Equações de Movimento

(1)

Equações de Movimento

Vibrações e Ruído (10375)

2016

Pedro V. Gamboa

(2)

Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior Vibrações e Ruído – 2014-2016

Departamento de Ciências Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa 2

Tópicos

• Abordagem Newtoniana. • Princípio de d’Alembert. • Abordagem energética.

• Princípio dos trabalhos virtuais.

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Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de

Movimento

Os sistemas físicos são representados através de modelos matemáticos adequados constituídos por expressões que

definem os deslocamentos de coordenadas específicas associadas à discretização desses sistemas.

A solução destas equações conduz-nos à resposta dinâmica do sistema.

A formulação matemática pode ser feita por três processos distintos: recorrendo à 2ª Lei de Newton, a uma abordagem

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Para uma partícula aplicam-se as 3 Leis de Newton:

• 1ª Lei: se o somatório das forças que atuam numa partícula é nulo, esta está em repouso ou tem um movimento retilíneo uniforme;

• 2ª Lei: (Lei Fundamental da Dinâmica) uma partícula sujeita

a uma força F fica sujeita a uma aceleração expressa pela equação F=m.a, sendo m a massa da partícula;

• 3ª Lei: se uma partícula A exerce uma força sobre uma

partícula B, então esta reage exercendo sobre a partícula A uma força com a mesma direção e magnitude mas com

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Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Assim, para um corpo rígido em translação:

e para um corpo rígido em rotação:

onde I é o momento de inércia relativamente ao eixo de rotação e a é a aceleração angular em torno desse mesmo eixo.

(7)              



z z y y x x cm ext a m F a m F a m F a m F        (8) a  



M_ext I

(6)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Usar a 2ª Lei de Newton para derivar as equações de movimento O procedimento seguinte pode ser usado para derivar as

equações de movimento de um sistema de n DOF usando a segunda lei de Newton:

• Definir coordenadas adequadas para descrever a posição de vários pontos de massa e corpos rígidos no sistema. Assumir sentidos positivos adequados para os deslocamentos,

velocidades e acelerações das massas e dos corpos rígidos;

• Determinar a configuração do equilíbrio estático do sistema e medir os deslocamentos das massas e dos corpos rígidos a

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

• Desenhar os diagramas do corpo rígido para cada massa ou corpo rígido do sistema. Indicar a mola, amortecedor ou força externa que atua em cada massa ou corpo rígido quando um deslocamento ou uma velocidade positivos são dados à massa ou ao corpo rígido;

• Aplicar a segunda lei de Newton a cada massa ou corpo rígido mostrado pelo diagrama do corpo livre com

para a massa m_i.



 j ij i ix F m 

(8)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Por exemplo, relativamente ao sistema mola-massa-amortecedor da figura abaixo pode desenhar-se o diagrama do corpo livre da massa m_i indicando as forças nela aplicadas.

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Exemplo 2.01: Derive as equações de movimento do sistema mola-massa-amortecedor mostrado na figura.

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Exemplo 2.02: Derive as equações de movimento do sistema mola-massa mostrado na figura.

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Exemplo 2.03: Derive as equações de movimento livre do sistema mola-massa mostrado na figura.

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.2. Princípio de d’Alembert

Existe uma outra forma de encararmos a 2ª Lei de Newton. Se considerarmos o efeito das forças aplicadas, F, e das forças de reação, f, podemos escrever esta Lei como:

Esta expressão traduz o princípio de d’Alembert que nos diz que se em cada instante, a cada uma das partículas do sistema além das forças aplicadas e de reação, se juntarem as forças de inércia correspondentes, o sistema de forças estará em

equilíbrio e, então, poderemos aplicar-lhe todas as equações de estática. (9) 0     f m a F  

(13)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.2. Princípio de d’Alembert

As vantagens desta interpretação são:

• Encaram-se as forças de inércia como forças ativas de modo a reduzir o problema dinâmico a um estático;

• Quando se formulam as equações vetoriais de equilíbrio

dinâmico, as forças de inércia são incluídas nos diagramas de corpo livre como forças exteriores aplicadas;

• Podemos aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais ao caso dinâmico.

(14)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Contrariamente à abordagem Newtoniana, esta formulação usa quantidades escalares relacionando duas quantidades

fundamentais: o trabalho das forças e a energia cinética do sistema.

• Teorema da Variação da Energia Cinética

A variação da energia cinética de um sistema resulta do trabalho das forças externas ao sistema ou do trabalho das forças

internas, tal como representado na figura abaixo. As forças

internas podem produzir uma dissipação de energia cinética pelo efeito do atrito dinâmico (de rolamento ou de escorregamento)

(15)

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15

1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Assim, o teorema da energia cinética indica que

(10) dt dW dt dW dt dT ext int  

(16)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

A energia cinética é uma quantidade escalar positiva dada, para um corpo em translação, por

e para um corpo em rotação dada por

Desta forma, para um corpo a deslocar-se num plano tem-se

(11) 2 2 1 mV T  (12) 2 2 1 _ I T  (13) 2 2 2 1 2 1 _ CM CM I mV T  

(17)

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17

1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

• Teorema da Variação da Energia Mecânica:

Já vimos anteriormente que a energia potencial acumulada por uma mola é dada por:

Por outro lado, a energia potencial associada a um corpo sujeito a um campo gravítica é

Assim, a soma da Energia Potencial com a Energia Cinética é denominada como a Energia Mecânica

(14) 2 2 1 kx V  (15) mgh V  V T U  

(18)

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18

1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Atentemos na figura

Como vemos, podem ocorrer transferências de Energia do exterior para o sistema, sob a forma de calor ou trabalho. O trabalho altera a Energia Mecânica, enquanto que o calor altera a energia interna do corpo.

(19)

Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Dentro do sistema, pode ocorrer transformação de energia

mecânica em energia interna por dissipação de energia causada por atrito.

Assim, podemos dizer que a variação instantânea da energia mecânica de um sistema é

onde Wext,nc_{é o trabalho das forças externas não conservativas}

(isto é, todas as forças exteriores com exceção do peso e das forças exercidas por molas)

e Wint_{é o trabalho das forças internas associado à dissipação de}

energia mecânica. (16) dt dW dt dW dt dU _ ext,nc _ int

(20)

Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Exemplo: Vejamos um exemplo de aplicação do teorema da

energia mecânica aplicado ao movimento vibratório do corpo da figura abaixo em torno do seu ponto de equilíbrio:

Do teorema da variação da Energia Mecânica vem





dt dW dt dW dt V T d  _ ext,nc _ int

(21)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Note-se que neste caso sendo o corpo rígido, o trabalho das forças internas é nulo, não havendo dissipação interna de energia.

O trabalho das forças externas, com a exceção do peso e da força da mola, e desprezando o atrito, é

pois a força N é perpendicular ao deslocamento do corpo. Daqui resulta que a variação da energia total é

Integrando esta expressão em ordem ao tempo obtem-se U.

0 ,   N nc ext dW dW





0   dt V T d

(22)

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Assim

Pode ver-se, desta expressão, que a energia mecânica total permanece constante ao longo do tempo.

O movimento do corpo pode ser obtido derivando a expressão anterior em ordem ao tempo:

const kx x m const V T    2  2  2 1 2 1  0 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 1 2 2            _ dt dx x k dt x d x m kx x m dt d    0  kx x m 

(23)

Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.3. Formulação Energética

Exemplo 2.04: Derive as equações de movimento do sistema mola-massa mostrado na figura.

(24)

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24

1. Formulação das Equações de Movimento

1.4. Princípio dos Trabalhos Virtuais

Este é, também, um método que envolve apenas quantidades escalares.

O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) pode ser traduzido matematicamente pela seguinte equação

Esta equação estabelece que a condição necessária e suficiente para que o sistema esteja em equilíbrio estático é que o

trabalho realizado por todas as forças aplicadas ao longo de deslocamentos virtuais arbitrários, mas que sejam compatíveis com os constrangimentos de ligação, seja igual a zero.

(17) 0 1  



 n i i i r F W  

(25)

Pedro V. Gamboa

25

1. Formulação das Equações de Movimento

1.4. Princípio dos Trabalhos Virtuais

A partir do Princípio de d’Alembert podemos estender o princípio dos trabalhos virtuais ao caso dinâmico.

Para que uma partícula i esteja em equilíbrio dinâmico, ter-se-á que verificar

Fazendo o produto interno por obtemos a condição de equilíbrio da partícula em termos de trabalhos virtuais:

Como se viu anteriormente, o trabalho das forças de reação é nulo (18) i r  0    _i _i _i i f m r F   (19)



F_i  f_i m_ir_i



r_i 0 0   _i i r f 

(26)

Pedro V. Gamboa

26

1. Formulação das Equações de Movimento

1.4. Princípio dos Trabalhos Virtuais

Então, para n partículas,

Daqui se conclui que

(21)

0

 

 W_forças_reais W_forças_inércia

W    (20)





0 1   



 n i i i i i mr r F  

(27)

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27

1. Formulação das Equações de Movimento

1.5. Equação Geral da Dinâmica

Segundo o Princípio de d’Alembert, os métodos da estática podem ser utilizados para analisar o movimento dos sistemas. Pode, então, aplicar-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais ao estudo do movimento de um sistema mecânico ideal.

Assim, pode dizer-se que o trabalho virtual de todas as forças, incluindo as de inércia, é nulo para qualquer deslocamento virtual do sistema:

onde W representa o trabalho, os sobrescritos (a), (r) e (i) representam as forças ativas, as reativas e as de inércia,

respetivamente, e q_j representa o deslocamento virtual de q_j.

(22) j i r a q W W W     ( )  ( )  ( ) 0 

(28)

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28

1. Formulação das Equações de Movimento

1.5. Equação Geral da Dinâmica

Para um sistema ideal W(r)_{=0, portanto:}

Assim, em qualquer instante do movimento de um sistema mecânico ideal, o trabalho virtual de forças ativas e forças de inércia é nulo para qualquer deslocamento virtual do sistema. A equação (23) é chamada Equação Geral da Dinâmica.

Utilizando a equação (17), é possível escrever

e (23) j i a _W _q W    ( )  ( ) 0 



  n j j a j a q Q W 1 ) ( ) (  



  n j j i j i q Q W 1 ) ( ) (  

(29)

Pedro V. Gamboa

29

1. Formulação das Equações de Movimento

1.5. Equação Geral da Dinâmica

Aqui, Q_j(a)_{e Q}

j(i) representam as forças generalizadas ativas e de

inércia, respetivamente.

Portanto, a Equação Geral da Dinâmica pode ser também escrita na forma ou então





j j n j i j a j Q q q Q    



 0 1 ) ( ) ( (24) n j Q Q(_ja)  (_ji) 0 ; 1,

(30)

Pedro V. Gamboa

30

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

As equações de movimento de translação de um sitema em coordenadas cartezianas toma a forma

onde m₁, m₂ e m₃ tomam o valor da massa da primeira partícula,

m₄, m₅ e m₆ são iguais à massa da segunda partícula e assim sucessivamente.

A energia cinética do sistema é

Agora, sabendo que,

(25) n j F x m_j_j  _j ; 1, (26) n j x m T n j j j ; 1, 2 1 1 2  



 



q q q q t



x x_j  _j ₁, ₂,, _i,, _n,

(31)

Pedro V. Gamboa

31

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

pode escrever-se

Daqui, vê-se que

Da equação (27) pode escrever-se

onde q_j e q_j são tratadas como variáveis independentes.

(27) n j t x q q x x j n i i i j j ; 1, 1       



  



q q q q q q q q t



x x_j  _j ₁, ₂,, _i,, _n, ₁, ₂,, _i,, _n, (28) i j i j q x q x       

(32)

Pedro V. Gamboa

32

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Também se podia ter usado a regra de L’Hôpital que diz que

Então, usando a definição de derivada

tem-se i j q i j q _q x q x i i           lim0 lim0 i j i j q x q x        i j q i j q x q x i       lim0 i j q i j q x q x i           lim0

(33)

Pedro V. Gamboa

33

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Multiplicando a equação (28) por x_j e derivando em ordem ao tempo obtém-se

Agora, sabe-se que

e que (29)                              i j j i j j i j j i j j q x dt d x q x x q x x dt d q x x dt d        (30) t q x q q q x q x dt d i j k n k i k j i j                



 2 1 2 





i j j i j j i j j j j i i j q x x q x x q x x x x q q x                              2 1 2 1 2 1 2 1 2

(34)

Pedro V. Gamboa

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1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

pelo que, da relação (28), se obtém

Logo, usando as equações (27) e (30) obtém-se

(31) i j j i j j i j q x x q x x q x              2 2 1 (32)                                            



  i j j i j k n k i k j j j k n k k j i j i j j i j q x dt d x t q x q q q x x t x q q x q x q x x q x         2 1 2 1 2 2 1 (30) t q x q q q x q x dt d i j k n k i k j i j                



 2 1 2  (27) t x q q x x j n i i i j j _     



1  

(35)

Pedro V. Gamboa

Substituindo as equações (31) e (32) na equação (29)

tem-se

35

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

(33) i j i j j i j q x q x x q x dt d                 2 2 2 1 2 1                                   i j j i j j i j j i j j q x dt d x q x x q x x dt d q x x dt d        i j j i j q x x q x           2 2 1 (31) _           i j j i j q x dt d x q x  2 2 1 (32)

(36)

Pedro V. Gamboa

Pegando na equação anterior, multiplicando por m_j e somando para todos os j tem-se

Podemos observar que o termo da esquerda é a derivada em ordem ao tempo da derivada da energia cinética em ordem à variável q_i.

O segundo termo da direita é a derivada da energia cinética em ordem à variável q_i.

Assim, usando a equação (25) e a (26) fica-se com

36

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange



                   n j i j j n j i j j j n j i j j q x m q x x m q x m dt d 1 2 1 1 2 2 1 2 1      (34) i n j i j j i q T q x F q T dt d              



1 

(37)

Pedro V. Gamboa

Daqui, usando a equação das forças generalizadas

e sabendo que, para um sistema dinâmico conservativo,

então

Substituindo a equação (35) na equação (34) fica-se com

37

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange



    n j i j j i q x F Q 1 (38) i i i q T Q q T dt d              (35) j j j x V x W F         ₍₃₆₎ i n j i j j i q V q x x V Q          



1 (37)

(38)

Pedro V. Gamboa

e substituindo a equação (36) na anterior obtém-se

É conveniente, agora, introduzir a função de Lagrange L, ou a Lagrangiana, que é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema dinâmico:

Uma vez que V é claramente independente de q_i, a equação (39) pode ser reescrita na forma

38

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

(39) i i i q T q V q T dt d                 V T L   (40)









i i q V T q V T dt d              

(39)

Pedro V. Gamboa

ou ainda como

Esta é a Equação de Lagrange.

De acordo com a derivação acima, se pudermos expressar a energia cinética e a energia potencial do sistema dinâmico apenas em função das coordenadas generalizadas e as suas

derivadas, então pode escrever-se imediatamente as equações de movimento do sistema expressas em termos das coordenadas generalizadas usando a equação de Lagrange.

Infelizmente estas equação só funciona para sistemas conservativos.

39

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

(41) 0             i i q L q L dt d 

(40)

Pedro V. Gamboa

Se no sistema dinâmico em questão houver forças dissipativas, então a equação de Lagrange tem que ser alterada para incluir o seu efeito.

Assim

onde D é a função dissipativa dada por

40

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

(42) 0                i i i q D q L q L dt d   (43) n j q c D n j j j ; 1, 2 1 1 2  



 

(41)

Pedro V. Gamboa

41

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Exemplo 2.05: Derive as equações de movimento do sistema mola-massa mostrado na figura usando a equação de Lagrange.

(42)

Pedro V. Gamboa

42

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Exemplo 2.06: Derive as equações de movimento do sistema ilustrado na figura, desprezando o atrito entre o bloco e a mesa. A massa do bloco A é M, a massa do ponto B é m e o

(43)

Pedro V. Gamboa

43

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Exemplo 2.07: A máquina de Atwood consiste em 2 massas, m₁ e m₂, ligadas por um fio inextensível e leve de comprimento l, que passa por uma roldana de raio a (muito inferior a l) e

momento de inércia I. Derive as equações de movimento do sistema, desprezando o atrito na roldana.

(44)

Pedro V. Gamboa

44

1. Formulação das Equações de Movimento

1.6. Equações de Lagrange

Exemplo 2.08: Considere o caso de uma massa m a deslizar por um plano inclinado liso de massa M que, por sua vez, é livre de deslizar numa superfície horizontal lisa. Este sistema tem 2DOF. Derive as equações de movimento do sistema.

(45)

Pedro V. Gamboa

45

2. Movimento Harmónico

O movimento harmónico é um movimento oscilatório simples do tipo periódico, podendo ser representado por funções circulares do tipo seno ou cosseno, assim, o movimento harmónico simples pode ser representado como a projeção do movimento de um ponto que se desloca com velocidade constante sobre uma circunferência de raio A, tal como vísivel na figura abaixo.

(46)

Pedro V. Gamboa

46

2. Movimento Harmónico

Como se vê, T corresponde ao período constante definido como o mínimo intervalo de tempo ao fim do qual o movimento se repete, de tal forma que

Portanto, a lei de variação do movimento harmónico é dada por

Da figura anterior, vemos que este movimento pode ser expresso em função da velocidade re rotação  resultando na expressão

) ( ) (t x t T x   (44)        t T A x sin 2 (45)

 

f T com t A x sin    2  2

(47)

Pedro V. Gamboa

47

2. Movimento Harmónico

onde  é a frequência circular em [rad/s] e f em [Hz].

Note-se que qualquer combinação das funções seno ou cosseno pode ser utilizada para representar um movimento harmónico simples. De facto, se Então, com obtém-se (45)

 



 

 _

 



 

_  t X X t X X X t X t X t

x( ) ₁sin  ₂cos  1 sin  2 cos 

 



 a   a







 a



 X t t X t

t

x( ) sin cos cos sin sin

         1 2 2 2 2 1 ; arctan X X X X X a

(48)

Pedro V. Gamboa

48

2. Movimento Harmónico

A partir da função x(t) podemos obter a velocidade e a

aceleração da massa do sistema, calculando, respetivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem.

Assim, por exemplo,

Deslocamento:

Velocidade:

Aceleração:

Relembrar da trigonometria:

sin(

a

+

b

)=sin

a

.

cos

b

+cos

a

.

sin

b

(46)

 

 



 



                 _      t X t X t x t X t X t x t X t x cos cos ) ( 2 cos sin ) ( cos ) ( 2 2   

(49)

Pedro V. Gamboa

49

2. Movimento Harmónico

Como se vê, a velocidade e a aceleração são também

“movimentos” harmónicos com a mesma frequência, embora tenham uma amplitude diferente (através do fator =constante) e apresentem um desfazamento de 90º e 180º, respetivamente, em relação ao deslocamento.

Combinando as expressões do deslocamento e da aceleração, obtém-se a expressão que descreve, de uma forma genérica, um movimento harmónico simples:

ou x x 2  (47) 0 2   x x  

(50)

Pedro V. Gamboa

50

2. Movimento Harmónico

Note-se que a soma de duas funções harmónicas com a mesma frequência mas com diferentes ângulos de fase é também uma função harmónica da mesma frequência, como se vê através do seguinte exemplo.

(51)

Pedro V. Gamboa

51

2. Movimento Harmónico

Exemplo 2.09: Considere dois movimentos harmónicos representados por

a) Verificar que a soma dos dois movimentos resulta num movimento harmónico de frequência .

b) Representar graficamente os três movimentos sabendo que

X₁=1, X₂=2, =2 rad/s e a=/4 rad.

 



 a



    t X x t X x cos cos 2 2 1 1

Relembrar da trigonometria:

(52)

Pedro V. Gamboa

52

2. Movimento Harmónico

Exemplo 2.09: Gráfico: x=Xcos(t+b), X=2.789, b=0.53rad.

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 x1 x2 x

(53)

Pedro V. Gamboa

53

3. Funções Sinusoidais

As funções sinusoidais podem ser relacionadas com a função exponencial tratando-as como funções complexas na forma de Euler:

Usando uma representação vetorial no plano de Argand-Gauss, o vetor girante Z, com uma amplitude A, é rodado a uma

velocidade angular  e assume a forma

(48)    sin cos    i ei (49)

 

t i A

 

t A Ae Z  it  cos    sin 

(54)

Pedro V. Gamboa

54

3. Funções Sinusoidais

A utilização da forma exponencial oferece várias vantagens, sendo relativamente simples proceder à operação de números complexos, tais como:

Multiplicação:

Divisão:

Potência:

Diferenciação:

2 1 2 2 1 1 e   i i e A Z e A Z                     2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1         i in n n i i e A Z e A Z e A A Z Z e A A Z Z  

(55)

Pedro V. Gamboa

55

3. Funções Sinusoidais

Desta forma, considerando que um movimento harmónico é dado por

ou na forma exponencial

então, as expressões para a velocidade e a aceleração são obtidas por derivação

t i Ae Z   (50)

 

t A

 

t x  sin 

 



 



 

      _    2 sin cos sin t A t A t  A dt d t x (51)         2   ei t A Z

(56)

Pedro V. Gamboa 56

3. Funções Sinusoidais

e

 





A

 

t



 A

 

t  A



t



dt d t

x cos 2 sin 2 sin

 (52)      i t e A Z 2

(57)

Pedro V. Gamboa

57

4. Equivalência de Sistemas

Por forma a poder-se analisar sistemas elásticos complexos, normalmente estruturas, por meio da redução dos graus de liberdade é conveniente encontrar constantes elásticas

equivalentes.

A rigidez de um sistema vibratório pode ser calculada para uma mola por   M k x F k  

deslocamento linear

deslocamento angular

(58)

Pedro V. Gamboa

58

4. Equivalência de Sistemas

Vamos considerar uma viga encastrada numa extremidade sujeita à flexão com uma massa M na outra extremidade.

A rigidez deste sistema vibratório pode ser calculada aplicando uma força F na ponta livre e obtendo a deflexão correspondente. Sabe-se que a deflexão máxima da viga é dada por

onde

L é o comprimento da viga E é o módulo de Young

I é o segundo momento de área em torno de um eixo

perpendicular à força F EI FL y 3 3 max 

(59)

Pedro V. Gamboa

59

4. Equivalência de Sistemas

Portanto, a constante elástica equivalente da viga à flexão é dada por

Também se sabe que o ângulo de torção máximo da viga é dado por

onde

G é o módulo elástico de corte J é o momento de área polar T é o momento torsor 3 3 max 3 3 L EI EI FL F y F k    GJ TL  max 

(60)

Pedro V. Gamboa

60

4. Equivalência de Sistemas

Portanto, a constante elástica equivalente da viga à torção é dada por

O cálculo da rigidez equivalente k_eq pode também efetuar-se igualando a energia potencial do modelo de parâmetros

concentrados com o somatório da energia potencial de todos os componentes do sistema real.

Assim L GJ GJ TL T T k    max  



   j j i i i eqx k x k _j k V 2 2 2 2 1 2 1 2 1 _ 

(61)

Pedro V. Gamboa

61

4. Equivalência de Sistemas

Resumindo algumas constantes elásticas:

Tipo de mola Constante da mola

Barra à tração

Mola helicoidal d – diâmetro do varão D – diâmetro médio da mola N – nº de espiras

Viga à flexão

(62)

Pedro V. Gamboa

62

4. Equivalência de Sistemas

Exemplo 2.10: Determine a constante elástica equivalente de uma viga encastrada numa extremidade e livre noutra quando sujeita a uma força uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento.

(63)

Pedro V. Gamboa

63

4. Equivalência de Sistemas

Exemplo 2.11: Determine a rigidez equivalente do sistema da figura usando o deslocamento da massa como coordenada

(64)

Pedro V. Gamboa

64

4. Equivalência de Sistemas

Exemplo 2.12: Tendo em consideração o sistema da figura, e recorrendo a uma abordagem energética, determine os

parâmetros equivalentes do sistema, i.e., m_eq, k_eq e c_eq. Use a coordenada x associada ao movimento do centro de rotação do disco de massa m (que roda sem escorregar) como coordenada generalizada.