Processamento de Sinais Multimídia

Processamento de Sinais Multim´ıdia

Introdu¸c˜ao

Myl`ene Christine Queiroz de Farias

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade de Bras´ılia (UnB)

Bras´ılia, DF 70910-900 [email protected]

20 de Mar¸co de 2012

Sum´

ario

Aula Passada: Informa¸c˜oes e Motiva¸c˜ao Hoje:

Sen´oides;

Sinais exponenciais complexas; Espectro

Aplica¸c˜oes; Exemplos (demos).

Sen´

oides

sinal cosseno:

x (t) = A cos(ω0t + φ)

x (t) = A cos(2πf0t + φ)

A: amplitude

φ: deslocamento em fase (radianos) – ‘phase shift’ ω0: frequˆencia angular (radianos/s)

Sen´

oides

Sen´

oides

Rela¸c˜ao frequˆencia e per´ıodo (sinal peri´odico com per´ıodo T0):

x (t + T0) = x (t)

A cos(ω0(t + T0) + φ) = A cos(ω0t + φ)

cos(ω0t + ω0T0+ φ) = A cos(ω0t + φ)

Como sabemos que o per´ıodo (T0) da fun¸c˜ao cosseno ´e igual a 2π:

ω0T0 = 2π ⇒ T0 = 2π ω0 2πf0T0= 2π ⇒ T0 = 1 f0

Sen´

oides

Rela¸c˜ao frequˆencia e per´ıodo (sinal peri´odico com per´ıodo T0):

x (t + T0) = x (t)

A cos(ω0(t + T0) + φ) = A cos(ω0t + φ)

cos(ω0t + ω0T0+ φ) = A cos(ω0t + φ)

Como sabemos que o per´ıodo (T0) da fun¸c˜ao cosseno ´e igual a 2π:

ω0T0 = 2π ⇒ T0= 2π ω0 2πf0T0= 2π ⇒ T0 = 1 f0

Sen´

oides

Qual a rela¸c˜ao do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t0)?

A cos(ω0t + ω0T0+ φ)

Fase φ: determina a localiza¸c˜ao dos valores m´aximo e m´ınimo de uma onda cosseno.

Deslocamento t1: Para uma fun¸c˜ao qualquer s(t), considere

s(t − t1).

t1> 0 ⇒ a fun¸c˜ao ´e atrasada;

Sen´

oides

Qual a rela¸c˜ao do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t0)?

A cos(ω0t + ω0T0+ φ)

Fase φ: determina a localiza¸c˜ao dos valores m´aximo e m´ınimo de uma onda cosseno.

Deslocamento t1: Para uma fun¸c˜ao qualquer s(t), considere

s(t − t1).

t1> 0 ⇒ a fun¸c˜ao ´e atrasada;

Sen´

oides

Qual a rela¸c˜ao do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t0)?

A cos(ω0t + ω0T0+ φ)

Fase φ: determina a localiza¸c˜ao dos valores m´aximo e m´ınimo de uma onda cosseno.

Deslocamento t1: Para uma fun¸c˜ao qualquer s(t), considere

s(t − t1).

t1> 0 ⇒ a fun¸c˜ao ´e atrasada;

Sen´

oides

Qual a rela¸c˜ao do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t0)?

A cos(ω0t + ω0T0+ φ)

Fase φ: determina a localiza¸c˜ao dos valores m´aximo e m´ınimo de uma onda cosseno.

Deslocamento t1: Para uma fun¸c˜ao qualquer s(t), considere

s(t − t1).

t1> 0 ⇒ a fun¸c˜ao ´e atrasada;

Sen´

oides

Fa¸camos a seguinte compara¸c˜ao:

x0(t − t0) = A cos(ω0(t − t0)) = A cos(ω0t + φ) A cos(ω0t − ω0t0)) = A cos(ω0t + φ) Logo, −ω0t0 = φ e, portanto,     t0= −_ωφ₀ = −_2πfφ₀

O deslocamento de fase ´e negativo quando o deslocamento no tempo ´

e positivo (atraso).

Valor principal do deslocamento de fase: −π < φ < π |t₀| ≤ T_o/2

Sen´

oides

Fa¸camos a seguinte compara¸c˜ao:

x0(t − t0) = A cos(ω0(t − t0)) = A cos(ω0t + φ) A cos(ω0t − ω0t0)) = A cos(ω0t + φ) Logo, −ω0t0 = φ e, portanto,     t0= −_ωφ₀ = −_2πfφ₀

O deslocamento de fase ´e negativo quando o deslocamento no tempo ´

e positivo (atraso).

Valor principal do deslocamento de fase: −π < φ < π |t₀| ≤ T_o/2

Sen´

oides

Fa¸camos a seguinte compara¸c˜ao:

x0(t − t0) = A cos(ω0(t − t0)) = A cos(ω0t + φ) A cos(ω0t − ω0t0)) = A cos(ω0t + φ) Logo, −ω0t0 = φ e, portanto,     t0= −_ωφ₀ = −_2πfφ₀

O deslocamento de fase ´e negativo quando o deslocamento no tempo ´

e positivo (atraso).

Valor principal do deslocamento de fase: −π < φ < π |t₀| ≤ T_o/2

Sen´

oides

Fa¸camos a seguinte compara¸c˜ao:

x0(t − t0) = A cos(ω0(t − t0)) = A cos(ω0t + φ) A cos(ω0t − ω0t0)) = A cos(ω0t + φ) Logo, −ω0t0 = φ e, portanto,     t0= −_ωφ₀ = −_2πfφ₀

O deslocamento de fase ´e negativo quando o deslocamento no tempo ´

e positivo (atraso).

Valor principal do deslocamento de fase: −π < φ < π |t₀| ≤ T_o/2

Sen´

oides

Fa¸camos a seguinte compara¸c˜ao:

x0(t − t0) = A cos(ω0(t − t0)) = A cos(ω0t + φ) A cos(ω0t − ω0t0)) = A cos(ω0t + φ) Logo, −ω0t0 = φ e, portanto,     t0= −_ωφ₀ = −_2πfφ₀

O deslocamento de fase ´e negativo quando o deslocamento no tempo ´

e positivo (atraso).

Valor principal do deslocamento de fase: −π < φ < π |t0| ≤ To/2

x (t) = 10 cos(2π1000t + π/2). % Matlab code A = 10; f0 = 1000; phi = pi/2; T0 = 1/f0; tt = -2*T0 : T0/40 : 2*T0; xx = A*cos(2*pi*f0*tt + phi); plot(tt,xx)

title(’Sinusoid: x(t) = 10 cos(2*pi*1000*t + pi/2)’); xlabel(’Time (sec)’);

Exponenciais Complexas

Parte real e imagin´aria s˜ao as coordenadas horizontais e verticais, respectivamente.

Exponenciais Complexas

Parte real e imagin´aria s˜ao as coordenadas horizontais e verticais, respectivamente.

Exponenciais Complexas

x = r cos θ y = r sin θ r =px2_{+ y}2

θ = arctan y_x

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

Sinal exponencial complexo: ˜ x (t) = Aej (ω0t+φ) ˜ x (t) = A cos(ω0t + φ) + Aj sin(ω0t + φ) A ´e a amplitude; φ ´e o deslocamento em fase;

ω0 ´e a frequˆencia angular (radianos/segundos);

Parte real do sinal:

x (t) = <{Aej (ω0t+φ)_{} = A cos(ω} 0t + φ)

Exponenciais Complexas

Sinal exponencial complexo: ˜ x (t) = Aej (ω0t+φ) ˜ x (t) = A cos(ω0t + φ) + Aj sin(ω0t + φ) A ´e a amplitude; φ ´e o deslocamento em fase;

ω0 ´e a frequˆencia angular (radianos/segundos);

Parte real do sinal:

x (t) = <{Aej (ω0t+φ)_{} = A cos(ω} 0t + φ)

Exponenciais Complexas

Sinal exponencial complexo: ˜ x (t) = Aej (ω0t+φ) ˜ x (t) = A cos(ω0t + φ) + Aj sin(ω0t + φ) A ´e a amplitude; φ ´e o deslocamento em fase;

ω0 ´e a frequˆencia angular (radianos/segundos);

Parte real do sinal:

x (t) = <{Aej (ω0t+φ)_{} = A cos(ω} 0t + φ)

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

Exponenciais Complexas

˜

x (t) = Aej (ω0t+φ)

Pode ser representado como um vetor em um plano complexo;

A ponta do vetor est´a posicionada no c´ırculo de raio A;

Se t cresce, ˜x (t) ´e rotacionado a uma taxa constante (ω0);

Em outras palavras:

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t)_{, X ´e rotacionado.}

Exponenciais Complexas

˜

x (t) = Aej (ω0t+φ)

Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor est´a posicionada no c´ırculo de raio A;

Se t cresce, ˜x (t) ´e rotacionado a uma taxa constante (ω0);

Em outras palavras:

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t)_{, X ´e rotacionado.}

Exponenciais Complexas

˜

x (t) = Aej (ω0t+φ)

Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor est´a posicionada no c´ırculo de raio A;

Se t cresce,

˜

x (t) ´e rotacionado a uma taxa constante (ω0);

Em outras palavras:

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t)_{, X ´e rotacionado.}

Exponenciais Complexas

˜

x (t) = Aej (ω0t+φ)

Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor est´a posicionada no c´ırculo de raio A;

Se t cresce, ˜x (t) ´e rotacionado a uma taxa constante (ω0);

Em outras palavras:

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t)_{, X ´e rotacionado.}

Exponenciais Complexas

˜

x (t) = Aej (ω0t+φ)

Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor est´a posicionada no c´ırculo de raio A;

Se t cresce, ˜x (t) ´e rotacionado a uma taxa constante (ω0);

Em outras palavras:

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t)_{, X ´e rotacionado.}

Exponenciais Complexas

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t) _{faz com que X seja}

rotacionado;

Se ω0> 0, dire¸c˜ao anti-hor´aria.

Se ω0< 0, dire¸c˜ao hor´aria.

Lembrando: |ej (ω0t)_{| = 1!}

O fasor faz uma revolu¸c˜ao completa a cada 2π radianos; O tempo que leva para completar uma revolu¸c˜ao ´e T0:

ω0T0 = (2πf0)T0 = 2π ⇒ T0=

1 f0

Exponenciais Complexas

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t) _{faz com que X seja}

rotacionado;

Se ω0> 0, dire¸c˜ao anti-hor´aria.

Se ω0< 0, dire¸c˜ao hor´aria. Lembrando: |ej (ω0t)_{| = 1!}

O fasor faz uma revolu¸c˜ao completa a cada 2π radianos; O tempo que leva para completar uma revolu¸c˜ao ´e T0:

ω0T0 = (2πf0)T0 = 2π ⇒ T0=

1 f0

Exponenciais Complexas

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t) _{faz com que X seja}

rotacionado;

Se ω0> 0, dire¸c˜ao anti-hor´aria.

Se ω0< 0, dire¸c˜ao hor´aria. Lembrando: |ej (ω0t)_{| = 1!}

O fasor faz uma revolu¸c˜ao completa a cada 2π radianos;

O tempo que leva para completar uma revolu¸c˜ao ´e T0:

ω0T0 = (2πf0)T0 = 2π ⇒ T0=

1 f0

Exponenciais Complexas

Multiplicando-se X = Aej φ por ej (ω0t) _{faz com que X seja}

rotacionado;

Se ω0> 0, dire¸c˜ao anti-hor´aria.

Se ω0< 0, dire¸c˜ao hor´aria. Lembrando: |ej (ω0t)_{| = 1!}

O fasor faz uma revolu¸c˜ao completa a cada 2π radianos; O tempo que leva para completar uma revolu¸c˜ao ´e T0:

ω0T0 = (2πf0)T0 = 2π ⇒ T0=

1 f0

Exponenciais Complexas

Demo:

Exponenciais Complexas

F´ormulas de Euler inversas:

cos θ = e j θ_{+ e}−jθ 2 sin θ = e j θ_{− e}−jθ 2j

Podemos expressar cos(ω0t + φ) como uma soma de exponenciais

complexas: A cos(ω0t + φ) = A ej (ω0t+φ)_{+ e}−j(ω0t+φ) 2 ! = Ae j φ_ej ω0t_{+ Ae}−jφ_e−jω0t 2 = 1 2Xe j (ω0t)₊1 2X ∗ e−j(ω0t) = 1 2˜x (t) + 1 2x˜ ∗ (t) = <[˜x (t)]

Exponenciais Complexas

F´ormulas de Euler inversas:

cos θ = e j θ_{+ e}−jθ 2 sin θ = e j θ_{− e}−jθ 2j

Podemos expressar cos(ω0t + φ) como uma soma de exponenciais

complexas: A cos(ω0t + φ) = A ej (ω0t+φ)_{+ e}−j(ω0t+φ) 2 ! = Ae j φ_ej ω0t_{+ Ae}−jφ_e−jω0t 2 = 1 2Xe j (ω0t)₊1 2X ∗ e−j(ω0t) = 1 2˜x (t) + 1 2x˜ ∗ (t) = <[˜x (t)]

Exponenciais Complexas

Demo:

Exponenciais Complexas

Queremos provar que:

x (t) = N X k=1 Akcos(ω0t + φk) = A cos(ω0t + φ) temos que: A cos(ω0t + φ) = < n Aej (ω0t+φ)o_{= <}n_Aej ω0t_ej φo e que < ( _N X k=1 Xk ) = N X k=1 < {X_k} Logo: N X k=1 Akcos(ω0t + φk) =?

Exponenciais Complexas

Queremos provar que:

x (t) = N X k=1 Akcos(ω0t + φk) = A cos(ω0t + φ) temos que: A cos(ω0t + φ) = < n Aej (ω0t+φ)o_{= <}n_Aej ω0t_ej φo e que < ( _N X k=1 Xk ) = N X k=1 < {X_k} Logo: N X k=1 Akcos(ω0t + φk) =?

Exponenciais Complexas

Queremos provar que:

x (t) = N X k=1 Akcos(ω0t + φk) = A cos(ω0t + φ) temos que: A cos(ω0t + φ) = < n Aej (ω0t+φ)o_{= <}n_Aej ω0t_ej φo e que < ( _N X k=1 Xk ) = N X k=1 < {X_k} Logo: N X k=1 Akcos(ω0t + φk) =?

Exponenciais Complexas

Queremos provar que:

x (t) = N X k=1 Akcos(ω0t + φk) = A cos(ω0t + φ) temos que: A cos(ω0t + φ) = < n Aej (ω0t+φ)o_{= <}n_Aej ω0t_ej φo e que < ( _N X k=1 Xk ) = N X k=1 < {X_k} Logo: N X k=1 Akcos(ω0t + φk) =?

Exponenciais Complexas

Espectro

Espectro: representa¸c˜ao de um sinal no dom´ınio da frequˆencia que revela o conte´udo em freqˆencia do sinal;

De acordo com a express˜ao inversa de Euler: xa(t) = A cos(ω0t + φ) = A 2e j ω0t_ej φ₊ A 2e −jω0t_e−jφ

Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ) , (X∗/2, −F )} X = Aej φ, X∗ = Ae−jφ e F = ω0/(2π)

Espectro

Espectro: representa¸c˜ao de um sinal no dom´ınio da frequˆencia que revela o conte´udo em freqˆencia do sinal;

De acordo com a express˜ao inversa de Euler: xa(t) = A cos(ω0t + φ) = A 2e j ω0t_ej φ₊A 2e −jω0t_e−jφ

Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ) , (X∗/2, −F )} X = Aej φ, X∗ = Ae−jφ e F = ω0/(2π)

Espectro

Espectro: representa¸c˜ao de um sinal no dom´ınio da frequˆencia que revela o conte´udo em freqˆencia do sinal;

De acordo com a express˜ao inversa de Euler: xa(t) = A cos(ω0t + φ) = A 2e j ω0t_ej φ₊A 2e −jω0t_e−jφ

Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ) , (X∗/2, −F )} X = Aej φ, X∗ = Ae−jφ e F = ω0/(2π)

Espectro

Espectro: representa¸c˜ao de um sinal no dom´ınio da frequˆencia que revela o conte´udo em freqˆencia do sinal;

De acordo com a express˜ao inversa de Euler: xa(t) = A cos(ω0t + φ) = A 2e j ω0t_ej φ₊A 2e −jω0t_e−jφ

Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ) , (X∗/2, −F )} X = Aej φ, X∗ = Ae−jφ e F = ω0/(2π)

Espectro

xa(t) = cos(2πF1t) + cos(2πF2t)

F1 = Fc− F∆

F2 = Fc+ F∆

Frequˆencia central: Fc = (F1+ F2)/2

Frequˆencia de desvio: F∆= (F2− F1)/2

F∆<< Fc

Espectro

xa(t) = cos(2πF1t) + cos(2πF2t)

F1 = Fc− F∆

F2 = Fc+ F∆

Frequˆencia central: Fc = (F1+ F2)/2

Frequˆencia de desvio: F∆= (F2− F1)/2

F∆<< Fc

Espectro

xa(t) = cos(2πF1t) + cos(2πF2t)

F1 = Fc− F∆

F2 = Fc+ F∆

Frequˆencia central: Fc = (F1+ F2)/2

Frequˆencia de desvio: F∆= (F2− F1)/2

F∆<< Fc

Espectro

xa(t) = cos(2πF1t) + cos(2πF2t)

F1 = Fc− F∆

F2 = Fc+ F∆

Frequˆencia central: Fc = (F1+ F2)/2

Frequˆencia de desvio: F∆= (F2− F1)/2

F∆<< Fc

Espectro

xa(t) = cos(2πF1t) + cos(2πF2t)

Somar duas sen´oides com frequˆencias muito parecidas == multiplicar duas sen´oides com frequˆencias bem distantes!

Espectro

Qual o efeito de multiplicar uma sen´oide com alta frequˆencia (e.g., 2000 Hz) por uma de baixa (e.g., 20 Hz)?

Aplica¸c˜

ao

Qual o efeito de multiplicar uma sen´oide com alta frequˆencia (e.g., 2000 Hz) por uma de baixa (e.g., 200 Hz)?

Aplica¸c˜

ao

Modula¸c˜ao

xa(t) = va(t) cos(2πFct)

va(t): sinal a ser transmitido;

cos(2πFct): sinal da portadora