i
Modelação do campo de velocidades associado à
propagação de ondas de superfície
António Ribeiro Pires
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientadores:
Professor António Alberto Pires Silva
Doutora Conceição Juana Espinosa Morais Fortes
Júri
Presidente: Professor António Alexandre Trigo Teixeira
Orientador: Doutora Conceição Juana Espinosa Morais Fortes
Vogais: Professor João Alfredo Ferreira dos Santos
Professor António Bento Franco
iii
Resumo
Esta dissertação teve como objetivo a implementação e avaliação do desempenho do programa OpenFOAM na simulação das experiências em canal efetuadas por Klopman e Umeyama, bem como na simulação da propagação de ondas no canal de largura variável e perfil longitudinal do fundo também variável, do LNEC. Desta forma, pretende-se adquirir um melhor conhecimento do programa na modelação de escoamentos provocados pela propagação de ondas de gravidade de superfície em canal.
A propagação de ondas de gravidade de superfície induz um campo de velocidades na coluna líquida, as velocidades orbitais 𝑈⃗⃗ . Estas velocidades vão ser avaliadas através dos perfis verticais da velocidade média horizontal, da amplitude da velocidade horizontal e das intensidades turbulentas.
A propagação de ondas no programa OpenFOAM foi feita através da utilização do IHFOAM, um conjunto de solvers e condições de fronteira que permitem, por um lado, a geração de ondas de naturezas diferentes, e por outro, a absorção ou dissipação dessas mesmas ondas nas fronteiras do canal que aproximam as condições naturais. É, no essencial, um solver utilizado para a modelação de escoamentos bifásicos, como é o caso, com ar e água presentes nos canais. O OpenFOAM baseia-se nas equações Navier-Stokes com média de Reynolds (RANS -
Reynolds-Averaged Navier-Stokes) e possui vários modelos de fecho de turbulência disponíveis,
permitindo a correta simulação da propagação de ondas. O programa utiliza também o método dos volumes finitos (Volume of Fluid, VOF) para determinar em cada instante a posição e evolução da superfície livre.
Assim, no decorrer desta dissertação foram efetuadas diferentes simulações para cada caso de estudo. Os primeiros casos apresentam uma configuração mais simples, uma vez que as experiências foram realizadas em canais com fundo plano por oposição ao canal de ondas do LNEC, onde existe variação em planta e em perfil. Foram modeladas diferentes ondas, cada uma delas com diferentes modelos de fecho de turbulência associados.
Palavras-Chave: OpenFOAM, IHFOAM, propagação de ondas, modelos de fecho de turbulência, velocidades orbitais
v
Abstract
The main goal of this study is to implement and evaluate the behavior of the software OpenFOAM in simulating the experiences of Klopman and Umeyama, as well as the variable width and bottom profile wave flume located in LNEC. By doing this, we intend to acquire a better understanding of the program in the modelling of flows caused by the propagation of surface gravity waves in a flume.
The propagation of surface gravity waves induces a velocity field in the water column, the orbital velocities 𝑈⃗⃗ . These velocities will be evaluated through the vertical profiles of mean horizontal velocity, horizontal velocity amplitude and turbulent quantities.
The propagation of waves with the program OpenFOAM has been made by using IHFOAM, a set of solvers and boundary conditions that allow the generation and absorption of waves in boundaries. It is, essentially, a solver used in modelling of two-phase flows, as is this case study. OpenFOAM is based upon the Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) equations and it has several turbulence closure models available, allowing the correct simulation of the wave propagation. The program uses the Volume of Fluid (VOF) method to determine, at every time step, the position and evolution of the free surface.
So, in this dissertation different simulations have been carried out for each case study. The first experiences have a much simpler configuration, since those experiences were performed in wave flumes with a horizontal bottom and the one in LNEC has variations in width and bottom profile. Bearing this, different waves were modelled, each of those waves with two turbulence closure model associated.
Keywords: OpenFOAM, IHFOAM, wave propagation, turbulence closure models, orbital velocities
vii
Índice
Resumo
... iii
Abstract ... v
Índice de Figuras
... ix
Índice de Tabelas ... xi
Lista de Símbolos ... xiii
Capítulo 1
... 1
1.1 Enquadramento ... 1
1.2 Objetivos ... 2
1.3 Organização da dissertação
... 3
Capítulo 2. Teoria linear de onda ... 4
2.1 Estados de mar ... 4
2.2 Onda de gravidade de superfície
... 5
2.3 Condições de fronteira cinemáticas ... 7
2.4 Condição de fronteira dinâmica ... 7
2.5 Função potencial de velocidade
... 7
2.6 Solução da equação de Laplace ... 8
Capítulo 3 Modelação matemática ... 10
3.1 Escoamentos turbulentos
... 10
3.2 Equações RANS ... 11
3.3 Modelos de fecho de turbulência ... 12
3.3.1 Viscosidade turbulenta
... 13
3.3.2 Modelo 𝒌 − 𝜺 ... 14
3.3.3 Modelo 𝒌 − 𝝎 𝑺𝑺𝑻 (Shear Stress Transport) ... 14
3.3.4 Comparação entre modelos
... 15
Capítulo 4 Modelação Numérica ... 18
4.1 OpenFOAM ... 18
4.2 IHFOAM
... 19
4.3 Método VOF ... 20
4.4 Condições de fronteira ... 22
Capítulo 5 Casos de estudo e resultados
... 24
5.1 Experiência de Klopman (1994) ... 24
viii
5.1.2 Modelação numérica da experiência ... 25
5.1.3 Apresentação de resultados ... 27
5.2 Experiência de Umeyama (2005)
... 33
5.2.1 Descrição da experiência ... 33
5.2.2 Modelação numérica da experiência ... 34
5.2.3 Apresentação de resultados
... 35
5.3 Experiência de Neves et al (2012) ... 45
5.3.1 Descrição da experiência ... 45
5.3.2 Modelação numérica da experiência
... 46
Capítulo 6 Conclusões ... 54
ix
Índice de Figuras
Figura 2.1 - Método de descrição de um estado de mar (adaptado de (WMO, 1998)) ... 4
Figura 2.2 – Perfil de uma onda harmónica, com a identificação das principais características (adaptado de (WMO, 1998)) ... 5
Figura 2.3 - Efeitos na coluna líquida provocados pela propagação de uma onda (adaptado de (WMO, 1998)) ... 6
Figura 4.1 - Estrutura de código numérico OpenFOAM (adaptado de OpenFoam Manual (Foundation, 2014)) ... 19
Figura 5.1 - Esquema da experiência realizada por Klopman (adaptado de Klopman(1994)) ... 25
Figura 5.2 - Gráfico com perfil vertical da velocidade média horizontal ... 28
Figura 5.3 - Gráfico com perfil vertical de velocidade média horizontal, com escala semi-logarítmica ... 29
Figura 5.4 – Gráfico com perfil vertical de amplitude de velocidade horizontal ... 31
Figura 5.5 – Gráfico com o perfil vertical de amplitude de velocidade horizontal, com escala semi-logaritmica ... 32
Figura 5.6 - Esquema da experiência realizada por Umeyama (adaptado de Umeyama (2005)) ... 33
Figura 5.7 – Gráfico com o perfil vertical de velocidade média horizontal para a onda W1 ... 36
Figura 5.8 – Gráfico com perfil vertical de velocidade média horizontal para a onda W2 ... 37
Figura 5.9 – Gráfico com perfil vertical de velocidade média horizontal para a onda W3 ... 38
Figura 5.10 – Gráfico com perfil vertical de velocidade média horizontal para a onda W4 ... 39
Figura 5.11 – Gráfico com perfil vertical das tensões de Reynolds, para a onda W1 ... 40
Figura 5.12 – Gráfico com perfil vertical de tensões de Reynolds para a onda W2 ... 41
Figura 5.13 – Gráfico com perfil vertical de tensões de Reynolds para a onda W3 ... 42
Figura 5.14 – Gráfico com perfil vertical de tensões de Reynolds para a onda W4 ... 43
Figura 5.15 – Perfil longitudinal do fundo do canal utilizado na experiência de Neves et al. (2012) ... 45
Figura 5.16 – Esquema da planta do canal de ondas utilizado na experiência de Neves et al. (2012) ... 46
Figura 5.17 – Gráfico com a série temporal da velocidade horizontal na posição x=-900 cm (Dados da experiência de Neves et al. (2012)) ... 48
Figura 5.18 – Gráfico com série temporal da velocidade horizontal na posição x=-900 cm (Dados das simulações realizadas) ... 49
Figura 5.19 – Gráfico com evolução espacial da média da velocidade horizontal ... 50
Figura 5.20 – Gráfico com evolução espacial do desvio padrão da velocidade horizontal ... 51
Figura 5.21 – Gráfico com evolução espacial da assimetria da velocidade horizontal ... 52
xi
Índice de Tabelas
Tabela 5.1 - Dados das diferentes ondas geradas ao longo da experiência de Umeyama (2005) ... 34 Tabela 5.2 – Dados das diferentes ondas geradas ao longo da experiência de Neves et al. (2012) ... 46
xiii
Lista de Símbolos
a – amplitude de onda H – altura de onda T – período de onda λ – comprimento de onda η – elevação de superfície livre p - pressãoρ – densidade
ω – velocidade angular k – número de onda d - profundidade
φ – função potencial de velocidade
𝑉𝑠 – velocidade caracterísica do escoamento turbulento
𝐿𝑠 – comprimento característico do escoamento turbulento
𝜈𝑡 – viscosidade turbulenta
𝜈 – viscosidade
𝑘 – energia cinética turbulenta
𝜀 – dissipação de energia cinética turbulenta
𝜔 – taxa de dissipação de energia cinética turbulenta 𝑈⃗⃗ – vector de velocidades orbitais
1
Capítulo 1 Introdução
1.1 Enquadramento
A extensão da linha costeira em Portugal torna da maior importância o estudo e domínio das características hidrodinâmicas de estados do mar, nomeadamente os efeitos provocados pela propagação de ondas nas zonas costeiras e portuárias. Tanto ao nível de proteção costeira como para fins de aproveitamento energético ou para transporte de sedimentos pelas ondas, este conhecimento é essencial para opções fundamentadas serem tomadas relativamente a estas matérias.
Em Portugal, as atividades relacionadas com o mar sempre tiveram grande preponderância social e económica. Os recursos disponibilizados pelo mar são vastos e é, por isso, importante a constante melhoria da compreensão e do domínio do comportamento hidrodinâmico do mar e, em especial, das ondas.
Como parte dos estudos efetuados, a modelação experimental tem sido utilizada para a compreensão do comportamento referido. A modelação experimental fornece resultados de grande qualidade e é uma das principais ferramentas utilizadas neste âmbito. Apesar disso, apresenta custos elevados e os resultados demoram bastante tempo até estarem disponiveís. Neste sentido, a modelação numérica tem vindo a tornar-se uma alternativa muito utilizada, por apresentar a possibilidade de simular qualquer tipo de experiência, bem como por requerer tempos de simulação muito menores que no caso da modelação experimental.
Neste âmbito, o desenvolvimento da Dinâmica de Fluidos Computacional (CFD) permite que existam, nesta altura, diferentes ferramentas para a modelação numérica de escoamentos turbulentos, evitando-se, assim, a realização de experiências muito morosas e com custos operacionais bastante elevados.
O código numérico OpenFOAM foi o escolhido para fazer o estudo em questão. Este código permite o cálculo de velocidades e a adoção de diferentes modelos de fecho de turbulência, essenciais para o estudo que se pretende realizar. O código é aberto, disponível sem custos e é utilizado em ambiente Linux, do qual é exemplo o Ubuntu 12.04, utilizado ao longo deste trabalho. Apesar das vantagens que o OpenFOAM apresenta, este ainda não está suficientemente testado e, assim, torna-se importante a avaliação do desempenho do mesmo neste tema. Esta avaliação será feita por comparação com os resultados de experiências laboratoriais. Deste modo, ao longo desta dissertação será estudada a propagação de ondas em canais, através da modelação numérica de experiências realizadas sobre o tema para assim avaliar o desempenho do software OpenFOAM.
2
Como parte do estudo deste comportamento e seus efeitos, realizaram-se experiências laboratoriais onde a propagação de ondas foi simulada em canais. Como se verá no capítulo seguinte, o estudo dos efeitos da propagação de uma onda é relevante para o estudo dos efeitos de um estado de mar.
As experiências que serão tema desta dissertação são as descritas pelos trabalhos de Klopman (1994), Umeyama (2005) e Neves et al. (2012).
Na realidade, os trabalhos de Klopman (1994) e Umeyama (2005) tinham como objetivo principal o estudo da propagação em canal de ondas, de correntes e também a propagação simultânea de correntes e ondas. Ao longo do presente trabalho o objetivo foi o estudo da propagação de apenas ondas em canal e, assim, apenas essa vertente dos trabalhos referidos será abordada. O estudo dos efeitos da propagação de ondas em canal tem diversas abordagens possíveis. De facto, é possível adotar-se um perfil longitudinal de fundo variável, como no trabalho de Neves et al. (2012), ou constante, como nas duas outras experiências estudadas. A geometria em planta do canal também pode ser variável ou constante. As condições de geração e absorção de ondas têm um papel importante na propagação das ondas, bem como a presença de obstáculos completamente ou parcialmente submersos, como é possível verificar na dissertação de Mesquita (2012).
Os trabalhos referidos acima, cujos dados serão comparados com os resultados obtidos ao longo desta dissertação, mostram o interesse que este tema revela. Outros estudos com o propósito de formalizar os efeitos da propagação de ondas na coluna líquida foram realizados ao longo do tempo, como o trabalho de Rivero e Arcilla (1995), onde é abordada a correlação entre velocidades horizontal e vertical, a distribuição vertical de 〈𝑢̃𝑣̃〉. O trabalho de Zou (2003) tem como objetivo a descrição da estrutura da coluna de água de ondas de gravidade a propagarem-se sobre um canal com fundo inclinado. Também na experiência de Lara et al. (2006) foram estudadas tanto experimentalmente como numericamente os efeitos de um fundo inclinado rugoso na propagação e rebentação de ondas, particularmente ao nível da velocidade, pressão e elevação de superfície livre. No trabalho desenvolvido por Lin & Liu (1998), através da aplicação de um modelo de turbulência e o método VOF, foi estudada a evolução da propagação de ondas.
1.2 Objetivos
Esta dissertação tem por objetivo a avaliação do desempenho do código numérico OpenFOAM na simulação da propagação de ondas de diferentes características em fundos de profundidade
3
constante e variável. Para este efeito foram simuladas numericamente com o OpenFOAM as experiências de Klopman (1994), Umeyama (2005) e Neves et al. (2012) e comparados os resultados com as medições de velocidade e elevações de superfície livre obtidas em canais, considerando a propagação de ondas de diferentes características, nomeadamente período e altura.
Esta dissertação apresenta, assim, os seguintes objetivos:
Avaliação do desempenho do código numérico OpenFOAM na simulação de escoamentos turbulentos, em particular a propagação de ondas em canal;
Análise das diferenças de resultados numéricos em função do modelo de fecho de turbulência escolhido;
Comparação dos resultados obtidos através do OpenFOAM com os resultados das experiências de Klopman (1994), Umeyama (2005) e Neves et al (2012);
Interpretação dos resultados obtidos.
1.3 Organização da dissertação
Esta dissertação começa por apresentar uma introdução ao trabalho no Capítulo 1.
No Capítulo 2 é introduzida a teoria linear da onda, que simplifica a descrição do movimento de propagação de uma onda harmónica, bem como as condições de fronteira associadas a esses movimentos
No Capítulo 3 descreve-se a modelação matemática da propagação de ondas num canal, especificamente as equações que descrevem o movimento associado a este fenómeno.
No Capítulo 4 apresenta-se uma descrição de modelação numérica, nomeadamente do software OpenFOAM e da ferramenta IHFOAM. São ainda descritas as condições iniciais e de fronteira necessárias à correta definição das simulações a realizar.
No Capítulo 5 são descritos os três casos de estudo abordados ao longo deste trabalho seguido da apresentação dos resultados obtidos para cada caso, seguindo-se a análise dos mesmos resultados comparando-os com os dados originais das experiências laboratoriais.
4
Capítulo 2. Teoria linear de onda
2.1 Estados de mar
Como foi referido no capítulo anterior, pretende-se conhecer os efeitos do estado de mar. Os estados de mar são altamente instáveis e a sua simulação passa por assumir que um estado de mar é visto como a soma de contribuições de um certo número de ondas harmónicas individuais, como se observa na Figura 2.1.Com esta formulação é possível aproximar qualquer estado de mar, através da soma de diferentes componentes com características diferentes, como direcção, fase, amplitude. Após a definição do estado de mar, através de uma análise estatística os parâmetros característicos desse estado de mar são obtidos, dos quais são exemplos o período médio ou a altura significativa.
5
2.2 Onda de gravidade de superfície
Ao longo desta dissertação as ondas alvo de estudo são ondas de gravidade de superfície, ou seja, ondas em que a gravidade é a força restauradora da situação de equilíbrio. A forma mais simples de descrever a onda é através da onda sinusoidal, ou harmónica, de crista longa. Como se verifica na Figura 2.2, a onda sinusoidal tem uma oscilação periódica, aproximando-se da forma de uma função seno. A onda é definida como sendo de crista longa para que a descrição seja simplificada para duas dimensões, ou seja, considera-se que a crista é infinitamente longa na direcção do eixo y.
Figura 2.2 – Perfil de uma onda harmónica, com a identificação das principais características (adaptado de (WMO, 1998))
Na Figura 2.2, o eixo z tem a mesma direcção que η e o eixo y tem direcção perpendicular aos eixos x e z. Como referido acima, a onda em estudo é de crista longa, logo invariável na direcção do eixo y.
Como visto na Figura 2.2, a onda é caracterizada por parâmetros, entre os quais se destacam: Amplitude (a): é a máxima distância da superfície livre até ao nível de repouso
Altura (H): é a distância entre crista e cava de uma onda.
Período (T): é o intervalo de tempo entre a passagem de duas ondas consecutivas, medido na mesma posição.
Frequência (f): é o inverso do período
Comprimento de onda (λ): é a distância entre a mesma posição de duas ondas consecutivas.
Celeridade ou velocidade de fase ©: é a velocidade a que a fase da onda se desloca. A declividade da onda (δ): é o rácio entre a altura e o comprimento de onda.
Ao propagarem-se, as ondas impõem uma perturbação ao longo da coluna líquida, ficando as partículas da coluna líquida animadas de um campo de velocidades, as velocidades orbitais,
6
como se observa na Figura 2.3. É, assim, bastante importante o conhecimento dos efeitos provocados pela propagação das ondas nas partículas ao longo da coluna líquida.
Figura 2.3 - Efeitos na coluna líquida provocados pela propagação de uma onda (adaptado de (WMO, 1998))
A propagação de uma onda de superfície de gravidade pode ser descrita pela teoria linear da onda. A teoria linear baseia-se em duas equações: a equação da massa (2.1) e as equações de equilíbrio de quantidade de movimento (2.2), (2.3) e (2.4). Como descrito no trabalho de Holthuijsen (2007), as equações são as que se seguem:
𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 (2.1) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥 (2.2) 𝜕𝑣 𝜕𝑡 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑦 (2.3) 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = − 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑧− 𝑔 (2.4)
7
As equações (2.1), (2.2), (2.3) e (2.4) são resolvidas para determinadas condições de fronteira. É necessário impor condições de fronteira para a definição do problema e a sua resolução ser possível. Estas condições podem ser dinâmicas e cinemáticas.
2.3 Condições de fronteira cinemáticas
Na superfície livre, a condição cinemática impõe que as partículas não podem sair da superfície, ou seja, a velocidade da partícula na direcção normal à superfície tem de ser igual à velocidade da superfície na mesma direcção. Esta condição, depois de linearizada, é descrita pela expressão seguinte:
𝑤 =𝜕𝜂
𝜕𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 (2.5)
Na superfície sólida, no fundo do canal, a condição cinemática garante que as partículas não penetrem o fundo, ou seja, a velocidade na direcção normal ao fundo (direcção vertical porque o fundo é horizontal) deve ser nula. Na equação (2.6) está descrita a condição cinemática de fundo:
𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −𝑑 (2.6)
2.4 Condição de fronteira dinâmica
A expressão da condição de fronteira dinâmica na superfície livre está representada na equação (2.7):
𝑝 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 (2.7)
2.5 Função potencial de velocidade
A determinação de soluções analíticas para as equações de equilíbrio e condições de fronteira é um processo pesado mas que é contornado através da definição da função potencial de velocidade, 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Esta função é definida como tendo derivadas espaciais iguais às velocidades orbitais:
8
𝑢 =𝜕𝜑 𝜕𝑥 , 𝑣 = 𝜕𝜑 𝜕𝑦 , 𝑤 = 𝜕𝜑 𝜕𝑧 (2.8)A função potencial só existe se o movimento das partículas presentes no fluido for irrotacional, o que acontece nos casos de que esta teoria trata. O escoamento é considerado irrotacional assumindo que os efeitos da camada limite podem ser confinados a uma pequena camada junto ao fundo e a uma outra camada ainda menos espessa junto à superfície livre.
Com a introdução da função potencial, é possível reescrever a equação (2.1), formando a equação de Laplace que toma a forma seguinte:
𝜕2𝜑 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝜑 𝜕𝑦2+ 𝜕2𝜑 𝜕𝑧2 = 0 (2.9)
As condições de fronteira cinemáticas enunciadas acima podem ser escritas recorrendo a função potencial de velocidades, 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), resultando:
𝜕𝜑 𝜕𝑧 = 𝜕𝜂 𝜕𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 (2.10) 𝜕𝜑 𝜕𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −𝑑 (2.11)
Também as equações de quantidade de movimento podem ser expressas utilizando a função 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), obtendo-se a equação de Bernoulli linearizada:
𝜕𝜑 𝜕𝑡 +
𝑝
𝜌+ 𝑔𝑧 = 0 (2.12)
A condição de fronteira dinâmica pode também ser reescrita, resultando na equação (2.13): 𝜕𝜑
𝜕𝑡 + 𝑔𝜂 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 (2.13)
9
A solução da equação de Laplace para uma onda harmónica de crista longa é dada pela expressão seguinte:
𝜂(𝑥, 𝑡) = 𝑎 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) (2.14)
Com a seguinte função potencial de velocidade:
𝜑 = 𝜑̂ cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑐𝑜𝑚 𝜑̂ =𝜔𝑎 𝑘
cosh[𝑘(𝑑 + 𝑧)]
sinh(𝑘𝑑) (2.15)
A equação (2.14) descreve a propagação de uma onda segundo o eixo positivo x.
A partir do potencial de velocidade, podem ser obtidas as velocidades orbitais, recorrendo às relações expressas na equação (2.8):
𝑢 = 𝑢̂ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑐𝑜𝑚 𝑢̂ = 𝜔𝑎cosh[𝑘(𝑑 + 𝑧)]
sinh(𝑘𝑑) (2.16)
𝑤 = 𝑤̂ cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑐𝑜𝑚 𝑤̂ = 𝜔𝑎sinh[𝑘(𝑑 + 𝑧)]
10
Capítulo 3 Modelação matemática
3.1 Escoamentos turbulentos
Na Hidráulica, como em muitas outras áreas da mecânica de fluidos, os escoamentos são muitas vezes turbulentos. Segundo Cohen et al. (2012), os escoamentos turbulentos apresentam as seguintes características:
Flutuações: Os escoamentos turbulentos apresentam flutuações nos campos característicos do escoamento como velocidade, pressão ou temperatura, sendo estas irregulares e imprevisíveis;
Vorticidade: É possível identificar num escoamento turbulento a presença de elementos em constante rotação, os vórtices. A turbulência envolve sempre um intervalo de dimensões desses vórtices;
Não-linearidade: Os escoamentos turbulentos são altamente não lineares. A turbulência ocorre quando um parâmetro representativo excede um certo limite. Esta não linearidade dos escoamentos turbulentos é também evidente na deformação dos vórtices característicos destes escoamentos;
Difusividade: As taxas de transferência de massa, quantidade de movimento e energia são bastante elevadas. A difusividade é uma característica da turbulência que é responsável pelas trocas de quantidade de movimento entre o escoamento e a envolvente.
Um processo característico dos escoamentos turbulentos é a denominada “cascata de energia”. Segundo Rodi (1993), os vórtices de maiores dimensões, associados às flutuações de pequena frequência são determinados pelas condições de fronteira do escoamento e a sua dimensão é da mesma magnitude do domínio do escoamento. Por outro lado, os vórtices de menor dimensão, associados às flutuações de alta frequência são determinados pelas forças associadas à viscosidade. Segundo o mesmo autor, os vórtices de maior dimensão interagem com o escoamento médio (devido à semelhança de escalas) extraindo assim energia cinética desse escoamento e introduzindo-o no movimento turbulento de larga escala.
Os vórtices podem ser considerados como elementos que se deformam entre si. Esta deformação, essencial no movimento turbulento, faz com que a energia seja gradualmente transferida para os vórtices de menor dimensão até que as forças de viscosidade dissipem a energia nos vórtices menores. É este o processo da cascata de energia.
11
3.2 Equações RANS
As equações RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) são utilizadas na descrição de escoamentos turbulentos, como são aqueles presentes ao longo das simulações realizadas nesta dissertação. Nesta secção estas equações vão ser enunciadas, partindo das equações de movimento para fluidos viscosos e incompressíveis, as equações de Navier-Stokes.
Como primeiro passo para se chegar às equações RANS procede-se à decomposição de Reynolds (1894), em que se considera que uma quantidade instantânea (𝑢) pode ser decomposta numa componente correspondente à média temporal (𝑢̅) e numa componente flutuante ou turbulenta (𝑢′). Em termos matemáticos, a decomposição de Reynolds toma a forma
seguinte:
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢′ (3.1)
A média temporal é definida pela expressão seguinte:
𝑢̅ = 1
∆𝑡∫ 𝑢⃗ 𝑑𝑡
𝑡+∆𝑡 𝑡
(3.2)
O intervalo de tempo ∆𝑡 deve ser escolhido de modo a filtrar as flutuações, associadas às altas frequências, ou seja, escalas temporais menores. O intervalo de tempo ∆𝑡 deve também ser de tal forma que as propriedades médias do escoamento sejam preservadas.
É possível afirmar então:
𝑢̅ = 0 ′ (3.3)
Aplicando a decomposição de Reynolds às equações de Navier-Stokes, resultam equações médias no domínio do tempo, as equações RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). Para um escoamento incompressível, estas equações tomam a seguinte forma:
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑖 = 0 (3.4) 𝜌𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑡 + 𝜌𝑢̅𝑗 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗= − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥𝑖+ 𝜌𝑔𝑖+ 𝜕 𝜕𝑥𝑗[𝜇 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗− 𝜌𝑢𝑖 ′𝑢 𝑗′ ̅̅̅̅̅̅] (3.5) onde 𝑢𝑖 - vetor velocidade
12
𝑝 – pressão 𝜌 – densidade
𝜇 – viscosidade molecular
Na equação (3.5), relativamente às equações de Navier-Stokes, aparece um termo extra: −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅. 𝑖′𝑢𝑗′
Este termo tem dimensões de tensões e é designado por tensor de Reynolds. A presença deste termo torna as equações RANS num sistema indeterminado: existem apenas 4 equações disponíveis (as 3 componentes das equações RANS de velocidade (3.5) e a equação de conservação da massa (3.4)) para mais de 4 incógnitas (as 3 componentes do vetor velocidade, a pressão média e as tensões de Reynolds).
Se o operador média continuasse a ser aplicado à equação (3.5), obter-se-iam mais equações mas também surgiriam novas correlações da mesma forma de −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅ mas de ordem superior. 𝑖′𝑢𝑗′
Este ciclo infinito tem de ser fechado, através de aproximações que relacionem as tensões de Reynolds com os valores médios do vetor velocidade, para a resolução do sistema e assim surgem os modelos de fecho de turbulência.
3.3 Modelos de fecho de turbulência
Como foi descrito no ponto 3.2, o processo de média de Reynolds aplicado às equações de Navier-Stokes introduziu o termo −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅, correspondente às tensões de Reynolds. Nesta forma, 𝑖′𝑢𝑗′
as equações já não constituem um sistema fechado e é necessária a introdução de um modelo de turbulência que permita o fecho do sistema.
Um modelo de fecho de turbulência é um modelo matemático de processos de transporte turbulento. Os modelos de turbulência baseiam-se em hipóteses acerca dos processos turbulentos. É de notar que os modelos de turbulência utilizados nesta dissertação, RAS (Reynolds Averaged Simulation), não simulam pormenores do escoamento turbulento mas sim o efeito da turbulência no comportamento médio do escoamento. Há diferentes tipos de modelos de fecho de turbulência, como os modelos DNS (Direct Numerical Simulation) e LES (Large Eddy
Simulation), que descrevem pormenorizadamente a simulação.
As equações RANS podem ser resolvidas apenas quando as correlações 𝑢̅̅̅̅̅̅ são conhecidas o 𝑖′𝑢𝑗′
que torna este um dos problemas fundamentais na descrição de escoamentos turbulentos. É possível deduzir equações de transporte para 𝑢̅̅̅̅̅̅, tal como se verifica no trabalho de Rodi 𝑖′𝑢𝑗′
(1993), mas estas equações introduzem correlações de ordem superior desconhecidas tornando este ciclo infinito. O fecho do sistema de equações é então possível com a introdução de um modelo de turbulência que aproxima estas correlações desconhecidas de uma certa ordem em
13
função de correlações de ordem inferior e/ou quantidades médias. Estas correlações dependem da viscosidade turbulenta, 𝜈𝑡, que é dependente duas variáveis, 𝑉𝑠 e 𝐿𝑠, respetivamente,
velocidade e comprimento característico que são próprios do escoamento turbulento em estudo. O conjunto formado pelas equações de movimento e o modelo de turbulência são um sistema fechado que é possível de ser resolvido.
Existem diversos tipos de modelos de turbulência que se podem separar em dois grupos distintos, os modelos de primeira ordem e os modelos de segunda ordem. Os modelos de primeira ordem são constituídos pelos modelos seguintes:
Modelos de zero equações: Nestes modelos 𝑉𝑠 e 𝐿𝑠 são calculados directamente a
partir de quantidades do escoamento médio;
Modelos a uma equação: Nestes modelos, 𝑉𝑠 é calculado através de uma equação de
transporte adequada, geralmente do energia cinética turbulenta (k) e 𝐿𝑠 é descrito
empiricamente;
Modelos a duas equações: Nestes modelos, tanto 𝑉𝑠 como 𝐿𝑠 são determinados a partir
de equações de transporte, geralmente a energia cinética turbulenta (k) e a sua dissipação (ε);
Como exemplo de modelos de segunda ordem há os seguintes:
Modelos de tensões de Reynolds: Estes modelos envolvem a solução das equações de transporte para as tensões de Reynolds em conjunto com uma equação de transporte para o cálculo de 𝐿𝑠, geralmente a dissipação de energia cinética turbulenta (ε).
Os modelos de fecho de turbulência utilizados nas simulações realizadas ao longo desta dissertação são o modelo 𝑘 − 𝜀 e 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇, ambos modelos a duas equações, e serão descritos matematicamente nas secções seguintes, começando por introduzir o conceito de viscosidade turbulenta.
3.3.1 Viscosidade turbulenta
Os modelos de turbulência são um conjunto de equações diferenciais independentes das equações RANS que têm em conta os efeitos causados pelas tensões de Reynolds. Como já foi descrito acima, o escoamento turbulento está diretamente relacionado com a dissipação de energia e, por isso, nos modelos de turbulência é adicionada uma nova viscosidade, a viscosidade turbulenta, 𝜈𝑡. Segundo Rodi (1993), a aproximação de Boussinesq descreve que
14
−𝑢̅̅̅̅̅̅ = 𝜈𝑖′𝑢𝑗′ 𝑡( 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗+ 𝜕𝑢̅𝑗 𝜕𝑥𝑖) − 2 3𝑘𝛿𝑖𝑗 (3.6)A viscosidade turbulenta, 𝜈𝑡, ao contrário da viscosidade molecular, não é uma propriedade do
fluido. Esta viscosidade depende fortemente do estado de turbulência e pode assumir valores diferentes de ponto para ponto num mesmo escoamento e valores diferentes em escoamentos diferentes. Para os modelos ficarem definidos é necessário determinar a distribuição da viscosidade turbulenta, 𝜈𝑡.
Na equação (3.6), 𝑘 representa a energia cinética turbulenta e é dado pela expressão seguinte: 𝑘 = 1
2(𝑢̅̅̅̅ + 𝑣′2 ̅̅̅̅ + 𝑤′2 ̅̅̅̅̅) ′2 (3.7)
3.3.2 Modelo 𝒌 − 𝜺
Como referido na secção anterior, este é um modelo de primeira ordem a duas equações. O modelo utiliza duas variáveis, k, que já foi introduzida na equação (3.7), e 𝜖, que é a dissipação de energia turbulenta por unidade de massa.
A segunda variável envolvida neste modelo de turbulência, 𝜖, representa a taxa a que a energia cinética turbulenta, k, é convertida em energia térmica, integrado no processo da cascata de energia.
A viscosidade turbulenta é dada pela expressão seguinte:
𝜈𝑡= 𝐶𝜇
𝑘2
𝜖 (3.8)
onde o coeficiente 𝐶𝜇 toma o valor 0,09.
As equações de transporte para a energia cinética turbulenta e para a dissipação de energia cinética turbulenta são as equações que definem o modelo de turbulência, em conjunto com a definição da evolução da viscosidade turbulenta. As equações de transporte podem ser consultadas ao longo da dissertação de Higuera (2015).
15
O modelo de turbulência 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 é, na realidade, a combinação de dois modelos já existentes. Este modelo utiliza o modelo 𝑘 − 𝜀, descrito na secção anterior, e o modelo 𝑘 − 𝜔.
Uma das principais vantagens deste modelo é a separação das zonas em estudo onde são utilizados os diferentes modelos de turbulência.
No modelo de turbulência 𝑘 − 𝜔, as variáveis envolvidas são a energia cinética turbulenta, 𝑘, e a taxa de dissipação específica de energia, 𝜔.
As equações de transporte para estas variáveis são as seguintes e podem ser consultadas, tal como na secção anterior, no trabalho desenvolvido por Higuera (2015).
É possível estabelecer uma relação entre 𝜖 e 𝜔: 𝜔 = 𝜀
𝛽∗𝑘 (3.9)
onde 𝛽∗ toma o valor 0,9.
As equações de transporte utilizadas no modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 não diferem substancialmente das usadas no modelo 𝑘 − 𝜀, existindo apenas um termo adicional no modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 que é necessário para se obter uma transição suave entre os dois modelos utilizados, 𝑘 − 𝜀 e 𝑘 − 𝜔, como foi referido acima. Existe, assim, uma zona de transição entre os dois modelos, desde o escoamento junto a uma fronteira sólida (modelo 𝑘 − 𝜔) até ao escoamento no interior (𝑘 − 𝜀).
3.3.4 Comparação entre modelos
Os modelos utilizados na dissertação, e descritos nas secções anteriores, foram escolhidos uma vez que os modelos a duas equações são muito utilizados, devido à sua simplicidade e precisão. O modelo 𝑘 − 𝜀 apresenta algumas limitações particularmente na descrição de escoamentos com forte curvatura das linhas de corrente, escoamentos com pontos de separação ou com gradientes de pressão adversos. Estas limitações advêm da presença, nas equações de transporte, de parâmetros empíricos que foram determinados a partir de dados experimentais.
O principal problema na definição de modelos de fecho de turbulência é a simulação do escoamento junto a paredes sólidos. De facto, os escoamentos turbulentos são particularmente afectados pelas superfícies sólidas pois o campo de velocidades é influenciado pela imposição de velocidade nula nessas fronteiras (condição de não deslizamento) e o transporte de quantidades turbulentas é afectado devido ao baixo número de Reynolds junto a essas paredes. A camada limite que se desenvolve junto à superfície é uma zona onde, apesar de ser pouco espessa, o campo de velocidades e as propriedades do fluido variam muito rapidamente. É necessário então um refinamento superior junto a essas superfícies.
16
O modelo 𝑘 − 𝜀 é válido para escoamentos em que o número de Reynolds é elevado, logo a presença da camada limite junto às fronteiras sólidas torna as equações deste modelo não aplicáveis nessas zonas.
Um método para se contornar este obstáculo é o da utilização de modelos baseados na função de parede (wall function). Neste método, o escoamento na camada limite é modelado através de fórmulas semi-empíricas denominadas funções de parede, que fazem a transição entre o escoamento interno e o junto à superfície. Este método permite modelar o efeito da camada limite no escoamento mas pode provocar alguma adulteração dos resultados.
Foi desenvolvido também o modelo 𝑘 − 𝜔, que é um modelo para escoamentos com baixos valores do número de Reynolds, oferecendo melhores previsões na vizinhança de superfícies sólidas do que o modelo 𝑘 − 𝜀 mas, por outro lado, não apresenta resultados tão sólidos fora da camada limite.
Assim, foi desenvolvido por Menter (2013) uma variação do modelo 𝑘 − 𝜔 que é a combinação dos modelos 𝑘 − 𝜔 e 𝑘 − 𝜀, o modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 que, deste modo, reune as melhores características de cada um dos modelos.
18
Capítulo 4 Modelação Numérica
4.1 OpenFOAM
O OpenFOAM (Foundation, 2014) é um software de dinâmica de fluidos computacional (CFD) disponível sem custos e de código aberto, utilizado em ambiente Linux. Ao longo desta dissertação o OpenFOAM foi utilizado a partir do Ubuntu 12.04. Este software é uma biblioteca C++ usada para a criação de aplicações. Estas aplicações dividem-se em duas categorias:
Solvers, que são desenvolvidos para resolver problemas específicos de mecânica de fluidos;
Utilities que são utilizadas na manipulação de dados.
O OpenFOAM dispõe de vários solvers e utilities que abrangem uma grande variedade de problemas, sendo possível a modificação ou criação de novos solvers para a resolução de problemas específicos, o que se apresenta como uma grande vantagem.
O OpenFOAM baseia-se no método dos volumes finitos para resolver as equações que descrevem o movimento do fluido. É possível realizar simulações com escoamentos incompressíveis ou compressíveis, laminares ou turbulentos, escoamentos envolvendo transferência de calor, etc. Uma grande vantagem deste programa é a possibilidade das simulações poderem ser realizadas em paralelo, reduzindo bastante o tempo de simulação e poupando recursos computacionais.
O OpenFOAM dispõe de um conjunto de bibliotecas pré definidas utilizadas pelos solvers e
utilities que contêm informação e dados importantes para a realização das simulações como
modelos de transporte, modelos de turbulência, dados sobre a descrição da malha numérica, etc. Apesar do programa não possuir um interface gráfico para a visualização da informação relativa às simulações existe uma ferramenta de pós-processamento, o ParaView, que permite representar, por exemplo, a malha numérica mas também permite verificar a evolução ao longo do tempo das elevações de superfície livre ou do campo de velocidades.
19
Figura 4.1 - Estrutura de código numérico OpenFOAM (adaptado de OpenFoam Manual (Foundation, 2014))
Após a definição das características do caso de estudo, como a descrição da malha, os adequados modelos de transporte e de turbulência, entre outros, a simulação é iniciada através da linha de comandos presente no Ubuntu.
4.2 IHFOAM
Integrado no OpenFOAM, foi criada a ferramenta IHFOAM. Desenvolvido ao longo do trabalho de Higuera (2015), o IHFOAM é uma ferramenta numérica que permite a resolução das equações VARANS (Volume-averaged Reynolds-averaged Navier Stokes) que permitem a simulação de escoamentos através de meios porosos. Esta ferramenta permite a aplicação de alguns modelos de turbulência, incluindo os modelos 𝑘 − 𝜀 e 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇, utilizados ao longo deste trabalho e descreve a posição e evolução da superfície livre através do método dos volumes finitos (Volume
of Fluid, VOF).
O IHFOAM é uma adaptação de um solver já existente, o interFoam, que permite resolver as equações para escoamentos bifásicos separados por uma superfície livre.
O IHFOAM apresenta algumas vantagens relativamente a outros solvers já existentes no OpenFOAM como a já referida modelação de escoamentos que atravessem meios porosos mas, relativamente a este trabalho, a grande vantagem de recorrer ao IHFOAM é a introdução de condições de fronteira que permitem a geração e absorção ativa de ondas. Esta característica é essencial para a correta definição das simulações visto que tanto nas experiências de Klopman (1994) como de Umeyama (2005) foram instalados batedores de ondas no início do canal para geração de ondas e, no extremo oposto do canal, foram colocadas estruturas para minimizarem os efeitos da reflexão de ondas e para absorverem, tanto quanto possível, as ondas incidentes.
20
Antes da existência do IHFOAM, para se realizarem simulações da propagação de ondas, a absorção das mesmas era feita através da introdução de zonas de dissipação de energia na parte final do canal, como é possível verificar no trabalho de Sampaio (2013), o que aumentava largamente o esforço computacional para a realização da simulação.
Este sobre carregamento computacional é evitado ao utilizar o IHFOAM uma vez que as condições de geração e absorção de ondas estão integradas nas condições de fronteira, não sendo necessário a extensão da malha numérica. Em termos de absorção de ondas, estão disponíveis dois métodos, cada um aplicável para situações distintas:
Método baseado numa teoria 2D que é aplicável para ondas incidentes normais à fronteira de absorção em simulações 2D ou 3D;
Método baseado numa teoria 3D que é utilizado quando há a necessidade de ter em conta a incidência de ondas numa direção oblíqua à da fronteira de absorção.
A condição de fronteira responsável pela geração de ondas permite a definição da onda a ser gerada. Existem diversas teorias disponíveis para a geração de ondas que permitem a geração de ondas regulares, irregulares e solitárias. Existe ainda uma teoria que gera as ondas através da definição de um batedor de ondas na fronteira de geração.
As condições de fronteira de geração e absorção de ondas são definidas a partir de um ficheiro de texto, de nome IHWavesDict. Definindo neste ficheiro as características das ondas a ser modeladas ao longo da simulação, são impostas nas fronteiras de geração e absorção os campos de velocidade e pressão adequados.
4.3 Método VOF
Como foi referido na secção anterior, o IHFOAM utiliza o método VOF para determinar a posição e evolução da superfície livre no decorrer da simulação.
Segundo Hirt & Nichols (1981), o processo de introdução de uma superfície de descontinuidade (como é a superfície de separação entre água e ar) numa malha de células computacional envolve três passos:
Definir um meio para descrever numericamente a localização e forma dessa superfície; Fornecer um algoritmo para computar a evolução temporal da superfície;
Finalmente, é necessário definir um esquema que imponha as condições de fronteira desejadas na malha computacional envolvendo a superfície.
No método VOF (Hirt & Nichols, 1981) é definida uma função (no caso do IHFOAM essa função é definida como α, que toma o valor unitário em qualquer ponto que esteja ocupado pelo fluido
21
(água) e valor nulo caso contrário. O valor dessa função numa célula da malha representa então a fração de volume da célula que está ocupado por fluido. Nos casos particulares do valor da função na célula ser 1, isso corresponde a uma célula totalmente ocupada por fluido, enquanto um valor nulo indica uma célula completamente livre de fluido. Assim, células que contenham valores de α entre 0 e 1 têm de conter a superfície de separação entre fases.
Através deste método é possível também definir onde, dentro de uma célula, se encontra o fluido: A direção normal à superfície livre é igual à direção onde o valor de α varia mais rapidamente. Assim, quando tanto a direção normal à superfície como o valor de α numa célula que contenha a superfície forem conhecidos, pode ser construída uma linha através da célula que aproxima a superfície.
A interface de separação de fases é então definida não por uma linha exata mas sim por um intervalo de valores de α onde a superfície poderá estar. Como em qualquer simulação através de modelação numérica, esta aproximação será tanto melhor quanto mais refinada for a malha onde se está a trabalhar.
A fração de volume α é transportada pelo escoamento e a sua equação de transporte, deduzida a partir de equação da continuidade é dada, para um escoamento incompressível, por:
𝜕𝛼
𝜕𝑡+ ∇. (𝑢̅𝛼) = 0 (4.1)
Como foi referido acima, a superfície livre é dada por uma região. Esta deve ser a mais reduzida possível, para garantir uma maior precisão na definição da superfície livre. Segundo Mesquita (2012), se a superfície estiver definida sobre demasiados elementos podem ocorrer amortecimentos da deformação da superfície. É, então, introduzido um termo de compressão na equação (4.1) para evitar esse amortecimento:
𝜕𝛼
𝜕𝑡 + ∇. (𝑢̅𝛼) + ∇. [𝑢̅𝑐𝛼(1 − 𝛼)] = 0 (4.2)
onde 𝑢̅𝑐 é o campo de velocidades utilizado para comprimir a superfície. O termo 𝛼(1 − 𝛼) faz
com que este campo de velocidades apenas actue na superfície livre pois para valores de α nulos ou unitários, essa expressão anula-se.
As propriedades do escoamento em cada célula podem ser calculadas através da expressão seguinte:
22
onde 𝐹𝑖 representa a propriedade em questão, tal como a massa volúmica ou a viscosidade
cinemática, 𝐹á𝑔𝑢𝑎 e 𝐹𝑎𝑟 representam, respectivamente, essa propriedade para a água e o ar.
O método VOF apresenta a vantagem de se ser uma abordagem simples que permite a reprodução de configurações de superfície livre facilmente ao mesmo tempo que a malha numérica se mantém estática.
4.4 Condições de fronteira
Para a definição da malha para cada uma das simulações realizadas, é necessário ter em conta algumas particularidades de um canal de propagação de ondas. As características aqui enunciadas são comuns a todas as simulações feitas ao longo desta dissertação.
No fundo do canal, sendo uma fronteira sólida, é necessário impor uma condição de não escorregamento, ou seja, a velocidade do fluido, nessa fronteira, deve ser sempre nula.
Como é possível ler na documentação publicada em conjunto com o lançamento do IHFOAM (IHCantabria, 2014), a velocidade e a elevação de superfície livre na fronteira de geração de ondas são definidos a partir dos dados fornecidos no ficheiro IHWavesDict, sendo impostas nesta fronteira as condições necessárias para a propagação das ondas.
Na fronteira de saída é definido qual o modo para a absorção de ondas pretendido.
De acordo com (“OpenFOAM User Guide: 5.2 Boundaries,” 2015), na fronteira no topo da malha, onde teoricamente apenas existirá ar, a pressão total é constante. Desse modo, a velocidade é ajustada automaticamente de maneira a manter essa pressão total.
24
Capítulo 5 Casos de estudo e resultados
5.1 Experiência de Klopman (1994)
A primeira experiência estudada foi a realizada por Klopman (1994), que estudou a estrutura vertical do escoamento ao longo da propagação de ondas e correntes.
5.1.1 Descrição da experiência
A experiência feita por Klopman (1994) foi realizada num canal de ondas (“Scheldegoot”) da
Technical University of Delft. Este canal apresenta um comprimento de 46 m, largura de 1 m e
profundidade de 1,2 m. A experiência pretendia fazer a análise da interação entre ondas e correntes, bem como o estudo de correntes sem a presença de ondas e de ondas sem a presença de correntes. No presente trabalho, a análise de correntes não foi considerada, sendo apenas utilizadas as experiências do caso em que existem somente ondas no canal.
Em cada um dos extremos do canal foi instalado um batedor capaz de gerar e absorver ondas. O sistema de absorção das ondas foi importante por se pretender diminuir a interferência de ondas refletidas ao longo da propagação das ondas neste canal. Na Figura 5.1 é possível observar um esquema do canal de ondas utilizado ao longo da experiência de Klopman.
Foi assim definido um sistema de eixos coordenados no canal em que:
O eixo x é paralelo ao eixo do canal, com sentido positivo do batedor que gera ondas para o que tem a função de absorver. O ponto x = 0 está na posição do gerador de ondas;
O eixo y é horizontal, paralelo ao fundo do canal, e o sentido positivo é para a direita quando olhando do gerador de ondas para o dissipador. O ponto y = 0 está dentro do canal, à esquerda;
O eixo z é vertical e 𝑧 = 0 está localizado no topo do fundo do canal.As variações de superfície livre foram determinadas em relação ao SWL (still water level) ou o NR (nível de repouso), ou seja, este nível corresponde a uma variação de superfície livre nula, sendo as variações de superfície livre consideradas positivas quando estão acima do NR. As características da onda monocromática gerada foram as seguintes:
Altura de onda, 𝐻 = 0,12 m; Período de onda, 𝑇 = 1,44 s.
25
Durante a experiência foram feitas medições do campo de velocidades a meio do canal através de um velocímetro laser-Doppler (LDV). Durante as experiências, a profundidade da água foi ℎ = 0,5 m.
Após estas medições foram determinados os perfis da velocidade média horizontal e os perfis da amplitude da velocidade horizontal na vertical do ponto central do canal de ondas em estudo Na experiência de Klopman, as ondas foram geradas através do envio de um sinal de controlo para o batedor de acordo com a teoria de onda de Stokes de segunda ordem.
Figura 5.1 - Esquema da experiência realizada por Klopman (adaptado de Klopman(1994))
5.1.2 Modelação numérica da experiência
Para reproduzir a experiência de Klopman no software OpenFOAM, especificamente utilizando a ferramenta IHFOAM, começou-se por definir a estrutura do canal de ondas e a malha no seu interior. A malha é definida através da função blockmesh, definida através do ficheiro “blockMeshDict”, que cria a malha numérica antes do início do caso de estudo (Foundation, 2014).
Tendo o canal 46 m e como se pretende realizar medições de velocidades horizontais para 𝑥 = 22,5 m, optou-se por definir três blocos (três malhas) com diferentes níveis de refinamento na malha computacional para o canal. Foi definida a malha numérica desta forma para não sobrecarregar as simulações da propagação de ondas. O primeiro bloco foi definido desde o
26
início do canal até 𝑥 = 18,5 m, o segundo bloco desde 𝑥 = 18,5 m até 𝑥 = 27,5 m e o terceiro bloco desde 𝑥 = 27,5 m até ao final do canal.
Para o bloco do meio, onde foram realizadas as medições, utilizou-se um refinamento bastante superior aos restantes blocos. Poder-se-ia ter definido o mesmo refinamento para todo o canal em apenas um bloco mas isso levaria a um esforço computacional significativo e desnecessário das simulações. Deste modo evita-se que as simulações sejam demasiado longas, continuando a obter resultados das medições com a precisão desejada.
De notar que o refinamento não pode ser feito sem qualquer tipo de regras, como referido na documentação disponibilizada pelo OpenFOAM (Foundation, 2014). De facto, quando existem diferentes blocos numa malha, o tamanho das células entre blocos não deve exceder o rácio 1:2, com o risco dos resultados obtidos serem adulterados. Do mesmo modo, também as dimensões de todas as células presentes na malha devem apresentar dimensões de maneira a que o rácio entre as diferentes dimensões também não exceda 1:2.
Para manter a bidimensionalidade da propagação de ondas, na direção y toda a malha apresenta apenas uma célula. Desta forma, garante-se que não existe escoamento na direção desse eixo, obtendo-se resultados próximos do esperado.
Após a definição da malha para a simulação, foi necessário definir os limites do fluido (água). Neste caso, pretende-se simplesmente definir uma massa de água ao longo de todo o canal e com uma altura de 0,5 m, estando todo o restante canal ocupado por ar. Esta ocupação é feita através da definição do ficheiro “setFieldsDict”.
Para a completa definição do caso de estudo foi necessário editar um ficheiro de controlo da simulação, de nome “controlDict”. Neste ficheiro especifica-se o início e o fim da simulação, bem como os instantes em que devem ser recolhidos resultados.
Em cada simulação foi utilizada a função “Probes” para se obterem medições de velocidades horizontais e, cerca de 40 pontos na vertical, para 𝑥 = 22,5 m, tal como foi feito na experiência laboratorial. Esta função foi utilizada a partir do ficheiro acima referido, “controlDict”, bastando para tal definir os pontos onde se pretende obter resultados e que resultados se pretendem obter, neste caso o campo de velocidades U.
Assim, foram definidos 41 pontos na vertical para obter as medições de velocidade: 𝑥 = 22,5 m;
𝑦 = 0,5 m;
z variável entre 0,00 m e 0,40 m, com variação de 0,01 m entre cada ponto de medição. Para a definição total das simulações, é necessário atribuir um modelo de fecho de turbulência desejado à simulação. Como referido anteriormente, foram realizadas simulações com os modelos de turbulência 𝑘 − 𝜀 e 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇. Foi também realizada uma simulação considerando o
27
escoamento como sendo laminar para evidenciar a necessidade da escolha de uma modelo de turbulência.
5.1.3 Apresentação de resultados
Tal como na experiência laboratorial de Klopman (1994), depois de realizadas as simulações, são produzidos os perfis verticais da velocidade média horizontal, num gráfico com escala linear e num gráfico com escala semi-logaritmica, e também os perfis verticais de amplitude de velocidade média horizontal.
Para a obtenção dos perfis referidos é necessário, em primeiro lugar, proceder ao tratamento dos resultados obtidos com o OpenFOAM.
5.1.3.1 Perfil vertical de velocidade média horizontal
Para obter a velocidade média horizontal em cada ponto de medição, é necessário calcular a média ao longo de um período (𝑇 = 1,44 s) da velocidade horizontal.
Calculando essa média, podem ser construídos os perfis verticais de velocidade média horizontal. Estes perfis estão reproduzidos na Figura 5.2, onde o gráfico apresenta uma escala linear e estão representados os resultados obtidos para as simulações sem modelo de fecho de turbulência, com o modelo 𝑘 − 𝜀 e o modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇.
Como se pode observar na Figura 5.2, e tal como era esperado, os resultados que são fornecidos quando não se adota nenhum modelo de turbulência são consideravelmente piores do que quando se escolhe um modelo de turbulência. Principalmente na zona junto ao fundo, onde a simulação é mais complexa e efeitos não lineares estão em jogo, a não aplicação de um modelo de turbulência revela-se uma má opção.
Relativamente aos modelos de turbulência, é possível verificar que ambos fornecem boas aproximações dos resultados obtidos na experiência laboratorial.
Observando a Figura 5.2, é clara a aproximação aos resultados da experiência, por parte dos resultados obtidos aplicando o modelo 𝑘 − 𝜀, não zona mais próxima do fundo do canal. De facto, apesar de, ao aproximar-se do nível de repouso, os resultados afastarem-se um pouco (sem, no entanto, deixarem de se revelar uma boa aproximação) existe uma quase sobreposição dos resultados fornecidos pelo OpenFOAM e os resultados obtidos na experiência laboratorial realizada.
28
Por outro lado, a simulação em que se utilizou o modelo 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 conduziu a uma ótima aproximação dos resultados para a metade superior do canal de ondas, afastando-se um pouco na metade inferior do canal, mas apresentando valores próximos dos obtidos ao longo da experiência laboratorial. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 Z ( m ) U (m/s)
Perfil vertical de velocidade média horizontal
Klopman Modelo k-ε Modelo k-ω SST Sem modelo
29
Na Figura 5.3 está representado o perfil vertical de velocidade média horizontal, apresentado numa escala semi-logaritmica, onde é possível verificar com alguma clareza as conclusões a que se chegaram na análise feita acima.
Após a definição da velocidade média horizontal, foram produzidos também os perfis verticais de amplitude da velocidade horizontal.
0,0001 0,001 0,01 0,1 1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 Z ( m ) U (m/s)
Perfil vertical de velocidade média horizontal
Klopman Modelo k-ε Modelo k-ω SST Sem modelo
30
5.1.3.2 Perfil vertical da amplitude de velocidade horizontal
Como visto no trabalho de Klopman (1994), uma quantidade, tal como a velocidade, 𝐹(𝑡) pode ser dividida numa parte média 𝐹̅, uma parte de onda 𝐹̃(𝑡) e uma parte turbulenta 𝐹′(𝑡), tal como
descrito na expressão seguinte:
𝐹(𝑡) = 𝐹̅ + 𝐹̃(𝑡) + 𝐹′(𝑡)
(5.1)
Tendo calculado a quantidade 𝐹̅ na secção anterior, esta é utilizada para o cálculo da amplitude. Tal como descrito no trabalho de Klopman (1994), fazendo a diferença entre a média de fase, 〈𝐹(𝑡)〉, e a média, 𝐹̅, obtém-se a contribuição da onda:
𝐹̃(𝑡) = 〈𝐹(𝑡)〉 − 𝐹̅ (5.2)
Dispondo assim da contribuição da onda, tendo eliminado a contribuição turbulenta, a amplitude de velocidade horizontal é calculada fazendo a diferença entre os valores máximo e mínimo, ao longo de um período 𝑇 = 1,44 s, da velocidade devida a contribuição da onda, como está descrito na expressão seguinte:
𝑎 = 𝑚á𝑥{𝐹̃(𝑡)} − 𝑚𝑖𝑛{𝐹̃(𝑡)} (5.3)
Na Figura 5.4 é possível observar o perfil vertical de amplitude de velocidade horizontal, obtidos para o meio do canal da experiência,
Tal como foi realizado para o perfil de velocidade média horizontal, também se apresenta de seguida, na Figura 5.5 o perfil da Figura 5.4 com uma escala semi-logaritmica.
31
Figura 5.4 – Gráfico com perfil vertical de amplitude de velocidade horizontal 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 Z ( m ) U (m/s)
Experiência de Klopman (1994)
Klopman Modelo k-ε Modelo k-ω SST32
Figura 5.5 – Gráfico com o perfil vertical de amplitude de velocidade horizontal, com escala semi-logaritmica 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 Z ( m ) U (m/s)
Experiência de Klopman (1994)
Klopman Modelo k-ε Modelo k-ω SST33
5.2 Experiência de Umeyama (2005)
A experiência de Umeyama (2005) foi a experiência estudada de seguida. Nesta experiência foram abordadas a tensões de Reynolds bem como a distribuição de velocidade num ambiente de interação onda e corrente.
5.2.1 Descrição da experiência
Tal como na experiência de Klopman, também no caso estudado por Umeyama se simula a propagação e ondas num canal de ondas retangular, com fundo plano horizontal. A geração de ondas é feita através de um batedor colocado no início do canal e no fim do canal foi instalado um sistema de absorção de ondas para se minimizar o efeito de ondas refletidas.
O canal onde a experiência foi realizada apresenta 25 m de comprimento, 0,7 m de largura e 1,0 m de profundidade. No decorrer das experiências a profundidade de água foi constante, de valor ℎ = 20 cm. É possível observar um esquema da instalação utilizada ao longo da experiência laboratorial na Figura 5.6
Tal como na experiência de Klopman, também Umeyama se focou na interação onda-corrente ao longo do seu estudo, sendo aqui apenas abordada a parte do seu trabalho referente à propagação somente de ondas.
Figura 5.6 - Esquema da experiência realizada por Umeyama (adaptado de Umeyama (2005))
Por comodidade, adotou-se o mesmo sistema de eixos utilizado ao longo da experiência de Klopman.
34
Ao longo da experiência de Umeyama foram definidas 4 ondas (W1-W4) com diferentes alturas e períodos, como é possível observar na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 - Dados das diferentes ondas geradas ao longo da experiência de Umeyama (2005)
Onda
W1
W2
W3
W4
Altura (cm)
2,02
2,51
2,67
2,8
Período (s)
0,9
1,0
1,2
1,4
Foram definidos pontos, a 10,5 m de distância da geração de ondas, para a medição da velocidade horizontal induzida pela propagação das ondas. Após a realização da experiência para as diferentes ondas obtiveram-se os perfis verticais de velocidade média horizontal 𝑢̅, das tensões de Reynolds (sem o termo ρ) em média de fase, −〈𝑢̅̅̅̅̅̅〉. ′𝑣′
Utilizando o programa OpenFOAM, foram realizadas simulações da propagação de cada uma das ondas cujas características são apresentadas na Tabela 5.1.
5.2.2 Modelação numérica da experiência
Para a modelação deste caso de estudo, começou-se também pela definição da malha numérica onde irá ocorrer a simulação. A opção recaiu também sobre a definição de três blocos diferentes, existindo um refinamento bastante superior no bloco onde ocorreu a extração de dados de velocidade.
Tendo sempre presentes as regras enunciadas na secção anterior para a definição de malhas numéricas, foram definidos os blocos constituintes da malha: o primeiro bloco foi definido desde o início do canal até a x = 8 m; o segundo bloco, onde ocorreram as medições, desde 𝑥 = 8 m até 𝑥 = 13 m. O último bloco foi definido desde 𝑥 = 13 m até 𝑥 = 25 𝑚. O número de células na direção do eixo x foi de 1000, 1300 e 1600 células para, respetivamente o primeiro, segundo e terceiro blocos.
As simulações realizadas no âmbito desta experiência foram definidas com um tempo de simulação menor que no caso da experiência de Umeyama (2005). Como o canal de ondas tem dimensões menores, as simulações foram terminadas aos 70 s, pois com este tempo de simulação o regime estacionário periódico era atingido por larga margem.
Tal como na modelação da experiência anterior, também nesta simulação foi definido um conjunto de pontos onde seriam retirados os valores de velocidade no decorrer da simulação. Os pontos foram definidos da seguinte maneira:
35
𝑥 = 10,5 m; 𝑦 = 0,35 m;
z variável entre 0,00 m e 0,20 m, com variação de 0,005 m até atingir a cota de 0,1 m e de seguida variação de 0,01 m até atingir o limite superior de 0,20 m.
Os pontos de medição, que no total são 31, foram desta maneira definidos pois na experiência laboratorial existia uma grande densidade de pontos de medição na zona mais próxima do fundo do canal.
Ao longo das simulações realizadas foram utilizados, tal como na experiência descrita na secção anterior, os modelos de fecho de turbulência 𝑘 − 𝜀 e 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇.
Ao longo da experiência laboratorial de Umeyama (2005) foram produzidos, para cada uma das ondas estudadas, os perfis verticais de velocidade média 𝑢̅, de tensões de Reynolds em média de fase, −〈𝑢̅̅̅̅̅̅〉. Estes perfis vão ser produzidos, recorrendo aos resultados obtidos ao longo ′𝑣′
das simulações realizadas com o OpenFOAM.
5.2.3 Apresentação de resultados
5.2.1 Perfil vertical de velocidade média horizontal
Recorrendo aos resultados fornecidos pelas simulações no OpenFOAM, foi possível definir os perfis verticais de velocidade média horizontal, para cada uma das ondas W1, W2, W3 e W4. Estes perfis são obtidos pelo modo descrito na experiência anterior.
Na Figura 5.7 é, assim, apresentado o perfil vertical de velocidade média horizontal para a onda W1, com os dois modelos de fecho de turbulência utilizados ao longo desta dissertação.
