Transmissão de impulsos em banda-base

Transmissão de impulsos em

banda-base

2

Transmissão de impulsos através de um

canal com ruído aditivo

2.1

Probabilidades de erro com

detecção no ponto central

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 2

Detecção de sinais binários em ruído gaussiano

A detecção de sinais binários envolve dois passos:

Passo 1: reduzir a forma de onda recebida (banda-base ou passa-banda) a um número z(t=T) ⇒ Filtro linear + Amostrador

Passo 2: comparar a amostra z(T) com um nível limiar, γ, e decidir qual terá sido a forma de onda transmitida ⇒ Decisor

Passo 1 Passo 2 Filtro linear h(t) si(t) = s0(t) ou s1(t) 1/T Ruído AWGN n(t) r(t) = si(t) + n(t) Forma de onda binária z(t) = ai(t) + n0(t) z(T) = ai(T) + n0(T) ˆ ( )_i s t Decisor (comparador) 1 0 ( ) H H z T ≷γ

O receptor óptimo consiste num

correlacionador ou filtro adaptado a s1(t) - so(t)

v. a. gaussiana (porque h(t) é linear

e n(t) é gaussiano) ⇒ z(T) é v. a. gaussiana

• Uma vez a forma de onda r(t) ter sido transformada num número, z(T), a forma dessa forma de onda deixa de ser importante: para efeitos de detecção, todas as formas de onda que se convertem no mesmo número z(T) são idênticas: Decisão: 1 0 ( ) H H z T ≷

γ

• Na escolha do limiar de decisão γ teremos de ter em conta a estatística do ruído. Sendo gaussiano com média nula e variância σ2_{, a sua função}

densidade de probabilidade (fdp) é dada por

2 2 2 1 ( ) exp 2 2 n n p n σ πσ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜− ⎟_⎟ ⎝ ⎠ • ai(T) é a0(T) = a0 ou a1(T) = a1 ⇒ as fdps ficam centradas em a0 e a1.

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 3

Detecção de sinais binários em ruído gaussiano

Decisões rígidas e decisões brandas

A saída do decisor anterior é binária, 0 ou 1, consoante a decisão tomada. Mas podia não ser binária. De facto, podemos considerar três tipos de decisões possíveis:

• Decisões rígidas (“hard decisions”)

O valor decidido pertence a um conjunto binário de valores (0 ou 1, Verdadeiro ou Falso, etc.).

• Decisões brandas quantizadas (“quantized soft decisions”)

O valor decidido pertence a um conjunto discreto (finito) de valores possíveis. É vulgar usar oito valores.

• Decisões brandas não-quantizadas (“unquantized soft decisions”)

O valor decidido pertence ao conjunto dos números reais.

B A -1 0 +1 1 0 000 001 010 011 100 101 110 111 Decisão rígida Decisão branda (3 bits) Decisão branda não-quantizada 0,4 0,75

As decisões brandas são convenientes se vierem a ser utilizadas por outros blocos ou dispositivos do sistema de comunicações, como no exemplo da página seguinte.

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 4

Detecção de sinais binários em ruído gaussiano

Decisões rígidas e decisões brandas

Modulador binário antipodal

Desmodulador coerente

Canal AWGN Descodificador Codificador

Forma de onda com ruído Forma de onda

{0;1} {0;1}

Canal binário simétrico

Neste sistema de comunicações o “desmodulador coerente” entrega ao descodificador um valor binário.

Mas assim o desmodulador está a deitar fora alguma informação sobre o sinal recebido que pode ser útil ao descodificador.

• Por exemplo, quer o valor real 0,4 quer o valor real 0,75 correspondem à decisão binária “1”.

• Mas… qual dos dois valores nos inspira mais confiança sobre o bit gerado pela fonte?

0,4 ou 0,75?

Certamente que é 0,75: como está mais longe do limiar de decisão nulo temos mais certeza que a fonte produziu um bit “1”.

⇓

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 5

Estimações MAP e de máxima verosimilhança com

decisões rígidas

• A função densidade de probabilidade condicional p(z|si) é denominada de

verosimilhança de si. Verosimilhança de s0 p(z|s0) Verosimilhança de s1 p(z|s1) a1 a0 γ0 za(T) z(T)

Critério MAP (“maximum a posteriori probability”): 1 0 1 0 ( | ) ( | ) H H p s z ≷ p s z critério MAP • Se p s( ₁| )z > p s( ₀| )z escolhe-se a hipótese H1, caso contrário,

escolhe-se a hipótese H0.

• Tendo em conta o teorema de Bayes obtemos

1 0 0 0 1 1 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) H H p z s p s p z s p s p s z p z p z = ≷ ⇒ 1 0 0 1 0 1 ( ) ( | ) ( | ) ( ) H H p s p z s

p z s ≷ p s (teste da razão de verosimilhanças) Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis então

1 0 1 0 ( | ) ( | ) H H p z s ≷ p z s critério ML

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 6

Estimação de máxima verosimilhança

• Na estimação MAP consideramos probabilidades a posteriori, isto é, probabilidades obtidas após observação da saída do canal.

• Na estimação ML consideramos probabilidades a priori (verosimilhanças), isto é, probabilidades já conhecidas antecipadamente.

• Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis os dois critérios de

estimação são equivalentes, como se viu.

• Na estimação ML o limiar de decisão óptimo escolhido minimiza a probabilidade de erro.

• Se as formas de onda s0(t) e s1(t) forem equiprováveis e as verosimilhanças

p(z|s0) e p(z|s1) forem simétricas o limiar de decisão óptimo é igual ao valor

médio de a0 e a1. Ou seja, 1 0 0 1 0 ( ) 2 H H a a z T ≷ + =

γ

γ0 – limiar óptimo

Isto significa que o decisor irá escolher a hipótese H1 ou H0 que

corresponda ao sinal com a máxima verosimilhança p(z|si). Assim, se a saída

do detector for za(T):

• escolhe-se s1(t) se p z T( _a( ) | )s₁ > p z T( _a( ) |s₀)

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 7

Transmissão de impulsos em banda-base

Detecção de impulsos com amostragem no ponto central

Vamos, para já, “esquecer” o filtro linear no receptor.

• Suponhamos que ao bit “1” corresponde um impulso de amplitude A1 e duração T e ao bit “0” corresponde um impulso de amplitude Ao e igual duração T. T A₁ t “1” T A₀ t “0”

• Os impulsos são afectados de ruído gaussiano branco aditivo, n(t), de média nula e variância σ2_.

• Vamos admitir que os impulsos são equiprováveis, P₀ = P₁ = 1 2 .

Pretende-se determinar qual foi o impulso (ou bit) enviado. Uma maneira de o fazer é:

1. amostrar a forma de onda ruidosa z(t)= A_i +n(t) no ponto central dos impulsos, isto é, nos instantes T/2, 3T/2, 5T/2, etc.

2. com base no valor da amostra obtida, decidir qual o bit enviado: se o valor da amostra for superior a um determinado limiar γ escolhemos o bit “1”, se for inferior a esse limiar escolhemos o bit “0”.

A_o ou A₁ z(t) z(T/2) 1/T Decisor z(T/2) >< γ “1” “0” Ruído n(t) Limiar γ

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 8

Transmissão de impulsos em banda-base

• Como n(t) é uma variável aleatória gaussiana, z(t)=Ai+n(t) também o é.

• A média de z(t) é Ao ou A1 consoante a amplitude do impulso.

p(z|A0) p(z|A1) A1 A0 γ z(T) Pe0 “1” Pe1 “0”

• Quando os bits são equiprováveis o limiar de decisão óptimo é o valor intermédio

γ

= A0 + A1

2 .

• A probabilidade de se cometer um erro de decisão caso se tenha enviado um “0” é a probabilidade de p(z|A₀) ser superior ao limiar, isto é,

P_e0 = p(z| A₀) dz γ ∞

∫

= 1 2πσ2 e −(z− A0)2 2σ2 _dz γ ∞

∫

• Do mesmo modo P_e1 = p( z| A₁)dz −∞ γ

∫

= 1 2πσ2 e −(z−A1) 2 2σ2 _dz −∞ γ

∫

(= P_e0)

• A probabilidade de erro (global) é dada por

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 9

Transmissão de impulsos em banda-base

Probabilidade de erro na presença de ruído gaussiano

Desenvolvendo e fazendo a mudança de variável x = z− A0

σ

: P_e = P_{e 0} = 1 2πσ2 e −(z− A0)2 2σ2 _dz γ ∞

∫

= 1 2π e −x2 ₂ dx γ−A₀ σ ∞

∫

Como

γ

= A0 + A1 2 : P_e = 1 2π e −x2 ₂ dx ( A₁−A₀) 2σ ∞

∫

= Q(A1 − A0 2σ )

• Como se vê, a probabilidade de erro apenas depende da diferença das amplitudes dos impulsos, ∆V = A₁− A₀, e do valor eficaz (ou desvio padrão) do ruído gaussiano, σ:

P_e = Q(A1 − A0 2σ )= = Q ∆V 2σ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

• A função Q (ver à frente) é uma função decrescente; logo, quanto maior for a diferença de amplitudes dos impulsos binários ou quanto menor for a potência do ruído, menor será a probabilidade de erro na detecção dos impulsos.

• A função densidade de probabilidade gaussiana de média X e variância σ2

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 10

Transmissão de impulsos em banda-base

A função Q

• Considere-se uma variável aleatória gaussiana normalizada X de média nula e variância unitária. A probabilidade de a variável aleatória ultrapassar o valor x é dada pela função Q:

∫

∞ − = = > x d e x Q x X P λ π λ2 2 2 1 ) ( ) (

• Esta probabilidade é igual à área sob a cauda da fdp gaussiana normalizada. 0 x

λ

N

(0,1) px(

λ

) ( ) ( ) ( ) x x F x P X x p λ λd −∞ = ≤ = =

_∫

(área) ( ) ( ) 1 ( ) Q x =P X >x = −F x (distribuição cumulativa)

• A função Q(x) está relacionada com a função de erro erf(x) e com a função de erro complementar erfc(x) através de

Q( x )= 1 2erfc( x 2) erfc( x )= 1 − erf (x ) = 2 π e−λ 2 dλ x ∞

∫

erfc( x )= 2Q( 2x ) 1 1 1 ( ) 2 (1 2 ) 2 (2 ) Q y erf y erfc y − − − = − = =

• Todas estas funções se encontram tabuladas em diversos livros ou podem ser calculadas em computador.

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 11

Transmissão de impulsos em banda-base

A função Q Q( x )= 1 2π e −λ2 ₂ dλ x ∞

∫

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 x Q( x)

Hoje em dia já não precisamos de consultar tabelas com as funções de erro ou com a função Q pois existem programas de computador que as calculam. Por exemplo, em Matlab experimente as funções erf, erfc e erfinv ou defina Q(x) como 1–normcdf(x) se dispuser da “Statistics Toolbox”.

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 12

Transmissão de impulsos em banda-base

Casos particulares: sinalização unipolar e polar 1. Sinalização unipolar T A t 2T 3T 0

• Potência média do sinal: S = A2 2 =

∆V2

2 • Potência normalizada do ruído: N =

σ

2

Logo: 1 2 2 e V S P Q Q N σ ⎛ ⎞ ∆ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟= ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} 2. Sinalização polar T A/2 t 2T -A/2

• Potência média do sinal:

2 ₂

2 4

A V

S =⎛ ⎞_{⎜ ⎟} = ∆ ⎝ ⎠ • Potência normalizada do ruído: 2

N =σ Logo: 2 e V S P Q Q N σ ⎛ ⎞ ∆ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟= ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠}

As probabilidades de erro são iguais mas com sinalização unipolar é preciso o dobro da potência do sinal.

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 13

Transmissão de impulsos em banda-base

Sinalização multinível

Consideremos M níveis igualmente espaçados de ∆V volts e ruído com variância σ2_: t V₃ V₂ V₁ V₀ ∆V

Em termos de funções densidade de probabilidade passamos a ter a figura seguinte: p(z|V_o) v Vo=-3∆V/2 V1=-∆V/2 V2=∆V/2 V3=3∆V/2 p(z|V₁) p(z|V₂) p(z|V₃) 0 Pe1 Pe3

Seja P_e – probabilidade de erro com 2 níveis binários P_eM – probabilidade de erro com M níveis

• Cada um dos dois símbolos “exteriores” contribui com uma probabilidade de erro P_e.

• Cada um dos M-2 símbolos “interiores” contribui com uma probabilidade de erro dupla, 2P_e.

• Com símbolos equiprováveis: P_eM = M− 2 M . 2Pe+ 2 M Pe = 2( M −1) M Pe = 2( M− 1) M Q ∆V 2

σ

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 14

Transmissão de impulsos em banda-base

Sinalização multinível: um exemplo

P.: Um sistema de sinalização em banda-base, de quatro níveis equiprováveis, utiliza impulsos rectangulares NRZ. A atenuação entre emissor e receptor é 15dB e a potência do ruído na entrada a 50Ω de um detector ideal com decisão no ponto central é 10µW. Qual é a potência média do sinal transmitido para que a probabilidade de símbolo errado seja 10-4_?

R.: O desvio padrão da tensão de ruído no receptor é igual ao valor eficaz (rms) da tensão de ruído (pois este tem média nula):

σ = PR = 1 ×10−5 × 50 = 2,236 ×10−2(V ) Resolvendo a equação 2( 1) 2 eM M V P Q M σ − ⎛∆ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ em ordem a ∆V : ∆V = 2σQ−1 M 2( M−1)PeM ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ _⎦ ⎥ = 2 × 2,236 × 10−2Q−1 4 6 ×10 −4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0,171(V) ⇒ no receptor os níveis dos impulsos são ±85,5mV e ±256mV. • Potência dos impulsos no receptor:

0, 08552 50= 1,46 × 10−4W (dois dos impulsos)

0, 2562 50= 1,31 ×10−3W (dois dos impulsos)

• Potência recebida média (com símbolos equiprováveis): S_R= 1

2

(

0,146+ 1,31

)

.10

−3 _{= 0,728mW}

• ⇒ Potência transmitida:

Probabilidades de erro com detecção no ponto central 15

Transmissão de impulsos em banda-base

Sinalização multinível: o caso dos códigos AMI

• No código AMI temos três níveis, 0 e ±∆V , não equiprováveis: P(“−∆V ”) = P(“∆V”) = 1

4 e P(“0”)= 1 2

• Suponhamos que o ruído AWGN tem variância

σ

2 _{e que f}

0(z) e f1(z) são

as fdps gaussianas associadas aos níveis 0 e ∆V .

• Dada a simetria das fdps os limiares são simétricos: ±γ . • Probabilidade de erro: P_e = 1 4. 2 −∞ f1( z) dz γ

∫

+ 1 2. 2 γ f0( z)dz ∞

∫

=1 2 −∞ f1( z) dz γ

∫

+ 1 −

∫

_−∞γ f₀( z)dz Fazendo as necessárias mudanças de variável chega-se a

P_e = 1 2 1− Q γ − ∆V σ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ _⎦ ⎥ + Q⎛ _⎝ ⎜ ⎞ γ_σ⎠ ⎟ = 1₂Q⎜ ⎛ _⎝ ∆V −_σ γ ⎞ _⎠ ⎟ + Q⎛ _⎝ ⎜ ⎞ γ_σ⎠ ⎟ • Os limiares óptimos obtêm-se igualando a derivada de P_e a zero:

0 e dP d

γ

= ⇒ γopt ⇒ f₁(γ_opt) f₀(γ_opt)= 2 γ_opt = ∆V2 + 2σ2ln2 2∆V = ∆V 2 + σ2 ∆Vln 2

• A probabilidade de erro mínima é obtida com estes limiares: P_e min = 1 2Q ∆V 2

σ

−

σ

∆V ln2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + Q ∆V 2

σ

+

σ

∆Vln 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟