ≠ 12 c) x – 2 ≤ 10
d) y = – 10 e) 3a + 1 = 10 f) 2y – 6 ≥ 4
2. Veja as equações abaixo.
Quantas incógnitas há
a) na 1ª equação? b) na 2ª equação?
3. Escreva sob a forma de equação as sentenças propostas abaixo, sem precisar apresentar o valor da incógnita.
a) Um número “x” mais cinco é igual a 15.
b) o dobro de um número “x” menos três é igual a sete. c) Se subtrairmos um número “x” de 40, obtemos 20.
d) O triplo de um número y, adicionado a 20, resulta em 35
4. Determine a raiz (incógnita) das equações a seguir.
a) x + 12 = 15 b) y – 10 = – 8 c) m + 3 = – 7 d) 2x + 8 = 20 e) 5x – 2 = 3x + 18 f) 3x = 2x – 6 ATIVIDADE 4; 1.Resolva as equações: a) X + 5 = 8 b) X – 4 = - 3 c) X + 6 = 5 d) X – 7 = - 7 e) X + 9 = - 1 f) X + 28 = 11 g) X – 109 = 5 h) X – 39 = - 79
j) 15 = x + 20 k) 4 = x – 10 l) 7 = x + 8 m) 0 = x + 12 n) – 3 = x + 10 EXERCÍCIOS DE APOIO
EXERCÍCIO 1 :PÁGINA 138 DO LIVRO “ A CONQUISTA DA MATEMÁTICA” QUESTÕES DE 1 A 8, OU SEJA, 1ª,2ª,3ª,4ª,5ª,6ª,7ª E 8ª
EXERCÍCIO 2: PÁGINA 139 DO LIVRO “ A CONQUISTA DA MATEMÁTICA” QUESTÕES 1 E 2, OU SEJA, 1ª E 2ª
Referência
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNC C_20dez_site.pdf. Acesso em: 20 de julho de 2020.
JÚNIOR, José Ruy Giovanni; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. 7º ano. 4ª Ed. São Paulo: FTD, 2018.
ASSIS, Cleber, MIRANDA, Tiago e FEITOSA, Samuel. Banco de questões OBMEP/IMPA.Brasília, 2018. Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/bq2018.pdf. Acesso em 12 de agosto de 2020.
SOARES, Douglas Ferreira. Padrões em sequência numérica. Nova escola, 2018. Disponível em
