Métodos Quantitativos

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M´

etodos Quantitativos

Material de Apoio: Cap´ıtulo 02

Estudo da reta

Denilson C. Resende

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Lista de Figuras

1.1 Representa¸c˜ao geom´etrica dos conceitos em geometria plana . . . 9

1.2 Sistema cartesiano . . . 11

1.3 Plano cartesiano . . . 12

1.4 Quadrantes . . . 12

1.5 Pontos no sistema cartesiano . . . 13

1.6 Distˆancia entre dois pontos no plano cartesiano . . . 16

1.7 Alinhamento de trˆes pontos. . . 22

1.8 Equa¸c˜ao da reta que passa por P e A . . . 25

1.9 Região solu¸cão para a inequa¸cão Y < X . . . 30

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Sum´

ario

1 Estudo da reta 5

1.1 Informa¸c˜oes Preliminares . . . 5

1.2 Introdu¸c˜ao . . . 7

1.3 Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espa¸co . . . 8

1.4 Coordenadas cartesianas na reta . . . 11

1.5 Coordenadas cartesianas no plano . . . 11

1.5.1 Exerc´ıcios Resolvidos . . . 14

1.5.2 exerc´ıcios propostos . . . 15

1.6 Distˆancia entre dois pontos do plano cartesiano . . . 16

1.7 Ponto m´edio de um segmento . . . 19

1.8 Condi¸c˜ao de alinhamento de trˆes pontos . . . 21

1.8.2 Exerc´ıcios propostos . . . 24

(4)

1.9.1 Equa¸c˜ao geral da reta . . . 25

1.9.2 Exerc´ıcios propostos . . . 26

1.10 Exerc´ıcios propostos . . . 27

1.11 Inequa¸c˜oes com duas vari´aveis . . . 29

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Cap´ıtulo 1

Estudo da reta

1.1 Informa¸

c˜

oes Preliminares

O conteúdo deste material foi baseado em livros textos de matemática e não tem como objetivo substitu´ı-los. O principal objetivo deste material é servir como apoio ao estu-dante direcionando as partes essenciais do curso. Lembremos também que o material terá uma abordagem pragmática apresentando de maneira concisa objetivando gerar uma base matemática para solucionarmos os problemas que encontraremos pela frente. Gostaria de lembrar o estudante que é muito importante entender os conceitos en-volvidos em cada etapa para depois prosseguir com a resolu¸cão de problemas. Durante a dedica¸cão da resolu¸cão dos problemas propostos é importante tentar encontrar por si próprio a solu¸cão do problema, levando sempre em conta o conhecimento prévio e o atual da teoria envolvida. Em geral os problemas podem parecer complicados e sem so-lu¸cão, mas lembre que outros alunos que passaram por esta etapa conseguiram resolver os mesmos problemas e você também é capaz de resolvê-los, não se lamente estude e seja persistente !

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Este material é apenas uma compila¸cão, um material resumido com objetivos es-pec´ıficos para o desenvolvimento de um determinado trabalho, em nosso caso, fazer uma introdu¸cão aos métodos quantitativos, não podendo ser apenas objeto de consulta ´

unica, caso o aluno sinta necessidade de mais informa¸cões, aconselho a buscar um livros didáticos matemáticos, na parte de geometria anal´ıtica.

Como professor coloco-me a disposi¸c˜ao, caso necessitem, para contribuir, caso seja de interesse em estudos mais profundos sobre o assunto.

Ao final deste cap´ıtulo deveremos ser capazes de identificar:

==> O que ´e um ponto; ==> Plano cartesiano; ==> Segmento de reta; ==> Reta;

==> Equa¸c˜oes da reta;

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1.2 Introdu¸

c˜

ao

A Geometria Anal´ıtica é uma parte da Matemática, que através de processos particula-res, estabelece as rela¸cões existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos. Os estudos iniciais da Geometria Anal´ıtica se deram no século XVII, e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inven-tor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representa¸cão numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim ”Cogito ergo sum”, ou seja: ”Penso, logo existo”.

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1.3 Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e

Es-pa¸

co

Os elementos fundamentais (ou conceitos primitivos) de uma teoria não possuem defi-ni¸cão. O ponto, a reta, o plano e o espa¸co são entes fundamentais, conceitos primitivos ou não definidos da Geometria. Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano são tomados como axiomas1 da Geometria Plana, mas Euclides de Alexandria (?? a.C. − 365 d.C.) os definiu ou, pelo menos tentou defini-los:

• Um ponto ´e o que n˜ao tem parte;

• Uma reta ´e um comprimento sem largura;

• Uma superf´ıcie ´e aquilo que tem somente comprimento e largura;

Outras defini¸cões enunciadas por Euclides pecam pela circularidade lógica: • Segmento de reta: As extremidades de uma reta são pontos;

• Reta: Uma linha reta ´e uma linha em que os pontos s˜ao distribu´ıdos regularmente sobre ela;

• Plano: As extremidades de uma superf´ıcie s˜ao linhas;

Note que a defini¸cão de plano, enunciada por Euclides, nos dá a idéia de que o plano seja uma superf´ıcie finita. No final de século XIX, o matemático alemão, radicado nos Esta-dos UniEsta-dos, David Hilbert (1862 − 1943), publicou uma obra intitulada Grundlagen der

1_{Para Arist´}_{oteles ( − ) os postulados seriam conceitos menos ´}_{obvios e n˜}_{ao deveriam pressupor}

o consentimento impl´ıcito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto em discussão. Axiomas (ou no¸cões comuns) devem ser convincentes por elas mesmas ? verdades comuns e genéricas, aplicáveis a quaisquer estudos que se pretenda fazer. Modernamente, os matemáticos não vêem vantagem em se estabelecer qualquer diferen¸ca entre postulado e axiomas, preferindo apenas utilizar o nome axioma para elaborar as suas teorias, sendo denominadas Teorias Axiomáticas, por este fato.

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Geometrie, em português − ”Os Fundamentos da Geometria”. Nesta obra, datada de 1899, Hilbert propõem uma axiomatiza¸cão da Geometria Euclidiana, onde ficam bem claros e definidos os entes primitivos e os s´ımbolos utilizados para representá-los:

Entes primitivos: • O ponto;

• A reta ou linha reta (straight line, em inglˆes); • O Plano;

Hilbert adotou ainda seis rela¸c˜oes n˜ao definidas (fundamentais aos grupos axiom´ a-ticos contidos em sua obra):

• ”estar sobre ou estar contido”; • ”estar em ou pertencer”;

• ”estar entre ou estar localizado entre”; • ”ser congruente ou ter a mesma medida”; • ”ser paralelo”;

• ”ser cont´ınuo”;

Figura 1.1: Representa¸c˜ao geom´etrica dos conceitos em geometria plana

Os s´ımbolos utilizados para representar os elementos n˜ao definidos da Geometria de Hilbert s˜ao:

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• Retas − Letras latinas min´usculas: r, s, t, l, ou ainda AB, BC etc; • Planos − Letras gregas min´usculas: a , b , g , ... ;

• Raios ou Semi-retas: r = AB, ou seja, raio r partindo do ponto A, e passando por B; • Segmento de Reta: AB, BC etc;

• A, B e C pontos distintos pertencentes a uma reta com B entre A e C: [A, B, C]; Ao longo do século XX, várias outras axiomatiza¸cões da Geometria Euclidiana foram propostas por diversos matemáticos como G. D. Birkhoff e grupos estudiosos,como o SMSG2.

O sistema axiomático proposto por Birkhoff - A Set of Postulates for Plane Ge-ometry (base on scale and protactor), 1932 ou Um Conjunto de Postulados para a Geometria Plana (baseado em régua e transferidor), propõem um conjunto de postula-dos introduzindo conceitos que permitem exprimir medidas através de valores numéricos utilizando a régua graduada e o transferidor. Tal axiomatiza¸cão acaba confrontando-se com a abordagem grega da Geometria Plana, onde Euclides propunha que todas as constru¸cões geométricas fossem criadas a partir de uma régua não graduada e um compasso de hastes imóveis.

2_{O SMSG (School Mathematics Study Group) foi um empreendimento financiado pelo Governo}

Norte-Americano dirigido por Edward G. Begle (1914 − 1978), que criou e implementou um curr´ıculo escolar de Matemática desde 1958 até 1977, que se tornou conhecido como a Matemática Moderna.

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1.4 Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig.1.2 e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem. Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos `a direita e negativos `a esquerda.

Figura 1.2: Sistema cartesiano

O comprimento do segmento OA ´e igual a 1u.c (u.c = unidade de comprimento). ´

E fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biun´ıvoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A é −1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta −→r é chamada eixo das abscissas.

1.5 Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos esten-der a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Figura 1.3 abaixo:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P . O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas. O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.

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Figura 1.3: Plano cartesiano

No 10 _{quadrante, a e b s˜}_{ao positivos;}

no 20 _{quadrante, a ´}_{e negativo e b positivo;}

no 30 _{quadrante, ambos s˜}_{ao negativos e, finalmente no 4}0 _{quadrante a ´}_{e positivo e b}

negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo

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OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equa¸cão do eixo OX é y = 0 e a equa¸cão do eixo Oy é x = 0. Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 10 quadrante, cuja equa¸cão evidentemente é y = x. Já os pontos do plano onde a = −b (ou b = −a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta deno-minada bissetriz do 20 quadrante, cuja equa¸cão evidentemente é y = −x. Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

Como exemplo, vamos identificar alguns pontos no sistema cartesiano, para aprofun-dar como se comporta a identifica¸c˜ao de pontos. Seja A(−5, 3), B(6, 5), c(−4.5, 3.5) e D(0, 0).

Figura 1.5: Pontos no sistema cartesiano

OBS. Como pode ser observado, qualquer ponto no sistema cartesiano pode ser representado pela interse¸cão de duas retas. Isso terá uma interpreta¸cão nos processos

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quantitativos que estudaremos um pouco adiante,

1.5.1 Exerc´ıcios Resolvidos

1) Se o ponto P (2m − 8, m) pertence ao eixo dos y, então: a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m < 4 Solu¸cão:

Se um ponto pertence ao eixo vertical (OY ), então a sua abscissa é nula. Logo, no caso teremos 2m − 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22_).

2) Se o ponto P (r − 12, 4r − 6) perten¸ca `a primeira bissetriz, ent˜ao podemos afirmar que:

a) r ´e um n´umero natural b) r = −3

c) r ´e raiz da equa¸c˜ao x3 _{− x}2 _{+ x + 14 = 0}

d) r é um número inteiro menor do que ?3 e) não existe r nestas condi¸cões.

Solu¸c˜ao:

Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r − 12 = 4r − 6 de onde conclui-se r = −2. Das alternativas apresentadas, conclu´ımos que a correta é a letra C, uma vez que −2 é raiz da equa¸cão

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dada. Basta substituir x por −2 ou seja: (−2)3− (−2)2_{+ (−2) + 14 = 0 o que confirma}

que −2 ´e raiz da equa¸c˜ao.

3) Se o ponto P (k, −2) satisfaz à rela¸cão x + 2y − 10 = 0 , então o valor dek2 é : a) 200 b) 196 c) 144 d) 36 e) 0 Solu¸cão:

Fazendo x = k e y = −2 na rela¸c˜ao dada, vem: k + 2(−2) − 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta ´e a letra B.

1.5.2 exerc´ıcios propostos

Exerc´ıcio 01- Marque os seguintes pontos no plano cartesiano; a) (0,0), (1,1), (2,2), (3,3) b) (-1,0), (1,0), (0,-2), (-3,0) c) (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1) d) (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) e) (0,0), (1,0), (2,0), (3,0) f) (0,0), (0,-1), (0,-2), (0,-3) g) (0,0), (-1,0), (-2,0), (-3,0)

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1.6 Distˆ

ancia entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A (Xa, Y a) e B (Xb, Yb), a distˆancia d entre os pontos A e

B, corresponde a medida do segmento AB. Prolongando as proje¸cões de A eB, obtemos o triângulo ABC. Aplicando nesse triângulo o teorema de Pitágoras temos:

Figura 1.6: Distˆancia entre dois pontos no plano cartesiano

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A(Xa, Ya) e

B(Xb, Yb), note a forma¸cão do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC.: cateto,

AC.: cateto e AB.: hipotenusa. Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o aux´ılio da álgebra e de conhecimentos geométricos pode-se genera-lizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC : (xa, ya)

Cateto AC : (xb, yb)

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Pelo Teorema de Pitágoras temos: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos?

d2 = (xb− xa)2 + (yb− ya)2 √ d2 ₌p_(x b − xa)2+ (yb− ya)2 d =p(xb − xa)2+ (yb− ya)2

1.6.1 Exerc´ıcios Resolvidos

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os pontos B(2, 3) e C(−4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condi¸cões podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4) d) (0,5) e) (0, 3) Solu¸c˜ao:

Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual `

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(BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distˆ an-cia, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = (0 − 2)2+ (y − 3)2 = 4 + (y − 3)2 AC2 = (0 − (−4))2+ (y − 1)2 = 16 + (y − 1)2 BC2 = (2 − (−4))2+ (3 − 1)2 = 40 Substituindo, vem: 4 + (y − 3)2+ 16 + (y − 1)2 = 40(y − 3)2+ (y − 1)2 = 40 − 4 − 16 = 20 Desenvolvendo, fica: y2− 6y + 9 + y2− 2y + 1 = 202y2− 8y − 10 = 0y2− 4y − 5 = 0

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Que resolvida, encontramos:

y = 5 ou y = −1

A raiz y = −1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

1.6.2 exerc´ıcios propostos

Exerc´ıcio 01- Calcule a distˆancia entre os pontos; a) (0,0), (1,1) e (2,2), (3,3) b) (-1,0), (1,0) e (0,-2), (-3,0) c) (1,1), (-1,1) e (-1,-1), (1,-1) d) (0,0), (0,1) e (0,2), (0,3) e) (0,0), (1,0) e (2,0), (3,0) f) (0,0), (0,-1) e (0,-2), (0,-3) g) (0,0), (-1,0) e (-2,0), (-3,0)

1.7 Ponto m´

edio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M de AB tal que AM = BM . Nestas condi¸cões, dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) , as coordenadas do

ponto m´edio M (xm, ym) ser˜ao dadas por:

xm=

x1+ x2

(20)

ym =

y1+ y2

2

Com isso temos que o ponto m´edio do segmento ´e M (Xm, Ym).

1.7.1 Exerc´ıcios Resolvidos

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0, 0), B(4, 6) e C(2, 4), então W2 é igual a:

a) 25 b) 32 c) 34 d) 44 e) 16 Solu¸c˜ao:

Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, conclu´ımos que o ponto médio de BC será o ponto M (3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = √34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W =√34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

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1.7.2 exerc´ıcios propostos

Exerc´ıcio 01- Determine o ponto m´edio do seguintes pontos no plano cartesiano; a) (0,0), (1,1) e (2,2), (3,3) b) (-1,0), (1,0) e (0,-2), (-3,0) c) (1,1), (-1,1) e (-1,-1), (1,-1) d) (0,0), (0,1) e (0,2), (0,3) e) (0,0), (1,0) e (2,0), (3,0) f) (0,0), (0,-1) e (0,-2), (0,-3) g) (0,0), (-1,0) e (-2,0), (-3,0)

1.8 Condi¸

c˜

ao de alinhamento de trˆ

es pontos

Três pontos estão alinhados quando pertencem a uma mesma reta, ou seja, são coline-ares. Dados três pontos alinhados, temos:

O alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determi-nante de uma matriz de ordem 3x3. Ao calcular o determidetermi-nante da matriz constru´ıda utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, po-demos afirmar que existe colinearidade dos três pontos. As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A(x1, y1)

P ontoB(x2, y2)

P ontoC(x3, y3)

Atrav´es dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituir˜ao a 1a _{coluna; as ordenadas, a 2}a _{coluna e a terceira coluna ser´}_a

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complemen-Figura 1.7: Alinhamento de trˆes pontos

tada com o n´umero um.

det x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 = 0

Aplicando a regra de Sarrus, temos: x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 x1 y1 x2 y2 x3 y3 = 0

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1.8.1 Exerc´ıcios Resolvidos

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) est˜ao alinhados. Solu¸c˜ao

Vamos construir a matriz atrav´es das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus. Aplicando a regra de Sarrus, temos:

2 1 1 0 3 1 -2 -7 1 2 1 0 3 -2 -7 = 0 2 ∗ (−3) ∗ 1 + 1 ∗ 1 ∗ (−2) + 1 ∗ (−7) ∗ 0 − [1 ∗ (−3) ∗ (−2) + 1 ∗ 0 ∗ 1 + 2 ∗ (−7) ∗ 1] = 0 −6 − 2 − 0 − [6 + 0 − 14] = 0 −8 − 6 + 14 = 0 −14 + 14 = 0 0 = 0

Podemos verificar que os pontos est˜ao alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos ´e nulo.

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1.8.2 Exerc´ıcios propostos

Exerc´ıcio 01- Verifique se os seguintes pontos no plano cartesiano; a) (0,0), (1,1) e (2,2) b) (-1,0), (1,0) e (0,-2) c) (1,1), (-1,1) e (-1,-1) d) (0,0), (0,1) e (0,2) e) (0,0), (1,0) e (2,0) f) (0,0), (0,-1) e (0,-2) g) (0,0), (-1,-1) e (-2,-1)

Exerc´ıcio 02- Compare o resultado obtido com o diagrama mostrado em refexemplo1

1.9 Estudo da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equa¸c˜ao. Essa equa¸c˜ao pode ser obtida a partir de um ponto A(xa, ya) e do coeficiente angular m dessa

reta.

Considere uma reta r n˜ao-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xa, ya). Vamos obter a equa¸c˜ao dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que

P 6= A.

A equa¸c˜ao fundamental da reta ´e:

m = y − ya x − xa

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Figura 1.8: Equa¸c˜ao da reta que passa por P e A

1.9.1 Equa¸

c˜

ao geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equa¸c˜ao do tipo:

ax + by + c = 0 Em que:

a, b, e c s˜ao n´umeros reais;

a e b n˜ao s˜ao simultaneamente nulos.

Podemos obter a equa¸c˜ao geral de uma reta r conhecendo dois pontos n˜ao coinci-dentes de r:aa

A(xa, ya)

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Para isso, usa-se a condi¸cão de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. x y 1 xa ya 1 xb yb 1 = 0 então temos: ax + by + c = 0

1.9.2 Exerc´ıcios propostos

Exerc´ıcio 01- Determine a equa¸c˜ao das retas que passam pelos seguintes pontos no plano cartesiano; a) (0,0), (1,1) b) (-1,0), (1,0) c) (1,1), (-1,1) d) (0,0), (0,1) e) (0,0), (1,0) f) (0,0), (0,-1) g) (0,0), (-1,-1)

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1.10 Exerc´ıcios propostos

1- Represente graficamente e calcule a distˆancia entre os pontos A(−2, 3) e B(0, −4).

2- Determinar o ponto P (x, 3), eqüidistante de A(−2, 5) e de B(2, −4), após a solu-¸cão representar graficamente os pontos P, A e B.

3- Passar para a forma reduzida e identificar os coeficientes angular e linear. a) 3x + 2y + 3 = 0

b) 6x + 6y − 4 = 0 c) 5y + 4x = 8 d) 7y − 14x = 28

4-. Passar para a forma geral as retas abaixo. a) y = −6x + 9

b) y = 10 + 4x c) y = 7₂x +5₄ d) y = 34₅x − 23

5-Localizar as retas no plano cartesiano e identificar os coeficientes angular e linear. a) 3x + 2y + 4 = 0

b) 4x − 3y − 12 = 0 c) y = 2x − 8 d) −5x − 10y = 20

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a) P1(3, 5)eP2(0, 1)

b) P1(0, 0)eP2(5, −4)

c) P1(−2, −4)eP2(1, −7)

d) P1(0, 0)eP2(2, 2)

7-Dos pares de retas abaixo:

a) Encontrar o ponto de interse¸c˜ao; b) localizar as retas no plano cartesiano;

c) verificar graficamente o ponto de interse¸c˜ao encontrado. i)      3x − 4y − 12 = 0 5x + 2y − 20 = 0 ii)      3x + 2y = 1 x + 3y − 6 = 0 iii)      4x − 2y = 6 3x + y = −2 iv)      −x + 3y = 4 2x − 5y = −1 v)      5x − 3y = −2 x + y − 5 = 0 vi)      −x + 3y = 4 −2x + 6y = 8 vii)      −x + 3y = 4 −2x + 6y = 6

(29)

1.11 Inequa¸

c˜

oes com duas vari´

aveis

Uma inequa¸cão é uma afirma¸cão de que uma quantidade é maior do que (ou menor do que) uma outra quantidade. Já tivemos a oportunidade de nos deparar com algumas inequa¸cões bem simples. Por exemplo, o número de artigos que uma empresa produz e vende, x, tem de ser uma quantidade não-negativa. Portanto, x é maior do que ou igual a zero, que é escrito na forma x ≥ 0. Resolver uma inequa¸cão signfica encontrar seu conjunto solu¸cão, e duas inequa¸cões são equivalentes se elas tiverem o mesmo conjunto solu¸cão. Assim como acontece com as equa¸cões, achamos as solu¸cões para inequa¸cões encontrando inequa¸cões equivalentes a partir das quais as solu¸cões possam ser facilmente identficadas.

Antes de estudarmos sistemas de inequa¸cões, discutiremos solu¸cões de uma inequa¸cão em duas variáveis tal como y < x. As solu¸cões para esta inequa¸cão são os pares ordenados (x, y) que satisfazem a inequa¸cão. Portanto, (1, 0), (3, 2), (0, ?1) e (?2, ?5) são solu¸cões de y < x, porém (3, 7), (?4, ?3) e (2, 2) não são. O grá?co de y < x é formado por todos os pontos cuja coordenada y seja menor do que a coordenada x. O grá?co da região y < x pode ser encontrado tra¸cando a reta y = x (como uma reta tracejada, pois a inequa¸cão dada não inclui y = x). Esta reta separa o plano xy em dois semiplanos, y < x e y > x. Podemos determinar qual semiplano é a região de solu¸cões selecionando como ponto de teste qualquer ponto que não se encontre sobre a reta; escolhamos (2, 0). Como as coordenadas deste ponto de teste satisfazem a inequa¸cão y < x, o semiplano contendo este ponto é a região de solu¸cões para y < x (ver 1.9). Se as coordenadas do ponto de teste não satis?zerem a inequa¸cão, então o outro semiplano será a região de solu¸cões. Digamos, por exemplo, que tivéssemos escolhido (0, 4) para ponto de teste. Suas coordenadas não satisfazem y < x e, portanto, o semiplano que não contém (0, 4) é a região de solu¸cões. (Observe que obtemos a mesma região.)

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Figura 1.9: Região solu¸cão para a inequa¸cão Y < X

Exemplo resolvido:

Descreva e esboce a regi˜_{ao definida por (x, y) < x ≥ 0}

Os pontos do plano para os quais a abscissa é positiva ou nula estão todos sobre o eixo y ou a sua direita. Veja esta região esbo¸cada 1.10 abaixo.

A parte cinza do gráfico ao lado representa a região do plano xy que satisfaz a condi¸cão x ≤ 0.

´

E claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma região infi-nita, essa região aparece ”desenhada”dentro de um quadrado, no caso [−3, 3] X [−3, 3] , que para nós passará a representar o plano inteiro. Se assim não fosse, toda a tinta fabricada na Terra não seria suficiente para pintar essa região!

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Figura 1.10: Região solu¸cão para a inequa¸cão x ≥ 0

1.12 Exerc´ıcios

1- Do conjunto de inequa¸cões abaixo: a) localizar as retas no plano cartesiano; b) Encontrar a região solu¸cão.

i) x − y ≤ 0 ii)      x + y ≤ 1 x + y ≥ 0 iii)                    x ≤ 6 y ≥ −2 x ≥ 0 y ≤ 3

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iv)                    −x + 3y ≥ 4 2x − 5y ≤ −1 x ≥ 0 y ≥ 0 v)      5x − 3y ≥ −2 x + y − 5 ≤ 0 V i)      −x + 3y ≥ 4 −2x + 6y ≤ 8 vii)      −x + 3y ≥ 4 −2x + 6y ≥ 6