Aula sobre Spin: Programa Spins e Tabela de Clebsch-Gordon

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Aula sobre Spin:

Programa Spins e Tabela de Clebsch-Gordon

Jorge C. Rom˜ao

Instituto Superior T´ecnico, Departamento de F´ısica & CFTP A. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal

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´Indice

Programa Spins Clebsch-Gordon

❐ O Programa Spins

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Programa Spins

´Indice Programa Spins • Estado Random • Dire¸c˜ao ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon

❐ Programa Spins em Java da autoria de

❐ Ver como fazer download e como utilizar na p´agina alternativa da disciplina

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O setup b´

asico

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Spin numa dire¸c˜

ao arbit´

aria ~n

Índice Programa Spins • Estado Random • Dire¸cão ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon ❐ Dire¸cão ~n(θ, φ) |↑; ~ni = " cos(θ/2) sin(θ/2)eiφ # , _{|↓; ~ni =} " sin(θ/2) − cos(θ/2)eiφ #

❐ Estado inicial |↓ Szi e portanto

h↑ ~n| ↓ Szi = sin(θ/2)e−iφ, h↓ ~n| ↓ Szi = − cos(θ/2)e−iφ,

❐ As probabilidades s˜ao

P (↑ ~n) = sin2(θ/2), _{P (↓ ~n) = cos}2(θ/2)

❐ Para ~n : θ = 45◦, φ = 45◦

P (↑ ~n) = sin2 π/8 = 0.1465, _{P (↓ ~n) = cos}2 π/8 = 0.8535

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Dire¸c˜

ao ~n : θ = 45

◦

_{, φ = 45}

◦ ´Indice Programa Spins • Estado Random • Dire¸c˜ao ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon

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Dire¸c˜

ao ~n : θ = 60

◦

_{, φ = 45}

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Descobrir “unknown states”

´Indice Programa Spins • Estado Random • Dire¸c˜ao ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon ❐ Tabela de Probabilidades Estado _{↑ S}x ↓ Sx ↑ Sy ↓ Sy ↑ Sz ↓ Sz Unknown #1 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0 Unknown #2 0.5 0.5 0 1 0.5 0.5 Unknown #3 0.25 0.75 0.067 0.933 0.5 0.5 Unknown #4 0.875 0.125 0.716 0.284 0.25 0.75

❐ Sem perda de generalidade um estado gen´erico escreve-se

|ψi = a beiφ , a2 + b2 = 1 com a, b > 0. ❐ Obviamente |1i = |↑ Szi = " 1 0 # , _{|2i = |↓ S}yi = " 1 √ 2 −√i #

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Descobrir “unknown states”

❐ Para o estado |3i temos

| h↑ Sz|3i | 2

= a2 = 0.5, _{| h↓ S}z|3i |

2

= b2 = 0.5

e isto implica que a = b = 1/√2 e θ = 90◦_{. Falta determinar φ.}

❐ Para isso temos as probabilidades

| h↑ Sx|3i | 2 = 1 + cos φ 2 = 0.25, | h↓ Sx|3i | 2 = 1 − cos φ 2 = 0.75 | h↑ Sy|3i | 2 = 1 + sin φ 2 = 0.067, | h↓ Sy|3i | 2 = 1 − sin φ 2 = 0.933 o que d´a φ = 240◦_.

❐ Para o estado |4i temos

| h↑ Sz|4i | 2

= a2 = 0.25, _{| h↓ S}z|4i |

2

= b2 = 0.75

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Descobrir “unknown states”

❐ Para o estado |4i,

| h↑ Sx|4i | 2 = 2 + √ 3 cos φ 4 = 0.875, | h↓ Sx|4i | 2 = 2 − √ 3 cos φ 4 = 0.125 | h↑ Sy|4i | 2 = 2 + √ 3 sin φ 4 = 0.716, | h↓ Sy|4i | 2 = 2 − √ 3 sin φ 4 = 0.284 ❐ Obtemos ent˜ao θ = 120◦_, _{φ = 330}◦

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“Unknown 3”: Dire¸c˜

ao ~n : θ = 90

◦

_{, φ = 240}

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“Unknown 4”: Dire¸c˜

ao ~n : θ = 120

◦

_{, φ = 330}

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Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)

´Indice Programa Spins • Estado Random • Dire¸c˜ao ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon ❐ Problema 10.2 Considere o spinor |ψi = √1 5 "2 1 #

Qual ´e a probabilidade que uma medida do operador (3Sx + 4Sy)/5

dˆe o valor −~/2? ❐ Devemos ter ~n = (3 5, 4 5, 0) o que d´a θ = 90◦_, _{φ = cos}−1_{(3/5) = 53.130}◦

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Problema 10.2 (Gasiorowicz 10.5)

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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

´Indice Programa Spins • Estado Random • Dire¸c˜ao ~n •θ = 45◦ φ = 45◦ •θ = 60◦ φ = 45◦ • Descobrir • Unknown 3 • Unknown 4 • Gasiorowicz 10.5 • Gasiorowicz 10.6 • Magnetic Field Clebsch-Gordon ❐ Problema 10.2

Considere o sistema de spin 1/2 representado pelo spinor normalizado ψ = _√1 65 "4 7 #

Qual a probabilidade que uma medida de Sy dˆe o valor −~/2?

❐ Pode tamb´em encontrar as probabilidades de Sx = ±

~

2 e Sz = ± ~ 2

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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

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Problema 10.3 (Gasiorowicz 10.6)

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A¸c˜

ao do Campo Magn´

etico ~

B

❐ Precisamos de identificar o que significa o n´umero no icon do campo magn´etico

❐ Para isso considere que no instante t = 0 o sistema tem spin up segundo o

eixo dos x, isto ´e,

ψ(0) =     1 √ 2 1 √ 2     , ψ(t) =     1 √ 2 e −iω0t 1 √ 2 e iω0t     onde ω0 = egB/(4m_e)

❐ Portanto as probabilidade de medir, instante t, Sx com valores ±~/2 s˜ao,

P (Sx = ~ 2) = cos 2 (ω0t), P (S_x = − ~ 2) = sin 2 (ω0t),

❐ Utilize este resultado e a montagem da figura seguinte para mostrar que

ω0t =

π

36 = 5

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A¸c˜

ao do Campo Magn´

etico ~

B

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Precess˜

ao do spin

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Problema 10.14

Considere a experiˆencia da Figura seguinte

Sabe-se que o estado inicial tem spin up segundo o eixo dos z. Explique o resultado em termos de precess˜ao do spin no campo B.

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Problema 10.14

Notando que o spin precessa com frequˆencia 2ω0, temos a situa¸c˜ao descrita na

figura seguinte x y z x y z x y z x y z 90 90 90 180

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Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon

´Indice Programa Spins Clebsch-Gordon • Tabela CG • Exemplo

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Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1 × 1/2

´Indice Programa Spins Clebsch-Gordon • Tabela CG • Exemplo 1 × 1/2 = 3/2 + 1/2 |3/2, 3/2i

|3/2, 1/2i |1/2, 1/2i Ortogonais

|3/2, −1/2i |1/2, −1/2i Ortogonais

|3/2, −3/2i J = 3/2

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Uso da Tabela de Coeficientes de Clebsch-Gordon: Caso 1 × 1/2

´Indice Programa Spins Clebsch-Gordon • Tabela CG • Exemplo

❐ Temos (2 × 1 + 1) × 2 = (2 × 3/2 + 1) + (2 × 1/2 + 1) = 6 states. We get

|3/2, 3/2i = |1, 1i |1/2, 1/2i

|3/2, 1/2i =p1/3 |1, 1i |1/2, −1/2i + p2/3 |1, 0i |1/2, 1/2i

|1/2, 1/2i =p2/3 |1, 1i |1/2, −1/2i − p1/3 |1, 0i |1/2, 1/2i

|3/2, −1/2i =p2/3 |1, 0i |1/2, −1/2i + p1/3 |1, −1i |1/2, 1/2i

|1/2, −1/2i =p1/3 |1, 0i |1/2, −1/2i − p2/3 |1, −1i |1/2, 1/2i