ESTAT´ISTICA E PROBABILIDADES
DISTRIBUIC
¸ ˜
AO GEOM´
ETRICA
Dr. Jos´e Walter C´ardenas Sotil
Universidade Federal do Amap´a Curso de Engenharia El´etrica
Sum´
ario
1 Geom´etrica
2 Exerc´ıcio 1
3 Exerc´ıcio 2
4 Falta de Mem´oria
Distribui¸c˜
ao Geom´
etrica
Distribui¸c˜ao Geom´etrica
Consideremos uma sequˆencia infinita de provas de Bernoulli com
parˆametro p (probabilidade de sucesso).
A vari´avel aleat´oria X segue uma distribui¸c˜ao geom´etrica com parˆametro p, se:
X: n´umero de provas de Bernoulli at´e incluir o primeiro sucesso
Assim,
1 → P(X = 1) = p
01 → P(X = 2) = qp
Distribui¸c˜
ao Geom´
etrica
Verificando que P(X = k) = qk−1p ´e uma distribui¸c˜ao de probabilidade ∞ X k=1 P(X = k) = ∞ X k=1 qk−1p = q−1p ∞ X k=1 qk = q−1p = q 1 − q = p 1 − q = p p = 1
Distribui¸c˜
ao Geom´
etrica
Esperan¸ca e variˆancia
Teorema. Se a vari´avel aleat´oria X segue uma distribui¸c˜ao geom´etrica com parˆametro p, ent˜ao:
a) µX = E [X ] =P∞k=1kP(X = k) = P∞ k=1kpqk−1 = 1 p b) E [X2] =P∞ k=1k2P(X = k) = P∞ k=1k2pqk−1= 1 + q p2 c) var (X ) = E [X2] − (E [X ])2 = q p2 d) σX = √ q p
Distribui¸c˜
ao Geom´
etrica no R
Distribui¸c˜ao Geom´etrica no R
P(X = k) = pqk−1: dgeom(k − 1, p)
P(X ≤ k) =
k
X
j =1
pqj −1: pgeom(k − 1, p, lower .tail = TRUE )
P(X > k) =
∞
X
j =k+1
Exerc´ıcio 1
Em um jogo de dados um jogador aposta sempre na face 6. Qual a chance da sorte s´o lhe sorrir no d´ecimo lance?
Solu¸c˜
ao
k = 10 p = 1/6
Sair 6 no d´ecimo lance
Gr´
afico: Distribui¸c˜
ao de probabilidades
x <- 1:20
fx <- dgeom(x-1,1/6) plot(x,fx,’h’)
Gr´
afico: Distribui¸c˜
ao Acumulada
x <- 1:20
Fx <- pgeom(x-1,1/6,lower.tail=TRUE) plot(x,Fx,’s’)
Exerc´ıcio 2
A probabilidade de que haja alguma falha no lan¸camento de uma nave
espacial ´e 10%. Qual ´e a probabilidade de que para lan¸car a nave seja
necess´ario:
a) 2 tentativas?
b) no m´aximo 3 tentativas?
c) Calcule o n´umero esperado de tentativas de lan¸camento da
nave espacial. Calcule tamb´em a variˆancia e o desvio padr˜ao
Solu¸c˜
ao. X: n´
umero de tentativas at´
e obter o primeiro
lan¸camento bem sucedido
p = 0, 90, q = 0, 10
a) X =2:
P(X = 2) = 0, 90 · 0, 102−1=dgeom(1,0.90) = 9 %
b) X ≤ 3:
P(X ≤ 3) = pgeom(2,0.90) = 99,9 %
c) Esperan¸ca e variˆancia
E [X ] = 1 p = 1 0, 90 = 1, 11 Var [X ] = q p2 = 0, 10 0, 902 = 0, 1234 σX =pVar[X ] = √ 0, 1234 = 0, 3514
Gr´
afico: Distribui¸c˜
ao de probabilidades
x <- 1:10
fx <- dgeom(x-1,0.90) plot(x,fx,’h’)
Gr´
afico: Distribui¸c˜
ao Acumulada
x <- 0:10
Fx <- pgeom(x-1,0.90) plot(x,Fx,’s’)
Falta de mem´
oria
Propriedade (Falta de mem´oria da distribui¸c˜ao geom´etrica)
Se X segue uma distribui¸c˜ao geom´etrica com parˆametro p, ent˜ao para
quaisquer n´umeros inteiros positivos m e n, temos que
P(X > m + n|X > n) = P(X > n)
Essa propriedade ´e conhecida como falta de mem´oria e indica a
maneira como a vari´avel incorpora a informa¸c˜ao anterior
Ou seja, a vari´avel ”lembra”do presente mas ”esqueceu”o que ocorreu
no passado
Por exemplo, se X for a espera em dias para a ocorrˆencia de um certo
evento a probabilidade condicional de espera de pelo menos m + n
Exerc´ıcio 3
Seja X o n´umero de jogadas de um dado honesto at´e que se observe um 6.
Suponha que o dado tenha sido jogado 5 vezes sem sair um 6. Qual a
Solu¸c˜
ao
p = 1/6 q = 5/6
