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ALGEBRA LINEAR – II Prof. Amit Bhaya
Lista de Exerc´ıcios –I abril de 2005
1. Trˆes lados do cubo unit´ario (i.e., lados de comprimento 1) s˜ao denominados vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Trˆes quinas s˜ao (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0). Quais s˜ao as outras 5 quinas e as coordenadas do centro do cubo? Escreva as coordenadas dos centros das seis faces.
i j k (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) Figure 1: Problema 1
2. Qual ´e a soma v dos doze vetores que v˜ao do centro de um rel´ogio at´e os n´umeros que marcam as horas (1,2,...,12)? Se o vetor at´e o n´umero 4 for removido, qual ´e a soma dos onze vetores restantes? Se o vetor at´e o n´umero 1 for multiplicado pelo escalar 0.5 e somado aos outros onze, qual ´e o resultado?
4 12 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 Figure 2: Problema 2
3. A figura 3(a) mostra u = 1 2v+
1
2w. Mostre na figura os pontos p = 3 4v+ 1 4w, q = 1 4v+ 1 4w
e r = v + w. Mostre tamb´em o ponto s = −v + 2w e uma outra combina¸c˜ao c = αv + βw com α + β = 1. Desenhe a reta de todas as combina¸c˜oes que tem α + β = 1. Restringindo 0 ≤ α, 0 ≤ β, desenhe todos os vetores gerados pelas combina¸c˜oes lineares αv + βw.
4. Mostre os vetores a = 1 3u+ 1 3v+ 1 3w e b = 1 2u+ 1
2w na figura 3(b). Quais restri¸c˜oes
impostas sobre os escalares α, β, γ fariam com que o conjunto de vetores αu + βv + γw preencha o plano que cont´em u, v, w?
5. Desenhe a pirˆamide de combina¸c˜oes αu+βv+γw, onde α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0 e α+β+γ ≤ 1. Mostre o vetor c = 1
2u+ 1 2v+
1
2w: ele fica dentro ou fora da pirˆamide?
u u v v w w v− u (a) (b)
Figure 3: (a): Problema 3, (b): Problema 4.
6. Se hv, wi < 0, o que se pode concluir sobre o ˆangulo entre v e w? Desenhe um vetor v∈ R3
e mostre onde se localizam todos os vetores w tais que hv, wi < 0.
7. Ache dois vetores v e w ortogonais um ao outro e ambos ortogonais ao vetor (1, 1, 1). 8. Quais s˜ao os cossenos dos ˆangulos α, β, θ entre o vetor v = (1, 0, −1) e os vetores unit´arios
i, j, k alinhados com os trˆes eixos? Verifique a f´ormula cos2
α+ cos2
β+ cos2
θ = 1. 9. Escolhe quaisquer trˆes n´umeros x, y, z tais que x + y + z = 0. O ˆangulo entre o vetor
v= (x, y, z) e o vetor w = (z, x, y) varia quando x, y, z variam? Explique sua resposta. 10. Calcule o produto Ax para as matrizes A, x abaixo, utilizando produtos internos de linhas
de A com a coluna x e pela combina¸c˜ao linear das colunas de A pelos componentes do vetor x. (a) : 1 2 4 −2 3 1 −4 1 2 2 2 3 (b) : 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1 1 2 11. Qual matriz R ∈ R2×2
rotaciona todo vetor por 90◦
? (R vezes · x y ¸ ´e · y −x ¸ ). 12. Qual matriz P ∈ R3×3
permuta o vetor (x, y, z) a (y, z, x)? Qual matriz P−1
permuta (y, z, x) de volta para (x, y, z)?
13. Qual matriz E ∈ R3×3
multiplica (x, y, z) produzindo (x, y, z + x)? Qual matriz E−1
multiplica (x, y, z) produzindo (x, y, z − x)? Se multiplicar (3, 4, 5) por E e depois por E−1
, os dois resultados s˜ao (—–) e (—–).
14. Escreva o produto interno de (1, 4, 5) e (x, y, z) como uma multiplica¸c˜ao matricial Ax, onde a matriz A possui apenas uma linha. As solu¸c˜oes de Ax = 0 se localizam em cima de um(a) ——.
15. Considere a matriz · 0.8 0.3 0.2 0.7
¸
e o vetor x0 = (1, 0). Multiplique x0 trˆes vezes por A,
denominando os resultados de x1, x2, x3: x1 = Ax0 =· 0.8 0.3 0.2 0.7 ¸ · 1 0 ¸ ; x2 = Ax1; x3 = Ax2; · · ·
Qual a propriedade compartilhada pelos 4 vetores xi, i= 0, . . . , 3 ?
16. Descubra uma matriz m´agica (quadrado m´agico) M3 ∈ R 3×3
cujos elementos s˜ao 1, 2, . . . , 9 tal que todas suas linhas colunas, diagonal principal e antidiagonal principal somam a 15. Sugest˜ao: A primeira linha poderia ser 8, 3, 4. Qual ´e o resultado de M3
vezes o vetor (1, 1, 1)? Se M4 denota a matriz m´agica de dimens˜ao 4 (i.e., com elementos
1, 2, . . . , 16), qual ´e o resultado de M4 vezes (1, 1, 1, 1)?
17. Escolha b2 ∈ R que leva a nenhuma solu¸c˜ao e outro b2 que leva a infinitas solu¸c˜oes (e dˆe
duas destas) para o sistema
3x + 2y = 7 6x + 4y = b2
18. Escolha um coeficiente a12 ∈ R que torna este sistema singular. Depois escolhe b2 ∈ R
tal que o sistema admita solu¸c˜ao.
2x + a12y = 13
4x + 8y = b2
19. Para quais a11∈ R elimina¸c˜ao falha (i) permanentemente, (ii) temporariamente?
a11x+ 3y = −3
4x + 6y = 6 No segundo caso, ache os valores de x, y.
20. Aplique elimina¸c˜ao gaussiana e retrosubstitui¸c˜ao para achar a solu¸c˜ao do sistema
2x − 3y = 3
4x − 5y + z = 7 2x − y − 3z = 5
mostrando todos os passos do seu procedimento (pivˆos, opera¸c˜oes elementares).
21. Seja A = (aij) uma matriz que tenha somas dos elementos das linhas iguais a 4 e 8,
respectivamente e soma dos elementos das colunas iguais a 2 e s, respectivamente. Para qual (quais) valor(es) de s existe tal matriz? Ela ´e ´unica?
22. A matriz A ∈ R4×4
abaixo requer a utiliza¸c˜ao de matrizes elementares E21, E32, E43:
ache-as. A = 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 .
23. Escreva a matriz A = (aij) = 2i − 3j ∈ R 3×3
. ´E preciso utilizar E32 na redu¸c˜ao desta
matriz `a forma triangular? Caso afirmativo, dˆe a matriz E32; caso contr´ario, explique
porque n˜ao se utiliza E32.
24. Escreva os seguintes problemas “cl´assicos” na forma matricial Ax = b: (i) X ´e duas vezes mais velho que Y e suas idades somam a 33. (ii) A reta y = mx + c passa pelos pontos (x, y) = (2, 5) e (3, 7). 25. Multiplique as matrizes abaixo na ordem EF e FE:
E= 1 0 0 a 1 0 b 0 1 ; F= 1 0 0 0 1 0 0 c 1 Compute tamb´em E2 = EE e F2 = FF.
26. Aplique elimina¸c˜ao gaussiana `a matriz aumentada correspondente ao seguinte sistema linear, decidindo se ele possui solu¸c˜ao.
Ax= 1 2 3 2 3 4 3 5 7 x1 x2 x3 = 1 2 6 = b1 b2 b3 = b.
Caso haja solu¸cao, ache-a; caso contr´ario, investigue se ´e poss´ıvel mudar o valor de bi
para algum i para que haja uma solu¸c˜ao.
27. Quais linhas ou colunas e quais matrizes s˜ao multiplicadas para achar (a) a terceira coluna de AB ?
(b) a primeira linha de AB ? (c) o elemento (3,4) de AB ? (d) o elemento (1,1) de CDE ? 28. Dadas as matrizes A=· 1 5 2 3 ¸ ; B =· 0 2 0 1 ¸ ; C=· 3 1 0 0 ¸ ,
verifique a propriedade de distributividade computando separadamente AB+AC, A(B+ C) e comparando os resultados. Idem para associatividade, computando A vezes BC e depois AB vezes C e comparando os resultados.
29. Para as matrizes A, B abaixo, compute A2
, B2
, A3
, B3
e fa¸ca sua previs˜ao para A5
, An, B5 e Bn. A=· 1 b 0 1 ¸ ; B=· 2 2 0 0 ¸ . 30. Para as matrizes A=· 1 2 0 0 ¸ ; B=· 1 0 3 0 ¸ , mostre que (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 .
31. (Para matrizes 3 × 3) Sempre que poss´ıvel, ache B tal que para toda matriz A: (a) BA = 4A
(b) BA = 4B
(c) BA tem linhas 1 e 3 de A trocadas
(d) Todas as linhas de BA s˜ao as mesmas e iguais a linha 1 de A. 32. Para A = · 2 −1 3 −2 ¸ e B = · 1 0 4 1 0 6 ¸
, compute apenas o resultado indicado e nada al´em disso: (a) coluna 2 de AB (b) linha 2 de AB (c) linha 2 de AA = A2 (d) linha 2 de AAA = A3 .
33. Quais palavras vocˆe utilizaria para descrever as classes de matrizes especificadas abaixo. Dˆe um exemplo de uma matriz 3 × 3 pertencente a cada classe e uma matriz pertencente a interse¸c˜ao das quatro classes.
(a) aij = 0, se i 6= j
(b) aij = 0, se i < j
(c) aij = aji
(d) aij = a1j.
34. Multiplique A e B utilizando colunas vezes linhas:
AB= 1 0 2 4 2 1 · 3 3 0 1 2 1 ¸ = 1 2 2 [3 3 0] + · · · = C ∈ R 3×3 .
35. O sistema Ax = b ´e resolvido para trˆes lados direitos espec´ıficos
b= 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1
e as solu¸c˜oes denominadas x1 = (1, 1, 1), x2 = (0, 1, 1) e x3 = (0, 0, 1). Vocˆe consegue
resolver, para esta matriz A, o sistema Ax = b, onde b = (3, 5, 8)? Consegue achar a matriz A?
36. Para as matrizes de permuta¸c˜ao Pi abaixo, ache as inversas P −1
i (por tentativa e erro,
com 0’s e 1’s): P1 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ; P2 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 .
37. Ache tres matrizes 2 × 2 (sem ser A = I) que s˜ao suas pr´oprias inversas, isto ´e AA = A2
= I.
38. (a) Se A for invers´ıvel e AB = AC, demonstre que B = C. (b) Se A =· 1 1
1 1 ¸
, ache duas matrizes B 6= C tais que AB = AC. 39. Ache as inversas (por qualquer m´etodo consistente) das matrizes
A= 0 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 0 ; B= 3 2 0 0 4 3 0 0 0 0 6 5 0 0 7 6 .
40. (a) Ache matrizes invers´ıveis A e B tais que A + B n˜ao seja invers´ıvel. (b) Ache matrizes singulares A e B tais que A + B seja invers´ıvel.
41. Verdadeiro ou falso; dˆe contraexemplo espec´ıfico caso falso. (a) Se a primeira e a terceira coluna de B forem iguais, ent˜ao a primeira e a terceira coluna do produto AB tamb´em ser˜ao; (b) Se a primeira e a terceira linha de B forem iguais, ent˜ao a primeira e a terceira linha do produto AB tamb´em ser˜ao; (c) (AB)2
= A2
B2
.
42. A primeira linha de AB ´e uma combina¸c˜ao linear das linhas de B. Quais os coeficientes nesta combina¸c˜ao, e qual a primeira linha de AB, se
A=· 2 1 4 0 −1 1 ¸ , B= 1 1 0 1 1 0 ?
43. Atrav´es de tentativa e erro, ache exemplos de matrizes 2 × 2 tais que: (a) A2
= −I, A∈ R2×2
; (b) B2
= 0, embora B 6= 0; (c) CD = −DC, sem que CD seja igual a 0; (d) EF= 0, embora E 6= 0, F 6= 0.
44. Ache a fatora¸c˜ao PA = LDU (e verifique) para as matrizes:
A= 0 1 1 1 0 1 2 3 4 , A = 1 2 1 2 4 2 1 1 1 . 45. Utilize a t´ecnica Gauss-Jordan para inverter:
A1 = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 , A2 = 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 .
46. Quando elimina¸c˜ao falha (i.e. ´e imposs´ıvel prosseguir) para uma matriz singular como
A= 2 1 4 6 0 3 8 5 0 0 0 7 0 0 0 9 mostre que A n˜ao pode ser invers´ıvel.
47. Quais as propriedades de uma matriz A que s˜ao preservadas pela inversa (quando esta existe): (i) triangularidade, (ii) simetria, (iii) todos os elementos inteiros, (iv) todos os elementos racionais?
48. Ache as inversas destas bloco-matrizes se existirem: M1 = · I 0 C I ¸ ; M2 = · A 0 C D ¸ ; M3 = · 0 I I D ¸ . 49. Ache AT i , A −1 i , (A −1 )T e (AT)−1 para A1 = · 1 0 8 2 ¸ ; A2 = · 1 1 1 0 ¸ .
50. (a) Explique porque o produto interno hx, yi ´e sempre igual ao produto interno hPx, Pyi, onde P ´e uma matriz de permuta¸c˜ao.
(b) Com x = (1, 2, 3) e y = (1, 1, 2), mostre que hPx, yi nem sempre ´e igual a hx, Pyi. Observa¸c˜ao: Seja bem claro na apresenta¸c˜ao formal da resolu¸c˜ao dos problemas; a apre-senta¸c˜ao da solu¸c˜ao t˜ao somente, n˜ao ´e o objetivo desta lista de exerc´ıcios.
