CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS
FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO
DE BERNOULLI – 3ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A
LINHA PIEZOMÉTRICA
A equação de Bernoulli é a Equação de Conservação da Energia Mecânica.
Também mostra qual é a partição desta energia nos escoamentos invíscidos , incompressíveis e em regime permanente e estabelece que a soma das várias energias do fluido permanece constante no escoamento de uma seção para outra.
Uma interpretação útil da Equação de Bernoulli pode ser obtido através da utilização dos conceitos da Linha Piezométrica e da Linha de
Energia.
Estes conceitos nos permitem realizar uma interpretação geométrica do escoamento e podem ser utilizados para propiciar um melhor entendimento dos escoamentos.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A
LINHA PIEZOMÉTRICA
A energia total permanece constante ao longo da linha de corrente nos escoamento incompressíveis, invíscidos e que ocorre em regime permanente.
O conceito de carga foi introduzido dividindo os termos da Equação de Bernoulli pelo peso específico do fluido,γ=ρ.g, ou seja:
H – é uma constante denominada Carga Total.
A linha de energia representa a carga total disponível no fluido, como mostra a Figura a seguir
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
Como mostra na Figura anterior, a elevação da Linha de energia pode ser obtida a partir da pressão de estagnação medida com um tubo de Pitot, pois esta fornece uma medida da carga (ou energia) total do escoamento.
A pressão estática, medida pelos tubos piezométricos, por outro lado, mede a soma das carga de pressão e de elevação, p/γ + z, e esta soma é denominada Carga Piezométrica.
O lugar geométrico das elevações obtidas com um tubo de Pitot num escoamento é denominado Linha de Energia.
A linha formada pela série de medições piezométricas num escoamento é denominada Linha Piezométrica.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
Note que, a linha de energia será horizontal se o escoamento não violar as hipóteses utilizadas na obtenção da Equação de Bernoulli.
Se a velocidade do fluido aumenta ao longo da Linha de Corrente a Linha Piezométrica não será horizontal.
Se os efeitos viscosos forem importantes (como nos escoamentos em tubos) a carga total não permanece constante devido as perdas de energia mecânica ao longo da Linha de Corrente, o que significa que a Linha de Energia não é mais horizontal.
A Figura a seguir mostra a Linha de Energia e Piezométrica relativa ao escoamento de um grande tanque.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
As Linhas de Energia e piezométrica no Escoamento Efluente de um Grande Tanque:
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
A Linha de energia é horizontal e passa pela superfície livre do líquido do tanque, porque a velocidade e a pressão relativa na superfície livre do tanque são nulas.
A linha Piezométrica dista V2 / 2g da Linha de Energia, assim uma
mudança na velocidade do fluido provocada por uma variação no diâmetro da tubulação, resulta numa mudança da altura da Linha Piezométrica.
A Carga de pressão é nula na seção de descarga da tubulação e, deste modo, a altura da tubulação coincide com a linha piezométrica.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
A Figura abaixo mostra que a distância entre a tubulação e a Linha Piezométrica indica qual é a pressão no escoamento.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E
A LINHA PIEZOMÉTRICA
Se o trecho de tubulação se encontra abaixo da linha piezométrica a pressão no escoamento é positiva (acima da atmosférica).
Se o trecho de tubulação está acima da linha piezométrica a pressão negativa (abaixo da atmosférica)
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
A Figura abaixo mostra água sendo retirado de um tanque através de uma mangueira que apresenta diâmetro constante. Um pequeno furo é encontrado no ponto (1) da mangueira. Nós identificaremos um vazamento de água ou sucção de ar para mangueira no furo?
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
SOLUÇÃO:
Se a pressão no ponto (1) for menor do que a atmosférica nós detectaremos sucção de ar para o escoamento de água e se a pressão em (1) for maior do que a atmosférica nós identificaremos um vazamento de água da mangueira.
Nós podemos determinar o valor da pressão neste ponto se utilizarmos as linhas de energia e piezométrica.
Primeiramente nós vamos admitir que o escoamento ocorre em regime permanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições a carga total é constante, ou seja, a linha de energia é horizontal.
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
A Equação da continuidade (A.V = constante) estabelece que a velocidade do escoamento na mangueira é constante porque o diâmetro da mangueira não varia.
Assim, a linha piezométrica está localizada a V2/2g abaixo da linha de
energia (veja a Figura do Exercício).
Como a pressão na seção de descarga da mangueira é igual a atmosférica, segue que a linha piezométrica apresenta a mesma altura da seção de carga da mangueira.
O Fluido contido na mangueira está acima da linha piezométrica e, assim, a pressão em toda a mangueira é menor do que a pressão atmosférica.
Isto mostra que terá sucção de ar para escoamento de água através do furo localizado no ponto (1).
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
Note que efeitos viscosos podem tornar esta análise mais complexa, já que adotar a linha de energia como horizontal incorreto.
Entretanto, se a velocidade do escoamento não for alta, se o diâmetro da mangueira não for muito pequeno e seu comprimento não for longo, o escoamento pode ser modelado como não viscoso e os resultados desta análise são muito próximo dos experimentais.
Será necessário realizar uma análise mais detalhada deste escoamento se qualquer uma das hipóteses utilizadas for relaxada.
Se a válvula localizada na seção de descarga da mangueira for fechada, de modo que a vazão em volume se torna nula, a linha piezométrica coincidirá com a linha de energia (V2/2g = 0 ) em toda a
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
Neste caso, nós identificaremos um vazamento de água pelo furo localizado no ponto (1).
A discussão anterior sobre a linha de energia e piezométrica é restrita a escoamento invíscidos, incompressível e que ocorrem em regime permanente e outra restrição é que não existem “fontes” ou “sorvedouros” de energia no escoamento, ou seja, o escoamento não é afetado por bombas ou turbinas.
3.8
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– RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA
RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA
RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA
RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA
EQUAÇÃO DE
EQUAÇÃO DE
EQUAÇÃO DE
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
BERNOULLI
BERNOULLI
BERNOULLI
Vamos considerar as conseqüências da utilização incorreta da Equação de Bernoulli.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
A utilização da Equação de Bernoulli pra análise de escoamento de gases, pode levar a sérios erros.
Se a massa específica permanecer constante tem se que a diferença entre pressão de estagnação e a pressão estática é igual aρV2/2.
Se a pressão dinâmica não é alta, quando comparada com a pressão estática, a variação da massa específica entre dois pontos do escoamento não é muito grande e o fluido pode ser considerado incompressível.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Entretanto, como a pressão dinâmica varia com V2, o erro associado
com a hipótese de incompressibilidade do fluido aumenta com o quadrado da velocidade do escoamento.
Tendo:
Integrando adequadamente: e levando em consideração a variação
da massa específica do fluido.
Tomando um escoamento isotérmico de um gás perfeito:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Assim, se o escoamento ocorre em regime permanente, é isotérmico e invíscido, a Equação se torna:
Onde se temρ = p/RT. O termo de pressão é facilmente integrável e a constante de integração avaliada se z1, p1 e V1 são conhecidos em
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Na situação limite em que p1/p2= 1 + ((p1– p2)/p2) = 1 +εcom ε << 1,
a Equação se reduz a Equação de Bernoulli Padrão.
Isto pode ser mostrado utilizando a aproximação ln(1 + ε) = ε, quando
ε é pequeno.
A utilização da Equação é muito restrita porque os efeitos viscosos são importante na maioria dos escoamentos.
O escoamento compressível mais usual é o isoentrópico (entropia constante) de um gás perfeito, estes escoamentos são adiabáticos reversíveis, sem a presença de atrito e transferência de calor e são boas aproximações em muitas situações.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Como já vimos no Capítulo 01, a massa específica e a pressão estão relacionados por:
Onde ´k é a relação entre os calores específico e C é constante nos escoamentos isoentrópicos de Gases Perfeitos.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
O termo de pressão pode ser integrado entre os pontos (1) e (2) da linha de corrente e a constante C avaliada em um dos pontos C+1/k =
p11/k/ρ1ou C+1/k= p21/k/ρ2 para fornecer:
Assim tem-se:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
A Equação pra fluidos compressíveis isoentrópicos e a Equação de Bernoulli fornecem os mesmos resultados quando aplicada a escoamentos com velocidade baixa.
A Equação para fluido compressível isoentrópico pode ser escrita de forma adimensional:
Onde (1) denota as condições a montante e (2) as condições de estagnação. Foi admitido que z1= z2e Ma = V1/C1é o número de Mach
a montante, sendo a velocidade do som, C1= (kRT1)1/2. COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
A comparação entre estes resultados compressível e incompressível é mais facilmente visualizada se escrever o resultado incompressível em função da relação entre as pressões e o número de Mach.
Dividindo todos os termos da Equação de Bernoulli:
Por p1 e utilizando a Equação dos gases perfeitos, p1 = ρRT1, para obter:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Como , pode-se reescrever:
A Figura a seguir mostra a relação de pressão em função do número de Mach para escoamentos isoentrópicos compressível e incompressível:
INCOMPRESSÍVEL INCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVEL INCOMPRESSÍVEL
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Observe que no limite onde as velocidades são baixas, Ma → 0, os resultados obtidos com as duas Equações são iguais.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Isto pode ser visto escrevendo:
E utilizando a expressão binomial:
Onde n = k/(k-1), para reescrever a equação do fluido compressível:
COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL COMPRESSÍVEL
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
Se o número de Mach é muito menor do que 1, os resultados obtidos nesta última equação (compressível) são equivalente ao obtido na Equação Incompressível. A diferença máxima entre os resultados compressível e incompressível é menor do que aproximadamente 2% para o número de Mach menores do que 0,3.
Assim, um escoamento de gás perfeito pode ser considerado incompressível desde que o número de Mach seja menor do que 0,3.
Para T1 = 15º C, C1 = (kRT)1/2= 332 m/s, V1= C1. Ma = 0,3 x 332 =
99,5 m/s ainda pode ser considerado incompressível.
EXEMPLO 3.15 – pág. 125
Um Boeing 777 voa, com Ma = 0,82, numa altitude de 10000 m. Admitindo que a atmosfera se comporta como a padrão, determine a pressão de estagnação no bordo de ataque de suas asas modelando o escoamento como incompressível e, também como compressível.
SOLUÇÃO;
Nós podemos encontrar as propriedades da atmosfera padrão na Tab. C.1. Assim, p1 = 26,5 kPa (abs), T1 = - 49,9ºC = 223,3 K, ρ = 0,414 kg/m3 e k = 1,4. Se nós modelarmos ρ escoamento como incompressível. A Eq. para fluidos incompressíveis, fornece:
EXEMPLO 3.15 – pág. 125
De outro modo se admitirmos o escoamento isoentrópcio e compressível, tem-se:
Note que os efeitos de compressibilidade são importantes quando o número de Mach é igual a 0,82.
A pressão (e como uma primeira aproximação a sustentação e o arrasto no avião é aproximadamente 14,7/12/5 = 1,18 vezes maior no caso compressível do que no incompressível. Isto pode ser muito significativo.
Para número de Mach maiores do que 1 (escoamento supersônico), as diferenças entre os resultados compressíveis e incompressíveis não são apenas quantitativas mas também qualitativas.
3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
Numa das hipóteses adotada para a derivação da Equação de Bernoulli é de que o escoamento ocorre em regime permanente.
Portanto a velocidade em uma linha de corrente V = V(s), porém em regime transitório V = V(s,t), portanto é necessário levar em consideração, a derivada temporal da velocidade, para obter a aceleração ao longo da linha de corrente.
Assim, tem-se:
3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
A inclinação do temo transitório na Equação do Movimento não permite que esta possa ser integrada facilmente e por isso é necessário induzirmos outras hipóteses adicionais.
Se integrarmos a Equação do Movimento incluindo o termo transitório tem-se:
Esta Equação pode ser facilmente integrada entre os pontos (1) e (2) do escoamento se o mesmo for incompressível:
3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
Esta equação é a Equação de Bernoulli pra Escoamento Invíscidos, Incompressíveis e em Regime Transitório.
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
Um escoamento simples aonde os efeitos transitórios são dominante é aquele da oscilação de uma coluna de líquido no tudo em U (veja a figura abaixo). Quando a coluna é liberada de uma posição de não equilíbrio, ela oscilará numa freqüência definida. Determine esta freqüência admitindo que os efeitos viscosos não são importantes.
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
SOLUÇÃO:
A freqüência da oscilação pode ser calculada pela equação:
(1)
Admita que os pontos (1) e (2) estão localizados nas interfaces ar-água das duas colunas do tubo e que z = 0 corresponde a posição de equilíbrio das interfaces.
Assim, p1 = p2 = 0 e se z1 = z temos que z2 = - z. Note que z é uma
função do tempo, z = z(t).
Para um tubo em U com diâmetro constante, a velocidade do fluido no tubo é constante V1 = V2 = V em qualquer instante e a integral que
representa o efeito transitório da Equação anterior pode ser escrita como:
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
Onde l é o comprimento total da coluna e líquido (veja a figura deste exemplo). Assim, a Equação (1) pode ser transformada em:
Como V = dz/dt e γ = ρ.g, esta equação pode ser escrita como uma equação diferencial de segunda ordem ( igual àquela que descreve os movimentos harmônicos simples da mecânica), ou seja:
(2)
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
Cuja solução é z(t) = C1sen ((2g / l)1/2t) + C2cos ((2g / l)1/2t).
Os valores das constantes C1 e C2 dependem do estado inicial
(velocidade e posição) do líquido no instante t = 0. Assim, o líquido oscila no tubo com uma freqüênciaω= (2 g / l)1/2.
Observe que esta freqüência é função do comprimento da coluna e da aceleração da gravidade (de modo similar as oscilações em um pêndulo).
O período desta oscilação ( o tempo necessário para completar uma oscilação é) t0= 2π(l / 2g)1/2.
Nós podemos retirar o caráter transitório de alguns escoamentos com a adoção de um sistema de coordenada adequado. Como será mostrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
A Figura abaixo mostra um submarino navegando numa profundidade de 50 m e com velocidade, V0 igual a 5,0 m/s. considerando que a
densidade (SG) da água do mar é 1,03, determine a pressão de estagnação no ponto (2).
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
SOLUÇÃO:
O escoamento em torno do submarino é transitório para um sistema de coordenada solidário ao fundo do oceano. Por exemplo, a velocidade no ponto (1) é nula se o submarino está em sua posição inicial mas no instante em que o nariz do submarino, no ponto (2), alcança o ponto (1) a velocidade se torna igual a V1 = - V0 i. Assim, ∂V1 / ∂ t ≠ 0 e o
escoamento é transitório.
Se aplicarmos a Equação de Bernoulli para escoamento em regime permanente entre os pontos (1) e (2) nós obteríamos “p1= p2+ρV2/ 2”.
Este resultado está errado porque a pressão estática é sempre menor do que a pressão de estagnação. Note que este resultado absurdo é uma decorrência da aplicação inadequada da Equação de Bernoulli.
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
Nós podemos analisar o escoamento em regime transitório (o que está fora do escopo deste texto) ou redefinir o sistema de coordenadas para que o escoamento perca seu caráter transitório.
Se tomarmos um sistema de coordenada solidário ao submarino, o escoamento em torno do submarino ocorre em regime permanente. Aplicando a Equação de Bernoulli, temos:
Note que este resultado é similar aquele do Exemplo 3.2.
Se o submarino estivesse acelerado,∂V0/ ∂t ≠ 0, o escoamento seria
transitório nos dois sistemas de coordenadas apresentados e nós seríamos obrigados a utilizar a forma da equação de Bernoulli adequada a escoamento transitórios.
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
Alguns escoamentos transitórios podem ser modelados como “quase permanentes” e resolvidos utilizando a equação de Bernoulli referente a escoamentos em regime permanente.
Nestes casos, os efeitos transitórios “não são muito grandes” e os resultados para regime permanente podem ser aplicados em cada instante do tempo como se o regime do escoamento fosse permanente.
O esvaziamento de um tanque que contém um líquido é um exemplo deste tipo de escoamento.
3.8.5 – EFEITOS ROTACIONAIS
Outra restrição da utilização da Equação de Bernoulli é que esta só pode ser aplicada ao longo de uma linha de corrente.
A aplicação da Equação de Bernoulli entre linhas de correntes pode levar a erros consideráveis, dependendo das condições do escoamento que está sendo analisada.
Porque a constante de Bernoulli varia de uma linha de corrente para outra.
Entretanto sob certas restrições, estas constantes são iguais em todo o escoamento.
O Exemplo a seguir ilustra este fato.
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
Considere o escoamento uniforme no canal mostrado na Figura abaixo. Discuta a utilização da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), (3) e (4) e os pontos (4) e (5). Admita que o líquido contido no tubo piezométrico está imóvel.
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
SOLUÇÃO:
Se o escoamento é invíscido, incompressível e ocorre em regime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), fornece:
Como V1= V2= V0e z1= z2= 0 segue que p1= p2= p0e a constante da
Equação de Bernoulli para esta linha de corrente, C12é dado por:
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
Analisando a linha de corrente que passa por (3) e (4) nós notamos que V3= V4= V0e z3= z4= h.
Como foi mostrado no Exemplo 3.5, a aplicação de F = m.a na direção normal à linha de corrente, fornece que p3= p1-γh porque as linhas de
corrente são retilíneas e horizontais.
Estes fatos combinados com a Equação de Bernoulli aplicada entre os pontos (3) e (4) mostram que p3= p4e que a constante de Bernoulli ao
longo desta linha de corrente é igual àquela da linha de corrente entre os pontos (1) e (2). Ou seja, C34= C12, ou:
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
Argumentos similares podem ser utilizadas para mostrar que a constante de Bernoulli é a mesma para qualquer linha de corrente do escoamento mostrado na Figura deste Exemplo. Assim:
No Exemplo 3.5 nós mostramos que p4 = p5 + γH = γH . Se nós
aplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (4) e (5) nós obteríamos o resultado “H = p4/ γH + V42/ 2g” que é incorreto pois o
resultado correto é H = p4/γ.
A solução deste exemplo mostra que nós podemos aplicar a Equação de Bernoulli na direção normal a linhas de correntes (1) – (2) e (3) – (4) (i.e. C12= C34) mas não entre as linhas de correntes (por exemplo, entre
os pontos (4) para (5)).
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
A razão para isto é que o escoamento é rotacional. Como o perfil de velocidade do escoamento no canal é uniforme as partículas de fluido não giram ou “rodam” quando elas se movem e por isso o escoamento é denominado irrotacional.
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
Existe uma região muito fina entre os pontos (4) e (5) em que as partículas de fluido interagem e isto as faz girar. Isto produz o escoamento rotacional. Uma análise mais complexa mostra que a Equação de Bernoulli não pode ser aplicada entre as linhas de corrente se o escoamento é rotacional.
Foi mostrado neste exemplo que é válido aplicar a Equação de Bernoulli entre linhas de corrente se o escoamento for irrotacional (i.e. as partículas de fluido não giram durante seu movimento) e que a aplicação desta Equação está restrita a linha de corrente se o escoamento não for rotacional.
A distinção entre escoamento irrotacionais e rotacionais as vezes é sutil e estes tópicos serão analisados novamente no Cap. 6.
3.8.4 – OUTRAS RESTRIÇÕES
Para aplicar a Equação de Bernoulli, o escoamento deve ser invíscido.
Porque na ausência de efeitos viscosos, o sistema fluido considerado conservativo (a energia mecânica total do sistema permanece constante. Se isso não ocorre o sistema não é conservativo e ocorre perda de energia mecânica.
Outras restrição é que entre dois pontos da mesma linha de corrente não pode existir dispositivos mecânicos, tipo bombas ou turbinas.
Bombas – Fontes de Energia. Turbinas – Sumidouros de Energia.
Portanto, quando há presença de um destes dispositivos a Equação de Bernoulli deve ser alterada.
